5FLEXÃO SIMPLES ARMADURA LONGITUDINAL DE VIGA

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1 5 5FLEXÃO SIPLES RDUR LONGITUDINL DE VIG 5.1 Introução Uma viga reta, ee que não poua arregamento horizontai ou inlinao, erá oliitaa por momento letore e orça ortante, omo motrao na Figura 5.1. orça ortante momento letor Figura 5.1 Soliitaçõe em viga Na viga e onreto armao, o momento letore e a orça ortante ão reponávei pela eitênia e oi tipo e armaura (Figura 5.): longituinal, para reitir armaura para ao momento letore; e momento letor tranveral, para reitir à orça ortante. armaura para orça ortante armaura para momento letor orte Nete apítulo ó erão etuaa a armaura longituinai, ou eja, a armaura neeária para reitir ao momento letore. Figura 5. rmaura e viga e onreto armao Seguno o item a BNT NBR 6118, a viga iam araterizaa quano: l/h 3 para viga iotátia; e l/h para viga ontínua; one: l é o omprimento o vão teório (ou o obro o omprimento teório, no ao e balanço); e h é a altura total a viga. Viga om relaçõe l/h menore evem er trataa omo viga-paree upr/t405

2 5. Vão eetivo e viga Seguno a 6118, item , o vão eetivo (Figura 5.3) poe er alulao pela eguinte epreão: om one: a a 1 l e l 0 t h l l + a + a Equação 5.1 e 0 0,5 t1 min 0,3h 0,5 t min 0,3h 1 vão eetivo a viga; itânia entre ae e oi apoio oneutivo; omprimento o apoio paralelo ao vão a viga analiaa; altura a viga. h viga l e l 0 pilar t 1 t Figura 5.3 Vão eetivo e viga 5.3 Etao limite último omínio a BNT NBR Domínio, 3 e 4 Quano a apreentação o omínio a BNT NBR 6118 (Figura [4.7]) oi vito que a peça e onreto armao oliitaa omente por momento letor (viga) eriam poívei apena no omínio, 3 e 4, omo reprouzio na Figura 5.4. Deta Figura eve er obervao que: no omínio! o onreto não hegou ao eu enurtamento limite (3,5 ), pouino, aina, uma erta reerva e apaiae reitente;! o aço hegou ao eu alongamento máimo (10 ), teno egotao ua apaiae reitente; e! a viga, e ubmetia a um arregamento uperior ao e projeto, eve apreentar um quaro e iuração intena evio ao eeivo alongamento a armaura (e o onreto ajaente); no omínio 3 (eção ubarmaa)! o onreto hegou ao eu enurtamento limite (3,5 ), teno egotao ua apaiae reitente;! o aço tem eu alongamento ompreenio entre ε y e 10, pouino, aina, uma boa reerva e apaiae reitente; e! a viga, e ubmetia a um arregamento uperior ao e projeto, eve apreentar um quaro e iuração epreivo evio ao ato a armaura (e o onreto ajaente) apreentar alongamento onierável; upr/t405

3 no omínio 4 (eção uperarmaa)! o onreto poe etar próimo e ultrapaar eu enurtamento limite (3,5 ), teno egotao, por inteiro, ua apaiae reitente;! o aço tem eu alongamento ompreenio entre 0 e ε y, pouino uma grane reerva e apaiae reitente; e! a viga, e ubmetia a um arregamento uperior ao e projeto, não eve apreentar um quaro e iuração tão pereptível quanto ao o omínio e 3 evio ao pequeno alongamento a armaura (e o onreto ajaente). ε 3,5 0,000 3 S 0,59,34 4,34 0,59,34 C-5: 0,77 C-50: 0,68 C-60: 0,585 y σ 4 uperarmaa ubarmaa 3 ε y 10 ε Figura 5.4 Domínio poívei para viga e onreto armao viga, quano imenionaa no omínio 4 (uperarmaa), poem, em ao e uma eventual obrearga imprevita, er onuzia a uma ruptura rágil (em avio prévio poi o onreto rompe bruamente em que a armaura tenha egotao ua apaiae reitente). viga imenionaa no omínio e 3 (ubarmaa) têm, evio a oniçõe mai aequaa a poição a linha neutra, garantia boa oniçõe e utiliae, eno onuzia, para uma onição avera e arregamento, a ruptura om avio prévio (a armaura eoa ante o rompimento o onreto motrano um quaro viível e eterioração a viga). O omportamento e viga, e ubarmaa ou uperarmaa 1, ia einio pela paagem o omínio 3 para o omínio 4 (Figura 5.4), que orrepone à reta 3-4 einia pela Equação [4.8]. Deta orma é poível etabeleer, matematiamente, a onição para omportamento e viga ubarmaa (eejao) e uperarmaa (a er evitao), ou eja: 1 viga uperarmaa pouem, em geral, poua altura e eeiva armaura (aí o uper, no entio e eeiva quantiae e armaura), ao pao que a viga ubarmaa têm uma itribuição mai equilibraa e materiai (aí o ub, no entio e meno quantiae e armaura) upr/t405

4 0,77 C 5,34 ubarmaa,34 0,68 C 50 Equação 5. >,34 uperarmaa 0,585 C Reomenaçõe a BNT NBR 6118 BNT NBR 6118, item 16..3: Em relação ao ELU, além e e garantir a egurança aequaa, ito é, uma probabiliae uiientemente pequena e ruína, é neeário garantir uma boa utiliae, e orma que uma eventual ruína oorra e orma uiientemente aviaa, alertano o uuário. BNT NBR 6118, item 17..3: Na viga, prinipalmente na zona e apoio, ou quano eita reitribuição e eorço, é importante garantir boa oniçõe e utiliae, eno aotaa, e neeário, armaura e ompreão que garanta a poição a linha neutra (), repeitano-e o limite e introução a armaura e ompreão para garantir o atenimento e valore menore a poição a linha neutra (), que etejam no omínio ou 3, não onuz a elemento etruturai om ruptura rágil (uualmente hamao e uperarmao). ruptura rágil etá aoiaa a poiçõe a linha neutra no omínio 4, om ou em armaura e ompreão. BNT NBR 6118, item : apaiae e rotação o elemento etruturai é unção a poição a linha neutra no ELU. Quanto menor or /, tanto maior erá ea apaiae. Para melhorar a utiliae a etrutura na regiõe o apoio a viga ou e ligaçõe om outro elemento etruturai, memo quano não orem eita reitribuiçõe e eorço oliitante, a poição a linha neutra no ELU eve obeeer ao eguinte limite: / 0,50 para onreto om k 35 Pa; ou / 0,40 para onreto om k > 35 Pa. Ee limite poem er alterao e orem utilizao etalhe epeiai e armaura, omo por eemplo o que prouzem oninamento nea regiõe. O imenionamento e etalhamento e viga e onreto armao iam mai imple e or eguio, para toa a regiõe a viga (regiõe e apoio e aataa ele), o prerito no item a BNT NBR Deta orma, a melhora na oniçõe e utiliae a etrutura ia garantia e or aotao, para a poição a linha neutra, o valore limite (aí o.lim ) motrao na Figura 5.5 e na Equação ,500 k 35Pa, lim Equação 5.3 0,400 k > 35Pa upr/t405

5 ε 3,5 0,000 3 S 0,59,lim 4,lim 0,59,lim 0,500 k 35 Pa 0,400 k > 35 Pa σ 4 rágil 3 útil y Figura 5.5 Coniçõe e utiliae a BNT NBR 6118 ε y 10 ε 5.4 Ditribuição e tenõe na região e onreto omprimio Conorme vito em [4.1], o iagrama tenão-eormação impliiao e álulo (Figura [4.3]) permite, ao longo a altura y, a itribuição ontante e tenõe σ (região e R R σ 0,7 ε y S onreto omprimio), omo motrao na Figura 5.6. R eorço reitente e álulo l ε oliitaçõe e álulo Figura 5.6 Ditribuição e tenõe na região e onreto omprimio upr/t405

6 Da Figura 5.6, tem-e: ε 0,7 y Equação 5.4 ε Teno em vita que no omínio 3 e 4 o enurtamento o onreto ε é igual a 3,5 (Figura 5.4), a Equação 5.4 reulta: 3,5 0,7 y 3,5 y 0,8 Equação 5.5 BNT NBR 6118, item 17..-e: a itribuição e tenõe no onreto e az e aoro om o iagrama parábola-retângulo, einio em 8..10, om tenão e pio igual a 0,85, om einio em Ee iagrama poe er ubtituío pelo retângulo e altura 0,8 (one é a prouniae a linha neutra), om a eguinte tenão: 0,85 no ao a largura a eção, meia paralelamente à linha neutra, não iminuir a partir eta para a bora omprimia; 0,80 no ao ontrário. ierença e reultao obtio om ee oi iagrama ão pequena e aeitávei, em neeiae e oeiiente e orreção aiional. Como poe er obervao, a BNT NBR 6118, item 17..-e, etene o reultao alançao pela Equação 5.5 a too o omínio, inluive o omínio, eiano e er neeário repreentar o valor e y omo unção a eormação ε (Equação 5.4). Cabe ao engenheiro reponável pelo projeto etrutural a opção em aotar o proeimento motrao Capítulo [4] 1, one a altura o retângulo e tenõe e ompreão é etabeleia em unção o enurtamento a ibra e onreto mai omprimia e a poição a linha neutra (y y(ε, ) Equação 5.4), ou aotar a impliiação previta no item 17..-e a BNT NBR 6118, one a altura o retângulo e tenõe e ompreão é etabeleia em unção apena a poição a linha neutra (y 0,8 Equação 5.5). Teno em vita que o prerito no item 17..-e a BNT NBR onuz a uma itemátia e álulo mai imple, a Equação 5.5 erá uaa na eterminação a equaçõe e imenionamento e veriiação e armaura longituinal e viga e onreto armao. ina, eguino o que prereve o item 17..-e a BNT NBR 6118, o valor a tenão e ompreão (σ ) eve obeeer ao motrao na Figura 5.7, para a onição y 0,8. σ 0,85 σ 0,80 y 0,8 linha neutra y 0,8 linha neutra Figura 5.7 Valor e tenão e ompreão na região e onreto omprimio 5.5 Variávei aimenionai - ELU Elemento geométrio e eçõe retangulare Seja a Figura 5.8 one ão motrao, entre outro: o eorço reitente e álulo (R e R ), a poição a linha neutra (), a altura o retângulo e tenõe e ompreão (y), a itânia entre o eorço reitente e álulo (z) e a altura útil a viga (). 1 Ver Eemplo [4.1], item e Eemplo [4.], item upr/t405

7 0,5 y R σ ε y 0,8 h R z S b R ε l eorço reitente e álulo oliitação e álulo Figura 5.8 Soliitação e eorço reitente em viga e onreto armao Da Figura 5.8 e levano-e em onta a Equação 5.5, tem-e: poição a linha neutra 1 ε ε + ε ε ε + ε altura o retângulo e tenõe σ y 0,8 0,8 y y 0, 8 braço e alavana entre o eorço reitente e álulo R e R z 0,5 y z 0,5 ( 0,8 ) z 0,4 1 0,4 z z 1 0, 4 grupano toa a variávei geométria, e riano a variável auiliar, tem-e: ε ε + ε poição a linha neutra y z y 0,8 z 1 0,4 altura o retângulo e tenõe σ braço e alavana entre R e R Equação 5.6 0,68 z 0,68 ( 1 0,4 ) variável auiliar Equação 5.6 motra que a variávei aimenionai y, z e ão unçõe ireta e. Deta orma, uma vez onheia a poição a linha neutra ( ), too o emai elemento 1 Ver Equação [4.3]. Ver Equação upr/t405

8 geométrio ( y, z e ) iam igualmente einio. Equação 5.6 permite agrupar o valore e omo motrao na Tabela 5.1. y z 0,100 0,080 0,960 0,065 0,59 0,07 0,896 0,158 0,585 0,468 0,776 0,305 0,68 0,50 0,749 0,30 0,77 0,618 0,691 0,363 Tabela 5.1 Valore e y, z, e omo unção e 5.5. Diagrama aimenional tenão-eormação o aço Conorme vito em [4..], o iagrama tenão-eormação o aço tem o apeto motrao ε 3,5 ε y 1,0 σ ε y y ε E y 10 ε na Figura 5.9. Neta Figura optou-e por apreentar ete iagrama e orma aimenional, om a introução o valore e e ao pela Equação ,0 σ Figura 5.9 Diagrama aimenional tenão- -eormação o aço y E Pa σ y σ y ε E ε E y y 1,0 1,0 Equação 5.7 Seja a Figura 5.10 one ão motrao, entre outro: o eorço reitente e álulo (R, R e R ), a poição a linha neutra (), a altura útil a viga (), a poição a armaura omprimia ( ), o enurtamento a ibra e onreto mai omprimia (ε ), o enurtamento a armaura omprimia (ε ) e o alongamento a armaura traionaa (ε ) upr/t405

9 upr/t405 Figura 5.10 longamento e enurtamento a armaura Da Figura 5.10 e levano-e em onieração a Equação 5.6, a Figura 5.4 e a Figura 5.9, tem-e: alongamento a armaura traionaa 1 1 ε ε ε 1 ε ε > ε omínio 3 e 4 0,59 3,5 1 omínio 0,59 10 X X Equação 5.8 enurtamento a armaura omprimia ε ε ε 1 ε ε ε 1 ε ε ε 1 Ver Equação [4.15], Equação [4.16] e Equação [4.17]. Ver Equação [4.1], one oi onieraa a onvenção e inai a Figura [4.8]. σ R y l ε S eorço reitente e álulo oliitaçõe e álulo ε R R R ε

10 X 0, omínio ε Equação 5.9 X > 0,59 3,5 omínio 3 e 4 aoiação a Equação 5.7 om a Equação 5.8 e om a Equação 5.9 reulta: σ σ y y 1,0 E 1 y E E y y 10 1,0 1 3,5 1,0 3,5 1,0 X 0,59 omínio X > 0,59 omínio 3 e 4 X 0,59 omínio X > 0,59 omínio 3 e 4 Equação 5.10 Equação 5.10 emontra que e ão unçõe e, a relação / e a ategoria o aço ( yk ). im omo eito para a variávei y, z, e (Tabela 5.1), é poível aoiar o valore e a valore pré-iao e e ( /), omo motrao na Tabela 5., eita para o aço C C-50 para ( /) y z 0,05 0,10 0,15 0,100 0,080 0,960 0,065 0,68 0,59 0,07 0,896 0,158 0,71 0,68 0,50 0,749 0,30 0,800 0,640 0,680 0,370 0,4 Tabela 5. Fleão imple C-50 Figura 5.4 poe, também, er apreentaa om o iagrama aimenional tenão-eormação o aço, omo motrao na Figura tabela ompleta ão apreentaa em upr/t405

11 ε 3,5 0,000 3 S 0,59,lim 4,lim 0,59,lim 4 3 0,500 k 35 Pa 0,400 k > 35 Pa rágil útil 1,0 ε ε y 10 Figura 5.11 Viga - omínio e iagrama aimenional o aço 5.6 Ineação e área omprimia Para a araterização e área omprimia e orreponente eorço reitente e álulo (orça e momento), erá uaa a eguinte ineação (Figura 5.1): ínie 1! área e onreto omprimio e largura b e altura y;! orça reitente e álulo (R 1 ) einia pelo prouto (b y) σ ; e! momento reitente e álulo ( R1 ) einio pelo prouto R 1 z. ínie ou plia ( )! área e armaura omprimia ( );! orça reitente e álulo (R ) einia pelo prouto σ ; e! momento reitente e álulo ( R ) einio pelo prouto R ( ). ínie 3! área e onreto omprimio e largura (b - b ) e altura h ;! orça reitente e álulo (R 3 ) einia pelo prouto [(b - b ) h ] σ ; e! momento reitente e álulo ( R3 ) einio pelo prouto R 3 ( h /) upr/t405

