Apostila de SINAIS E SISTEMAS

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1 Apotila de SINAIS E SISTEMAS Álvaro Luiz Stelle (PhD) DAELN CPGEI CEFET PR Março de 5 I

2 PREFÁCIO Eta apotila tem como objetivo dar ao leitor um embaamento teórico da Tranformada de Laplace, de Fourier e z, que erão neceária na área de Controle, Comunicaçõe e Proceamento de Sinai. Conidera-e que o leitor já tenha conhecimento matemático englobando número complexo, variávei complexa e cálculo íntegro-diferencial. Para fixar com maior facilidade algun conceito, ão fornecido divero exemplo e ilutraçõe ao longo do texto. No anexo etão incluído divero exercício. Aquele que abrangem a funçõe de tranferência no plano e z poderão er comprovado com a utilização do oftware FT3D, deenvolvido no Cpgei com finalidade puramente didática, e que reultou de uma diertação de metrado. O memo pode er obtido atravé da internet em Entre tanto outro, um ite recomendável para fixação de conceito báico referente à tranformada aqui etudada é o da Univeridade John Hopkin, encontrado em Apear de elaborada com o máximo cuidado, eta apotila poderá conter algun erro de datilografia (texto e equaçõe) e também no que e refere à ilutraçõe. Por eta razão, pedimo ao leitor que no comunique cao o encontre ou cao urja alguma dúvida no que e refere ao conteúdo do material. Prof o. Álvaro Luiz Stelle [email protected] II

3 ÍNDICE CAPÍTULO - SISTEMAS LINEARES. - Introdução. - Sitema lineare, invariante no tempo e cauai.3 - Número imaginário e complexo.3. - Número imaginário.3. - Número complexo 3 CAPÍTULO - TRANSFORMADA DE LAPLACE 5. - Introdução 5. - Definição Propriedade e pare de tranformada Tranformada invera Aplicação da tranformada de Laplace a circuito elétrico.6 - Funçõe de tranferência de itema lineare Pólo e zero.8 - Repota em freqüência Repota ao impulo e ao degrau 4. - Lugar da raíze (root locu) 3 CAPÍTULO 3 - TRANSFORMADA DE FOURIER Introdução Série de Fourier Série de Fourier trigonométrica Série de Fourier exponencial Fenômeno de Gibb Teorema de Pareval Tranformada de Fourier Teorema de energia de Rayleigh Propriedade da tranformada de Fourier e pare de tranformada Convolução Aplicação da propriedade Modulação em amplitude (AM) Teoria da amotragem 55 CAPÍTULO 4 - TRANSFORMADA Z Introdução Definição 59 III

4 4.3 - Região de convergência Propriedade e pare de tranformada Tranformada invera Método do reíduo Método da fraçõe parciai Método da inverão por divião (long diviion) Convolução dicreta Funçõe de tranferência de itema dicreto Funçõe de tranferência de itema IIR e FIR Etabilidade do itema Repota em freqüência 7 BIBLIOGRAFIA 75 ANEXO 77 IV

5 - SISTEMAS LINEARES. - Introdução O conceito que e pode ter obre o que é um circuito elétrico, uma rede elétrica ou um itema elétrico podem er batante ubjetivo. Porém, quando e fala em itema, e imagina algo mai complexo tal como um itema de enino, de inalização ou de defea. Em engenharia, a palavra itema é utilizada para decrever algo que é completo e que tem uma relação caua-efeito. Aim, em um automóvel exitem vário itema tai como o de combutão, o de refrigeração, o de frenação e o elétrico. Pode-e dizer, porém, que o automóvel é um itema e que o demai bloco que o compõem ão ubitema. Deta forma, ainda continua endo ubjetiva a conceituação daquilo que é um itema. Em engenharia elétrica, ito e torna ainda mai complexo, poi um imple circuito RLC pode ervir para imular a porta de um elevador, que é um itema enquanto um circuito integrado pode er coniderado um imple elemento de um itema. Por eta razão, ao longo deta apotila, eta palavra erão utilizada inditintamente. Falar-e-á, por exemplo, na repota do itema a um impulo, não paando o memo de um imple circuito RC ou RLC.. - Sitema lineare, invariante no tempo e cauai Ao e penar em uma variação linear, imagina-e que eja uficiente que a função eja definida por uma reta. Porém, do ponto de vita da repota de um itema linear, tal reta tem que paar pela origem, poi não pode haver um inal de aída e o inal de entrada é nulo. Um itema é dito linear e puder er repreentado por uma ou mai equaçõe diferenciai lineare (aquela em que o coeficiente ão contante). A propriedade mai importante dete itema é o fato de poder aplicar o princípio da uperpoição, que é dado pela equação n i a dy i i dt k i i i b dx i i dt onde x é a variável de entrada e y é a de aída. Ito ignifica que a aída global pode er calculada a partir da oma da aída individuai. Circuito prático contituído de reitore, indutore, capacitore e fonte de corrente e tenão ão itema lineare dede que ejam todo elemento lineare, o que já é difícil em termo prático, poi o valore já variam em função da temperatura, por exemplo. Um imple diodo já leva à não linearidade. Seguem dua equaçõe, uma dela caracterizando uma função linear e a outra uma função não linear. L di () t dt Ri() t linear

6 dit () 3 Ki() t dt não linear Na prática, o itema não chegam a er totalmente lineare. Ete é o cao de um amplificador, cuja aída atura quando o inal de entrada e torna maior que um valor máximo admiível. Cao ito ocorra, urgem a ditorçõe no inal de aída, o que implicará no urgimento de componente epectrai indeejávei. Na figura., etão ilutrada alguma funçõe não lineare comumente encontrada no circuito eletrônico. y y y x x x (a) (b) (c) Figura. - Não linearidade cauada por (a) aturação, (b) zona morta e (c) hiteree. Por último, deve-e dizer que o itema lineare realizávei obedecem ao princípio da caualidade. Tal tipo de itema é denominado itema caual e e caracteriza pelo fato de não reponder a um inal ante que o memo lhe eja aplicado. Em outra palavra, ignifica que ua variávei de aída dependem do valore atuai e do valore paado da variávei de entrada (e de aída em cao de realimentação); nunca de valore futuro. Ito pode não ocorrer para itema não lineare. Para o etudo do itema lineare e invariante no tempo, faz-e uo da tranformada de Laplace (itema analógico), de Fourier (análie epectral geral) e z (itema dicreto), que erão tratada no capítulo, 3 e 4, repectivamente. Para tal, é neceário que e tenha pleno conhecimento do número complexo, obre o quai etão fundamentada tai tranformada. Por eta razão, faz-e, a eguir, uma rápida revião do memo..3 - Número imaginário e complexo Foi um tanto infeliz a ecolha da denominaçõe imaginário e complexo para deignar tai clae de número, poi dão a idéia de que não pertencem ao mundo fíico ou que ão complicado, o que não é verdade. Segue uma rápida revião Número imaginário A unidade imaginária, também denominada operador imaginário, que erá repreentada pelo ímbolo j (não é aqui adotado o ímbolo i porque ete já é utilizado para corrente elétrica), é utilizada para ajudar na olução de equaçõe do tipo x = -9. Por definição j = -, o que leva a j, j 3 = -j e j 4 =.

7 .3. - Número complexo O produto reultante da multiplicação de um número real pelo operador imaginário reulta em um número imaginário enquanto a oma de um número real com outro imaginário gera um número complexo. Um número complexo do tipo A = a + jb pode er repreentado em trê forma báica, que ão: ) Forma carteiana A a jb onde j, a Re(A) e b Im(A) ) Forma polar b A C onde C A a b e atan a 3) Forma exponencial A C e j C co( ) jc in( ) Para e ter uma idéia melhor, pode-e repreentar um número complexo graficamente obre o que e denomina plano complexo, como ilutrado na figura.. Como e pode notar, o memo ão gerado a partir de relaçõe trigonométrica báica. Surge, então a identidade de Euler, que é dada por e j co( ) j in( ) donde e obtém j j e j e j co( ) e e e en( ) j A operaçõe matemática báica com doi número complexo A e B repreentado por A a j b C e j e B c + j d D e j podem er obtida da eguinte forma: ) Soma algébrica A B (a + c) j (b + d) ) Multiplicação A. B (ac bd) j (bc ad) = C. D e j ( ) 3) Divião 3

8 A B A B BB (ac bd)+ j (bc ad) C j ( ) e c d D onde B c jd é denominado conjugado de B. Im C = a b A a = C co b = C en Re Figura. - Plano complexo 4

9 - TRANSFORMADA DE LAPLACE. - Introdução Enquanto a Tranformada de Fourier (TF), que erá vita no capítulo 3, é mai propícia para a análie epectral, a Tranformada de Laplace (TL) é melhor para a análie de tranitório no domínio do tempo, poi permite que e leve em conta a condiçõe iniciai do itema. Além dio, a grande tabela da TL encontrada na literatura englobam um número bem maior de pare de tranformada conhecida do que a de Fourier. Ito e deve, em parte, ao fato da variável de freqüência da TF e retringir ao eixo imaginário do plano. A TF ó permite analiar tranitório quando a função é limitada de zero a infinito, como é o cao do degrau unitário e do impulo. No cao do eno, por exemplo, ó permite a análie em regime permanente. - Definição Para que e poa obter a TL de um inal x(t), o memo deve atifazer a condição xt ( ) e t dt. para poitivo e real Comparando com a condiçõe da TF, a preença do termo exponencial e o fato da integral er de zero a infinito permitem que um número bem maior de funçõe, tai como t, t e e a t para a tenha Tranformada de Laplace (de um ponto de vita mai retrito, eta funçõe não tem TF). Exitem, porém, funçõe como e x, onde x=t n, que não têm qualquer uma da tranformada (na análie de circuito, tal tipo de inal não é utilizado). O par de tranformada é dado por: t X ( ) xt ( ) e dt j t xt () X ( ) j e d j tranformada tranformada invera A variável, utilizada na tranformada de Laplace, é complexa ( j ) e paa o inal do domínio do tempo para um domínio de freqüência complexa. Aim, a funçõe em ão tridimenionai, poi a variável contitui um plano (plano ) e não apena um eixo. O ímbolo utilizado para a integrai ão: X() = L [x(t)] e x(t) = L - [X()]. enquanto que o par de tranformada é imbolizado por x(t) X(). 5

10 Quando x(t) tem um impulo ou uma decontinuidade na origem, como é o cao do degrau unitário, é neceário que x() eja incluído na integral. Vem daí o fato de e ter colocado o termo " - " como limite inferior. Seguem 4 exemplo, o quai ão calculado diretamente atravé da definição. ) degrau unitário xt () ut () t t X ut e t ( ) ( ) e dt e dt ) exponencial decrecente at xt () e u () t at t a t X a e a t ( ) ( ) ( ) e e dt e dt a 3) rampa xt () t ut () t X ( ) t e dt 4) impulo unitário [trata-e de um pulo retangular ou triangular (ver item 3.5), por exemplo, que ó é definido para t =. Seu tempo de duração é nulo e ua amplitude tende a infinito, dando-lhe uma área unitária]. t xt ( ) (t) = lim lim A A A A A t t A X ( ) ( t) e dt ( ) e dt ( t) dt.3 - Propriedade e pare de tranformada Para e evitar o canativo uo da definição, faz-e uo de alguma propriedade da tranformada de Laplace, que ão dada na Tabela., e de tranformada já conhecida como a da Tabela., que ão a mai utilizada na análie de circuito elétrico báico. No próximo 5 exemplo, erão utilizada alguma propriedade e alguma tranformada já conhecida. 6

