Flexão Simples Armadura Transversal de viga

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1 Flexão Simple rmadura Tranveral de viga 6.1 Tenõe prinipai Sejam o elemento 1 e, próximo ao apoio de uma viga, do quai e quer determinar a tenõe prinipai (Figura 6.1). Neta Figura, o elemento 1 itua-e ore a linha neutra (máxima tenão tangenial) e o elemento etá ituado próximo 1 linha neutra M à ira mai traionada (máxima tenão normal de tração). ira mai traionada xy x Figura Tenõe normai e tangeniai em peça letida Da Reitênia do Materiai é aido que a tenõe prinipai de tração I ormam, no elemento 1, um ângulo de 45 om a horizontal (plano diagonal de ruptura), endo no elemento ete ângulo igual a 90 (plano vertial de ruptura), omo motrado na Figura 6.. I = xy II = xy xy xy 1 1 plano diagonal de ruptura xy 45º xy II (ompreão) I (tração) x x I = x plano vertial de ruptura 90º I (tração) Figura 6. - Tenõe prinipai no elemento 1 e

2 Enaio de laoratório têm demontrado uma oa aproximação om a teoria, já que em viga de onreto armado o iura inlinada (45 ) na apeto da iura, na região do elemento 1 região próxima a apoio imple, é omo indiado na Figura 6.3 (iura I perpendiulare à tenõe M prinipai de tração, poi o 1 1 onreto não reite à I mema). I I iura vertial (90 ) na região do elemento Figura Fiura em viga de onreto armado Já oi vito, quando e etudou a armadura longitudinal de viga (Capítulo 4), que próximo ao elemento, onde a iura é provoada omente pelo momento letor ( xy = 0), a armadura horizontal de tração é oloada perpendiularmente à iura, ito é na direção da tenão prinipal I do elemento (Figura 6.4). No elemento 1, onde a iura é provoada pela orça ortante ( x = 0), a armadura deveria armadura de momento letor Figura rmadura na direçõe da tenõe prinipai de tração er tamém oloada perpendiularmente à iura, na direção da tenão prinipal I do elemento 1 (Figura 6.4). idéia de e oloar armadura empre na direção da tenão prinipal de tração (perpendiular à iura) vigorou por muito ano omo prinípio áio do onreto armado. Mudança oorreram e a teoria atuai, tanto para momento letor omo para orça ortante, aeiam-e no prinipio de e "oturar" a iura, repeitando empre o equilírio de orça e a ompatiilidade da deormaçõe. É por ete motivo que a viga de onreto armado, em ua porta etrio armadura de orça ortante 1 armadura de orça ortante 1 armadura de momento letor Figura rmadura de momento letor e orça ortante M M I I I 1 I grande maioria, ão, atualmente, detalhada ó om armadura horizontal e vertial (Figura 6.5). armadura horizontai "oturam" a iura provoada pelo momento letor e a armadura vertiai "oturam" a iura provoada pela orça ortante. Evidentemente eta é uma idéia implita, já que a iura, na realidade, ão provoada por tenõe de tração proveniente da ominação de momento letore e orça ortante atuando onjuntamente.

3 6. nalogia da treliça de Morh O verdadeiro omportamento de peça letida (peça iurada) de onreto armado ainda não é totalmente onheido. Uma da teoria que proura expliar ete omportamento é a nalogia da Treliça de Morh, onde é upoto que o momento letore e a orça ortante devam er reitido por uma treliça interna à viga ormada por anzo, diagonai e montante ontituído por arra de onreto omprimido e arra de aço traionado (Figura 6.6) armadura de orça ortante onreto de momento letor M M 90 armadura de momento letor onreto de orça ortante arra de ialhamento vertiai Figura nalogia da treliça de Morh 6..1 Modelo de BNT NBR 6118 arra de ialhamento inlinada Enaio de laoratório tem demontrado que o ângulo motrado na Figura 6.6, que orreponde à inlinação da iura motrada na Figura 6.4, varia entre 30 e 45. Deta orma, a BNT NBR e houve por em adotar doi modelo de álulo orrepondente à analogia da treliça de Morh, ou ejam: - Modelo I onde é admitido que a diagonai de ompreão ejam inlinada de = 45 em relação ao eixo longitudinal do elemento etrutural; e - Modelo II onde é admitido que a diagonai de ompreão ejam inlinada de em relação ao eixo longitudinal do elemento etrutural, om variável livremente entre 30 e Colapo de viga de onreto armado Baeado no meanimo da treliça pode er oervado que a ruína da viga pode oorrer de varia maneira, já que qualquer parte (anzo, diagonal ou montante) pode entrar em olapo. dmitindo-e omportamento de viga u ou uperarmada (Figura 6.7), onde o momento ruptura do onreto omprimido (viga uperarmada) M letor é reponável pelo inário da orça horizontai atuante no anzo uperior e inerior da treliça, o olapo pode oorrer por: - ruptura (emagamento) do onreto omprimido que ontitui o anzo uperior (viga uperarmada); ou - ruptura (alongamento exeivo) da armadura traionada do anzo inerior (viga uarmada). ruptura da armadura traionada (viga uarmada) Figura Colapo de viga devido ao momento letor

4 Para evitar a ruptura (emagamento) do onreto omprimido no anzo uperior (ruptura de viga uperarmada motrada na Figura 6.7), dua providênia podem er tomada: - oloação de armadura na região omprimida; ou - aumento da dimenõe da eção tranveral da viga. De modo análogo ao da viga uper e uarmada, onde o momento letor é o auador do ruptura do onreto omprimido olapo, pode a orça ortante tamém er reponável pela ruína de uma viga de onreto armado (Figura 6.8). Ito pode aonteer por: - ruptura (emagamento) da diagonal de onreto omprimido; ou - ruptura (alongamento exeivo) da armadura traionada do montante (etrio). ruptura da armadura traionada Figura Colapo de viga devido a orça ortante O emagamento do onreto omprimido motrado na Figura 6.8 ó pode er evitado om o aumento da dimenõe da eção tranveral da viga. veriiação da neeidade de e aumentar, ou não, a dimenõe de uma viga de onreto armado onta na BNT NBR a e a, onde ão ixado valore limite para orça ortante atuante em eçõe tranverai de viga. 6.3 alore limite para orça ortante - diagonal de ompreão Equilírio da diagonal de ompreão de treliça de Morh Seja a Figura 6.9 onde a orça ortante reitente de álulo Rd é reponável pelo equilírio vertial da orça atuante no treho de elemento etrutural (viga). D R = BC Rd C B z = 0,9 d d Figura Equilírio vertial da reultante atuante na diagonal de ompreão da treliça de Morh Na Figura 6.9, inlinação da iura em relação ao eixo longitudinal do elemento etrutural, orrepondendo à inlinação da iela de ompreão (direção da tenõe ); inlinação da armadura tranveral (diagonal traionada da treliça de Morh) em relação ao eixo longitudinal do elemento etrutural, podendo-e tomar (BNT NBR ); ângulo do triângulo retângulo BCD (reto em C), equivalente a [( + ) - 90 ]; menor largura da eção, ompreendida ao longo da altura útil d; d altura útil da eção, igual à ditânia da orda omprimida ao entro de gravidade da armadura de tração;

5 z ou ainda, tem-e: raço de alavana orrepondente à ditânia entre a reultante horizontal de ompreão atuante no anzo uperior da treliça de Morh e a reultante atuante na armadura horizontal traionada (anzo inerior da treliça), admitido omo endo igual 0,9 d (BNT NBR ); tenõe normai atuante na diagonal de ompreão da treliça de Morh (tenõe perpendiulare à reta BC); R orça atuante na diagonal de ompreão da treliça de Morh, reultante da tenõe (perpendiular à reta BC); e 1 Rd orça ortante reitente de álulo, relativa à ruína da diagonai omprimida de onreto. Do triângulo BD (Figura 6.9), BD z en Do triângulo BCD (Figura 6.9), BC BD o o BC z en Tendo em vita que o o en en o o o 90 o o en eno o o en eno en en o ot g en o en o enot g ot g en que levado para a expreão da reta BC, tem-e: ou ainda, BC zen ot g ot g Do equilírio da orça vertiai motrada na Figura 6.9, Rd Rd Rd Rd R en BC en zenot g ot g en zot g ot g en Tendo em vita que (Figura 6.9) z 0,9d Notação da BNT NBR 6118, onde o índie (Rd) repreenta viga e o índie 1 (Rd1) orreponde a laje.

