FLEXÃO NORMAL SIMPLES - VIGAS

Transcrição

1 UNIVERSIDDE ESTDUL PULIST UNESP - Campu e Bauru/SP FCULDDE DE ENGENHRI Departamento e Engenharia Civil Diciplina: ESTRUTURS DE CONCRETO I NOTS DE UL FLEXÃO NORL SIPLES - VIGS Prof. Dr. PULO SÉRGIO DOS SNTOS BSTOS (wwwp.feb.unep.br/pbato) Bauru/SP Fevereiro/015

2 PRESENTÇÃO Eta apotila tem o objetivo e ervir como nota e aula na iciplina Etrutura e Concreto I, o curo e Engenharia Civil a Faculae e Engenharia, a Univeriae Etaual Paulita UNESP, Campu e Bauru/SP. O texto apreentao etá e acoro com a precriçõe contia na norma NBR 6118/014 ( Projeto e etrutura e concreto Proceimento ), para o projeto e imenionamento a viga e Concreto rmao à flexão normal imple. apotila apreenta o etuo a eçõe retangulare com armaura imple e upla e a eçõe T com armaura imple, para olicitação e flexão imple. Viano iniciar o cálculo prático a viga o eifício, ão introuzio algun tópico aicionai, como o cálculo a carga verticai obre a viga e alguma precriçõe na norma para a viga imple e contínua. O texto contante eta apotila não inclui too o tópico relativo ao projeto a viga, como o imenionamento ao eforço cortante e ao momento torçore, ancoragem no apoio, etc. Ee tema erão aborao na apotila a iciplina Etrutura e Concreto II. Crítica e ugetõe erão bem-vina, viano a melhoria a apotila. O autor agraece ao técnico Éeron o Santo artin, pela confecção o eenho.

3 SUÁRIO 1. INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO DE VIG COPORTENTO RESISTENTE DE VIGS SOB FLEXÃO SIPLES COPRÇÃO DOS DOÍNIOS, 3 E LGUS PRESCRIÇÕES PR S VIGS Vão Efetivo Definição a ltura e a Largura Carga Verticai na Viga Peo Próprio Paree Laje Outra Viga Dipoiçõe Contrutiva a rmaura rmaura Longituinai áxima e ínima rmaura ínima e Tração rmaura Longituinal áxima rmaura e Pele rmaura e Ligação ea-alma Epaçamento Livre entre a Face a Barra Longituinai HIPÓTESES BÁSICS SEÇÃO RETNGULR CO RDUR SIPLES Equaçõe e Equilíbrio Cálculo eiante Equaçõe com Coeficiente K Exemplo Numérico SEÇÃO RETNGULR CO RDUR DUPL Equaçõe e Equilíbrio Cálculo eiante Equaçõe com Coeficiente K Exemplo Numérico SEÇÃO T Largura Colaborante Seção T com rmaura Simple ,8x h f ,8x > h f Cálculo eiante Equaçõe com Coeficiente K Exemplo Numérico EXERCÍCIOS PROPOSTOS REFERÊNCIS BIBLIOGRÁFICS... 7 BIBLIOGRFI COPLEENTR... 7 TBELS NEXS... 73

4 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 1 1. INTRODUÇÃO flexão imple é efinia como a flexão em força normal. Quano a flexão ocorre com a atuação e força normal tem-e a flexão compota. Solicitaçõe normai ão aquela cujo eforço olicitante prouzem tenõe normai (perpeniculare) à eçõe tranverai o elemento etruturai. O eforço que provocam tenõe normai ão o momento fletor () e a força normal (N). Na etrutura e Concreto rmao ão trê o elemento etruturai mai importante: a laje, a viga e o pilare. E oi ee elemento, a laje e a viga, ão ubmetio à flexão normal imple, embora poam também, eventualmente, etarem ubmetio à flexão compota. Por io, o imenionamento e eçõe retangulare e eçõe T ob flexão normal imple é a ativiae iária mai comum ao engenheiro projetita e etrutura e Concreto rmao (SNTOS, 1983). O etuo a flexão normal imple tem como objetivo proporcionar ao aluno o correto entenimento o mecanimo reitente proporcionao pelo concreto ob compreão e pelo aço ob tração, em eçõe retangulare e T, viano levá-lo a bem imenionar ou verificar a reitência ea eçõe. O equacionamento para a reolução o problema a flexão imple é euzio em função e ua equaçõe e equilíbrio a etática, e que proporciona a aqui chamaa equaçõe teórica, que poem er facilmente implementaa para uo em programa computacionai. Também é apreentao o equacionamento com bae em coeficiente tabelao tipo K, largamente utilizao no Brail. É importante eclarecer o etuante que neta apotila ele aprenerá a imenionar a eçõe tranverai a viga ao momento fletore máximo, e fazer o etalhamento a armaura e flexão apena na eção tranveral correponente. Neta iciplina o etuo a viga etá apena iniciano. O etuo completo a viga imple ou contínua, com imenionamento ao eforço cortante e momento torçore, bem como o etalhamento completo e ancoragem a armaura, ó erá alcançao ao término a iciplina 13 - Etrutura e Concreto II. lém io, outro tópico relativo à viga, como fiuração e flecha, erão etuao na iciplina 158 Etrutura e Concreto IV.. DEFINIÇÃO DE VIG Viga ão elemento lineare em que a flexão é preponerante (NBR 6118/14 1, item ). Elemento lineare ão aquele em que o comprimento longituinal upera em pelo meno trê veze a maior imenão a eção tranveral, eno também enominaa barra. 3. COPORTENTO RESISTENTE DE VIGS SOB FLEXÃO SIPLES Coniere uma viga e concreto armao biapoiaa (Figura 1), ubmetia a ua força concentraa P crecente e e igual inteniae. armaura é compota por armaura longituinal, reitente à tenõe e tração proveniente a flexão, e armaura tranveral, imenionaa para reitir ao eforço cortante, compota por etribo verticai no lao equero a viga e etribo e barra obraa no lao ireito a viga. Figura a motra a trajetória a tenõe principai e tração e e compreão a viga aina no etáio I. Oberve que no trecho e flexão pura a trajetória a tenõe e compreão e e tração ão paralela ao eixo longituinal a viga. No emai trecho a trajetória a tenõe ão inclinaa evio à influência o eforço cortante. Enquanto a reitência à tração o concreto é uperior à tenõe principai e tração, não urgem fiura na viga. primeira fiura e flexão ó urgem na região e máximo momento fletore, no intante que a tenõe e tração atuante igualam e uperam a reitência o concreto à tração na flexão (Figura b). Para ete nível e carregamento a viga apreenta trecho fiurao, no etáio II, e trecho não fiurao, no etáio I. Note que a ireção ou inclinação a fiura é aproximaamente perpenicular à ireção a tenõe principai e tração, ou eja, a inclinação a fiura epene a 1 SSOCIÇÃO BRSILEIR DE NORS TÉCNICS. Projeto e etrutura e concreto Proceimento, NBR Rio e Janeiro, BNT, 014, 38p.

5 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga inclinação a tenõe principai e tração. Por eta razão, na região e flexão pura, a fiura ão verticai. rmaura Tranveral (omente etribo) P P rmaura Tranveral (etribo e barra obraa) V Figura 1 Viga biapoiaa e iagrama e eforço olicitante. (LEONHRDT e ÖNNIG - 198). a) tração compreão a b b) a b Etáio I Etáio II Etáio I Seção a-a c c = e c E c Seção b-b c c c) t < ct,f b ) b Etáio II Seção b-b c c = f c e) > f y Figura - Comportamento reitente e uma viga biapoiaa (LEONHRDT e ÖNNIG - 198).

6 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 3 Figura c motra o iagrama e eformaçõe e e tenõe na eçõe a e b a viga, no etáio I e II, repectivamente. No etáio I a máxima tenão e compreão ( c) aina poe er avaliaa e acoro com a lei e Hooke, o memo não valeno para o etáio II. Com o carregamento num patamar uperior começam a urgir fiura inclinaa na proximiae o apoio, por influência a força cortante atuano em conjunto com o momento fletore. Ea fiura inclinaa ão chamaa e fiura e cialhamento (Figura ), que não é um termo aequao porque tenõe e cialhamento não ocorrem por ação excluiva e força cortante. Sugerimo fiura e flexão com cortante. Com carga elevaa, a viga, em quae toa a ua extenão, apreenta-e no etáio II. pena na proximiae o apoio a viga permanece no etáio I. No cao e uma viga biapoiaa ob carregamento uniformemente itribuío, no etáio I, a tenõe principai na altura a linha neutra (a meia altura a viga) apreentam inclinação e 45 (ou 135) em relação ao eixo longituinal a viga, como motrao na Figura 3. Oberve que na regiõe próxima ao apoio a trajetória a tenõe principai inclinam-e por influência a força cortante, manteno, no entanto, a perpeniculariae entre a trajetória. II I Direção e Direção e I II (tenõe e tração) (tenõe e compreão) + x + - V Figura 3 - Trajetória a tenõe principai e uma viga biapoiaa no etáio I ob carregamento uniformemente itribuío (LEONHRDT e ÖNNIG, 198). O carregamento inuz o urgimento e iferente etao e tenão no infinito ponto que compõem a viga, e que poem er repreentao por um conjunto e iferente componente, em função a orientação o itema e eixo conierao. Como exemplo, a Figura 4 motra a repreentação o etao e tenão em oi ponto a viga, conforme o eixo coorenao x-y e o eixo principai. O etao e tenão eguno o eixo x-y efine a tenõe normai x, a tenõe y e a tenõe e cialhamento xy e yx. O etao e tenão eguno o eixo principai efinem a tenõe principai e tração I e e compreão II. tenão y poe er em geral eprezaa, teno importância apena no trecho próximo à introução e carga. O imenionamento a etrutura e concreto armao toma como bae normalmente a tenõe x e xy.

7 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 4 X y X X ( + ) ( - ) x yx x y ( - ) II ( + ) I + y y = 0 y Figura 4 Componente e tenão eguno o etao e tenão relativo ao eixo principai e ao eixo na ireçõe x e y (LEONHRDT e ÖNNIG, 198). 4. COPRÇÃO DOS DOÍNIOS, 3 E 4 eformaçõe no materiai componente a viga e Concreto rmao ubmetia à flexão imple encontram-e no omínio e eformaçõe, 3 ou 4, conforme efinio na NBR 6118 (item 17..). análie a Figura 5 e a Figura 6 permite fazer a eguinte conieraçõe a viga à flexão imple em relação ao omínio, 3 e 4: a) Domínio No omínio a eformação e alongamento ( ) na armaura tracionaa ( ) é fixa e igual a 10, e a eformação e encurtamento ( c) na fibra mai comprimia e concreto varia entre zero e cu, conierano que, para o concreto o Grupo I e reitência (f ck 50 Pa), cu aume o valor e 3,5. Sob a eformação e 10 a tenão na armaura correpone à máxima permitia no aço (f y), como e poe verificar no iagrama x o aço motrao na Figura 6. No omínio, portanto, a armaura tracionaa é econômica, ito é, a máxima tenão poível no aço poe er implementaa nea armaura. Na quetão relativa à egurança, no cao e vir a ocorrer a ruptura, ou eja, o colapo a viga, erá com avio prévio, porque como a armaura continuará ecoano além o 10, a fiuração na viga erá intena e ocorrerá ante e uma poível ruptura por emagamento o concreto na região comprimia. intena fiuração erá viível e funcionará como um avio ao uuário e que a viga apreenta um problema ério, alertano-o, e moo que ejam tomaa meia viano a evacuação o local, ante que a ruptura venha a ocorrer. 0 cu B (3,5 ) zona útil 0 y eção uperarmaa Figura 5 Diagrama e eformaçõe o omínio, 3 e 4, para concreto o Grupo I e reitência (f ck 50 Pa), one cu = 3,5.

8 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 5 f y Seçõe y Superarmaa Zona Útil 10 Figura 6 - Zona e imenionamento em função a eformação no aço. b) Domínio 3 No omínio 3 a eformação e encurtamento na fibra mai comprimia correpone ao valor último ( cu), e 3,5 para o concreto o Grupo I e reitência (f ck 50 Pa). eformação e alongamento na armaura tracionaa varia entre y (eformação e início e ecoamento o aço) e 10, o que ignifica que a armaura ecoa um certo valor. Verifica-e na Figura 6 que a tenão na armaura é a máxima permitia, igual à f y, poi qualquer que eja a eformação entre y e 10 (zona útil), a tenão erá f y. Io implica que, aim como no omínio, a armaura também é econômica no omínio 3. Nete omínio, portanto, tanto o concreto comprimio quanto o aço tracionao ão aproveitao ao máximo, iferentemente o omínio, one o concreto tem eformaçõe e encurtamento menore que a máxima ( cu). ruptura no omínio 3 é também chamaa com avio prévio, poi a armaura, ao ecoar, acarretará fiura viívei na viga, ante que o concreto alcance a ruptura por emagamento. Quano a viga tem a eformaçõe última, e cu no concreto e 10 na armaura, alcançaa imultaneamente, iz-e que a eção é normalmente armaa. linha neutra coincie com o x lim, e a eção etá no limite entre o omínio e 3. NBR 6118 (17..) inica que a eção imenionaa à flexão imple no omínio 3 é ubarmaa, um termo que parece inaequao por paar a fala impreão e que a armaura é menor que a neceária. Na Tabela 1 contam o valore a eformação e início e ecoamento o aço ( y), o limite a poição a linha neutra entre o omínio 3 e 4 (x 3lim) e x3lim ( x = x/), para o iferente tipo e aço e para o concreto o Grupo I e reitência (f ck 50 Pa). Tabela 1 - Valore e y, x 3lim e x3lim para o concreto o Grupo I e reitência (f ck 50 Pa) e em função a categoria o aço. c) Domínio 4 ço y ( ) x 3lim x3lim C-5 1,04 0,77 0,77 C-50,07 0,63 0,63 C-60,48 0,59 0,59 No omínio 4 a eformação e encurtamento na fibra mai comprimia etá com o valor máximo e cu, e a armaura tracionaa não etá ecoano, poi ua eformação é menor que a e início e ecoamento ( y). Nete cao, conforme e poe notar no iagrama x o aço motrao na Figura 6, a tenão na armaura é menor que a máxima permitia (f y). armaura reulta, portanto, antieconômica, poi não aproveita a máxima capaciae reitente o aço. Diz-e então que a armaura etá folgaa e a eção é chamaa uperarmaa na flexão imple (NBR 6118, 17..), como motrao na Figura 5 e na Figura 6.

9 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 6 viga não poem er projetaa à flexão imple no omínio 4, poi além a quetão econômica, a ruptura, e ocorrer, erá o tipo frágil, ou em avio prévio, one o concreto rompe (emaga) por compreão ( c > cu), cauano o colapo a viga ante a intena fiuração provocaa pelo aumento o alongamento na armaura tracionaa. Seguno a NBR 6118 (17..), a ruptura frágil etá aociaa a poiçõe a linha neutra no omínio 4, com ou em armaura e compreão. ) Concluão Como concluão poe-e afirmar: a viga evem er projetaa à flexão imple no omínio ou 3, e não poem er projetaa no omínio 4. Para complementar ea análie, é importante obervar que a NBR 6118 (item ) apreenta limite para a poição a linha neutra que viam otar a viga e laje e uctiliae, afirmano que quanto menor for a relação x/ (x = poição a linha neutra, = altura útil a viga), maior erá a uctiliae. O limite ão: x/ 0,45 para concreto com f ck 50 Pa e x/ 0,35 para concreto com f ck > 50 Pa. Conierano o concreto o Grupo I e reitência ( cu = 3,5 ) e o aço mai comum (C-50), no limite entre o omínio 3 e 4 a relação x/ para a linha neutra é 0,63 e a eformação no aço é a eformação e início e ecoamento ( y) e,07, o limite máximo e x/ = 0,45 correpone à eformação e alongamento e 4,3, o que ignifica que a norma etá impono uma eformação maior àquela e início e ecoamento, viano viga mai egura. Portanto, o imenionamento no omínio 3 não é permitio ao longo e toa a faixa poível e variação a poição a linha neutra, e im omente até o limite x = 0, LGUS PRESCRIÇÕES PR S VIGS 5.1 Vão Efetivo O vão efetivo (NBR 6118, item ) poe er calculao pela expreão: ef o a a 1 Eq. 1 com: a 1 t1 / 0,3 h e a t / 0,3 h Eq. imenõe o, t 1, t e h etão inicaa na Figura 7. h t 1 0 t Figura 7 Dimenõe conieraa no cálculo o vão efetivo a viga. 5. Definição a ltura e a Largura De moo geral, a preferência o engenheiro e arquiteto é que a viga fiquem embutia na paree e veação, e tal forma que não poam er percebia viualmente. Para que io ocorra, a

10 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 7 largura a viga eve er ecolhia em função a epeura final a paree, a qual epene baicamente a imenõe e a poição e aentamento a uniae e alvenaria (tijolo maciço, bloco furao, etc.). Devem também er conieraa a epeura a argamaa e revetimento (emboço, reboco, etc.), no oi lao a paree. O revetimento e argamaa no interior o Etao e São Paulo têm uualmente a epeura total e 1,5 cm a,0 cm. Exite no comércio uma infiniae e uniae e alvenaria, com a imenõe a mai variaa, tanto para o bloco cerâmico e ei como para o e oito furo, como também para o tijolo maciço cerâmico. nte e e efinir a largura a viga é neceário, portanto, efinir o tipo e a imenõe a uniae e alvenaria, levano-e em conieração a poição em que a uniae erá aentaa. No cao e contruçõe e pequeno porte, como caa, obrao, barracõe, etc., one é uual e contruir primeiramente a paree e alvenaria, para em eguia erem contruío o pilare, a viga e a laje, é intereante ecolher a largura a viga igual à largura a paree em o revetimento, ou eja, igual à imenão a uniae que reulta na largura a paree. altura a viga epene e ivero fatore, eno o mai importante o vão, o carregamento e a reitência o concreto. altura eve er uficiente para proporcionar reitência mecânica e baixa eformabiliae (flecha). Conierano por exemplo o equema e uma viga como motrao na Figura 8, para concreto o tipo C-0 e C-5 e contruçõe e pequeno porte, uma inicação prática para a etimativa a altura a viga e concreto armao é iviir o vão efetivo por oze, ito é: h 1 1 ef,1 e h 1 ef, Eq. 3 Na etimativa a altura e viga com concreto e reitência uperior evem er conierao valore maiore que oze na Eq. 3. Viga para eifício e vário pavimento, one a açõe horizontai o vento impliquem eforço olicitante conierávei obre a etrutura evem ter a altura efinia em função o eforço a que etarão ubmetia. h 1 h ef, 1 ef, Figura 8 Valore prático para etimativa a altura a viga. altura a viga eve er preferencialmente moulaa e 5 em 5 cm, ou e 10 em 10 cm. altura mínima inicaa é e 5 cm. Viga contínua evem ter a altura o vão obeeceno uma certa paronização, a fim e evitar vária altura iferente. 5.3 Carga Verticai na Viga Normalmente, a carga (açõe) atuante na viga ão proveniente e paree, e laje, e outra viga, e pilare e, empre o peo próprio a viga. carga na viga evem er analiaa e calculaa em caa vão a viga, trecho por trecho o vão e ete conter trecho e carga iferente. No próximo iten ão etalhao ee tipo e carga verticai na viga Peo Próprio O peo próprio e viga com eção tranveral contante é uma carga conieraa uniformemente itribuía ao longo o comprimento a viga, e eve empre er obrigatoriamente conierao. O eu valor é: g b h Eq. 4 pp w conc com: g pp = kn/m; γ conc = 5 kn/m 3 ;

