Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Civil Departamento de Estruturas. Solicitações normais Cálculo no estado limite último

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1 Univeridade Etadal de Campina Faldade de Engenaria Civil Departamento de Etrtra Soliitaçõe normai Cállo no etado limite último Nota de ala da diiplina AU414 - Etrtra IV Conreto armado Prof. M. Liz Carlo de Almeida Setembro/2002

2 Soliitaçõe normai Cállo no etado limite último 1 Introdção Diagrama tenão deformação do aço Diagrama araterítio Diagrama de állo Valore araterítio Diagrama tenão deformação do onreto Hipótee de állo Domínio de deformação Reta a Domínio Domínio Domínio Domínio Domínio 4a Domínio Eqação de eqilíbrio e de ompatibilidade Bibliografia

3 Soliitaçõe normai Cállo no etado limite último 1 Introdção O etdo da eçõe de onreto armado tem por finalidade verifiar e ob a ação da oliitaçõe majorada (oliitaçõe de állo) a peça não pera ada m do etado limite, admitindo qe o materiai (onreto e aço) tenam omo reitênia real à reitênia minorada (reitênia de állo). Nete item e etabeleem a bae de állo de eçõe de onreto armado bmetida a oliitaçõe normai no etado limite de deformação plátia exeiva e de rptra. Denominam-e oliitaçõe normai a qe originam tenõe normai na eçõe tranverai do elemento etrtrai. Compreendem, nete ao, força normal e momento fletor, ambo referido ao entro de gravidade da eção tranveral de onreto. Uma eção de onreto armado bmetida a oliitaçõe normai pode atingir o etado limite último da eginte forma: a) Etado de deformação plátia exeiva: na peça bmetida à tração o flexão om qantidade peqena de armadra, admitee qe o etado limite último eja atingido em virtde de deformação plátia exeiva da armadra, jo valor e fixa em 1%. 3

4 b) Etado de rptra: em peça bmetida à flexão imple o flexão ompota om qantidade média o grande de armadra, o etado limite último é atingido por emagamento do onreto omprimido para deformaçõe da ordem de 0,35% e em peça bmetida à ompreão niforme o ompreão não niforme o etado limite último é atingido por emagamento do onreto para deformaçõe da ordem de 0,2%. 2 Diagrama tenão deformação do aço 2.1 Diagrama araterítio Como diagrama araterítio do aço empregado em onreto armado, adotam-e o qe ão apreentado a egir. σ σ f yk f yk 0,35 % 1% 0,35 % 1% f yk f yk Figra 01a Figra 01b Para o aço Clae A, adota-e m diagrama bi-retilíneo formado pela reta de Hooke e m egimento reto paralelo ao eixo da deformaçõe, ja ordenada orreponde à reitênia araterítia, f yk, omo india a Figra 0la. 4

5 Para o aço Clae B, adota-e omo diagrama araterítio obtido experimentalmente e qe ontém a reitênia araterítia, f yk, omo india a Figra 0lb. Para o aço, tanto da Clae A qanto da Clae B, adota-e o módlo de elatiidade igal a: E kgf/m². Para ee aço admite-e m omportamento na ompreão análogo ao na tração. Na parte orrepondente à tração, o alongamento é limitado em 1%, o eja, ao valor qe arateriza o etado limite de deformação plátia exeiva. Na parte orrepondente à ompreão, o enrtamento é limitado em 0,35% porqe o onreto omprimido olidário à armadra ofre rptra om enrtamento não periore a 0,35%. 2.2 Diagrama de állo σ σ f yk f yd f yk f yd 0,35% yd 1% 0,2 % yd 1% f yd f yk f yd f yk Figra 02a Figra 02b Para o aço Clae A, admite-e m diagrama de állo omo o apreentado na Figra 02a, o eja, bi-retilíneo, formado pela reta de Hooke e m egmento reto paralelo ao eixo da 5

6 deformaçõe e ja ordenada orreponde à reitênia de állo f yd f / γ. yk Para o aço Clae B, o diagrama de állo é o qe ontém a reitênia de állo f yd f / γ, obtido por tranlação paralela yk à reta de Hooke do diagrama araterítio, omo e india na Figra 02b. No diagrama de állo da figra 02b e propoto pela NB-l/80, a tenão é definida pela expreõe: para σ 0 < σ < 0.7 f yd : E para 0.7 f yd < σ < f yd : σ E σ f yd não e oniderando para a tenão reitênia de állo f yd. σ valor perior a A tenõe 0,7 f yd e O,7 f yd ão o limite de proporionalidade à tração e à ompreão, repetivamente. 2.3 Valore araterítio O valore da reitênia e deformaçõe de állo para o aço da EB-3 ão o qe, e apreentam na tabela qe e ege. Tai valore foram determinado para γ e E kgf/m2. 6

