FLEXÃO NORMAL SIMPLES Dimensionamento de Seções Retangulares

Transcrição

1 CAPÍTULO 3 Volume 1 FLEXÃO NORMAL SIMPLES Dimenionamento e Seçõe Retangulare Pro. Joé Milton e Araújo - FURG Hipótee báica o imenionamento Hipótee a eçõe plana Aerência pereita Depreza-e a reitência à tração o concreto 3. - Diagrama tenão-eormação o materiai σ c Concreto σ Aço 0,85 parábola 1 E ε o ε u ε c ε ε E00GPa 0000kN/cm Pro. Joé Milton e Araújo - FURG

2 Diagrama parábola-retângulo n ε σ c c 0,85 1 1, e εc εo εo σ c 0,85, e εo εc εu σ c 0, e ε c > εu Móulo tangente na origem: E c, par erivano 0,85n ε o Parâmetro o iagrama parábola-retângulo (MPa) ε o ( o oo ),0,,3,4,5,6 ε u ( o oo ) 3,5 3,1,9,7,6,6 n,0 1,75 1,6 1,45 1,4 1,4 Parábola o eguno grau Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 3 Equaçõe o parâmetro o iagrama: o ( o oo), 0 MPa ( o ),0 + 0,085( 50) 0, 53 ε, e 50 ε, e > 50 MPa o u oo ( o ) 3, 5 oo ε, e 50 MPa ( o ) 90 ε u oo,6 + 35, e > 50 MPa 100 n,0, e 50 MPa 90 n 1,4 + 3,4, e > 50 MPa Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 4

3 60 3 Tenão σ c (MPa) MPa 60 MPa 50 MPa 30 MPa Móulo tangente E c,par (GPa) Grupo I Grupo II Deormação ε c (por mil) Reitência (MPa) Incoerência: o móulo iminui com o crecimento a reitência para >50 MPa. Por io, ee iagrama não erve para calcular eormaçõe (imenionamento e pilare ebelto, por exemplo). Ele ó erve para o imenionamento e eçõe tranverai. Pro. Joé Milton e Araújo - FURG Domínio e imenionamento Reta a: tração imple. Reta b: compreão imple Flexo-tração: omínio 1,, 3 e 4. Flexo-compreão: omínio, 3, 4, 4a e 5. Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 6

4 R cc M Z Equilíbrio em lexão imple R Domínio e imenionamento na lexão imple Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 7 Peça ubarmaa: rompem no omínio. A ruptura ocorre por eormação exceiva a armaura (ruptura convencional) em haver o emagamento o concreto. A ruptura é úctil ou com avio prévio (intena iuração). Peça normalmente armaa: a ruptura ocorre no omínio 3, com emagamento o concreto e com ecoamento a armaura. O tipo e ruptura é emelhante ao a peça ubarmaa. Peça uperarmaa: a ruptura ocorre no omínio 4. O aço não ecoa e a ruptura ocorre por emagamento o concreto. A ruptura é rágil, bruca ou em avio prévio. Ea peça evem er evitaa (com o emprego e armaura upla). Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 8

5 3.4 - Diagrama retangular para o concreto x x h σ α c Deormaçõe α 0,85, e 50 MPa c ( 50) Se a largura iminuir, multiplicar Ditribuição a tenõe no concreto α c 0,85 1, e > 50 MPa 00 λ 0,8, e 50 MPa ( 50) α c λ 0,8, e > 50 MPa 400 por 0,9 (eção circular). (eçõe retangulare em lexão normal, por exemplo); Pro. Joé Milton e Araújo - FURG Momento ite para eçõe retangulare com armaura imple b largura h M A linha neutra h altura altura útil b A área a eção a armaura tracionaa Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 10

6 Dimenionamento com ênae na uctiliae u b região que eve er evitaa o oo Devem-e conierar apena o omínio e parte o omínio 3. A porção inal o omínio 3 eve er evitaa, para garantir que o aço entre em ecoamento com certa olga. Com ee proceimento, garante-e que a etrutura apreentará avio a ruptura, atravé e grane abertura a iura. O imenionamento eve er eito impono a conição x<x. Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 11 A) Análie linear em reitribuição e momento Ee é o proceimento uual e projeto: o eorço olicitante para imenionamento ão obtio atravé e uma análie elática linear. Critério o CEB/90: A prouniae relativa a linha neutra, itaa ao valore ξ x, eve er ξ 0,45, e 35 MPa (3.5.1) ξ 0,35, e > 35 MPa (3.5.) NBR-6118: aota ee memo valore e ξ, porém com a ierenciação em 50 MPa (critério meno rigoroo). Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 1

7 B) Análie linear com reitribuição e eorço Nete cao, o momento negativo no apoio interno a viga contínua ão reuzio para acilitar a armação. Se o momento negativo elático é M, poe-e azer a reução para βm, one β<1. É neceário corrigir too o iagrama e momento letore, eorço cortante e reaçõe e apoio (reitribuiçõe e eorço). Para a eçõe o apoio interno, evem-e conierar o ite abaixo. Critério o CEB/90: ξ 0,8β 0,35, e 35 MPa (3.5.3) ξ 0,8β 0,45, e > 35 MPa (3.5.4) O CEB impõe a retrição β 0, 75 para a viga contínua. Se β1, obtêm-e a equaçõe anteriore. Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 13 Tenõe na eção tranveral cc Momento olicitante e reultante a tenõe Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 14