11 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 8 b w = largura a eção (m); h = altura a eção (m) Paree Geralmente a paree têm epeura e altura contante, quano então a carga a paree poe er conieraa uniformemente itribuía ao longo o eu comprimento. Seu valor é: g par e h alv Eq. 5 com: g par = kn/m; alv = peo epecífico a paree (kn/m 3 ); e = epeura final a paree (m); h = altura a paree (m). De acoro com a NBR 610, o peo epecífico é e 18 kn/m 3 para o tijolo maciço e 13 kn/m 3 para o bloco cerâmico furao. bertura e porta geralmente não ão conieraa como trecho e carga. No cao e vitrô, janela e outro tipo e equaria, evem er verificao o valore e carga por metro quarao a erem conierao. Para janela com viro poem er conieraa a carga e 0,5 a 1,0 kn/m Laje reaçõe a laje obre a viga e apoio evem er conhecia. Importante é verificar e uma ou ua laje ecarregam a ua carga obre a viga. reaçõe a laje na viga e bora erão etuaa poteriormente neta iciplina Outra Viga Quano é poível efinir claramente qual viga erve e apoio e qual viga etá apoiaa em outra, a carga concentraa na viga que erve e apoio é igual a reação e apoio aquela que etá apoiaa. Em eterminao pavimento, a ecolha e qual viga apoia-e obre qual fica muito ifícil. ecolha erraa poe e tornar perigoa. Para contornar ete problema, poe-e calcular o eforço e elocamento e toa a viga por meio e uma grelha, com o auxílio e um programa e computaor. Dee moo, o reultao ão excelente e muito próximo ao reai. 5.4 Dipoiçõe Contrutiva a rmaura No item 18.3 a NBR 6118 etabelece ivera precriçõe relativa à armaura, e referem-e à viga iotática com relação /h,0 e à viga contínua com relação /h 3,0, em que é o comprimento o vão efetivo (ou o obro o comprimento efetivo, no cao e balanço) e h é a altura total a viga. Viga com relaçõe /h menore evem er trataa como viga-paree rmaura Longituinai áxima e ínima No item a NBR 6118 etabelece como princípio báico: ruptura frágil a eçõe tranverai, quano a formação a primeira fiura, eve er evitaa conierano-e, para o cálculo a armaura, um momento mínimo ao pelo valor correponente ao que prouziria a ruptura a eção e concreto imple, upono que a reitência à tração o concreto eja aa por f ctk,up, eveno também obeecer à coniçõe relativa ao controle a abertura e fiura aa em epecificação e valore máximo para a armaura ecorre a neceiae e e aegurar coniçõe e utiliae e e e repeitar o campo e valiae o enaio que eram origem à precriçõe e funcionamento o conjunto aço-concreto.

12 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga rmaura ínima e Tração armaura mínima e tração, em elemento etruturai armao ou protenio eve er eterminaa pelo imenionamento a eção a um momento fletor mínimo ao pela expreão a eguir, repeitaa a taxa mínima aboluta 0,15 % (NBR 6118, ):,mín = 0,8 W 0 f ctk,up Eq. 6 one: W 0 = móulo e reitência a eção tranveral bruta e concreto, relativo à fibra mai tracionaa; f ctk,up = reitência caracterítica uperior o concreto à tração: f ctk,up = 1,3 f ct,m Eq. 7 3 com: f 0,3 f (Pa) Eq. 8 ct,m ck lternativamente, a armaura mínima poe er conieraa atenia e forem repeitaa a taxa mínima e armaura a Tabela. Tabela - Taxa mínima e armaura e flexão para viga. Forma a eção Valore e mín (a) (%) Retan- 0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,08 0,11 0,19 0,6 0,33 0,39 0,45 0,51 0,56 gular (a) O valore e mín etabelecio neta Tabela preupõem o uo e aço C-50, /h = 0,8, c = 1,4 e = 1,15. Cao ee fatore ejam iferente, mín eve er recalculao. mín =,mín/ c Em elemento etruturai, exceto elemento em balanço, cuja armaura ejam calculaa com um momento fletor igual ou maior ao obro e, não é neceário atener à armaura mínima. Nete cao, a eterminação o eforço olicitante eve conierar e forma rigoroa toa a combinaçõe poívei e carregamento, aim como o efeito e temperatura, eformaçõe iferia e recalque e apoio. Deve-e ter aina epecial cuiao com o iâmetro e epaçamento a armaura e limitação e fiuração. No item a NBR 6118 aina etabelece Valore mínimo para a armaura e tração ob eformaçõe impota rmaura Longituinal áxima oma a armaura e tração e e compreão ( + ) não poe ter valor maior que 4 % c, calculaa na região fora a zona e emena, eveno er garantia a coniçõe e uctiliae requeria em (NBR 6118, ) rmaura e Pele Seguno a NBR 6118 ( ), na viga com h > 60 cm eve er colocaa uma armaura lateral, chamaa armaura e pele (Figura 9), compota por barra e C-50 ou C-60, com epaçamento não maior que 0 cm e eviamente ancoraa no apoio, com área mínima em caa face a alma a viga igual a: p,face = 0,10 % c,alma = 0,0010 b w. h Eq. 9

13 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 10 Em viga com altura igual ou inferior a 60 cm, poe er ipenaa a utilização a armaura e pele. armaura principai e tração e e compreão não poem er computaa no cálculo a armaura e pele. e e h > 60 cm e e e e e e e e Figura 9 Dipoição a armaura e pele p em caa face e com epaçamento e 0 cm na eção tranveral e viga com h > 60 cm. b w Embora a norma inique a ipoição e armaura e pele omente em viga com altura uperiore a 60 cm, recomenamo a ua aplicação em viga com altura a partir e 50 cm, para evitar o aparecimento e fiura uperficiai por retração na face laterai verticai, e que acarretam preocupaçõe ao executore a obra. Nee cao, a armaura e pele poe er aotaa igual à ugeria na Eq. 9, ou uma quantiae menor, como aquela que era inicaa na NB 1 e 1978: p,face = 0,05% b w. h, por face. 5.5 rmaura e Ligação ea-alma Conforme o item a NBR 6118: O plano e ligação entre mea e alma ou talõe e alma e viga evem er verificao com relação ao efeito tangenciai ecorrente a variaçõe e tenõe normai ao longo o comprimento a viga, tanto ob o apecto e reitência o concreto, quanto a armaura neceária para reitir à traçõe ecorrente ee efeito. armaura e flexão a laje, exitente no plano e ligação, poem er conieraa parte a armaura e ligação, quano eviamente ancoraa, complementano-e a iferença entre amba, e neceário. eção tranveral mínima ea armaura, eteneno-e por toa a largura útil e aequaamente ancoraa, eve er e 1,5 cm por metro., como inicao na Figura 10. b f >1,5 cm /m h f h b w Figura 10 rmaura tranveral à alma em eçõe tranverai com mea.

14 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga Epaçamento Livre entre a Face a Barra Longituinai fim e garantir que o concreto penetre com faciliae entro a fôrma e envolva completamente a barra e aço a armaura, a NBR 6118 (18.3..) etabelece o eguinte epaçamento livre mínimo entre a face a barra longituinai (Figura 11) (NBR 6118, ): - na ireção horizontal (a h) a h,mín cm 1, máx,agr Eq na ireção vertical (a v) a v,mín cm 0,5 máx,agr Eq. 11 one: a h,mín = epaçamento livre horizontal mínimo entre a face e ua barra a mema camaa; a v,mín = epaçamento livre vertical mínimo entre a face e ua barra e camaa ajacente; máx,agr = imenão máxima caracterítica o agregao graúo utilizao no concreto; = iâmetro a barra, o feixe ou a luva. c Ø t Ø e v e h b w Figura 11 Epaçamento livre mínimo entre a face a barra e aço longituinai. 6. HIPÓTESES BÁSICS hipótee ecrita a eguir ão vália para elemento lineare ujeito a olicitaçõe normai no etao-limite último (ELU), que poibilitam etabelecer critério para a eterminação e eforço reitente e eçõe e elemento como viga, pilare e tirante, ubmetio à força normal e momento fletore (NBR 6118, item 17.). a) a eçõe tranverai permanecem plana apó a eformação (itribuição linear e eformaçõe na eção); b) a eformação em caa barra e aço é a mema o concreto no eu entorno. Ea proprieae ocorre ee que haja aerência entre o concreto e a barra e aço; c) no etao-limite último (ELU) epreza-e obrigatoriamente a reitência o concreto à tração; ) o ELU é caracterizao eguno o omínio e eformação;

15 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 1 e) o alongamento máximo permitio ao longo a armaura e tração é e 10, a fim e prevenir eformaçõe plática exceiva. tenão na armaura eve er obtia conforme o iagrama tenãoeformação e cálculo o aço (ver Figura 6); f) a itribuição e tenõe e compreão no concreto é feita e acoro com o iagrama tenãoeformação parábola-retângulo, com tenão máxima σ c e 0,85f c (Figura 1). Ee iagrama poe er ubtituío por um retangular, implificao, com profuniae y = x, one: y = 0,8x y = [0,8 (f ck 50)/400] x para o concreto o Grupo I (f ck 50 Pa); para o concreto o Grupo II (f ck > 50 Pa). Eq. 1 cu = 3,5 c c h LN x y = 0,8 x Figura 1 Diagrama x parábola-retângulo e retangular implificao para itribuição e tenõe e compreão no concreto, para concreto o Grupo I e reitência (f ck 50 Pa). tenão e compreão no concreto ( c) poe er tomaa como: f1) no cao a largura a eção, meia paralelamente à linha neutra, não iminuir a linha neutra em ireção à bora comprimia (Figura 13), a tenão é: c c 0,85f c 0,85f c ck 1 fck 50 / 000,85fc para o concreto o Grupo I (f ck 50 Pa); para o concreto o Grupo II (f ck > 50 Pa). Eq. 13 LN Figura 13 - Seçõe one a largura não iminui a linha neutra em ireção à bora comprimia. f) em cao contrário, ito é, quano a eção iminui (Figura 14), a tenão é: 0,9 0,85 para o concreto o Grupo I (f ck 50 Pa); c f c c fck 50 / 000,85fc 0,9 1 para o concreto o Grupo II (f ck > 50 Pa). Eq. 14

16 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 13 LN Figura 14 - Seçõe one a largura iminui a linha neutra em ireção à bora comprimia. 7. SEÇÃO RETNGULR CO RDUR SIPLES Embora a viga poam ter a eção tranveral com qualquer forma geométrica, na maioria o cao a prática a eção é a retangular. Define-e viga com armaura imple a eção que neceita apena e uma armaura longituinal reitente tracionaa. No entanto, por quetõe contrutiva ão colocaa barra longituinai também na região comprimia, para a amarração o etribo, não eno eta armaura conieraa no cálculo e flexão como armaura reitente, ou eja, na eção com armaura imple a tenõe e compreão ão reitia unicamente pelo concreto. No item 8 erá etuaa a eção com armaura upla, que é aquela que neceita também e uma armaura reitente comprimia, além a armaura tracionaa. Na equência erão euzia a equaçõe vália apena para a eção retangular. equaçõe para outra forma geométrica a eção tranveral poem er euzia e moo emelhante à eução eguinte. 7.1 Equaçõe e Equilíbrio formulação o eforço interno reitente a eção é feita com bae na equaçõe e equilíbrio a força normai e o momento fletore: ; N 0 0 Figura 15 motra a eção tranveral e uma viga ob flexão imple, e forma retangular e olicitaa por momento fletor poitivo, com largura b w e altura h, armaura e área c e concreto comprimio, elimitaa pela linha neutra (LN). linha neutra é emarcaa pela itância x, contaa a partir a fibra mai comprimia a eção tranveral. altura útil é, conieraa a fibra mai comprimia até o centro e graviae a armaura longituinal tracionaa. O iagrama e eformaçõe ao longo a altura a eção, com a eformaçõe notávei c (máxima eformação e encurtamento o concreto comprimio) e (eformação e alongamento na armaura tracionaa) e o iagrama retangular implificao e itribuição e tenõe e compreão, com altura y = 0,8x (Eq. 1), e a repectiva reultante e tenão (R cc e R t) etão também motrao na Figura 15. Oberve que a altura o iagrama (y = 0,8x) e a tenão e compreão no concreto (σ c) ão valore válio para o concreto o Grupo I e reitência (f ck 50 Pa). Para o concreto o Grupo II ee valore ão iferente. Figura 16 também é vália apena para o concreto o Grupo I. c c 0,85 f c ' c R cc x y = 0,8x R cc h R t LN - x R t Z cc b w Figura 15 Ditribuição e tenõe e eformaçõe em viga e eção retangular com armaura imple.

17 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 14 Para ilutrar melhor a forma e itribuição a tenõe e compreão na eção, a Figura 16 motra a eção tranveral em perpectiva, com o iagrama parábola-retângulo e retangular implificao, como apreentao no item 5. O equacionamento apreentao a eguir erá feito eguno o iagrama retangular implificao, que conuz a equaçõe mai imple e com reultao muito próximo àquele obtio com o iagrama parábola-retângulo. 0,85 f c 0,85 f c b w b w x x R LN LN cc 0,8x z R cc 0,4x R t Figura 16 Ditribuição e tenõe e compreão eguno o iagrama parábola-retângulo e retangular implificao. a) Equilíbrio e Força Normai Conierano que na flexão imple não ocorrem força normai olicitante, e que a força reultante a tenõe e compreão no concreto eve etar em equilíbrio com a força reultante a tenõe e tração na armaura, como inicaa na Figura 15, poe-e ecrever: R cc = R t Eq. 15 Tomano a Reitência o ateriai que σ = R/, a força reultante a tenõe e compreão no concreto, conierano o iagrama retangular implificao, poe er ecrita como: R t R cc = σ c c Conierano a área e concreto comprimio ( c) correponente ao iagrama retangular implificao com altura 0,8x fica: R cc = 0,85f c 0,8x b w R cc = 0,68b w x f c Eq. 16 e a força reultante a tenõe e tração na armaura tracionaa: R t = σ Eq. 17 com = tenão e cálculo na armaura tracionaa; = área e aço a armaura tracionaa. b) Equilíbrio e omento Fletore Conierano o equilíbrio e momento fletore na eção, o momento fletor olicitante eve er equilibrao por um momento fletor reitente, proporcionao pelo concreto comprimio e pela armaura tracionaa. umino valore e cálculo, por impliciae e notação ambo o momento fletore evem er iguai ao momento fletor e cálculo, tal que: olic = reit =

18 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 15 força reitente interna, proporcionaa pelo concreto comprimio e pela armaura tracionaa, formam um binário opoto ao momento fletor olicitante, poeno er ecrito: = R cc. z cc Eq. 18 = R t. z cc Eq. 19 one: R cc. z cc = momento interno reitente, proporcionao pelo concreto comprimio; R t. z cc = o momento interno reitente, proporcionao pela armaura tracionaa. Com z cc = 0,4x e aplicano a Eq. 16 na Eq. 18 fica: = 0,68b w x f c ( 0,4x) Eq. 0 one: b w = largura a eção; x = poição a linha neutra; f c = reitência e cálculo o concreto à compreão; = altura útil. é efinio como o momento interno reitente proporcionao pelo concreto comprimio. eve er conierao em valor aboluto na Eq. 0. Subtituino a Eq. 17 na Eq. 19 efine-e o momento interno reitente proporcionao pela armaura tracionaa: = σ ( 0,4x) Eq. 1 Iolano a área e armaura tracionaa: 0,4x Eq. Eq. 0 e Eq. proporcionam o imenionamento a eçõe retangulare com armaura imple. Nota-e que ão ete a variávei contia na ua equaçõe, o que leva, portanto, na neceiae e e aotarem valore para cinco a ete variávei. De moo geral, na prática fixam-e o materiai (concreto e aço) e a eção tranveral, e o momento fletor olicitante geralmente é conhecio, ficano como incógnita apena a poição a linha neutra (x) e a área e armaura ( ). Com a Eq. 0 etermina-e a poição x para a linha neutra, e comparano x com o valore x lim e x 3lim efine-e qual o omínio em que a viga e encontra (, 3 ou 4). No omínio ou 3 a tenão na armaura tracionaa ( ) é igual à máxima tenão poível, ito é, f y (ver iagrama na Figura 5 e Figura 6). Definio x e calcula-e a área e armaura tracionaa ( ) com a Eq.. Se reultar o omínio 4, alguma alteração eve er feita e moo a tornar x x 3lim, e reultar, como conequência, o omínio ou o 3. Conforme a Eq. 0 verifica-e que para iminuir x poe-e: - iminuir o valor o momento fletor olicitante ( ); - aumentar a largura ou a altura a viga (> ); - aumentar a reitência o concreto. Dea poibiliae, geralmente a olução mai viável e er implementaa na prática é o aumento a altura a viga (h), conierano empre ea poibiliae em função o projeto arquitetônico. Quano nenhuma alteração poe er aotaa, reta aina etuar a poibiliae e imenionar a eção com armaura upla, que etá apreentaa no item 8. Para complementar a análie o omínio a viga, eve também er analiaa a relação entre a poição a linha neutra e a altura útil (x/), para obeecer limite impoto pela norma. No item a NBR 6118 apreenta limite para reitribuição e momento fletore e coniçõe e uctiliae, afirmano que a capaciae e rotação o elemento etruturai é função a poição a linha neutra no ELU. Quanto menor for x/, tanto maior erá ea capaciae. E para proporcionar o aequao comportamento útil em viga e laje, a poição a linha neutra no ELU eve obeecer ao eguinte limite:

19 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 16 a) x/ 0,45 para concreto com f ck 50 Pa; b) x/ 0,35 para concreto com 50 < f ck 90 Pa. Eq. 3 Ee limite poem er alterao e forem utilizao etalhe epeciai e armaura, como, por exemplo, o que prouzem confinamento nea regiõe. verão anterior (003) a NBR 6118 preconizava que, cao a eção tranveral a viga foe e apoio ou e ligação com outro elemento etruturai, limite emelhante àquele a Eq. 3 everiam er atenio. Na verão e 014, embora e maneira não explícita, foi introuzia uma alteração, que o limite a Eq. 3 paar a erem válio também para a eçõe com momento fletore poitivo, como aquele, por exemplo, e viga biapoiaa, além a eçõe e apoio com momento fletor negativo, memo que não tenha io feita uma reitribuição o momento fletore. c) Permanência a Seção Plana Do iagrama e eformaçõe motrao na Figura 15 efine-e a relação entre a eformaçõe e cálculo na armaura ( ) e no concreto correponente à fibra mai comprimia: c x x Eq. 4 Conierano-e a variável x, que relaciona a poição a linha neutra com a altura útil, tem-e: x x Subtituino x por x. na Eq. 4 fica: Eq. 5 x c c Eq Cálculo eiante Equaçõe com Coeficiente K Com o intuito e facilitar o cálculo manual, há muito ano vem e eninano no Brail o imenionamento e viga com a utilização e tabela com coeficiente K. Para iferente poiçõe a linha neutra, exprea pela relação x = x/, ão tabelao coeficiente K c e K, relativo à reitência o concreto e à tenão na armaura tracionaa. O coeficiente K c e K encontram-e apreentao na Tabela -1 e na Tabela -, contante o nexo no final eta apotila. Tabela -1 é para apena o aço C-50 e a Tabela - é para too o tipo e aço aplicao no Concreto rmao. Coniere que a tabela citaa ão vália apena para o concreto o Grupo I (f ck 50 Pa). Conierano a Eq. 0 ( = 0,68b w x f c ( 0,4x)), ubtituino x por x. encontra-e: = 0,68b w β x f c ( 0,4β x ) = 0,68b w β x f c (1 0,4β x) Introuzino o coeficiente K c : c bw, com: K 1 K c x c x 0,68 f 1 0,4 Eq. 7

20 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 17 Iolano o coeficiente K c tem-e: bw Kc Eq. 8 O coeficiente K c etá apreentao na Tabela -1 e Tabela -. Oberve na Eq. que K c epene a reitência o concreto à compreão (f c) e a poição a linha neutra, exprea pela variável x. O coeficiente tabelao K é efinio ubtituino-e x por x. na Eq. : com: K 0,4x 1 1 0,4 x 1 0,4 x Eq. 9 a área e armaura tracionaa, em função o coeficiente K é: K Eq. 30 O coeficiente K etá apreentao na Tabela -1 e na Tabela -. Oberve que K epene a tenão na armaura tracionaa ( ) e a poição a linha neutra, exprea por x. É muito importante obervar que o coeficiente K foram calculao conierano a uniae e kn e cm, e moo que a variávei motraa na Eq. 8 e na Eq. 30 (b w,, ) evem ter ea uniae. 7.3 Exemplo Numérico viga têm baicamente oi tipo e problema para erem reolvio: e imenionamento e e verificação. O trê primeiro exemplo apreentao ão e imenionamento e o oi último ão e verificação. O imenionamento conite em e eterminar qual a armaura neceária para uma viga, eno previamente conhecio: o materiai, a eção tranveral e o momento fletor olicitante. Ee tipo e cálculo normalmente é feito urante a fae e projeto a etrutura, para a ua futura contrução. No problema e verificação a incógnita principal é o máximo momento fletor que a eção poe reitir. Problema e verificação normalmente ocorrem quano a viga pertence a uma contrução já executaa e em utilização, e e eeja conhecer a capaciae e carga e uma viga. Para io é neceário conhecer o materiai que compõem a viga, como a clae o concreto (f ck), o tipo e aço, a quantiae e armaura e o eu poicionamento na eção tranveral, a imenõe a eção tranveral, etc. Na grane maioria o cao a prática o problema ão e imenionamento, e eporaicamente ocorrem o problema e verificação e, por ete motivo, erá aa maior ênfae ao problema e imenionamento. pó o etuo o exemplo eguinte o etuante eve fazer o exercício propoto no item 10. 1º) Para a viga inicaa na Figura 17, calcular a área e armaura longituinal e flexão e a eformaçõe na fibra e concreto mai comprimia e na armaura e flexão tracionaa. São conhecio: k,máx = kn.cm h = 50 cm c = f = 1,4 ; = 1,15 b w = 0 cm concreto C0 (f ck = 0 Pa, Grupo I) = 47 cm (altura útil) aço C-50 c =,0 cm (cobrimento nominal) t = 5 mm (iâmetro o etribo) concreto com brita 1 (máx = 19 mm), em brita

21 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 18 h = 50 cm ef k,máx b w 0 cm Figura 17 - Viga biapoiaa. RESOLUÇÃO O problema é e imenionamento, aquele que mai ocorre no ia a ia o engenheiro etrutural. incógnita principal é a área e armaura tracionaa ( ), além a poição a linha neutra, aa pela variável x, que eve er eterminaa primeiramente. reolução erá feita eguno a equaçõe teórica euzia o equilíbrio a eção (Eq. 0 e Eq. ), e também com aplicação a equaçõe com coeficiente K tabelao. O momento fletor e cálculo é:. f k 1, kn.cm eno f o coeficiente e poneração que majora o eforço olicitante. O valor x lim elimita o omínio e 3, e para o concreto o Grupo I e reitência (f ck 50 Pa) é fixo e igual a 0,6: x lim 0,6 0, , cm O valor x 3lim elimita o omínio 3 e 4, e para o concreto o Grupo I e aço C-50, x 3lim é igual a 0,63 (ver Tabela 1): x 3lim = 0,63 = 0, = 9,6 cm a) Reolução com Equaçõe Teórica Com a Eq. 0 etermina-e a poição (x) a linha neutra para a eção: x 0,68b w x f c 0,4x 117,5 x 1801,8 0,0 1, ,68. 0 x 47 0,4x x x 1 99,4 cm 18,1 cm primeira raiz não interea, poi 99,4 cm > h = 50 cm. Portanto, x = 18,1 cm, como motrao na Figura 18. Como o momento fletor olicitante tem inal poitivo, a poição a linha neutra eve er meia a partir a bora uperior comprimia. Oberve que a uniae aotaa para a variávei a Eq. 0 foram o kn e o cm. Se outra uniae iferente forem aotaa eve-e tomar o cuiao e mantê-la em toa a variávei. É importante obervar que o momento fletor eve er colocao na equação com o eu valor aboluto. O momento fletor poitivo traciona a parte inferior a viga, e para reitir a ele é colocaa uma armaura longituinal chamaa armaura poitiva. No cao e momento fletor negativo é colocaa a armaura negativa, próxima à bora uperior a viga.

22 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 19 Comparano a poição a linha neutra (x) com o limite x lim e x 3lim etermina-e o omínio em que a viga e encontra: x 1, cm x 18,1 cm x lim 3lim 9,6 cm Como a linha neutra etá no intervalo entre x lim e x 3lim, conforme a Figura 18, verifica-e que a viga etá no omínio 3. Conforme o limite etabelecio na Eq. 3, conierano o concreto C0 (f ck = 0 Pa), tem-e: x 18,1 0,39 0,45 47 ok! como o limite foi atenio, nenhuma alteração é neceária e a viga poe ter a armaura eterminaa. No omínio 3 a eformação na armaura varia e y (início e ecoamento o aço) a 10 (ver Figura 5). Conforme o iagrama x o aço (Figura 6), a tenão neta faixa e eformação é = f y = f yk/ (para o aço C-50, f yk = 50 kn/cm = 500 Pa). área e armaura é calculaa pela Eq. : 0,4x 50 1, , ,4. 18,1 x = 1, lim cm LN x = 18,1 x = 9,6 3lim Figura 18 - Poição a linha neutra na eção tranveral e limite entre o omínio, 3 e 4. b) Reolução com Equaçõe com Coeficiente K Na equaçõe o tipo K evem er obrigatoriamente conieraa a uniae e kn e cm para a variávei. Primeiramente eve-e eterminar o coeficiente K c (Eq. 8): bw Kc 0 47 = 3, com K c = 3,, concreto C0 e aço C-50, na Tabela -1 eterminam-e o coeficiente x = 0,38, K = 0,07 e omínio 3. poição a linha neutra fica eterminaa pela Eq. 5: x x x = x. = 0, = 17,9 cm Como x = x/ = 0,38 é menor que o valor limite e 0,45, para concreto C0 e conforme a Eq. 3, nenhuma alteração é neceária e a armaura poe er calculaa, com a Eq. 30:

23 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 0 K = ,07 8,04 47 cm Comparano o reultao obtio eguno a ua formulaçõe verifica-e que o valore ão muito próximo. c) Detalhamento a armaura na eção tranveral Inicialmente eve-e comparar a armaura calculaa ( = 8,10 cm ) com a armaura mínima longituinal precrita pela NBR Conforme a Tabela, para concreto C0 e eção retangular, a armaura mínima e flexão é:,mín = 0,15 % b w h = 0, = 1,50 cm Verifica-e que a armaura calculaa e 8,10 cm é maior que a armaura mínima. Quano a armaura calculaa for menor que a armaura mínima, eve er ipota a área a armaura mínima na eção tranveral a viga. ecolha o iâmetro ou o iâmetro e o número e barra para atener à área e armaura calculaa amite ivera poibiliae. Um ou mai iâmetro poem er ecolhio, preferencialmente iâmetro próximo entre i. área e aço ecolhia eve atener à área e armaura calculaa, preferencialmente com uma pequena folga, ma eguno ugetão o autor amite-e uma área até 5 % inferior à calculaa. O número e barra eve er aquele que não reulte numa fiuração ignificativa na viga e nem ificulae aicionai urante a confecção a armaura. fiuração é iminuía quanto mai barra e menor iâmetro ão utilizaa. Porém, eve-e cuiar para não ocorrer exagero e aumentar o trabalho e montagem a armaura. Para a área e armaura calculaa nete exemplo, e 8,10 cm, com auxílio a Tabela -3 e Tabela -4, poem er enumeraa a eguinte combinaçõe: mm 8,00 cm ; mm 8,00 cm ; - 7 1,5 mm 8,75 cm ; mm 8,00 cm ; mm + 1,5 mm 8,50 cm ; mm 9,45 cm ; - 0 mm mm 8,30 cm ; - 0 mm + 1,5 mm 8,80 cm. Outra combinaçõe e número e barra e e iâmetro poem er enumeraa. ecolha e uma a combinaçõe litaa eve levar em conta o fatore: fiuração, faciliae e execução, porte a obra, número e camaa e barra, exequibiliae (largura a viga principalmente), entre outro. Detalhamento com uma única camaa reultam eçõe mai reitente que eçõe com ua ou mai camaa e barra, poi quanto mai próximo etiver o centro e graviae a armaura à bora tracionaa, maior erá a reitência a eção. Define-e como camaa a barra que etão numa mema linha paralela à linha e bora inferior ou uperior a eção. O menor número poível e camaa eve er um o objetivo o etalhamento. Da combinaçõe litaa, 16 8 e evem er ecartaa porque o número e barra é exceivo, o que aumentaria o trabalho o armaor (operário reponável pela confecção a armaura na contruçõe). Por outro lao, a trê última combinaçõe, com o iâmetro e 0 mm, têm um número pequeno e barra, não eno o ieal para a fiuração, além o fato a barra e 0 mm repreentar maiore ificulae no eu manueio, confecção e gancho, etc. Entre toa a combinaçõe, a melhore alternativa ão 7 1,5 e 4 16 mm, eno eta última pior para a fiuração, ma que certamente ficará entro e valore máximo recomenao pela NBR O etuo a fiuração na viga erá apreentao em outra iciplina.

24 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 1 Na ecolha entre 7 1,5 e 4 16 mm eve-e também atentar para o porte a obra. Contruçõe e pequeno porte evem ter epecificao iâmetro preferencialmente até 1,5 mm, poi a maioria ela não têm máquina elétrica e corte e barra, one ão cortaa com erra ou guilhotina manuai, com capaciae e corte e barra até 1,5 mm. Guilhotina maiore ão praticamente inexitente na obra e pequeno porte. lém io, a armaura ão feita por pereiro e ajuante e não armaore profiionai. Não há também bancaa e trabalho aequaa para o obramento a barra. De moo que recomenamo iâmetro e até 1,5 mm para a obra e pequeno porte, e acima e 1,5 mm apena para a obra e maior porte, com trabalho e armaore profiionai. Como o momento fletor olicitante tem inal poitivo, é extremamente importante que a armaura calculaa eja ipota na poição correta a viga, ito é, na proximiae a bora ob tenõe e tração, que no cao em quetão é a bora inferior. Um erro e poicionamento a armaura, como a barra erem colocaa na bora uperior, poe reultar no ério comprometimento a viga em erviço, poeno-a levar incluive ao colapo imeiatamente à retiraa o ecoramento. ipoição a barra entre o ramo verticai o etribo eve proporcionar uma itância livre entre a barra uficiente para a paagem o concreto, a fim e evitar o urgimento e nicho e concretagem, chamao na prática e bicheira. Para io, conforme apreentao na Eq. 10, o epaçamento livre horizontal mínimo entre a barra é ao por: a h,mín cm 1, máx,agr Quano a barra e uma mema camaa têm iâmetro iferente, a verificação o epaçamento livre mínimo (a h,mín) entre a barra eve er feita aplicano-e a Eq. 10 acima. Por outro lao, quano a barra a camaa têm o memo iâmetro, a verificação poe er feita com auxílio a Tabela -4, que motra a Largura b w mínima para um ao cobrimento nominal (c). Determina-e a largura mínima na interecção entre a coluna e a linha a tabela, correponente ao número e barra a camaa e o iâmetro a barra, repectivamente. O valor para a largura e b w mínimo epene o iâmetro máximo a brita e maior imenão utilizaa no concreto. Figura 19 motra o etalhamento a armaura na eção tranveral a viga, one foi aotaa a combinação 4 16 mm (a combinação 7 1,5 mm eve er feita como ativiae o aluno). Para 4 16 mm, na Tabela -4 encontra-e a largura mínima e 19 cm para concreto com brita 1 e cobrimento e,0 cm. Como a largura a viga é 0 cm, maior que a largura mínima, é poível alojar a quatro barra numa única camaa, ateneno ao epaçamento livre mínimo. lém a armaura tracionaa evem er ipota também no mínimo ua barra na bora uperior a eção, barra contrutiva chamaa porta-etribo, que ervem para a amarração o etribo a viga. rmaura contrutiva ão muito comun no elemento etruturai e concreto armao, auxiliam na confecção e montagem a armaura e colaboram com a reitência a peça, embora não ejam levaa em conta no cálculo. itância a cg, meia entre o centro e graviae a armaura tracionaa e a fibra mai tracionaa a eção tranveral, nete cao é aa pela oma o cobrimento, o iâmetro o etribo e metae o iâmetro a armaura: a cg =,0 + 0,5 + 1,6/ = 3,3 cm altura útil, efinia como a itância entre o centro e graviae a armaura tracionaa à fibra mai comprimia a eção tranveral, conforme o etalhamento a Figura 19 é: = h a cg = 50 3,3 = 46,7 cm O valor inicialmente aotao para a altura útil foi 47 cm. Exite, portanto, uma pequena iferença e 0,3 cm entre o valor inicialmente aotao e o valor real calculao em função o etalhamento ecolhio. Pequena iferença, e até 1 cm ou cm poem, e moo geral, erem econieraa em

25 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga viga e imenõe corrente, não haveno a neceiae e e recalcular a armaura, poi a iferença e armaura geralmente é pequena. Embora a norma inique a armaura e pele para viga com h > 60 cm (ver Eq. 9), recomenamo a ua aplicação quano h 50 cm, para evitar o aparecimento e fiura por retração, com área igual àquela inicaa na antiga NB 1 e 1978: p,face = 0,05% b w. h p,face = 0,05% = 0,5 cm (3 5 mm 0,60 cm em caa face vertical) armaura contrutiva 50 armaura e pele (6Ø 5) 4Ø16 (8,00 cm²) a cg 0 Figura 19 Detalhamento a armaura longituinal na eção tranveral. ) Deformaçõe na fibra mai comprimia (concreto) e na armaura tracionaa No omínio 3 a eformação e encurtamento na fibra e concreto mai comprimia é fixa e igual a 3,5 para o concreto o Grupo I. eformação na armaura varia e y (,07 para o aço C- 50) a 10, poeno er calculaa pela Eq. 4. Conierano = 46,7 cm conforme eterminao no etalhamento motrao na Figura 19: c x x 3,5 18,1 46,7 18,1 = 5,5 Figura 0 ilutra a eformaçõe no materiai e o omínio e 3 e eformação. 0 cu 3,5 LN x lim x = 18,1 cm 3 x 3lim ,5 =,07 y Figura 0 Diagrama e omínio (para concreto o Grupo I) e eformaçõe no concreto comprimio e na armaura tracionaa. 0