6 e tomando para um valor em torno de 70% da máxima tenão de ompreão de álulo do onreto 0,85 d, neeário pela inerteza deorrente da impliiação da analogia de Morh, tem-e: ou ainda, 0,85 d Rd 1 1,4 0,7 0,85 1,4 d 0,9d ot g ot gen Rd 0,54 d den ot g ot g Equação Modelo da BNT NBR Modelo I O Modelo I da BNT NBR admite diagonai de ompreão inlinada de = 45 em relação ao eixo longitudinal do elemento etrutural. Deta orma a Equação 6.1 reulta: Rd Rd Rd 45ot g 0,5 ot g 1 ot g 1 0,54 den ot g45 0,54 0,7 d d d d d Se o ângulo (inlinação da arra de ialhamento) or tomado igual a 90, Rd aumirá eu valor mínimo, orrepondente a: Rd 0,7 d d Equação 6. BNT NBR a, apreenta a Equação 6. orrigida do ator v, unção da reitênia araterítia do onreto. Deta orma, a expreão de Rd, para o Modelo I, reulta: Rd 0,7 v v Modelo II d d k 1 k emmpa Equação 6.3 O Modelo II da BNT NBR admite diagonai de ompreão inlinada de em relação ao eixo longitudinal do elemento etrutural, om variável livremente entre 30 e 45. im omo para o Modelo I, a Equação 6.1 é orrigida pelo ator v. Deta orma, e omo apreentado na BNT NBR a, reulta para Rd: Rd 0,54 v d k v 1 k emmpa den ot g ot g Equação Reitênia de elemento etrutural - diagonal de ompreão reitênia do elemento etrutural, em uma determinada eção tranveral, deve er oniderada atiatória quando or veriiada a eguinte ondição: Sd Rd Equação 6.5 onde: Sd orça ortante oliitante de álulo, na eção; e Rd orça ortante reitente de álulo, relativa à ruína da diagonai omprimida de onreto, de aordo om o modelo derito em 6.3..

7 Na regiõe do apoio, o álulo devem oniderar a orça ortante atuante na repetiva ae (Figura 6.10) Sd,ae Rd diagrama Sd Figura eriiação de orça ortante Exemplo 6.1: eriiar, para a eção tranveral de viga aaixo indiada, qual a máxima orça ortante oliitante de álulo ( Sd) que a mema pode uportar, deinida pela diagonal de ompreão ( Rd). Fazer a veriiação para o Modelo I e para o Modelo II admitindo = 30 e = 90. Coniderar: - onreto: C5; - d = h - 5 m; e - etado limite último, ominaçõe normai ( = 1,4). 40 m Solução: Na determinação de Rd, uar a Equação 6.3 para o Modelo I e a Equação 6.4 para o Modelo II. Sd é deinida pela Equação 6.5. a) Dado - uniormização de unidade (kn e m) k 5 MPa,5 kn/ m 1,4 k,5 d 1,79 kn/ m 1,4 v v k 1 k m 0,9 d m ) Modelo I Rd 0,7 Sd Rd 0 m v d 304 kn em MPa d 0,7 0,9 1, ,48 kn

8 ) Modelo II 30 (30 45) 90 (45 90) Rd Rd Rd 0,54 v d den ot g ot g 0,54 0,9 1, en 30 ot g90 ot g30 0,54 0,9 1, Sd Rd 64kN 0,5 0,0 1,73 63,68 kn d) Oervação No Modelo I, a orça ortante oliitante de álulo Sd (304 kn) reultou 15% maior que a orrepondente no Modelo II (64 kn). Portanto, no que e reere à diagonal de ompreão, o Modelo I tem um melhor omportamento (mai olgado) que o Modelo II. 6.4 alore limite para orça ortante - diagonal de tração Equilírio da diagonal de tração de treliça de Morh Seja a Figura 6.11 onde a orça ortante reitente de álulo Rd3 é reponável pelo Rd3 C B z = 0,9 d R equilírio vertial da orça atuante no treho de um elemento etrutural (viga). R = n = R en Figura Equilírio vertial da reultante atuante na armadura tranveral (diagonal traionada da treliça de Morh) Na Figura 6.11, d z n R inlinação da iura em relação ao eixo longitudinal do elemento etrutural; inlinação da armadura tranveral (diagonal traionada da treliça de Morh) em relação ao eixo longitudinal do elemento etrutural, podendo-e tomar (BNT NBR ); altura útil da eção, igual à ditânia da orda omprimida ao entro de gravidade da armadura de tração; raço de alavana orrepondente à ditânia entre a reultante horizontal de ompreão atuante no anzo uperior da treliça de Morh e a reultante atuante na armadura horizontal traionada (anzo inerior da treliça), admitido omo endo igual 0,9 d (BNT NBR ); epaçamento entre elemento da armadura tranveral, medido egundo o eixo longitudinal do elemento etrutural; número de arra omponente da armadura tranveral que orta o plano C no treho do elemento etrutural; área da eção tranveral de uma arra que ontitui a armadura tranveral do elemento etrutural; tenão normal atuante na armadura tranveral (diagonal traionada da treliça de Morh); orça atuante na armadura tranveral (diagonal traionada da treliça de Morh), reultante do total de arra que orta o plano C;

9 Rd3 orça ortante reitente de álulo, relativa à ruína por tração diagonal; parela de orça ortante reitida pela armadura tranveral, orrepondente à omponente vertial da orça R ; parela de orça ortante aorvida por meanimo omplementare ao da treliça de Morh, onde: - é ontante e independente de Sd no Modelo I; e - ore redução om o aumento de Sd no Modelo II. Do triângulo BC (Figura 6.11) B z ot g ot g O número de arra que orta o plano C (projeção horizontal B) é dado por n B z ot g ot g z ot g ot g Do equilírio vertial de orça atuante no treho do elemento etrutural da Figura 6.11, tem-e: ou ainda, Rd3 Rd3 Rd3 R R en en 0 Equação 6.6 inda da Figura 6.11, R z 0,9d en n en ot g ot g en ot g ot g en 0,9d ot g ot gen Equação 6.7 BNT NBR e apreenta a Equação 6.7 om yd no lugar de, onde yd é a tenão na armadura tranveral, limitada ao valor yd no ao de etrio e a 70% dee valor no ao de arra dorada, não e tomando, para amo o ao, valore uperiore a 435 MPa. Deta orma a Equação 6.7 reulta: yd 0,9 d yd yk 435MPa yk 0,7 435MPa ot g ot gen etrio arradorada Equação rmadura omponente da diagonai traionada da treliça de Morh armadura que ompõem a diagonai traionada da treliça de Morh podem er ontituída por: Notação da BNT NBR 6118.

