Vigas: Solicitações Tangenciais CONCRETO ARMADO

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1 5 iga: Solicitaçõe Tangenciai CONCRETO RMDO Serão analiada eçõe ujeita a orça cortante () e a momento torçor (T) que geram tenõe de cialhamento (). 1. Tenõe principai numa viga de comportamento elático linear Conidere-e uma viga biapoiada ujeita a dua carga concentrada de valor P, imetricamente dipota no vão à ditância a do apoio, conorme motra a ig a P P a P P.a M Figura 1.1 Diagrama de eorço em viga biapoiada O trecho inicial da viga compreendido entre o apoio e a carga concentrada, etá ujeito a momento letor e a orça cortante. Neta região, a um ponto C ituado na linha neutra (LN), ig. 1., correpondem tenõe principai 1 e inclinada de 45 o ; em um ponto S ituado acima da (LN), o ângulo entre o eixo da viga e a direção da tenão principal de tração 1 é maior do que 45 o e, num ponto I, poicionado abaixo da (LN), ete ângulo é menor do que 45 o. No trecho compreendido entre a carga concentrada, ujeito a lexão imple, a direção da tenõe principai de tração é paralela ao eixo da viga. trajetória de tenõe principai etão equematiada na ig

2 45 o 1 >45 o 1 P Trajetória de S C I Trajetória de 1 M <45 1 o Figura 1. Trajetória de tenõe principai. rranjo uuai de armadura na viga de concreto armado Como e abe, o concreto é um material de boa reitência à compreão ( cc ), porém, de baixa reitência a tração ( ct ). Dea orma, e a viga da ig. 1.1 oe de concreto armado ela tenderia a apreentar iura perpendiculare à tenão principal de tração ( 1 ), ou eja, iura paralela à tenão principal de compreão ( ). Pode-e notar que na lexão imple (trecho compreendido entre a carga concentrada) a iura tendem a er perpendiculare à LN; e na lexão combinada com cialhamento (trecho compreendido entre a carga concentrada e o apoio) a iura tendem a e inclinar devido à orça cortante. Nete cao di-e que ocorre uma iuração diagonal. idéia báica do concreto armado etá na aociação de doi materiai, concreto e armadura, de modo que eta última upra a deiciência à tração do primeiro. Para io, a armadura deve er poicionada de modo a coturar a iura de tração e, quando poível, paralelamente à tenõe de tração. trajetória de tenõe de tração (ig. 1.) ugerem o eguinte arranjo prático de armadura: a) armadura longitudinal (reta + dobrada) + armadura tranveral (etribo), ig..1; P porta etribo erro reto erro dobrado (cavalete) Etribo Figura.1 rranjo de armadura 11

3 P b) armadura longitudinal (reta) + armadura tranveral (etribo), ig... porta etribo porta P etribo erro dobrado (cavalete) Etribo etribo erro reto Figura. Coniguração de armadura O etribo nunca é dipenado na viga devido, principalmente, a raõe de ordem contrutiva. O primeiro do arranjo citado parece er melhor porque a armadura longitudinal acompanha, relativamente bem, a trajetória de tenõe principai de tração; o enaio, contudo, tem motrado o bom comportamento do egundo arranjo onde o etribo, ditribuído com pequeno epaçamento entre i, tem a unção de coturar a poívei iura perpendiculare à tenõe principai de tração. Ete último arranjo, aociado à acilidade contrutiva decorrente, contitui equema muito prático e de uo batante comum; a armadura longitudinal tem a unção de reitir à lexão e o etribo, ao cialhamento. 3. Modo de ruptura Conidere-e a viga de ig.. com o arranjo da armadura contituído de barra longitudinai reta e etribo. Coniderando-e o carregamento crecente da viga, nota-e, inicialmente, a ormação de iura perpendiculare ao eixo da viga, no trecho compreendido entre a carga concentrada. Eta iura ão devida ao eeito do momento letor, ig.3.1. iura iniciai de lexão normai ao eixo da viga Figura 3.1 Fiura ocaionada pelo eeito do momento letor Com o aumento da carga, ea iura avançam pela alma da viga em direção à ona comprimida e aparecem, também, iura diagonai no trecho ujeito a orça cortante, ig. 3.. Eta iuração progride até ocorrer a ruptura localiada em alguma região da viga. O modo particular de ruptura vai depender do arranjo, da quantidade, e da proporção relativa da armadura, longitudinal e tranveral. 1

4 iura diagonai (iuração diagonal) na preença de valore igniicativo de momento letor e orça Figura 3. Fiura ormada pela preença de orça cortante e momento letor São vário o modo poívei de ruptura: a) ruptura momento-compreão, ig. 3.3, caracterítico da lexão imple: ruptura por emagamento do concreto e, em geral, ecoamento da armadura tracionada; Figura 3.3 Ruptura por emagamento do concreto b) ruptura cortante- tração, ig. 3.4, que pode ocorrer por caua da deiciência de armadura tranveral, eparando a viga em dua parte; etribo ecoado Figura 3.4 Ruptura cortante tração 13

5 c) ruptura momento-cortante-compreão, ig. 3.5, provocada por deiciência de armadura tranveral em região ujeita à olicitação combinada, orça cortante com momento letor. Nete cao, a inuiciência (ou arranjo inadequado) de etribo provoca o avanço exagerado da iura diagonai, levando à ruptura da eção por caua da redução da ona comprimida neceária ao equilíbrio da lexão; Figura 3.5 Ruptura momento-cortante-compreão d) ruptura cortante- compreão, ig. 3.6, provocada por emagamento diagonal do concreto junto à alma da viga; eta ruptura pode ocorrer em viga de alma muito ina, geralmente, de eção T ; Figura 3.6 Ruptura cortante-compreão e) ruptura por ecorregamento da armadura longitudinal junto ao apoio extremo, ig. 3.7, por caua da ua ancoragem inuiciente e, da iuração diagonal que provoca uma tranlação do diagrama de reultante de tração na armadura longitudinal (decalagem). Figura 3.7 Ruptura por emagamento O modo de ruptura, bem como, o panorama de iuração oram ilutrado na viga imple de concreto armado. Contudo, ele ocorrem, em viga gerai de concreto etrutural apreentando a mema caracterítica obervada na viga imple. 14