12 b R σ ε h h R z R 3 R 1 R ε y S ε b R R1 + R + R3 eorço reitente e álulo l oliitação e álulo Figura 5.1 Ineação e área omprimia 5.7 rmaura longituinai máima e mínima rmaura mínima ruptura rágil e eçõe tranverai e viga e onreto armao poe, também, oorrer evia a poua quantiae e armaura. Viga om baia taa e armaura longituinal têm omportamento emelhante ao a viga e onreto imple, one a ruptura em avio prévio poe oorrer imeiatamente apó o apareimento a primeira iura eorrente e oliitaçõe normai (momento letor). BNT NBR 6118, item , eine a taa e armaura longituinal mínima omo eno:,min ρ min Equação 5.11 e aota o eguinte valore: 0,035 ρmin ma y eçõe retangulare 0,15% 0,04 eçõe T ma ρmin y Equação 5.1 mea omprimia 0,15% 0,031 eçõe T ma ρmin y mea traionaa 0,15% Na eçõe T, a área a eção a er onieraa eve er araterizaa pela alma areia a mea olaborante. Para viga e eção retangular, a taa e armaura mínima poe er eprea por:,min 0,035 ρ min ma y b h Equação ,15% upr/t405

13 5.7. rmaura máima O Capítulo [4] motrou epreõe para a eterminação e armaura traionaa ( ) e e armaura omprimia ( ), em nenhuma limitação e valore. Eta não limitação para a quantiae e armaura poe ar a ala impreão e que empre eria poível eterminar um onjunto ela ( e ) que, ompono om a imenõe a eção tranveral e om a reitênia o materiai ( e y ), eria apaz e reitir a qualquer oliitação e álulo. BNT NBR 6118 apreenta valore máimo para a armaura longituinai traionaa ou omprimia. BNT NBR 6118, item : epeiiação e valore máimo para a armaura eorre a neeiae e e aegurar oniçõe e utiliae e e e repeitar o ampo e valiae o enaio que eram origem à preriçõe e unionamento o onjunto aço-onreto. BNT NBR 6118, item : oma a armaura e tração e ompreão ( + ) não evem ter valor maior que 4%, alulaa na região ora a zona e emena. O item a BNT NBR 6118 poe er repreentao por: ( + ) ma ρ ma 4% Equação 5.14 apliação ireta a Equação 5.14, para eçõe T, poe onuzir a viga e iíil onretagem (eeo e armaura). Figura 5.13 b motra uma eção retangular e uma eção T, e mema altura (h) e mema armaura traionaa ( ). h mitino-e que a armaura omprimia ( ) eja e pequena monta a eguinte ituação poe vir a oorrer: ( + ) ( + ) h ρ ret < 4% b h ρ ( + ) ( + ) T < b h + ( b b ) h 4% b b Figura 5.13 Comparativo entre eçõe retangulare e T Como poe er obervao na Figura 5.13, no retângulo b h a quantiae e armaura ão iguai tanto para eção retangular omo para a eção T. Ito no leva a onluir que a veriiação a taa máima e armaura em eçõe T eve er eita tanto para a eção total omo para a eção b h., e tal orma que: ( + ) 4% b h + ( b b ) h ρt ( + ) 4% b h Como a onentração e armaura empre oorre no retângulo b h, a veriiação a taa máima e armaura em eçõe retangulare e eçõe T poe, e moo impliiao, er eita a eguinte orma: ( + ) ma ρ ma 4% Equação 5.15 b h upr/t405

14 5.8 Viga e eção retangular em armaura e ompreão Seja a Figura 5.14 one ão motrao, entre outro, a oliitação e álulo ( S ), o eorço reitente e álulo (R e R ), o elemento geométrio reerente à eção tranveral a viga (, y, z,, b e h), a eormaçõe (ε e ε ) e a área e armaura ( ). ε y 0,8 R R 1 σ h 1 z R R1 S b R ε l eorço reitente e álulo oliitação e álulo Figura 5.14 Viga e eção retangular em armaura e ompreão Da Figura 5.14 e onierano a equaçõe anteriormente apreentaa, tem-e: elemento geométrio a eção retangular (Equação 5.6) y y z z valore geométrio aimenionai (Equação 5.6) 0,8 y z 1 0,4 0,68 z valor aimenional a tenão na armaura traionaa (Equação 5.10) X 0,59 1,0 omínio σ y E 1 X > 0,59 3,5 1,0 y omínio 3 e 4 onição e egurança R S eorço reitente e álulo R 1 R momento letor (binário) evio ao eorço reitente e álulo R R1 R 1 R1 z R z eorço reitente e álulo atuante na região e onreto omprimio e largura b R b y σ 1 R R R ( ) ( b )( 0,8 )( 0,85 ) 0,68( b )( )( ) 0,68 ( b )( ) upr/t405

15 eorço reitente e álulo atuante na armaura traionaa R σ R R y y binário R1 /R 1 R z R 1 1 R 1 z 0,68 ( b )( ) z z 1 0, 4,68 4 R1 R1 R1 R1 R1 z 0,68 ( 1 0, ) [ 0,68 ( b )( )]( ) 0 ( 0,68 )( b ) 1 b z ( 0,68 )( 1 0,4 )( b ( 0,68 )( 1 0,4 )( b ) ( 0,68 ) ( 0, ) R b 7 R1, ,7b z 1,5 1,565 0,7b binário R1 /R R z R R 1 y z z R1 ( )( ) z R1 y y z R1 equilíbrio o eorço reitente e álulo R 0,68 b R 1 R R 1 y y ( )( ) 0,68 0,68b y ( b )( ) upr/t405

16 equaçõe prinipai R R R1 z S R1 b 1,5 1,0 E 1 y R1 y 0,68b y 1,565 0,7b R1 3,5 1,0 y z 0,59 > 0,59 0,8 1 0,4 0,68 z Equação Dutiliae utiliae e uma viga ia garantia pela onição etabeleia na Equação 5.3, ou eja:,lim 0,500 0,400 k k 35Pa > 35Pa aoiação a Equação 5.6 om a Equação 5.3 torna poível etabeleer, também, valore limite e que garantam a onição e utiliae e uma viga, ou eja: 0,7 k 35Pa,lim Equação ,8 k > 35Pa Por outro lao, aoiano R1 a Equação 5.16 om a Equação 5.17 torna-e poível etabeleer, também, valore limite para R1 que garantam a onição e utiliae e uma viga, ou eja: 0,7b k 35Pa R 1 R1,lim Equação ,8b k > 35Pa Tanto a Equação 5.3, omo a Equação 5.17, omo a Equação 5.18 repreentam a onição e utiliae e uma viga e onreto armao Equaçõe para imenionamento Conierano a oniçõe e: equilíbrio, ompatibiliae e egurança (Equação 5.16); utiliae (Equação 5.3 ou Equação 5.17 ou Equação 5.18); armaura mínima (Equação 5.13); e armaura máima (Equação 5.15), o imenionamento ou a veriiação e viga e eção retangular, em armaura e ompreão, poe er repreentao por: upr/t405

17 R1,lim S S ou z 0,7b k 35Pa 0,8b k > 35Pa não há neeiae e armaura e ompreão z R1,lim R b 1,0 E y R1 1,5 1 0,4 R1 y R1 1 0,68b y 0,7 0,8,min,ma k k 1,565 0,7b R1 3,5 1,0 35Pa tab z e > 35Pa 0,035 b h ma y 0,0015b h 0,04b h 0,500 0,400 0,59 > 0,59 k k 35Pa > 35Pa Equação 5.19 Eemplo 5.1: Determinar a armaura neeária para a viga abaio iniaa, a qual etá ubmetia a um momento letor oliitante e álulo ( S ) igual a 15 knm. Dao: onreto: C0; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letore); e etao limite último, ombinaçõe normai (γ 1,4 e γ 1,15). 45 m S 15 knm 0 m 5 m Solução: olução o problema onite na apliação ireta a Equação olução ia ailitaa e or eita a utilização a tabela e leão imple o C-50 (item 5.16). a. Dao - uniormização e uniae (kn e m) 0 Pa,0 kn/m k γ 1,40 (ELU - ombinação normal) upr/t405

18 ,0 k γ 1,40 1,43 kn/m yk 500 Pa 50 kn/m γ 1,15 (ELU - ombinação normal) yk 50 y 43,5 kn/m γ 1,15 E 10 GPa Pa 1000 kn/m b 0 m 45 m h 50 m 0,035 b h,min ma y 0,0015 b h 1,43 0, ,15 m,min ma 43,5 1,50m 0, ,50 m 0,04b h, ma, ma 0, ,0m S 15kNm 1500kNm R1,lim 0,7b k 35Pa R 1,lim 0, , kNm não há neeiae e armaura e ompreão { S < R1,lim kNm kNm S R R kNm b. Linha neutra ( ) 1,5 1,565 0,7b R1 0, ,5 1,565 0,373 < 0,500 0, ,43. Braço e alavana ( z ) 1 0, z 4 ( 0,4 0,373) 0, 851 z 1. Tenão na armaura ( ) E 1 3,5 1,0 > 0,59 y ,373 3,5,840 > 43,5 0, e. Cálulo a armaura ( ) R1,min z y,ma 1500 > 1,50 m 7,50 m 0, ,5 < 40,0m 7,50m (armaura alulaa),al OK OK upr/t405

19 . Reolução om uo e tabela R1 0,7 b ,16 < 0, ,43 0,373 0,16 0, z tabela R1,min z y,ma OK 1500 > 1,50 m 7,50 m 0, ,5 < 40,0m 7,50m (armaura alulaa),al g. Veriiação 0,68b y 0, ,43 0,373 1,001 OK 7,50 43,5 OK 5.9 Dipoição a armaura itribuição e o poiionamento orreto a armaura entro a eção tranveral e φ t φ l a h a v uma viga ontitui ator e uma importânia para a urabiliae a etrutura e onreto. ipoição a armaura entro a eção tranveral a viga não poe obtruir a oloação o onreto reo, eveno permitir, om relativa olga, a introução e equipamento e vibração (Figura 5.15). ma Figura 5.15 Epaçamento horizontal e vertial e barra longituinai BNT NBR 6118, item : O epaçamento mínimo livre entre a ae a barra longituinai, meio no plano a eção tranveral, eve er igual ou uperior ao maior o eguinte valore: a) na ireção horizontal (a h ): 0 mm; iâmetro a barra, o eie ou a luva; 1, vez o iâmetro máimo o agregao 1 ; b) na ireção vertial (a v ): 0 mm; iâmetro a barra, o eie ou a luva; 0,5 vez o iâmetro máimo o agregao. 1 O orreto eria izer imenão máima o agregao. Ver Equação [.] upr/t405

20 Para eie e barra eve-e onierar o iâmetro o eie: φ n φ n. Ee valore e apliam também à regiõe e emena por trapae a barra. O item a BNT NBR 6118 poe er epreo pela Equação 5.0. a a h v m ma φl 1, m ma φl 0,5 ma ma Equação 5.0 Eemplo 5.: Determinar o máimo momento letor oliitante e álulo ( S ) que a viga abaio repreentaa poe uportar. Dao: onreto: C0; aço: C-50; armaura longituinal: 5 φ 16 mm; armaura tranveral: 6,3 mm; obrimento: 3 m; e imenão máima o agregao: 19 mm. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letore); e etao limite último, ombinaçõe normai (γ 1,4 e γ 1,15). 45 m S 0 m Solução: olução o problema onite na apliação ireta a Equação 5.19 e Equação 5.0, om o auílio a tabela e leão imple o C-50 (item 5.16). a. Dao - uniormização e uniae (kn e m) 0 Pa,0 kn/m k γ 1,40 k γ 1,40 (ELU - ombinação normal),0 1,43 kn/m yk 500 Pa 50 kn/m γ 1,15 (ELU - ombinação normal) yk 50 y 43,5 kn/m γ 1,15 b 0 m h 45 m nom 3 m φ t 6,3 mm 0,63 m upr/t405

21 ma 19 mm 1,9 m π 1,6,e 5 10,05 m (armaura eetiva) 4 0,035 b h,min ma y 0,0015 b h 1,43 0, ,04 m,min ma 43,5 1,35m 0, ,35 m 0,04b h, ma, ma 0, ,0m 1,35 m < 10,05 m < 36,00 m ,min,ma OK b. Veriiação e a h e a v b ( nom + φt + nφl ) ah n 1 b largura a viga nom obrimento nominal a armaura φ t iâmetro a armaura tranveral (etribo) φ l iâmetro a armaura longituinal n número e barra na amaa φ l 0 ( 3,0 + 0, ,6 ) a h 3,97 m φ t 3 1 m a h ma φl 1, ma m ah ma φl 1,6m,8m 1, ma 1, 1,9,8m y g φ t ah,al > ah,min OK { 1 3 3,97 m,8 m (y g + φ t + nom ) m a g v ma φl 0,5 ma φ l m av ma 1,6m φl,0m h 0,5 ma 0,5 1,9 0,95 m h - (y a v,0m (valor aotao) g + φ t + nom ). Determinação a altura útil () 1 h y g < y g < 4,5m 10 a h a v nom nom m (a v ) 1 BNT NBR 6118, item : O eorço na armaura poem er onierao no entro e graviae orreponente, e a itânia ete ento ao ponto a eção e armaura mai aataa a linha neutra, meia normalmente a eta, or menor que 10%. (Ver Figura 5.6) upr/t405

22 y g i yi i π 1,6 1,6 π 1,6 1,6 3 1,6, y,4 m π 1,6 π 1, h y g + φ + g < ( ) t nom (,44 + 0,63 + 3,0 ) 38,93m 45. omento limite ( R1,lim ) 0,7b R1,lim k 35Pa R 1,lim 0,7b 0,7 0 38,93 1, kNm e. Veriiação para valore eetivo 0,68b y 0, ,93 1,43 1, 73 10,05 43,5.1 1ª tentativa 1 0,577 1,73 z 0,769 0,577 0,30 1 tabela,73 1,73 0, omento oliitante e álulo ( S ) S R1 R b R1 R1 0, ,93 1, kNm > 11790kNm Ok R1,lim 4,5 m OK Como o valor R1 alulao ( knm) reultou maior que o valor limite R1,lim ( knm) ito igniia que a viga eta om eeo e armaura. Para que ejam mantia a oniçõe e utiliae a eção tranveral apreentaa é neeário que o valor e S ique limitao ao valor limite. Portanto: knm 117,9 knm S R1, lim S 117,9 knm O valor aumio obeee ao item a BNT NBR 6118 que limita a 0,500 o valor e (,lim ) para regiõe e viga próima a apoio, one oorrem momento negativo omo é o ao ete eemplo Viga e eção retangular om armaura e ompreão Conorme vito em 5.8, viga om imenõe aequaa e em armaura e ompreão, tem omportamento útil ee que ejam projetaa para uportar momento oliitante ineriore a um eterminao limite ( S R1,lim ). Quano o momento oliitante ultrapaam o valor limite, a utiliae a viga poe er garantia om o uo e armaura e ompreão, omo motrao na Figura Para tal bata orçar que a linha neutra mantenha-e no omínio ou no omínio upr/t405

