José Milton de Araújo Escola de Engenharia - FURG - Rio Grande, RS

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1 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.1-13, Otbro, 2009 Dimenionamento à flexão imple e eçõe tranverai e concreto armao com ênfae na ctiliae Deign of reinforce concrete cro ection bject to flexre with emphai in the ctility Joé Milton e Araújo Ecola e Engenharia - FURG - Rio Grane, RS RESUMO: O objetivo ete trabalho é analiar a inflência a profniae relativa a linha netra, aotaa no imenionamento à flexão imple, obre a ctiliae e viga e laje e concreto armao. O trabalho compreene ma ampla revião obre o critério aotao pela principai norma internacionai; a elaboração e m moelo não linear para análie e eçõe e concreto armao ob flexão imple; a verificação a ctiliae obtia no imenionamento; a contatação o avio prévio a rptra atravé o tamanho a abertra a fira. Dee eto, concli-e qe não e eve realizar o imenionamento à flexão imple conierano too o omínio 3, como tem io feito traicionalmente. Para a obtenção e ma rptra úctil e com avio prévio, é neceário limitar a profniae a linha netra, eliminano-e parte o omínio 3. O critério o CEB é gerio como eno o mai aeqao para a realização o imenionamento com rptra úctil. ABSTRACT: The bject of thi work i to analyze the inflence of the relative epth of the netral axi, aopte in the flexre eign, on the ctility of reinforce concrete beam an lab. The work contain a wie reviion on the criteria aopte by the main eign coe; the elaboration of a non-linear moel for analyi of reinforce concrete cro ection ner flexre; the verification of the ctility obtaine in eign; the verification of the warning of rptre throgh the cra opening. Throgh thi ty, it i concle that the flexre eign hol not conier the whole omain 3, a it ha been one traitionally. To obtain ctile failre with warning of rptre, it i neceary to limit the epth of the netral axi, being eliminate a portion of the omain 3. The CEB criterion i ggete a being the mot appropriate for flexre eign with ctile failre. 1. INTRODUÇÃO No imenionamento à flexão imple o compota a eçõe tranverai e concreto armao, aotam-e a eginte hipótee [1]: a eçõe tranverai, inicialmente plana e perpeniclare ao eixo o elemento etrtral, permanecem nea conição apó a eformaçõe o elemento; io implica qe a eformaçõe normai tenham ma variação linear ao longo a altra a eçõe tranverai. amite-e a conição e aerência perfeita entre a barra e aço e o concreto; com io, a eformaçõe normai a armara ão calclaa a partir a mema variação linear empregaa para o concreto. epreza-e totalmente a reitência à tração o concreto; too o eforço e tração, no etao limite último, eve er reitio nicamente pela armara. Além ea hipótee fnamentai, evem er ecolhio o iagrama tenão-eformação para o concreto comprimio e para o aço, bem como o critério e rptra. Para o concreto em compreão, poe-e empregar o iagrama parábola-retânglo repreentao na fig. 1, como gerio na NBR- 6118[2] e emai norma e projeto.

2 2 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.1-13, Otbro, 2009 σ c 0,85f c σ f parábola o 2 o gra (ver ref. [1]) E ε o ε ε c Fig. 1 Diagrama parábola-retânglo para o concreto em compreão Na fig. 1, ε c e σ c repreentam a eformação e a tenão e compreão, repectivamente, e f c é a reitência à compreão e cálclo o concreto, aa por f = γ (1) c f one f é a reitência caracterítica à compreão e γ c é m coeficiente parcial e egrança. Ee coeficiente poe variar conforme a norma e projeto, bem como com a coniçõe e concretagem. De acoro com a NBR-6118, em coniçõe normai e concretagem e para a combinaçõe normai a açõe no etao limite último, eve-e aotar γ c = 1, 4. A eformaçõe ε o e ε inicaa na fig. 1 ão variávei, conforme o valor e f. Entretanto, no projeto etrtral, é al aotar o valore méio ε o = 0,002 e ε = 0, Para o aço, aota-e o iagrama tenãoeformação inicao na fig. 2. Ee iagrama é ao para tração e para compreão. Na fig. 2, ε e σ repreentam a eformação e a tenão na barra e aço, repectivamente. A tenão e ecoamento e cálclo f é aa por f yk c = f γ (2) one f yk é a tenão e ecoamento caracterítica o aço e γ = 1, 15 é o coeficiente parcial e egrança, aotao para a combinaçõe normai e açõe no etao limite último [2]. 