6 4. eriicação da egurança para olicitaçõe tangenciai Com relação ao divero modo de ruptura, devem er veriicado o etado limite último para o cao 3.a, 3.b, 3.d e 3.e; o cao 3.c é contornado atravé de cuidado epeciai na ditribuição do etribo (utiliação de etribo ino com pequeno epaçamento entre ele). 5. Método de veriicação 5.1. Modelo impliicado para o comportamento da viga (treliça cláica ou treliça de Mörch) O panorama de iuração, que e implanta na viga por ocaião da ruptura, ugere um modelo em orma de treliça para o eu equema reitente (ig. 5.1). Eta treliça é contituída de bano paralelo ao eixo da viga (bano uperior comprimido de concreto, e bano inerior tracionado correpondente à armadura longitudinal de lexão), diagonai comprimida de concreto inclinada de 45 o (biela diagonai) e pendurai correpondente à armadura tranveral. Eta armadura é, em geral, contituída de etribo ditanciado de e poicionado ao longo da viga, perpendicularmente ao eu eixo. carga atuante na viga ão ubtituída por orça concentrada equivalente aplicada ao nó da treliça. p d p d. R cd 45 R d viga real modelo Figura 5.1 Modelo da treliça de Mörch O eorço na treliça múltipla podem er etimado atravé de uma treliça mai imple, iotática, ig. 5., dita treliça cláica ou treliça de Mörch. Cada pendural neta treliça repreenta (/) etribo, da treliça original, o memo ocorrendo com a diagonal comprimida. 45 R c d = 0,9d R d Figura 5. Treliça cláica 15

7 Solicitaçõe no elemento da treliça Do equilíbrio do ponto J, ig. 5.3, tem-e: R d = Sd e R cd Sd R cd R cd Sd R R c d R d = Sd J R d= Sd R cd R d R d1 R d 1 R d Figura 5.3 Equilíbrio de eorço interno Tranlação do diagrama de tração na armadura longitudinal (decalagem a ) Conidere-e a viga equematiada na ig. 5.4 ujeita à carga uniorme p d. dmita-e que no trecho de comprimento, a partir da abcia x o, o etribo etejam poicionado com epaçamento /n (no cao, n=4). ig. 5.4 (a) apreenta o eorço atuante obre ete trecho. Oberva-e que a orça cortante Sd é integralmente tranerida atravé do etribo. O momento em relação ao ponto O é dado por M od od pd n n n1 1 i n Sd n n1 1 i R d 0. Sendo Sd od p d n 1 1 i n(n 1) 16

8 xo S 1 S p d od d Mod od M od S 1 S /n p d /n O d /n R cd R d d (a) (b) Figura 5.4 Eorço interno reulta R d od 1 M od 1 n. Para n = 1 tem-e: R d M od od M d ou eja, a orça de tração na armadura longitudinal no ponto S 1 é determinado com o momento letor no ponto S, motrando a exitência de um delocamento (decalagem) a, entre o doi diagrama. Para n, tem-e: R d od M od M d ; como na abcia x o + / o momento letor vale ( M / p / 8 ), pode-e concluir que M d correponde a uma eção ituada além dete ponto, reultando em decalagem a >/. Dea orma, a decalagem etá compreendida entre o extremo / e : a. Normalmente, comportamento do etribo é eiciente quando o eu epaçamento é menor do que /. ig. 5.5 apreenta, equematicamente, o diagrama de momento letor dividido por (M d /) e, também, o diagrama da reultante de tração no bano tracionado (armadura de lexão). od od d 17

9 Devido à iuração diagonal, exite, então, uma tranlação (decalagem) para o lado deavorável. Em particular, na eção obre o apoio extremo, ica evidenciada a preença de orça de tração na armadura, apear de er nulo o momento letor. Ete eeito explica a poibilidade de ocorrência de ruptura por ecorregamento da armadura obre o apoio extremo da viga. p d a M d / diagrama de orça reultante no bano tracionado a a Figura 5.5 Decalagem Tenõe média no elemento da treliça a) - tenão média na diagonal comprimida (biela comprimida de concreto) b h 1 Figura 5.6 Tenão média na diagonal comprimida Conorme a ig. 5.6, pode-e ecrever: R cd d d cd b h 1 b b Como = 0,9.d, tem-e, também: 18

10 cd R b cd h 1 b d d b d d, b.0,9d b d b) - tenão média no etribo etribo t 1 Figura 5.7 Tenão média no etribo Sendo a área total correpondente a um etribo, tem-e para o etribo uual de ramo: = 1 ( 1 = área da eção da armadura do etribo). Conorme a ig. 5.7, tem-e: d R d d b b b d b 0,9db d ou d R b d d 0,9d d 0,9d b b d 0,9d d 0,9d 0,9d d b b onde / = número de etribo no comprimento de viga e = taxa geométrica de armadura tranveral. b 19

11 5.. Dimenionamento (Critério NBR 6118/007) veriicaçõe ão eita em termo de orça atuante na biela de concreto e armadura tranveral e não mai na tenõe. dmitem-e doi modelo de cálculo alternativo: Modelo I: conidera a diagonai de compreão inclinada de = 45º em relação ao eixo longitudinal da peça, em que c é upoto contante. Modelo II: conidera a diagonai inclinada em um intervalo de 30º a 45º e conidera-e a parcela de c com valore menore eriicação do etado limite último reitência da peça em uma determinada eção tranveral, é atiatória quando veriica imultaneamente a eguinte condiçõe: Sd < Rd Sd < Rd3 = c + S Onde: Sd orca cortante olicitante de cálculo Rd orca cortante reitente de cálculo Rd3 = c + S, c parcela da orca cortante aborvida por mecanimo complementare ao de treliça e S a parcela aborvida pela armadura tranveral Modelo de Cálculo I reitência da peça é aegurada pela veriicação da compreão diagonal do concreto pela eguinte expreão: Rd 0.7 cd bd Sd ck 1 ck em (MPa) 50 Cálculo da armadura tranveral: Sd ( Rd3 c /)0,9d. yd en co onde: : inclinação do etribo c = 0 na peça tracionada quando a linha neutra e itua ora da eção; 130