23 manutenção a linha neutra no omínio (0,000 0,59) ou no omínio 3 (0,59,lim ) poe er alançaa om a einição o valor e que onuza ao imenionamento mai eonômio, ou eja, aquele que einir a menor quantiae total e armaura (menor + ). Em termo prátio, ito nem empre é poível. prátia omum é implemente aotar para o eu valor limite (.lim que orrepone a R1 R1,lim ), inepenentemente e qualquer etuo eonômio. R σ ε y 0,8 h 1 - z R 1 R R1 + R ε S R b v + 1 R v R + R 1 (R ) (R 1 ) Figura 5.16 Viga e eção retangular om armaura e ompreão Como motrao na Figura 5.16, o momento letor reitente e álulo R ( R S ) é ompoto por oi momento R1 e R. No que e reere a R1 valem toa a onieraçõe apreentaa em 5.8. Deenvolveno, para a Figura 5.16, um raioínio emelhante ao apreentao em 5.8, hega-e: valor aimenional a tenão na armaura omprimia (Equação 5.10) E X 0, ,0 y 1 omínio σ y E X > 0,59 3,5 1,0 y omínio 3 e 4 armaura omprimia R ( ) y armaura traionaa R1 R 1 + z ( ) y equação e veriiação 0,68b + y l ε eorço reitente e álulo oliitação e álulo upr/t405

24 Deta orma, a viga e eção retangular om armaura e ompreão, poem er repreentaa por: ( ) ( + ) R1,lim S R1 S ou R z 0,7b k 35Pa 0,8b k > 35Pa > há neeiae e armaura e ompreão R1,lim R R1 R1 z R1,lim R b R R1 R1 R ( ) y 0,04bh 0,68b y valor a er aumio (poe er + R 0,7 0,8 R1 0,500 1,5 1,565 0,7b 0, ,4 1,0 0,59 E 1 3,5 1,0 0,59 > y E 10 1,0 0,59 y 1 E 3,5 1,0 > 0,59 y + 1 y + k k,min k k R1 35Pa tab z, > 35Pa 0,035 b h ma y 0,0015b h e R1,lim 35Pa > 35Pa ) Equação 5.1 Eemplo 5.3: Determinar a armaura neeária para a viga abaio iniaa, a qual etá ubmetia a um momento letor oliitante e álulo ( S ) igual a 0 knm. Dao: onreto: C0; aço: C-50; armaura tranveral: 6,3 mm; obrimento: 3 m; e imenão máima o agregao: 19 mm. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letore); e etao limite último, ombinaçõe normai (γ 1,4 e γ 1,15) upr/t405

25 S 0 knm 50 m 0 m Solução: olução o problema onite na apliação a Equação 5.19 ou Equação 5.1 e a tabela e leão imple o C-50 (item 5.16). a. Dao - uniormização e uniae (kn e m) 0 Pa,0 kn/m k γ 1,40 k γ 1,40 (ELU - ombinação normal),0 1,43 kn/m yk 500 Pa 50 kn/m γ 1,15 (ELU - ombinação normal) yk 50 y 43,5 kn/m γ 1,15 b 0 m h 50 m 44 m (aumio) 4 m (aumio) nom 3 m φ t 6,3 mm 0,63 m ma 19 mm 1,9 m 0,035 b h,min ma y 0,0015 b h 1,43 0, ,15 m,min ma 43,5 1,50m 0, ,50 m ( + ) 0,04b h 0, ,0m ma S 0kNm 000kNm R1,lim 0,7b k 35Pa R 1,lim 0, , kNm há neeiae e armaura e ompreão { S > R1,lim kNm kNm R 1 R1, lim kNm kNm valor aotao (orrepone a R1, lim S R R1 + R 000kNm R R R1 R kNm ) upr/t405

26 b. Tabela C-50 R1 0,7 b ,7 eria ierente e 0,7 e ,43 0,500 0,7 z 0,800 { 4 tabela 0, R1 R 1 +, min z ( ) y ,8m 0, (44 4) 43,5 > 13,8m,al π,0,e 5 φ 0mm 5 15,71m ( amaa) 4 R ( ) y 6939 (44 4) 43,5,al 3,99m 3,99m π 1,6,e φ 16mm 4,0m ,71+ 4,0 19,73m 40,0m,e,e <. Veriiação para valore alulao 0,68b + y 0, ,43 3,99 0, ,8 43,5 13,8 OK. Veriiação e a h e a v para a barra e 0 mm b ( nom + φt + nφl ) ah n 1 b largura a viga nom obrimento nominal a armaura φ t iâmetro a armaura tranveral (etribo) φ l iâmetro a armaura longituinal n número e barra na amaa 0 ( 3,0 + 0,63 + 3,0 ) a h 3,37 m 3 1 m a h ma φl 1, ma m ah ma φl m,8 m 1, ma 1, 1,9,8 m R1 1,50 m OK oe ierente e OK φ l φ t a h R1,lim a v nom upr/t405

27 a,al { > a 1 h h,min 3 3,37 m,8 m OK m a v ma φl 0,5 ma m av ma φl m,0m 0,5 ma 0,5 1,9 0,95 m a v,0m (valor aotao) e. Determinação a altura útil () h y g < y g < 5,0m 10 i yi y g i π,0,0 π,0,0 3,0, y g,60 m < 5,0 m OK π,0 π h ( y g + φ t + nom ) nom + φ t + 0,5φ l 50,60 + 0,63 + 3,0 43,77 m < 44 ( ) m. Determinação e φl nom + φt + 1,6 3,0 + 0,63 + 4,43 m > 4m h (y g + φ t + nom ) h - (y g + φ t + nom ) y g φ l φ t g φ t φ l m (a v ) nom nom g. Cálulo a armaura para novo valore e e R 1 0,7b 0,7 0 43,77 1, kNm kNm R ,7 eria ierente e 0,7 e 0 43,77 1,43 0,7 4,43 43,77 13 tabela 0,101 z 0, ,93 m 0,800 43,77 (43,77 4,43) 43,5 > 13,93m,al π,0,e 5 φ 0mm 5 15,71m 4 h R1 oe ierente e 1,50 m OK R1,lim upr/t405

28 7097 (43,77 4,43) 43,5,al 4,15m 4,15 m π 1,6 π 1,0,e φ16mm + 1φ10mm + 4 4,e +,e 15,71+ 4,81 0,5 m < 40,0 m OK 4,81m h. Reolução para R1 < R1,lim 43,77 m (aumio) 4,43 m (aumio) R 1,lim 0,7b 0,7 0 43,77 1, kNm kNm R 1 R1, lim R1 R 10958kNm valor aotao kNm 1104kNm , ,77 1,43 < 0,00 4,43 43,77 13 tabela 0,101 z 0,7 0, ,11m > 1,50m 0,864 43,77 (43,77 4,43) 43,5 13,11m,al OK π,0,e 5 φ 0mm 5 15,71m ,45m (43,77 4,43) 43,5,al 6,45m π,0 π 1,0,e φ 0 mm + 1φ10 mm ,71+ 7,07,78 m 40,0m OK,e,e < i. Comparação e reultao g.1 valore teório (valore alulao e e ) knm R 1 R1, lim R 1 13,93m,al,al 4,15m,al,al + 13,93 + 4,15 18,08m 10958kNm 13,11m,al,al 6,45m,al +,al 13,11+ 6,45 19,56 m + g. valore reai (valore eetivo e e ) kNm R 1 R1, lim 15,71m,e 7,07 m 8,% OK upr/t405

29 R 1,e 4,81m,e,e + 15,71+ 4,81 0,5m 10958kNm 15,71m,e,e 7,07m,e +,e 15,71+ 7,07,78 m + 11% 5.11 Viga e eção T em armaura e ompreão Região e onreto omprimio região e onreto omprimio, em uma viga e eção T, poe oorrer e trê moo itinto omo apreentao na Figura b b b h y y y b b b y < h y h y > h Figura 5.17 Regiõe e onreto omprimio em viga e eção T ituação em que toa a mea etá omprimia, orrepone a: y h y h Conierano a Equação 5.6, tem-e: y h y y h 0,8 0,8 h h h h 0,68 ( 1 0,4 ) 0,68 1 0,4 0,85 0,8 0,8 Levano-e em onta a oniçõe etabeleia na Figura 5.14, uja região omprimia é einia pelo retângulo e imenõe b y, tem-e, pela Equação 5.16: b R1 R1 h 0,85 h b 0,85 ( b h ) No ao partiular em que b (a Figura 5.14) or igual a b (a Figura 5.17), e einino, para ete ao, R1 omo eno o momento reitente e álulo reitio pela mea omprimia a eção T, tem-e: h R1 R,mea 0,85 ( b h ) upr/t405 h

30 R,mea h 0,85( b h ) Equação 5. Deta orma, para a regiõe e onreto omprimio em viga e eçõe T, têm-e: y < h R < R,mea y h R R,mea Equação 5.3 y > h R > R,mea Seçõe T em armaura e ompreão: y h Seja Figura 5.18 one etá repreentaa uma viga e eção T em que a oliitação e álulo S é reitia pelo momento reitente e álulo R, ompoto omente pelo binário a orça R e R, em a neeiae e armaura e ompreão. b ε y 0,8 h R R 1 σ h 1 z R R1 S R ε b eorço reitente e álulo l oliitação e álulo Figura 5.18 Viga e eção T em armaura e ompreão y h Comparano a Figura 5.14 om a Figura 5.18 poe-e onluir que a viga e eção T em armaura e ompreão, om y h, é equivalente a uma viga e eção retangular e bae b. Deta orma, introuzino valore e b no lugare e b apreentao na Equação 5.19 e onierano: a relação entre y e h (Equação 5.3); armaura mínima (Equação 5.1); e armaura máima (Equação 5.15), a viga e eção T, em armaura e ompreão, om y h, poem er repreentaa por: upr/t405

31 R,mea S R1,lim S S ou h 0,85( b h ) y h eção retangular equivalente e bae b y z R,mea R1,lim R b R1 y 0,68b y R1 0,7 0,8 1,5 1,565 0,7b y 0,8 z 1 0,4 1,0 E 1 3,5 1,0 y y h,min,ma 0,7b k 35Pa 0,8b k > 35Pa não há neeiae e armaura e ompreão R1 k k 35Pa tab y, > 35Pa R1 0,500 0,400 0,59 > 0,59 0,04 ma y 0,0015 0,04b h k k z e 35Pa > 35Pa Equação 5.4 Eemplo 5.4: Determinar a armaura neeária para a viga abaio iniaa, a qual etá ubmetia a um momento letor oliitante e álulo ( S ) igual a 0 knm. Dao: onreto: C0; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letore); e etao limite último, ombinaçõe normai (γ 1,4 e γ 1,15). 60 m 10 m S 0 knm 40 m 0 m upr/t405

32 Solução: olução o problema onite na apliação ireta a Equação 5.4 e a tabela e leão imple o C-50 (item 5.16). a. Dao - uniormização e uniae (kn e m) 0 Pa,0 kn/m k γ 1,40 k γ 1,40 (ELU - ombinação normal),0 1,43 kn/m yk 500 Pa 50 kn/m γ 1,15 (ELU - ombinação normal) yk 50 y 43,5 kn/m γ 1,15 b 0 m b 60 m 44 m (aumio) h 50 m h 10 m b h + b b h ( ) + ( 60-0) m ,04,min ma y 0,0015 1,43 0, ,10 m,min ma 43,5,10 m 0, ,10 m 0,04b h, ma, ma 0, ,0m S 0kNm 000kNm h h R,mea 0,85( b h ) 10 R, mea 0,85 ( 60 10) 44 1, kNm { S < R,mea y < h eção retangular equivalente e bae b kNm R1,lim 8 443kNm 0,7b k 35Pa R 1,lim 0, , kNm não há neeiae e armaura e ompreão { S < R1,lim kNm 4518kNm R R1 S b. Tabela C-50 R1 0,7 b 000kNm 000 0,13 < 0, ,43 OK b h upr/t405

33 0,13 y 0,170 0, ,915 tabela z y y 0, ,48 m < 10,0m 43 OK 14 z R1 y,min,ma 000 >,10 m 1,56 m 0, ,5 < 40,0m 1,56m,al π,0,e 4 φ 0mm 4 1,57m 4. Veriiação para valore alulao 0,68b y 0, ,43 0,13 1,001 OK 1,56 43,5. Comparação om o Eemplo 5.3, para igual a 44 m 60 m h OK 17,6 m 7,48 m 10 m 34 m 0 m 0 m 6 m 13,8 m 3,99 m 1,56 m S 0 knm Seção Retang. Seção T 1000,0 m 1400,0 m 40,0% 35,0 m 448,8 m 7,5% 3,99 m # # 13,8 m 1,56 m -9,1% + 17,81 m 1,56 m -9,5% 0,500 0,13 Domínio 3 e. Obervação Deve er veriiao o valor e (aumio igual a 44 m) em unção a ipoição a armaura einia por,e. Eta veriiação preupõe o onheimento o iâmetro a armaura tranveral (etribo), obrimento a armaura e imenão máima o agregao graúo upr/t405

34 Seçõe T em armaura e ompreão: y > h Seja Figura 5.19 one etá repreentaa uma viga e eção T em que a oliitação e álulo S é reitia pelo momento reitente e álulo R, ompoto pelo binário a orça R 1 / R 1 e R 3 / R 3, em a neeiae e armaura e ompreão. b ε y 0,8 σ h h z R 3 R 1 R R1 + R3 S R ε v b R v R 3 + R 1 (R 3 ) (R 1 ) l eorço reitente e álulo oliitação e álulo Figura 5.19 Viga e eção T em armaura e ompreão y > h Como motrao na Figura 5.19, o momento letor reitente e álulo R ( R S ) é ompoto por oi momento R1 e R3. No que e reere a R1 valem toa a onieraçõe apreentaa em 5.8. Deenvolveno, para a Figura 5.19, um raioínio emelhante ao apreentao em 5.8, hega-e: armaura traionaa R1 R3 1 + z h y equação e veriiação [( ) ] 0,68b 0,85 b b h + y y Deta orma, a viga e eção T, em armaura e ompreão, om y > h, poem er repreentaa por: upr/t405

35 S S S ou R3 R1 h 0,85( b h ) > y > h eção T R,mea R1,lim 0,85 ( b b ) ( + ) 0,7b 0,8b b + 0,7 0,8 35Pa > 35Pa 35Pa > 35Pa R1 1,5 1,565 0,7b y 0,8 z 1 0,4 1,0 E 1 3,5 1,0 y y > h y R,mea R1,lim R R R1 R1 R3 R3 h h não há neeiae e armaura e ompreão R3 R1 R3 1 + z h y 0,68b 0,85 + y k k k k,min,ma 0,500 0,400 0,59 > 0,59 [( b b ) h ] y tab, 0,04 ma y 0,0015 0,04b h k k y z e 35Pa > 35Pa Equação 5.5 Eemplo 5.5: Determinar a armaura neeária para a viga abaio iniaa, a qual etá ubmetia a um momento letor oliitante e álulo ( S ) igual a 30 knm. Dao: onreto: C0; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letore); e etao limite último, ombinaçõe normai (γ 1,4 e γ 1,15) upr/t405

36 60 m 10 m S 30 knm 40 m Solução: olução o problema onite na apliação ireta a Equação 5.5 e a tabela e leão imple o C-50 (item 5.16). a. Dao - uniormização e uniae (kn e m) 0 Pa,0 kn/m k γ 1,40 k γ 1,40 (ELU - ombinação normal),0 1,43 kn/m yk 500 Pa 50 kn/m γ 1,15 (ELU - ombinação normal) yk 50 y 43,5 kn/m γ 1,15 b 0 m b 60 m 44 m (aumio) h 50 m h 10 m b h + ( b b ) h + ( 60-0) m ,04,min ma y 0,0015 1,43 0, ,10 m,min ma 43,5,10 m 0, ,10 m 0,04b h, ma, ma 0, ,0m S 30 knm 3000kNm h R,mea 0,85( b h ) 10 R, mea 0,85 y h eção T { S > R,mea > kNm R1,lim 0 m 8 443kNm 0,7b ( 60 10) 44 1, kNm k 35Pa R 1,lim 0, , kNm h b b h upr/t405