10 - etrio; ou - arra dorada. O etrio devem er ehado e, preerenialmente, poiionado vertialmente ( = 90 ), omo motrado na Figura 6.1. O valor de, a er uado na Equação 6.8, depende do número de ramo que ompõe o etrio etrio de ramo = Figura Etrio de viga etrio de 4 ramo = 4 arra dorada, de modo geral, ão poiionada na viga omo ontinuidade da arra horizontai, ormando ângulo de 45 om a horizontal (Figura 6.13). Figura Barra dorada de viga Modelo da BNT NBR Modelo I O Modelo I da BNT NBR admite = 45. Deta orma a Equação 6.8 reulta: yd 0,9d yd yk 435MPa yk 0,7 435MPa en o etrio arradorada Equação 6.9 BNT NBR apreenta o álulo da armadura tranveral de elemento etrutural, para o Modelo I, eparado por tipo de oliitação. orça ortante reitente de álulo Rd3 erá dada pela Equação 6.6, pela Equação 6.9 e deinido para ada tipo de oliitação.

11 Flexão imple ou lexo-tração om a linha neutra ortando a eção Rd3 td 0,6 td yd tk,in d 0,1 3 k 1,484 ln1 0,11 0,9 d yd yk 435MPa yk 0,7 435MPa Flexo-ompreão Rd3 0 0 td yd M 1 M 0,6 td 0 Sd,max tk,in 0,9 d d en o 0 k etrio 0,1 3 k 1,484 ln1 0,11 yd yk 435MPa yk 0,7 435MPa en o k k arradorada k etrio 50MPa 50MPa k k arradorada 50MPa 50MPa Equação 6.10 Equação 6.11 Na Equação 6.11, M 0 valor do momento letor que anula a tenão normal de ompreão na orda da eção (traionada por M Sd,Max), provoada pela orça normai de divera origen onomitante om Sd, endo ea tenão alulada om valor de igual a 1,0; e M Sd,max momento letor de álulo máximo no treho, em análie, que pode er tomado omo o de maior valor no emitramo oniderado.

12 Elemento etruturai traionado om a linha neutra ora da eção Rd3 0 yd 0,9 d yd yk 435MPa yk 0,7 435MPa Modelo II en o etrio arradorada Equação 6.1 O Modelo II da BNT NBR admite para uma variação livre entre 30 e 45, de tal orma não er poível impliiaçõe na Equação 6.8 (página 6-9). BNT NBR apreenta o álulo da armadura tranveral de elemento etrutural, para o Modelo II, eparado por tipo de oliitação. orça ortante reitente de álulo Rd3 erá dada pela Equação 6.6 (página 6-9), pela Equação 6.8 (página 6-9) e deinido para ada tipo de oliitação Flexão imple ou lexo-tração om a linha neutra ortando a eção Rd yd td Rd Rd 0,6 td tk,in 0,9 d yd Sd 0 d yk 435MPa yk 0,7 435MPa 30 45º ,1 3 k 1,484 ln1 0,11 k ot g ot gen etrio arradorada k k 50MPa 50MPa Equação 6.13

13 Flexo-ompreão Rd3 1 1 M 1 M 0 0 yd td 0 Sd,max Rd Rd 0,6 td tk,in 0,9 d yd Sd 0 d 1 yk 435MPa yk 0,7 435MPa 30 45º ,1 3 k 1,484 ln1 0,11 k ot g ot gen etrio arradorada k k 50MPa 50MPa Equação 6.14 Na Equação 6.14, M 0 valor do momento letor que anula a tenão normal de ompreão na orda da eção (traionada por M Sd,Max), provoada pela orça normai de divera origen onomitante om Sd, endo ea tenão alulada om valor de igual a 1,0; e M Sd,max momento letor de álulo máximo no treho, em análie, que pode er tomado omo o de maior valor no emitramo oniderado Elemento etruturai traionado om a linha neutra ora da eção Rd3 0 yd 0,9 d yd yk 435MPa yk 0,7 435MPa 30 45º ot g ot gen etrio arradorada Equação Reitênia de elemento etruturai - diagonal traionada reitênia de elemento etruturai, numa determinada eção tranveral, deve er oniderada atiatória quando or veriiada, a eguinte ondição: Sd Rd3 Equação 6.16

14 onde: Sd orça ortante oliitante de álulo na eção; e Rd3 orça ortante reitente de álulo, relativa à ruína por tração diagonal, de aordo om o modelo derito em 6.3. (página 6-6). Exemplo 6.: eriiar, para a eção tranveral de viga aaixo indiada, qual a máxima orça ortante oliitante de álulo ( Sd) que a mema pode uportar, deinida pela diagonal traionada ( Rd3). Fazer a veriiação para o Modelo I e para o Modelo II ( = 30 ), oniderando etrio vertiai ( = 90 ). Coniderar: - aço: C-50; - onreto: C5; - d = h - 5 m; - etrio vertiai de doi ramo, epaçado de 10 m, ontituído por arra de 6,3 mm; - lexão imple; e - etado limite último, ominaçõe normai ( = 1,4 e = 1,15) m Solução: Na determinação de Rd3, uar a Equação 6.10 (página 6-11) para o Modelo I e a Equação 6.13 (página 6-1) para o Modelo II. Sd é deinida pela Equação 6.16 (página 6-13). a) Dado - uniormização de unidade (kn e m) k 5 MPa 1,4 0 m td 0,1 3 k k 50MPa td 3 0,1 5 1,4 yk 500 MPa 1,15 yd yd yk 500 1,15 10 m 435MPa 0 m 1,8MPa 0,18kN/ m etrio 435MPa 43,5kN/ m 0,63 4 d m 0,63 m

15 ) Modelo I 90 (etrio vertiai) Rd3 0,6 td d 0,6 0, ,76kN 0,9d 0,63 10 Sd Rd3 ) Modelo II yd en o 0, ,5 53,76 85,37 139,13kN 139 kn 30 (30 45) 90 (45 90) (etrio vertiai) 0 Rd Rd Rd 1 0,6 td 0,54 v en90 o90 85,37 kn d 0,6 0, ,76kN d den ot g ot g 0,54 0,9 1, en 30 ot g90 ot g30 0,54 0,9 1, ,9 d yd ot g ot gen 0,5 0,0 1,73 63,68 kn 0,63 0, , , Rd Rd 0, ,5 Sd 0 0 ot g90 ot g30en 0,00 1,73 1,00 147,85 kn 63,68 Sd 53,76 53,76kN ( 1 unção de Sd) 63,68 53,76 adimitindo Sd = Rd3, tem-e: Sd Sd Sd Sd Rd3 0 Rd Rd Rd Rd Sd 0 1 Rd ,68 147,85 63,68 53,76 53, ,76 63,68 53,76 veriiando: 1 Rd3 171,47kN 63,68 171,47 53,76 3,61kN 53,76kN 63,68 53,76 3,61 147,85 171,46kN

16 Sd Rd3 171 kn d) Oervação No Modelo I, a orça ortante oliitante de álulo Sd (139 kn) reultou 19% menor que a orrepondente no Modelo II (171 kn). Portanto, nete ao, no que e reere à diagonal traionada (armadura), lexão imple, o Modelo II tem melhor omportamento (mai olgado) que o Modelo I. 6.5 rmadura mínima BNT NBR etaelele, para elemento lineare umetido a orça ortante, uma armadura tranveral mínima ontituída por etrio, om taxa geométria dada por: onde: t,m yk t,m yk 0, en t,m yk 3 0,3 k,1 ln1 0,11 yk 500MPa k k k 50MPa 50MPa Equação 6.17 taxa geométria de armadura tranveral; área da eção tranveral do etrio; epaçamento do etrio, medido egundo o eixo longitudinal do elemento etrutural; inlinação do etrio em relação ao eixo longitudinal do elemento etrutural; largura média da alma, medida ao longo da altura útil da eção, reitênia araterítia ao eoamento do aço da armadura tranveral; e reitênia média à tração do onreto. Exemplo 6.3: Determinar a taxa geométria mínima para a armadura tranveral de viga om: - aço: C-50; e - onreto: C5. Solução: Uar a Equação 6.17 para a determinação de. a) Dado k 5 MPa t,m 0,3 3 k k 50MPa t,m 0,3 3 5 yk 500 MPa yk yk 500MPa yk 500MPa ) Taxa geométria 0, t,m yk,56mpa 0,, ,10% 6.6 Flexão imple - iga om etrio vertiai BNT NBR : armadura tranveral ( ) pode er ontituída por etrio (ehado na região de apoio da diagonai, envolvendo a armadura longitudinal) ou pela