26 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 3 º) Calcular a altura útil () e a armaura longituinal e flexão ( ), para o máximo momento fletor poitivo a viga e eção retangular, motraa na Figura 1. Dao: concreto C5 t = 5 mm (iâmetro o etribo) aço C-50 c =,5 cm b w = 0 cm concreto com brita 1 k,máx = kn.cm c = f = 1,4 ; = 1,15 k,máx = kn.cm RESOLUÇÃO Figura 1 Equema etático e iagrama e momento fletore. Como a altura a viga não etá fixaa, ao que a altura útil é uma incógnita, o problema amite infinita oluçõe, tanto no omínio como no omínio 3, ee que no omínio 3 ejam obeecio o limite etabelecio na Eq. 3. No omínio 4 não e amite o imenionamento, memo porque o limite a Eq. 3 eriam ultrapaao. O problema é reolvio fixano-e a poição a linha neutra, ito é, aotano-e um valor para x, e para caa x aotao reulta um par /. Conierano o concreto C5 e a Eq. 3, a poição a linha neutra poe variar e zero até o limite x = x/ = 0,45 (omínio 3). Com o objetivo e motrar ua oluçõe entre a infinita exitente, o exemplo erá reolvio com a poição a linha neutra fixaa em ua iferente poiçõe: no limite entre o omínio e 3 (x = x lim) e no valor máximo x/ = 0,45 ver Figura 5. mba a oluçõe viam imenionar a viga com armaura imple, poi outra oluçõe poívei com armaura upla não erão apreentaa nete exemplo. reolução o exercício erá feita eguno a equaçõe o tipo K, ficano a reolução pela equaçõe teórica como tarefa para o etuante. O cálculo pela equaçõe teórica (Eq. 0 e Eq. ) faz-e arbitrano valore para x na Eq. 0, one e obtém um valor correponente para. área e armaura é calculaa então com a Eq., teno toa a ua variávei conhecia. O momento fletor e cálculo é: = f. k = 1, = kn.cm a) Linha neutra paano por x lim Com a linha neutra em x lim implica que x = xlim = 0,6 (para o concreto o Grupo I e reitência), e na Tabela -1 para concreto C5 e aço C-50 encontram-e: Kc 3,5 K 0,06 Com a Eq. 8 calcula-e a altura útil : bw Kc 3, Kc 55,5 cm b 0 w

27 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 4 área e armaura (Eq. 30) reulta: K ,06 55,5 8,4 cm Um arranjo poível e barra para a área calculaa é 3 16 mm + 1,5 mm 8,50 cm. Há vária outra combinaçõe ou arranjo poívei. poição a linha neutra (x) poe er obtia com a Eq. 5: x x x x lim xlim 0,6. 55,5 14,4 cm Figura motra a poição a linha neutra, o omínio e o iagrama e eformaçõe para a eção em análie. Oberve que, com a linha neutra paano por x lim, a eformação e encurtamento no concreto comprimio ( c) é igual a 3,5 (concreto o Grupo I), e a eformação e alongamento na armaura ( ) é igual a 10,0, amba iguai ao máximo valore permitio pela NBR x lim 0 3,5 x = 14,4 lim = 3,5 c LN ' c 3 55,5 h 10 y Figura Diagrama e omínio e eformaçõe no materiai com a linha neutra paano em x lim. 0 Figura 3 motra o etalhamento a armaura na eção tranveral. Como já obervao no exercício anterior, é extremamente importante poicionar corretamente a armaura, ipono-a próxima à face tracionaa a eção, que nete cao é a face inferior, poi a viga etá olicitaa por momento fletor poitivo. Inicialmente, eve-e tentar colocar a cinco barra na primeira camaa, próxima à bora tracionaa. Como foram ecolhio oi iâmetro iferente para a armaura não é poível utilizar a Tabela -4 para verificar a poibiliae e alojar a cinco barra numa única camaa. Nete cao, a verificação eve er feita comparano o epaçamento livre exitente entre a barra com o epaçamento mínimo preconizao pela NBR Conierano a barra e maior iâmetro e concreto com brita 1 ( máx,agr = 19 mm), o epaçamento mínimo entre a barra, conforme a Eq. 10 é: cm a h,mín 1,6 cm a h,mín =,3 cm 1, 1, 1,9,3 cm máx,agr O epaçamento livre exitente entre a barra, conierano a cinco barra numa única camaa é: a h 0,5 0,5 1,5 3.1,6 1,7 cm 4

28 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 5 Como a h = 1,7 < a h,mín =,3 cm, a cinco barra não poem er alojaa numa única camaa. Como uma eguna tentativa uma barra 1,5 eve er elocaa para a eguna camaa (acima a primeira), o que reulta para a h: a h 0,5 0, ,6 1,5,7 cm Como a h =,7 > a h,mín =,3 cm, a quatro barra poem er alojaa na primeira camaa. barra 1,5 a eguna camaa fica amarraa num o ramo verticai o etribo. c LN x = x = 14,4 lim 55,5 60 a =,7 h 3 Ø 16 a cg Ø 1,5 0 1ª cam. Figura 3 Detalhamento a armaura na eção tranveral e poição a linha neutra em x = x lim. Não há a neceiae e eterminar a poição exata o centro e graviae a armaura, a poição aproximaa é uficiente, não conuzino a erro ignificativo. No exemplo, o centro e graviae poe er tomao na linha que paa pela face uperior a barra 16 mm. itância (a cg) entre o centro e graviae (CG) a armaura longituinal tracionaa ( ) à fibra mai tracionaa a eção nete cao é: a cg = c + t + / =,5 + 0,5 + 1,6 = 4,6 cm altura a viga é a oma a altura útil com a itância a cg : h = + a cg = 55,5 + 4,6 = 60,1 cm 60 cm Para a viga recomena-e aotar altura com valore múltiplo e 5 cm ou 10 cm. armaura mínima e flexão, conforme a Tabela, é:,mín,mín 0,15% b w h 0, ,80 cm = 8,4 cm >,mín = 1,80 cm ipor a armaura calculaa. Embora a norma inique a armaura e pele quano h > 60 cm (Eq. 9), recomenamo a ua aplicação para h 50 cm, com área inicaa na NB 1/1978: 3). p,face = 0,05% b w. h p,face = 0,05% = 0,6 cm (3 5 mm 0,60 cm em caa face vertical. Eta armaura e pele não etá inicaa na Figura

29 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 6 b) Linha neutra paano no limite x/ = 0,45 Nete cao, x = 0,45 e na Tabela -1 para concreto C5 e aço C-50, encontram-e: K K c, 0,08 Com a Eq. 8 calcula-e a altura útil : bw Kc Kc, ,0 cm b 0 w área e armaura (Eq. 30) reulta: K 0, ,0 cm Um arranjo e barra é compoto por 6 16 mm 1,00 cm. Outro arranjo poem er utilizao. poição a linha neutra (x) poe er obtia com a Eq. 5: x x 0,45 x 0, ,8 cm Figura 4 motra a poição a linha neutra, o omínio e o iagrama e eformaçõe para a eção em análie. Oberve que, com a linha neutra paano por x = 0,45, o omínio é o 3, e a eformação e encurtamento no concreto comprimio ( c) é igual a 3,5 (para concreto o Grupo I), e a eformação e alongamento na armaura ( ) é (Eq. 4): c x x 3,5 19, ,8 = 4,3 maior que y (,07 ), como era e e eperar. 0 3,5 = 3,5 c B 3 x lim x 3lim LN x = 19,8 = 44,0 ' c h 10 4,3 y 0 Figura 4 Diagrama e omínio e eformaçõe no materiai com a linha neutra paano por x = 0,45. 0 Na itribuição a ei barra 16 mm na eção tranveral poe-e fazer uo Tabela -4, para e eterminar quanta camaa e barra ão neceária. O intuito é e alojar o maior número e barra numa primeira camaa. Na Tabela -4, com c =,5 cm, verifica-e que a largura b w mínima neceária para alojar 6 16 mm é e 7 cm, maior que a largura exitente, e 0 cm, não eno poível, portanto, alojar a ei barra. Cinco barra também não poem, já que b w,mín = 3 cm upera a largura exitente.

30 0, Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 7 a quatro barra poem er alojaa numa única camaa, como motrao na Tabela -4, a largura b w,mín e 0 cm é igual à largura a viga. ua outra barra retante evem er ipota numa eguna camaa, amarraa no ramo verticai o etribo, poicionaa com o epaçamento livre mínimo (a v,mín) relativo à face uperior a barra a primeira camaa, como motrao na Figura 5. O epaçamento livre mínimo vertical entre a barra, conforme a Eq. 11 é: a v,mín cm 1,6 cm 0,5 0,5 1,9 1,0 cm máx,agr a v,mín =,0 cm De moo geral, o epaçamento livre entre camaa reulta igual a,0 cm. 49,1 44,0 ' c c Ø t LN x = 19,8 Ø 16 a cg CG a v 4 Ø 16 0 Figura 5 Detalhamento a armaura na eção tranveral e poição a linha neutra em x = 0,45. otano-e a poição o centro e graviae a armaura e forma aproximaa, numa linha paano a 0,5 cm acima a uperfície uperior a barra 16 mm a primeira camaa, a itância a cg (itância o centro e graviae CG - a armaura longituinal tracionaa ( ) à fibra mai tracionaa a eção) é: a cg =,5 + 0,5 + 1,6 + 0,5 = 5,1 cm Para a altura a viga reulta: h = + a cg = 44,0 + 5,1 = 49,1 cm altura calculaa para a viga, e 49,1 cm não é uma meia parão e execução na prática a contruçõe. É comum aotarem altura múltipla e 5 cm ou 10 cm para a viga, o que leva à altura e 50 cm. a3) Comparação o reultao O cálculo efetuao com a linha neutra fixaa em x lim e x = 0,45 forneceram a oluçõe: a) x lim : h = 60 cm, = 8,4 cm ; b) x = 0,45: h = 50 cm, = 11,0 cm. O reultao permitem tecer a eguinte conieraçõe:

31 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 8 - quanto menor for o valor e x ou a profuniae a linha neutra entro a eção tranveral, maior erá a altura reultante para a viga e menor erá a área e armaura tracionaa. Com a maior altura a eção o braço e alavanca z entre a força reultante interna também é maior, o que leva a menor neceiae e armaura; - a viga imenionaa no omínio reultam viga com maior altura e menor armaura que a viga imenionaa no omínio 3; - a conieração anterior implica que a viga imenionaa no omínio conomem maiore volume e concreto e maiore quantiae e fôrma, ecoramento, mão-e-obra, etc. Um etuo e cuto eve contatar que o imenionamento no omínio reulta num cuto maior que o imenionamento no omínio 3, apear o menor conumo e aço proporcionao pelo omínio ; - outro apecto importante é que o imenionamento no omínio 3, com viga e menor altura, reultam viga mai flexívei, ujeita a flecha e maior magnitue. 3º) Calcular a armaura longituinal e uma viga ubmetia à flexão imple, eno ao: concreto C5 c =,5 cm aço C-50 t = 6,3 mm (iâmetro o etribo) h = 60 cm concreto com brita 1 b w = cm c = f = 1,4 ; = 1,15 k = kn.cm (momento fletor negativo no apoio a viga) RESOLUÇÃO Nete cao, como toa a variávei etão fixaa, com exceção a poição a linha neutra (x) e a área e armaura, exite apena uma olução, aa pelo par x -. reolução é iniciaa pela eterminação e x e em eguia pelo cálculo e. quetão erá reolvia utilizano-e a equaçõe teórica e também com a equaçõe com coeficiente K. altura útil não é conhecia porque não e conhece o arranjo a armaura na eção tranveral. É neceário etimar, fazeno a altura a viga meno a itância entre o centro e graviae a armaura tracionaa e a fibra mai tracionaa (itância a cg). Ea itância epene a armaura, a largura a viga, o iâmetro o etribo e principalmente a epeura o cobrimento e concreto, que, quanto maior, maior erá a itância a cg. De moo geral, para a viga corrente, o valor e a cg varia em torno e 3 cm a 6 cm. olução é aotar um valor para a cg e epoi verificar o valor exato no etalhamento a armaura na eção tranveral. Normalmente não é neceário recalcular a armaura para o valor e a cg eterminao no etalhamento, ao que a variação e armaura geralmente é pequena. Para a itância a cg eta quetão erá aotao o valor e 5 cm, e é: = h 5 cm = 60 5 = 55 cm O momento fletor e cálculo é: = γ f k = 1,4. ( 15000) = kn.cm (o inal negativo o momento fletor não eve er conierao no cálculo - equaçõe). a) Reolução com Equaçõe Teórica O limite entre o omínio, 3 e 4, conierano o concreto o Grupo I e reitência, ão: x lim = 0,6 = 0,6. 55 = 14,3 cm x 3lim = 0,63 = 0, = 34,7 cm (para o aço C-50) Com a Eq. 0 etermina-e a poição a linha neutra para a eção:

32 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 9 0,68b w x f c 0,4x, ,68. x 55 0,4x 1,4 x = 16, cm Comparano a poição a linha neutra (x) com o limite x lim e x 3lim etermina-e qual o omínio em que a viga e encontra: x 14,3 cm x 16, cm x lim 3lim 34,7 cm a eção etá no omínio 3. Conierano o limite fornecio na Eq. 3 e o concreto C5, tem-e: x/ = 16,/55 = 0,9 < 0,45 como o limite foi atenio exite olução com armaura imple. área e armaura é calculaa pela Eq. : 0,4x 50 1, ,4.16, 9,95 cm b) Reolução com Equaçõe com Coeficiente K poição a linha neutra é eterminaa com o cálculo e K c (Eq. 8): bw Kc. 55 Kc 3, 1000 Oberve que o momento fletor e cálculo ( ) é conierao com o eu valor aboluto no cálculo e K c. Com K c = 3,, para concreto C5 e aço C-50 na Tabela -1 encontram-e: K = 0,06, x = 0,9 e omínio 3. Com x = x/ = 0,9, o limite e 0,45 a Eq. 3 (concreto C5) é atenio, poi x = 0,9 < 0,45. Io ignifica que a eção poe er imenionaa com armaura imple, em neceiae e e fazer qualquer alteração no ao iniciai. área e armaura (Eq. 30) reulta: K 0, ,93 cm (5 16 mm = 10,00 cm ) armaura mínima para a viga, conforme a Tabela, é:,mín 0,15% b w h >,mín = 1,98 cm,mín 0, ,98 cm O etalhamento a armaura na eção tranveral etá motrao na Figura 6. Como o momento fletor é negativo, a armaura eve obrigatoriamente er ipota próxima à face uperior tracionaa a eção. Seria um erro gravíimo fazer o contrário, com a armaura no lao inferior a viga. Tanto no projeto quanto na execução a viga, epecial atenção eve er aa a ete etalhe. poição o centro e graviae a armaura foi aotaa e forma aproximaa, a 5 mm a face inferior a barra a primeira camaa. Para viga e pequeno porte não há a neceiae e e eterminar com rigor a poição exata o centro e graviae a armaura. Na itribuição a barra a armaura longituinal negativa na eçõe tranverai a viga é importante eixar epaço uficiente entre a barra para a paagem a agulha o vibraor. Deve-e ter em mente qual o iâmetro a agulha o vibraor que erá utilizao. O iâmetro e agulha mai comun utilizao na prática ão e 5 mm e 49 mm. De preferência o epaçamento entre a barra eve er um

33 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 30 pouco uperior ao iâmetro a agulha, para permitir a penetração a agulha com faciliae, em que e tenha que forçar a ua paagem. Para quatro e trê barra na primeira camaa o epaçamento livre horizontai entre a barra ão: a h, 4 a h, 3,5 0,63 3,5 0,63 41,6 3,1 31,6 5,5 cm cm Conierano o iâmetro a agulha o vibraor igual a 49 mm, verifica-e que evem er ipota apena trê barra na primeira camaa, e a ua outra na eguna camaa. O epaçamento livre mínimo horizontal entre a barra é (Eq. 10): a h,mín cm 1,6 cm 1, 1, 1,9 =,3 cm máx,agr a h,mín =,3 cm O epaçamento livre mínimo vertical entre a barra a camaa é (Eq. 11): cm a v,mín 1,6 cm a v,mín =,0 cm 0,5 máx,agr 0,5.1,9 =1,0 cm itância entre o centro e graviae a armaura e a face tracionaa a viga, aotaa inicialmente como 5 cm, é: a cg =,5 + 0,63 + 1,6 + 0,5 = 5, cm Conforme a NBR 6118, a viga não neceita e armaura e pele, poi h = 60 cm (ver Eq. 9), no entanto recomenamo a ua aplicação para h 50 cm, com área inicaa na NB 1/1978: p,face = 0,05% b w. h p,face = 0,05%.. 60 = 0,66 cm (3 5 mm 0,60 cm em caa face vertical) 1ª cam. 5 Ø 16 (10,00 cm²) a cg CG 0.5 a = cm v CG a cg a h ª cam. 60 c armaura e pele (6Ø 5) Øt Figura 6 Detalhamento a armaura negativa na eção tranveral.