1 ε Fig. 2 Diagrama tenão-eformação o aço para concreto armao para projeto A eformação e ecoamento e cálclo, ε, é aa por f ε = (3) E one E é o mólo e elaticiae longitinal o aço. O iagrama a fig. 2 é gerio na principai norma internacionai, não e fazeno itinção entre o aço laminao a qente e o aço encrao a frio. Entretanto, em relação ao valor o mólo e elaticiae o aço, a NBR-6118 ifere e toa a principai norma internacionai, como e oberva na tabela 1. Tabela 1 Valor o mólo e elaticiae o aço egno ivera norma e projeto Norma Ano Ref. E (GPa) NBR CEB/ CEB/ DIN-1045* EC ACI EHE AS BS 8110** Norma qe paaram a aotar o EC2: * btitía por DIN EN :2004 ** btitío por BS EN :2004 Conforme e oberva, toa a norma aotam E = 200 GPa como valor o mólo e elaticiae o aço para concreto armao, exceto ε

3 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.1-13, Otbro, a NBR Ee fato foi alertao pelo Ator em artigo com comentário obre a NBR-6118, qano a mema aina e encontrava na fae e projeto [11]. Não é e conhecimento o Ator qe ee valor E = 210 GPa tenha embaamento experimental qe jtifiqe a ivergência a NBR-6118 em relação a toa a norma internacionai relevante. Ao contrário, acreita-e qe ee valor tenha io eixao na verão e 2003 a NBR por pro eqecimento, o a alteração foi conieraa e menor importância, eno mantio no texto como m valor convencional qe vinha eno aotao ee a NBR-6118 e Seno aim, o Ator tem gerio, em ivera pblicaçõe, qe a NBR-6118 eja alteraa, paano a aotar E = 200 GPa, como fazem a emai norma. Aliá, eve-e obervar qe o conteúo preente na NBR-6118 foram extraío ea norma internacionai, em particlar, o CEB/90[4]. Dee moo, não há jtificativa para e aotar m valor iferente para o mólo e elaticiae o aço. Por io, aota-e nete trabalho o valor E = 200 GPa. Além a hipótee amitia anteriormente, é neceário etabelecer o critério e rptra a eçõe e concreto armao ob flexão imple e compota. Ee critério correpone ao conhecio omínio e imenionamento, aotao na NBR-6118[2], com origem no CEB/78[3]. No cao epecífico a flexão imple, o eqilíbrio ó poe er garantio no omínio 2, 3 e 4, repreentao na fig. 3 (ver ref.[1]). h 10 o / oo ,5 o / oo Fig. 3 Domínio em flexão imple Em fnção o tipo e rptra em flexão imple, a peça e concreto armao ão claificaa como barmaa, normalmente armaa e perarmaa, como na ref. [1]. A peça perarmaa ão aqela qe rompem no omínio 4. Em virte o exceo e armação, o aço não chega a ecoar e a rptra ocorre por emagamento o concreto. A rptra é frágil, brca o em avio prévio. Ea peça evem er evitaa, poi, além e não arem avio prévio a rptra, o aço não é integralmente aproveitao. No projeto e viga, conege-e evitar ee tipo e itação com o emprego e armara pla (ma armara tracionaa e otra comprimia). 2. DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES COM ARMADURA SIMPLES Na fig. 4, repreenta-e ma eção retanglar e concreto armao com armara imple, bmetia ao momento fletor e cálclo M. h M b A linha netra eixo e imetria Fig. 4 Seção retanglar com armara imple Para caracterizar a eção tranveral, é introzia a eginte notação: b = largra a eção; h = altra a eção; = altra útil (é a itância o centroie a armara até a bora comprimia); A = área a eção a armara tracionaa. Como ma alternativa ao iagrama parábolaretânglo ecrito anteriormente, poe-e empregar o iagrama retanglar a fig. 5 para a realização o imenionamento. O emprego ee iagrama retanglar implifica batante a eqaçõe e imenionamento e fornece reltao compatívei com o iagrama parábola-retânglo. Na fig. 5, x repreenta a profniae a linha netra, meia a partir a bora comprimia a eção. Empregano o iagrama retanglar,