17 ompoição de etrio e arra dorada; entretanto, quando orem utilizada arra dorada, eta não podem uportar mai do que 60% do eorço total reitido pela armadura. O detalhamento de viga de onreto armado om etrio vertiai, permitido pela BNT NBR , tem ido o mai uado pela engenharia de etrutura de onreto armado (Figura 6.14) Figura iga om etrio vertiai Modelo I adoção do Modelo I, que pode exigir mai da diagonal omprimida da treliça de Morh (ver Exemplo 6.1, página 6-7), tem-e motrado atante útil no detalhamento de viga de onreto armado. Levando em onideração apena a equaçõe etaeleida em (Equação 6.3, página 6-6), (Equação 6.5, página 6-6), (Equação 6.10, página 6-11), (Equação 6.16, página 6-13) e 6.5 (Equação 6.17, página 6-16), para lexão imple, tem-e: Sd Rd Rd3 Rd Rd3 0,7 v v d d k 1 k emmpa 50 td 0,6 td yd t,m yk tk,in yk d 0,1 3 k 1,484 ln1 0,11 0,9d yd 435MPa 0, t,m yk 3 0,3 k,1 ln1 0,11 yk 500MPa k k k k k k 50MPa 50MPa 50MPa 50MPa Equação 6.18

18 Exemplo 6.4: eriiar, para a eção tranveral de viga aaixo indiada, qual a máxima orça ortante oliitante de álulo ( Sd) que a mema pode uportar. Coniderar: - aço: C-50; - onreto: C5; - d = h - 5 m; - etrio vertiai de doi ramo, epaçado de 10 m, arra de 6,3 mm; - lexão imple, Modelo I; e - etado limite último, ominaçõe normai ( = 1,4 e = 1,15) m 0 m Solução: Na determinação de Sd, uar a Equação a) Dado - uniormização de unidade (kn e m) k 5 MPa,5 kn/ m 1,4 d v v k 1 k 50 1 k 5 50,5 1,4 0,9 em MPa 1,79 kn/ m t,m 0,3 3 k k 50MPa t,m 0,3 3 5,56MPa 0,56kN/ m td 0,1 3 k k 50MPa td 3 0,1 5 1,4 yk 500 MPa yk yk 500MPa yk 500MPa = 50 kn/m 1,15 yd yd yk 500 1,15 435MPa 1,8MPa 0,18kN/ m 435MPa 43,5kN/ m

19 m 0 m 0,63 4 d m ) Rd Rd ) Rd3 0, t,m yk 0, 0, ,63 m 0,10% 0,63 0,31% 0,10% ,7 v d d 0,7 0,9 1, ,48 kn Rd 304 kn (ver Exemplo 6.1, página 6-7) Rd3 d) Sd 0,6 td d 0,6 0, ,76kN 0,9d yd 0, ,76 85,37 139,13kN 0, ,5 85,37kN Rd3 139kN (ver Exemplo 6., página 6-14) Sd Rd Rd3 Sd 139kN 304kN 139kN 6.6. Modelo II adoção do Modelo II para viga om etrio vertiai pode er uma olução intereante quando e quer exigir meno da diagonal omprimida da treliça de Morh (ver Exemplo 6.1, página 6-7). Deta orma, levando em onideração apena a equaçõe etaeleida em (Equação 6.4, página 6-6), (Equação 6.5, página 6-6), (Equação 6.13, página 6-1), (Equação 6.16, página 6-13) e 6.5 (Equação 6.17, página 6-16), para lexão imple, tem-e: Sd Rd Rd Rd3 0,54 v d deno k v 1 k emmpa Rd Rd Rd 0,6 td Sd 0 d 0 Equação 6.19

20 td tk,in 0,1 3 k 1,484 ln1 0,11 k k k 50MPa 50MPa yd yk 0,9 d yd ot 435MPa 0, t,m yk Eq (ont.) t,m yk 3 0,3 k,1 ln1 0,11 yk 500MPa k k k 50MPa 50MPa Exemplo 6.5: eriiar, para a eção tranveral de viga aaixo indiada, qual a máxima orça ortante oliitante de álulo ( Sd) que a mema pode uportar. Coniderar: - aço: C-50; - onreto: C5; - d = h - 5 m; - etrio vertiai de doi ramo, epaçado de 10 m, ontituído por arra de 6,3 mm; - lexão imple, Modelo II, = 30 ; e - etado limite último, ominaçõe normai ( = 1,4 e = 1,15). 40 m Solução: Na determinação de Sd, uar a Equação a) Dado - uniormização de unidade (kn e m) k 5 MPa,5 kn/ m 1,4 d v v k 1 k 50 1 k m,5 1,4 0,9 em MPa 1,79 kn/ m

21 t,m 0,3 3 k k 50MPa t,m 0,3 3 5,56MPa 0,56kN/ m td 0,1 3 k k 50MPa td 3 0,1 5 1,4 yk 500 MPa yk yk 500MPa yk 500MPa = 50 kn/m 1,15 yd yd yk 500 1,15 10 m 435MPa 0 m 1,8MPa 0,18kN/ m 435MPa 43,5kN/ m 0,63 4 d m ) Rd 0, t,m yk 0, 0, ,63 m 0,10% 0,63 0,31% 0,10% (30 45) Rd Rd ) Rd3 0,54 deno 0,54 0,9 1, en30 o30 v d 0,54 0,9 1, ,50 0,866 63,68kN Rd 64kN (ver Exemplo 6.1, página 6-7) 0 Rd 1 0,6 td 63,68kN 0, d 0,6 0, ,76kN 0,9d Rd Rd yd ot 0, ,5 ot 30 Sd 0 0 o 0, ,68 Sd 53,76 53,76kN ( 1 unção de Sd) 63,68 53,76 0, ,5 1,73 147,85kN

22 6-016 adimitindo Sd = Rd3, tem-e: Sd Sd Sd Sd Rd3 0 Rd Rd Rd Rd Sd 0 1 Rd ,68 147,85 63,68 53,76 53, ,76 63,68 53,76 veriiando: 1 Rd ,47kN 63,68 171,47 53,76 3,61kN 53,76kN 63,68 53,76 3,61 147,85 171,46kN Rd 171 kn (ver Exemplo 6.1, página 6-14) d) Sd Sd Rd Rd3 Sd 171kN 64kN 171kN e) Comparaçõe de Modelo alore do Modelo I retirado do Exemplo 6.4, página Modelo I II kn 4 kn 85 kn 148 kn Rd 304 kn 64 kn Rd3 139 kn 171 kn Como pode er oervado na taela, o Modelo I apreenta melhore ondiçõe (maior olga) para o onreto (maior Rd), ao pao que o Modelo II e apreenta melhor (mai olgado) para armadura (maior Rd3). Em outra palavra, Modelo II, nete ao, poderia reitir a uma orça ortante de 171 kn om etrio vertiai de doi ramo, epaçado de 10 m, ontituído por arra de 6,3 mm. Para eta mema dipoição de armadura (etrio), o Modelo I uportaria, no máximo, 139 kn. 6.7 Condiçõe para uo de etrio em elemento etruturai BNT NBR : O diâmetro da arra que ontitui o etrio deve er maior ou igual a 5 mm, em exeder 1/10 da largura da alma da viga. O epaçamento mínimo entre etrio, medido egundo o eixo longitudinal do elemento etrutural, deve er uiiente para permitir a paagem do virador,