11 ) eno (propriedade da linearidade e tranformada da exponencial) xt () ent e jt e j jt X () j j j ) co-eno (propriedade da diferenciação e tranformada do eno) xt () cot en t jt jt e e den t dt den t e dt en X () 3) produto rampa x exponencial decrecente (propriedade da diferenciação complexa) e at e t. x(t) a dx d () te. at d d a a 4) produto eno x exponencial decrecente (propriedade da tranlação complexa) en t e e -at. xt ( ) X ( a) e -at.en t e -at.co t a a a 5) convolução de um inal qualquer com um impulo Em um itema linear e invariante no tempo, ocorre uma convolução (ver item 3.8) do inal de entrada x(t) com ua repota ao impulo h(t), gerando um inal de aída y(t). Fazendo x(t) = (t), obtém-e y(t) = h(t), que é a repota ao impulo. Em termo prático, para e obter a repota ao impulo h(t) de um circuito, deve-e aplicar um pulo relativamente etreito (faixa epectral bem larga) na ua entrada, de tal 7

12 forma que imule um impulo, regitrando o inal de aída, por exemplo, em um ocilocópio de memória. Segue a demontração matemática. at xt () () t h(t) e y(t) x(t) h(t) X () H() Y() X (). H () H () a at Y() y(t) e a.4 - Tranformada invera Difícil de er calculada pela ua definição, procura-e obtê-la atravé da tabela já exitente. Funçõe mai complexa (funçõe racionai) devem er implificada de modo que e chegue a vária tranformada mai imple (fraçõe parciai), cuja tranformada invera ejam conhecida. A técnica da expanão em fraçõe parciai é motrada a eguir para equaçõe com raíze imple. Para outra funçõe mai complexa, deve-e procurar maiore informaçõe na literatura. Segue a demontração do método de expanão em fraçõe parciai. Seja H() uma função racional própria (o grau do numerador é menor que o do denominador), do tipo N () H () D () a a a a n n n n b b b b m m m m n m Uma vez determinada a raíze de D(), a mema pode er reecrita como H () N () m o que equivale a H () K K K m m Bata, agora, determinar-e o valore da contante K m, que ão obtido da eguinte forma: K H () m m m Cao a função eja imprópria (fato inaceitável do ponto de vita prático porque leva à intabilidade do itema), bata efetuar, primeiramente, a divião de N() por D() até chegar-e a uma função própria. No primeiro cao do doi exemplo eguinte, o grau de N() é menor do que o grau de D(), o que não ignifica que o itema eja realizável e etável e, no egundo cao, o grau de N() é maior do que o de D(), o que já implica que o itema não é realizável. 8

13 Tabela. - Propriedade da Tranformada de Laplace. Nome Função no Tempo Tranformada Linearidade axt. ( ) byt. ( ) ax. ( ) by. ( ) Delocamento no tempo xt ( t) u ( t t) t X (). e t Mudança de ecala Diferenciação (no tempo) Integração (no tempo) Delocamento na freqüência Diferenciação na freqüência (multiplicação por -t) Integração na freqüência (divião por t) Convolução (*) x( a. t) a a Xa dx() t X. ( ) x( ) dt dxt (). X( ). x( ) x ( ) dt t t x( ). d x( ). d X () xt (). e at X ( a) t. xt ( ) dx() d xt () t x( ). y( t ) d X () x(). d X (). d X (). Y () Valor Inicial x( ) lim x( t) lim X. ( ) t Valor final x( ) lim x( t) lim X. ( ) t no SPE) Periodicidade de x(t) f() t f( t nt) n =,,... F ( ) (pólo de X() T t e T F ( ) x( t)e dt (*) Ob: Uma demontração gráfica da convolução é dada no item

14 Tabela. - Pare de tranformada Par x(t) X() impulo unitário (t) degrau unitário u(t) / 3 t / 4 e a t /(+a) 5 t e a t /(+a) 6 en t 7 co t 8 t n -a t e (m =,,3,...) 9 b a e a t e b t b a b e b t a e a t a b a b b e a t a e b t e a t en t 3 e a t co t 4 a a t e a t n! a n a b a b a b a a a a e n en n t n t ta n ta n n t e en t n e n t e n t n n n n n n n n n ( )

15 ) O grau de N() é menor do que o de D(). H () A B C 3 A H () B ( ) H( ) C ( 3) H( ) t 3 ht () u () t e e t Pode-e notar que o termo C/( - 3) cauou uma exponencial crecente, o que implica que o itema é intável. O termo ( - 3) foi proveniente do fato do denominador ter termo poitivo e negativo, o que não pode ocorrer. A raiz 3 = 3 e encontra na parte direita do plano (emi-plano direito - SPD), ito é, 3 = Re() = = 3. Para que o itema eja totalmente etável, toda a raíze do denominador (pólo) deverão etar localizada no emi-plano equerdo (SPE). Ete aunto erá tratado mai adiante. ) O grau de N() é maior do que o de D() F () ( ) Sabe-e que co( t), en( t) e x(t)e -at X( a) A última fração de F() pode er alterada de forma que e chegue a funçõe do tipo X(+a). Para que e obtenha um co-eno, o número deve er omado ao numerador. Para compenar tal oma, o número é também ubtraído. ( ) F() ( ) ( ) F() ( ) ( ) (t) (t)

16 ft () (t) ut () e at en() t co() t.5 - Aplicação da tranformada de Laplace a circuito elétrico Conidere-e, primeiramente, o elemento báico de um circuito elétrico que ão o reitor (R), o indutor (L) e o capacitor (C). Quando o memo ão ubmetido a fonte de tenão e/ou corrente, como motra a Figura., urgem a equaçõe báica, que ão dada por: Reitor Indutor Capacitor vt () R it () V ( ) R I ( ) i() t G v() t I( ) G V( ) () v() t L d i t V () L I () L i() dt ( ) i () t () dt ( ) ( ) ( ) L vt i I L V i ( ) v () t () dt ( ) ( ) ( ) C it v V C I v () i() t C d v t I () C V () C v() dt A partir deta equaçõe, pode-e, atravé da lei da malha e da lei do nó, chegar-e à equaçõe integro-diferenciai do circuito, a quai não eriam de fácil reolução atravé do método cláico. Com a aplicação da tranformada de Laplace, tai equaçõe ão tranformada em algébrica. Poteriormente, aplicando-e a tranformada invera, volta-e ao domínio do tempo cao eja neceário. v(t) i(t) R v(t) i(t) R v(t) i(t) C (a) (b) (c) Figura. - Elemento báico de um circuito elétrico. (a) Reitor R, (b) indutor L e (c) capacitor C. Seguem algun exemplo. ) Calcular a corrente i(t) e a tenõe v r (t) e v c (t) no circuito RC ilutrado na Figura. apó ligar a chave. A tenão inicial obre o capacitor deve er coniderada nula.

17 S R + V - i(t) C Figura. - Circuito RC érie. Como a tenão da fonte é contínua, pode-e fazer v(t)=vu(t)=v. Aim, a equação da malha fica endo V Ri t C itdt V RI () C I itdt () ( ) ( ) () onde a carga inicial do capacitor é dada por itdt () Q ( ) c. vem Deenvolvendo a equação, iolando I() e calculando a tenão obre o capacitor, V I () R C V V V I t R e ( ) i () RC u () t R R C RC t Vc C I V () () C RC R RC V RC Uando a tabela de tranformada, pode-e calcular a tenão obre o capacitor. a b b a e at e bt onde a e b RC v V () t RC c RC e e RC t t V e t RC 3

18 Uma forma mai fácil de e calcular a tenão obre o capacitor é calcular, primeiramente, a tenão obre o reitor e ubtrair eta da tenão da fonte, como motrado abaixo. V V Vr ( ) R I ( ) R v () t V e RC r u() t R C RC ou ainda v () t R i () t R V u () u() R e RC t V e RC t r Agora, bata fazer t vc() t Vvr() t VV e RC V e t t t RC O produto RC é denominado contante de tempo. Fazendo-e t =RC na equação de v c (t), obtém-e v () t V V e RC V e V (, 3679), 63 V c RC Ito ignifica que, coniderando nula a condiçõe iniciai, a tenão obre o capacitor atinge 63,% do valor máximo V durante a primeira contante de tempo (t = a t = RC), chegando a ete valor em, aproximadamente, 5 contante de tempo. No cao da tenão obre o reitor, eta decai de forma invera, como ilutrado no gráfico de i(t), v r (t) e v c (t) a eguir, onde e coniderou V=, e R= e C=,5. t (a) (b) Figura.3 - Gráfico de (a) i(t) e (b) v r (t) e v c (t). Ob: Como e aume, na tranformada de Laplace, que a variável tempo é válida de zero a infinito, o termo u(t) é opcional. 4

19 ) Calcular i(t) no circuito RL-RLC da Figura.4 apó a paagem do interruptor para a poição em t=. Coniderar V =V =V, R=5, L=mH, C=mF e i(t) no entido convencional. R C R _ V + i(t) L + _ V Figura.4 - Circuito do exemplo. Poição () - Coniderando que o itema já eteja em repouo (já ocorreu um traniente), o que faz com que apena o reitor eteja influenciando no circuito, pode-e calcular a corrente atual (futuro valor inicial i()). it () 5 (entido convencional) Paando o interruptor para a poição, a equação geral da malha fica endo: di() t 5 i () t i() t dt,, dt Com a aplicação da tranformada, vem I () 5 I (), I( ) ( ) onde i( ) I (), 5, Aplicando o método de fraçõe parciai, chega-e a A B I () e t 479 t it () 75, e 4, 75 e. É intereante obervar, nete exemplo, que, apear do circuito final er do tipo RLC, o memo não ocilou, fornecendo uma corrente compota por dua funçõe exponenciai. O gráfico etá ilutrado na Figura.5. Percebe-e que a corrente inicial (t = ) é -A, como previto. 5

20 Figura.5 - Corrente na malha RLC do circuito dado no exemplo anterior..6 - Funçõe de tranferência de itema lineare Conidere-e um itema linear e invariante no tempo com ua variávei de entrada e de aída no domínio do tempo e da freqüência complexa, como ilutrado na Figura.6. Tai variávei podem er a mai divera, tai como tenão, corrente, força, torque, ângulo, delocamento e outra. É denominada função de tranferência H() a relação Y()/X(). Por exemplo, em circuito elétrico, pode-e coniderar funçõe tai como o ganho de tenão, corrente, trancondutância e tranreitência de amplificadore e a variação da velocidade angular do motor em função do ângulo de giro do potenciômetro (de eixo) de controle. x(t) X() h(t) H() y(t) = x(t) h(t) Y() = X(). H() Figura.6 - Sitema linear e invariante no tempo. Será dada, a partir dete ponto, epecial atenção ao filtro analógico. Por eta razão, no próximo exemplo, erá coniderada como função de tranferência, o ganho (ou atenuação) de tenão, i.e., H()=A v ()=V o ()/V i (). Seguem 6 exemplo. ) No circuito RC da Figura.7, que é um filtro paa-baixa, pode-e aplicar como tenão de entrada, com a chave já fechada, um impulo e tomar-e a tenão obre o capacitor como variável de aída. Deta forma, a função de tranferência é dada por Vo() Vc() H () V () i RC RC RC a a RC 6