37 R3 h 0,85 ( b b ) h 10 0, kNm knm ( 60 0) , kNm R 3 R 1,lim R3 { S 3000kNm < R1,lim + R3 não há neeiae e armaura e ompreão kNm R R1 + R 3 S R1 R R3 3000kNm R kNm 1 b. Tabela C-50 R1 0,7 b , ,43 < 0,7 OK 0,415 y 0,33 0, ,834 tabela z y y 0, ,61m > 10,0 43 m OK 14 R1 R3 1,min + z h y,ma ,34 m 0, , ,34m,al π,5,e 4 φ 5mm 4 19,63 m 4. Veriiação para valore alulao 0,68b 0,85[ ( b b ) h ] + y y 0, ,43 0,85 0, ,34 43,5 h >,10 m < 40,0m ( 60 0) 10 1,43 19,34 43,5 [ ] OK. Obervação Deve er veriiao o valor e (aumio igual a 44 m) em unção a ipoição a armaura einia por,e. Eta veriiação preupõe o onheimento o iâmetro a armaura tranveral (etribo), obrimento a armaura e imenão máima o agregao graúo. OK upr/t405

38 5.1 Viga e eção T om armaura e ompreão Seçõe T om rmaura e Compreão: y h Na eçõe T, a neeiae a armaura e ompreão (Figura 5.0) poe vir a er neeária, em algun ao, quano a relação h / aume valore maiore que 0,4 para onreto e lae igual ou inerior a C35, ou 0,3 para onreto e lae uperior a C35. b R σ ε y 0,8 R 1 h h z ε S 1 R R R1 + R ε + v 1 b R v R + R 1 (R ) (R 1 ) l eorço reitente e álulo oliitação e álulo Figura 5.0 Viga e eção T om armaura e ompreão y h Deenvolveno um raioínio análogo ao apreentao em 5.8, 5.10 e 5.11, a viga e eção T, om armaura e ompreão, om y h, poem er repreentaa por: upr/t405

39 ( ) ( + ) R,mea S h 0,85( b h ) y h eção retangular equivalente e bae b y R,mea R1 z R R ( ) y 0,04bh 0,68b y 0,7b k 35Pa R1,lim 0,8b k > 35Pa S > R1,lim há neeiae e armaura e ompreão R1 R1,lim valor a er aumio (poe er R1 R1,lim) S R R1 + R R R R1 R1 0,7 k 35Pa tab y,z, e b 0,8 k > 35Pa ou 0,500 R1 k 35Pa 1,5 1,565 0,7b 0,400 k > 35Pa y 0,8 z 1 0,4 1,0 0,59 E 1 3,5 1,0 0,59 > y E 10 1,0 0,59 y 1 E 3,5 1,0 > 0,59 y y h + 1 y +,min 0,04 ma y 0,0015 Equação 5.6 Eemplo 5.6: Determinar a armaura neeária para a viga abaio iniaa, a qual etá ubmetia a um momento letor oliitante e álulo ( S ) igual a 500 knm. Dao: onreto: C0; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letore); e etao limite último, ombinaçõe normai (γ 1,4 e γ 1,15) upr/t405

40 60 m 5 m S 500 knm 5 m 0 m Solução: olução o problema onite na apliação ireta a Equação 5.6 e a tabela e leão imple o C-50 (item 5.16). a. Dao - uniormização e uniae (kn e m) 0 Pa,0 kn/m k γ 1,40 k γ 1,40 (ELU - ombinação normal),0 1,43 kn/m yk 500 Pa 50 kn/m γ 1,15 (ELU - ombinação normal) yk 50 y 43,5 kn/m γ 1,15 b 0 m b 60 m 44 m (aumio) 4 m (aumio) h 50 m h 5 m b h + ( b b ) h + ( 60-0) m ,04,min ma y 0,0015 1,43 0, ,58 m,min ma 43,5 3,00 m 0, ,00 m 0,04b h, ma, ma 0, ,0m S 500 knm 50000kNm h h R,mea 0,85( b h ) 5 R, mea 0,85 ( 60 5) 44 1, kNm S < R,mea y < h eção retangular equivalente e bae b 1443 { kNm 57 43kNm R1,lim 0,7b k 35Pa upr/t405 b h

41 R 1,lim 0, , kNm há neeiae e armaura e ompreão { S > R1,lim kNm 4518kNm R 1 R1, lim 4518 knm 4518 knm valor aotao (orrepone a R1, lim S R R1 + R 50000kNm R R R R b. Tabela C-50 R1 0,7 b 4818kNm ,7 eria ierente e 0,7 e ,43 0,500 0,7 y 0,400 z 0, tabela 0, y y 0, ,60 m < 5,0m 43 OK 14 R1 + z R ( ) y 1 h 0,04 y 0, ,8m > 3,00m 0, (44 4) 43,5 3,8m,al π,5,e 7 φ 5mm 7 34,36 m 4 R ( + ) 0,04bh ( ) y 4818 (44 4) 43,5,al,77m,77 m π 1,5,e 3 φ1, 5mm 3 3,68m ,36 + 3,68 38,04m 40,0m,e,e <. Veriiação para valore alulao 0,68b + y 0, ,43,77 0, ,8 43,5 3, upr/t405 OK ) R1 OK oe ierente e. Obervação Devem er veriiao o valore e e em unção e,e e,e. Eta veriiação preupõe o onheimento o iâmetro a armaura tranveral (etribo), obrimento a armaura e imenão máima o agregao graúo. OK R1,lim

42 5.1. Seçõe T om rmaura e Compreão: y > h Na eçõe T, a neeiae a armaura e ompreão (Figura 5.1) poe vir a er neeária, em ao, que a altura a região e onreto omprimio (y) oupe boa parte a nervura, além a oupação total a mea. b R σ ε y 0,8 h h R z R 3 R 1 R R1 + R + R3 ε S b v R v R 3 + R + R 1 (R 3 ) (R ) (R 1 ) l ε eorço reitente e álulo oliitação e álulo Figura Viga e eção T om armaura e ompreão y > h Deenvolveno um raioínio análogo ao apreentao em 5.8, 5.10 e 5.11, a viga e eção T, om armaura e ompreão, om y > h, poem er repreentaa por: upr/t405

43 upr/t405 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] > > > > > > > > > y y y R y,min y R3 R z R1 y y y y z y k k R1 z y k k R1 R3 R1 R R R3 R R1 R S R1,lim R1 R1,lim R1 R3 R1,lim S R3 k k R1,lim R,mea S R,mea h b b 0,85 0,68b h 0,04b 0,0015 0,04 ma 1 h ) ( h y 0,59 1,0 3,5 E 0,59 1, E 0,59 1,0 3,5 1 E 0,59 1,0 0,4 1 0,8 35Pa 0,400 35Pa 0,500 0,7b 1,565 1,5 ou e,, tab 35Pa 0,8 35Pa 0,7 b ) aumio (poe er a er valor armaura e ompreão há a neeiae e ) ( h h b b 0,85 35Pa 0,8b 35Pa 0,7b eção T h y h h b 0,85 Equação 5.7

44 Eemplo 5.7: Determinar a armaura neeária para a viga abaio iniaa, a qual etá ubmetia a um momento letor oliitante e álulo ( S ) igual a 500 knm. Dao: onreto: C0; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letore); e etao limite último, ombinaçõe normai (γ 1,4 e γ 1,15). 60 m 10 m S 500 knm 40 m Solução: olução o problema onite na apliação ireta a Equação 5.7 e a tabela e leão imple o C-50 (item 5.16). a. Dao - uniormização e uniae (kn e m) k 0 Pa,0 kn/m 1,40 (ELU - ombinação normal) γ,0 k γ 1,40 1,43 kn/m yk 500 Pa 50 kn/m γ 1,15 (ELU - ombinação normal) yk 50 y 43,5 kn/m γ 1,15 b 0 m b 60 m 44 m (aumio) 4 m (aumio) h 50 m h 10 m b h + ( b b ) h + ( 60-0) m ,04,min ma y 0,0015 1,43 0, ,10 m,min ma 43,5,10 m 0, ,10 m 0,04b h, ma 0 m, ma 0, ,0m S 500 knm 50000kNm upr/t405

45 R,mea h 0,85( b h ) 10 0,85 > R,mea y > h eção T 1443 ( 60 10) 44 1, kNm R, mea { S kNm R1,lim 8 443kNm 0,7 b k 35Pa R 1,lim 0, , kNm R3 h 0,85 ( b b ) h 10 0, kNm kNm ( 60 0) , kNm R 3 R 1,lim R3 { S kNm > R1,lim + R3 há neeiae e armaura e ompreão kNm R1 R1,lim 15061kNm valor aotao R1 S R R1 + R + R3 ( ) R R R1 + R ( ) R b. Tabela C ,7 b 50000kNm 15977kNm ,7 eria ierente e 0,7 e ,43 0,500 0,400 0,7 y 0, z 4 tabela 0, y y 0, ,60 m > 10,0m 43 OK 14 R1 R R3 + + z ( ) h h 1 y,min ,0m 0, (44 4) 10 43, ,0m,al π,5,e 7 φ 5mm ,36 m R1 oe ierente e h,10 m b b OK R1,lim h upr/t405

46 R ( ) y ,5,al ( 44 4) 9,18m 9,18m π 1,6,e 5 φ16mm 5 10,05 m , ,05 44,41m > 40,0m,e,e. Veriiação para valore alulao [( ) ] 0,68b + 0,85 b b h + y y 0, ,43 9,18 0,85 0, ,0 43,5 30,0 aumentar a imenõe a viga [( 60 0) 10] 30,0 43,5 1,43. Obervação Se para a veriiação a armaura máima oe uaa a Equação 5.14 no lugar a Equação 5.15, teríamo: + 0,04 ( ) ma ( + ) 0, ,0 m ma,e +,e 34, ,05 44,41m < 56,0m OK Porém, pela razõe apreentaa em 5.7., é onveniente eguir a eqüênia e alulo motraa no item b e aumentar a imenõe a eção tranveral a viga. OK 5.13 Compoição e b Conjunto laje viga Na etrutura e onreto armao, a viga e eção T apareem naturalmente poi o onjunto laje-viga eine ete tipo e eção, omo motrao na Figura 5.. P1 0 0 V P 0 0 L1 10 m V L 10 m V L3 10 m P3 0 0 V 0 50 P4 0 0 L1 b Corte V4 L3 V3 b h L Figura 5. Conjunto laje-viga upr/t405

47 Deve er notao que no imenionamento a armaura longituinal (armaura e leão), a viga e onreto armao ompota por nervura (alma) e aba (mea), omo motrao na Figura 5., ó poerá er onieraa omo eção T, quano a mea etiver omprimia. Cao ontrário (mea traionaa), a viga everá er onieraa omo e eção retangular e bae b. De moo geral, poe e izer que a eção T, om a mea poiionaa na parte uperior a viga (T em pé), poe er uaa para o imenionamento a armaura longituinal poitiva (momento letore poitivo a viga V3 a Figura 5.). Eventualmente, em ontruçõe om laje rebaiaa (apoiaa na bae a viga), é poível onigurar-e eçõe (T invertio a viga V4 a Figura 5.). Nete ao, eta eçõe poeriam er uaa no imenionamento a armaura longituinal negativa (momento letore negativo, e houverem, na viga V4 a Figura 5.) Largura olaborante e viga e eção T Ditânia entre ponto e momento letore nulo onieração a largura olaborante a laje aoiaa à viga (Figura 5.) eve obeeer à preriçõe a BNT NBR BNT NBR 6118, item : largura olaborante b eve er aa pela largura a viga b areia e no máimo 10% a itânia a entre ponto e momento letor nulo, para aa lao a viga em que houver laje olaborante. itânia a poe er etimaa, em unção o omprimento l o tramo onierao, omo e apreenta a eguir: viga implemente apoiaa: a 1,00 l; viga om momento em uma ó etremiae: a 0,75 l; viga om momento na ua etremiae: a 0,60 l; viga em balanço: a,00 l. lternativamente, o ômputo a itânia a poe er eito ou veriiao meiante eame o iagrama e momento letore na etrutura. No ao e viga ontínua, permite-e alulá-la om uma largura olaborante únia para toa a eçõe, inluive no apoio ob momento negativo, ee que ea largura eja alulaa a partir o treho e momento poitivo one a largura reulte mínima. O valore e a poem er etabeleio omo: a l a 0,75l a 0,60l a l viga implemente apoiaa viga om momento em uma ó etremiae viga om momento na ua etremiae viga em balanço Equação 5.8 Figura 5.3 motra o valore impliiao e a, omo etabeleio pela BNT NBR upr/t405

48 l 1 l l 3 l 4 a 1 l 1 Figura 5.3 Ditânia entre ponto e momento letor nulo Deve er obervao na Figura 5.3 que para a viga iotátia (l 1 ) ó tem entio o uo e eçõe T om a mea poiionaa na parte uperior a viga (T em pé), poi neta viga ó atuam momento letore poitivo. Nete ao: a l a 1 1 a 0,75 l a 3 0,60 l 3 a 4,00 l 4 I II III IV Para a viga ontínua (l + l 3 + l 4 ), a eçõe T om a mea poiionaa na parte uperior a viga (T em pé) poem er amitia no treho I e III, one atuam momento letore poitivo. eçõe om a mea poiionaa na parte inerior a viga (T invertio) poem er amitia no treho II e IV, one atuam momento letore negativo. Para o ao em que a viga ontínua motraa na Figura 5.3 tiver, em toa ua etenão, eção tranveral em orma e T om a mea poiionaa na parte uperior a viga (T em pé), na eterminação o valor e b (a er uao no imenionamento o momento letore poitivo o treho I e III), eve er tomao para a o menor o eguinte valore: a 0,75 l a a 3 0,60 l 3 Para o ao em que a viga ontínua motraa na Figura 5.3 tiver, em toa ua etenão, eção tranveral em orma e om a mea poiionaa na parte inerior a viga (T invertio), na eterminação o valor e b (a er uao no imenionamento o momento letore negativo o treho II e IV), eve er tomao para a o menor o eguinte valore: 0,5 l + 0,0 l 3 a 0,0 l 3 +,00 l Viga iolaa e painel e viga Na eterminação e b não poe er apena onieraa a itânia a entre o ponto e momento letor nulo, omo apreentao em lguma ipoiçõe eorrente a própria natureza a viga, ou o onjunto ela, evem er onieraa, omo motrao na Figura upr/t405

49 b b 3 b 1 b 1 b 4 b onjunto e viga b b b b 3 b 3 b 1 0,5 b b 4 b 4 b 3 b 4 viga iolaa b Figura 5.4 Largura e mea olaborante relaçõe entre o valore e a motrao na Figura 5.3 e o valore e b i apreentao na Figura 5.4 orreponem a: 0,1a 0,1a b 1 b3 Equação 5.9 0,5b b4 Eemplo 5.8: Determinar o valor e b para a viga V. Conierar: viga implemente apoiaa no pilare. V1 V1B 180 L1 V V3 P L VB 40 V4 P P3 10 L3 P upr/t405