8 R M cc λbx σ Z 0, 5λx M Rcc Z λbx ( 0, 5λx ) σ M μ b σ μ λξ ( 0, 5λξ ) Tabela Valore e ξ e μ (para análie linear em reitribuição e eorço) Grupo I 35 MPa 35 < 50 MPa ξ 0,45 0,35 μ 0,95 0,408 Grupo II C55 C60 C70 C80 C90 ξ 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 μ 0,376 0,344 0,80 0,15 0,149 Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 15 PROCEDIMENTO: ao o momento letor olicitante M, calcula-e μ b M σ μ e imple; μ, realiza-e o imenionamento com armaura e μ > μ, aota-e armaura upla, ixano-e que xx. Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 16

9 3.6 - Dimenionamento com armaura imple M h A b Seção tranveral com armaura imple R cc λbxσ ; Z 0,5λx ; R A Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 17 Equilíbrio e momento: M RccZ 0 M λ bx( 0,5λx) σ 0 M μ ; ξ x μ ξ (1) b σ λ Equilíbrio e orça: R R cc A λbxσ Subtituino x ξ σ A λξ b () A equaçõe (1) e () permitem reolver o problema. A olução é única: há ua equaçõe e ua incógnita. Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 18

10 3.7 - Dimenionamento com armaura upla ' Quano μ > μ : h A' A Trê incógnita: x, A e A. Dua equaçõe e equilíbrio. b Solução uual: ixamo x x. Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 19 Deormaçõe e reultante a tenõe na eção: a u cc o oo x a x a ε u ξ a x a ε u ε u Final o omínio Só conieramo o cao x >x a. Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 0

11 O imenionamento com armaura upla omente erá conierao para o cao em que ξ ξa. Se or utilizao o recuro a reitribuição e momento, poe ocorrer que ξ < ξa, epeneno o valor aotao para o coeiciente e reitribuição β. Nee cao, é recomenável aumentar a imenõe a eção tranveral, evitano-e o uo e armaura upla no omínio. Oberva-e que ea ituação nunca irá ocorrer e or aotao β 1 (análie em reitribuição e momento). ε ε u x x x ξ δ ε ξ ε u ξ δ ξ ξ a Tenão na armaura: σ E ε ξ > δ Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 1 σ (kn/cm ) na armaura e compreão Tabela Tenão Concreto 35 MPa 35 < 50 MPa δ CA-50 CA-60 CA-50 CA-60 0,01 43,48 5,17 43,48 5,17 0,0 43,48 5,17 43,48 5,17 0,03 43,48 5,17 43,48 5,17 0,04 43,48 5,17 43,48 5,17 0,05 43,48 5,17 43,48 5,17 0,06 43,48 5,17 43,48 5,17 0,07 43,48 5,17 43,48 5,17 0,08 43,48 5,17 43,48 5,17 0,09 43,48 5,17 43,48 5,00 0,10 43,48 5,17 43,48 50,00 Pro. Joé Milton e Araújo - FURG

12 Tabela Continuação Concreto 35 MPa 35 < 50 MPa δ CA-50 CA-60 CA-50 CA-60 0,11 43,48 5,17 43,48 48,00 0,1 43,48 51,33 43,48 46,00 0,13 43,48 49,78 43,48 44,00 0,14 43,48 48, 4,00 4,00 0,15 43,48 46,67 40,00 40,00 0,16 43,48 45,11 38,00 38,00 0,17 43,48 43,56 36,00 36,00 0,18 4,00 4,00 34,00 34,00 0,19 40,44 40,44 3,00 3,00 0,0 38,89 38,89 30,00 30,00 Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 3 Equilíbrio e momento: M R ( ) Rcc Z 0 M M A ccz R A σ ( ) σ ( μ μ ) bσ A ( δ ) σ M R ; Introuzino o aimenionai (1) Equilíbrio e orça: A σ + λbx R R + Rcc A Introuzino (1) μ μ bσ A λξ + δ () A equaçõe (1) e () permitem reolver o problema. σ Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 4

13 3.8 - Roteiro para o imenionamento e eçõe retangulare Dao: b, h,, ;, yk ; M k Valore requerio: A e A 1) ) yk ; σ αc ; ; M 1, 4M k 1,4 1,15 α 0,85, e 50 MPa c ( 50) α c 0,85 1, e > 50 MPa 00 M μ b σ Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 5 3) Sem reitribuição e eorço: ξ 0,45, e 35 MPa; ξ 0,35, e > 35 MPa Com reitribuição: ξ é ao na equaçõe (3.5.3) e (3.5.4) λ 0,8, e 50 MPa ( 50) λ 0,8, e > 50 MPa 400 μ λξ ( 0, λξ ) 5 O valore e ξ e e μ poem er lio iretamente a tabela 3.5.1, para o cao β 1 (em reitribuição e eorço). Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 6