21 enquanto que a repectiva repota ao impulo, que é a tranformada invera de H(), é dada por ht () a e at RC e t RC. É poível obter H() aplicando-e qualquer tipo de inal à entrada do circuito, porém o cálculo ficam mai fácei e o impulo for utilizado. A tenão de aída também pode er calculada a partir de um divior de tenão ou de corrente. Deta forma, no circuito em quetão, fazendo Z ()=R e Z ()=/C (coniderando nula a condiçõe iniciai), a tenão de aída é obtida da eguinte maneira. Z() Vo() I () Z () Vi() Z () Z () Iolando-e, agora, a relação V o ()/V i (), vem H () Z() Z () Z () C RC RC R C RC como vito anteriormente. R C Vi() I() C Vo() Vi() I() R Vo() (a) (b) Figura.7 - Filtro RC de primeira ordem tipo (a) paa-baixa e (b) paa-alta. ) No circuito da Figura.7-b, inverteram-e a poiçõe de R e C, que o torna um filtro paa-alta. Tomando-e a tenão obre o reitor como tenão de aída, obtém-e: H () Z() R RC Z () Z () RC R C RC em Para calcular h(t), efetua-e a divião do numerador pelo denominador, que reulta 7

22 H () RC a a RC RC donde vem at ht () () t a e () t RC e t RC. Obervando-e o polinômio do denominador de H() em ambo o exemplo, percebe-e que o memo ão de ordem, o que é cauado pelo fator do capacitor. Por eta razão, ete filtro ão dito de primeira ordem. Além dito, tal polinômio é o memo em ambo o cao. No próximo 4 exemplo, erão analiado o circuito da Figura.8. Trata-e de circuito RLC imple, no quai apena a poição do componente varia. A introdução do indutor provocará o aparecimento de outro fator, elevando o grau do polinômio do denominador para, tratando-e, aim, de filtro de egunda ordem. R L R C Vi() I() C Vo() Vi() I() L Vo() (a) (b) L C R Vi() I() R Vo() Vi() I() L C Vo() (c) (d) Figura.8 - Filtro RLC de egunda ordem tipo (a) paa-baixa, (b) paa-alta, (c) paa-faixa e (d) corta-faixa. 3) No cao do circuito da Figura.8-a, que é um filtro paa-baixa, H() erá dada por 8

23 H () Z() Z () Z () C LC RL LCRC R C L LC Eta equação pode er comparada à equação 6 da tabela de tranformada, que é padronizada e que, apó a mudança do termo n para, paa a er H () É também utilizada uma outra forma, que é H () Q Por comparação, deduz-e que: L L f Q LC LC LC R R C XL R O termo é a freqüência de reonância dada em rad/, enquanto que f é a freqüência de reonância dada em Hz. O termo Q e ão denominado, repectivamente, fator de qualidade e fator de amortecimento. Ete último é utilizado na funçõe de repota ao impulo (ver tabela de tranformada). Ob: Na freqüência de reonância, X L =X C. 4) O circuito da Figura.8-b é um filtro paa-alta e tem H() dada por L LC H () RL LCRC R C L LC 5) O circuito da Figura.8-c, por ua vez, é um filtro paa-faixa, cuja função de tranferência é R R RC H () L RL LCRC R C L LC 6) Por último, o filtro corta-faixa ilutrado na Figura.8-d, tem L H C LC () RL LCRC C LC R L LC 9

24 Como e pode obervar, o denominadore ão iguai. Exercício: Atravé da obtenção de H(), determinar o tipo de filtro de cada um do circuito da figura.9. R C R Vi() R C Vo() Vi() I() L C Vo() (a) (b) L C Vi() I() R Vo() (c) Figura.9 - Filtro de egunda ordem tipo (a) paa-faixa RC-RC, (b) paa-faixa RLC e (c) corta-faixa RLC..7 - Pólo e zero Diz-e que H() tem um pólo no ponto onde eu valor tende a infinito e um zero onde eu valor tende a zero. No cao, do filtro paa-baixa RC etudado anteriormente (ver figura.7), o pólo etá localizado em = -/RC enquanto o zero ocorre quando tende a infinito. Como é uma variável complexa, H() é uma função tridimenional. Na figura., etá ilutrado o módulo de H() completo para a = - e = 3 e também com um corte feito obre o eixo imaginário, onde = j, o qual repreenta a tranformada de Fourier de h(t), ou eja, H(j). Acompanham, ainda, a curva de contorno (vita uperior do H() ), que motram a localização do pólo e também a curva de repota em freqüência para 3 ( H(j) e fae). Tanto o pólo quanto o zero podem er reai, imaginário ou complexo. A poiçõe que ele ocupam no plano, fazem variar o tipo de filtro, ua curva de repota em freqüência e a repota que o memo oferecem ao inal de entrada (impulo, degrau e outro) do ponto de vita do grau de etabilidade, i.e., e ão ou não etávei, tendendo ou não a ocilar, principalmente quando e trata de filtro ativo. A repota ao impulo e ao degrau ão a mai utilizada quando e etuda um itema qualquer como um todo (filtro, ociladore, amplificadore, etc.).

25 (a) (b) (c) (d) Figura. - Detalhe da função de tranferência de um filtro paabaixa RC de ordem. (a) Módulo de H(), (b) vita de H(j), (c) vita da localização do pólo e (d) curva de repota em freqüência. Para que o itema eja realizável (caual), é neceário que o número de zero eja igual ao número de pólo. Ito ignifica que o grau do polinômio do numerador eja, no máximo, igual ao do denominador. Além dio, para que o itema eja etável, é neceário que o pólo etejam localizado, no emi-plano equerdo (SPE) do plano. Se o memo etiverem obre o eixo imaginário (= no itema que envolvem, ao meno, um polinômio de egunda ordem), o itema ocilará e, cao etejam no emiplano direito (SPD), o itema erá totalmente intável. Nete último cao, o circuito paivo não ão realizávei, poi envolvem componente negativo. Pode-e, de qualquer forma, imulá-lo com a ajuda de componente ativo e neceário. Seguem algun exemplo do cálculo do pólo e zero referente ao exemplo dado anteriormente.

26 ) Filtro paa-alta de primeira ordem H () zero em = e pólo em = - ) Filtro paa-baixa de egunda ordem H () LC R L LC Eta função tem: zero quando tende a infinito 4, pólo ( e ) dado por O itema de egunda ordem podem er ubdividido em trê tipo, que ão a) ubamortecido (pólo complexo e aída em forma de enóide amortecida) b) = amortecimento crítico ( =, pólo iguai e reai, tendendo a er complexo) c) obreamortecido (pólo reai com aída definida por exponenciai, não havendo ocilação) O circuito da figura.4, com o valore pré-determinado, forneceu uma corrente i(t) compota por dua funçõe exponenciai, endo, portanto, obreamortecido. Se =, o itema ocilará fornecendo uma enóide pura. Ete é o cao do ociladore propriamente dito (ver exemplo do ocilador ponte de Wien). No cao do filtro RLC, ito ocorre para R =, não havendo, do ponto de vita teórico, perda no itema. No cao do filtro RLC de egunda ordem tipo paa-alta, paa-faixa e corta faixa, variará tão omente a poição do zero, como motrado a eguir. 3) Filtro paa-alta de egunda ordem H () R L LC zero na origem (=) 4) Filtro paa-faixa de egunda ordem

27 H () R L R L LC zero na origem ( = ) zero quando 5) Filtro corta-faixa de egunda ordem H () LC R L LC zero em = j Ob: No doi último exemplo, não pode er igual a zero, poi H() e tornaria nula para o filtro paa-faixa (reitor curto-circuitando a aída) e tenderia a no cao do filtro corta-faixa, uma vez que o zero etariam no memo lugar do pólo, cancelando o efeito do memo..8 - Repota em freqüência Para e obter a repota em freqüência de um itema, bata tomar H() e ubtituir por j. De poe de H(j), que é uma função complexa, calcula-e o repectivo módulo, denominado, aqui, de H() e o ângulo de fae (), ou eja: N () Hj ( ) Hj ( ) ( j) H ( ) D () j a c jb jd onde Nj ( ) Nj ( ) H( ) H( j) Dj ( ) Dj ( ) a b c d e ( ) ( j) Im[ ( )] ( ) Im[ ( )] Im[ ( )] tg Hj N j tg Nj tg Dj Re[ Hj ( )] D( j) Re[ Nj ( )] Re[ Dj ( )] Como exemplo, determine-e a curva de repota em freqüência de um filtro cortafaixa com função de tranferência H(), H() 4 4 Hj ( ) ( j) 4 4 ( j) j 4 4 j Hj ( )

28 H( ) H( j) e ( ) tg 4 O repectivo gráfico e encontram plotado na figura. com ecala lineare. (a) (b) Figura. - Curva de repota em freqüência de um filtro cortafaixa. (a) Ganho H() e (b) fae ()..9 - Repota ao impulo e ao degrau Outra forma de e avaliar o itema é atravé da verificação da ua repota ao impulo h(t) e ao degrau y u (t). Para o filtro paa baixa de egunda ordem, eta equaçõe ão dada por ht () e n en n t t n t e yu () t n t tan en n t t Para o demai tipo de filtro, deve-e determinar a mema atravé da tabela de tranformada e aplicando a propriedade. Para motrar a influência do fator, egue, na figura. a.6, uma érie de ilutraçõe, a quai motram a repota ao impulo h(t) e ao degrau y u (t), onde e utilizou =[,,5,77 ] para o filtro corta-faixa e para o filtro paa-faixa que contém o termo no numerador e =[,5,77 ] para o demai. Para a curva de repota em freqüência H(), motrada em ecala linear, e HdB(), em decibéi, além de (), alterou-e o valor mínimo de para,5 em todo o cao, poi um valor menor que ete cauaria um ganho muito alto, fazendo com que o detalhe da demai curva não pudeem er obervado. Ob: Como o filtro podem er ativo ou paivo 4

29 H () repota ao impulo ( min ) repota ao degrau ( min ) H() ( min 5, ) HdB() ( min 5, ) () ( min 5, ) () ( min 5, ) Figura.- Filtro paa-baixa. 5

30 H () repota ao impulo ( min ) repota ao degrau ( min ) H() ( min 5, ) HdB() ( min 5, ) () ( min 5, ) () ( min 5, ) Figura.3- Filtro paa-alta 6

31 H () repota ao impulo ( min ) repota ao degrau ( min ) H() ( min 5, ) HdB() ( min 5, ) () ( min 5, ) () ( min 5, ) Figura.4- Filtro paa-faixa (tipo ) 7

32 H () repota ao impulo ( min, ) repota ao degrau ( min, ) H() ( min 5, ) HdB() ( min 5, ) () ( min 5, ) () ( min 5, ) Figura.5- Filtro paa-faixa (tipo ) 8

33 H () repota ao impulo ( min 5, ) repota ao degrau ( min 5, ) H()( min 5, ) HdB()( min 5, ) () ( min 5, ) () ( min 5, ) Figura.6- Filtro corta-faixa 9