50 Solução: olução o problema onite na apliação ireta a Equação 5.8 e a Equação 5.9. a. Deinição e a (vita longituinal e V) a a 0, 75l a 0, m l 1 m P3 l 7,8 m P4 a 0,75 l b. Deinição e b (eção tranveral e V) b 400m b b 4 10m 0,1a b 1 0,5b b 3 b 1 0, ,5m b V V1 1 0,5b 0, m b 0,1a 4 b b b b 3 b 4 0, ,5m b 3 10m b b3 + b + b1 b 58, ,5 157m b 157 m 5.14 S,min Uma outra maneira e e eterminar armaura mínima em viga e onreto armao é uano o oneito e S,min. BNT NBR 6118, item : ruptura rágil a eçõe tranverai, quano a ormação a primeira iura, eve er evitaa onierano-e, para o álulo a armaura, um momento mínimo ao pelo valor orreponente ao que prouziria a ruptura a eção e onreto imple, upono que a reitênia à tração o onreto eja aa por tk,up, eveno também obeeer à oniçõe relativa ao ontrole a abertura e iura aa em BNT NBR 6118, item : armaura mínima e tração, em elemento etruturai armao ou protenio eve er eterminaa pelo imenionamento a eção a um momento letor mínimo ao pela epreão a eguir, repeitaa a taa mínima aboluta e 0,15%:,mim 0,8 W 0 tk,up one: W 0 é o móulo e reitênia a eção tranveral bruta e onreto, relativo à ibra mai traionaa; tk,up é a reitênia araterítia uperior o onreto à tração upr/t405

51 Seguino o prerito no item a BNT NBR 6118, a equação para a eterminação o momento letor mínimo 1 reulta: 3 S,min 0,8 W0 tk,up tk,up 0,39 k k em Pa Equação 5.30 para uma taa mínima e armaura aa por:,min ρ min 0,15% Equação 5.31 BNT NBR 6118, item : Em elemento etruturai uperimenionao, poe er utilizaa armaura menor que a mínima, om valor obtio a partir e um momento letor igual ao obro e. Nete ao, a eterminação o eorço oliitante eve onierar e orma rigoroa toa a ombinaçõe poívei e arregamento, aim omo o eeito e temperatura, eormaçõe ieria e realque e apoio. Deve-e ter aina uiao om o iâmetro e epaçamento a armaura e limitação e iuração. Eemplo 5.9: Determinar, para a viga abaio repreentaa, o momento letor oliitante e álulo mínimo ( S,min ). Conierar: onreto: C0; e etao limite último, ombinaçõe normai (γ 1,4). 60 m 10 m S,min 40 m Solução: olução o problema onite na apliação ireta a Equação a. Dao - uniormização e uniae (kn e m) 0 Pa,0 kn/m k γ 1,40 tk,up tk,up (ELU - ombinação normal) 0,39 3 k 3 k em Pa 0,39 0,874Pa 0,87 kn/m b 0 m b 60 m h 50 m h 10 m 0 m 1 BNT NBR 6118, item , eine o momento letor mínimo omo,min, eiano e araterizá-lo omo momento letor oliitante e álulo. Para manter oerênia om o eenvolvimento ete Capítulo, na Equação 5.30, o momento oi einio omo eno S,min upr/t405

52 b. S,min b h + ( b b ) h + ( 60-0) m 0 50 y (b h ) [(b b )(h h ) ] {[(b h) [(b b )(h h )]} ) [(60 0) (50 10) ] (60 50 y 30,71m h {[(60 50) [(60 0) (50 10)] } y h y y 50 30,71 19,9m 3 3 b h [(b b )(h h ) ] I y [(60 0) (50 10) ] I , m 3 I W0 W0, ibra mai traionaa () y W m 30,71 0,8 W S,min 0 tk,up 0, ,87 S, min S, min 4,4kNm 440kNm. Obervação Se neta viga etiver atuano um momento letor oliitante e álulo inerior a 4,4 knm, o álulo a armaura poe er eito e ua maneira: - onierano um momento letor oliitante e álulo igual a 4,4 knm e BBBBveriiano a taa mínima e armaura (0,15%) para o alulao; ou - onierano um momento letor oliitante e álulo igual ao obro e BBBB4,4 knm, em a veriiação a taa mínima e armaura para o alulao Dipoiçõe ontrutiva Dimenõe limite viga e onreto armao, e moo geral, não evem pouir largura inerior a 1 m. BNT NBR 6118, item 13..: eção tranveral a viga não eve apreentar largura menor que 1 m e a viga-paree, menor que 15 m. Ete limite poem er reuzio, repeitao um mínimo aboluto e 10 m em ao eepionai, eno obrigatoriamente repeitaa a eguinte oniçõe: alojamento a armaura e ua intererênia om a armaura e outro elemento etruturai, repeitano o epaçamento e obertura etabeleio neta Norma; lançamento e vibração o onreto e aoro om a BNT NBR rmaura e tração na eçõe e apoio Seguno o item a BNT NBR 6118, a armaura longituinai poitiva e viga evem er prolongaa até o apoio (Figura 5.5), e tal orma que:,apoio 0,33,vão, e apoio or nulo ou negativo e valor aboluto apoio 0,5 vão ; ou,apoio 0,5,vão, e apoio or negativo e valor aboluto apoio > 0,5 vão ; e h 4 b g b y y upr/t405

53 No ao e apoio intermeiário, one não haja a poibiliae e oorrênia e momento poitivo, a armaura proveniente o meio o vão everão e etener, no mínimo, 10 φ além a ae o apoio (item a BNT NBR 6118). 0,33,vão,vão 0,5,vão Figura Prolongamento e armaura poitiva Conentração e armaura O eorço na armaura, traionaa ou omprimia, poem er onierao onentrao no entro e graviae orreponente (Figura 5.6), e a itânia ete entro ao ponto a eção e armaura mai aataa a linha neutra, meia normalmente a eta, or menor que 10% h (BNT NBR 6118, item ). 10 φ h y CG < 0,1 h CG y CG Figura Centro e graviae e armaura rmaura e pele Quano a altura e viga uperar 60 m e a armaura longituinal e tração eta viga or ontituía por aço e alta aerênia (η 1,5), é obrigatório o uo a armaura e pele (BNT NBR 6118, item ). Eta armaura e pele (armaura lateral) everá er ontituía pelo memo aço a armaura longituinal e tração, om área mínima igual a 0,10%,alma em aa ae a alma a viga. O epaçamento entre a barra ontituinte a,pele 0,1 b h (por ae) 0 m h 60 m armaura e pele não eve uperar 0 m (Figura 5.7). b Figura rmaura e pele 5.16 Tabela e Fleão Simple upr/t405

54 C-5 y 1,7 kn/m para / y z 0,05 0,050 0,075 0,100 0,15 0,150 0,175 0,00 0,5 0,50 0,010 0,008 0,996 0,007 0,00 0,016 0,99 0,013 0,030 0,04 0,988 0,00 0,050 0,040 0,03 0,984 0,07 0,151 0,050 0,040 0,980 0,033 0,55 0,060 0,048 0,976 0,040 0,360 0,103 0,070 0,056 0,97 0,046 0,468 0,08 0,080 0,064 0,968 0,053 0,579 0,316 0,053 0,090 0,07 0,964 0,059 0,691 0,45 0,160 0,100 0,080 0,960 0,065 0,806 0,538 0,69 0,110 0,088 0,956 0,07 0,94 0,65 0,381 0,109 0,10 0,096 0,95 0,078 0,770 0,495 0,0 0,130 0,104 0,948 0,084 0,890 0,61 0,334 0,056 0,140 0,11 0,944 0,090 0,731 0,450 0,169 0,150 0,10 0,940 0,096 0,854 0,569 0,85 0,160 0,18 0,936 0,10 0,979 0,691 0,403 0,115 0,170 0,136 0,93 0,108 0,816 0,55 0,33 0,180 0,144 0,98 0,114 0,944 0,649 0,354 0,059 0,190 0,15 0,94 0,119 0,777 0,478 0,179 0,00 0,160 0,90 0,15 0,907 0,605 0,30 0,10 0,168 0,916 0,131 0,735 0,49 0,1 0,0 0,176 0,91 0,136 0,868 0,558 0,48 0,30 0,184 0,908 0,14 0,691 0,377 0,063 0,40 0,19 0,904 0,148 0,88 0,509 0,191 0,50 0,00 0,900 0,153 0,968 0,645 0,33 0,59 0,07 0,896 0,158 0,774 0,448 0,11 0,60 0,08 0,896 0,158 0,78 0,456 0,130 0,70 0,16 0,89 0,164 0,878 0,565 0,51 0,80 0,4 0,888 0,169 0,968 0,665 0,363 0,90 0,3 0,884 0,174 0,759 0,467 0,300 0,40 0,880 0,180 0,847 0,565 0,310 0,48 0,876 0,185 0,99 0,656 0,30 0,56 0,87 0,190 0,741 0,330 0,64 0,868 0,195 0,81 0,340 0,7 0,864 0,00 0,897 0,350 0,80 0,860 0,05 0,968 0,360 0,88 0,856 0,10 0,370 0,96 0,85 0,14 0,380 0,304 0,848 0,19 0,390 0,31 0,844 0,4 0,400 0,30 0,840 0,8 0,410 0,38 0,836 0,33 0,40 0,336 0,83 0,38 0,430 0,344 0,88 0,4 0,440 0,35 0,84 0,47 0,450 0,360 0,80 0,51 0,460 0,368 0,816 0,55 0,470 0,376 0,81 0,60 0,480 0,384 0,808 0,64 0,490 0,39 0,804 0,68 0,500 0,400 0,800 0,7 0,510 0,408 0,796 0,76 0,50 0,416 0,79 0,80 0,530 0,44 0,788 0,84 0,540 0,43 0,784 0,88 0,550 0,440 0,780 0,9 0,560 0,448 0,776 0,96 0,570 0,456 0,77 0,99 0,580 0,464 0,768 0,303 0,590 0,47 0,764 0,307 0,600 0,480 0,760 0,310 0,610 0,488 0,756 0,314 0,60 0,496 0,75 0,317 0,630 0,504 0,748 0,30 0,640 0,51 0,744 0,34 0,650 0,50 0,740 0,37 0,660 0,58 0,736 0,330 0,670 0,536 0,73 0,333 0,680 0,544 0,78 0,337 0,690 0,55 0,74 0,340 0,700 0,560 0,70 0, upr/t405

55 C-50 y 43,5 kn/m para / y z 0,05 0,050 0,075 0,100 0,15 0,150 0,175 0,00 0,5 0,50 0,010 0,008 0,996 0,007 0,00 0,016 0,99 0,013 0,030 0,04 0,988 0,00 0,05 0,040 0,03 0,984 0,07 0,075 0,050 0,040 0,980 0,033 0,17 0,060 0,048 0,976 0,040 0,180 0,051 0,070 0,056 0,97 0,046 0,34 0,104 0,080 0,064 0,968 0,053 0,89 0,157 0,06 0,090 0,07 0,964 0,059 0,345 0,1 0,080 0,100 0,080 0,960 0,065 0,40 0,68 0,134 0,110 0,088 0,956 0,07 0,461 0,35 0,190 0,054 0,10 0,096 0,95 0,078 0,51 0,384 0,47 0,110 0,130 0,104 0,948 0,084 0,583 0,444 0,305 0,166 0,08 0,140 0,11 0,944 0,090 0,646 0,505 0,365 0,5 0,084 0,150 0,10 0,940 0,096 0,710 0,568 0,46 0,84 0,14 0,160 0,18 0,936 0,10 0,776 0,63 0,489 0,345 0,01 0,057 0,170 0,136 0,93 0,108 0,843 0,698 0,553 0,407 0,6 0,116 0,180 0,144 0,98 0,114 0,913 0,765 0,618 0,471 0,34 0,177 0,09 0,190 0,15 0,94 0,119 0,983 0,834 0,685 0,536 0,387 0,38 0,089 0,00 0,160 0,90 0,15 0,905 0,754 0,603 0,453 0,30 0,151 0,10 0,168 0,916 0,131 0,978 0,85 0,67 0,519 0,367 0,14 0,061 0,0 0,176 0,91 0,136 0,897 0,743 0,588 0,433 0,79 0,14 0,30 0,184 0,908 0,14 0,97 0,815 0,658 0,50 0,345 0,188 0,031 0,40 0,19 0,904 0,148 0,889 0,730 0,57 0,413 0,54 0,095 0,50 0,00 0,900 0,153 0,966 0,805 0,644 0,483 0,3 0,161 0,59 0,07 0,896 0,158 0,875 0,71 0,549 0,386 0,3 0,060 0,60 0,08 0,896 0,158 0,877 0,715 0,55 0,390 0,7 0,065 0,70 0,16 0,89 0,164 0,907 0,751 0,595 0,438 0,8 0,15 0,80 0,4 0,888 0,169 0,935 0,784 0,634 0,483 0,33 0,181 0,90 0,3 0,884 0,174 0,961 0,816 0,670 0,54 0,379 0,33 0,300 0,40 0,880 0,180 0,986 0,845 0,704 0,563 0,4 0,8 0,310 0,48 0,876 0,185 0,87 0,736 0,600 0,463 0,37 0,30 0,56 0,87 0,190 0,898 0,766 0,634 0,50 0,370 0,330 0,64 0,868 0,195 0,9 0,794 0,666 0,538 0,410 0,340 0,7 0,864 0,00 0,944 0,80 0,696 0,57 0,447 0,350 0,80 0,860 0,05 0,966 0,845 0,74 0,603 0,483 0,360 0,88 0,856 0,10 0,986 0,868 0,751 0,634 0,516 0,370 0,96 0,85 0,14 0,890 0,776 0,66 0,548 0,380 0,304 0,848 0,19 0,91 0,800 0,689 0,578 0,390 0,31 0,844 0,4 0,931 0,83 0,715 0,607 0,400 0,30 0,840 0,8 0,950 0,845 0,739 0,634 0,410 0,38 0,836 0,33 0,968 0,865 0,76 0,659 0,40 0,336 0,83 0,38 0,986 0,885 0,784 0,684 0,430 0,344 0,88 0,4 0,904 0,806 0,707 0,440 0,35 0,84 0,47 0,9 0,86 0,730 0,450 0,360 0,80 0,51 0,939 0,845 0,751 0,460 0,368 0,816 0,55 0,955 0,863 0,771 0,470 0,376 0,81 0,60 0,971 0,881 0,791 0,480 0,384 0,808 0,64 0,986 0,898 0,810 0,490 0,39 0,804 0,68 0,914 0,88 0,500 0,400 0,800 0,7 0,99 0,845 0,510 0,408 0,796 0,76 0,944 0,861 0,50 0,416 0,79 0,80 0,959 0,877 0,530 0,44 0,788 0,84 0,97 0,893 0,540 0,43 0,784 0,88 0,986 0,907 0,550 0,440 0,780 0,9 0,998 0,9 0,560 0,448 0,776 0,96 0,935 0,570 0,456 0,77 0,99 0,949 0,580 0,464 0,768 0,303 0,961 0,590 0,47 0,764 0,307 0,974 0,600 0,480 0,760 0,310 0,986 0,610 0,488 0,756 0,314 0,997 0,60 0,496 0,75 0,317 0,68 0,50 0,749 0,30 0,630 0,504 0,748 0,30 0,99 0,640 0,51 0,744 0,34 0,950 0,650 0,50 0,740 0,37 0,910 0,660 0,58 0,736 0,330 0,870 0,670 0,536 0,73 0,333 0,83 0,680 0,544 0,78 0,337 0,795 0,690 0,55 0,74 0,340 0,759 0,700 0,560 0,70 0,343 0, upr/t405