4 4 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.1-13, Otbro, 2009 coniera-e qe a eção é comprimia com a tenão contante σ c = 0,85 fc até ma profniae 0,8x. como inicao na fig. 6. Ee proceimento, inclive, foi conervao na ref. [1]. σ c x 0,8x h Fig. 5 Diagrama retanglar para o concreto Conforme já foi alientao, no omínio 4 ocorre ma rptra frágil qe eve er evitaa. A rptra no omínio 2 e 3 é o tipo úctil, o com avio prévio, o qe é empre eejável. Portanto, o imenionamento com armara imple prepõe qe a rptra ocorre no omínio 2 o no omínio 3. Para realizar o imenionamento com armara imple, bata empregar a a eqaçõe e eqilíbrio, como é etalhao na ref. [1]. A eginte eqaçõe finai ão obtia: ( 1 ) ξ = 1,25 1 2μ (4) Fig. 6 Profniae limite a linha netra para garantir ctiliae aeqaa A conição e eformação no limite entre o omínio 3 e 4 é almente enominaa e eformação balanceaa [7]. A profniae a linha netra nea conição balanceaa é aa por x b o 3,5 = oo 3,5 o + ε oo (7) Nete cao, a profniae relativa a linha netra é A σ c = 0,8ξ b (5) f ξ b 3, 5 o = oo 3, 5 o + ε oo (8) one o momento rezio μ é ao por μ M = (6) 2 b σ c A eqação (4) permite obter a profniae relativa a linha netra, ξ = x. Sbtitino ee valor na eqação (5), obtém-e a área e aço A. Ea eqaçõe evem er tilizaa enqanto ξ ξ lim, one ξ lim é m valor limite para a profniae a linha netra capaz e aegrar ma rptra úctil. Drante mito tempo, o imenionamento com armara imple foi feito conierano too o omínio 3, o eja, amitino-e a retrição x x b, one x b repreenta a profniae a linha netra no limite entre o omínio 3 e 4, e ó epene o aço empregao, eno inepenente a reitência à compreão o concreto. Conierano o aço CA-50 e CA-60, f = f yk 1,15 e E = 200 GPa, obtêm-e o eginte valore: ξ = 0,617 para o aço CA-50; b ξ = 0,573 para o aço CA-60. b Aim, nee proceimento traicional, realizae o imenionamento com armara imple empre qe ξ ξb. É importante realtar qe a viga projetaa conierano ξ lim = ξb poem algma ctiliae, já qe o etribo, empre exitente, conferem certo gra e confinamento ao concreto,

5 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.1-13, Otbro, amentano a ctiliae a etrtra. Além io, empre exitem armara e compreão, memo qe ela ejam armara contrtiva, o qe faz com qe a linha netra ba, afatano-e m poco o omínio 4. Entretanto, com o o atal e concreto caa vez mai reitente, torna-e neceário m maior ciao com o tipo e rptra a viga, evenoe impor retriçõe mai evera para a profniae a linha netra. A conição balanceaa, qe fncionava bem como m limite entre rptra úctil e rptra frágil para concreto e baixa reitência, eve er evitaa para o concreto e elevaa reitência tilizao atalmente. 3. DIMENSIONAMENTO COM ÊNFASE NA DUCTILIDADE ESTRUTURAL Conforme erá emontrao ao longo ete trabalho, para e obter ma rptra úctil a peça fletia, como a viga e a laje, é neceário qe a profniae a linha netra ξ eja bem menor qe a profniae balanceaa ξ b, aa na eqação (8). Dee moo, o valor e ξ ) eve er rezio, para qe e x lim (e e lim tenha ma rptra itante o omínio 4, como é inicao na fig. 6. Aim, a parte final o omínio 3 eve er evitaa, para garantir qe o aço tenha ma eformação ignificativamente maior qe a eformação e ecoamento e cálclo ε. A profniae limite a linha netra, ξ lim, varia conforme a norma e projeto, ma há nanimiae em qe ξ lim eve er bem menor qe ξ b. Em geral, o valore atai e ξ lim epenem a reitência à compreão caracterítica o concreto, f, e o coeficiente e reitribição e momento, β, aotao na análie etrtral. O coeficiente β é efinio como a razão entre o momento rezio, tilizao para o imenionamento a eção one e forma a rótla plática, e o momento obtio na análie elática linear (ver volme 2 e [1]). Qano e realiza a análie elática linear em reitribição e momento, β = 1. Aotano-e, por exemplo, m valor e β = 0,90 para a eçõe o apoio interno e ma viga contína, ignifica qe o momento elático nea eçõe erão rezio em 10%. Evientemente, nea análie linear com reitribição e eforço, é neceário fazer a evia correçõe no momento poitivo a eçõe o vão a viga. A egir, apreentam-e o valore e ξ lim aotao atalmente por algma norma e projeto Critério o CEB Segno o CEB/90[4], e for tilizao o recro a reitribição o eforço, é neceário qe a eçõe one e formam a rótla plática (normalmente a eçõe o apoio interno a viga contína) apreentem maior ctiliae. Para ea eçõe, evem-e aotar ξ = 0,8β 0,35, e f 35 MPa (9) lim ξ = 0,8β 0,45, e f > 35 MPa (10) lim one β 1 é o coeficiente e reitribição, como efinio anteriormente. A eqação (10) é recomenaa até m