34 empregou-e a palavra ganho. No cao do paivo, eria mai apropriada a palavra atenuação. Pode-e dizer, finalmente, que a repota ao impulo e ao degrau, acompanhada da repota em freqüência, podem fornecer muito mai dado obre o itema do que uma análie equemática.. - Lugar da raíze (root locu) Como vito anteriormente, bata variar o valor de para alterar totalmente o poicionamento do pólo (lugar da raíze do denominador no plano ) e, por coneqüência, o comportamento de um memo tipo de circuito. Por ua vez, o poicionamento do zero altera o tipo de circuito (tipo de filtro, por exemplo). Com bae no par 7 da tabela de tranformada (filtro paa-faixa com numerador independente de ), pode-e dizer que, e tende a zero, então o itema tende a ocilar com freqüência n, tornando-e intável. Tudo ito erá demontrado, a eguir, atravé da análie do lugar da raíze do polinômio do denominador para um circuito ocilador tipo ponte de Wien. O filtro paa-faixa é dado pelo circuito RC-RC ilutrado na figura.7. Fazendo R = R =R e C = C =C, a função de tranferência é dada por: H () Z () Z () Z () onde Z () R e Z() C R C R C RC Subtituindo e implificando obtém-e H () RC 3 RC RC Da equação acima, já e pode concluir que 3 f 5, RC RC RC RC Para facilitar o cálculo, R e C erão normalizado (R=C=), obtendo-e, portanto, H () 3 3

35 R C Vi() R C Vo() Figura.7 - Filtro paa-faixa RC-RC de ordem. cujo zero etão em = e = e cujo pólo etão obre o eixo real com valore = -,68 e = -,38. Com a idéia báica de que, para e obter um ocilador, deve-e aplicar realimentação poitiva a um amplificador, erá acrecentado um amplificador com ganho variável K interligando a aída do filtro com ua entrada, como ilutra a figura.8, ervindo o filtro como elo de realimentação. R R C C + _ R R R K R Figura.8- Circuito amplificador realimentado atravé de um filtro paa-faixa. Da teoria báica da realimentação, abe-e que a funçõe de tranferência de um itema com realimentação negativa ou poitiva, como o ilutrado na figura.9, ão dada, repectivamente por A () A () G() e G() () A () () A ( Ob: ) O produto ().A() é denominado ganho de malha (GM). ) Se o ganho A() do itema tender a infinito, então G() dependerá tão omente de (). Ito ocorre, por exemplo, no amplificadore, o quai utilizam realimentação negativa para fin de etabilidade. Ete é o cao do amplificadore ilutrado na figura 3

36 .. Como o amplificador operacional tem um ganho teórico infinito (ordem de 7 na prática), o ganho de tenão A v do circuito ó dependem de R e R. X() + _ + A() Y() () Figura.9 - Sitema realimentado. O ganho repectivo do circuito inveror (entrada no terminal - ) e do circuito não inveror, ão dado por A R R v e A R R v R V i + V i R _ V o _ V o + R R (a) (b) Figura. - Amplificador de tenão utilizando amplificador operacional. (a) Circuito inveror e (b) não inveror. Deta forma, com bae em G () (realimentação poitiva), o itema global da figura.8 paará a ter uma função de tranferência dada por K K K G () GM KH() K 3 Agora, para que o itema ocile, erá neceário que o pólo do itema global etejam obre o eixo imaginário. Para calculá-lo, bata fazer -GM= e determinar o valor de K que fará com o polinômio predominante eja do tipo +. Aim, vem 3

37 GM K 3 e, finalmente, ( 3K) donde e oberva que K deve er igual a 3. Em termo prático, tal amplificador pode er obtido atravé de um amplificador operacional não inveror, cujo ganho de tenão é dado por K R Av R Conclui-e, então, que, e R for igual ao dobro de R, K atingirá o valor deejado, vindo o itema a ocilar. Em termo prático, ito é um pouco mai difícil devido ao valore e caracterítica do componente, que podem variar em função da temperatura, faixa de freqüência do amplificador operacional, ajute do reitore R e R e outro fatore. Ante de e analiar um circuito mai prático, erá vita a variação do lugar da raíze em função de K, que é o objetivo principal dete item. Denominando de D() o polinômio determinado em função de K, erão calculada a ua raíze, que ão 3 K 3 K 4 K 3 K, 6 K 5 Na Tabela.3, etão litado o valore de e para K variando de - a 7 enquanto, na figura., é motrado o lugar deta raíze para K variando de,5 a 5,5. Voltando, agora, à análie do ocilador, pode-e dizer, com bae no lugar da raíze, que, e K for menor que 3, o memo não ocilará. Ito ocorrerá para K igual a 3. Porém, fica a pergunta: O que ocorrerá, na prática, e K e tornar maior que 3? Ao fazer K maior que 3, o pólo paarão para o emi-plano direito, o que acarretará numa repota ao impulo com forma enoidal multiplicada por uma exponencial crecente, vindo a amplitude tender a infinito. Porém, em termo prático, a amplitude do inal de aída do ocilador etará limitada pelo valore da fonte de alimentação do operacional. Ito acarretará na aturação do inal. Pode-e ver também, atravé da análie do lugar da raíze, que e o ganho aumentar ainda mai, a freqüência de ocilação do inal já aturado diminuirá, uma vez que o valor imaginário da raíze, diminui, podendo o circuito deixar de ocilar quando a raíze paarem a er reai e poitiva. Na realidade, o que ocorre em termo prático, é que o ganho K correpondente ao circuito da figura.8, é ajutado, atravé de R e R, de forma a er um pouco maior do que 3. Ito acarreta em um pouco de ditorção. Para contornar ete problema, coloca-e um reitor com coeficiente poitivo de temperatura (PTC ou uma pequena lâmpada incandecente de valor compatível) em érie com R, paando-e a ter um R 33

38 equivalente, como motra a figura.(a) ou um reitor com coeficiente negativo de temperatura (NTC) em érie com R. Tabela.3 - Lugar da raíze para - K 7 K K 3 K 6 K 5 K 3 K 6 K 5 Re( ) Im( ) Re( ) Im( ) -, -,679, -3,73, -,5 -,339, -3,86,, -,38, -,68,,5 -,5, -,,, -,, -,,,5 -,75,664 -,75 -,664, -,5,866 -,5 -,866,5 -,5,968 -,5 -,968 3,,,, -, 3,5,5,968,5 -, 968 4,,5,866,5 -,866 4,5,75,664,75 -,664 5,,,,, 5,5,,,5, 6,,68,,38, 6,5 3,86,,339, 7, 3,73,,679, Figura. - Lugar da raíze do polinômio D() ( 3K) para,5 K 5,5. 34

39 Aociaçõe de diodo com reitore ou diodo zener ão também utilizado principalmente para controlar o valor equivalente do reitor R equivalente. Tal tipo de circuito etá ilutrado na figura.(b). No cao do PTC, por exemplo, quando a amplitude do inal de aída e torna exceiva, uma corrente maior circula por R e R e (R equivalente), vindo a equentar o PTC, o que faz aumentar a ua reitência e, por coneqüência, o valor da reitência total de R e. Ito cauará uma diminuição no valor de K, voltando o pólo a ficar bem próximo do eixo imaginário. Deta forma, o ganho K é controlado automaticamente. No cao do diodo, ete conduzem quando a tenão obre o memo ultrapaa a tenão de ruptura invera V z de um do diodo omada ao valor da tenão de ruptura direta do outro, o que diminui a reitência R equivalente e, portanto, o ganho. R R C + _ C + _ R C R R C R V Z R L R (a) (b) Figura. - Ocilador tipo ponte de Wien com (a) ganho controlado por uma lâmpada (PTC) e (b) ganho controlado por diodo zener. Pode-e, atravé dete exemplo, verificar a importância da localização do pólo de um itema, ou eja, do lugar da raíze do polinômio do denominador de ua função de tranferência. Pode-e ver também a importância de ambo o tipo de realimentação em um ó itema. 35

40 3 - TRANSFORMADA DE FOURIER 3. - Introdução O inai podem er dividido em categoria diferente, conforme motra a tabela 3. e, dependendo do tipo de inal, pode-e utilizar a érie ou a tranformada de Fourier para fin de análie epectral. Tabela 3. - Tipo de Sinai Determinítico Periódico Não periódico Aleatório Contínuo e dicreto Tratado analiticamente Periódico (ex: enóide, trem de pulo,...) Não periódico (ex: degrau unitário, impulo,...) Série de Fourier (trigonométrica ou exponencial) Tranformada de Fourier Tratado probabiliticamente 3. - Série de Fourier Utilizada na análie de inai periódico, a Série de Fourier é ubdividida, com bae na teoria do número complexo, em trigonométrica ou exponencial. A primeira fornece um epectro unilateral (ó freqüência poitiva) enquanto a egunda fornece um epectro bilateral (freqüência poitiva e negativa) Série de Fourier trigonométrica (epectro unilateral) Um inal periódico x(t) pode er definido por uma oma de funçõe enoidai e coenoidai, como motrado abaixo. xt () a an co n t bn en n t f n T a T T xt () dt T a n T xt n t ()co dt b n T xt () in n t dt Para inai pare, i.e., quando x(t)=x(-t), a érie pode er reduzida para xt () a an con t n e quando o inal é ímpar, com x(t) = x(-t), a érie pode er reduzida para T 36

41 xt () bn in n t n Ob: Pode ocorrer que o inal eja uma função ímpar omada a um nível médio Série de Fourier exponencial (epectro bilateral) No cao da érie exponencial, que apreenta como grande vantagem o cálculo de apena uma integral, a conideraçõe gerai ão a eguinte: jn t xt () c n e n c n T/ jn t xt dt T e T/ a n j b n j b cn cn a n n c n c n c n c n c n c n c n a n b n Como vito anteriormente, a função exponencial pode er decompota em co + j en. Para funçõe pare, a integral pode er feita excluivamente em função do co-eno enquanto que, para funçõe ímpare, pode er feita em função do eno. Ante de demontrar o cálculo de alguma érie, vale definir a função inc ilutrada na figura 3., que é dada por inc()= x en( x) x para x = para valore inteiro Figura 3. - Função inc(t) 37

42 Seguem algun exemplo: ) Obter a érie trigonométrica da onda quadrada ilutrada na figura 3.. Figura 3. - Onda quadrada de imetria ímpar e ua 7 primeira componente. Conideraçõe iniciai : a) a função é ímpar e o nível médio é nulo, i.e., a =, portanto bata calcular b n o que reulta em: b n T A ennft dt A ennft dt onde A = e f = / nt n t dt en bn n t A n t dt n n en en dt en dt n n bn n n con co(n ) co(n ) b n co( n) n 4 para n, 3, 5,... n bn = para n, 4, 6,... b b b 3 b 4 b 5 b 6 b 7,7,,4,,5,, Fenômeno de Gibb Sempre que ocorre uma variação um tanto abrupta na forma de onda do inal original, aparece uma certa ocilação no inal obtido atravé da érie. Ete é o fenômeno de Gibb. No cao da onda quadrada, por exemplo, à medida que e aumenta o número 38

43 de componente, melhora o apecto da região localizada entre o ponto de tranição, como motra a figura 3.3 ( c a f ), porém, memo que ete número tenda a infinito, o fenômeno de Gibb não deaparece na regiõe próxima ao ponto de tranição. (a) (b) (c) (d) (e) Figura 3.3- Fenômeno de. (a) Componente enoidai para n =, 3, 5 e 7, (b) epectro, (c) harmônica principal, (d) oma da harmônica e 3,. (e) oma da harmônica, 3 e 5 e (f) oma da harmônica, 3, 5 e 7. (f) 39

