Cap. 8 - Controlador P-I-D

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1 CONTROLADOR ID Metrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Comptadore (MEEC) Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Comptadore (DEEC) CONTROLO º emetre 7/8 Tranparência de apoio à ala teórica Cap. 8 - Controlador -I-D Edardo Morgado Jnho Revito em Novembro 7 Todo o direito reervado Eta nota não podem er ada para fin ditinto daqele para qe foram elaborada (leccionação no Intitto Sperior Técnico) em atorização do ator

2 Controlador roporcional-integral-derivativo (ID) UTILIDADE - Controladore de o freqente, pela a implicidade. - Trê Acçõe ajtávei: roporcional (), Integral (I), Derivativa (D) - Objectivo: i) melhorar o egimento da referência e/o a rejeição de pertrbaçõe ii) melhorar a repota tranitória o etabilidade relativa DEFINIÇÃO e C() Eqação integro-diferencial: O: t (t) K e(t) K I e( τ ) dτ K D de(t) dt t de(t) (t) K e(t) e( τ ) dτ TD TI dt Fnção de tranferência: O: K I C ( ) K K C( ) K TD TI D Trê parâmetro para ajtar d r e T I K G p () p T D n

3 3 ANÁLISE DE CADA UMA DAS ACÇÕES apoiada no root-loc Exemplo: r e C() d G p G p () ( ) ( )( ) n - ACÇÃO ROORCIONAL () (t) K e(t) C ( ) K 6 4 Imag Axi - Kp Real Axi é a lei de controlo mai imple referência para o cao eginte [ Nota: - O diagrama root-loc apreentado repreentam o delocamento do polo da malha fechada qando e varia o ganho proporcional K > - O polo da malha fechada para o valore de parâmetro do ID indicado ão repreentado por - Ver adiante [lide 8] a repota (t) a ecalão nitário na referência r, e a ecalão nitário na pertrbação d ]

4 4 - ACÇÃO INTEGRAL ( I ) (t) K t e( τ ) dτ C( ) K 6 4 I Imag Axi - -4 Kp Real Axi introdz m polo na origem tipo amenta melhora o egimento em regime permanente ma... (em geral) a etabilidade relativa piora no Exemplo o ramo do root-loc inflectem para o SCD e K p > 3 o itema é intável para aociar à acção roporcional

5 5 - CONTROLADOR ROORCIONAL INTEGRAL (I) (t) t K e(t) e( τ ) dτ T I C ( ) K K T I ( ) TI T I : tempo integral (reet time) polo na origem dimini o erro de egimento em regime permanente zero em nete Exemplo,, geralmente colocado próximo do polo em para não T I pertrbar a dinâmica devida ao retante polo e zero 6 4 I Imag Axi - -4 Kp 3 Ti Real Axi - a btitição I melhoro o regime permanente, (tipo tipo ), em alterar ignificativamente o ramo principai do root-loc - no ramo jnto da origem: i) polo adicional da malha fechada aociado a tranitório lento (τ elevado) ii) zero adicional da malha fechada em ( ver repota (t) [lide 8] ) (ver Anti-wind-p [lide 9]) T I

6 6 - CONTROLADOR ROORCIONAL DERIVATIVO (D) (t) K e(t) T D [ ] C ( ) K T D de(t) dt T D : tempo derivativo 6 4 D Imag Axi Kp 3 Td, Real Axi o zero do controlador atrai o ramo do root-loc afatando-o T D do SCD amenta ξ melhoria da etabilidade relativa a acção derivativa de ( t) dt introdz antecipação o inal de controlo (t) depende não ó da intenidade do erro e(t) (acção ), ma também da a rapidez de variação (acção D) ma... a acção Derivativa amplifica a componente de alta freqência do inai (variaçõe brca, rído,...) Referência r(t) tipo ecalão inal de controlo (t) de grande amplitde eforço, regime de fncionamento não-linear ( ver repota (t) [lide 8] ) (ver configraçõe alternativa [lide ] )

7 7 - CONTROLADOR ROORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO (ID) (t) t de(t) K e(t) e( τ ) dτ TD T I dt C( ) K T I T D K ( TITD T T I I ) 6 4 ID Imag Axi Kp 3 Ti Td, Real Axi reúne a acçõe anteriore procra-e melhorar imltâneamente o regime permanente e a dinâmica o zero do controlador podem er reai o complexo ( ver repota (t) [lide 8] )