56 C-60 y 5, kn/m para / y z 0,05 0,050 0,075 0,100 0,15 0,150 0,175 0,00 0,5 0,50 0,010 0,008 0,996 0,007 0,00 0,016 0,99 0,013 0,030 0,04 0,988 0,00 0,01 0,040 0,03 0,984 0,07 0,063 0,050 0,040 0,980 0,033 0,106 0,060 0,048 0,976 0,040 0,150 0,043 0,070 0,056 0,97 0,046 0,195 0,087 0,080 0,064 0,968 0,053 0,41 0,131 0,0 0,090 0,07 0,964 0,059 0,87 0,177 0,066 0,100 0,080 0,960 0,065 0,335 0,3 0,11 0,110 0,088 0,956 0,07 0,384 0,71 0,158 0,045 0,10 0,096 0,95 0,078 0,434 0,30 0,06 0,091 0,130 0,104 0,948 0,084 0,486 0,370 0,54 0,139 0,03 0,140 0,11 0,944 0,090 0,538 0,41 0,304 0,187 0,070 0,150 0,10 0,940 0,096 0,59 0,473 0,355 0,37 0,118 0,160 0,18 0,936 0,10 0,647 0,57 0,407 0,87 0,168 0,048 0,170 0,136 0,93 0,108 0,703 0,58 0,460 0,339 0,18 0,097 0,180 0,144 0,98 0,114 0,760 0,638 0,515 0,39 0,70 0,147 0,05 0,190 0,15 0,94 0,119 0,819 0,695 0,571 0,447 0,33 0,199 0,074 0,00 0,160 0,90 0,15 0,880 0,754 0,69 0,503 0,377 0,51 0,16 0,10 0,168 0,916 0,131 0,94 0,815 0,687 0,560 0,433 0,306 0,178 0,051 0,0 0,176 0,91 0,136 0,877 0,748 0,619 0,490 0,361 0,3 0,103 0,30 0,184 0,908 0,14 0,940 0,810 0,679 0,549 0,418 0,87 0,157 0,06 0,40 0,19 0,904 0,148 0,873 0,741 0,609 0,476 0,344 0,1 0,079 0,50 0,00 0,900 0,153 0,939 0,805 0,670 0,536 0,40 0,68 0,134 0,59 0,07 0,896 0,158 0,865 0,79 0,593 0,458 0,3 0,186 0,050 0,60 0,08 0,896 0,158 0,866 0,731 0,596 0,460 0,35 0,190 0,054 0,70 0,16 0,89 0,164 0,887 0,756 0,66 0,495 0,365 0,35 0,104 0,80 0,4 0,888 0,169 0,905 0,779 0,654 0,58 0,40 0,77 0,151 0,90 0,3 0,884 0,174 0,93 0,801 0,680 0,558 0,437 0,316 0,194 0,300 0,40 0,880 0,180 0,939 0,81 0,704 0,587 0,469 0,35 0,35 0,310 0,48 0,876 0,185 0,954 0,840 0,77 0,613 0,500 0,386 0,73 0,30 0,56 0,87 0,190 0,968 0,858 0,748 0,638 0,58 0,418 0,308 0,330 0,64 0,868 0,195 0,981 0,875 0,768 0,661 0,555 0,448 0,341 0,340 0,7 0,864 0,00 0,994 0,890 0,787 0,683 0,580 0,476 0,373 0,350 0,80 0,860 0,05 0,905 0,805 0,704 0,603 0,503 0,40 0,360 0,88 0,856 0,10 0,919 0,81 0,74 0,66 0,58 0,430 0,370 0,96 0,85 0,14 0,93 0,837 0,74 0,647 0,55 0,457 0,380 0,304 0,848 0,19 0,945 0,85 0,760 0,667 0,574 0,48 0,390 0,31 0,844 0,4 0,957 0,866 0,776 0,686 0,596 0,505 0,400 0,30 0,840 0,8 0,968 0,880 0,79 0,704 0,616 0,58 0,410 0,38 0,836 0,33 0,979 0,893 0,807 0,71 0,635 0,549 0,40 0,336 0,83 0,38 0,989 0,905 0,81 0,738 0,654 0,570 0,430 0,344 0,88 0,4 0,999 0,917 0,835 0,753 0,671 0,589 0,440 0,35 0,84 0,47 0,98 0,848 0,768 0,688 0,608 0,450 0,360 0,80 0,51 0,939 0,860 0,78 0,704 0,66 0,460 0,368 0,816 0,55 0,949 0,87 0,796 0,719 0,643 0,470 0,376 0,81 0,60 0,959 0,884 0,809 0,734 0,659 0,480 0,384 0,808 0,64 0,968 0,895 0,81 0,748 0,675 0,490 0,39 0,804 0,68 0,977 0,905 0,833 0,761 0,690 0,500 0,400 0,800 0,7 0,986 0,915 0,845 0,774 0,704 0,510 0,408 0,796 0,76 0,994 0,95 0,856 0,787 0,718 0,50 0,416 0,79 0,80 0,934 0,866 0,799 0,731 0,530 0,44 0,788 0,84 0,943 0,877 0,810 0,744 0,540 0,43 0,784 0,88 0,95 0,887 0,81 0,756 0,550 0,440 0,780 0,9 0,960 0,896 0,83 0,768 0,560 0,448 0,776 0,96 0,968 0,905 0,84 0,779 0,570 0,456 0,77 0,99 0,976 0,914 0,85 0,790 0,580 0,464 0,768 0,303 0,983 0,93 0,86 0,801 0,585 0,468 0,766 0,305 0,987 0,97 0,866 0,806 0,590 0,47 0,764 0,307 0,978 0,990 0,931 0,871 0,811 0,600 0,480 0,760 0,310 0,939 0,997 0,939 0,880 0,81 0,610 0,488 0,756 0,314 0,900 0,946 0,889 0,831 0,60 0,496 0,75 0,317 0,863 0,954 0,897 0,840 0,630 0,504 0,748 0,30 0,87 0,961 0,905 0,849 0,640 0,51 0,744 0,34 0,79 0,968 0,913 0,858 0,650 0,50 0,740 0,37 0,758 0,975 0,91 0,866 0,660 0,58 0,736 0,330 0,75 0,981 0,98 0,875 0,670 0,536 0,73 0,333 0,694 0,988 0,935 0,883 0,680 0,544 0,78 0,337 0,663 0,994 0,94 0,890 0,690 0,55 0,74 0,340 0,633 0,949 0,898 0,700 0,560 0,70 0,343 0,603 0,955 0, upr/t405

57 5.17 Simbologia epeíia Símbolo bae a itânia entre ponto e momento letor nulo a h epaçamento horizontal mínimo livre entre a ae a barra longituinai, meio no plano a eção tranveral a v epaçamento vertial mínimo livre entre a ae a barra longituinai, meio no plano a eção tranveral b largura olaborante a mea e uma viga b largura a alma e uma viga b 1 parte e b einia pela eitênia e viga paralela b itânia entre viga paralela, ontaa a partir a míula, e eitirem b 3 parte e b einia pela eitênia e laje em balanço b 4 largura a laje em balanço, ontaa a partir a míula, e eitir ateto vertial e míula nom obrimento nominal altura útil a viga - itânia a ibra e onreto mai omprimia até o entro e graviae a armaura traionaa ma imenão máima o agregao graúo itânia a ibra e onreto mai omprimia até o entro e graviae a armaura omprimia reitênia à ompreão o onreto e álulo k reitênia à ompreão o onreto araterítia tk reitênia araterítia à tração o onreto y reitênia ao eoamento o aço e álulo yk reitênia ao eoamento o aço araterítia g k valor araterítio a ação permanente h altura a viga h epeura a mea e uma viga e eção T l vão q k valor araterítio a ação variável epaçamento entre a barra que ontituem a armaura e pele altura a linha neutra y altura o retângulo e tenõe σ y g poição o entro e graviae a eção tranveral e um onjunto e barra longituinai (traionaa ou omprimia) em relação à geratriz mai aataa a linha neutra, meia normalmente a eta y itânia o entro e graviae e uma eção T à ibra a mea mai aataa a linha neutra, meia normalmente a eta y itânia o entro e graviae e uma eção T à ibra a alma mai aataa a linha neutra, meia normalmente a eta z braço e alavana o binário e orça R 1, R 1 área e onreto área e onreto omprimio área a eção tranveral a armaura longituinal traionaa,al área alulaa a eção tranveral a armaura longituinal traionaa,e área eetiva a eção tranveral a armaura longituinal traionaa 1 área a eção tranveral a armaura longituinal traionaa, reereniaa ao binário R1 área a eção tranveral a armaura longituinal traionaa, reereniaa ao binário R 3 área a eção tranveral a armaura longituinal traionaa, reereniaa ao binário R3 área a eção tranveral a armaura longituinal omprimia,al área alulaa a eção tranveral a armaura longituinal omprimia,e área eetiva a eção tranveral a armaura longituinal omprimia E móulo e elatiiae o aço valor araterítio a ação permanente G k upr/t405

58 I momento e inéria momento letor gk momento letor araterítio eorrente e açõe permanente qk momento letor araterítio eorrente e açõe variávei R momento letor reitente e álulo R1 momento letor reitente e álulo reereniao ao binário R 1, R 1 R momento letor reitente e álulo reereniao ao binário R, R R3 momento letor reitente e álulo reereniao ao binário R 3, R 3 R1,lim momento letor reitente e álulo orrepone ao limite e utiliae a eção tranveral (,lim ) R,mea momento letor reitente e álulo reereniao ao binário R, R para a onição y h S momento letor oliitante e álulo Q k valor araterítio a ação variável R orça reitente e álulo atuante na região e onreto omprimio R 1 orça reitente e álulo atuante na região e onreto omprimio e área b y R 3 orça reitente e álulo atuante na região e onreto omprimio e área (b - b ) y R orça reitente e álulo atuante na armaura traionaa R 1 orça reitente e álulo atuante na armaura traionaa e área 1 R orça reitente e álulo atuante na armaura traionaa e área R 3 orça reitente e álulo atuante na armaura traionaa e área 3 R orça reitente e álulo atuante na armaura omprimia W 0 móulo e reitênia a eção tranveral bruta e onreto, relativo à ibra mai traionaa variável aimenional valor aimenional auiliar,lim valor aimenional auiliar orreponente ao limite e utiliae a eção tranveral (,lim ) valor aimenional que eine a tenão e tração reerente à armaura valor aimenional que eine a tenão e ompreão reerente à armaura valor aimenional que eine a poição a linha neutra,lim valor aimenional que eine a poição a linha neutra orreponente ao limite e utiliae a eção tranveral y valor aimenional que eine a região e onreto omprimio z valor aimenional que eine o braço e alavana o binário e orça R 1, R 1 ε eormação epeíia o onreto ε eormação epeíia o aço à tração ε eormação epeíia o aço à ompreão ε y eormação epeíia e eoamento o aço φ iâmetro a barra a armaura φ l iâmetro a barra longituinal φ t iâmetro a barra tranveral (etribo) γ oeiiente e poneração a reitênia o onreto γ g oeiiente e poneração para açõe permanente ireta γ q oeiiente e poneração para açõe variávei ireta γ oeiiente e poneração a reitênia o aço ρ taa geométria e armaura longituinal e tração σ tenão à ompreão no onreto σ tenão à tração na armaura σ tenão à ompreão na armaura Símbolo ubrito alma apoio al e alma apoio álulo eetivo upr/t405

59 lim ma mea min nom pele ret rup up vão T limite máimo mea mínimo nominal pele retangular ruptura uperior vão eção T 5.18 Eeríio E. 5.1: Deinir a urva R para a eção abaio iniaa. otrar no gráio o omínio, 3 e 4, bem omo o limite entre peça ub e uperarmaa. Ue o eio vertial para a área e armaura e o horizontal para o momento letor. Dao: onreto: C0; e aço: C-50. Conierar: 90 m omente oliitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, ombinaçõe normai, grane ponte (γ g 1,3, γ q 1,5, γ 1,4 e γ 1,15). Eala: 1 m 1,0 m; e 30 m 10 knm 1,0 m. E. 5.: antia a oniçõe e utiliae, eterminar a armaura longituinal para a eção tranveral a viga abaio repreentaa, a qual eve uportar, imultaneamente, o momento letore gk 80 knm e qk 5 knm. Dao: onreto: C0; e aço: C-50. Conierar: 45 m omente oliitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15). 0 m E. 5.3: antia a oniçõe e utiliae, eterminar o máimo momento letor oliitante e álulo que a viga e eção tranveral abaio iniaa poe uportar. viga terá: armaura longituinal ontituía por 7 barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) ontituía por barra e 8 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; e obrimento nominal a armaura igual a 4 m. Dao: 90 m onreto: C0; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ 1,4 e γ 1,15). 30 m E. 5.4: antia a oniçõe e utiliae, eterminar a armaura longituinal neeária para que a viga abaio repreentaa upr/t405

60 Dao: onreto: C0; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15). q k 5 kn/m 54 m g k 15 kn/m 18 m 6 m 5 m E. 5.5: eção e viga abaio iniaa etá ubmetia a um momento letor oliitante e álulo igual a 150 knm. anteno-e a oniçõe e utiliae e abeno-e que a viga terá: armaura longituinal inerior ontituía por 3 barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) ontituía por barra e 5 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; e obrimento nominal a armaura igual a 3 m; pee-e eterminar a altura mínima a viga. Dao: onreto: C0; e h aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo 18 m (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15). Ob.: não onierar a reitênia o porta-etribo (armaura longituinal uperior). E. 5.6: Uma viga e eção retangular e 0 m 60 m, altura útil orreponente a 55 m, oi enaiaa à leão imple em laboratório até atingir o Etao Limite Último. valiou-e, ao inal o enaio, que o braço e alavana z, entre a reultante e ompreão no onreto R e a reultante e tração na armaura R, everia er e 46, m. Teno em vita que a viga ó pouía armaura longituinal e tração, pee-e: a. o valor a eormaçõe no boro mai omprimio e na armaura traionaa; b. o omínio em que viga e enontrava no intante a ruptura;. a inteniae o momento letor e álulo que levou a viga à ruptura;. a armaura longituinal e tração a viga orreponente à ituação e ruína; e e. o tipo e ruptura (útil ou rágil) que a peça apreentou (jutiiar). Dao: onreto: C0; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15) upr/t405

61 0,5 y R σ ε y 0,8 h R z S b R ε E. 5.7: mitino-e que a itribuição e tenõe na região e onreto omprimio eja triangular e que: R S b S eterminar, para viga e eção retangular, omo unção únia e. σ 0,85 ε R h z R S b R ε E. 5.8: pó realizar o imenionamento a leão imple e uma viga e onreto armao, e bae 0 m e altura útil 70 m, o engenheiro eobriu que não ora onierao no álulo um o trê oeiiente e egurança eigio pela BNT NBR-6118 (γ g, γ, ou γ ). Teno em vita que, em a onieração aequaa e um ete oeiiente e egurança, obteve-e para armaura e tração o valor orreponente a 11,566 m, pee-e: a. qual o trê oeiiente oi eonierao no álulo a armaura (tomao igual a 1,0); e b. qual o valor orreto a área a armaura traionaa. Dao: onreto: C0; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ 1,4 e γ 1,15) upr/t405