34 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 31 4º) Daa a eção retangular e uma viga, como motraa na Figura 7, calcular qual é o momento fletor amiível (e erviço). São conhecio: b w = 0 cm f = c = 1,4 h = 50 cm = 1,15 = 46 cm = 8,00 cm concreto C0 aço C = 8,00 cm² 0 Figura 7 Caracterítica a eção tranveral. RESOLUÇÃO O problema agora não é e imenionamento, e im e verificação. variávei a erem eterminaa ão a poição a linha neutra (x) e o momento fletor e erviço ou amiível ( k). reolução eve er feita por meio a equaçõe teórica. primeira equação a conierar é a e equilíbrio a força reultante na eção tranveral (Eq. 15). R cc = R t 17): reultante e compreão no concreto comprimio e e tração na armaura ão (Eq. 16 e Eq. R 0,68b R cc t w x f c Inicialmente eve-e upor que a eção foi imenionaa no omínio ou 3, one tem-e: f y f yk 50 1,15 plicano a Eq. 10 etermina-e a poição a linha neutra (x): 0,68b x f w c,0 50 0,68. 0x 8,00 x 17,9 cm 1,4 1,15 É neceário verificar e a hipótee inicialmente conieraa a viga etar no omínio ou 3 é veraeira, o que e faz comparano x com o valore limite x lim e x 3lim. Para o concreto C0 e C-50: x lim = 0,6 = 0,6. 46 = 1,0 cm x 3lim = 0,63 = 0, = 9,0 cm x lim = 1,0 < x = 17,9 < x 3lim = 9,0 cm

35 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 3 Verifica-e que a eção encontra-e no omínio 3, e portanto a tenão é igual a f y. Verifica-e também que o limite apreentao na Eq. 3: x 17,9 0,39 0,45 46 ok! O imenionamento foi feito ateneno ao limite. O momento fletor e erviço poe er calculao pela Eq. 0 ou Eq. 1: 0,68b w x f c 0,4x ou 0,4x 50 1,4 k 8, ,4. 17,9 k = ,15 kn.cm Portanto, o momento fletor caracterítico a que a eção poe reitir é kn.cm (momento fletor poitivo). 5º) Determinar o máximo momento fletor que poe uportar uma viga com a eção motraa na Figura 8. Dao: concreto C5 aço C-50 = 9,45 cm c = f = 1,4 = 1,15 = 36 cm 40 3 Ø 0 9,45 cm² 3 0 Figura 8 - Seção tranveral a viga. RESOLUÇÃO Como no exercício anterior, o problema é e verificação e a incógnita principal o problema é o momento fletor caracterítico ( k) a que a eção tranveral poe reitir. Da equação e equilíbrio e força normai (Eq. 15), tem-e o equilíbrio a força reultante: R cc = R t 17): é: reultante e compreão no concreto comprimio e e tração na armaura ão (Eq. 16 e Eq. R 0,68b R cc t w x f c Supono-e inicialmente que a eção foi imenionaa no omínio ou 3, a tenão na armaura f y f yk 50 1,15 plicano a Eq. 15 etermina-e a poição a linha neutra (x): 0,68b x f w c

36 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 33,5 50 0,68. 0x 9,45 x 16,9 cm 1,4 1,15 É neceário verificar e a hipótee inicialmente conieraa a viga etar no omínio ou 3 é veraeira, o que e faz comparano x com o valore limite x lim e x 3lim. Para o concreto C5 (Grupo I) e C-50, tem-e: x lim = 0,6 = 0,6. 36 = 9,4 cm x 3lim = 0,63 = 0, =,7 cm x lim = 9,4 < x = 16,9 < x 3lim =,7 cm Verifica-e que a eção encontra-e no omínio 3, e a tenão é igual a f y. Verifica-e que o limite a Eq. 3: x 16,9 0,47 0,45 36 não ok! O imenionamento foi feito não ateneno ao limite. O momento fletor e erviço poe er calculao pela Eq. 0 ou Eq. 1: 0,68b w x f c 0,4x ou 0,4x 50 1,4 k 9, ,4.16,9 k = ,15 kn.cm Portanto, o momento fletor caracterítico a que a eção poe reitir é kn.cm (momento fletor negativo). 8. SEÇÃO RETNGULR CO RDUR DUPL Define-e eção com armaura upla a eção que, além a armaura reitente tracionaa, contém também armaura longituinal reitente na região comprimia, ali colocaa para auxiliar o concreto na reitência à tenõe e compreão. armaura upla é um artifício que permite imenionar a eçõe cuja eformaçõe encontrame no omínio 4, em que haja a neceiae e e alterar algum o parâmetro inicialmente aotao. eção com armaura upla urge como olução ao imenionamento antieconômico e contra a egurança (ruptura frágil, em avio prévio) proporcionao pelo omínio 4. Ete omínio é evitao alterano-e a poição a linha neutra para o limite entre o omínio 3 e 4, ou eja, com a linha neutra paano por x 3lim, no que reulta na máxima eção comprimia poível no omínio 3. o e fazer aim, a área e concreto comprimio não mai conieraa para a reitência a eção é compenaa pelo acrécimo e uma armaura longituinal próxima à bora comprimia, que irá auxiliar o concreto no trabalho e reitência à tenõe e compreão. Por outro lao, o limite impoto pela NBR 6118 (item ) para a poição a linha neutra (motrao na Eq. 3), a fim e melhorar a uctiliae e viga e laje, poem er também motivo para a utilização e armaura upla. Quano a poição a linha neutra excee o limite, ao invé e e aumentar a altura a eção, por exemplo, é geralmente poível manter too o ao iniciai acrecentano uma armaura na região comprimia a viga, e ee moo poibilitar que a linha neutra não ultrapae o limite impoto pela norma. Na maioria o cao a prática a neceiae e armaura upla urge na eçõe ubmetia a momento fletore negativo, no apoio intermeiário e viga contínua. Como o momento fletore negativo ão ignificativamente maiore que o momento fletore máximo poitivo no vão, ele requerem eçõe tranverai com altura maiore que para o momento fletore poitivo. Porém, fixar a altura a viga para too o eu tramo em função o momento fletore negativo aumenta o cuto, poi e na eçõe e apoio a altura fixaa é a ieal, na eçõe ao longo o vão a altura reulta

37 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 34 exageraa. Daí que uma olução imple e econômica poe er fixar a altura a viga e tal forma que reulte armaura upla no apoio e armaura imple no vão. 8.1 Equaçõe e Equilíbrio Do memo moo como feito na eução a equaçõe para a eção retangular com armaura imple, a formulação erá eenvolvia com bae na ua equaçõe e equilíbrio a etática (N = 0 e = 0). Figura 9 motra a eção retangular e uma viga, com armaura tracionaa e armaura comprimia, ubmetia a momento fletor poitivo. O iagrama e itribuição e tenõe e compreão no concreto é o retangular implificao, com profuniae 0,8x (Eq. 1) e tenão σ c e 0,85f c (Eq. 13), eno ambo o valore válio apena para o concreto o Grupo I e reitência (f ck 50 Pa). Portanto, a formulação que erá apreentaa não é vália para o concreto o Grupo II (50 < f ck 90 Pa). ' ' c ' ' R c R cc c ' x y = 0,8x c 0,85 f c R c R cc h R t LN - x R t z c z cc b w a) Equilíbrio e Força Normai Figura 9 - Seção retangular com armaura upla. Na flexão imple não ocorre a força normal, e forma que exitem apena a força reultante relativa ao eforço reitente interno, que evem e equilibrar, e tal forma que: R cc R c R t Eq. 31 eno: R cc = força reultante e compreão proporcionaa pelo concreto comprimio; R c = força reultante e compreão proporcionaa pela armaura comprimia; R t = força reultante e tração proporcionaa pela armaura tracionaa; = tenão e cálculo na armaura comprimia; = tenão e cálculo na armaura tracionaa. Conierano que R =., a força reultante, efinia com auxílio a Figura 9, ão: R cc = 0,85 f c 0,8 x b w = 0,68b w x f c Eq. 3 R c = Eq. 33 R t = Eq. 34 b) Equilíbrio e omento Fletore O momento fletor olicitante tem que er equilibrao pelo momento fletore interno reitente, proporcionao pelo concreto comprimio e pela armaura, a tracionaa e a comprimia, e que poem er repreentao pelo momento fletor e cálculo, tal que: olic = reit =

38 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 35 Fazeno o equilíbrio e momento fletore em torno a linha e ação a força reultante R t, o momento reitente à compreão erá ao pela força reultante e compreão multiplicaa pela ua repectiva itância à linha e ação e R t (braço e alavanca z cc e z c): = R cc. z cc + R c. z c Subtituino R cc e R c pela Eq. 7 e 8 fica: = 0,68b w x f c (z cc) + ' ' (z c) plicano a itância z cc e z c a equação torna-e: = 0,68 b w x f c ( - 0,4x) + ' ' ( - ') Eq. 35 Com o intuito e facilitar o cálculo poe-e ecompor o momento fletor em ua parcela, como inicao na Figura 30, tal que: = 1 + Eq. 36 ' ' x 0,8x = + 1 0,4 x LN z = - 0,4x cc ' z = - ' c = = a) b) c) Figura 30 - Decompoição a eção com armaura upla. O momento fletor 1 correpone ao primeiro termo a Eq. 30, cujo ignificao fíico é o e er o momento fletor interno reitente proporcionao por uma parcela 1 a armaura tracionaa e pela área e concreto comprimio com a maior profuniae poível, conforme equema motrao na Figura 30b. 0,68b x f 1 w c 0,4x Eq. 37 O valor e x, a er aplicao na Eq. 3, eve er aotao conforme o critério a NBR 6118, já apreentao na Eq. 3, haveno a eguinte poibiliae: a) x 0,45 para concreto o Grupo I (f ck 50 Pa); b) x 0,35 para concreto o Grupo II (50 < f ck 90 Pa). Eq. 38 Nota: o valore limite para x evem er conierao para eçõe tranverai e viga e laje, tanto para a eçõe e apoio como para aquela ao longo o vão, com ou em reitribuição e momento fletore. como: Determinaa a primeira parcela 1 o momento fletor total, poe-e calcular a eguna parcela 1 Eq. 39

39 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 36 armaura comprimia equilibra a parcela a armaura tracionaa total ( ), e urge o equilíbrio e momento fletore na eção a Figura 30c, como a força reultante na armaura comprimia multiplicaa pela itância à armaura tracionaa: = R c. z c plicano a Eq. 8 e R c fica: z c Iolano a área e armaura comprimia: Eq. 40 tenão na armaura comprimia epene o tipo e aço, a poição a armaura entro a eção tranveral, exprea pela relação /, e a poição x fixaa para a linha neutra, geralmente aumia no valore limite (0,45 ou 0,35). Na Tabela -5 encontram-e o valore e, em função e / e o tipo e aço, para concreto o Grupo I e reitência. parcela 1 e a armaura tracionaa reultam o equilíbrio e momento fletore na eçõe b e c inicaa na Figura 30. São aa pela força reultante na armaura tracionaa multiplicaa pelo repectivo braço e alavanca, ito é, a itância entre a reultante que e equilibram na eção. Para a eção a Figura 30 b: z 1 1 cc 1 0,4x Iolano a parcela 1 a armaura tracionaa: 1 1 0,4x Eq. 41 Para a eção a Figura 30 c: z c Iolano a parcela a armaura tracionaa: Eq. 4 armaura total tracionaa é a oma a parcela 1 e : Eq one: 1 = parcela a armaura tracionaa que equilibra o momento fletor reitente proporcionao pela área e concreto comprimio com profuniae x; = parcela a armaura tracionaa que equilibra o momento fletor reitente proporcionao pela armaura comprimia.

40 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 37 c) Permanência a Seçõe Plana Conforme o iagrama e eformaçõe motrao na Figura 9 efinem-e a relaçõe entre a eformaçõe e cálculo na armaura tracionaa ( ) e comprimia ( ) e no concreto a fibra mai comprimia a eção. c x c x x x x Eq. 44 Eq. 45 umino a relação entre a poição a linha neutra e a altura útil poe-e também ecrever: x x x c c Eq Cálculo eiante Equaçõe com Coeficiente K O cálculo e imenionamento a viga à flexão imple poe er feito com equaçõe mai imple, fazeno-e uo o coeficiente K, como motrao na Tabela -1 (ou Tabela -). Inicialmente eve-e efinir qual erá a poição a linha neutra na eção tranveral. ugetão é e poicionar a linha neutra com a profuniae máxima poível, no limite etabelecio na NBR 6118, com a variável x em função a clae o concreto: a) x = x/ 0,45 para concreto o Grupo I (f ck 50 Pa); b) x = x/ 0,35 para concreto o Grupo II (50 < f ck 90 Pa). Eq. 47 Definia a poição a linha neutra, eve-e eterminar o valore correponente e K clim e e K lim na Tabela -1 ou Tabela -, conheceno-e a clae o concreto e a categoria o aço. O momento fletor 1 fica aim eterminao: 1 bw K clim Eq. 48 parcela o momento total também fica eterminaa: 1 Eq. 49 área total e armaura tracionaa fica eterminaa por: 1 Klim f Eq. 50 y área e armaura comprimia é: K Eq. 51

41 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 38 O coeficiente K é o invero a tenão na armaura comprimia, aumino iferente valore em função a relação / e a poição aotaa para a linha neutra, geralmente aumia no limite (0,45 ou 0,35). O valore e K etão motrao na Tabela -5, para concreto o Grupo I e reitência: 1 K Eq. 5 Como já obervao, o coeficiente K foram calculao conierano a uniae e kn e cm, e moo que a variávei a equaçõe evem ter ea uniae. 8.3 Exemplo Numérico 1º) Dimenionar e etalhar a armaura longituinal e flexão para o momento fletor negativo no apoio intermeiário e uma viga contínua, conierano o ao a eguir: b w = 0 cm h = 50 cm k = kn.cm concreto C5 aço C-50 c =,0 cm t = 6,3 mm brita 1 RESOLUÇÃO - k O problema em quetão é e imenionamento a área e armaura e a incógnita ão a poição a linha neutra (x) e a área e armaura ( ). Inicialmente não e conhece o omínio e eformação a eção, o que ignifica que é uma incógnita e a eção erá imenionaa com armaura imple ou upla. Para ea efinição é neceário eterminar x e o omínio em que a eção e encontra. O momento fletor e cálculo é: = f. k = 1,4. ( 15700) = kn.cm Como não e conhece o etalhamento a armaura, não é poível eterminar a altura útil, e moo que eve er aotao inicialmente um valor para, que é igual a altura a viga meno a itância entre o centro e graviae a armaura tracionaa e a face tracionaa a eção (a cg ver Figura 31). otano a cg = 5 cm, reulta: = h 5 cm = 50 5 = 45 cm. Para a itância entre o centro e graviae a armaura comprimia à face comprimia a eção erá aotao o valor e 3 cm (ver Figura 31). O limite entre o omínio, 3 e 4, conierano aço C-50 e concreto o Grupo I e reitência (f ck 50 Pa), ão: x lim = 0,6 = 0,6. 45 = 11,7 cm x 3lim = 0,63 = 0, = 8,4 cm (para o aço C-50) a) Reolução com Equaçõe Teórica poição a linha neutra (x) é eterminaa pela Eq. 0, com o valor aboluto e : 0,68b w x f c 0,4x

42 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 39, ,68. 0 x 45 0,4x 1,4 x = 6, cm Oberve que x lim = 11,7 < x = 6, < x 3lim = 8,4 cm, o que ignifica que a eção e encontra no omínio 3. Conforme a Eq. 38, a relação x/ eve er verificaa: x/ = 6,/45 = 0,58. Como a relação x/ é maior que o limite (x/ 0,45), é neceário etuar o problema e aotar uma olução e moo a atener o valor limite. lgum ao inicial o problema poe er alterao e, analiano a Eq. 0, que fornece x, verificam-e a eguinte alternativa: - iminuir a olicitação ( ); - aumentar a imenõe a eção tranveral, principalmente a altura (h); - aumentar a reitência o concreto (f ck). Da alternativa litaa, e moo geral, a única que reulta exequível é o aumento a altura a eção. Diminuir a olicitação epene e outro fatore, como iminuir o carregamento, o vão, etc., o que geralmente é inviável. umentar a largura a eção também não é uma olução prática, poi normalmente a viga ão projetaa para ficarem completamente embutia na paree. Não é uual também fazer o elemento etruturai e um memo pavimento com concreto e iferente reitência. Reta aina a olução e imenionar a viga com armaura upla, que é uma olução intereante porque poibilita reolver o problema em e fazer alteraçõe no ao iniciai, como erá motrao em eguia. Uma nova poição eve er aumia para a linha neutra, eno poível infinito valore, até o limite e 0,45. Geralmente, aume-e o maior valor poível, tal que: x = 0,45 = 0, = 0,5 cm plicano o novo valor e x na Eq. 37 etermina-e o valor para 1 : 0,68b x f 1 w c 0,4x,5 0, ,5 1,4 45 0,4. 0, kn.cm 1 plicano a Eq. 39 etermina-e o valor a eguna parcela o momento fletor reitente: = 1 = = kn.cm Para C-50 e / = 3/45 = 0,07, conforme a Tabela -5 a tenão na armaura comprimia ( ) é 435 Pa = 43,5 kn/cm. Do momento fletor, aplicano a Eq. 40, reulta a armaura comprimia: 3833,10 cm ( 1,5,50 cm ) 43, área e armaura tracionaa ão eterminaa com a Eq. 41 e a Eq. 4, conierano que no omínio 3 a tenão na armaura é igual a f y: 1 1 0,4x ,4. 0,5 1, , ,10 cm 11,31cm

43 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 40 área total e armaura tracionaa é: = 1 + = 11,31 +,10 = 13,41 cm ( ,45 cm ) b) Reolução com Equaçõe com Coeficiente K O coeficiente K c é calculao pela Eq. 8: K c bw ,8 Na Tabela -1, com concreto C5 e aço C-50, verifica-e que a eção etá no omínio 3 e x = 0,58 > 0,45. Nete cao, uma olução entre outra para atener ao limite máximo, como motrao anteriormente, é imenionar a eção com armaura upla. Com x = 0,45, na Tabela -1 encontram-e: K K clim lim, 0,08 primeira parcela o momento fletor reitente (Eq. 48) é: bw Kclim, kn.cm eguna parcela o momento fletor reitente (Eq. 49) é: = 1 = = kn.cm Com = 3 cm, e eno / = 3/45 = 0,07, para o C-50 na Tabela -5 tem-e K = 0,03. área e armaura comprimia e tracionaa (Eq. 51 e Eq. 50) ão: K 0,03 1,96 cm ( 1,5 mm,50 cm ) K lim 1 f y ,08 13,41cm ,15 O etalhamento a armaura na eção tranveral etá motrao na Figura 31. Outro arranjo com número e barra e iâmetro iferente poeriam er utilizao. Como já comentao em outro exemplo numérico anteriore, é importante poicionar corretamente a armaura na eção tranveral. Como o momento fletor olicitante é negativo a armaura tracionaa eve obrigatoriamente er poicionaa próxima à bora uperior a viga, eno eta chamaa armaura negativa, e a armaura comprimia ( ) eve er poicionaa na bora inferior, que etá comprimia pelo momento fletor negativo. O valor foi inicialmente aotao igual a 3 cm. O eu valor, conforme o etalhamento a armaura: ' =,0 + 0,63 + 1,5/ = 3,3 cm O epaçamento vertical livre mínimo entre a face a barra a primeira e eguna camaa a armaura negativa é (Eq. 11):