23 garantindo um om adenamento da maa. O epaçamento máximo deve atender à eguinte ondiçõe: - e d 0,67 Rd, então max = 0,6 d 300mmm; - e d > 0,67 Rd, então max = 0,3 d 00mmm. Emora a BNT NBR não epeiique um valor exato para o epaçamento mínimo entre etrio, é reomendável que ete valor não eja inerior a 7 m. Em ao de extrema neeidade, o epaçamento pode er reduzido para valore ineriore a 7 m, porém torna-e neeário que ejam veriiada a t ondiçõe totai de onretagem que d envolvem toda a armadura (longitudinai e tranverai). Figura Etrio de viga de onreto armado Coniderando a reomendaçõe da BNT NBR , e admitindo omo epaçamento mínimo o valor de 7 m, tem-e: onde: mm t 10 5 Sd Rd Sd Rd 0,67 0,67 0,6d 7m min 30m 0,3d 7m min 0m Equação 6.0 t diâmetro da arra que ontitui o etrio; epaçamento entre etrio, medido egundo o eixo longitudinal do elemento etrutural; menor largura da eção, ompreendida ao longo da altura útil d; d altura útil da eção, igual à ditânia da orda omprimida ao entro de gravidade da armadura de tração; Sd orça ortante oliitante de álulo, na eção; e Rd orça ortante reitente de álulo, relativa à ruína da diagonai omprimida de onreto. No ao de elemento etruturai de poua altura útil (d 3 m), o produto 0,3 d poderá reultar inerior a 7 m. Nete ao o epaçamento mínimo de 7 m deverá er ignorado, mantendo-e o epaçamento igual ou inerior a 0,3 d. Exemplo 6.6: Determinar o epaçamento do etrio (vertiai) para o treho II da viga aaixo indiada, oniderando Modelo I e Modelo II om igual a 30. Coniderar: - aço: C-60; - onreto: C30; - d = h - 6 m; - etrio vertiai de doi ramo, ontituído por io de 7 mm; e - etado limite último, ominaçõe normai ( = 1,4 e = 1,15).

24 m I II diagrama Sd 0 m 40 kn 170 kn Solução: olução do prolema onite na apliação da Equação 6.18 (página 6-17) para o Modelo I, Equação 6.19 (página 6-19) para o Modelo II, e Equação 6.0. Oervar que a veriiação de Rd deve er eita para a maior orça ortante oliitante de álulo Sd atuante na viga (40 kn). O álulo da armadura deve er eito para Sd igual a 170 kn que orreponde a maior orça ortante de álulo atuante no treho II. a) Dado - uniormização de unidade (kn e m) k 30 MPa 3,0 kn/ m 1,4 d v v k 1 k 50 1 k ,0 1,4 0,88 em MPa,14 kn/ m t,m 0,3 3 k k 50MPa t,m 0,3 3 30,90MPa 0,90kN/ m td 0,1 3 k k 50MPa td 3 0,1 30 1,4 yk 600 MPa yk yk 500MPa yk 500MPa = 50 kn/m 1,15 yd yd yd yk 600 1,15 435MPa 435MPa 1,45MPa 0,145kN/ m 5MPa 435MPa 43,5kN/ m

25 mm t mm t mm t 0mm 5mm t 0mm 7mm 0, 0,7 4 t,m yk 0 m 0, d m 0, ,77 m 0,1% 30 (30 45) (Modelo II) Sd, max, I 40kN(trehoI) (para veriiação de Rd) Sd, max, II 170kN(trehoII) (para veriiação de Rd3) ) Modelo I.1. Rd Rd 0,7 v Sd,max,I Rd 40.. Rd3 Rd3 Rd3 Rd3 0,6 td 447,45 d d 0,7 0,88, ,45kN d 0,6 0, ,56kN 0,9d 76,56 Sd,max, II yd 136,40 170kN 136,40 76, ,0 m 14m..1 eriiação de Rd3 Rd ,56 Sd,max,II Rd3 171,30.. eriiação de Sd Rd ,45 0,77 136, ,38 0,67 0, ,5 171,30kN 136,40

26 ) Modelo II.1. Rd 7 m 0,6d 0,6 44 6,4m min 30m 7m 6,4m 7m 6,4m 14m..3 eriiação de Rd Rd 0,77 0,8% 0,1% ,54 deno 0,54 0,88, en30 o30 v d 0,54 0,88, ,50 0, ,49kN Sd,max,I Rd 40.. Rd3 0 Rd 0,6 Sd, max, II 1 387,49 td 387,49kN kN Rd Rd ,55 Rd3 Rd3 Rd3 d 0,6 0, ,56kN Sd , ,56 53,55kN 387,49 76,56 76,56 0,77 0,9d 53,55 Sd,max, II yd ot 0, ,5 ot 30 97,33 170kN 97,33 53, ,73 m 19m..1 eriiação de Rd3 Rd3 53,55 Sd,max,II 170 Rd3 174,46 97,33 19 o 174,46kN 0,77 0, ,5 1,73 97,33

27 eriiação de Sd Rd 7 m ,49 0,44 0,67 0,6d 0,6 44 6,4m min 30m 7m 6,4m 7m 6,4m 19m..3 eriiação de 0,77 0,0% 0,1% 0 19 d) Comparação de etrio Modelo I: 1 de 7 14 m para reitir orça ortante de 170 kn. Modelo II: 1 de 7 19 m para reitir orça ortante de 170 kn. Nete exemplo, o Modelo II e motrou mai eonômio. taxa de armadura para o Modelo I reultou em 0,8%, maior que a do Modelo II que iou em 0,0%. Muito uidado deve er tomado para airmar que empre o Modelo II exigirá meno armadura que o Modelo I. No Modelo II, a diminuição do valor de om o aumento de Sd pode levar ete Modelo a uma taxa de armadura maior que a do Modelo I. 6.8 Carga próxima ao apoio exitênia de arga próxima ao apoio pode inlueniar na determinação da armadura de ialhamento em elemento etruturai de onreto armado. R B M Rd Figura Carga próxima ao apoio Da Figura 6.16 pode er oervado que: - a arga uniormemente ditriuída, à equerda do plano, não intererem no nó B (onde exite ), ão direionada diretamente ao apoio (nó) e, no equilírio vertial de orça, inlueniam na determinação da orça Rd (reação de apoio), relativa à ruína da diagonai omprimida de onreto; e - a arga uniormemente ditriuída, ompreendida entre o plano e, intererem no nó B e, no equilírio vertial de orça, inlueniam na determinação da orça, reitida pela armadura tranveral. Deta orma, pode-e airmar: - a arga uniormemente ditriuída, à equerda do plano, não intererem na determinação de ; e

28 - a arga uniormemente ditriuída, à direita do plano, intererem na veriiação de Rd. BNT NBR : Para o álulo da armadura tranveral, no ao de apoio direto (e a arga e a reação orem apliada em ae opota do elemento etrutural, omprimindo-o), valem a eguinte preriçõe: - no treho entre o apoio e a eção ituada à ditânia d/ da ae do apoio, a orça ortante oriunda de arga ditriuída pode er oniderada ontante e igual à deta eção; - a orça ortante devida a uma arga onentrada apliada a uma ditânia a d do eixo teório do apoio pode, nete treho de omprimento a, er reduzida, multipliando-a por a/(d). reduçõe indiada neta eção não e apliam à veriiação da reitênia à ompreão diagonal do onreto. No ao de apoio indireto, ea reduçõe tamém não ão permitida. Figura 6.17 motra o diagrama de orça ortante para o álulo da armadura tranveral de elemento etruturai de onreto armado, omo etaeleido pela BNT NBR a d d d d/ Sd Sd a d diagrama Sd para álulo da armadura de ialhamento diagrama Sd para álulo da armadura de ialhamento Figura Diagrama Sd para álulo da armadura de ialhamento Exemplo 6.7: Determinar a armadura de ialhamento o treho I, II e III da viga aaixo indiada. Coniderar: - aço: C-60; - onreto: C5; - etrio vertiai de doi ramo; - lexão imple, Modelo I; e - etado limite último, ominaçõe normai ( g = 1,4; = 1,4 e = 1,15).