12 c = co na lexão imple e na lexo tração com a linha neutra cortando a eção; c = ( c0 + c0.m 0 /M d ) c0 na lexo compreão com c0 = 0,6. ctd.b.d; Sendo: M 0 momento letor que anula a tenão normal de compreão na borda da eção; M d momento letor de cálculo máximo no trecho em análie. ctd ctk,in ctm ctk,in / ctm /3 ck c 0.9d yd Ob: Segundo a NBR 6118 deve-e limitar yd em 435MPa para a armadura de cialhamento Modelo de Cálculo II Ete modelo admite diagonai de compreão com variando de 30º a 45º. Nete modelo a reitência da peça é aegurada também pela veriicação da compreão diagonal do concreto, porém dada com eta expreão: Rd 0.54 cd b cot g cot g Sd d en : inclinação do etribo : inclinação da biela ck 1 ck em (MPa) 50 Cálculo da armadura tranveral: Sd S onde: Rd3 ( c /)0,9d. yd cot g cot gen c = 0 na peca tracionada quando a linha neutra e itua ora da eção; 131

13 c = c1 na lexão imple e na lexo tração com a linha neutra cortando a eção; c = ( c1 + c1.m 0 /M d ). c1 na lexo compreão com: c1 = co quando d = co e c1 = 0 quando d = Rd 0,9d yd cot g cot gen Ob: Segundo a NBR 6118 deve-e limitar yd em 435MPa para a armadura de cialhamento. 5.. rranjo da armadura Para o dimenionamento ao cialhamento deve-e repeitar a eguinte condiçõe: a) rmadura tranveral mínima (etribo mínimo),min b..en 0, ctm / yk b) Tipo de etribo O etribo para orça cortante devem er echado atravé de um ramo horiontal, envolvendo a barra da armadura longitudinal de tração, e ancorado na ace opota. c) Diâmetro do etribo ( t ) 5mm t b 10 d) Epaçamento do etribo () Recomenda-e obedecer à eguinte condiçõe: Epaçamento mínimo entre etribo, egundo o eixo longitudinal da peça - e Sd 0,67 Rd, então S max =0,6 d 300 mm; - e Sd >0,67 Rd, então S max =0,3 d 00 mm; 13

14 6. Complemento 6.1 Seçõe próxima ao apoio Na proximidade do apoio, a quantidade de armadura de cialhamento pode er menor do que aquele indicado pelo cálculo uual. Ete ato ocorre porque parte da carga (próxima ao apoio) pode e dirigir diretamente ao apoio, portanto, em olicitar a armadura tranveral. NBR-6118 propõe a regra eguinte para o cálculo da armadura tranveral, quando a carga e a reação de apoio orem aplicada em ace opota da peça, comprimindo-a: no trecho entre o apoio e a eção ituada à ditância d/ da ace dete apoio, a orça cortante oriunda de carga ditribuída poderá er coniderada contante e igual à deta eção (ig. 6.1); p d d/ d/ d/ diagrama de diagrama de corrigido Figura 6.1 Seçõe próxima ao apoio a orça cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma ditância a (a d) do centro do apoio poderá, nete trecho de comprimento a, er reduida multiplicando-e por a d, ig. 6.. a P h red = [a / ( h)] Figura 6. Força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma ditância a 133

15 6. Elemento etruturai de altura variável por: orça cortante que é reitida pela alma da viga de altura variável pode er avaliada Sd Sd,red M / cot g/ tg M / cot g Sd Sd,red c Sd Sd,red / tgt onde: Sd,red é a orça cortante reduida, coniderando o eeito de altura variável c é o angulo entre o bano de compreão e o eixo longitudinal do elemento etrutural t é o ângulo entre a armadura de tração e o eixo longitudinal do elemento etrutural é o ângulo de inclinação da biela de compreão coniderada no dimenionamento à orça cortante é o braço de alavanca da orça reultante da orça reultante interna O inai de c e t devem er obtido coniderando o entido da orça inai de compreão e de tração da lexão com a orça cortante concomitante. expreão acima conidera a redução da orça de compreão na lexão quando exite orça cortante concomitante. 134

16 7. Exemplo 7.1. Exemplo 1 Determinar o etribo e veriicar a eção de concreto para a viga equematiada na ig Dado: P = 65 kn, ck = 5 MPa, aço C50 e admitir d = 46 cm para a altura útil da eção. 1 d=46 cm P P cm b =1 cm h=50 cm k = 65 kn Ítem da Norma: 8..5 /3 /3 ctm 0,3 ck 0,3 5,56 0,7. 0,7.,56 1,80MPa ctk,in (I) (II) (III) Figura 7.1. Exemplo 1 MPa ctm a) eriicação do concreto Modelo de cálculo I (=90 o e =45 o ): Item da Norma Sd = = 1,465= 91 kn ck 5 v 1 1 0, Rd = 0,7. v. cd.b.d = 0,7.0,9.1, = 38,76kN im, Sd < Rd b) Cálculo do etribo c 0,6. ctd.b.d 0,6.0, ,39kN ctm,56 min 0,. 0,. 0,10% (Item da Norma: ) 500 yk b. 1.0,10% 0,01cm /cm 1,cm min min /m (Trecho II) 135