valor e f igal a 60 MPa. O CEB/90 impõe a retrição β 0, 75 para viga contína e pórtico inelocávei, o eja, ó é permitia ma reitribição máxima e 25% o momento negativo obre o apoio interno a viga. No pórtico elocávei, limita-e β 0,90. Se for feita análie linear em reitribição, β = 1. Nete cao, a eqaçõe (9) e (10) fornecem o eginte valore e ξ lim : ξ lim = 0,45, e f 35 MPa (11) ξ lim = 0,35, e f > 35 MPa (12) Oberva-e qe ee valore e ξ lim ão bem menore qe o valore e ξ b aotao anteriormente. Ee memo valore e ξ lim vêm eno gerio pelo CEB, ee a eição e 1978 [3]. Qano é feita a reitribição e eforço, rezino-e o momento negativo obre o apoio a viga contína e amentano-e o momento poitivo no vão, empregam-e a

6 6 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.1-13, Otbro, 2009 eqaçõe (11) e (12) para a eçõe com momento poitivo Critério a NBR-6118 A NBR-6118[2] aoto integralmente a formlação o CEB, aa na eqaçõe (9) e (10), qano for feita reitribição e eforço. Além io, egno a NBR-6118, na regiõe e apoio a viga o e ligaçõe com otro elemento etrtrai, qano não forem feita reitribiçõe e eforço, evem-e aotar o limite ξ lim = 0,50, e f 35 MPa (13) ξ lim = 0,40, e f > 35 MPa (14) Oberva-e qe a NBR-6118 é mai tolerante qe o CEB, no cao em qe não ão feita reitribiçõe e eforço. Por otro lao, ao proceer ea forma, cria-e ma econtiniae na formlação, já qe a eqaçõe (9) e (10) não coinciem com a eqaçõe (13) e (14), qano β = 1. Além io, o texto a NBR-6118 não é claro qanto ao proceimento a er aotao para a eçõe e momento poitivo, itaa no vão a viga. Com io, poe-e bentener qe a norma etá permitino aotar ξ lim = ξb nee cao Critério o EC2 O EC2[6] apreenta o eginte valore para a profniae limite a linha netra: ξ ξ = 0,8β 0,35, e f 50 MPa (15) lim lim 1 = β k ( 0,8 0,432), e f > 50 MPa (16) one k = 0,6 + 0,0014 ε é m coeficiente qe epene a eformação e rptra ε o concreto. Conierano β = 1 e o valor ε = 0, 0030, válio para m concreto com f = 50 MPa, obtêm-e ξ lim = 0,45, e f 50 MPa (17) ξ lim = 0,35, e f > 50 MPa (18) Comparano a eqaçõe (17) e (18) com a eqaçõe (11) e (12), contata-e qe o critério o EC2 é análogo ao critério o CEB/90, exceto em relação ao limite e reitência o concreto. Nete cao, o EC2 tolera m valor maior e ξ lim para concreto a clae C40 a C Critério e otra norma A norma atraliana AS 3600[9] aota a expreão β = 0,70 + 0,75 ξ lim 0,85 (19) inepenentemente o valor e f. Aotano β = 1, relta ξ lim = 0, 40. A norma alemã DIN 1045 e 2001[5] aotava a mema expreõe (17) e (18) para o cao e análie linear em reitribição e eforço. Atalmente, a DIN 1045 e o cóigo britânico BS 8110[10] paaram a aotar o EC2 como a norma eropeia oficial. O ACI[7] limita a taxa e armara em 0,75 e 0,50 a taxa obtia na conição balanceaa, para o cao ai (em reitribição e eforço) e para o cao e reitribição e eforço, repectivamente. Uma vez qe a área e aço é iretamente proporcional à profniae a linha netra (ver eqação (5)), ee critério é eqivalente ao eginte limite para a profniae a linha netra: ξlim = 0, 75ξ b, em reitribição e eforço; ξlim = 0, 50ξ b, com reitribição e eforço. Aotano o valor ξ b = 0, 617, correponente ao aço CA-50, reltam o valore limite: ξ lim = 0,46, em reitribição e eforço; ξ lim = 0,30, com reitribição e eforço. Da análie e toa ea norma e projeto, contata-e qe não e permite mai a realização o imenionamento com armara imple até a fronteira entre o omínio 3 e 4 (conição balanceaa). Para garantir aeqaa ctiliae

7 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.1-13, Otbro, etrtral, epecialmente na viga, é neceário aotar m valor rezio para ξ lim. Ea profniae limite a linha netra varia conforme a norma e projeto, ma ocila entre 0,35 e 0,45, epeneno a reitência à compreão o concreto. 