44 ) Obter o epectro bilateral do trem de pulo retangulare ilutrado na figura 3.4. Figura Trem de pulo (T= e =,5) Conideraçõe iniciai : a) a função é par e, portanto, pode-e calcular c n em função de um co-eno, o que reulta em: c n = A f inc(n f ) equação geral o o c n =,5 inc(n,5) equação para A =, T = e =,5 função eta ilutrada na figura 3.5 Figura Componente epectrai (c n ) do trem de pulo para n 5. 3) Nete exemplo, é demontrada a aplicação da érie de Fourier a um circuito RL, o qual cauará variaçõe de amplitude e fae na componente, filtrando aim o inal de entrada. Para ito, conidere-e um circuito RL tipo érie, onde R= e L=.5H, obre o qual é aplicada um inal v(t) tipo triangular, que é definido por uma érie infinita. Determinar-e-á i(t) e amba a forma de onda, coniderando-e apena a 7 primeira componente ( n variando de a 7). Seja, então, 8 vt ( ) co( t) co( 3t) co( 5t) co( 7t) co( 9t)

45 vt ( ) 8, co( t) co( 3t) co( 5t) co( 7t) A partir da impedância vita pelo gerador, em relação a cada uma da componente de v(t), pode-e determinar cada uma da componente de i(t), omando-a a eguir. Zj ( ) j, 5 onde = 8, 8, i t o () 75, 66, Zj ( ) j 5, 9, 9, i t o (), 5 56, 3 Zj ( 3) j 5,, 3 3, i t o 3(), 68, Zj ( 5) j 5, 6, 3, i t o 4() 4, 74, Zj ( 7) j 35, it ( ) 75, co( t6, 6 o ), 5 co( 3t 56, 3 o ), co( 3t 68, o ), 4 co( 7t 74, o ) Eta funçõe etão ilutrada na figura 3.6, donde e pode verificar que: (a) (b) Figura Forma de onda. (a) Componente enoidai de v(t) e i(t). e (b) forma finai de vi(t) e i(t). a) a corrente i(t) etá atraada em relação à tenão v(t), confirmando que o indutor e opõe a variaçõe de corrente e 4

46 b) a corrente i(t) tem uma forma de onda mai uave, o que implica que, e a tenão de aída for obtida obre o reitor, obter-e á um inal com a mema forma de onda. Nete cao o inal de entrada terá paado por um filtro paa-baixa, enquanto que, e for obtida obre o indutor, terá paado por um filtro paa-alta Teorema de Pareval Um inal periódico tem uma determinada potência enquanto que um inal não periódico tem uma certa energia. No cao de um inal contínuo v(t)=v er aplicado a uma reitência elétrica R, pode-e dizer que a potência diipada obre a reitência é dada por: P V I V V R V R Por ua vez, a potência intantânea de um inal é dada por: vt () vt () pt () vt () i(t) vt () R R Para um inal puramente enoidal do tipo v() t A in( f o t ), A é a tenão de pico e A é a tenão eficaz. A potência eficaz é igual àquela que eria produzida por um inal contínuo de igual valor. Por exemplo, um inal enoidal de V ef, que tem uma tenão V pico = x,44 V p, produzirá uma potência eficaz P ef / R a qual equivale à potência produzida por um inal contínuo de V. A potência de pico erá dada por: P pico (. 44, ) / R. / R P ef Coniderando-e, agora,. um inal periódico, repreentado por uma érie exponencial, que é a oma de divera componente enoidai, e que R= (valor normalizado), pode-e dizer que a potência média do inal é dada por: T j f t P xt t c T () x () dt T x(t) n e dt T n P n c n T j f t xt () e dt cn c n T n T P xt () T dt c n n 4

47 3.5 - Tranformada de Fourier Da mema forma que a Série de Fourier é utilizada na análie de inai periódico, a Tranformada de Fourier é utilizada na análie de inai não periódico. Para que e poa utilizá-la, o inal x(t) deve ter um número finito de decontinuidade entre - e + e atifazer a condição xt () dt. Tai condiçõe ão denominada condiçõe de Dirichlet. A partir dela, chega-e ao par integrai de Fourier, conhecido como par de tranformada, que ão dada por: jft Xf () xt () e dt jft xt () Xf () e df tranformada tranformada invera A tranformada de Fourier paa o inal do domínio do tempo para o domínio da freqüência enquanto que a tranformada invera, ou anti-tranformada, paa o inal do domínio da freqüência para o domínio do tempo. O ímbolo utilizado para a integrai ão: X(f) = F [x(t)] e x(t) = F - [X(f)]. Exemplo: Obter a repectiva tranformada de Fourier da funçõe retângulo, triângulo e impulo epecificada a eguir. ) A função retângulo é definida por t xt () A A para t para Portanto, - Xf () xt () j ft A e e dt j ft dt A in( f ) f Xf () A incf ( ) Eta função etá ilutrada na figura 3.7 para A = e doi valore ditinto de. 43

48 (a) (b) Figura Tranformada de Fourier da função retângulo para (a) A =, = e (b) A =, =,5. ) A função triângulo, por ua vez, é definida por xt () A t t A para t para t A t Xf e j ft A t () e j ft A dt A dt Eta integrai devem er reolvida por parte e io a torna mai difícei. Ete tipo de problema pode er olucionado fazendo-e uo da propriedade, que erão vita no ítem 3.7. O reultado final erá dado por Xf () A inc ( f) Eta função etá ilutrada na figura 3.8 para A = e doi valore ditinto de. Comparando-a com a tranformada da função retângulo, conclui-e que ela, além de er poitiva, amortece rapidamente na alta freqüência. Ito e deve ao fato da função triângulo não ter variaçõe tão abrupta quanto a função retângulo. 44

49 (a) (b) Figura Tranformada de Fourier da função triângulo para (a) A =, = e (b) A =, =,5. 3) A função impulo ou delta de Dirac, já vita no capítulo, pode er definida por t xt ( ) (t) = lim lim A A A A A Xf ( ) ( ) j f e dt ( ) dt t A Comparando o trê exemplo, pode-e tirar mai uma concluão importante, que é: no que diz repeito à variação do epectro em função da largura do pulo, quão mai etreito é o pulo mai epalhado e torna o epectro. Ito é reforçado no cao da função impulo, cujo epectro é unitário para toda a freqüência. A partir do par original de integrai, doi limite podem er levantado. São ele lim xt ( ) x( ) Xf ( ) j f Xf ( ) t e df df lim Xf () X( ) xt () j t xt () f e dt dt 45

50 que etabelecem que a área da função X(f) é igual ao valor da função x(t) na origem e que a área da função x(t) é igual ao valor da função X(f) na origem, não havendo, aim, neceidade de e calcular tai integrai cao e tenha x() e X() Teorema de Energia de Rayleigh No cao do inal er aperiódico, a variável equivalente à potência é a energia e a equação equivalente paa a er: E x() t dt X() f df onde xt () é a energia do inal dada em joule e Xf () é a denidade epectral de energia exprea em joule por hertz Propriedade da tranformada de Fourier e pare de tranformada Como no cao da TL, quando a integrai não ão de fácil reolução, faz-e uo da propriedade e de pare de tranformada já conhecido (ex: ret inc), que etão litada na tabela 3. e.3 repectivamente Convolução Conidere-e um itema linear e invariante no tempo como o ilutrado na figura 3.9, que tem uma repota ao impulo dada por h(t) e ao qual eteja endo aplicado um inal x(t). O inal de aída y(t) erá dado pela convolução de x(t) com h(t). x(t) X(f) X() h(t) H(f) H() y(t) = x(t) h(t) Y(f) = X(f). H(f) Y() = X(). H() Figura Sitema linear e invariante no tempo. A integral de convolução é definida por yt () x () t h(t) x( ) h ( t) d ou yt () h () t x(t) h( ) x ( t) d onde a variável é apena uma variável auxiliar (equivalente a t, por exemplo). Para melhor interpretação, tomando-e a primeira integral vita acima, e olhando-e a eqüência de gráfico da figura 3. atentamente, pode-e dizer que a convolução e 46

51 baeia em quatro operaçõe que devem er efetuada com o inai x(t) e h(t), a quai ão: ) inverter mantendo x() fixa, tomar h() e rebatê-la obre o eixo da ordenada (epelho), tranformando-a em h(-) { h(-) é a imagem de h()}, ) delocar delocar h(-) de - a + { h(t-)}, 3) multiplicar obter a função que repreenta o produto entre x() e h(t-) para cada novo valor de t e 4) integrar calcular a área da função determinada no item (3), integrando-a de - a +. Tabela 3. - Propriedade da Tranformada de Fourier Nome Função no Tempo Tranformada Linearidade axt. ( ) byt. ( ) axf. ( ) byf. ( ) Delocamento no tempo xt ( t ) Xf (). e j ft Mudança de ecala x(.) at a X f a Dualidade Xt () x f Delocamento na freqüência xt e j (). f t Xf ( f ) Modulação xt ().co( f t) Xf ( f) Xf ( f) Diferenciação (no tempo) dx() t j f. X( f) dt Integração t x( ). d j f Xf () ( )() f Multiplicação por t n (diferenciação na freqüência) t n. x( t) Simetria Re al x( t) Im ag x( t) Convolução Multiplicação xt (). yt () Teorema de Pareval x( ). y( t ) d jf n n dxf () n df X( f) X ( f) X( f) X ( f) Xf (). Yf () X( ). Y( f ) d xt (). y () t dt X(). f Y () f df 47

52 Tabela Pare de tranformada Par x(t) X(f) Comentário t A A inc f Cálculo direto A W incwt f Dualidade com o par A W 3 t A A inc f Convolução com o par 4 at e u() t a Cálculo direto a jf 5 at t e u() t a Diferenciação do par4 em relação a a a jf 6 a t e u( t) a a Cálculo direto a f 7 ( t ) Cálculo direto com t= 8 ( f ) Dualidade com o par 7 9 ( t t ) e ft Delocamento e par 7 e jf t f f ) Dualidade com o par 9 cof t Identidade de Euler e par f ff f enf t Identidade de Euler e par f ff f j 3 ut () Integração e par 7 () f jf 4 gn( t ) jf Pare 8 e 3 e uperpoição 5 j gn( f) Dualidade com o par 4 t 6 x( ) j gn( f) X(f) Convolução e par 5 xt ( ) d t 7 ( t nt ) f ( f nf) n n Teorema da amotragem onde f T Como a integral de convolução é de difícil reolução, é comum determinar-e Y() ou Y(f) e, a partir daí, determinar-e a tranformada invera y(t). No cao da tranformada de Fourier, tem-e a vantagem de e aplicar a tranformada rápida, que é um algoritmo epecial para e determinar X(f), H(f) e Y(f) em tempo mínimo, quando comparado a outro. 48

53 x() h() h(-) t= - y()= h(t-) - t= h(t-) y()=,75,75 y(t) t= y()= t= t= t Yf Figura 3. - Convolução de dua funçõe. Segue a demontração da tranformada de Fourier da convolução. () F xt () h() t j ft Yf () x( ) h ( t ) d e dt j ft Yf () x( ) ht ( ) e dt d Yf () x( ) jf H(f) e d j f Yf () H(f) x( ) e d Hf () X() f Da mema forma, 49