29 G k = 144 kn g k = 7 kn/m m m 1 m I II III B 55 m 6 m 14 m Solução: olução do prolema onite na apliação da Equação 6.18 (página 6-17), Equação 6.0 (página 6-3), em omo da reduçõe de arga apreentada na Figura a) Dado - uniormização de unidade (kn e m) k 5 MPa,5 kn/ m 1,4 d v v k 1 k 50 1 k 30 m 5 50,5 1,4 0,90 em MPa 1,79 kn/ m t,m 0,3 3 k k 50MPa t,m 0,3 3 5,56MPa 0,56kN/ m td 0,1 3 k k 50MPa td 3 0,1 5 1,4 yk 600 MPa yk yk 500MPa yk 500MPa = 50 kn/m 1,15 yd yd yk 600 1,15 435MPa 1,8MPa 0,18kN/ m 5 MPa 435 MPa

30 yd MPa m d 55 m pil 30 m mm t mm t mm t 14mm 0, t,m yk 43,5kN/ m 0, 0,10% 0, ,10 m 14 0, m 0,10% Rd 0,7 0,6 td v d 1,40m / m d 0,7 0,90 1, ,93kN d 0,6 0, ,14kN ) Força ortante atuando na ae do pilare arga uniormemente ditriuída: Sd, eixo, Sd, ae, Sd, eixo,b 4 1, ,8kN 5 0,30 161,8 1, ,16kN Sd,ae, B arga onentrada: Sd, eixo, Sd, eixo,b Sd,ae, Sd,ae, B onjunto de arga: Sd,ae, Sd,ae, Sd,ae,B Sd,ae, B Sd,ae,,dit 1 1,4 7 40,3kN 5 1 1, ,3kN 5 4 1, ,8kN 5 Sd,ae,,on 146,16 40,3 186,48kN Sd,ae,B,dit Sd,ae,B,on 40,3 161,8 01,60kN máxima orça ortante na ae do pilar pil

31 Sd,eixo, = +161,8 kn Sd,ae, = +146,16 kn + Sd,eixo,B = Sd,ae,B = -40,3 kn - B m 3 m 4 m 1 m + Sd,eixo, = Sd,ae, = 40,3 kn B - Sd,eixo,B = S,ae,B = -161,8 kn ) eriiação de Rd Sd,ae, max 01,60kN (valor aoluto) Rd Sd Rd 334,93kN Sd,ae,max Rd 01,60 d) Treho I 334,93 Sd,d/,ae, = +118,44 kn + -40,3 kn I m +40,3 kn +

32 Sd, d/, ae, 0,30 0,55 161,8 1, ,44kN (arga ditriuída) Sd.eixo, g g k pil d Sd,ae, 40,3kN (arga onentrada) Sd Sd, max 59,14kN Rd3 Sd Rd3 118,44 40,3 158,76kN máxima orça ortante no treho I 0,9d yd 59,14 153,5 158,76 59,14 153,5 Sd Rd 7 m m 0,0463 m 158,76 334,93 4,63 m 0,47 0,67 0, ,5 153,5 / m 1,40 m 0,6d 0, m min 30m 7m 30m / m t (mm) (m ) (m) / (m /m) 5 0, ,91 5,5 0, ,75 6 0, ,71 6,4 0, ,95 7 0, ,81 8 1, ,79 m 100m 8m 100m 0,393m 4,63m 0,393m 8,49m 4,91m /m e) Treho II -40,3 kn - m II +40,3 kn + Sd 40,3kN (arga ditriuida)

33 Sd 40,3kN (arga onentrada) Sd Sd, max 59,14kN Rd3 153,5 Sd Rd3 40,3 40,3 0,00kN orça ortante no treho II 0,00 59,14 153,5 m 0,075 m 59,14 153,5,75 m /m 1,40 m 1,40m / m (armadura mínima) Sd Rd 7 m 0,00 334,93 0,00 0,67 0,6d 0, m min 30m 7m 30m /m t (m ) (m) / (m /m) (mm) 5 0, ,40 5,5 0, ,58 6 0, ,88 6,4 0,643 30,14 7 0,770 30,57 8 1, ,35 m 100m 8m 100m 0,393m 1,40m 0,393m 8,07m 1,40m / m ) Treho III - 1 m III B B -40,3 kn - Sd,a/d,eixo,B = -146,6 kn Sd,eixo,B = -161,8 kn Sd 40,3kN (arga ditriuida)

34 Sd,a / d,eixo, B ,8 146,6kN (arga onentrada) 55 Sd Sd, max 59,14kN Rd3 153,5 Sd Rd3 40,3 146,6 186,94kN máxima orça ortante no treho III 59,14 153,5 186,94 59,14 153,5 Sd Rd 7 m m 0,0594 m Sd.eixo,B 186,94 334,93 5,94 m 0,56 0,67 / m 1,40 m 0,6d 0, m min 30m 7m 30m a d / m t (m ) (m) / (m /m) (mm) 5 0, ,55 5,5 0, ,94 6 0, ,8 6,4 0, ,43 7 0, ,4 8 1, ,8 m 100m 6m 100m 0,393m 5,94m 0,393m 6,6m 6,55m / m g) Poiionamento do etrio opção por arra (io, poi a armadura é ontituída pelo aço C-60) de 5 mm deve er deartada poi levaria a um epaçamento de 6 m no treho III, o que deve er evitado (evitar epaçamento ineriore a 7 m). É adequado o uo tanto de arra (io) de 5,5 mm omo de 6 mm. O uo de arra (io) aima de 6 mm levaria a um diperdíio de armadura no treho II (treho de armadura mínima). opção erá pela arra (io) de menor itola, ou eja, arra (io) de 5,5 mm. 19 5,5 mm 10 m 6 5,5 mm 30 m 5 m m 1 m 1 5,5 mm 4 m 8 m

35 6.9 Dealagem do diagrama de orça no anzo traionado Seja a viga da Figura 6.18 umetida a um arregamento qualquer onde, internamente, etá repreentada a treliça de Morh x Figura iga om repreentação da treliça de Morh Seja agora, um treho iolado da viga onde omente orça horizontai, oriunda de momento letore, ão oniderada (Figura 6.19). Conorme motrado na Figura 6.18, o anzo uperiore e ineriore da treliça ão admitido paralelo. Deta orma, pode-e, tamém, admitir, na Figura 6.19, a igualdade do raço de alavana z, ditânia entre a orça R d e R d, R d,b R d. Exitindo no treho x da Figura 6.19 variação do momento letore (M Rd,B > M Rd,), M Rd, M Rd,B endo z ontante e M Rd dado pelo produto z z R d z, onlui-e que a orça atuante na armadura traionada R d não é ontante nete B treho (R d,b > R d, da mema orma que R d, R M Rd,B > M Rd,). x d,b R M Rd, Rd,B d, Rd,B Rd, z M z Figura Força horizontai em um treho de viga Seja agora o memo treho x iolado da treliça da Figura 6.18, onde etá motrado a orça interna de tração R d atuante no anzo inerior da treliça de Morh. Por e tratar de um treho de treliça, origatoriamente deve-e ter, na Figura 6.0, orça R d iguai entre doi nó oneutivo (nó e B que deinem o treho x). Ito vale dizer que a orça atuante B na armadura traionada (armadura horizontal inerior) é ontante no treho x. R d, x R d,b R d, R d,b Figura Força horizontai no anzo inerior da treliça Do expoto, ia araterizado uma direpânia quanto ao omportamento da orça R d, poi, para o memo treho x, ora ela é variável (Figura 6.19) ora ela é ontante (Figura 6.0). Ito e explia pela ompleta independênia exitente na determinação da armadura horizontal (armadura de momento letor) om a determinação da armadura vertial (armadura de orça ortante). Determina-e a armadura horizontal em levar em onta a orça ortante, ao memo