4. ANÁLISE NÃO LINEAR DE SEÇÕES DE CONCRETO ARMADO SOB FLEXÃO SIMPLES h 2 3 x a 4 x b Para fazer ma avaliação a ctiliae e viga e laje, é neceário eterminar a relaçõe momento fletor-crvatra a eçõe e concreto armao. Ea relaçõe evem er eterminaa, conierano-e a não lineariae fíica, ecorrente o comportamento mecânico o materiai e a firação o concreto. Uma vez qe o interee é qanto ao comportamento a etrtra no etao limite último, epreza-e a reitência à tração o concreto. Para o aço, aota-e o iagrama tenãoeformação repreentao na fig. 2. Para o concreto em compreão, aota-e o iagrama parábolaretânglo, repreentao na fig. 1, conierano-e o valor contante ε o = 0, 002. Entretanto, para a eformação final e rptra ε, aotam-e o valore a tabela 2, extraío o CEB/90. Tabela 2 Deformação e rptra o concreto em compreão ε (10-3 ) f (MPa) ε o / oo 4,2 3,7 3,3 3,0 2,8 2,6 2,4 Para valore e f intermeiário, faz-e ma interpolação linear entre o valore a tabela 2. O valor convencional ε = 0, 0035, aotao no imenionamento, correpone a m concreto com f = 35 MPa. Uma vez qe e coniera a eformação e rptra ε variável, evem-e aotar o omínio moificao repreentao na fig o / oo Fig. 7 Domínio moificao para análie não linear em flexão imple A profniae relativa a linha netra ξ a = x a e ξ b = x b, qe elimitam o omínio 2 e 3, ão aa por ε ξ a = ; ε + 0,010 ε ξb = (20) ε + ε como e ez a fig. 7. Então, aa ma profniae a linha netra ξ > 0, e ξ ξa, a rptra ocorre no omínio 2; e ξa < ξ ξb, a rptra ocorre no omínio 3. A poibiliae ξ > não é analiaa, poi e trata ξb e eção perarmaa. Na fig. 8, inicam-e a itribiçõe e eformaçõe no omínio 2 e 3. h 10 o / oo no omínio 2 x -x 2 no omínio 3 Fig. 8 Deformaçõe no omínio 2 e 3 A crvatra última o e rptra, χ, ão igai à tangente o ânglo θ 2 e θ 3, 3 x

8 8 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.1-13, Otbro, 2009 repreentao na fig. 8. A expreõe a crvatra ão a eginte: Domínio 2: ξ ξa 0,010 0,010 χ = = x (21) ( 1 ξ ) Definino a crvatra aimenional κ = 1000χ, obtém-e Domínio 3: ξ < ξ ξ 10 κ = (22) 1 ξ a b ε ε χ = = (23) x ξ 1000ε κ = (24) ξ Logo, poe-e aotar o eginte proceimento para a obtenção a relaçõe momento fletorcrvatra, conierano-e iferente valore e ξ para o imenionamento: ecolhio m valor para ξ, com ξ ξb, emprega-e a eqação (5) para o cálclo a área e aço A a eção (imenionamento); calcla-e a crvatra última χ com o emprego a eqaçõe (21) o (23), conforme o cao; varia-e a crvatra χ ee zero até o valor último χ para a obtenção o momento fletor e cálclo M. A obtenção o momento fletor M, correponente à crvatra χ, reqer o emprego e m proceo iterativo para a eterminação a profniae x a linha netra. A eqação e eqilíbrio e força a eção tranveral com armara imple é aa por one a tenão σ c no concreto é obtia com o iagrama parábola-retânglo, conierano o valore e ε a tabela 2. A integral aa na eqação (25) é efetaa nmericamente, icretizano-e a eção tranveral e concreto em faixa horizontai, como no capítlo 6 o Volme 2 a ref. [1]. A raiz a fnção f ( x) é obtia com o proceo iterativo a biecante, como apreentao na ref.[1]. Drante ee proceo, para caa valor e x (o e ξ = x ) e a crvatra χ, calclam-e a eformaçõe no centro a ivera faixa e concreto. A eformação em ma fibra itaa a ma itância y a bora comprimia a eção é aa por ε c = χ( x y). Com ee valor e ε c, etermina-e a tenão e compreão σ c no centro a faixa e concreto. Dee moo, a integral é repaaa por ma érie finita. O proceo a biecante é empregao para variar a profniae a linha netra até qe a eqação (25) eja atenia, a meno e ma tolerância. Obtia a profniae a linha netra, calclae o momento fletor olicitante M = σ ( y)a (26) A c c one a integração nmérica é feita com o memo algoritmo. Ee proceimento é empregao até a ocorrência a rptra a eção, qano a crvatra é χ = χ. Em vez e plotar o iagrama M χ, poem-e plotar o iagrama aimenionai μ κ, one μ é calclao com o emprego a eqação (6), apó a obtenção e M atravé a eqação (26). A crvatra aimenional é κ = 1000χ. Na fig. 9, apreentam-e a relaçõe μ κ obtia para m concreto com f = 35 MPa e aço CA-50. Caa crva correpone a ma eção retanglar com área e aço calclaa a partir e ξ, com o emprego a eqação (5). ( x) A A f = 0 f = σ c (25) Ac