17 Sd c 91 4,4 48,6kN.0,9.d. yd Ob: Segundo a NBR 6118 deve-e limitar yd em 435MPa para a armadura de cialhamento. Portanto,7cm /m (Trecho I e III) Recomenda-e: - para o diâmetro do etribo (): b 5,0mm 1mm (Ítem da Norma: ) 10 - para o epaçamento () entre etribo: 7cm 0,6d ou 30cm (endo que Sd <0,67. Rd ) 0,6.d = 0,6.46 = 7,6 cm (adota-e o maior epaçamento de 7cm) bitola uuai de armadura para etribo ão a eguinte: (mm) 5 6, ,5 1 (cm ) 0, 0,315 0,5 0,8 1,5 onde 1 = área da eção tranveral de uma barra. Para,7cm / m temo: dotando-e etribo de ramo tem-e: = 1. (mm) 1 (cm ) = 1 (cm) 5 0, 0,4 14 ditância da ace interna do apoio até a carga é de 144 cm (150-6 = 144 cm). Portanto, tem-e 144/14 = 10,3 portanto 11 etribo nete trecho. 136

18 Trecho entre a carga concentrada ( = 0) min 1,cm /m (mm) 1 (cm ) = 1 (cm) 5 0, 0,4 33> max =7 Deve-e adotar, então, 5 c/7. O comprimento do trecho é de 160 cm. Portanto, tem-e 160/7 = 5,9 6 etribo nete trecho. c) rranjo do etribo ig. 7. apreenta o detalhamento do etribo para a viga analiada. dotou-e cobrimento mínimo da armadura de 1,5 cm. 115c/ c/0 115c/ d=46 cm h=50 cm b =1 cm C = 1 C=(47+9)+G = 1 Figura 7. Detalhamento do etribo Obervação: Gancho não inerior a 7cm para =90 o (Ítem da Norma: ) 7.. Exemplo Determinar o etribo e veriicar a eção de concreto para a viga equematiada na ig Dado: p = 30 kn/m, ck = 5 MPa, aço C50 e admitir d = 46 cm para a altura útil da eção. 1 d=46 cm p h=50 cm 460 ap = 69.1,4=96,6kN * Sd = 64kN b =1 cm B 78 a) eriicação do concreto Figura 7.3 Exemplo 137

19 Sd = = 1,469= 96,6 kn ck 5 v 1 1 0, Rd = 0,7. v. cd.b.d = 0,7.0,9.1, = 38,76kN im, Sd < Rd b) Cálculo do etribo c 0,6. ctd.b.d 0,6.0, ,39kN min 1,cm /m * Sd c min.0,9.d. yd 4,39 0,01.0, ,5 64kN Por emelhança de triângulo chega-e à ditância onde ocorre o valor de Sd *, ou eja, 78cm. b.1. Trecho B de etribo mínimo min 1,cm /m b.1.. etribo - epaçamento 7cm 0,6d ou 30cm (endo que Sd <0,67. Rd ) 0,6.d = 0,6.46 = 7,6 cm (adota-e o maior epaçamento de 7cm) dotando-e etribo de ramo tem-e: = 1. tabela eguinte motra uma poível opção. (mm) 1 (cm ) = 1 (cm) 5 0, 0,4 33> max =7 Deve-e adotar, então, 5 c/7. O trecho central de etribo mínimo deve etar ujeito a orça cortante menor do que Sd *. Deta orma, o trecho central de etribo mínimo (trecho B) tem comprimento de 138

20 4,6 - x 0,78 = 3,04 m centrado no vão. Nete trecho tem-e: 304 / 7 = 11,3 1 etribo. b.. Trecho junto ao apoio ( d = 96,6 kn) Retam doi trecho de 0,78 m junto ao apoio (trecho ) que podem er armado com etribo contante calculado para a máxima orça cortante de cálculo no trecho igual a 96,6 kn. b..1. taxa geométrica Sd c 96,6 4,4 54, kn.0,9.d. yd Portanto 3,0cm /m b... etribo - epaçamento dotando-e etribo de ramo tem-e: = 1. tabela eguinte motra a opçõe poívei. (mm) 1 (cm ) = 1 (cm) 5 0, 0,4 13 6,3 0,315 0,63 1 Pode-e adotar, por exemplo, 5 c/13. O comprimento de cada trecho medido a partir da ace interna do apoio é de 78-6 = 7 cm. Portanto, tem-e 7 / 13 = 5,5 6 etribo nete trecho. c) rranjo do etribo ig. 7.4 apreenta o detalhamento do etribo para a viga analiada. dotou-e cobrimento mínimo da armadura de 1,5 cm. 139

21 65c/13 15c/7 65c/ d=46 cm h=50 cm b =1 cm 45 - C = 1 C=(47+9)+G = 1 Figura 7.4 Detalhamento do etribo 140

22 7.3. Exemplo 3 Determinar o etribo e veriicar a eção de concreto para a viga equematiada na ig. 7.5 Dado: ck = 5 MPa, aço C50 e admitir d = 46 cm para a altura útil da eção. 50cm 15cm Figura 7.5 Exemplo 3 Figura 7.6 Carregamento Diagrama de eorço cortante de cálculo: 34cm * =80kN Sd 100,6 54,5cm 6,1 63,9 cm * Sd 13,3 114cm 158,4 * Figura 7.7 Diagrama de eorço cortante de cálculo com valore de Sd 58, 141

23 Obervação: Sd * oi calculado poteriormente ct,m 0,3 /3 /3 0,35,56MPa ck a) eriicação do concreto Como a eção da viga é contante, bata veriicar o concreto para a orça cortante de cálculo máxima Sd = 158,4 kn junto ao apoio interno. v ck ,9 50 Rd = 0,7. v. cd.b.d = 0,7.0,9.1, = 98,45kN im, Sd < Rd b) Cálculo do etribo Primeiro Trecho: c 0,6. ctd.b.d 0,6.0, kN min Logo: 0,. ct,m yk,56 0,. 0,10% 500 min 15.0,10% 0,015cm /cm 1,5cm /m * Sd c min.0,9.d. yd 53 0,015.0, ,5 80kN Por emelhança de triângulo: 100,6 kn 80 kn d x 100,6 67,5 80 x 13cm d 67,5 x 67, ,5cm x 14