62 g k 30 kn/m 70 m 8 m 0 m E. 5.9: antia a oniçõe e utiliae, eterminar a armaura longituinai neeária para a viga abaio repreentaa. viga terá: armaura longituinal ontituía por barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) ontituía por barra e 5 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; e obrimento nominal a armaura igual a 3 m. o inal o álulo, apreentar um orte longituinal equemátio iniano a poiçõe a armaura poitiva e negativa. Dao: onreto: C5; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15). q k 10 kn/m 70 m g k 0 kn/m 6 m 1,5 m 0 m E. 5.10: antia a oniçõe e utiliae, eterminar o máimo valor a arga g k que a viga abaio repreentaa poe uportar. viga terá: armaura longituinal inerior, no meio o vão, ontituía por 3 barra e 16 mm; e armaura longituinal uperior, no apoio, ontituía por 5 barra e 10 mm. Dao: onreto: C0; aço: C-50; e h 6 m. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15). Ob.: não onierar a reitênia o porta-etribo (armaura e ompreão) upr/t405

63 g k 60 m m 6 m m 0 m meio o vão 0 m apoio E. 5.11: antia a oniçõe e utiliae, eterminar a máima arga aiental q k que a viga abaio repreentaa poe uportar. viga terá: armaura longituinal inerior ontituía por 3 barra e 0 mm; armaura tranveral (etribo) ontituía por barra e 6,3 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; e obrimento nominal a armaura igual a 3 m. Dao: onreto: C5; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ 1,4 e γ 1,15). Ob.: não onierar a reitênia o porta-etribo (armaura longituinal uperior). q k 60 m g k 10 kn/m 6 m 0 m E. 5.1: Determinar a menor altura poível para que a viga abaio repreentaa mantenha a oniçõe e utiliae, em a utilização e armaura e ompreão. Para eta onição, eina ua armaura longituinal. Dao: onreto: C5; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15). peo próprio inluío na arga g k upr/t405

64 q k 0 kn/m 15 m 6 m g k 10 kn/m 5 m E. 5.13: antia a oniçõe e utiliae, eterminar a máima arga permanente G k que a viga abaio repreentaa poe uportar. viga terá: armaura longituinal inerior ontituía por 5 barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) ontituía por barra e 6,3 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; e obrimento nominal a armaura igual a 3 m. Dao: onreto: C5; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15). Ob.: não onierar a reitênia o porta etribo (armaura longituinal uperior). G k 70 m q k 5 kn/m g k 10 kn/m 0 m m 3 m E. 5.14: Determinar, para a viga abaio repreentaa: a. a menor altura poível, repeitano a oniçõe e utiliae e em a utilização e armaura e ompreão; e b. a armaura poitiva e negativa a viga, para a altura einia no item a. viga terá: armaura longituinal ontituía por barra e 0 mm; armaura tranveral (etribo) ontituía por barra e 8 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; e obrimento nominal a armaura igual a 3 m. o inal o álulo, apreentar um orte longituinal equemátio iniano a poiçõe a armaura poitiva e negativa. Dao: onreto: C30; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); etao limite último, ombinaçõe normai, ponte em geral (γ g 1,35, γ q 1,5, γ 1,4 e γ 1,15) upr/t405

65 peo próprio eprezível. Q k 100 kn h 8 m 3 m 30 m E. 5.15: Determinar o menor valor poível para a largura (b ) a viga e eção retangular abaio repreentaa e tal orma que ejam mantia a oniçõe e utiliae. No meio o vão e no apoio o balanço omente everão eitir armaura e tração para reitir ao momento letore. Para a largura mínima eterminaa, einir a armaura no meio o vão e no apoio o balanço. preentar um orte longituinal a viga om o poiionamento a armaura alulaa. viga terá: armaura longituinal ontituía por barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) ontituía por barra e 8 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; e obrimento nominal a armaura igual a 3 m. Dao: onreto: C5; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ 1,4 e γ 1,15). peo próprio inluío na arga g k. Ob.: a arga onentraa Q k é aiental, o que vale izer que ela poe atuar ou não. Q k 50 kn 70 m g k 30 kn/m 8 m m b E. 5.16: antia a oniçõe e utiliae, eterminar o aatamento máimo que a arga G k poem ter o apoio. viga terá: armaura longituinal inerior ontituía por 5 barra e 1,5 mm; armaura tranveral (etribo) ontituía por barra e 6,3 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; e obrimento nominal a armaura igual a 3 m. Dao: onreto: C0; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); upr/t405

66 etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15). G k 40 kn G k 40 kn 55 m g k 40 kn/m 18 m a 5 m a E. 5.17: antia a oniçõe e utiliae, eterminar o máimo valor a arga móvel Q k que a viga abaio repreentaa poe uportar. viga terá: armaura longituinal inerior, no meio o vão, ontituía por 3 barra e 16 mm; armaura longituinal uperior, no apoio, ontituía por 5 barra e 1,5 mm; armaura tranveral (etribo) ontituía por barra e 6,3 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; e obrimento nominal a armaura igual a 3 m. Dao: onreto: C0; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); etao limite último, ombinaçõe normai, ponte em geral (γ g 1,35, γ q 1,5, γ 1,4 e γ 1,15). Ob.: não onierar a reitênia o porta-etribo. Q k 60 m g k 10 kn/m 0 m 0 m 1,5 m 4,0 m 1,5 m meio o vão apoio E. 5.18: Para a viga abaio repreentaa, eterminar: a. a menor eção tranveral poível para eta viga e tal orma que ejam mantia a oniçõe e utiliae em o uo e armaura e ompreão; b. a armaura neeária para o máimo momento poitivo;. a armaura neeária para o máimo momento negativo; e. a itânia, em relação ao apoio, one a armaura neeária para o momento poitivo orreponee a barra e 16 mm. viga terá: armaura longituinal ontituía por barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) ontituía por barra e 6,3 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; obrimento nominal a armaura igual a 3 m; e altura útil () igual a 4 veze a largura a bae (b ) upr/t405

67 Dao: onreto: C0; aço: C-50; e Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ 1,4 e γ 1,15). g k 40 kn/m h 6 m B m b E. 5.19: O arrinho e arga iniao na igura abaio uporta um arregamento entrao e 00 kn. Teno em vita que a einição a etrutura uporte (viga B) everá er eita para o arrinho na poição CD, pee-e: a. a menor altura poível para a viga B e tal orma que na eção C não eita armaura longituinal e ompreão e ejam mantia a oniçõe e utiliae; e b. a armaura neeária na eçõe C e D a viga uporte, einia a partir a altura etabeleia no item a. Dao: onreto: C0; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15); e h 5 m. Ob.: ajutar o valor e h para múltiplo e 5 m; e onierar nulo o peo próprio a viga e o arrinho. arrinho 00 kn viga C D B h,4 m 4,0 m 0 m 1,6 m eção tranveral E. 5.0: Para o etao e eormação abaio iniao, eterminar: a. o valor limite para a arga Q k (valor araterítio); e b. a armaura neeária (m ) para a onição etabeleia no item a. Dao: onreto: C5; e aço: C upr/t405

68 Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ 1,4 e γ 1,15). Ob: peo próprio a viga inluío na arga g k. Q k g k 0 kn/m 1 m m m 1 m,5 45 m S 5 m 0 m etao e eormação na eção (poição a arga Q k ) E. 5.1: Dua viga e onreto armao e eçõe retangulare iguai, memo vão, apoio iêntio, materiai e mema reitênia, porém om taa longituinai e armaura eiguai, oram ubmetia, num enaio e laboratório, ao memo tipo e arregamento, omo ilutrao na igura abaio. Ee arregamento onitiu em ua arga onentraa, imétria, apliaa imultaneamente, uja inteniae variou e zero até a arga e ruptura. nte a ruptura, obervou-e que a Viga 01 eu inai eviente e egotamento a ua apaiae reitente, apreentano um quaro e iuração inteno, enquanto que a Viga 0 não apreentou a mema inalização e rompeu bruamente, em avio prévio. Obervou-e, também, que a arga e ruptura a Viga 0 oi 47,7% maior que a a Viga 01. Sabeno-e que a Viga 01 oi armaa om 5 barra e 16 mm, eterminar: a. a arga e ruptura (e álulo) a Viga 01; b. a arga e ruptura (e álulo) a Viga 0; e. a armaura longituinal e tração ( ) uaa na Viga 0. Dao: onreto: σ,rup 17,86 Pa; aço: σ,rup y 43,5 Pa; b 0 m; 45 m; e h 50 m. Ob: eonierar o próprio a viga upr/t405

69 emagamento o onreto P P rupt P P rupt P P rupt P P rupt 5 φ 16 m 4 m m VIG 01 iuração intena m 4 m m VIG 0 E. 5.: antia a oniçõe e utiliae, eterminar, para a viga abaio repreentaa: a. a menor altura (h) poível; e b. a armaura neeária na eçõe, B e C. Dao: onreto: C5; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); viga e eção retangular, em armaura e ompreão; etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ 1,4 e γ 1,15); b 15 m; e h + 5 m Ob: peo próprio a viga inluío na arga g k ; aotar para h valor múltiplo e 5 m; e onierar arregamento permanente (valore araterítio). G k 10 kn h g k 40 kn/m 3 m 3 m 3 m 3 m b B E. 5.3: antia a oniçõe e utiliae, eterminar, para a viga e altura variável abaio repreentaa, o menore valore poívei para h 1 e h. Para ete valore eterminao, einir a armaura longituinai (poitiva e negativa) para a eção D. preentar uma vita a viga motrano a poiçõe a armaura alulaa. Dao: onreto: C0; e aço: C-5. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); viga e eção retangular, em armaura e ompreão; etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15); b 0 m; e upr/t405 C

70 h i i + 5 m Ob: peo próprio a viga inluío na arga g k ; aotar para h valor múltiplo e 5 m; e onierar a viga omo implemente apoiaa no pilare. h 1 h h 1 B C D Q k 100 kn G g k 10 kn/m 1 m 1 m 1 m 3 m Seção B C D E F G (m) 0,0 1,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0 gk (knm) 0,0-5,0-0,0 0,0 10,0 10,0 0,0 qk (knm) (-) 0,0-100,0-00,0-150,0-100,0-50,0 0,0 qk (knm) (+) 0,0 0,0-0,0 75,0 100,0 75,0 0,0 S (knm) (-) 0,0-147,0-308,0-10,0-130,0-60,0 0,0 S (knm) (+) 0,0-5,0-0,0 105,0 154,0 119,0 0,0 E. 5.4: antia a oniçõe e utiliae, eterminar, para a viga e eção tranveral abaio iniaa, o máimo momento letor oliitante e álulo que ela poe uportar. viga terá: armaura longituinal e ompreão (uperior) ontituía por barra e 1,5 mm; armaura longituinal e tração (inerior) ontituía por 3 barra e 0 mm; armaura tranveral (etribo) ontituía por barra e 6,3 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; e obrimento nominal a armaura igual a 4 m. 65 m Dao: onreto: C5; e aço: C-50. Conierar: 5 m omente oliitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15) upr/t405

71 E. 5.5: Para a eção e viga abaio iniaa, veriiar: a. o momento letor oliitante e álulo que orreponeria a onição ε 7 ; e b. a oniçõe e utiliae para a oniçõe etabeleia no item a. viga terá: armaura longituinal e ompreão (uperior) ontituía por barra e 10 mm; armaura longituinal e tração (inerior) ontituía por 5 barra e 16 mm; 70 m armaura tranveral (etribo) ontituía por barra e 5 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; e obrimento nominal a armaura igual a 3 m. Dao: onreto: C0; e 0 m aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ 1,4 e γ 1,15). E. 5.6: antia a oniçõe e utiliae, eterminar, para a viga abaio repreentaa: a. a armaura longituinai e tração e ompreão ( e ); b. a armaura longituinal e tração ( ), onierano nula a armaura e ompreão;. o valore a tenõe e tração e ompreão na armaura einia no item a; e. o valor a tenão e tração na armaura einia no item b. Dao: onreto: C0; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15). Ob.: onierar, para o item b, viga uperarmaa. 4 m g k 30 kn/m 40 m 6 m 0 m 6 m E. 5.7: eção tranveral a viga abaio repreentaa etá ujeita a um momento letor oliitante e álulo igual a 50 knm e tem uma relação entre a armaura e tração e e ompreão tal que: 4 m 30% ( + ) Com bae na onição aima, etermine: 40 m a. a poição a linha neutra; b. a eormação a ibra e onreto mai omprimia;. o alongamento a armaura traionaa;. o enurtamento a armaura omprimia; 6 m e. a tenão atuante na armaura traionaa; 5 m upr/t405

72 . a tenão atuante na armaura omprimia; g. a área a eção tranveral a armaura traionaa; h. a área a eção tranveral a armaura omprimia; e i. a oniçõe e utiliae. Dao: onreto: C5; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15). E. 5.8: antia a oniçõe e utiliae, eterminar a máima arga aiental q k que a viga abaio repreentaa poe uportar. viga terá: armaura longituinal e ompreão (uperior) ontituía por barra e 1,5 mm; armaura longituinal e tração (inerior) ontituía por 5 barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) ontituía por barra e 5 mm; imenão máima o agregao igual a 19 mm; e obrimento nominal a armaura igual a 3 m. Dao: onreto: C5; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15). q k 60 m g k 10 kn/m 6 m 0 m E. 5.9: Para a viga abaio equematizaa eterminar o máimo vão que eta poe pouir, mantia a oniçõe e utiliae. viga terá: no meio o vão:! armaura longituinal e ompreão (uperior) ontituía por barra e 1,5 mm;! armaura longituinal e tração (inerior) ontituía por 3 barra e 16 mm; no apoio:! armaura longituinal e tração (uperior) ontituía por 7 barra e 1,5 mm;! armaura longituinal e ompreão (inerior) ontituía por barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) ontituía por barra e 5 mm; imenão máima o agregao igual a 19 mm; e obrimento nominal a armaura igual a 3 m. Dao: onreto: C5; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); e upr/t405

73 etao limite último, ombinaçõe normai, ponte em geral (γ g 1,35, γ q 1,5, γ 1,4 e γ 1,15). Q k 5 kn 70 m g k 10 kn/m 18 m 18 m l/3 l l/3 meio o vão apoio E. 5.30: Um reervatório é uportao pela viga V1 e V e eção tranveral 0 m 60 m, tal omo iniao na igura abaio. O reervatório eere obre a viga igual arregamento, uniormemente itribuío, no treho entral a viga (4 m). Caa metro úbio e material armazenao no reervatório pea 10 kn. antia a oniçõe e utiliae, eterminar qual a máima altura h permitia para o armazenamento o material. viga terão: armaura longituinal e ompreão (uperior) ontituía por barra e 1,5 mm; armaura longituinal e tração (inerior) ontituía por 3 barra e 5 mm; armaura tranveral (etribo) ontituía por barra e 8 mm; imenão máima o agregao igual a 19 mm; e obrimento nominal a armaura igual a 3 m. Dao: onreto:! lae: C0; e! peo epeíio: 5 kn/m 3. aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); nulo o peo próprio o reervatório; e etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15). 4 m h 60 m φ 1,5 3 φ 5 0 m V1 V 4 m 4 m 4 m eção tranveral no meio o vão (viga V1 e V) upr/t405