36 tempo em que e determina a armadura vertial em levar em onta o momento letor. Um ritério de álulo (momento letor) onidera a viga omo um todo, o outro (orça ortante) admite o omportamento de uma treliça interna. Para levar em onta a direpânia exitente no omportamento da armadura horizontal traionada, e agora já podemo oniderá-la tanto na ae inerior da viga (momento poitivo) om na ae uperior (momento negativo), deve o dimenionamento deta armadura er eito para o maior valor aoluto da orça R d atuante no treho x (ponto B da Figura 6.19 e da Figura 6.0). Ito vale dizer que o diagrama de orça R d deve er deloado na direção da menor deta orça (na direção B de R d, da Figura 6.19, ou de B para ) de x tal modo que no treho x a orça R d 0 no apoio horizontal traionada ique ontante om eu maior valor aoluto. Figura 6.1 motra um exemplo de diagrama de orça R d deloado diagrama R d deloado diagrama R d = M Rd/z Figura Diagrama R d deloado BNT NBR Modelo de álulo I: Quando a armadura longitudinal de tração or determinada atravé do equilírio de eorço na eção normal ao eixo do elemento etrutural, o eeito provoado pela iuração oliqua podem er utituído no álulo pela dealagem do diagrama de orça no anzo traionado, dada pela expreão: onde: a d Sd,max 1 ot g ot g d Sd,max a = d, para Ɩ Sd,maxƖ Ɩ Ɩ; a 0,5 d, no ao geral; e a 0, d, para etrio inlinado a 45. Ea dealagem pode er utituída, aproximadamente, pela orrepondente dealagem do diagrama de momento letore. BNT NBR Modelo de álulo II: Se orem mantida a ondiçõe etaeleida , o deloamento do diagrama de momento letore, apliando o proeo derito nea Seção, deve er: onde: a 0,5 d ot g ot g a 0,5 d, no ao geral; a 0, d, para etrio inlinado a Modelo I - etrio vertiai adoção do Modelo I,om etrio vertiai ( = 90 ), tem e ontituído em prátia omum da engenharia de etrutura de onreto armado. Deta orma, o etaeleido na BNT NBR reulta:

37 a d Sd,max Sd,max 0,5d d Equação 6.1 a d Sd,max 6.9. Modelo II - etrio vertiai Cao eja utilizado o Modelo II,om etrio vertiai ( = 90 ), o etaeleido na BNT NBR reulta: a 0,5 dot g Equação 6. Figura 6. motra omo iaria um diagrama de momento letore oliitante de álulo para eeito de dimenionamento e detalhamento da armadura horizontal de tração. É intereante notar que no apoio rotulado B há um aparente apareimento de momento letor. Na realidade, a nete apoio B, etá repreentada a orça horizontal de tração que a aparee no equilírio do nó da diagrama M Sd Figura 6.16 (página 6-7). B a diagrama M Sd deloado a Figura 6. - Diagrama M Sd deloado Exemplo 6.8: Eetuar o deloamento do diagrama de momento letore oliitante de álulo para a viga aaixo repreentada. Coniderar: - onreto: C30; - etrio vertiai de doi ramo; - preo próprio deprezível; - lexão imple, Modelo I; e - etado limite último, ominaçõe normai, ( g = 1,4; = 1,4 e = 1,15). G k = 00 kn 4 m 1 m

38 m 55 m 18 m 30 m Solução: olução do prolema onite na apliação da Equação 6.3 (página 6-6) para a veriiação de Rd e Equação 6.1 para a determinação de a. a) Diagrama M Sd e Sd G k = 00 kn 4 m I 1 m II 1, kNm 5 1, kN 5 1, kN 5 ) Dado - uniormização de unidade (kn e m) k 30 MPa 3,0 kn/ m 1,4 d v v k 1 k 50 1 k ,88 em MPa

39 d 3,0 1,4,14 kn/ m td 0,1 3 k k em MPa td 3 0,1 30 1,4 18 m d 50 m Rd Rd 0,7 v 1,45MPa d d 0,145kN/ m 0,7 0,88, ,6kN 0,6 td d 0,6 0, ,30 kn ) eriiação de Rd Sd Rd Sd,ae, max 4kN (valor aoluto) Rd 457,6kN Sd,ae,max Rd OK 4 457, 6 d) alor de a para o treho I d a Sd,max Sd,max 0,5d d Sd, max 56kN (valor aoluto) 78,30kN Sd,max a d 56 78,30 a 50m e) alor de a para o treho II Sd, max 4kN (valor aoluto) 78,30kN a a a ,44 m 4 78,30 0,5d 0,5 50 5m d 50m 39m

40 ) Diagrama deloado G k = 00 kn 4 m I 1 m II 50 m 39 m 6.10 Simologia Epeíia a ditânia de arga onentrada ao eixo teório do apoio (pilar) a d d k td tk,in t,m yd yk yd yk g k h l pil n q k max z ditânia orrepondente a dealagem do diagrama de orça no anzo traionado da treliça de Morh, ou do diagrama de momento letore menor largura da eção, ompreendida ao longo da altura úitl d largura média da alma, medida ao longo da altura útil da eção altura útil da eção, igual à ditânia da orda omprimida ao entro de gravidade da armadura de tração reitênia de álulo à ompreão do onreto reitênia araterítia à ompreão do onreto reitênia de álulo à tração do onreto reitênia araterítia inerior à tração do onreto reitênia média à tração do onreto reitênia de álulo ao eoamento do aço reitênia araterítia ao eoamento do aço reitênia de álulo ao eoamento do aço da armadura tranveral reitênia araterítia ao eoamento do aço da armadura tranveral valor araterítio da ação permanente (arga uniormemente ditriuída) altura da elemento etrutural largura de pilar número da arra omponente da armadura tranveral valor araterítio da ação variável (arga uniormemente ditriuída) epaçamento entre etrio, medido egundo o eixo longitudinal do elemento etrutural epaçamento entre elemento da armadura tranveral, medido egundo o eixo longitudinal do elemento etrutural epaçamento máximo entre etrio, medido egundo o eixo longitudinal do elemento etrutural raço de alavana área da eção tranveral da arra (io) que ontitui o etrio

41 G k M M Rd M Sd,max M 0 Q k R d R R d R 0 área da eção tranveral do onjunto de ramo que ontitui o etrio área da eção tranveral de uma arra que ontitui a armadura tranveral do elemento etrutural valor araterítio da ação permanente (arga onentrada) momento letor momento letor reitente de álulo máximo momento letor de álulo momento letor que anula a tenão normal de ompreão na orda da eção (traionada por M Sd,Max) valor araterítio da ação variável (arga onentrada) orça reitente de álulo atuante na região de onreto omprimido orça atuante na diagonal de ompreão da treliça de Morh, reultante da tenõe orça reitente de álulo atuante na armadura traionada orça atuante na armadura tranveral (diagonal traionada da treliça de Morh) orça ortante parela da orça ortante aorvida por meanimo omplementare ao da treliça de Morh, unção da reitênia do onreto e da dimenõe da eção tranveral do elemento etrutural valor uado na determinação de 1 Rd Rd3 Sd valor uado na determinação de orça ortante reitente de álulo, relativa à ruína da diagonai omprimida de onreto orça ortante reitente de álulo, relativa à ruína por tração diagonal orça ortante oliitante de álulo Sd,a/d,eixo orça ortante oliitante de álulo atuante a uma ditânia a/d do eixo teório do pilar Sd,d/,ae orça ortante oliitante de álulo atuante a uma ditânia d/ da ae interna do pilar Sd,eixo orça ortante oliitante de álulo orrepondente ao eixo do pilar Sd,ae orça ortante oliitante de álulo atuante na ae interna do pilar Sd,max máxima orça ortante oliitante de álulo parela de orça ortante reitida pela armadura tranveral omponente vertial da orça R v t g q inlinação do etrio em relação ao eixo longitudinal do elemento etrutural inlinação da armadura tranveral em relação ao eixo longitudinal do elemento etrutural ator de orreção da reitênia de álulo à ompreão do onreto diâmetro da arra diâmetro da arra (io) que ontitui o etrio oeiiente de ponderação da reitênia do onreto oeiiente de ponderação para açõe permanente direta oeiiente de ponderação para açõe variávei direta oeiiente de ponderação da reitênia do aço inlinação da iura em relação ao eixo longitudinal do elemento etrutural inlinação da iela de ompreão oniderada no dimenionamento à orça ortante taxa geométria de armadura tranveral tenão normal atuante na diagonal de ompreão da treliça de Morh