9 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.1-13, Otbro, Momento rezio =0,617 f = 35 MPa =0,50 =0,45 =0,40 =0,30 =0,20 =0,10 ξ = 0,35 leva a m comportamento úctil, poi o iagrama momento fletor-crvatra exibe m razoável patamar apó o ecoamento a armara. 5. A CAPACIDADE DE ROTAÇÃO PLÁSTICA Na fig. 11, apreenta-e m gráfico momento fletor-crvatra, one e ientificam o ponto e ecoamento a armara tracionaa e o ponto e rptra a eção tranveral Crvatra aimenional Fig. 9 Relaçõe momento-crvatra para concreto com f=35 MPa Da fig. 9 oberva-e qe a conição balanceaa, ξ = 0,617, leva a ma rptra frágil. O imenionamento realizao com ξ = 0, 45 leva a m comportamento úctil, já qe o iagrama momento fletor-crvatra exibe m razoável patamar apó o ecoamento a armara. Na fig. 10 apreentam-e a relaçõe μ κ obtia para m concreto com f = 60 MPa e aço CA-50. Momento rezio Fig. 10 Relaçõe momento crvatra para concreto com f=60 MPa Da fig. 10 oberva-e qe a conição balanceaa, nete cao ξ = 0, 563, leva a ma rptra frágil. O imenionamento realizao com Fig. 11 Relação momento fletor-crvatra em flexão imple O momento e ecoamento e cálclo a eção tranveral é M e a crvatra correponente é χ y. O momento e rptra e cálclo é M e a crvatra e rptra é χ. Conforme e oberva na figra 9 e 10, o iagrama momentocrvatra ão aproximaamente horizontai apó o ecoamento a armara. Em geral, M é inferior a 1,05M, aproximaamente. A crvatra plática χ p é efinia como χ p = χ χ y. Ea crvatra é eterminaa com a análie não linear ecrita anteriormente, batano ientificar o ponto e ecoamento e e rptra a eção tranveral. A crvatra χ p é ma meia inireta a capaciae e rotação plática a eção tranveral. Qanto maior for o valor e χ p, maior erá a capaciae e reitribição e eforço apó o ecoamento a armara. Na fig. 12, apreentam-e o iagrama e momento fletore para ma viga biengataa,

10 10 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.1-13, Otbro, 2009 bmetia a ma carga concentraa no meio o vão. M no rgimento a rótla plática na rptra M M Fig. 12 Reitribição e momento em viga Ao crecer a carga aplicaa obre a viga, há m amento o momento fletore em toa a eçõe tranverai. Inicialmente, o iagrama e momento fletore acompanha o iagrama elático, obtio a partir e ma análie elática linear a viga. Spono qe o ecoamento a armara ocorra primeiramente na eçõe o engate, chega-e ao iagrama e momento repreentao em vermelho na fig. 12. O momento fletor na eçõe o engate é M. Se ea eçõe poem m comportamento úctil, ela ão capaze e ofrer grane eformaçõe, memo qe o momento fletor olicitante na mema ofra acrécimo mito peqeno. Se o momento e rína e cálclo M for igal ao momento e ecoamento a armara M, o momento na eçõe o engate permanecem contante, memo qe ela continem e eformano. Por io, e iz qe rgiram rótla plática na eçõe o engate. Apó o rgimento a rótla plática na eçõe o engate, ocorre ma reitribição o momento fletore para a eção central a viga. Evientemente, é neceário qe a eção central eja capaz e reitir a ee acrécimo e momento. Continano a crecer a carga, a rína erá alcançaa qano o iagrama e momento fletore for aqele repreentao em azl na fig. 12. Toa ea reitribição e eforço epene a capaciae e acomoação plática a eçõe one e formam a rótla plática. Ea capaciae erá tanto maior, qanto maior for a crvatra plática χ p. Se χ p = 0, como ocorre qano o imenionamento é feito para a conição balanceaa, não haverá reitribição e eforço, poi a eçõe o engate ofrem rptra brca. Nete cao, a etrtra não poirá reerva e egrança, memo qe e amente a armara poitiva o vão. Evientemente, ea é ma itação ineejaa, já qe ma a grane vantagen o concreto armao é a faciliae e contrção e etrtra hiperetática qe poam reerva e egrança. Na fig. 13, apreentam-e a variaçõe a crvatra plática aimenional κ p = 1000χ p em fnção a profniae a linha netra ξ aotaa no imenionamento. Fig. 13 Crvatra plática em fnção a profniae a linha netra Oberva-e qe o valore ξ = 0, 45 e ξ = 0, 35 fornecem, aproximaamente, o memo valor e κ p para concreto com f = 35 MPa e f = 60 MPa. Logo, a eçõe imenionaa com ee valore limite e profniae a linha netra apreentarão a mema capaciae e acomoação plática. Concli-e qe o valore ξ lim = 0, 45, para f 35 MPa, e ξ lim = 0, 35, para f > 35 MPa,