14 4) Se μ μ armaura imple μ σ ξ ; A λξ b ; A 0. λ 5) Se μ μ armaura upla > u ( o ) 3, 5 ε, e 50 MPa oo ( o ) 90 ε u oo,6 + 35, e > 50 MPa 100 ξ δ ; δ ε εu ξ σ E ε, one E kn/cm Para concreto o Grupo I: ler 4 σ a tabela Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 7 A ( μ μ ) bσ ( δ ) σ ; A μ μ bσ λξ +. δ Obervação: Empregano reitribuição e momento ( β < 1), e ε reultar u ξ < ξa e, imultaneamente, μ > μ ε +10 0, u 00 evem-e aumentar a imenõe a eção tranveral. O memo eve er eito e ξ δ e μ > μ. Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 8

15 3.9 - Exemplo e imenionamento p k l4m 40 A' A 15cm 4 36 Concreto: 0 MPa Aço: CA-50 Concreto o grupo I: α c 0,85; λ 0, 8 Cálculo preinare: 0 14, MPa 1, 4 kn/cm ; 1,4 1,4 σ α 0,85 1,1 MPa; σ 1, 1kN/cm ; c 50 yk 43,48 kn/cm. 1,15 1,15 Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 9 Exemplo 1: Carga e erviço pk15 kn/m M k p k l 8 15x knm (momento letor e erviço) M M 1,4x30 4 γ k knm (momento letor e cálculo) M 400 μ 0,18 0, 95 b σ 15x36 x1,1 μ μ ξ armaura imple μ 0,5 λ σ A λξb 0,8x0,5x15x36x μ (a tabela 3.5.1) 1,1 43,48 Solução: A A 0 3,00 cm Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 30

16 Exemplo : Carga e erviço pk35 kn/m pkl 35x4 M k 70kNm M M k 1,4x γ knm M μ b σ μ > μ 0, ,4 15x36 x1,1 armaura upla μ 0,95 ξ 0,45 tabela δ 0,11 σ 43,48 kn/cm (a tabela 3.7.1) 36 A ( μ μ ) bσ ( δ ) σ A μ μ bσ λξ + δ Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 31 ( 0,4 ) ( ) 0,95 15x36x1,1 A,11 cm 0,11 43,48 0,4 0,95 15x36x1,1 A 0,8x0,45 + 7,5 cm 0,11 43,48 Exemplo 3: Repetir o exemplo com 70 MPa. ( 50) α c 0,85 1 0,77 00 ( 50) λ 0,8 0, ,0 MPa 1,4 1,4 σ α 0,77 38,5 MPa; σ 3, 85 kn/cm c Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 3

17 M 9800 μ 0,13 < μ b σ 15x36 x3,85 0,80 Tabela Armaura imple μ ξ 0,19 λ σ 3,85 A λξb 0,75x0,19x15x36x 6,81cm 43, Cálculo a armaura mínima Além o imenionamento no etao ite último, eve-e epeciicar uma área mínima a armaura tracionaa para evitar uma ruptura bruca a eção na paagem o etao não iurao (Etáio I) para o etao iurao (Etáio II). A armaura tracionaa eve er uiciente para aborver o momento e iuração Mr. Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 33 Seção e concreto imple no etáio I h h/ σ c M R cc Z σ ct σ c R ct R ct Equilíbrio bh σ ct ; Z h 4 3 Quano R R M R Z cc ct σ ct ct M cc bh 6 r ct Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 34

18 Seção e concreto armao no etáio II R cc Equilíbrio: A, min M Z r M r Z A,min Subtituino Mr: A, min bh 6Z Aotano Z 0, 83h A ct, min 0, 0 bh ρ ct ctk,up, one ctk, up 1, 3 ctm. 3 0,078 ρ min, e 50 MPa ( + 0,11 ) 0,551ln 1 ρ min, e > 50 MPa 1) e ão ao em MPa ) ρ min 0,15% Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 35 ct min bh Tabela Taxa mínima a armaura e lexão ρ min (%) Concreto o Grupo I (MPa) CA-50 0,15 0,15 0,17 0,19 0,1 0,3 0,4 CA-60 0,15 0,15 0,15 0,16 0,18 0,19 0,0 Concreto o Grupo II (MPa) CA-50 0,5 0,6 0,7 0,9 0,30 CA-60 0,1 0,1 0,3 0,4 0,5 Se a área a armaura tracionaa, A, obtia no imenionamento or inerior à área mínima, eve-e aotar AA,min. Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 36

19 Exemplo 1 e : 0 MPa b15 cm ; h40 cm ; aço CA-50 ρ min 0,15% 0,15 0,15 A, min bh x15x40 0, 90 cm Ee valor é inerior ao obtio pelo imenionamento. Portanto, irão prevalecer a armaura eetivamente calculaa. Exemplo 3: 70MPa 0,7 0,7 ρmin 0,7% A, min bh x15x40 1,6 cm A 6,81cm é maior que A, min. Logo, A 6, 81cm. Pro. Joé Milton e Araújo - FURG 37