7 Aço f yk f yd 0.7 f yd 2 ( Kgf / m ) 2 ( Kgf / m ) 2 ( Kgf / m ) yd pd CA CA-50A CA-50B CA-60A CA-60B Diagrama tenão deformação do onreto Conforme a NB-l/80, o diagrama tenão-deformação do onreto à ompreão de állo, é formado de ma parábola do 2º gra qe paa pela origem e vértie no ponto de abia 0,2% e ordenada 0.85 f d e de m egmento reto entre a deformaçõe de 0,2% e 0,35% tangente à parábola e paralelo ao eixo da abia (Figra 03). σ 0.85 f d σ f d 0,2% 0,35% Figra 03 4 Hipótee de állo A ipótee de állo no etado limite último de rptra o de deformação plátia exeiva, no ao de flexão imple o ompota, normal o oblíqa, e de ompreão o tração niforme, 7

8 exlída a viga parede e o onolo rto, ão a eginte: a) Sob a inflênia da oliitaçõe normai, a eçõe tranverai permaneem plana (ipótee de Bernoilli). Como reltado, a deformaçõe da fibra de ma eção ão proporionai à a ditânia à lina netra, o eja, o diagrama de deformaçõe na eção tranveral é retilíneo (Figra 04). x d LN C.G. eixo M N LN A Deformaçõe Figra 04 b) A reitênia à tração do onreto é deprezada. Em virtde da baixa reitênia qe o onreto apreenta qando traionado, na região da eção em qe a oliitação prodz tenõe de tração qe o onreto eteja firado. Dio deorre qe toda a força interna de tração devem er reitida por armadra. ) Admite-e qe aja aderênia perfeita entre a armadra e o onreto adjaente não firado. 8

9 Em vita dio, a deformação na barra da armadra é a mema do onreto qe a envolve. d) O alongamento epeífio máximo permitido na armadra de tração é 1%. Ete limite é adotado onvenionalmente por oniderar-e qe a ee valor orrepondem firação do onreto e deformação da peça exeiva, dando-e por egotada a apaidade reitente. e) O enrtamento de rptra do onreto na eçõe não inteiramente omprimida é de 0,35% e na eçõe inteiramente omprimida, o enrtamento da borda mai omprimida, na oaião da rptra, varia de 0,35% a 0,20%, mantendo-e ontante e igal a 0,20% a deformação a 3/7 da altra total da eção a partir da borda mai omprimida (Figra 05). 0,35% d eixo M N 0,2% 3 7 A Deformaçõe Figra 05 f) A ditribição da tenõe no onreto na eção tranveral e faz de aordo om m diagrama parábola retânglo (Figra 6) baeado no diagrama tenão-deformação adotado para o onreto. 9

10 0,35 % 0,85f d o 0,85f d 0,80fd d x L.N. eixo M 0,2% y N y 0, 8x A Deformaçõe Tenõe no onreto Figra 6 Permite-e a btitição do diagrama por m retânglo de altra y 0,8x, om a eginte tenão: 0,85 f d no ao em qe a largra da eção medida paralelamente alina netra não dimini a partir deta para a borda omprimida; 0,80 f d no ao ontrário. O oefiiente redtor (0,85) da reitênia de állo do onreto onidera a diminição da reitênia do memo por inflênia da deformação lenta (efeito R) aada por açõe de longa dração. g) A tenão na armadra é a orrepondente à deformação determinada de aordo om a ipótee anteriore e obtida do diagrama tenão-deformação do aço orrepondente. 10

11 5 Domínio de deformação A onfigraçõe poívei do diagrama de deformaçõe orrepondente ao etado limite último para ma eção bmetida a oliitaçõe normai gerem a delimitação de regiõe, amada domínio de deformaçõe, onde poderá etar ontido o diagrama de deformaçõe referente a m determinado ao de oliitação normal qando o etado limite último for atingido. Na Figra 07 etão repreentado o domínio de deformaçõe e a reta qe orrepondem ao limite entre ada m dele. alongamento x 0 enrtamento 0.2% 0.35% B d x - 00 reta a A 1% 1 2 yd x d 3 4 x x d 4 a x x y 5 C x +00 retab 3 7 Figra Reta a A reta a orreponde à tração niforme, ao em qe toda a eção é traionada de modo niforme. A deformação na eção é repreentada por ma reta paralela a fae da eção, qe é a origem da deformaçõe. A poição da lina netra é dada por 11