44 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 41 a v,mín cm,0 cm 0,5 0,5.1,9 =1,0 cm máx,agr a v,mín =,0 cm a h 3 Ø 0 1ª camaa a cg CG a v,mín Ø 16 a cg 0,63,0 CG 0,5,0,0 50 armaura e pele (6 Ø 5) ª camaa ' Ø 1,5 0 Figura 31 Detalhamento a armaura longituinai e flexão na eção tranveral. itância a cg, que efiniu a altura útil, foi aotaa inicialmente igual a 5 cm. Conierano aproximaamente que o centro e graviae a armaura etá poicionao 0,5 cm abaixo a face inferior a barra a primeira camaa (ver Figura 31), a itância a cg eguno o etalhamento aotao reulta: a cg =,0 + 0,63 +,0 + 0,5 = 5,1 cm O valor e 5 cm previamente aotao para a cg é praticamente o valor reultante o etalhamento. Diferença e até um ou oi centímetro no valor e a cg não jutificam o recálculo a armaura, em função o acrécimo erem muito pequeno. Tabela -4 motra que a largura mínima neceária para alojar 3 0 mm numa única camaa é e 16 cm, menor que a largura exitente, e 0 cm, o que motra que é poível alojar a trê barra. Io fica confirmao pela comparação entre a h,mín (Eq. 10) e a h, como calculao a eguir: a h,mín a h cm,0 cm 1, 1,.1,9 =,3 cm 0 máx,agr,0 0,63 3.,0 4,4 cm a h,mín =,3 cm > a h,mín =,3 cm itância livre entre a barra a primeira camaa, e 4,4 cm, não é uficiente para a paagem o vibraor com iâmetro a agulha e 49 mm. Nete cao, eve-e utilizar uma agulha e menor iâmetro, como por exemplo 5 e 35 mm. viga não neceita e armaura e pele, poi h = 50 cm (ver Eq. 9), no entanto recomenamo a ua aplicação para h 50 cm, com área inicaa na NB 1/1978: p,face = 0,05% b w. h p,face = (0,05/100) = 0,50 cm (3 5 mm 0,60 cm em caa face vertical) º) Calcular e etalhar a armaura longituinal a eção e apoio e uma viga contínua (Figura 3), conierano:

45 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 4 concreto C30 aço C-50 c =,5 cm t = 6,3 mm brita 1 b w = 14 cm h = 60 cm k = kn.cm Figura 3 Valor o momento fletor negativo no apoio a viga contínua RESOLUÇÃO O problema é e imenionamento como o anteriore, one a incógnita ão a área e armaura e a poição x a linha neutra. reolução erá feita com a equaçõe o tipo K a título e exemplificação. Será inicialmente aotaa a itância a cg igual a 6 cm, o que reulta para a altura útil: = h 6 cm = 60 6 = 54 cm O momento fletor e cálculo é: = f. k = 1,4. ( 18500) = kn.cm O coeficiente K c é calculao pela Eq. 8, com em valor aboluto: K c bw ,6 Na Tabela -1, com concreto C30 e aço C-50, verifica-e que a eção etá no omínio 3 e, conforme a Eq. 38, x = 0,56 > 0,45. Nete cao, uma olução para atener ao limite máximo, entre outra poívei, é imenionar a eção com armaura upla. Com x = 0,45, na Tabela -1 encontram-e: Kclim 1,9 Klim 0,08 primeira parcela o momento fletor reitente (Eq. 48) é: bw Kc lim 1, kn.cm eguna parcela o momento fletor reitente (Eq. 49) é: = 1 = = kn.cm otano = 4 cm, e eno / = 4/54 = 0,07, para o C-50 na Tabela -5 tem-e K = 0,03. área e armaura comprimia e tracionaa (Eq. 51 e Eq. 50) ão: K 0,03,03 cm ( 1,5 mm =,50 cm ) K lim 1 f y ,08 13,17 cm ,15

46 a cg ' Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 43 armaura mínima, e acoro com a Tabela, é:,mín = 0,150 % b w h = 0, = 1,6 cm >>,mín Entre vária poibiliae e arranjo e barra poe er ecolhio ,45 cm. O etalhamento a armaura na eção tranveral etá motrao na Figura 33. Tabela -4 motra que é poível alojar ua barra numa camaa, poi a largura mínima é 13 cm, menor que a largura exitente e 14 cm. No entanto, a itância livre entre a barra eve proporcionar a paagem a agulha o vibraor. itância livre entre a barra é: a h = 14 (,5 + 0,63 +,0) = 3,7 cm itância e 3,7 cm não poibilita a paagem a agulha com iâmetro e 49 mm. Nete cao eve-e utilizar uma agulha menor, com iâmetro e 5 mm por exemplo. itância livre vertical entre a camaa é (Eq. 11): cm a v,mín,0 cm a v,mín =,0 cm 0,5 0,5.1,9 =1,0 cm máx,agr itância a cg inicialmente aotaa como 6 cm, conforme o etalhamento ecolhio, é: a cg =,5 + 0,63 +,0 +,0 = 7,1 cm itância entre o centro e graviae a armaura comprimia à face comprimia, aotaa inicialmente como 4 cm, é: =,5 + 0,63 + 1,5/ = 3,8 cm Com h = 60 cm, a viga não neceita e armaura e pele (ver Eq. 9), no entanto, a fim e evitar o poível urgimento e fiura por retração, inicamo colocar uma armaura com área a NB 1/1978: p,face = 0,05% b w. h p,face = 0,05% = 0,4 cm (3 4, mm 0,4 cm em caa face vertical) 3 Ø 0 CG Ø 16 armaura e pele (6 Ø 4,) Ø 1,5 Figura 33 Detalhamento a armaura na eção tranveral.

47 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga SEÇÃO T Teoricamente, a viga poem ter a eção tranveral com qualquer forma geométrica, porém, além a viga e eção retangular, a mai comun ão aquela com forma e I ou T. Na etrutura o tipo pré-molaa a viga I, T e uplo T ão batante comun (Figura 34). Figura 34 Seçõe pré-molaa em forma e V, I e uplo T. É muito comum também a viga e eção T quano e coniera a contribuição e laje maciça apoiaa em viga e eção retangular, como erá explicao aiante. eção T é aim chamaa porque a eção a viga tem a forma geométrica e um T, como motraa na Figura 35. eção T é compota pela nervura e pela mea, eno que a mea poe etar parcial ou totalmente comprimia. Poem er o tipo pré-molaa, quano ão fabricaa com a forma o T numa emprea, ou molaa no local, no cao e viga retangulare que, com o trabalho conjunto com a laje vizinha, originam uma eção fictícia em forma e T. b f h f h mea nervura b w Figura 35 Notação a viga eção T. eção T poe er formaa também na laje o tipo pré-fabricaa e nervuraa (Figura 36), na eçõe e ponte rooviária (Figura 37), etc. ES BLOCO (TERIL INERTE) NERVUR Figura 36 - Laje molaa no loção o tipo nervuraa.

48 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 45 Figura 37 - Seção celular e ponte rooviária. eção T é batante comum na etrutura molaa no local quano a laje o pavimento ão o tipo maciça, one a eção T é viualmente imperceptível, ma urge o trabalho conjunto entre a viga retangulare e a laje vizinha nela apoiaa. tenõe normai e compreão, proveniente a flexão, alcançam também a vizinhança a laje apoiaa na viga. contribuição a laje, porém, ó poe er conieraa quano a laje etão comprimia pela tenõe normai a flexão. Se comprimia, a laje atua aumentano ignificativamente a área e concreto comprimio ( c) a viga retangular. É muito importante obervar que a laje eve etar obrigatoriamente no lao a viga, inferior ou uperior, ubmetio à tenõe normai e compreão. Se a laje etiver no lao tracionao a ua contribuição à flexão não exitirá, ao que não e coniera o concreto para reitir à tenõe e tração. Nete cao coniera-e apena a reitência proporcionaa pela eção retangular a viga. Levano em conta ea premia, a Figura 38 motra a ituaçõe e cálculo (eção T ou retangular) e uma viga contínua, aociaa a laje ajacente, em função a poição a laje (inferior ou uperior a viga) e o inal o momento fletor. máx. - - máx máx SEÇÃO T SEÇÃO RETNG. SEÇÃO T SEÇÃO RETNG. SEÇÃO T SEÇÃO RETNG. Figura 38 Conieração e eção retangular ou T em viga contínua com laje ajacente na bora inferior ou uperior. Se a laje etiverem apoiaa no lao uperior a viga, o que ocorre na grane maioria o cao a prática, a eção T ó é formaa no momento fletore poitivo, poi na região o apoio intermeiário o momento fletor negativo traciona o lao uperior a viga, e a laje, tracionaa, não formam a eção T. Na viga invertia (quano a laje ão apoiaa no lao inferior a viga) a ituação é invera à laje apoiaa no lao uperior. De moo geral, o momento fletore negativo no apoio intermeiário a viga contínua ão bem maiore que o momento fletore poitivo no vão, o que e configura num apecto negativo para a viga, levano-e em conta que normalmente a laje encontram-e apoiaa no lao uperior a viga. Ito é, jutamente no maiore momento fletore a eção T não é formaa, e forma-e apena na região o momento fletore menore, o poitivo. Io impõe normalmente que a altura a viga é epenente o momento fletore negativo, em e falar a flecha no vão.

49 300 V103 (0 x 50) V104 (0 x 50) 300 V105 (0 x 30) Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 46 contribuição proporcionaa pela laje maciça, cuja altura varia normalmente e 7 cm a 1 cm, eve er empre verificaa. Na laje nervuraa e pré-fabricaa, porém, como a epeura a mea (ou capa) tem normalmente apena 4 cm, a contribuição a mea é, e moo geral, eprezaa, e o cálculo a viga é feito conierano-e apena a eção retangular. vantagen e e poer conierar a contribuição a laje para formar eçõe T etão na poibiliae e viga com menore altura, economia e armaura e e fôrma, flecha menore, etc. Figura 39 motra uma planta e fôrma imple e uma contrução e pequeno porte, uficiente, porém, para expor a iferente ituaçõe que ocorrem na análie e e conierar ou não a contribuição a laje para formar eçõe T ou L (a eçõe L ão calculaa como T, como e verá aiante). etrutura é formaa por trê laje e ei viga, etano a laje L em balanço e a laje L3 invertia (apoiaa na parte inferiore a viga ao longo o eu contorno). V100 (0 x 50) P1 0/0 P 0/0 L 1 h = 8 cm L h = 8 cm V101 (0 x 50) L 3 h = 8 cm V10 (0 x 50) P3 0/0 P4 0/0 Figura 39- Planta e fôrma a etrutura. forma a eção eve er analiaa na regiõe ou poiçõe one ocorrem o momento fletore máximo, para o quai erão feito o cálculo e imenionamento a viga. Caa eção com momento máximo eve er analiaa iniviualmente, ito é, momento fletor por momento fletor. Teno-e como conição báica que o momento fletor poitivo traciona o lao inferior a viga e comprime o lao uperior, e que ocorre o contrário para o momento fletore negativo, a pergunta báica que e fazer na análie, para caa momento fletor máximo, é: exite laje no lao comprimio? Na equência, a análie erão feita na ei viga a planta e fôrma a Figura 39. viga erão conieraa iolaa e inepenente entre i. a) V100 Na região o momento fletor poitivo máximo (Figura 40) exite a laje L1 no lao uperior a viga (ver Figura 39), como inicao no corte equemático motrao na planta e fôrma. Portanto, a laje etá ubmetia a tenõe normai e compreão, proveniente o momento fletor poitivo na viga. Io implica que, uma faixa a laje, ajacente à viga e eção retangular, poe er conieraa auxiliano a viga reitir a ea tenõe e compreão. Como exite apena uma laje apoiaa na viga, a eção formaa é a e uma eção L, e não eção T. Como o erro cometio é pequeno, a eção L erá implificaamente calculaa como e foe eção T, eguno o critério motrao na Figura 41.

50 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 47 V 105 P 1 P máx máx - máx + - Figura 40 Equema etático e iagrama e momento fletore a viga V100. b f b f Figura 41 nalogia e eção L com eção T. Na região o momento fletor negativo máximo (apoio no pilar P), que comprime o lao inferior a viga, não exitem laje apoiaa no lao inferior a viga. laje L1 e L etão tracionaa, e não poem, portanto, erem conieraa. Conclui-e que a eção reitente é apena a eção retangular a viga (0 x 50). b) V101 Na região o momento fletor poitivo máximo exitem a laje L1 e L3, eno a L1 comprimia e a L3 tracionaa. Portanto, a laje L3 eve er eprezaa e a L1 poe er conieraa formano uma eção L com a eção retangular a viga. No momento fletor negativo máximo, que ocorre no cruzamento com a viga V104, evem er feita ua análie, a primeira conierano apena a laje L1 e L e a eguna conierano apena a laje L3. laje L1 e L, que etão apoiaa no lao uperior a viga, ão tracionaa pelo momento fletor negativo, não eveno er conieraa. Por outro lao, a laje L3, que etá no lao inferior, poe er conieraa, poi etá comprimia. No entanto, o momento fletor negativo ocorre também à ireita a viga V104 (ver iagrama e f a V101 Figura 4), one não exite laje (ver Figura 39). O que ocorre então é que exite a eção L para o momento negativo à equera a viga V104 e à ireita eta viga exite apena a eção retangular (0 x 50). Neta ituação, exitirá uma armaura negativa e flexão menor (para a eção L) à equera a V104 e outra maior (para a eção retangular) à ireita eta viga. Como na prática não é uual ete tipo e etalhamento e armaura, com muança bruca e área e armaura negativa no apoio, cotuma-e calcular e etalhar apena a maior armaura (aquela a eção retangular). Portanto, a armaura fica a favor a egurança para o trecho a viga à equera a V104. V 105 V 103 V Figura 4 - Equema etático e iagrama e momento fletore a viga V101.

51 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 48 c) V10 Na região o momento fletor poitivo máximo não exite laje comprimia (ver Figura 39 e Figura 43), poi a laje L3 etá no lao tracionao a viga. eção a er conieraa, portanto, é a eção retangular 0 x 50. No momento fletore negativo, reultante e engate elático, como no apoio a V10, o imenionamento eve er feito conierano a eção, retangular ou T, que originou a rigiez a mola conieraa no engate elático. P 3 P Figura 43 - Equema etático e iagrama e momento fletore a viga V10. ) V103 No momento fletore negativo proveniente o engate elático no pilare P1 e P3 eve-e conierar a eção em função a rigiez a mola conieraa no engate elático, como já comentao. No momento fletor poitivo máximo que exitente na ligação com a viga V101 ocorrem a eção L e a eção retangular (Figura 44). laje L3 é tracionaa pelo momento poitivo, não poeno er conieraa, o que leva à eção retangular. laje L1, por outro lao, é comprimia pelo momento fletor, formano, portanto, uma eção L. Nete cao, com a eção retangular e um lao o momento máximo e a eção L o outro lao, opta-e pelo cálculo como eção retangular, que conuz à maior armaura. V 101 P 3 P Figura 44 - Equema etático e iagrama e momento fletore a viga V103. e) V104 análie a viga V104 (Figura 45) é emelhante à a viga V103. Seção retangular para o momento fletore negativo no apoio e para o momento fletor poitivo máximo.

52 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 49 V 101 P 4 P Figura 45 - Equema etático e iagrama e momento fletore a viga V104. f) V105 eção a er conieraa no momento fletor poitivo é a L, poi a laje L é comprimia por etar no lao uperior a viga (Figura 46). V 101 V 100 Figura 46 - Equema etático e iagrama e momento fletore a viga V Largura Colaborante Define-e como largura colaborante a faixa a laje ajacente à viga que colabora para reitir à tenõe normai e compreão. largura colaborante não é contante ao longo o vão e epene e vário fatore: viga imple ou contínua, tipo e carga, vão, tipo e apoio, a relação h f/h, exitência e viga tranverai, etc. Figura 47 motra a trajetória a tenõe principai e compreão na laje ajacente à viga. + h f Seção tranveral h Ponto perigoo b w Trajetória e tração Viga Trajetória e compreão Figura 47 Trajetória a tenõe principai na viga T (Leonhart e önnig, 198).

53 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 50 tenõe e compreão x na viga e na laje variam e inteniae, iminuino conforme e afatam a alma a viga (Figura 48). De moo iealizao a tenõe ão tomaa contante na largura colaborante b f. b f b 1,e b w b 1, x x máx h f Linha neutra h x e x b w Figura 48 Ditribuição a tenõe e compreão x na alma e na laje a eção T. (Leonhart e önnig, 198). Como a laje e eformam meno que a alma a viga, a linha neutra motra uma curvatura além a alma (Figura 49), eno vária a caua para tal curvatura. x x Tenão na bora uperior Curva Linha neutra (curva) xmáx Figura 49 Ditribuição a tenõe e compreão x e trajetória a linha neutra na eção T. (Leonhart e önnig, 198). Seguno a NBR 6118 (item ), Quano a etrutura for moelaa em a conieração automática a ação conjunta e laje e viga, ee efeito poe er conierao meiante a aoção e uma largura colaborante a laje aociaa à viga, compono uma eção tranveral T. conieração a eção T poe er feita para etabelecer a itribuiçõe e eforço interno, tenõe, eformaçõe e elocamento a etrutura, e uma forma mai realita. Figura 50 motra o parâmetro a erem analiao no etuo a eçõe T.

54 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 51 b f b f b4 c b 3 b 1 c b míula b 1 b 1 h f b w b w Figura 50 - Largura colaborante e viga eção T. largura colaborante b f eve er aa pela largura a viga b w acrecia e no máximo 10 % a itância a entre ponto e momento fletor nulo, para caa lao a viga em que haja laje colaborante. itância a poe er aumia conforme o valore motrao na Figura 51: a = a = 0,75 a = 0,6 a = Figura 51 - Valore e a em função o vínculo a viga no apoio. lternativamente, o cômputo a itância a poe er feito ou verificao meiante exame o iagrama e momento fletore na etrutura. No cao e viga contínua, permite-e calculá-la com uma largura colaborante única para toa a eçõe, incluive no apoio ob momento negativo, ee que ea largura eja calculaa a partir o trecho e momento poitivo one a largura reulte mínima. largura colaborante é aa pela oma a imenõe b 1, b w e b 3 (Figura 50), com b 1 e b 3 ao por: 0,1 a b1 0,5 b 3 0,1 a b4 com b 3 eno a largura colaborante e laje em balanço. b Eq. 53 No cao mai comun a prática, que é a inexitência e míula, como inicao na viga à ireita a Figura 50, a largura b 1 e b 3 ão contaa a partir a largura b w (a face a viga). No cálculo e b 1 geralmente o valor 0,1a é menor que a metae a itância b, poi a itância entre a viga ajacente normalmente não é pequena. Na laje nervuraa, geralmente a itância b 1 é aa pelo fator 0,5b. O valor b repreenta a itância entre a face a viga que e etá conierano a eção T, na ireção perpenicular, à face a viga mai próxima.