11 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.1-13, Otbro, aotao pelo CEB/90, ão ficiente para garantir ma rptra úctil em toa a faixa e reitência conieraa. 6. O AVISO PRÉVIO DA RUPTURA Em geral, ma etrtra e concreto armao emite m avio prévio a rptra atravé e ma firação acentaa. Ao e contatar o rgimento e fira com abertra viívei a olho n, com abertra crecente, evem-e provienciar o ecoramento e o reparo a etrtra. Ee é o tipo ieal e rptra qe e procra obter para a peça fletia, como a laje e a viga. Na fig. 14, apreenta-e o panorama e firação e ma viga ob flexão pra, apó o rgimento a rótla plática na eção crítica. Oberva-e qe a fira ão, aproximaamente, perpeniclare ao eixo a viga, evio à aência e eforço cortante. Fig. 14 Fira e flexão (extraío e [12]) Na fig. 15, apreenta-e o panorama e firação e ma viga em ma região com eforço cortante não nlo. Oberva-e qe, nete cao, a fira ão inclinaa. Nete trabalho, emprega-e o moelo o CEB/90[4] para etimar a abertra a fira em flexão imple, no intante a rptra a peça. Para ito, é neceário eterminar a eformação ε e a tenão σ na armara tracionaa, correponente à crvatra e rína χ. Ito é feito atravé a análie não linear apreentaa na eção 4. Conforme e oberva pela fig. 8, a eformação na armara no momento a rína é aa por ( x) ε = χ (27) one x é a profniae a linha netra obtia iterativamente com o proceo a biecante. A partir e ε, etermina-e a tenão σ na armara tracionaa. Aim, ecolheno m valor para ξ, calcla-e a área e aço A com o emprego a eqação (5), realiza-e a análie não linear apreentaa na eção 4 e, ao final ea análie, tem-e eterminao ε e σ. O CEB/90 apreenta a expreõe para a abertra a fira w k, epeneno a relação entre a tenão σ e ma tenão e referência σ o. O etalhe a formlação poe er obtio no Volme 2 a ref. [1]. A tenão σ é aa por σ o o 1+ nρ = ρe e f ct (28) one n é a relação entre o mólo e elaticiae o aço e o mólo ecante o concreto, f ct é a reitência méia à tração o concreto e ρ e é a taxa efetiva a armara tracionaa. A taxa efetiva ρ e é aa por ρ e = A Ace, eno A ce ma área efetiva qe epene a profniae x a linha netra. Nea eterminação, coniera-e o valor e x obtio na análie não linear, no intante a rptra a eção tranveral. Fig. 15 Fira e cialhamento (extraío e [12])

12 12 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.1-13, Otbro, 2009 Se σ < σ, tem-e wk φ o σ = 2τ bm 1 1+ nρ e ( ε ε ) m cm (29) one foi econieraa a inflência a retração o concreto. Se σ σ, a abertra a fira é aa por w k o 1 = φ 3, 6 ρ e ( ε ε ) m cm (30) Na expreõe (29) e (30), φ repreenta o iâmetro a barra a armara. O emai termo poem er obtio em [1,4]. O termo ε ε é ao por m cm fct ε m ε cm = ε β ( 1 + nρe ) (31) ρ E Oberva-e qe, na eqação (31), não foi empregaa a relação linear ε = σ E como no Volme 2 a ref. [1], poi ea relação não é vália na rptra. Logo, o termo ε m ε cm eve er calclao conierano-e a eformação ε na armara, obtia atravé a análie não linear. Na fig. 16, apreentam-e a variaçõe e w k φ em fnção e f, para trê valore e ξ aotao no imenionamento a eção tranveral. Abertra a fira na rptra (wk/ ) =0,50 =0,45 =0,35 e é o valor aotao no imenionamento w K / = Reitência o concreto f (MPa) Fig. 16 Abertra a fira na rptra em fnção e f e e ξ Como e oberva na fig. 16, a abertra a fira, no momento a rptra, imini com o amento a reitência à compreão o concreto, bem como com o amento o valor e ξ aotao no imenionamento. Aim, para qe e tenham fira com abertra viívei, intante ante a rptra, é neceário rezir o valor e ξ aotao no imenionamento. Ee valor limite a profniae a linha netra eve er fnção e f. Conierano ma abertra e fira w = 0,015φ, obtém-e f 35 MPa, para k ξ = 0,45. Ee memo valor e w k é obtio para m concreto com f 60 MPa, qano é aotao ξ = 0,35 no imenionamento a armara. Amitino qe a barra e aço tenham m iâmetro φ = 20 mm, a abertra e fira w k = 0,015φ correpone a wk = 0, 3mm. Ea abertra e fira é perfeitamente viível a olho n, o qe permite qe e tenha m avio prévio a rptra. Na fig. 17, apreenta-e ma imagem e ma fira com abertra e 0,2 mm, extraía e [13]. Oberva-e qe a fira poe er vita com nitiez. Fig. 17 Abertra e fira e 0,2 mm em peça e concreto Como e oberva, o valore e lim ξ recomenao pelo CEB garantem qe a fira apreentem abertra bem viívei na proximiae a rptra. Ee comportamento é empre eejável, poi ele inica o avio prévio a rína.