24 chega-e à ditância onde ocorre o valor de Sd *, ou eja, 54,5cm. Sd c 100, ,6kN.0,9.d. yd Portanto,64cm /m 7cm 0,6d ou 30cm (endo que Sd <0,67. Rd ) 0,6.d = 0,6.46 = 7,6 cm (adota-e o maior epaçamento de 7cm) dotando-e etribo de ramo tem-e: = 1. tabela eguinte motra uma poível opção. (mm) 1 (cm ) = 1 (cm) 5 0, 0,4 15 Deve-e adotar, então, 5 c/15. O comprimento de cada trecho medido a partir da ace interna do apoio é de 54,5-10 = 44,5 cm. Portanto, tem-e 44,5 / 15 =,9 3 etribo nete trecho. Em complementação ao primeiro trecho utiliar-e-á armadura mínima a partir do comprimento calculado em ocorrência a Sd*. min 1,5cm /m dotando-e etribo de ramo tem-e: = 1. tabela eguinte motra uma poível opção. (mm) 1 (cm ) = 1 (cm) 5 0, 0,4 33> max =7 Deve-e adotar, então, 5 c/7. O comprimento de cada trecho medido a partir da ace interna do apoio é de 67,5-54,5 = 13 cm. Portanto, tem-e 13 / 7 = 7,9 8 etribo nete trecho. Segundo Trecho: * Sd 80kN 143

25 Por emelhança de triângulo: x d 80-63,9=16,1 kn 158,4-63,9=94,5 kn 94,5 67,5 16,1 x 45,5cm d 67,5 x 67,5 45,5 cm x chega-e à ditância onde ocorre o valor de Sd *, ou eja, cm. Sd c 158, ,4kN.0,9.d. yd Portanto 5,85cm /m 7cm 0,6d ou 30cm (endo que Sd <0,67. Rd ) (Ítem da Norma: ) 0,6.d = 0,6.46 = 7,6 cm (adota-e o maior epaçamento de 7cm) dotando-e etribo de ramo tem-e: = 1. tabela eguinte motra uma poível opção. (mm) 1 (cm ) = 1 (cm) 6,3 0,315 0,63 10 Deve-e adotar, então, 6,3 c/10. O comprimento de cada trecho medido a partir da ace interna do apoio é de - 5 = 197 cm. Portanto, tem-e 197 / 10 = 19,7 0 etribo nete trecho. Em complementação utiliar-e-á armadura mínima a partir do comprimento calculado em ocorrência a Sd *. min 1,5cm /m 144

26 dotando-e etribo de ramo tem-e: = 1. tabela eguinte motra uma poível opção. (mm) 1 (cm ) = 1 (cm) 5 0, 0,4 33> max =7 Deve-e adotar, então, 5 c/7. O comprimento do trecho é de 67,5 - = 45,5 cm. Portanto, tem-e 45,5 / 7 = 1,68 etribo nete trecho. Terceiro Trecho: * Sd 80kN Por emelhança de triângulo: 13,3 kn 80 kn d x 13,3 80 x 10cm d 34 x cm 34 x chega-e à ditância onde ocorre o valor de Sd *, ou eja, 114cm. Sd c 13, ,3kN.0,9.d. yd Portanto 3,90cm /m 7cm 0,6d ou 30cm (endo que d <0,67. rd ) 0,6.d = 0,6.46 = 7,6 cm (adota-e o maior epaçamento de 7cm) 145

27 dotando-e etribo de ramo tem-e: = 1. tabela eguinte motra uma poível opção. Deve-e adotar, então, 5,0 c/10. (mm) 1 (cm ) = 1 (cm) 5,0 0, 0,4 10 O comprimento de cada trecho medido a partir da ace interna do apoio é de = 89 cm. Portanto, tem-e 89 / 10 = 8,9 9 etribo nete trecho. Em complementação utiliar-e-á armadura mínima a partir do comprimento calculado em ocorrência a Sd *. min 1,5cm /m dotando-e etribo de ramo tem-e: = 1. tabela eguinte motra uma poível opção. Deve-e adotar, então, 5 c/7. O comprimento do trecho é de (mm) 1 (cm ) = 1 (cm) 5 0, 0,4 33> max =7 48, ,5 = 361 cm. Portanto, tem-e 361 / 7 = 13,4 14 etribo nete trecho. 146

28 c) rranjo do etribo ig. 7.8 apreenta o detalhamento do etribo para a viga analiada. dotou-e cobrimento mínimo da armadura de 1,5 cm. 3 5 c/ c/7 0 6,3 c/ c/ c/7 44,5cm 58,5cm 197cm 89cm 361cm 9 d=46 cm h=50 cm b = , 06,3 - C = 18 C=(47+1)+G =18 Figura 7.8 Detalhamento do etribo Obervação: Gancho não inerior a 7cm para =90 o (Ítem da Norma: ) 147

29 8. rmadura de cotura na aba da eçõe tranverai 8.1. Introdução Normalmente, a aba da eçõe tranverai etão ubmetida a olicitaçõe tangenciai. Junto à ligação (aba-alma) da eçõe da viga eta olicitação atinge o valor máximo. Eta olicitação exige, no concreto armado, uma armadura de cotura. Em viga uuai de ediício, podem ocorrer dua ituaçõe onde eta armadura ão neceária, ig primeira ituação correponde à eçõe do vão com aba comprimida de eçõe T (lexão no vão da viga normai) e, a outra, à eçõe de apoio interno da viga contínua, onde a armadura de lexão é ditribuída também na laje (aba tracionada). p b armadura de cotura área comprimida na lexão Seção 1 - ão Seção 1 - ão Seção - poio área comprimida na lexão armadura de lexão Seção - poio Figura Situaçõe uuai 8. ba comprimida ig. 8. apreenta a ituação típica correpondente à eção T ubmetida à lexão. b x 0,85 cd R cd d Fig ba comprimida R d Conidere-e a aba lateral de dimenão b e comprimento d, ig