42 x I II xy x tenão normal atuante na armadura tranveral tenão normal na direção x tenão prinipal de tração tenão prinipal de ompreão tenão tangenial treho de viga ontante 6.11 Exeríio ângulo auxiliar Ex. 6.1: Determinar, para a viga aaixo repreentada, o diâmetro e o epaçamento neeário para o etrio do treho I, II e III. Dado: - onreto: C0; e - aço: C-50. Coniderar: - omente oliitaçõe tangeniai (orça ortante); - etado limite último, ominaçõe normai ( g = 1,4, q = 1,4, = 1,4 e = 1,15); - modelo I, etrio vertiai de doi ramo; - d = h - 6 m; - viga implemente apoiada no pilare; - vão de álulo da viga igual à ditânia entre o eixo do pilare; - pilare uporte da viga om 0 m de largura; - arga apliada na ae uperior da viga (ae opota a da reação de apoio); e - toda a reomendaçõe da BNT NBR-6118, inluive aquela reerente à redução no álulo da armadura de ialhamento. Q k = 80 kn g k = 60 kn/m m m 1 m I II III 60 m 0 m 0 m 0 m Ex. 6.: Determinar, para a viga aaixo repreentada, o valore da ditânia a, e. Sae-e que a armadura tranveral do treho é ompota por etrio vertiai de doi ramo, diâmetro 6 mm, epaçado de 5 m. Dado: - onreto: C5; e - aço: C-60.

43 Coniderar: - omente oliitaçõe tangeniai (orça ortante); - etado limite último, ominaçõe normai ( g = 1,4, q = 1,4, = 1,4 e = 1,15); - modelo I; - d = h - 6 m; - viga implemente apoiada no pilare; - vão de álulo da viga igual à ditânia entre o eixo do pilare; - pilare uporte da viga om 0 m de largura; - arga apliada na ae uperior da viga (ae opota a da reação de apoio); e - toda a reomendaçõe da BNT NBR-6118, inluive aquela reerente à redução no álulo da armadura de ialhamento. G k = 45 kn g k = 50 kn/m m 6 m a 60 m 0 m 18 m Ex. 6.3: Determinar, para a viga aaixo equematizada: a. a máxima arga Q k poível de atuar na viga; e. a armadura neeária (m /m) para o treho I e II, unção da arga Q k deinida no item anterior. Dado: - onreto: C30; e - aço: C-60. Coniderar: - omente oliitaçõe tangeniai (orça ortante); - etado limite último, ominaçõe normai ( g = 1,4, q = 1,4, = 1,4 e = 1,15); - modelo II, = 37, etrio vertiai; - d = h - 7 m; - viga implemente apoiada no pilare; - vão de álulo da viga igual à ditânia entre o eixo do pilare; - pilare uporte da viga om 0 m de largura; - arga apliada na ae uperior da viga (ae opota a da reação de apoio); e - toda a reomendaçõe da BNT NBR-6118, inluive aquela reerente à redução no álulo da armadura de ialhamento.

44 Q k g k = 50 kn/m 1 m I 5 m II 60 m 0 m 0 m Ex. 6.4: etrutura indiada na igura é uportada por uma viga inerior de eção retangular. Para atender à exigênia arquitetônia, a viga deve pouir a menor altura poível. Coniderando apena o ialhamento, determine o valor de h min (múltiplo de 5 m) em omo a armadura tranverai (m /m) neeária no treho I e II. Dado: - onreto: C35; e - aço: C-60. Coniderar: - omente oliitaçõe tangeniai (orça ortante); - etado limite último, ominaçõe normai ( g = 1,4, q = 1,4, = 1,4 e = 1,15); - modelo I, etrio vertiai de doi ramo; - h = d + 6 m; - = 5 m; - arga permanente uniormemente ditriuída em toda viga (6 m): g k = 50 kn/m; - arga aidental uniormemente ditriuída em toda viga (6 m): q k = 30 kn/m; - viga implemente apoiada no pilare; - vão de álulo da viga igual à ditânia entre o eixo do pilare (6 m); - pilare uporte da viga om 0 m de largura (ditânia de 10 m do eixo até a ae do apoio); - arga apliada na ae uperior da viga (ae opota a da reação de apoio); e - toda a reomendaçõe da BNT NBR-6118, inluive aquela reerente à redução no álulo da armadura de ialhamento. O: - peo próprio da viga inluído na arga g k.

45 ,9 m,0 m 1,9 m I II I pilar pilar viga 0 m 0 m Ex. 6.5: Determinar, para a viga aaixo repreentada, o valore de a, e de tal orma que no treho a armadura para reitir o eorço devido à orça ortante eja a mínima etaeleida pela NBR Dado: - onreto: C30; e - aço: C-60. Coniderar: - omente oliitaçõe tangeniai (orça ortante); - etado limite último, ominaçõe normai ( g = 1,4, q = 1,4, = 1,4 e = 1,15); - modelo I, etrio vertiai de doi ramo; - altura útil (d) igual a 88% da altura total (h); - viga implemente apoiada no pilare; - vão de álulo da viga igual à ditânia entre o eixo do pilare; - pilare uporte da viga om 0 m de largura (10 m entre o eixo e a ae); - arga apliada na ae uperior da viga (ae opota a da reação de apoio); e - toda a reomendaçõe da BNT NBR-6118, inluive aquela reerente à redução no álulo da armadura de ialhamento. O: - deoniderar o peo próprio da viga; g k = 50 kn/m B m 6 m m a m m 60 eção tranveral - m 15 15

46 Ex. 6.6: Determinar, para a viga aaixo indiada, o valor máximo da arga Q k (valor araterítio) que a mema pode uportar. eriiar a poiilidade de ruptura ao ialhamento tanto por ompreão no onreto omo por tração na armadura tranveral (etrio). Dado: - onreto: C5; e - aço: C-60. Coniderar: - omente oliitaçõe tangeniai (orça ortante); - etado limite último, ominaçõe normai ( g = 1,4, q = 1,4, = 1,4 e = 1,15); - modelo I, etrio vertiai de doi ramo, diâmetro 6 mm, epaçado de 10 m; - d = h - 7 m; - viga implemente apoiada no pilare; - vão de álulo da viga igual à ditânia entre o eixo do pilare; - pilare uporte da viga om 0 m de largura (10 m entre o eixo e a ae); - arga apliada na ae uperior da viga (ae opota a da reação de apoio); e - toda a reomendaçõe da BNT NBR-6118, inluive aquela reerente à redução no álulo da armadura de ialhamento. O: - peo próprio da viga inluído na arga g k Q k g k = 50 kn/m B 3 m 3 m m t = 6,3 mm 60 m 60 0 m 0 eção tranveral m Ex. 6.7: Determinar, para a viga aaixo repreentada, o valore de x, y e z de tal orma que no treho y a armadura para reitir o eorço devido à orça ortante eja a mínima etaeleida pela BNT NBR Dado: - onreto: C30; e - aço: C-60.