12 x. O etado limite último é atingido por deformação plátia exeiva da armadra endo araterizado por m alongamento de 1%. Dee modo, a reta a paa pelo ponto ª. A eção reitente é ontitída omente pela armadra. 5.2 Domínio 1 O domínio 1 orreponde ao ao de tração não niforme. Toda a eção é traionada, ma de modo não niforme. A lina netra é externa a eção e a reta do diagrama de deformaçõe na eção paa pelo ponto A. Cobre o ampo de profndidade da lina netra dede x > até x 0. 0 etado limite último e araterizado por deformação plátia exeiva da armadra de 1%. A eção reitente é ompota apena pela armadra. 5.3 Domínio 2 Abrange o ao de flexão imple e flexão ompota om grande exentriidade. A lina netra é interna à eção tranveral e obre o ampo de profndidade dede x > 0 até x d. Ete domínio orreponde à itaçõe em qe o etado limite último é atingido pelo alongamento da armadra em 1%. e o enrtamento da fibra mai omprimida de onreto é inferior a 0,35%. A reta do diagrama de deformaçõe na eção paa pelo ponto A. 5.4 Domínio 3 O domínio 3 orreponde à flexão imple e flexão ompota om grande exentriidade. A lina netra é interna à eção e a reta do diagrama de deformaçõe na eção paam pelo ponto B. Abrange o ao em qe o etado limite último é alançado na 12

13 borda omprimida da eção om o enrtamento de 0,35% e o alongamento na armadra etá ompreendido entre 1% e yd,. Cobre o ampo de profndidade da lina netra dede x > até x x. y Eta é a itação deejável para projeto, poi o materiai ão aproveitado de forma eonômia e a rína poderá er aviada pelo apareimento de mita fira motivada pelo eoamento da armadra. A peça de onreto armado neta ondiçõe ão denominada peça b-armada. 5.5 Domínio 4 O domínio 4 abrange o ao de flexão imple e flexão ompota om grande exentriidade. A lina netra é interna à eção e a reta do diagrama de deformaçõe na eção paa pelo ponto B. Refere-e ao ao em qe no etado limite último o enrtamento de 0,35% é alançado na borda omprimida da eção e o alongamento na armadra etá itado entre yd e 0. 0 etado limite último é araterizado pela rptra do onreto omprimido em qe aja eoamento da armadra. Cobre o ampo de profndidade da lina netra dede x > x y até x d. A peça de onreto armado neta ondiçõe ão denominada peça perarmada e devem er evitada tanto qanto poívei. 5.6 Domínio 4a O domínio 4a orreponde à flexão ompota om peqena exentriidade. A armadra ão omprimida e exite omente ma peqena região de onreto traionada próxima a ma da borda da eção. A lina netra é interna a ea, e obre o ampo de profndidade da lina netra dede x > d até x. A reta do diagrama de deformaçõe na eção paa pelo ponto B. O 13

14 etado limite último é araterizado pela rptra do onreto om enrtamento de 0,35% na borda omprimida. 5.7 Domínio 5 0 domínio 5 refere.e à ompreão não niforme, om toda a eção de onreto omprimida. A lina netra é externa à eção e obre o ampo de profndidade da lina netra dede x > até x +.A reta do diagrama de deformaçõe na eção paa pelo ponto C, afatado da borda mai omprimida de 3/7 da altra total da eção e orrepondente a m enrtamento de 0,2%. 0 etado limite último e atingido pela rptra do onreto omprimido om enrtamento na borda mai omprimida itado entre 0,35% e 0,20%, dependendo da poição da lina netra, ma ontante e igal a 0,2% na fibra qe paa pelo ponto C. Reta b A reta b orreponde à ompreão niforme, ao em qe toda a eção é omprimida de modo niforme. A deformação na eção é repreentada por ma reta paralela a fae da eção, qe é a origem da deformaçõe. A poição da lina netra é dada por x +. 0 etado limite último é atingido por rptra do onreto om m enrtamento de 0,2%. A eção reitente é ontitída pelo onreto e pela armadra, endo a deformação neta igal à do onreto, o eja,0,2%. 6 Eqação de eqilíbrio e de ompatibilidade Nete trabalo trata-e omente de eçõe om m eixo de imetria bmetida a oliitaçõe normai qe atam egndo m plano qe ontem ee eixo e om armadra prinipai A e. A 14