30 d b b R cd +dr cd d b R d +dr d R cd o h R d Figura 8.3 Eorço na aba comprimida reultante de compreão na eção tranveral é R cd. Na aba de dimenão b tem-e b R d R cd. b M d Como R cd, tem-e b Md R d b. b dm d O acrécimo dr d é dado por: dr d. b b Sd Como dm d = d d, tem-e: dr d d. b Eta variação da reultante de tenõe normai de lexão é equilibrada pela reultante da tenõe de cialhamento o atuando na área elementar (h d), ito é: dr h d. d o Portanto, b d b d d o (a) h h h.0,9d onde b d Sd.ou d Sd b Comparando-e a expreão do cialhamento uual de viga (conorme o modelo da treliça cláica): Com a expreão (a), pode-e concluir que ela permite imaginar a orça cortante d atuando na eção ictícia de dimenõe h x d. Logo, a armadura tranveral, neceária no modelo da treliça cláica, é dada por: 149

31 o yd onde endo h d 0,9d. yd = a área total de armadura tranveral da aba (armadura de cotura) por unidade de comprimento, ig Ob: Segundo a NBR 6118 deve-e limitar yd em 435MPa para a armadura de cialhamento. 1 h Figura 8.4 Dipoição da armadura na aba Normalmente, adota-e a armadura obtida deta maneira, como endo uiciente para garantir a egurança da ligação entre a aba e a alma da viga. Deve-e, também, veriicar e 0,7...h.d (veriicação da compreão na biela diagonal) d v cd 0,( ctm / yk ) (taxa mínima de armadura tranveral). Como exemplo, conidere-e a viga da ig

32 p =, kn/m b =104 l = 4,6 m =51 kn d=46 h =8 1 Figura 8.5 Exemplo de cálculo de armadura de cotura Junto ao apoio, onde a orça cortante é máxima, tem-e: Sd = 1,4 x 51,0 = 71,4 kn. Portanto, d b b Sd ,4 31,6kN eriicação da biela 0,7. d v. cd.h.d v d ck ,9 50 0,7.0,9.1, ,17kN Ok Portanto d 0,9d. yd 31,6 0, ,5 0,0175cm /cm 1,75cm /m h 0,0175 0,00 0,% 8 Eta armadura pode er coneguida atravé de dua camada de 5 c/0, uma, junto à borda uperior e, outra, junto à borda inerior; em 1m de extenão tem-e 5 barra por camada totaliando x 5 x 0, =,0 cm >. ig. 8.6 apreenta, equematicamente, a olução obtida. 151

33 5 c/0 5 c/0 Figura 8.6 Detalhamento da armadura 8.3 ba tracionada ig. 8.7 apreenta a ituação uual, correpondente a eçõe de apoio interno de viga contínua (momento letor tracionando a borda uperior), com armadura tracionada de lexão ditribuída, também, na aba. parte da armadura de lexão, poicionada numa aba lateral () área compri - mida na lexão armadura de cotura armadura de lexão () 0,8 x Md R d R cd Figura ba tracionada Conidere-e a aba lateral de comprimento d, indicada na ig d R d +dr d d R d +dr d R d o h R cd R d Figura ba lateral reultante de tração na eção tranveral é R d. Na aba coniderada é dada por 15

34 onde R d R d = área da eção de armadura de lexão contida na aba. Como Md R d tem-e M d R d. O crécimo dr d é dado por dm d dr d. Como vem dm d = Sd d, Sd dr d d. Eta variação da reultante é equilibrada pela reultante da tenõe de cialhamento o atuando na área elementar h d, ito é: dr Portanto, onde h d. d o Sd d d o (b) h h h.0,9d d Sd. Comparando-e a expreão do cialhamento uual de viga (conorme o modelo da treliça cláica) com a expreão (b), pode-e concluir que ela permite imaginar a orça cortante d atuando na eção ictícia de dimenõe h x d. Logo, a armadura tranveral, neceária no modelo da treliça cláica, é dada por: 153

35 o yd onde endo h d 0,9d. yd = a área total de armadura tranveral da aba (armadura de cotura) por unidade de comprimento. Ob: Segundo a NBR 6118 deve-e limitar yd em 435MPa para a armadura de cialhamento. Normalmente, adota-e a armadura obtida deta maneira, como endo uiciente para garantir a egurança da ligação entre a aba e a alma da viga. Deve-e, também, veriicar e 0,7...h.d (veriicação da compreão na biela diagonal) d v cd 0,( ctm / yk ) (taxa mínima de armadura tranveral). Como exemplo, conidere-e a viga da ig p p 8 38 (1,5cm ) 1,5 (,5 cm ) 63,8 kn 46 5c/0 (*) 5c/0 (*) (*) - conorme o reultado de cálculo Figura 8.9 Exemplo de cálculo de armadura de cotura 1 Junto ao apoio interno, onde a orça cortante é máxima, tem-e: Sd = 1,4 x 63,8 = 89,3 kn. Portanto, 154

36 d 1,5 Sd 89,3 4,4kN. 5,5 eriicação da biela 0,7. d v. cd.h.d v d ck ,9 50 0,7.0,9.1, ,17kN Ok Logo o 1,15d 1,15 4,4 0,08kN/cm. h d 8 46 Portanto ou o yd 0,08 50/1,15 0, ,14% h 80, ,0147cm /cm 1,47cm /m. Eta armadura pode er coneguida atravé de uma camada de 5 c/13 ou dua camada de 5 c/0 (com olga). 155

37 9. rmadura de upenão 9.1. Introdução Normalmente, o apoio da viga ão contituído pelo pilare. Nete cao, di-e que o apoio ão do tipo direto. lguma vee a viga e apóiam em outra viga; contituem o apoio do tipo indireto. Conorme ilutra a ig. 9.1, no apoio direto a reaçõe ão tranerida diretamente ao pilare. P1 1 P P3 P1 P P3 R1 R Figura 9.1 poio direto e indireto No apoio indireto ilutrado na ig. 9., a reaçõe da viga devem er tranerida para a viga de apoio. Portanto, no modelo da treliça cláica, utiliado no etudo do cialhamento, a reaçõe da treliça, que imula a viga, devem er uportada pela treliça que imula a viga de apoio. Eta reaçõe, aplicada junto à ace inerior da viga, devem er levada para o nó uperiore da treliça de apoio. Para io ão neceária a armadura de upenão. 3 4 P4 R1 R 3 4 P4 Figura 9. Tranerência de reaçõe para a viga de apoio Quando a reaçõe ão aplicada junto à ace uperior da viga de apoio, não exite a neceidade de armadura de upenão. Eta ituação é ilutrada na ig