54 Y () Lxt () h(t) Y ( ) H( ) Aim, tanto a TL quanto a TF da convolução ão dada pelo produto da tranformada individuai da variávei x(t) e h(t). No cao de haver uma convolução da tranformada, a tranformada invera é dada pelo produto da repectiva tranformada invera individuai, i.e., yt () L - yt () F - X () H () xt () h(t) Xf () H () f xt () h(t) Aplicação da propriedade Para e demontrar a utilidade da propriedade, eguem algun exemplo. ) Determinar X(f) utilizando a propriedade da linearidade e da modulação (convolução do epectro). xt () () t 5 xt () () t 5 t t co(t) co(5t) Xf ( ) 5 inc ( f) ( f5) ( f5) 5 inc( f5) inc( f5) ) Coniderando-e que eja aplicado um impulo à entrada do itema linear e invariante no tempo da figura 3.9, determinar a repectiva repota ao impulo. Sabendo-e que para x(t) = (t), X(f) = e que Y(f) = X(f) H(f), pode-e dizer que. Y(f) = H(f), o que implica que y(t) = h(t). Deta forma, o inal h(t), obtido na aída do itema, é o que e denomina repota ao impulo. 3) Determinar Y(f) para yt () inc ( t ) co( 3t) Produto no tempo convolução em freqüência xt () inc ( t ) A inc(t ) = e A= Atravé do teorema da dualidade, chega-e a Xf () A f f f A A Uando a tabela de tranformada no cao de h(t), vem 5

55 h(t) co( 3t) H(f) f 3 f 3 Como a convolução de uma função com um impulo centrado em determinado ponto apena deloca a mema para o ponto onde o impulo etiver poicionado, i.e., xt ( ) ( t t) xt ( t ) ou Xf ( ) ( ff ) Xf ( f ) obtém-e, finalmente, Y(f) f 3 f 3 como já vito atravé da propriedade da modulação no exemplo (ver inai AM-DSB no ítem 3.). 4) xt () A t onde A = e =,5 Há certo grau de dificuldade na determinação da tranformada de Fourier (TF) da função triângulo. Derivando-a em relação ao tempo, chega-e a dua funçõe retângulo. Obtendo-e a TF deta nova função e aplicando-e a propriedade da integral (integral da derivada de uma função é a própria função), chega-e à TF do triângulo, como demontrado abaixo. yt () dx() t dt A t A t Aplicando a TF do retângulo e a propriedade do delocamento no tempo, obtém-e A A Yf () f j f f j f inc e inc e Yf A inc f e j f j f () e Pela identidade de Euler, en( ) e j e j j Para completar o eno, multiplica-e e divide-e por j. 5

56 Yf incf e j f j f () A e j j Yf () j A inc f en f Chega-e, aim, à TF da derivada da função triângulo. Utilizando-e, agora, a propriedade da integral, vem: Xf () Yf () (f) jf onde Y(f).(f) / = Y() / = Xf () Yf () jf ja jf inc f enf A Xf () inc en f Xf () A inc f Xf () A inc f f f f en f como vito anteriormente. 5) Tranformada da funçõe co-eno e eno Sabendo-e que (a) a TF da função ( t ) é igual a, (b) que co( ft) jft e e j f t en( ) ft e j f t e j f t, j e (c) que, pela propriedade do delocamento em freqüência, xt () e j f t X( f f ), obtém-e: co( ) ft ( ff ) ( f f ) en( ) f t ( f f ) ( f f ) j 5

57 3. - Modulação de inai em amplitude (AM) A propriedade da modulação motra que: xt ( ) co( f t) Xf ( f ) Xf ( f ) xt ( ) en( f t) Xf ( f ) Xf ( f ) j Conidere-e, agora, que e deeja tranmitir (teoricamente, poi, na prática, não exite uma função inc) um inal do tipo xt () A inc(t ) inc ( t). Com A= e =, atravé do teorema da dualidade, chega-e a f Xf () A A = f Multiplicando-e x(t) por uma coenóide, denominada de portadora, com freqüência f =3, obtém-e um inal do tipo AM-DSB/SC (amplitude modulation - double ideband / upreed carrier ou modulação em amplitude com banda lateral dupla e portadora uprimida), o qual não oferece vantagen na prática. Tal inal e eu repectivo epectro (propriedade da modulação) ão dado por: yt () inc ( t ) co( 3t) Y(f) f 3 f 3 Outro tipo de modulação é o AM-DSB (amplitude modulation - double ideband ou modulação em amplitude com banda lateral dupla). O inal é primeiramente multiplicado por uma contante < ma <, que depende da amplitude de x(t) e da portadora, denominada índice de modulação e, poteriormente, acrecida de um nível contínuo igual a. Sua grande vantagem é a facilidade de geração e de recepção. Por io, é utilizada na tranmião de inai na faixa de onda média e curta. Como devantagen, ocupa o dobro da faixa epectral do inal AM-SSB equivalente (ver próximo parágrafo) e conome a maior parte da potência na tranmião da portadora e não da banda laterai, que levam a informação. Para o memo inai dado anteriormente, o inal no tempo e eu repectivo epectro ão dado por: yt () 8,. inc ( t ) co( 3t) Y(f) ( f 3) ( f 3),4 f 3 f 3 O urgimento de outra componente epectrai implica que o itema de modulação não é linear. 53

58 Exitem doi outro tipo de modulação AM. Um dele é o AM-SSB (amplitude modulation - ingle ideband ou modulação em amplitude com banda lateral única). Como ocupa omente a metade da faixa epectral do inal AM comum, ela é utilizada para fin de telefonia (dobra a capacidade de tranmião de canai telefônico para uma mema faixa de tranmião) e de rádio-amadorimo. Neceita-e tranmitir uma pequena amotra da portadora para viabilizar a recepção do inal modulante. O outro, denominado AM-VSB (amplitude modulation - vetigial ideband ou modulação em amplitude com banda lateral vetigial é utilizado para tranmião do inal de imagem de televião. Seguem, na figura 3., o gráfico relativo ao inai AM-DSB/SC e AM-DSB analiado anteriormente. (a) (b) (c) (d) Figura 3. - Sinai modulado em amplitude vito no domínio do tempo e da freqüência. (a) e (b) AM-DSB/SC e (c) e (d) AM- DSB. Analiando-e, epecialmente, o epectro do inal AM-DSB na faixa que vai de a 5 (a ecala pode er coniderada normalizada), pode-e ditinguir a portadora com f =3, além da banda laterai inferior (BLI de a 3) e uperior (BLS de 3 a 4). Em SSB, apena uma dela é tranmitida. No cao de VSB, devido ao fato de e neceitar tranmitir um inal de imagem, que tem uma banda batante larga, incluindo um nível contínuo (f=), o qual correponde ao brilho, e do filtro prático não terem caracterítica de corte próxima do ideal, acaba-e por tranmitir a BLS, que fica deteriorada pela ação de corte do filtro na região localizada próxima da portadora. A ação do filtro também acaba por tranmitir parte da BLI, o que vem a compenar a perda ocorrida na BLS. 54

59 3. - Teoria da amotragem Todo inal que tem uma faixa de freqüência limitada pode er repreentado por amotra tomada em intante dicreto denominado intante de amotragem. Ito permite, por exemplo, que o inai contínuo paem a er digitalizado, i.e, convertido em número que têm um número finito de dígito. Deta forma, o inai podem er proceado por computadore. Tendo como bae a figura 3., egue a demontração matemática do teorema da amotragem. t () ( tnt) n c n jnf t T () t e dt c n T f Sf () f ( fnf) n O inal amotrado x a (t) é obtido multiplicando-e o inal original x(t) (informação ou inal modulante, poi modula o trem de impulo) pelo trem de impulo enquanto que o epectro de x a (t) vem da convolução de X(f) com S(f). x () t x() t () t xnt ( ) ( tnt) a n X () f X() f S () f f X ( f nf ) a n Como pode er obervado atravé do gráfico de X a (f), para que não haja obrepoição epectral (interferência), a freqüência de amotragem deve er igual ou maior que o dobro do valor da freqüência máxima do inal modulante, ou eja, f f max. Ete é o teorema da amotragem. Do ponto de vita prático, adota-e f f max. Por exemplo, em telefonia, para f máx = 3,4kHz, f = 8kHz. Para e recuperar X(f) (parte de X a (f) que etá centrada na origem), bata paar x a (t) por um filtro paa-baixa ideal, com faixa de freqüência de -f max a +f max (f = f max ). Aim, o inal recuperado x r (t), que deverá er igual a x(t), erá x r () t x a () t h () t e X r () f Hf () X a () f O filtro terá uma repota em freqüência H(f) e uma repota ao impulo h(t), que erão dada, repectivamente, por: 55

60 (t+4t) (t) (t) (t-4t) f (f+4f ) T S(f) f (f) f (f-4f ) t f x(t) f x a (t) x(t).(t-4t) T X a (f) X(f-f ).f t f H(f) X a (f) f /f Figura 3. - Amotragem ideal de um inal com epectro limitado. f Hf () f f f T f f max max ht () fmax inc ( fmaxt) inc( ft) f 56

61 Aim, x r (t) e eu repectivo epectro erão dado por f Xr() f T. f X a( f nf) f max n x () t h() t x () t h() t xnt ( ) ( tnt) r a n xr() t inc( ft) xnt ( ). ( tnt) n xr() t xnt ( ) inc f( tnt) n Ito ignifica que, do ponto de vita da amotragem ideal, o inal original é recompoto a partir de uma oma de funçõe inc, centralizada em t = {...-T, -T,, T, T...}, tendo cada uma dela amplitude igual ao valor de x(t) naquele ponto, i.e., {...x(-t), x(-t), x(), x(t), x(t), x(3t)...}. Do ponto de vita prático, o fato do filtro paa-baixa não ter ganho nulo acima de ua freqüência de corte, implicará na recuperação de alguma componente epectrai que etão acima de f /, o que acarretará em ditorção do inal original. Por eta razão, deve o filtro ter uma atenuação adequada e a freqüência de amotragem er uficientemente maior que o dobro de f máx. Além dete tipo de ditorção, aparecerão, entre outra, aquela introduzida pelo proceo de digitalização e precião do filtro digitai. Ito não invalida o uo do proceadore digitai de inai. No exemplo ilutrado na figura 3.4, o epectro do inal original tem uma largura de faixa infinita. Por eta razão, é impoível recuperar o inal x(t) em que haja ditorção do memo, por maior que eja o número de amotra coniderado. Sem dúvida, o aumento do número de amotra acarretará num erro menor. No primeiro cao [(a), (c), (e)], ão coniderada 9 amotra e, no egundo [(b), (d), (f)], tal número é aumentado para9 amotra. 57

62 N=9 N=9 (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura Influência do número de amotra na recuperação de x(t); (a) e (b) inal original e ua amotra, (c) e (d) recuperação do inal como uma oma de inc ; (e) e (f) comparação entre o inal original e o recuperado. 58