15 Conidere-e ma eção de forma qalqer, ma imétria em relação ao plano, de flexão, bmetida a ma força normal m momento fletor N e M, relativo ao entro de gravidade da eção tranveral, e om armadra A e (Figra 08). A d LN A C.G. x y A eixo R R M N z σ LN A R A Tenõe no onreto Deformaçõe Figra 08 A notação empregada, onforme a NB-l/80, é a eginte: N valor último da força normal N; M valor último do momento fletor M; A área da eção tranveral da armadra mai traionada o meno omprimida; A área da eção tranveral da armadra mai omprimida o meno traionada; altra total da eção; d altra útil da eção; d ditânia do entro de gravidade da armadra até a borda mai próxima da eção; x ditânia da lina netra até a borda mai omprimida o meno traionada da eção; 15

16 y ordenada ontada a partir da borda mai omprimida o meno traionada da eção; b y largra da eção na ordenada y; σ tenão de ompreão no onreto; σ y tenão de ompreão no onreto na ordenada y; σ tenão na armadra σ tenão na armadra A ; A ; R reltante da tenõe de ompreão no onreto; R reltante da tenõe na armadra R reltante da tenõe na armadra A ; A ; z ditânia do ponto de apliação da reltante de ompreão no onreto ao entro de gravidade da armadra A. Como a flexo-ompreão ontiti-e na oliitação mai freqüente, onidera-e a força normal om inal poitivo qando for de ompreão e om inal negativo qando for de tração. O momento fletor é oniderado poitivo qando provoar tração na borda inferior da eção. A tenõe interna e a reltante ão oniderada poitiva qando de ompreão e negativa qando de tração. O itema de eforço ontitído por N e M referido ao eixo bariêntrio da eção tranveral de onreto pode er redzido a m itema eqivalente formado pela força normal N apliada om exentriidade e em relação ao entro de gravidade da eção de onreto (Figra 11), onde: e M N 16

17 A exentriidade e de armadra A (Figra 09) vale: N em relação ao entro de gravidade da e d d e+ 2 A N d LN C.G. x y eixo M N > 0 >0 eixo e e>0 e >0 e A A Figra 09 A exentriidade e é oniderada poitiva a partir do entro de gravidade da eção tranveral até a a borda mai omprimida e a exentriidade e é tomada omo poitiva a partir do entro de gravidade da armadra tranveral. A até a borda mai omprimida da eção Coniderando-e a reltante interna omo india a Figra 10 e referindo-e o momento dea reltante ao entro de gravidade da armadra A, a eqaçõe de eqilíbrio no etado limite último ão erita na forma eginte: N N * e R + R R z + R + R ( d d ) 17

18 N N * e 0 b σ y 0 y dy + b σ y y A σ ( d + A σ y) dy + A σ ( d d ) onde o inai do eforço ão oniderado onforme a onvenção adotada. Coniderando-e poitivo o enrtamento e negativo o alongamento a eqação de ompatibilidade da deformaçõe tem a eginte forma: x x d x d Neta eqação: deformação epeifia do onreto na borda mai omprimida (o meno traionada); deformação epeífia na armadra A ; deformação epeifia na armadra A. Com a onvenção apreentada, a eqaçõe de eqilíbrio e de ompatibilidade de deformaçõe ão válida para qalqer domínio de deformaçõe e para qalqer ao de oliitação normal, dede a tração niforme até a ompreão niforme, paando pelo ao intermediário de flexão imple e oliitaçõe ombinada. Nete trabalo a tenõe e deformaçõe erão oniderada em valor abolto. A reltante interna de ompreão e de tração já erão orientada no entido do eforço apliado e o inai orrepondente erão inlído na expreõe de 18

19 állo. O momento M erá oniderado empre poitivo e a força normal N erá poitiva qando de ompreão e negativa qando de tração. 7 Bibliografia 1 - Fernande,G. B., Nota de ala, FEC-Uniamp, Campina, Pfeil,W., Conreto Armado, vol 1, Livro Ténio e Científio Editora Ltda., Rio, Magregor, J. G., Reinfored Conrete Meani and Diign, Prentie_al, In. Upper Saddle River, New Jerey, R., H., Conreto armado e protendido, Editora Camp, Rio,