38 viga apoiada viga de apoio Figura iga de pequena altura apoiada obre uma viga de grande altura ha h ig. 9.4 motra, para o cao de viga de altura (h) maior do que a da viga de apoio (h a ), a neceidade de armadura de upenão para a reação total, ito é, Z d = R d. viga de apoio h a h Figura iga alta viga Numa ituação intermediária, ilutrada na ig. 9.5, oberva-e a neceidade de upender apena parte da reação, uma ve que o retante pode er tranerido para a treliça, que imula a viga de apoio, atravé do equema uual. h a h Figura iga de altura intermediária 9.. Força (Z d ) e armadura de upenão ( up ) Sendo R d a reação de apoio, a orça de upenão pode er etimada em onde Z d = R d (h / h a ) R d h = altura da viga apoiada h a = altura da viga de apoio. armadura de upenão erá dada por 157

39 up = Z d / yd Zona de upenão armadura de upenão up pode er ditribuída na ona de upenão (deinida na ig. 9.6), junto ao cruamento da viga h a / h a / viga de apoio h / viga apoiada Figura Zona de upenão Deve-e obervar que a ona de upenão já contem algun etribo normai da viga. Ete etribo podem er contado na armadura de upenão Exemplo Conidere-e o equema de orma da ig. 9.7, onde a viga 1 e apóia (indiretamente) na viga. 1 p 1(1 x 50) R = 60 kn (1 x 50) Figura 9.7 Exemplo de cálculo de armadura de upenão O etribo da viga 1, junto ao apoio, é de 5 c/1; o etribo da viga, junto ao cruamento da viga, é de 5 c/0. dua viga tem a mema altura; portanto, a orça de upenão 158

40 Z R h d d R d R 1, 4 60, 0 84kN. h a armadura utiliada é C50; portanto up Zd 84, 0 1, 93cm. (50 / 115, ) yd ona de upenão junto à viga 1 tem o comprimento de 19 cm h/ - b / = 50/ - 1/ = 19 cm. Nete comprimento tem-e, em média, 1,6 etribo de 5 mm (19/1 = 1,6), totaliando 1,6 x x 0, = 0,64 cm de armadura. ona de upenão junto à viga tem o comprimento de 50 cm ( x h a / = h a = 50 cm). Nete comprimento tem-e, em média,,5 etribo de 5 mm (50/0 =,5), totaliando,5 x x 0, = 1,0 cm de armadura. O total de etribo na ona de upenão é de 0,64 + 1,0 = 1,64 cm < up = 1,93 cm. Portanto, exite a neceidade de armadura adicional de upenão. Na prática, ito é coneguido atravé da redução do epaçamento do etribo da viga (em geral, é uiciente a diminuição de epaçamento numa da viga apena), de modo que e coniga o total neceário à upenão. Dete modo, e reduirmo o epaçamento do etribo da viga de 0 cm para 15 cm tem-e: 50/15 = 3,3 etribo de 5 mm, totaliando 1,3 cm de armadura (3,3 x x 0, = 1,3). O novo total paa a er de 0,64 + 1,3 = 1,94 cm, atendendo, portanto, a neceidade de upenão. 159

41 10. Torção de equilíbrio e torção de compatibilidade O momento torçor em viga uuai de ediício pode er claiicado em doi grupo: momento torçor de equilíbrio (ig. 10.1) e momento torçor de compatibilidade (ig. 10.). l = a+b a b c P B l p c B P P.c T B =P.c.a / l m=p.c / T =P.c.b / l T =m l / Figura Torção de equilíbrio T B =m.l / T =T.b / l P B T a R T b R B P T B =-T.a / l Figura Torção de compatibilidade 10.1 Torção de Saint enant Conidere-e um trecho de viga de eção retangular ujeito a momento torçor T (ig. 10.3). extremidade e B apreentam rotaçõe em entido opoto e a eçõe tranverai deixam de er plana. Di-e que há empenamento da eção devido à torção. Quando a torção ocorre com empenamento livre tem-e o que e chama torção de Saint enant e aparecem tenõe de cialhamento na eção tranveral que, naturalmente, equilibram o momento torçor aplicado. T T T T Figura 10.3 iga ujeita a momento torçor 160

42 Normalmente, a viga etão ujeita a retriçõe parciai ao livre empenamento por caua da intererência da laje, outra viga e pilare de apoio, Dee modo, aparecem tenõe normai (longitudinai) adicionai que e omam à tenõe devida à lexão. Na viga de concreto armado, ea tenõe adicionai cotumam er pequena e tendem a diminuir com a iuração do concreto (etádio II). Ea retriçõe ao empenamento provocam, também, pequena alteraçõe na tenõe de cialhamento de Saint enant. Normalmente, depream-e ea alteraçõe proveniente do impedimento parcial do empenamento. im, o dimenionamento à torção pode er eito conorme a teoria de torção de Saint enant. Uualmente, adota-e a dipoição da armadura compota de etribo e barra longitudinai que, além da acilidade contrutiva, e motrou batante adequada para reitir à torção. O etribo devem apreentar epaçamento pequeno e a barra longitudinai devem er ditribuída uniormemente ao longo do perímetro da eção tranveral. 10. rranjo Uual da rmadura Também devem er obervada a eguinte recomendaçõe: a) armadura longitudinal diâmetro da armadura longitudinal maior ou igual ao diâmetro do etribo (não menor do que 10 mm); garantir uma ancoragem eetiva da barra longitudinai, junto à extremidade do trecho ujeito à torção, poi a tração é contante ao longo da barra; ditribuição uniorme da armadura longitudinal no perímetro da eção. b) armadura tranveral (etribo) d /3 t 0cm 10.3 Comportamento da viga de concreto armado ujeita à torção O enaio motram que a reitência à torção é mobiliada, quae que integralmente, junto à capa externa da eção tranveral. igura 9.4 e 9.5 ilutram ee reultado. ig apreenta, qualitativamente, a repota de dua viga de eção retangular ujeita a torção: a primeira de eção maciça e a outra de eção vaada com o memo contorno da primeira, amba com a mema armadura de torção. dua eçõe apreentam momento torçore último praticamente iguai; apena, como era de e eperar, o momento torçor correpondente ao início da iuração é menor na eção vaada. 161