55 V3 V4 V Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 5 Figura 5 motra uma planta e fôrma imple com o propóito e ervir e exemplo no cálculo a largura colaborante a viga eção T ou L. contribuição a laje, meia pela largura b 1 e b 3, evem er analiaa viga por viga, e vão por vão. Na planta e fôrma, como a laje etão apoiaa no lao uperior a viga, a eçõe L ou T formaa ó poem er conieraa no cálculo o momento fletore poitivo, que comprimem a laje. No momento fletore negativo a eção e cálculo é a retangular. largura colaborante evem er calculaa para caa vão, iniviualmente. No cao a viga V4, a largura b f é aa pelo valore b 1 à equera e b 1 à ireita a V4, que erão iguai, a meno que b interfira na efinição o valore e b 1. V1 1 b 1 b 1 L1 b 1 b 1 L 3 b 1 b (V1/V) b (V1/V4) b 1 b (V3/V4) b (V4/V5) V b 1 b 1 b4 b 3 b 3 L3 Figura 5 Planta e fôrma com inicação a imenõe para formar a eçõe L ou T. 9. Seção T com rmaura Simple im como apreentao no etuo a eção retangular, a eção T com armaura imple é aquela que tem como armaura e flexão (longituinal) reitente apena a armaura tracionaa, ipota próxima à bora tracionaa a eção, e que não tem neceiae e armaura longituinal comprimia. Na proximiae a bora comprimia ão ipota barra longituinai contrutiva (não conieraa como reitente), com no mínimo ua barra, ipota no vértice o etribo, como inicao na Figura 53. eção T com armaura upla, que é aquela que tem também a armaura longituinal comprimia, não erá objeto e etuo neta apotila. barra contrutiva barra contrutiva a) para momento fletor poitivo; b) para momento fletor negativo. Figura 53 Seção T com armaura imple.

56 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 53 formulação que erá apreentaa a eguir para o imenionamento e viga com eção T eve er aplicaa apena ao concreto o Grupo I e reitência (f ck 50 Pa), porque o valore a profuniae y (Eq. 1) e a tenão e compreão no concreto (σ c - Eq. 13), conierao no iagrama retangular implificao, ão aquele preconizao pela NBR 6118 para ee concreto. No etuo a eçõe T com a utilização o iagrama retangular implificao com profuniae y = 0,8x (ver Figura 1) oberva-e a exitência e oi cao, em função a poição a linha neutra na eção tranveral ,8x h f Quano a altura 0,8x o iagrama retangular implificao é menor ou igual à altura a mea, ito é, 0,8x h f (Figura 54), a eção comprimia e concreto ( c) é retangular, com área b f. 0,8x, e moo que o imenionamento poe er feito como e a eção foe retangular, com largura b f ao invé e b w, e aplicano-e a mema equaçõe já eenvolvia para a eção retangular com armaura imple. eção a er conieraa erá b f. h. im poe er feito porque o concreto a região tracionaa não é conierao no imenionamento, ito é, para a flexão não importa a ua inexitência em parte a área tracionaa, como motrao na Figura 54. Na maioria a eçõe T a prática reulta 0,8x h f. No entanto, cao e coniere o iagrama parábola-retângulo e itribuição e tenõe e compreão no concreto, a eção T erá imenionaa como eção retangular b f. h omente e x h f, ou eja, com a linha neutra entro a mea a eção T. b f c 0,8 x ' c h f x 0,8 x LN 0,85 f c c R cc h z R t b w Figura 54 Seção T com 0,8x h f ,8x > h f Quano 0,8x reulta maior que a altura a mea (h f), a área a eção comprimia e concreto ( c) não é retangular, ma im compota pelo retângulo I, II e III, como motrao na Figura 55. Nete cao, não e poe aplicar a formulação eenvolvia para a eção retangular, tornano-e neceário eenvolver uma nova formulação. fim e implificar a eução a equaçõe para a eção T com 0,8x > h f, a eção erá ubiviia em ua eçõe equivalente, como motrao na Figura 55. Na eção a Figura 55b, o concreto comprimio a mea é equilibrao por uma parcela 1 a armaura longituinal tracionaa ( ). O concreto comprimio a nervura é equilibrao pela eguna parcela a armaura total (Figura 55c). a) Equilíbrio e Força Normai Na flexão imple não exite a força normal olicitante externa, e moo que a força reultante o concreto comprimio eve equilibrar a força reultante a armaura tracionaa: Rcc R t Eq. 54

57 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 54 eno: R cc = força reultante a tenõe normai e compreão na área e concreto comprimio; R t = força reultante a tenõe normai e tração na armaura longituinal. b) Equilíbrio e omento Fletore força interna reitente, proporcionaa pelo concreto comprimio e pela armaura tracionaa, formam um binário opoto ao momento fletor olicitante, ito é: olic = reit = b f b - f b w II III II III I h f x 0,8x I h LN - 0,5 h = + - 0,4x 1 f bw bw bw = 1 + = + 1 a) b) c) Figura 55 - Decompoição a eção T com armaura imple. Conforme a ecompoição a eção T em ua outra equivalente, o momento fletor total é ubiviio em ua parcela 1 e, tal que: 1 Eq. 55 one eve er conierao com valor aboluto. Do equilíbrio e momento fletore na linha e ação a armaura 1 na Figura 55b, efine-e o momento fletor reitente 1 proporcionao pela armaura 1 e pela mea comprimia: b b h 0,85f 0,5 Eq f w f c hf Geralmente, aotam-e valore para toa a variávei (b f, b w, h f, f c, ) a Eq. 56, e moo a tornar poível o cálculo e 1. eguna parcela o momento fletor total fica aim eterminaa a Eq. 55: 1 Eq. 57 eção a Figura 55c é uma eção retangular com armaura imple, cujo equacionamento já foi eenvolvio na Eq. 0, e trocano por fica: 0,68b x f 0,4x Eq. 58 w c Conheceno-e o valore e, b w, f c e, com a Eq. 58 é poível efinir a poição x a linha neutra e aim eterminar em qual omínio a eção T e encontra. Como apreentao na Eq. 3, a poição a linha neutra eve obeecer ao eguinte limite, conforme o item a NBR 6118:

58 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 55 a) x/ 0,45 para concreto com f ck 50 Pa; b) x/ 0,35 para concreto com 50 < f ck 90 Pa. Eq. 59 Com o equilíbrio e momento fletore em torno o centro e graviae a área comprimia e concreto na eçõe b e c a Figura 55, e conierano o imenionamento no omínio ou 3, one = f y, a parcela e armaura 1 e ão: 1 1 hf 0,5 1 f y 1 0,5h f Eq. 60 0,4x f y 0,4x Eq. 61 Com a área e armaura total eno: Eq. 6 1 c) Permanência a eçõe plana Conierano o iagrama e eformaçõe motrao na Figura 54 e fazeno a emelhança e triângulo, poe-e efinir equaçõe que relacionam a eformaçõe na armaura tracionaa e no concreto correponente à fibra mai comprimia, e moo emelhante àquela já eenvolvia para a eção retangular. c x x Eq. 63 c x Eq. 64 c 9..3 Cálculo eiante Equaçõe com Coeficiente K Para a eção T poe-e utilizar também a tabela elaboraa para a eção retangular. Inicialmente, verifica-e a poição a linha neutra, calculano K c com b f e : bf Kc Eq. 65 Com o valor e K c eterminam-e na Tabela -1 (ou Tabela -) o valore x e K. O valor e x é imeiato: x x x = x O limite apreentao na Eq. 59 (igual à Eq. 3) para a poição a linha neutra evem er obeecio. Com o iagrama retangular implificao, e reultar 0,8x h f, o cálculo é feito como uma viga e eção retangular com largura b f e altura h. armaura tracionaa é:

59 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 56 K Eq. 66 Se reultar 0,8x > h f, o imenionamento eve er feito com a equaçõe eenvolvia para a eção T. O valor e x inicialmente eterminao em função e K c não é veraeiro e erviu apena para efinir que o imenionamento eve er feito com a equaçõe eenvolvia para a eção T. Para cálculo o momento fletor reitente 1, proporcionao pela área a mea comprimia, aota-e 0,8x* = h f, ficano: x * hf 1,5 h 0,8 f variável x que relaciona x com fica: * x 1 f,5h Eq. 67 Com x * etermina-e K c * na Tabela -1 e: 1 w * c bf b Eq. 68 K Determinao o momento fletor reitente 1, a eguna parcela e é: 1 com em valor aboluto. Com o momento fletor etermina-e a poição x correta para a linha neutra, referente à eção retangular motraa na Figura 55c: bw Kc Eq. 69 Com o valor e K c, na Tabela -1 eterminam-e K e β x (β x = x/). poição a linha neutra eve obeecer o limite apreentao na Eq. 59. armaura tracionaa é: f y 1 K 0,5h f Eq. 70 Como já obervao, o coeficiente K foram calculao conierano a uniae e kn e cm, e moo que a variávei a equaçõe evem ter ea uniae Exemplo Numérico 1º) Dimenionar a armaura longituinal e flexão a viga com a eção tranveral motraa na Figura 56, eno ao:

60 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 57 concreto C0 aço C-50 c =,5 cm = 1,15 c = f = 1,4 k = kn.cm brita 1 t = 6,3 mm Figura 56 Dimenõe a eção T. RESOLUÇÃO Como exemplo e aplicação a reolução erá feita eguno a equaçõe teórica euzia e também conforme a equaçõe com coeficiente K. O momento fletor e cálculo é: f. k 1, kn.cm O valor e a cg (itância o centro e graviae a armaura tracionaa à face tracionaa a eção) erá aotao como 5 cm, o que reulta na altura útil: = h 5 cm = 50 5 = 45 cm O valore limite entre o omínio, 3 e 4 para o aço C-50 e para o concreto o Grupo I e reitência, ão: x lim = 0,6 = 0,6. 45 = 11,7 cm x 3lim = 0,63 = 0, = 8,4 cm a) Equaçõe teórica Inicialmente upõe-e que reultará 0,8x h f e a eção T erá calculaa como retangular, com imenõe b f. h. plicano a Eq. 0 a eção retangular com b f ao invé e b w encontra-e a poição a linha neutra (x): 0,68b f x f c 0,4x, com empre com valor aboluto., , x 45 0,4x 1,4 x = 5,0 cm profuniae o iagrama retangular implificao e itribuição e tenõe e compreão no concreto, para o concreto o Grupo I e reitência (Eq. 1), é: 0,8x = 0,8. 5,0 = 4,0 cm Como reultou 0,8x = 4 cm < h f = 8 cm, a hipótee inicial foi confirmaa, e a eção T poe er imenionaa como retangular b f. h, com a equaçõe para eção retangular. verificação o omínio motra que a eção T encontra-e no omínio, ao que: x = 5,0 cm < x lim = 11,7 cm lém io, a poição a linha neutra atene o limite apreentao na Eq. 59:

61 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 58 x/ = 5,0/45 = 0,11 0,45 ok! (para concreto o Grupo I e reitência) armaura é calculaa aplicano a Eq. : f y 0,4x ,4. 5,0 1, ,3 cm área e armaura mínima conforme a Tabela é:,mín = 0,15% b w h = 0, = 1,50 cm >,mín b) Equaçõe com coeficiente K Com a Eq. 8, colocano-e b f ao invé e b w (ver Eq. 65), upono-e que a eção T eja calculaa como eção retangular: K c bf ,6 Com concreto C0 e aço C-50, na Tabela -1 eterminam-e o valore e x = 0,11, K = 0,04 e omínio. Seno x = x/, o valore e x e 0,8x ão: x = x. = 0, = 5,0 cm 0,8x = 0,8. 5,0 = 4,0 cm < h f = 8 cm Como reultou 0,8 x < h f, a hipótee inicial foi confirmaa, ou eja, a eção T poe er imenionaa como eção retangular b f. h. Verifica-e também que a poição a linha neutra atene o limite apreentao na Eq. 59, para concreto o Grupo I e reitência: x = x/ = 0,11 0,45 ok! armaura tracionaa reulta a Eq. 30: K 0, ,0 cm Como reultou o omínio, a eformação na armaura tracionaa é = 10 e a eformação no concreto a fibra mai comprimia é (Eq. 4): c c 10 x x 5,0 45 5,0 c = 1,5 (no omínio c eve etar entre zero e 3,5 ). O etalhamento a armaura longituinal e flexão etá motrao na Figura 57. Como o momento fletor é poitivo, a armaura eve er obrigatoriamente ipota no lao tracionao a viga, que é o lao

62 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 59 inferior. Tabela -4 motra quanta a ei barra 16 mm (1,00 cm ) poem er ipota numa única camaa. Para quatro barra a largura b w mínima é e 0 cm, igual à largura exitente e 0 cm, eno poível, portanto, alojar a quatro barra. ua barra retante evem er colocaa na eguna camaa, amarraa no ramo verticai o etribo. O epaçamento livre mínimo na ireção vertical entre a barra a ua camaa é (Eq. 11): a v,mín cm 1,6 cm 0,5 0,5.1,9 =1,0 cm máx,agr a v,mín =,0 cm itância a cg entre o centro e graviae a armaura e a face tracionaa é: a cg =,5 + 0,63 + 1,6 + 0,5 = 5, cm Conforme a NBR 6118, a viga não neceita e armaura e pele, poi h = 50 cm (ver Eq. 9), no entanto recomenamo a ua aplicação para h 50 cm, com área inicaa na NB 1/1978: p,face = 0,05% b w. h p,face = 0,05% = 0,50 cm (3 5 mm 0,60 cm em caa face vertical. Eta armaura não etá inicaa na Figura 57) Ø 16 a v CG 0,5 a cg 0 Figura 57 Detalhamento a armaura longituinal na eção tranveral. º) Dimenionar a armaura longituinal e flexão para a eção T motraa na Figura 58, abeno-e que: k = kn.cm concreto C5 aço C-50 = 1,15 c = f = 1,4 c =,5 cm t = 5 mm brita Figura 58 Dimenõe a eção tranveral. RESOLUÇÃO

63 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 60 im como o exemplo anterior, o problema é e imenionamento, one a ua incógnita ão a área e armaura e a poição a linha neutra (x). O momento fletor e cálculo é: = f. k = 1, = kn.cm Para a altura útil erá aotao o valor: = 30 5 = 5 cm O limite entre o omínio, 3 e 4 para o aço C-50 e concreto o Grupo I e reitência, ão: x lim = 0,6 = 0,6. 5 = 6,5 cm x 3lim = 0,63 = 0,63. 5 = 15,8 cm reolução erá feita eguno a equaçõe teórica e o tipo K. a) Equaçõe teórica Inicialmente upõe-e que a eção T erá calculaa como retangular b f. h e com 0,8x h f. plicano a Eq. 0 a eção retangular com b f no lugar e b w encontra-e a poição a linha neutra (x): 0,68b f x f c 0,4x, , x 5 0,4x 1,4 x = 9,7 cm 0,8x = 0,8. 9,7 = 7,8 > h f = 7 cm Logo, a hipótee e eção retangular b f. h não é vália, poi a linha neutra paa na nervura (alma) e por io o valor anterior calculao para x não é correto. Nete cao a eção eve er imenionaa com a equaçõe eenvolvia para a eção T. Inicialmente, calcula-e a parcela 1 o momento fletor reitente (Eq. 56): b b h 0,85f 0,5 1 f w f c hf,5 1, ,85 5 0, kn.cm 1 eguna parcela o momento reitente (Eq. 57), conierano empre em valor aboluto, é: = 1 = = 5.03 kn.cm gora, a parcela poe-e calcular a poição correta a linha neutra (Eq. 58): 0,68b x f w c 0,4x, ,68.18 x 5 0,4x x = 11, cm 1,4 eção T etá no omínio 3, como e verifica na comparação eguinte: x lim = 6,5 < x = 11, < x 3lim = 15,8 cm

64 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 61 lém io, eve er verificao e a poição a linha neutra atene ao limite apreentao na Eq. 59. Para concreto o Grupo I e reitência: x/ = 11,/5 = 0,45 0,45 ok! Cao reulte x/ > 0,45, uma olução para reolver o problema e atener ao limite a norma é aumentar a altura a eção tranveral. Outra olução eria imenionar a eção T com armaura upla, como feito para a eção retangular, no entanto não recomenamo a armaura upla para a eção T porque provavelmente a flecha apreentaa pela viga everá uperar a flecha máxima permitia pela norma. umentar a altura a viga geralmente é uma olução melhor. No omínio ou 3 a tenão na armaura tracionaa é igual a f y. parcela 1 e a armaura ão (Eq. 60 e Eq. 61): 1 f f y y 1 0,5h f ,5. 7 1, ,4x ,4.11, 1, = 1 + = 6,56 + 5,64 = 1,0 cm b) Equaçõe com coeficiente K 6,56 cm 5,64 cm Com a Eq. 8 e colocano-e b f ao invé e b w (ver Eq. 65), upono-e que a eção T eja calculaa como eção retangular: K c bf ,5 Com concreto C5 e aço C-50, na Tabela -1 etermina-e o valor e x = 0,40. Com x = x/, o valore para x e 0,8x ão: x = x. = 0,40. 5 = 10,0 cm 0,8x = 0,8. 10,0 = 8,0 cm > h f = 7 cm Portanto, com 0,8x > h f, a eção T eve er imenionaa com a equaçõe eenvolvia para a eção T. Calcula-e x * referente à altura a mea comprimia (Eq. 67): x* = 1,5hf 1,5 7 = 0, 35 5 Com x* = 0,35 na Tabela -1 encontra-e K c * =,7. Com K c * etermina-e a primeira parcela o momento fletor reitente 1 (Eq. 68): bf bw = kn.cm * K,7 c eguna parcela o momento reitente é (Eq. 57): = 1 = = kn.cm

65 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 6 Com o momento calcula-e a poição real x a linha neutra (Eq. 69): bw Kc = , Na Tabela -1, com K c =,, encontra-e x = 0,45, K = 0,08 e o omínio 3. Verifica-e que x atene ao limite máximo e 0,45 (Eq. 59). poição a linha neutra reulta: x = x. = 0,45. 5 = 11,3 cm, e 0,8x = 9,0 cm > h f = 7 cm, o que confirma a eção T. área e armaura é (Eq. 70): f y 1 K 0,5h f 50 1, ,08 5 0,5 7 5 = 6,56 + 5,67 = 1,3 cm ( ,30 cm, ou ,00 cm, ou ,5 11,95 cm ) O etalhamento a armaura longituinal e flexão etá motrao na Figura 59. Tabela -4 motra que é poível colocar trê barra 0 mm numa única camaa, poi a largura b w mínima é e 17 cm, menor que a largura exitente e 18 cm, e moo que é poível ipor ua barra 0 mm com uma barra 16 entre a ua. outra ua barra retante ( 16) evem er colocaa na eguna camaa, amarraa no ramo verticai o etribo. O epaçamento livre mínimo na ireção vertical entre a barra a ua camaa é (Eq. 11): a v,mín cm,0 cm 0,5 0,5.1,9 =1,0 cm máx,agr a v,mín =,0 cm itância a cg entre o centro e graviae a armaura e a face tracionaa é: a cg =,5 + 0,5 +,0 + 0,5 = 5,5 cm 3 Ø 16 CG acg a h Ø 0 18 Figura 59 Detalhamento a armaura longituinal na eção tranveral. O etalhamento inicao na Figura 59 motra uma alta taxa e armaura, em função a baixa altura a viga. Nee cao eve-e verificar a fiuração na eção. O mai inicao eria aumentar a altura a viga, viano iminuir a quantiae e armaura longituinal tracionaa.