13 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.1-13, Otbro, CONCLUSÕES Nete trabalho foi feita ma análie a ctiliae etrtral obtia no projeto e peça e concreto armao ob flexão imple, como a laje e a viga. A ctiliae foi relacionaa com a capaciae e acomoação plática a etrtra e com o avio prévio a rptra, caracterizao por ma firação exceiva. O reltao obtio motraram qe a ctiliae imini com o amento a reitência caracterítica à compreão o concreto. Ela também imini com o amento a profniae a linha netra aotaa no imenionamento à flexão imple. Em relação a ee último apecto, fica claro qe, para e obter m comportamento úctil em flexão imple, não e poe imenionar a eçõe conierano too o omínio 3. A conição balanceaa, no limite entre o omínio 2 e 3, fornece ma rptra frágil e eve er evitaa. Dee moo, recomena-e qe o imenionamento eja feito empregano-e o critério o CEB. Para ito, aotam-e o valore e ξ lim ao na eqaçõe (9) a (12). Com o valor e ξ lim, calcla-e o momento limite μ lim, como na ref. [1], para aber e o imenionamento erá feito com armara imple o com armara pla. Ea alteraçõe já foram introzia na egna eição o livro Projeto Etrtral e Eifício e Concreto Armao[14], lançaa recentemente. Ela também erão introzia na próxima eição e Cro e Concreto Armao [1]. REFERÊNCIAS 1. ARAÚJO, J. M. Cro e Concreto Armao. v.1. Rio Grane: Eitora Dna, 2. e., 2003 (obra completa em 4 volme). 2. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR-6118: Projeto e Etrtra e Concreto. Rio e Janeiro, COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Coe-moéle CEB/FIP por le Strctre en Béton. Blletin Information 124/125, Pari, COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. CEB-FIP Moel Coe Pblihe by Thoma Telfor, Lonon, DIN Detche Intitt für Normng e. V. DIN : Plain, reinforce an pretree concrete trctre. Part 1: Deign an contrction. Berlin, Germany, Jly, EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION. Erocoe 2: Deign of Concrete Strctre Part 1-1: General rle an rle for biling. Dec., AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Biling Coe Reqirement for Strctral Concrete (ACI ) an Commentary (ACI 318R-95). Detroit, COMISIÓN PERMANENTE DEL HORMIGÓN. Intrcción e Hormigón Etrctral, EHE. Mari, STANDARDS AUSTRALIA COMMITTEE BD-002. AS 3600: Atralian Stanar Concrete Strctre. Draft verion BRITISH STANDARDS INSTITUTION. BS : Strctral e of concrete. Coe of practice for eign an contrction ARAÚJO, J. M. Algma conieraçõe obre o projeto a nova NBR Revita Engenharia, Ciência e Tecnologia, Vitória: UFES, v.5, n.1, p.3-10, Diponível em: < 12. COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Selecte Jtification Note. Blletin Information n.217, Laanne, UDESC JOINVILLE. Departamento e Engenharia Civil, Laboratório e Etrtra. Experiência. Diponível em: < ento/ec/labet/experiencia.php>. Aceo em 06/07/ ARAÚJO, J. M. Projeto Etrtral e Eifício e Concreto Armao. Rio Grane: Eitora Dna, 2. e., Jlho, 2009.