63 4 - TRANSFORMADA Z 4. - Introdução Uma vez dominada a teoria da amotragem, pode-e dar início ao proceamento de inai dicreto. Para ito, é de fundamental importância o conhecimento da tranformada z. Como ocorre com a variável na tranformada de Laplace, a variável z também é complexa e forma um plano cujo eixo ão Re(z) e Im(z). Nete capítulo, erão tratado apena algun apecto mai importante. Para maiore detalhe, o leitor deve recorrer à literatura epecializada em proceamento digital de inai (PDS) Definição Para defini-la, conidere-e um inal contínuo x(t) e ua forma amotrada x a (t). A partir da tranformada de Laplace, com bae na propriedade da linearidade e do atrao, obtém-e Xa() xkt ( ) e k kt Fazendo e T = z e ecrevendo X a () = X(z), a tranformada z de x a (t) é dada por Xz () Xa() Xa ln()/ z T xkt ( ) z -kt k Como ão coniderado apena o valore no intante de amotragem, a tranformada z de x a (t) e x(t) ão iguai, ou eja [()] xt [ xa()] t Xz () xkt ( ) z -kt k Eta forma da tranformada z é denominada unilateral e nela ão coniderada apena a amotra atual e a paada, i.e., x(n), x(n-), x(n-)...etc, endo utilizada quando o itema é caual. Outra forma é a bilateral, na qual ão coniderada também a amotra futura x(n+), x(n+)...etc. Nete cao, o itema não é caual e nem realizável e X(z) é dada por Xz () xkt ( ) z -kt k Quando o itema tem uma função de tranferência H(z) em forma de função racional, ou eja, dada pela divião de um polinômio por outro, a raíze do numerador ão o zero e a do denominador ão o pólo, como ocorre com o itema contínuo. Dependendo da localização do pólo no plano z, o itema erá ou não etável. Para e compreender melhor ete aunto, é neceário aber o que é a região de convergência (ROC - region of convergence) de H(z) Região de convergência 59

64 Conidere-e uma érie infinita dada por n S A AA A... n 3 onde A é uma contante. Se o valor aboluto de A for menor que, a érie terá (converge para) um valor finito, podendo er ecrita na forma n 3 S A A A A... para A A n Seguem algun exemplo: n, 5, 5, 5 5,, 65..., 6667 n ( 5. ) ) S n ) S,,, 4, 8, ,, n n 3) S 5, 5, 5, 5, 65, n S 5, j5, 5, j5,, j5, + (-,5 + j,5)..., j, 4) n n n 5) S não converge n Ito ignifica que a região de convergência da érie e encontra dentro de uma circunferência de raio unitário. A tranformada z de uma eqüência de número e ua repectiva ROC poderá diferir dependendo do ponto onde e encontrar a amotra x(), o que poderá tornar a eqüência caual ou não caual. Por exemplo (a eta indica a origem), x () n,, 3, 5, 3, X (z) z z 35 z 3 z x () n,, 3, 5, 3, X (z) z 3 z 5 z 3 z 3 4 Pode-e ver que X (z) tenderá a infinito para z= e z=, o que ignifica ua ROC é todo o plano z, exceto ete ponto. Por ua vez, a ROC de X (z) é todo o plano z, exceto z=. Note-e aqui que x (n) é uma eqüência caual. Deduz-e que não bata calculare a tranformada. É também neceário citar qual é a repectiva ROC. Quando não e 6

65 indica qual é a origem da eqüência, conidera-e a primeira amotra da érie como x(). Seguem mai doi exemplo: n ) xn () u () n endo u() n para n (degrau) n n n n Xz () z z A A z n n n Vê-e que a função X(z) é uma érie infinita e que ó não irá convergir no ponto onde ocorre o pólo, que é calculado a partir de z z z Sabe-e que a érie é infinita e converge omente quando A. Para determinar a ROC, faz-e A - - z z z ROC: z Ob: Fazendo =, obtém-e a tranformada do degrau unitário, a qual tem um pólo em z =, cuja érie não converge. Um itema que tenha ete tipo de repota ao impulo não erá etável. ) xn () () n para n para n,,... X(z) z = ROC: todo o plano z Propriedade e pare de tranformada Como no cao da TL e da TF, faz-e uo de propriedade e pare de tranformada já conhecido no etudo da tranformada z (ver tabela 4. e 4.). Tabela 4. - Propriedade da tranformada z. Nome Função no Tempo Tranformada Linearidade a x( nt) b y( nt) a Xz () b Yz () Delocamento no tempo x( nt kt) Xz () z -k Mudança de ecala a x nt a = r e j ( ) T X z a Diferenciação de X(z) (ou multiplicação por nt) Convolução nt x( nt) k xkt ( ) h( nt kt) Tz dx () z dz Xz () Y () z Valor Inicial x( ) lim x( nt) lim Xz ( ) n z Valor final x( ) lim x( nt) n lim ( z ) X ( z) z 6

66 Tabela 4. - Pare de tranformada Parr x(nt) X(z) ROC ( ) nt z unt ( ) z z 3 nt zt z z 4 a nt z z a T z 5 e z z z e 6 n e a nt at e z 7 at z e en nt en( T) z z co( T) z 8 co nt co( T) z z z co( T) z T en nt r en( T) z T z r co( T) zr co nt T z r co( T) z 9 r nt nt r e a nt nt T T T z r co( T) zr at en e en( T) z at z e co( T) ze co nt z-e -at co( T) z e a nt at z e co( T) ze Ob: Normalmente T é normalizado, i.e., T = Tranformada invera at at (todo o plano z ) z T a -at -at z e z z z r z r T T -at z e -at z e A tranformada invera é definida por uma integral complexa, que inclui um contorno e que, no cao de funçõe racionai (o pólo etão dentro do contorno), pode er determinada utilizando-e o teorema do reíduo de Cauchy ( para maior comprenão, deve-e etudar a teoria de variávei complexa). De acordo com ete teorema, e o contorno de integração etiver dentro da ROC, que, por ua vez, inclui o círculo de raio unitário obre o plano z (em outra palavra, a ROC etá localizada obre e fora do círculo unitário), a érie x(n) erá convergente. Ito quer dizer que, para érie convergente, o pólo de X(z) devem etar localizado dentro do círculo unitário, que é o cao do itema etávei. 6

67 Quando o pólo de X(z) etiverem localizado obre o círculo unitário (ROC localizada dentro e fora do círculo), o itema erão intávei, ma ainda erão realizávei, que é o cao do ociladore (ver o exemplo do degrau unitário demontrado anteriormente). Por último, e o pólo etiverem fora do círculo unitário (ROC localizada dentro do círculo), o itema erá totalmente intável Pode-e, a partir deta conideraçõe, etabelecer alguma relaçõe entre o plano e z, que ão: ) O emi-plano equerdo equivale à região interior do círculo unitário. ) O eixo j equivale ao círculo unitário. 3) O emi-plano direito equivale à região exterior do círculo unitário. Com bae nete princípio, a tranformada invera é definida por xnt ( ) Xz ( ) j z C n dz Para funçõe racionai, ete tipo de integral pode er avaliado atravé da teoria do reíduo de Cauchy. Outro doi método ão a expanão em fraçõe parciai e a inverão por divião (obtenção de uma érie infinita) Método do reíduo (para pólo imple) Seja X (z) uma função racional com o denominador expandido em um produto de fatore do tipo z-p i, onde p i ão o pólo. Então, X () z X() z z n N i Nz () z p i N xnt ( ) Re X ( z) n (itema cauai) i zpi i i Re X ( z ) lim zp X ( z ) zp X ( z zp ) zp i i zpi Seguem algun exemplo: ) Xz () b z ROC: z > b e < b < Como z b, a ROC não inclui o pólo z = b, ma inclui o círculo unitário, poi b, conclui-e que o itema é caual e etável. 63

68 z n X() z X() z z z b z z n z b z Re X ( z) lim z b n n z b zb zb z b z b n Finalmente, como o itema é caual, pode-e ecrever xnt ( ) u(nt) ou b n xn () u(n) ou ainda b n xn () b n para n ) Xz () A z5, z5, ROC: z 5, X () z X() z z n A z n - n z A z z5, z5, z z5, z5, O fato de X (z) pouir um pólo em z = obriga a e calcular o valor de x() independentemente, da eguinte forma: x() Re X () z Re X () z Re X () z z z5, z5, x( ) A z5, z5, z z 5, z z 5, A z z5, z5, A Para n xn () A z n- n- A z z 5, z 5, z5, z5, xn A n n () 8 5, 6 5, Para e obter uma equação genérica para n, faz-e xn A n n (),, u(n ) poi u(n-)= Método da fraçõe parciai Ete método já foi vito para a tranformada de Laplace. 64

69 Seja H(z) uma função racional. Apó determinação do pólo, expande-e H(z)/z em fraçõe parciai, de forma que e poa reconhecer cada um do termo na tabela de tranformada com facilidade. Coniderando Hz () m m- m- A z A z A z A zp zp zp N M Para que todo o coeficiente ejam reai, o zero e pólo complexo devem ocorrer em pare conjugado. Para pólo ditinto e imple, H(z) pode er expandida na forma C Hz () z p C CN z p z p C zp H() z i,, N i i z p i N endo Exemplo: Hz () A z,5 z,5 ROC: z,5 Por conveniência, expande-e H(z)/z em fraçõe parciai. Ito facilita a obtenção da tranformada invera de cada termo. Hz () z C 5, z z 5, z z C onde C H(z) z A z 5, z z 5, z5, C H(z) z A z 5, z z 5, z5, 6 A 8 A Deta forma, obtém-e Hz () z 6 A z z 8 5, z z 5, 8 z 6 z Hz () A A z z z z z 8 z 6 z 5, 5, z 5, z 5, z Como a equação genérica é do tipo z Hz () h(n) b n para b bz z b 65

70 Finalmente, a partir da propriedade do atrao, deduz-e que hn A n n () 8,5 6, 5 Pode-e ver que ete reultado é idêntico ao de x(n), que foi obtido atravé do método do reíduo Método da inverão por divião (long diviion) A partir de uma função H(z) do tipo Hz () - - M -M - - N -N A + A z A z A z + B z B z B z que repreenta um itema caual, efetua-e a divião, obtendo uma érie do tipo - - hn () h() + h() z h() z Ete método apena permite que e tenha uma rápida idéia da tranformada em quetão, não tendo muita utilidade, a não er que ocorra uma divião exata entre o polinômio. Segue um exemplo: Hz () z z,, 75 z 5 75, z 5, z Hz () 75, z 4375, z hn () 75, (n ), 4375 (n ) Convolução dicreta A convolução dicreta, definida pela equação abaixo, permite que e obtenha o inal de aída de um itema linear e invariante no tempo a partir do inal de entrada, batando que e convolua o memo com a repota ao impulo do itema. n yn () xm ( ) h( nm) m Pode er reolvida diretamente, de uma forma mai imple do que a convolução contínua, uma vez que envolve uma omatória e não uma integral, ou atravé da tranformada z, com a aplicação da propriedade da convolução (do produto da tranformada, obtém-e a tranformada invera, que é a convolução). Para er reolvida diretamente, deve-e aplicar a mema regra já vita para a convolução contínua, que ão: ) inverte-e uma da funçõe, no cao h(-m), ) deloca-a obre a outra [h(n-m)] 66