8 8.5 I r e ID d G p () n Amplitde ID D.5 Kp 3 Ti Td, Time (ec.) Repota (t) a m ecalão nitário na referência r(t) (d, n ) D Amplitde I ID Kp 3 Ti Td, Time (ec.) Repota (t) a m ecalão nitário na pertrbação d(t) (r, n )

9 9 Técnica ANTI -WINDU da acção Integral roblema: Satração (não-linearidade) no actador precedido de acção Integral (Ex: válvla, amplificador electrónico,...) amento do eforço de controlo c (t) > max não redz o erro e(t) atravé da retroacção negativa aída do controlador c (t) crece [pq. i (t) K I e(t) dt crece: wind-p do integrador] até e(t) inverter a polaridade (t) com S% e t (ocilaçõe drávei c/ elevada amplitde) r e K p K I i c min max c G p () Solçõe: i) deligar a acção Integral qando o actador atra: if c > max then K I ii) não-linearidade zona-morta em retroacção negativa em torno da acção integral ( tendente a repor rapidamente a entrada do integrador em zero e condzir c (t) para o domínio linear) e K p K I i c min max c G p () min max c iii) otra olçõe... (ver Bibliografia)

10 OUTRAS CONFIGURAÇÕES do ID i) Configração báica d r e T I K G p () p T D n Diferenciação aplicada ao inal de erro: r(t) fnção ecalão (t)~ implivo (na prática, com elevada amplitde) (notar qe para G p () do exemplo anterior a fnção de tranferência U()/R() vem nãoprópria, i.e., nº zero > nº polo) ii) Configração alternativa : a diferenciação é aplicada ao inal de retroacção da aída (mai lento qe e(t)) d r e T I K G p () p T D n eta configração ocorre na retroacção de velocidade com taqímetro o encoder Amba a configraçõe têm a mema fnção de tranferência da malha aberta (loop gain) e a mema f. t. Y()/D() (r, n), ma diferente U()/R() e Y()/R().

11 iii) Introdção de m polo ajtável no bloco derivativo T D TD T N D Objectivo: Limitação do ganho para a alta freqência Dimini amplitde do eforço de controlo (t) Dimini enibilidade ao rído n(t) Mai realita (nº polo nº zero) - Na realidade etão normalmente envolvido mai polo (e/o zero) do qe o inclído na fnçõe de tranferência do controladore -I-D ideai atrá indicada. Contdo, dede qe o polo e zero da fnçõe de tranferência ideai ejam dominante ea aproximação facilita a análie e o projecto. *** AJUSTE DOS ARÂMETROS DO -I-D: a) - Regra de Ziegler-Nichol ajte empírico in loco (o método empírico mai imple e tradicional) b) - rojecto apoiado no root-loc (para epecificaçõe da repota temporal)

12 AJUSTE DOS ARÂMETROS DO -I-D: Regra de Ziegler-Nichol ( ajte empírico in loco ). Baeiam-e nm enaio experimental e têm como objectivo ma repota tranitória aceitável de compromio entre rapidez e etabilidade relativa. Doi método: I) Método da crva de reacção Mito itema (proceo) apreentam ma repota ao ecalão da forma: (t) roceo A RA/τ Lt d τ t Correponde aproximadamente a: Y ( ) U ( ) t Ae d τ Da crva experimental em malha aberta extraem-e: R e L São gerido valore de parâmetro do ID qe condzem, aproximadamente, a ma repota ao ecalão da malha fechada cjo tranitório decai 5% em amplitde ao longo de m período ( ξ,). Tipo de Controlador roporcional roporcional-integral roporcional-integral-derivativo Valore do parâmetro K p /RL K p,9/rl T I L/,3 K p,/rl T I L T D,5 L

13 3 II) Método da enibilidade última (o do ganho último) O enaio é realizado em malha fechada com o controlador em modo roporcional. Varia-e o ganho K p até alcançar o limiar da intabilidade qando e começam a obervar ocilaçõe de amplitde contante regitar: ganho último K p K e correpondente período da ocilaçõe T. (ão ocilaçõe de ciclo limite, normalmente condicionada pela atração do actador, pelo qe devem medir-e a de menor amplitde) (t) K roceo T Tipo de Controlador roporcional roporcional-integral roporcional-integral-derivativo K p,5 K K p,45 K T I T /, K p,6 K T I T / T D T /8 Valore do parâmetro