74 E. 5.31: viga abaio iniaa teve ua armaura poitiva imenionaa e etalhaa om ino barra e 1,5 mm ( longa + 3 urta). Dea ino barra, ua oram prolongaa até a etremiae o balanço ontituino-e, portanto, na armaura e ompreão para a eção o apoio (apoio o balanço). Nea oniçõe, e manteno-e a oniçõe e utiliae, pee-e eterminar a. a armaura e tração para a eção o apoio o balanço (apoio ), onierano a armaura e ompreão já eitente ( barra e 1,5 mm); e b. o valor a arga Q k (valor araterítio) que eterminou a 5 barra e 1,5 mm eitente na eção C. Dao: onreto:c0;e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15); b 0 m; 55 m; e / 0,075. Ob.: onierar a arga aientai Q 1k e Q k omo inepenente (poem atuar imultaneamente, ou não). Q 1k 100 kn Q k g k 35 kn/m C B 1, m 3,0 m 3,0 m φ 1,5 3 φ 1,5 60 m E. 5.3 viga abaio repreentaa, ontruía om onreto lae C0 e aço C-50, tem eção retangular om 0 m e bae e 55 m e altura. Conierano, no etao limite último, que: a itânia entre a orça reitente e álulo atuante na região e onreto omprimio e a orça reitente e álulo atuante na armaura traionaa, orrepone a 40 m; e a armaura omprimia é ontituía por barra e 10 mm, pee-e: a. o omínio e eormação, o enurtamento a ibra e onreto mai omprimio e o alongamento a armaura mai traionaa, orreponente a ete ELU; b. a inteniae o momento letor reitente e álulo, orreponente a ete ELU;. a área eção tranveral a armaura longituinal traionaa, orreponente a ete ELU; e. o tipo e ruína poível (rágil ou útil), orreponente a ete ELU (jutiiar a repota). Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); e ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15) upr/t405

75 ε 5 m S 45 m 0 m 5 m ε E. 5.33: Determinar, para a viga abaio repreentaa, o máimo valor que a arga aiental Q k (móvel) poe aumir, mantia a oniçõe e utiliae. viga terá 5 m e largura e 70 m e altura. Dao: onreto:c0;e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15); 63 m; e 5 m. Q k g k 50 kn/m m 6 m m B 5 φ0 mm φ0 mm φ0 mm 5 φ0 mm armaura no apoio e B armaura no meio o vão B E. 5.34: anteno a oniçõe e utiliae, eterminar a armaura longituinai neeária na eçõe B (meio o vão) e C (apoio a ireita) a viga e eção retangular abaio repreentaa. O arregamento Q k orrepone a uma arga onentraa móvel equivalente a 135 kn (valor araterítio). preentar, ao inal o álulo, uma vita longituinal a viga motrano a poição a armaura alulaa upr/t405

76 Dao: onreto:c0;e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15); b 15 m; h 50 m; 45 m; e / 0,10. Ob: onierar eprezível o peo próprio a viga. Q k 3,0 m 3,0 m 1,5 m B C D E. 5.35: Determinar, para a viga abaio repreentaa: a. a menor altura h (número múltiplo e 5 m), neeária para que a viga eteja na onição limite e utiliae na eçõe B e C, em armaura e ompreão; e b. a armaura longituinai neeária na eção o meio o vão D, mantia a altura a viga eterminaa no item anterior. Dao: onreto: C30;e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15); b 0 m; h - 5 m; e / 0,10. Ob.: peo próprio a viga inluío na arga g k. Q k 40 kn Q k 40 kn g k 0 kn/m m 4 m m B C D upr/t405

77 E. 5.36: Para a viga abaio equematizaa eterminar o máimo vão l que eta poe pouir, mantia a oniçõe e utiliae. viga terá: no meio o vão:! armaura longituinal e ompreão (uperior) ontituía por barra e 10 mm;! armaura longituinal e tração (inerior) ontituía por 3 barra e 16 mm; no apoio:! armaura longituinal e tração (uperior) ontituía por 3 barra e 16 mm;! armaura longituinal e ompreão (inerior) ontituía por barra e 10 mm. Dao: onreto:c0;e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15); 40 m; e 4 m. Ob: peo próprio a viga inluío na arga g k. g k 50 kn/m 44 m l,88 l l 18 m 18 m,88 8 ½ meio o vão apoio E. 5.37: antia a oniçõe e utiliae, eterminar, para a viga abaio repreentaa, o máimo momento letor oliitante e álulo que a eção poe reitir. viga terá: armaura longituinal inerior ontituía por 7 barra e 0 mm; armaura tranveral (etribo) ontituía por barra e 6,3 mm; imenão máima o agregao igual a 19 mm; e obrimento nominal a armaura igual a 3 m. Dao: 100 m onreto: C5; e 8 m aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); e 9 m etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ 1,4 e γ 1,15). 5 m upr/t405

78 E. 5.38: Determinar a largura a mea olaborante (eção T) para a viga V4 iniaa na igura. laje têm 10 m e epeura e a viga têm imenõe 15 m 40 m. P1 V1 (1540) P P3 400 m V3 (1540) L1 V4 (1540) L V5 (1540) P4 V (1540) P5 P6 150 m L3 L4 80 m 350 m PLNT DE FORS E. 5.39: antia a oniçõe e utiliae, eterminar a máima arga aiental q k que a viga abaio repreentaa poe uportar. viga terá: armaura longituinal inerior ontituía por 5 barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) ontituía por barra e 6,3 mm; imenão máima o agregao igual a 19 mm; e obrimento nominal a armaura igual a 3 m. Dao: onreto: C5; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ 1,4 e γ 1,15). 10 m 10 m q k g k 10 kn/m 75 m 6 m 0 m E. 5.40: Determinar o maiore omprimento poívei o vão l 1 (B CD) e l (BC) a viga a igura abaio onierano que o imenionamento a eçõe tranverai erá eito no omínio e em armaura e ompreão. Para ete valore einio e l 1 e l, alular a armaura longituinai na eçõe rítia o balanço B (máimo momento letor negativo) e upr/t405

79 o vão BC (máimo momento letor poitivo). otrar, equematiamente, o poiionamento a armaura (poitiva e negativa) em uma vita longituinal a viga. Dao: onreto: C0; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15). Ob.: eterminar o vão l omente apó a einição o vão l 1, ou eja, einir l,ma omo unção e l 1,ma ; ajutar o valore e l 1 e l para múltiplo e 5 m (arreonar para baio); onierar o peo próprio a viga inluío na arga g k ; onierar, para a altura útil a viga, a epreão h - 5 m vália para momento poitivo e negativo; e onierar b 60 m, amitino omo veriiao o valore b 1, b, b 3 e b g k 30 kn/m 105 l 1 l l 1 B 0 eção tranveral m E. 5.41: Determinar a armaura poitiva e negativa a viga abaio iniaa. preentar, ao inal o álulo, uma vita longituinal a viga motrano a poiçõe a armaura eterminaa om o repetivo valore e (m ). Dao: onreto: C0; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15); e h 5 m. Ob.: peo próprio a viga inluío na arga g k ; viga iolaa a er onieraa omo eção T, one poível; e obrigatória a veriiação o valor e b. C D 10 m 60 m g k 70 kn/m 70 m m 5,657 m m 0 m 5,657 4 ½ upr/t405

80 E. 5.4: viga a igura abaio repreentaa terá ua armaura e leão poitiva (inerior) etalhaa om barra e 16 mm. Trê eta barra (3 φ 16) erão prolongaa até a etremiae o balanço, ontituino-e, então, em armaura e ompreão para o momento letore negativo atuante nete balanço. Neta oniçõe, e mantia a oniçõe e utiliae, eterminar: a. a armaura e leão neeária para o apoio B, onierano, obrigatoriamente, o 3 φ 16 (ineriore) eitente nete apoio; e b. o valor mínimo e b neeário para que a eção tranveral orreponente ao meio o vão B não neeite e armaura e ompreão, onierano, aina, que a armaura e tração neta eção reulte igual a armaura e tração alulaa para o momento negativo o apoio B (item a). Dao: onreto:c0;e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); altura útil equivalente a 90% a altura total; poiçõe relativa a armaura uperiore iguai a a armaura ineriore; nulo o peo próprio o reervatório; e etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15). b G k 50 kn g k 50 kn/m 0 eção tranveral m 7 m B m E. 5.43: antia a oniçõe e utiliae, eterminar a armaura neeária para o momento letor poitivo e para o momento letor negativo a viga V abaio repreentaa. preentar, ao inal o álulo, um orte longituinal a viga motrano a poiçõe a armaura alulaa. viga terá: armaura longituinal ontituía por barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) ontituía por barra e 6,3 mm; imenão máima o agregao igual a 19 mm; e obrimento nominal a armaura igual a 3 m. Dao: onreto: C0; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15); e peo próprio a viga inluío na arga g k upr/t405

81 g k 30 kn/m 1,5 m 6,0 m 1,5 m arregamento a V laje 08 V1 V V imenõe em m E. 5.44: Determinar a armaura poitiva e negativa a viga iolaa abaio iniaa, e tal orma que ejam mantia a oniçõe e utiliae. viga terá: armaura longituinal ontituía por barra e 1,5 mm; armaura tranveral (etribo) ontituía por barra e 5 mm; imenão máima o agregao igual a 19 mm; e obrimento nominal a armaura igual a 3 m. Dao: onreto: C0; aço: C-50; e eção tranveral:! b 40 m;! b 15 m;! h 65 m; e! h 8 m. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15); arregamento ontituío por arga permanente (valore araterítio); e peo próprio a viga eprezível. Ob.: veriiar o valor e b (viga iolaa); e apreentar, ao inal o álulo, uma vita longituinal a viga motrano, equematiamente, o poiionamento a armaura poitiva e negativa (iniar o valore, em m, a armaura alulaa). b 100 kn 100 kn h 50 kn 50 kn h 3 m 3 m m 3 m 3 m b upr/t405

82 E. 5.45: Determinar a menor altura poível para a viga V abaio iniaa. Não everá er uaa armaura e ompreão e everão er mantia a oniçõe e utiliae. viga terá: armaura longituinal inerior ontituía por barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) ontituía por barra e 6,3 mm; imenão máima o agregao igual a 19 mm; e obrimento nominal a armaura igual a 3 m. Dao: onreto: C0; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15); e peo próprio a viga V inluío na arga g k. V1 V1B 180 L1 V V4B P L VB 40 V5B P 10 L3 V3 V4 P L4 V3B V5B P4 P5 P6 q k 8 knm g k kn/m m P3 7,8 m P4 E. 5.46: antia a oniçõe e utiliae, eterminar a armaura poitiva e negativa a viga V1 abaio iniaa. viga terá: armaura longituinal ontituía por barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) ontituía por barra e 6,3 mm; imenão máima o agregao igual a 19 mm; e obrimento nominal a armaura igual a 3 m. Dao: onreto: C30; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); upr/t405

83 etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15); e peo próprio a viga inluío na arga g k. b 8 V1 V q k 15 knm g k 5 kn/m m 8 m E. 5.47: O projeto e uma peça pré-molaa eve onierar, além a oniçõe e trabalho, aquela eorrente o proeo e montagem. Num ee ao, aotou-e uma viga e eção T omo motrao abaio. antia a oniçõe e utiliae e abeno-e que a viga everá uportar uma arga aiental uniormemente itribuía (em too vão) e 10 kn/m (valor araterítio), pee-e eterminar: a. a armaura longituinal neeária para a onição e montagem; e b. a armaura longituinal neeária para a onição e trabalho. preentar, ao inal o álulo, uma vita longituinal motrano a poiçõe a armaura etabeleia no iten a e b. Dao: onreto:c0;e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15); peo epeíio o onreto igual a 5 kn/m 3 ; e h 5 m (momento poitivo e negativo). Ob.: veriiar o valor e b (viga iolaa); não onierar armaura longituinal e ompreão; e na montagem, onierar omente ao próprio a viga upr/t405

84 7 m 83 m 8 m 0 m 0 m viga e içamento 5 m 4 m 5 m operação e montagem B C onição e trabalho 14 m D E. 5.48: antia a oniçõe e utiliae, eterminar, para a viga iolaa e eção tranveral ontante, abaio repreentaa, o máimo valor que a arga aiental Q k (móvel) poe aumir. Dao: onreto: C0; aço: C-50; e eção tranveral:! b 10 m;! b 0 m;! h 70 m; e! h 8 m. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15); e h 5 m (momento poitivo e negativo). Ob.: veriiar o valor e b (viga iolaa); e peo próprio a viga inluío na arga g k upr/t405

85 Q k g k 0 kn/m m 6 m m B φ0 mm 3 φ0 mm armaura no meio o vão B armaura no apoio e B E. 5.49: Coniere que a peça, uja eção tranveral é motraa abaio, etá oliitaa apena por um momento letor e álulo S. Na onição limite e egurança - etao limite último ( R S ), a linha neutra iou ituaa 31, m abaio a ibra mai omprimia. Neta oniçõe, e mantia a oniçõe e utiliae, pee-e: a. o valor o momento letor oliitante e álulo S (knm); e b. o valor a armaura e tração (m ) neeária para reitir ao momento letor S. Dao: onreto: C0; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ 1,4 e γ 1,15). Ob.: onierar o valor e b veriiao. 60 m ε 15 m S 50 m 5 m ε 0 m E antia a oniçõe e utiliae, eterminar para a viga V1, e eção tranveral ontante (eção T), abaio repreentaa, o máimo valor que a arga aiental Q k (móvel) poe aumir. Dao: onreto: C5; aço: C-50; e upr/t405

86 armaura longituinal inerior: 7 φ 5 mm (34,36 m ). Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15); e h 5 m (momento poitivo e negativo). Ob.: peo próprio a viga inluío na arga g k. Q k g k 0 kn/m 6 m arregamento a V1 B b 8 V1 34,36 m V eção tranveral o onjunto laje/viga (imenõe em m) E antia a oniçõe e utiliae, eterminar, para a viga V abaio repreentaa: a. o máimo valor poível para b ; b. o máimo valor poível para o arregamento q k, amitino-e que a altura a linha neutra, na eção tranveral (eção T) e máima oliitação, eja igual 1,5 h ; e. a armaura longituinal neeária para a oniçõe etabeleia no item b. Dao: onreto: C0; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15); e h 5 m. Ob.: peo próprio a viga inluío na arga g k upr/t405

87 V1 V4B V4 P1 0 P L1 V (0 55) L V3 0 V5B V5B P P imenõe em m P5 P6 q k g k 0 kn/m 8 m P3 P4 E. 5.5: antia a oniçõe e utiliae, eterminar, para a viga iolaa abaio iniaa, o maior valor poível para a arga aiental móvel Q k (valor araterítio). Dao: onreto: C0; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15); 80 m; 5 m; e peo próprio a viga igual a 5,357 kn/m (não motrao na igura). Ob.: amitir, na eterminação e b, b 3 b upr/t405

88 Q k m 8 m m B C D 60 m 60 m 10 m 75 m 3 φ 0 mm 10 m 75 m 4 φ 16 mm φ 10 mm 5 m eção tranveral meio o vão 5 m eção tranveral apoio E. 5.53: igura abaio repreenta a planta e orma e uma eola. Caa laje orrepone a uma ala e aula. Toa a viga têm eção tranveral e 5 m 70 m, too o pilare têm eção e 5 m 50 m e toa a laje têm epeura igual a 1 m. antia a oniçõe e utiliae, eterminar a armaura longituinai neeária para a viga V04 e V05, levano-e em onieração, e poível, a olaboração o painel e laje. Dao: onreto:c0;e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letor); etao limite último, ombinaçõe normai, eiiação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ 1,4 e γ 1,15); e h 5 m; vão e álulo a viga igual à itânia entre o eio o pilare; e arregamento uniormemente itribuío na viga V04 e V05, ontituío e:! peo próprio e aa viga: 5 kn/m;! reação e uma laje em aa viga: 15 kn/m;! peo e paree obre aa viga: 15 kn/m upr/t405

89 P01 V01 P0 P03 P04 5 L01 L0 L03 V03 V04 V05 V B V0 P05 P06 P07 P CORTE -B (imenõe em m) upr/t405