71 3) multiplicam-e a amotra [x(m).h(n-m)] 4) omam-e o repectivo produto. Segue um exemplo de convolução dicreta uando doi método. a) Reolução direta yn () xn () hn () onde x () n 3 e h(n) 3 m x(m) h(n-m) 3 n y(n) h(--m) 3 - h(-m) 3 h(-m) 3 4 h(-m) 3 h(3-m) h(4-m) h(5-m) h(6-m) h(7-m) 3 7 h(8-m) 3 8 b) Convolução atravé da aplicação da tranformada xn () 3 X(z) z 3z z z - - hn () H(z) z 3z yn () xn () h(n) Y(z) Xz () H(z) n Yz ()4 z z 4 z 4 z 8 z 3 z yn ()4(n ) (n ) 4 (n 3) 4(n 4) 8(n 5) 3(n 6) Funçõe de tranferência de itema dicreto A análie de itema lineare dicreto etá centrada no conceito da função de tranferência do itema. Como já vito anteriormente, Yz () Xz () H () z Se x(n) é uma função impulo, então X(z) =, fazendo com que o inal de aída eja a repota ao impulo. O itema poderá reponder ao impulo com um número finito (FIR - finite impule repone) ou infinito (IIR - infinite impule repone) de amotra. Trê conceito erão brevemente tratado a eguir. São ele: (I) funçõe de tranferência de 67

72 itema IIR e FIR, (II) etabilidade do itema em função da localização do pólo no plano z e (III) repota no domínio da freqüência Funçõe de tranferência de itema IIR e FIR Seja uma função de tranferência genérica H(z) dada por Hz () Yz () Xz () M A i= N i= i B z i -i z -i Iolando-e Y(z) e tirando a tranformada invera, vem: M i N Yz () Xz () A z Yz () Bz M i= -i i= yn () A x(ni) B y(ni) N i i i i i -i A egunda omatória, que é coneqüência da omatória no denominador de H(z) (o denominador não é apena igual à unidade), implica em realimentação do itema, ou eja, a amotra atual de y(n) dependerá não ó da amotra referente ao inal de entrada, ma também da amotra paada de y(n). Ito fará com que a aplicação de uma função impulo na entrada venha cauar uma repota de duração infinita. Por outro lado, não havendo o termo B i (o denominador de H(z) é igual à unidade), a repota ao impulo terá duração finita. Em outra palavra, o inal de aída é uma convolução do inal de entrada com h(n), que é contituido apena do termo A i, i.e., M yn () A x(n i) h(i) x(n i) M i i i No doi exemplo eguinte, determina-e a repota ao impulo e a equação genérica de y(n). ) Sitema de repota infinita ao impulo (IIR) Hz () 5, z - Yz () Xz () 5, Y(z) z - yn () xn () 5, y(n ) 68

73 A repota ao impulo pode er obtida, por exemplo, pelo método do reíduo. n n n z n z X() z X() z z z z 5, z z 5, z 5, X () z z n n n z z z 5, z j 5, z j 5, hn () Re H () z Re H () z zj5, zj5, hn () n n z z z j 5, z j 5, zj5, zj5, n n n, j j j,5 j,5 n n e e 5 hn () j j n hn () 5, inn Para e poder comparar o valore de h(n) obtido a partir deta equação com o valore de y(n), quando x(n) é um impulo, erão agora calculado algun dete valore. n x(n) y(n-) y(n-) y(n)=x(n) -,5 y(n-) y(n) h(n) -,5.,, -,5. -,5. -,5 -,5 3 -,5 -,5. 4 -,5 -,5(-,5),65,65 5,65 -,5. 6,65 -,5.,65 -,56 -,56 7 -,56 -,5. 8 -,56 -,5. (-,56),39,39 ) Sitema de repota finita ao impulo (FIR) Hz () z h(n) () n ( n) Como e pode obervar, foi batante fácil a obtenção da repota ao impulo, que tem apena doi termo nete cao. Para e obter a equação do inal de aída, faz-e Yz () Xz () H(z) Xz () Xz () z - 69

74 yn () xn () h(n) xn () () n ( n) xn () xn ( ) Trata-e de um filtro diferenciador (amotra atual - amotra anterior) batante báico, cujo inal de aída é obtido a partir de yn () xn () xn ( ) T onde T= Etabilidade do itema No que diz repeito à etabilidade do itema em função da localização do pólo no plano z, já foi vito que, para que h(n) eja convergente, o pólo do itema devem etar no interior do círculo unitário. Ito ignifica que p i para i=,,..,n para N hn () Re Hz () i zpi p i n- Deve-e realtar aqui que todo o itema FIR ão etávei, poi eu pólo etão empre na origem, como e pode ver no exemplo anterior, onde Hz () z z z pólo: z = zero: z = Repota em freqüência A repota de um itema dicreto no domínio da freqüência, que envolve a variávei magnitude e fae, pode er obtida ubtituindo-e z por e j = e jt, o que ignifica fazer-e uma avaliação de H(z) obre o círculo unitário. No itema contínuo, faz-e a ubtituição de por j e, na paagem para o itema dicreto, o eixo j paa a er o círculo unitário. Aim, Nz Ne jt () He ( ) Hz ( ) z e jt Dz () jt De jt jt jt ze jt jt He ( ) He e onde T= (normalização), j He ( ) M( ) j Ne j j H( ) He e tan j De Im He Re He onde M() repreenta a magnitude e () repreenta a fae. Como demontrado atravé da teoria da amotragem, o epectro de um inal dicreto e repete a cada f, onde f é a freqüência de amotragem. Por eta razão, j j 7

75 bata que a variável auma valore na faixa a, que correponde à faixa a f. Deta forma, a ecala de freqüência poderá er er adaptada, em um gráfico final, por exemplo, para a, a f, a (f é normalizada) ou até memo a 36 o. É também ufuciente que e efetuem o cáculo apena na faixa a. Vale lembrar que a repota obtida para a faixa a equivale à obtida para uma faixa de - a. Para demontrar o cálculo da repota em freqüência de um filtro, toma-e, aqui, um filtro FIR denominado filtro comb (pente), que é repreentado pela equaçõe yn ( ) xn ( ) xn ( N) hn ( ) ( n) ( nn) N Hz ()z z N z N Nota-e que o memo tem N zero obre a circunferência de rauio unitário e N pólo na origem. Calculando H(e j ), vem j jn He ( ) Hz ( ) e e e e z e j j N j N j N He ( j ) en N e N j j He ( ) en N N e Fae( ) = Percebe-e que, em e tratando de um filtro FIR, a fae é linear. Como exemplo, a figura 4. motra H(z), H(z) avaliado obre a circunferência de raio unitário e a repota em freqüência para um filtro comb com N = 4, que é dada por j j He ( ) en 4 = He ( ) en 4 Fae( ) = Ete filtro anula o inal DC e aquele com freqüência f /4 e f /. Seria útil, por exemplo, como um filtro paa-faixa que elimina a freqüência de 6Hz da rede em um inal que eja amotrado com f = 4Hz. Para inai com freqüência bem baixa, ele e comporta como um diferenciador com ganho maior do que o diferenciador báico citado no próximo exemplo. 7

76 (a) (b) (c) Figura 4. - Filtro comb repreentado pela equação yn ( ) xn ( ) xn ( 4 ). (a) H(z), (b) H(e j ) e (c) repota em freqüência. Outro exemplo referente a ete tipo de filtro etá ilutrado na figura 4. para N =. Como já foi vito no ítem 4.7., tal filtro é um diferenciador bem báico que e pode utilizar no proceamento digital de inai. Ito e confirma atravé de ua curva de repota em freqüência, cujo ganho aumenta de forma razoavelmente linear na faixa a f /4, poi, como etabelece a tranformada de Fourier, atravé da propriedade da diferenciação no tempo, dx() t j f. X( f). dt Segue o exemplo. Hz () z z z zero: z = pólo: z = He ( j ) Fae( ) = en (a) (b) (c) Figura 4- - Filtro de repota finita ao impulo. (a) mapeamento de pólo e zero, (b) repota ao impulo e ao degrau e (c) repota em freqüência. 7

77 Para motrar o efeito do memo, ão motrado, na figura 4.3, um inal de ECG (eletrocardiograma) original x(n) e a derivada báica dada por y(n).=.x(n) - x(n-). Pode-e ver que a componente de alta freqüência paam a ter maior amplitude, dando, incluive, detaque à freqüência de 6Hz da rede, que contamina o inal original. (a) (b) (c) (d) Figura Ação de um filtro diferenciador báico com h(n)=(n)-(n-) obre um inal. (a) e (b) Sinal de ECG e eu epectro e (c) e (d) derivada do ECG e eu epectro. O último exemplo trata de um filtro IIR para o qual ão fornecido a função de tranferência, o mapa de pólo e zero, a repota ao impulo e ao degrau unitário e a repota em freqüência ) Hz () z - 5, z z 5, zero: z = z = pólo: z, = j,5 73

78 (a) (b) (c) Figura Filtro de repota infinita ao impulo. (a) mapeamento de pólo e zero, (b) repota ao impulo e ao degrau e (c) repota em freqüência. 74

79 BIBLIOGRAFIA BERLIN, HOWARD M. (977); Deign of Active Filter, Howard W. Sam & Co., Inc., USA. CARLSON, A. BRUCE (98); Sitema de Comunicação, McGraw-Hill do Brail, São Paulo. DeFATTA, DAVID J., LUCAS, JOSEPH G. and HODGKISS, WILLIAM S. (988); Digital Signal Proceing - A Sytem Deign Approach, John Wiley & Son, USA. GHAUSI, M.S. and LAKER, K. R. (98); Modern Filter Deign, Prentice-Hall, Inc., USA. FINK, DONALD G. and CHRISTIANSEN, DONALD (98); Electronic Engineer Handbook, McGraw-Hill, Inc., USA. HAYT JR, WILLIAM H. and KEMMERLY, JACK E. (978); Engineering Circuit Analyi, McGraw-Hill, Inc., USA. HIGGINS, RICHARD J. (983); Electronic with Digital and Analog Integrated Circuit, Prentice-Hall, Inc., USA. JACOB, J. MICHAEL (983); Application and Deign with Analog Integrated Circuit, Reton Publihing Company, Inc. (Prentice-Hall), USA. KAMEN, EDWARD W. and HECK, BONNIE S. (997); Fundamental of Signal and Sytem Uing MATLAB, Prentice-Hall., USA. LANCASTER, DON (975); Active-Filter Cookbook, Howard W. Sam & Co., Inc., USA. MARCON, FELIPE ; FT3D: Software Didático para Enino de Proceamento de Sinai. Diertação de Metrado, Cpgei-Cefet-Pr, Curitiba Pr (). OGATA, KATSUHIKO (98); Engenharia de Controle Moderno, Prentice-Hall do Brail, Rio de Janeiro. OPPENHEIM, ALAN V. and SCHAFER, RONALD W. (975); Digital Signal Proceing,. Prentice-Hall Inc., USA. RABINER, LAWRENCE R. and GOLD, BERNARD (975); Theory and Application of Digital Signal Proceing, Prentice-Hall, Inc., USA STARK, HENRY and TUTEUR, FRANZ B., Modern Electrical Communication - Theory and Sytem, Prentice-Hall, Inc., USA. HAYKIN, SIMON and VAN VEEN, BARRY (); Sinai e Sitema, Bookman Editore STELLE, ÁLVARO L.; Real-time Computer Aided Analiy of the Electroencephalogram: a Two-dimenional Approach, Ph.D. Thei, The City Univerity, London, UK (99). STRUM, ROBERT D. and KIRK, DONALD E. (988); Firt Principle of Dicrete Sytem and Digital Signal Proceing, Addion-Weley Publihing Company, Inc., USA. 75

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