14 4 EXEMLO de aplicação do método de Ziegler-Nichol - Ecolhendo o método do ganho último r C() G p () G p ( ) ( )( )( ) Nota: o método de Ziegler-Nichol ão epecialmente indicado qando não é conhecida a fnção de tranferência do proceo G p (), cao em qe K e T eriam obtido experimentalmente. Nete Exemplo vamo determinar aqele parâmetro por cálclo - pelo critério de Roth-Hrwitz: etável e -4 < K < 546 Donde: K 546 polo da malha fechada: -5,3 ± j 6,6 T π/6,6, eg Valore de parâmetro do ID aconelhado: K p,6 K 38 T I T /,5 T D T /8,8 Ete valore nmérico correpondem a m ID com doi zero complexo conjgado em:, -3,9 ± j,5. 4( 3,9 j,5)( 3,9 j,5) C ID ( )

15 5 6 4 Imag Axi Real Axi f.t. malha aberta: 4( 3,9 j,5)( 3,9 ( )( )( ) j,5) Step Repone.4. Amplitde Time (ec.) f.t. malha fechada Y()/R() : e o reltado não for aceitável variar parâmetro em torno do valore aconelhado

16 6 EXEMLO de projecto do controlador ID apoiado no root-loc r C() G p () G p ( ) ( )( )( ) ESECIFICAÇÕES da repota ao ecalão nitário: i) Sobreelevação % ii) tempo de etabelecimento (5%) eg. ii) erro em regime permanente nlo edido : Dimenionar m controlador ID Reolção: A partir da expreõe imple qe relacionam a caracterítica da repota temporal com a localização de polo para itema de ª ordem em zero, dedzem-e o: olo deejado (poto dominante): - 3 ± j 6 Vamo realizar o projecto em da etapa: i) dimenionamento da componente roporcional-derivativa tentando atifazer a epecificaçõe dinâmica; ii) introdção da componente roporcional-integral para atifazer a epecificação de regime permanente

17 7 - Controlador roporcional-derivativo Com controlador D tentemo primeiro atifazer a epecificaçõe dinâmica C D ( ) K( a) - oicionamento do zero do controlador: Im α j 6 α α 4 α α a Re α - j 6 Condição de argmento: α α α3 α 4 ± (k )8 º α 6,6 º a 6, Condição de módlo:... K 6 Reltado: ( ) 6.( 6,) C D A imlação motra: Sobreelevação 3% > % (epecificação)! (o polo projectado não e revelam dominante face ao zero de C(), qe também é zero da fnção de tranferência da malha fechada Y()/R()!) ajte de parâmetro em imlação delocar o zero do controlador para a direita para fechar o ramo do root-loc amentar ξ zero -5 imlação S% %, t (5%) eg C D ( ) 6.( 5)

18 8 Step Repone.4. D Amplitde Time (ec.) f.t. da malha fechada Y()/R(): 3 6( 6,) ( 5) f.t. da malha aberta: 6( 6,) ( )( )( ) 6( 5) ( )( )( ) 5 D 5 Imag Axi Real Axi

19 9 - Controlador roporcional-integral-derivativo ara anlar o erro em regime permanente acção I C ID ( ) K ( a)( b) C D ( b) ( ). olo na origem: oicionamento do otro zero do ID: - b? O zero - b é colocado na vizinhança do polo para qe o rootloc anterior reltante da tilização do D não eja ignificativamente pertrbado (i.e., a dinâmica obtida com o D erá conervada) Seja:, 5 C I ( ) 5 ID 5 Imag Axi Real Axi f.t. da malha aberta: 6( 5)(,5) ( )( )( )

20 Step Repone.4. ID Amplitde.8.6 D Time (ec.) f.t. da malha fechada Y()/R(): 6( 5)(,5) zero: z -,5 ; z - 5 polo: p, -3,7± j 5,3 ; p 3-7,98 ; p 4 -,48 Da imlação: S% %, t (5%) eg atifaz! ( 5)(,5) C ID ( ) 6 Na formlação cláica do ID: C( ) K T I T D K ( TITD T T I I ) aqele valore de parâmetro correpondem a: K p 33, T D,8, T I,