43 T T ( k t ) Figura 10.4 Comportamento de viga ujeita a torção ig apreenta, qualitativamente, reultado correpondente à variação da rigide eetiva de torção para eçõe retangulare, de mema área de concreto e mema armadura de torção, em unção da relação entre eu lado. k t h/b = 1 b h h/b = 6 Figura 10.5 ariação da rigide eetiva de torção T Pode-e notar que, variando a relação h/b entre 1 e 6, a rigide eetiva à torção e a reitência ão praticamente a mema no etado limite último. Ete reultado ajudam a comprovar que a reitência à torção é obtida junto à capa externa da eção tranveral Geometria da eção reitente eção vaada equivalente e deine a partir da eção cheia com epeura da parede equivalente h e dada por: h e e he. c1, egundo indica a ig u onde é a área da eção cheia u é o perímetro da eção cheia c 1 é a ditância entre o eixo da barra longitudinal do canto e a ace lateral do elemento etrutural 16

44 e h e Figura 10.6 Deinição da área e epeura equivalente 10.5 Dimenionamento viga de concreto armado deve er dimenionada para reitir integralmente ao momento torçor de equilíbrio. O momento torçor de compatibilidade que aparece junto ao cruamento da viga (apoio indireto) é, normalmente, pequeno e pode er ignorado. dmitee atieita a reitência da peça, numa dada eção, quando e veriicarem imultaneamente a eguinte condiçõe: T Sd T Rd T Sd T Rd3 T Sd T Rd4 a) eriicação da compreão diagonal do concreto T Rd 0.50 h en cd e e ck 1 ck em (MPa) 50 onde : e área limitada pela linha média da parede da eção vaada, real ou equivalente, incluindo a parte vaada; h e epeura equivalente da parede da eção vaada, real ou equivalente, no ponto coniderado; ângulo de inclinação da diagonai de concreto, arbitrado no intervalo 30º 45º. b) Cálculo da rmadura 1. Reitência decorrente do etribo normai ao eixo da peça T Rd 3 ( /) cot g 90 yd e endo: 163

45 90 área da eção tranveral do número de ramo de um etrino, contido na parede equivalente; aatamento entre eixo do etribo; yd reitência de cálculo do aço, limitada a 435 MPa.. Reitência decorrente da armadura longitudinai T Rd 4 ( /u ) tg l e yd e onde: l oma da área da eçõe da barra longitudinai; u e perímetro de e. c) Solicitaçõe Combinada 10.6 Flexão e Torção armadura de torção é acrecentada à armadura neceária para a olicitaçõe normai. No bano comprimido a armadura longitudinal de torção pode er reduida em unção do eorço de compreão que atuam na epeura eetiva he e no trecho de comprimento correpondente à barra Força Cortante e Torção O ângulo de inclinação da biela de concreto a er coniderado deve er o memo para o doi eorço. armadura tranveral é dada pela oma da armadura calculada eparadamente. Deve-e veriicar também a reitência à compreão diagonal do concreto. Sd Rd T T Sd Rd 1 164

46 10.8 Exemplo Conidere-e a viga da ig p = 7 kn/m engate ó para torção c=00 p laje = 3,5 kn/m T m M 6 m h=50cm ck ck = = 5MPa 15 MPa C50 b=4 0cm m = p laje c / = 7,0 kn.m/m p M 11, 5 kn / m 8 p 81 kn m T 1 kn. m Figura 10.7 Exemplo de dimenionamento à torção Cortante: Sd = 1,4.81 = 113,4 kn Sd Rd v ck 1 0,90 50 Rd = 0,7. v. cd.b.d = 795,9 kn rmadura: Sd Rd3 c ctd = ctk in / c = 1,8MPa ct, m = 0,3.( ck ) /3 (MPa) =,56MPa ctk, in = 0,7. ct, m = 1,79MPa c = 0,6 ctd b d = 141,3 kn > d 165

47 rmadura mínima 0, ctm yk 0,001 0,1% / b. 40.0,1% 0,04cm /cm 4cm /m ramo -> cada ramo: cm /m Flexão: M = 11,5 kn.m M d = kn.cm Md x 1,5.d1 1 0,45.b. cd.d 8,3cm x 34 = 0,5.d = 3 cm (Ítem da Norma: limitar x/d a 0,5) x 3 = 0,54.d = 11,9 cm domínio -> d = yd = 43,5 kn/cm Md ,16cm (5 16mm) yd d 0,4.x 43,546 0,4.8,3 Torção T Sd = 1.1,4 = 9,4 kn.m = 940 kn.cm T Rd = 0,5. v. cd. e.h e (Ítem da Norma: ) h e /u e h e.c 1 = = 000cm u = = 180cm h e 000/180 11,1 cm c 1 = 4,0cm.c 1 = 8,0cm h e = 10cm e = = 100cm 166

48 T Rd = 0,5.0,9.1, en 45 o = 961 kn Sd Rd TSd 113, ,45 1 OK (Ítem da Norma: ) T 795,9 961 Rd Etribo: T Sd T Rd3 TRd 3 (90 /) yd e cot g (Ítem da Norma: ) ( ( T Sd 90 /) yd e,8cm /m /),8 4,8cm /m (reite à cortante e torção!) 90 Pode-e utiliar por exemplo: 10 c/ 16cm rmadura longitudinai T Sd T Rd4 (Ítem da Norma: ) T Rd 4 ( l / ue) yd etg ( l /u e ) T yd Sd e,8cm /m u e = = 140cm = 1,4m Logo l = 1,4.,8 = 3,9cm (4 1,5mm) Detalhamento 10 c/ ,5 Figura 10.8 Detalhamento