66 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 63 3º) Daa a laje nervuraa equematizaa na Figura 60, imenionar a área e aço a nervura. b f b 1 b bloco Figura 60 Dimenõe a laje nervuraa. São ao: concreto C30 brita 1 vão a a nervura = 600 cm c =,0 cm k = kn.cm/nervura aço C-50 RESOLUÇÃO Como o momento fletor olicitante é poitivo e a mea a laje nervuraa etá comprimia pelo momento poitivo, a eção formaa é e um T, para caa nervura. Se o momento fletor olicitante foe negativo, a eção a conierar eria a retangular, ou eja, 10 x 9 cm. Conforme o equema a laje motrao na Figura 60 tem-e: b w = 10 cm ; h = 9 cm ; h f = 4 cm ; b = 50 cm. O momento fletor e cálculo é: f k 1, kn.cm largura colaborante é aa pela imenõe b 1 à equera e à ireita a nervura, conforme efinia na Eq. 53: 0,1 a 0, cm b1 0,5b 0, cm b 1 = 5 cm largura colaborante total a mea é: b f = b w + b 1 = = 60 cm Na laje nervuraa geralmente a largura colaborante coincie com a itância entre o eixo a nervura. Para a altura útil erá aotao o valor: = h,5 cm = 9,5 = 6,5 cm O valor e K c (Eq. 65), com b f no lugar e b w, é: K c bf 60. 6,5 1890,3 Com K c =,3, na Tabela -1 encontram-e omínio, x = 0,03 e K = 0,03. verificação e o cálculo a eção T e fará com a equaçõe eenvolvia para a eção retangular ou para a eção T é feita comparano 0,8x com h f :

67 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 64 x x. 0,03. 6,5 0,8 cm 0,8 x = 0,8. 0,8 = 0,6 cm < h f = 4 cm lém io, x = 0,03 < 0,45, o que atene ao limite máximo etabelecio na Eq. 59. Como 0,8x é menor que h f, a eção T eve er calculaa como e foe eção retangular, portanto, com a equaçõe a eção retangular. área e armaura tracionaa em caa nervura é (Eq. 30): K ,03 1,64 cm 6,5 ( 10 mm 1,60 cm ) O etalhamento a eção tranveral a nervura etá motrao na Figura 61. O epaçamento livre mínimo entre a barra eve er (Eq. 10): cm a h,mín 1,0 cm a h,mín =,3 cm 1, 1,.1,9 =,3 cm máx,agr De moo geral, não há a neceiae e colocar etribo na nervura, e moo que o epaçamento livre exitente entre a barra é: a h = 10 (,0 + 1,0) = 4,0 cm Portanto, a h > a h,mín, e poem er ipota a ua barra na largura a nervura. Ø Figura 61 Detalhamento a armaura e flexão na eção tranveral a nervura. 4º) Calcular o momento fletor amiível e erviço para a eção T inicaa na Figura 6. São conhecio o concreto C0 e o aço C = 5,0 cm² cm Figura 6 Dimenõe a eção tranveral e área e armaura tracionaa.

68 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 65 RESOLUÇÃO O problema em quetão é e verificação, one a incógnita ão a poição a linha neutra (x) e o máximo momento fletor que a eção poe reitir ( k). O cálculo evem er feito pela equaçõe teórica, upono-e inicialmente que a eção T tenha io calculaa como eção retangular. Como a armaura tracionaa etá localizaa no lao uperior a viga, o momento fletor olicitante tem inal negativo, o qual comprime o lao inferior a viga. Portanto, a mea inferior etá comprimia e poe er conieraa como formano uma eção T juntamente com a alma. Da equaçõe e equilíbrio e força reultante no concreto comprimio e na armaura tracionaa (Eq. 54) tem-e: R cc = R t Supono que a eção tenha io imenionaa no omínio ou 3, a tenão na armaura tracionaa é igual à máxima tenão poível no aço (f y). força reultante e tração na armaura é (Eq. 17): R t 50 1,15 5, kn Para atener ao equilíbrio e força reultante eve-e ter R cc = R t = 1096 kn. Supono eção retangular a poição x a linha neutra é calculaa pela Eq. 16, com b f no lugar e b w : R cc 0,68b f x f c ,68.,0 00 x 1,4 x 5,6 cm Verificação e a eção T foi calculaa como eção retangular: 0,8 x = 0,8. 5,6 = 4,5 < h f = 8 cm Como reultou 0,8x < h f, a eção T foi calculaa como retangular com eção b f. h. O valor calculao para x etá correto. Tem-e também que x/ = 5,6/80 = 0,07 < 0,45, e verifica-e que o limite máximo foi atenio (Eq. 59). verificação o omínio erve para confirmar e é realmente igual a f y: x lim = 0,6. 80 = 0,8 cm x 3lim = 0, = 50,4 cm Como x = 5,6 < x lim = 0,8 cm, a eção etá no omínio e é realmente igual a f y. O momento fletor máximo e erviço poe er calculao pela Eq. 0 com b f no lugar e b w: 0,68b f x f c 0,4x,0 1,4. k 0, ,6 80 0,4. 1,4 5,6 k = kn.cm Portanto, o momento fletor caracterítico e erviço é kn.cm (momento fletor negativo). 5º) Calcular o momento fletor máximo e erviço que a eção motraa na Figura 63 poe reitir. São conhecio o concreto a viga (C30) e o aço (C-50) = 0,80 cm² Figura 63 - Seção tranveral com imenõe (cm) e área e armaura e tração. 5

69 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 66 RESOLUÇÃO O problema em quetão é e verificação (incógnita x e k), como o exemplo anterior. Porém, como a armaura tracionaa etá no lao inferior a viga, o momento fletor olicitante tem inal poitivo e, por io, a mea etá comprimia e poe er utilizaa no cálculo formano uma eção T junto com a alma. O cálculo eve er iniciao bucano-e a poição a linha neutra, por meio a equação e equilíbrio a força reultante. São feita a upoiçõe e que a viga tenha io imenionaa no omínio ou 3 e que a eção T tenha io calculaa como e foe eção retangular b f. h. Da equação e equilíbrio e força reultante tem-e R cc = R t. Supono que a eção etá no omínio ou 3 tem-e = f y. reultante e força na armaura tracionaa é (Eq. 17): R t 50 1,15 0, kn Supono eção retangular e o equilíbrio e reultante, tem-e R cc = R t = 904 kn. poição a linha neutra é (Eq. 16): R cc 0,68b f x f c 904 0,68.10 Verificação e é eção retangular ou eção T: 0,8 x = 0,8. 5, = 4, < h f = 8 cm 3,0 x 1,4 x 5, cm Portanto, a hipótee e eção retangular etá confirmaa. Tem-e também que: x/ = 5,/45 = 0,1 < 0,45, e verifica-e que o limite máximo foi atenio (Eq. 59). O momento fletor máximo e erviço é (Eq. 0): 0,68b f x f c 0,4x 3,0 1,4. k 0, , 45 0,4. 5, 1,4 k = kn.cm Portanto, o momento fletor e erviço é kn.cm (momento fletor poitivo). 10. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1º) Para a viga contínua a Figura 64, amitia com eção tranveral contante no oi vão, eterminar e para o apoio central B, e tal moo que e tenha a mínima altura e armaura imple. Detalhar a eção tranveral e calcular a eformaçõe máxima no concreto e no aço. Para a eção ob o máximo momento fletor caracterítico poitivo e kn.cm imenionar a armaura e flexão, conierano a altura útil eterminaa anteriormente. Calcule a eformaçõe no materiai. Verifique e analie o omínio e eformação para ea eção e o apoio B. Dao: b w = 14 cm c = f = 1,4 t = 5 mm C5 = 1,15 brita 1 C-50 c =,5 cm

70 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga KN/m B C máx = kn.cm + máx = = 5.70 máx + k ( KN.cm) Figura 64 - Equema etático e iagrama e momento fletore. º) Conhecio o momento fletor caracterítico k =.400 kn.cm, calcular e etalhar a armaura longituinal e flexão para uma viga balrame com largura b w = 15 cm e altura h = 30 cm. São ao: c = f = 1,4 C5 C-50 = 1,15 c =? t = 5 mm brita 1 Nota: verificar como é eterminao o valor o cobrimento nominal. otar o valor aequao para a reolução o exercício propoto. 3º) Dimenionar a viga o Exercício conierano a eção como e apoio obre o bloco e funação, one o momento fletor caracterítico é negativo e e valor kn.cm. 4º) Dao o momento fletor k = kn.cm e a eção tranveral (b w = 15 cm ; h = 40 cm), calcular e etalhar a armaura longituinal e flexão. Determinar a eformação máxima no concreto comprimio e a eformação na armaura. Dao: c = f = 1,4 c = 3,0 cm = 1,15 t = 5 mm C5 brita 1 C-50 5º) Dimenionar a viga o Exercício 4 conierano que o momento fletor caracterítico ( k) eja kn.cm. 6º) Calcular e e uma viga com armaura imple, conforme a ua ituaçõe eguinte: a) altura mínima; b) fixao = 10 e menor altura poível. Detalhar a eção tranveral, poicionano a linha neutra. Compare o reultao obtio. Dao: b w = 50 cm c = f = 1,4 t = 8 mm k = kn.cm = 1,15 brita 1 C30 c =,5 cm C-50 7º) Para a viga a Figura 65 já executaa, calcular o máximo momento fletor amiível. São conhecio:

71 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 68 b w = 1 cm = 36 cm h = 40 cm c = f = 1,4 = 1,15 C-50 C0 = 1,5 mm 40 Ø 1,5 1 Figura 65 - Viga executaa. 8º) Dimenionar e etalhar a armaura longituinal e flexão para a eção tranveral a viga motraa na Figura 66, eno ao: k = kn.cm C30 C-50 c = f = 1,4 = 1,15 t = 6,3 mm brita 1 c =,5 cm Figura 66 - Dimenõe (cm) a eção T. 9º) Dimenionar a armaura longituinal a viga a Figura 67 e calcular a eformaçõe no concreto e no aço. São ao: k = kn.cm C35 C-50 t = 5 mm brita 1 c =,5 cm c = f = 1,4 = 1, Figura 67 Dimenõe (cm) a eção T. 8 10º) Dimenionar a armaura longituinal a viga a Figura 68 e calcular a eformaçõe no concreto e no aço. São ao:

72 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 69 k = kn.cm C5 C-50 t = 5 mm brita 1 c =,5 cm c = f = 1,4 = 1, Figura 68 Dimenõe (cm) a eção T. 11º) Dimenionar e etalhar a armaura e flexão a nervura a laje nervuraa inicaa na Figura 69, conheceno o momento fletor por nervura e k = kn.cm Figura 69- Dimenõe (cm) a laje nervuraa. Dao: C-50 brita 1 C35 c = f = 1,4 = 1,15 c =,0 cm vão efetivo a nervura (biapoiaa): 7,0 m 1º) Dimenionar e etalhar a armaura longituinal a viga motraa na Figura 70. Dao: k = kn.cm C5 C-50 t = 10 mm brita 1 c =,5 cm c = 1,4 f = 1,4 = 1, Figura 70 - Seção tranveral. 13º) Calcular o momento fletore olicitante máximo e imenionar e etalhar a armaura e flexão a viga a etrutura motraa na Figura 71.

73 V10 (0x50) V103 (14x50) V104 (14x50) V105 (0x50) 3, kn/m 6,1 kn/m 6,1 kn/m 6,1 kn/m 6,1 kn/m 3, kn/m Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga V100 (0x60) P1,0 kn/m 0/30,0 kn/m,0 kn/m P 0/30 L1 L L3 500 h = 8 cm h = 8 cm h = 8 cm,0 kn/m V101 (0x60),0 kn/m,0 kn/m P3 0/30 P4 0/30 Planta e fôrma Corte Figura 71 Planta e fôrma o pavimento (meia em cm). Dao: C5 ; C-50 ; brita 1 ; c =,5 cm c = f = 1,4 ; = 1,15 t = 6,3 mm para a viga V100 e V101 t = 5 mm para a viga V10 a V105 par = 3,0 kn/m para paree com epeura final e 3 cm concr. = 5 kn/m 3 ivi. = 0,5 kn/m Supor paree em abertura e 3 cm e epeura final e altura e,5 m, e bloco baiano (bloco cerâmico e oito furo), obre a viga V100, V101, V10 e V105. Sobre a viga V103 e V104 upor iviória em abertura, com altura e,0 m. Conierar, quano for o cao, a contribuição a laje maciça no imenionamento a viga. 14º) Daa a planta e fôrma a Figura 7, imenionar e etalhar a armaura longituinai e flexão para a eçõe mai olicitaa a viga.

74 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 71 P1 5/50 V100 (0x60) 5,0 kn/m P 5/50 V10 (5x60) 3, kn/m V101 (1x60) h = 9 cm 5,0 kn/m 3, kn/m V103 (5x60) 300 V10 CORTE B B PLNT DE FÔR V CORTE Figura 7 - Planta e fôrma e corte e B (meia em cm). Dao: C30 C-50 c = f = 1,4 = 1,15 t = 5 mm para toa a viga brita 1 concr. = 5 kn/m 3 c = 3,0 cm paree = 13 kn/m 3 para bloco cerâmico furao Supor a exitência e uma paree (em abertura) e bloco cerâmico e oito furo ( baiano ), com cm e epeura final e altura e,8 m, obre a viga V100. laje L1 não tem aceo público. Conierar, quano for o cao, a contribuição a laje maciça no imenionamento a viga. 15º) Daa a planta e fôrma a Figura 73, imenionar e etalhar a armaura longituinai e flexão a eçõe mai olicitaa a viga. Dao: C30 C-50 t = 5 mm brita 1 c =,5 cm c = f = 1,4 = 1,15 concr. = 5 kn/m 3 paree = 18 kn/m 3 para tijolo cerâmico maciço Supor a exitência e paree em abertura, e tijolo maciço, com cm e epeura final e altura e,7 m, ao longo o comprimento total a viga V10, V103 e V104 e ao longo o primeiro tramo a viga V100 e V101. O tramo a viga que ão apoio a laje L evem er calculaa com uma carga e parapeito e,0 kn/m, ao longo o eu comprimento. laje L3 é rebaixaa em relação à laje L1 e L. Conierar, quano for o cao, a contribuição a laje maciça no imenionamento a viga.

75 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga V100 (0 x ) P 0/0 300 P1 0/0 3,5 kn/m L 1 h = 8 cm V101 (0 x ) 6 kn/m 6 kn/m 4 kn/m 3 kn/m kn/m L h = 8 cm kn/m kn/m V105 (0 x ) 6 kn/m 300 V103 (0 x ) 3,5 kn/m L 3 h = 8 cm V10 (0 x ) 6 kn/m 3 kn/m V104 (0 x ) P3 0/0 P4 0/0 REFERÊNCIS BIBLIOGRÁFICS Figura 73 - Planta e fôrma o pavimento. SSOCIÇÃO BRSILEIR DE NORS TÉCNICS. Projeto e etrutura e concreto Proceimento, NBR Rio e Janeiro, BNT, 014, 38p. LEONHRDT, F. ; ÖNNIG, E. Contruçõe e concreto Princípio báico o imenionamento e etrutura e concreto armao, v. 1. Rio e Janeiro, E. Interciência, 198, 305p. SNTOS, L.. Cálculo e Concreto rmao, v.l, São Paulo, E. LS, 1983, 541p. BIBLIOGRFI COPLEENTR ERICN CONCRETE INSTITUTE. Builing coe requirement for tructural concrete, CI 318 R-95. Farmington Hill, 1995, 369p. COITÉ EURO-INTERNTIONL DU BÉTON. CEB-FIP oel Coe 1990: final raft. Bulletim D Information, n.03, 04 e 05, jul., EUROPEN COITTEE STNDRDIZTION. Eurocoe Deign of concrete tructure. Part 1: General rule an rule for builing. Lonon, BSI, 199. FUSCO, P.B. Técnica e armar a etrutura e concreto. São Paulo, E. Pini, 000, 38p. FUSCO, P.B. Etrutura e concreto - Solicitaçõe normai. Rio e Janeiro, e. Guanabara Doi, 1981, 464p. CGREGOR, J.G. Reinforce concrete echanic an eign. 3a e., Upper Sale River, E. Prentice Hall, 1997, 939p. NWY, E.G. Reinforce concrete funamental approach. Englewoo Cliff, E. Prentice Hall, 1985, 701p. PFEIL, W. Concreto armao, v. 1//3, 5 a e., Rio e Janeiro, E. Livro Técnico e Científico, SÜSSEKIND, J.C. Curo e concreto, v. 1-, 4 a e., Porto legre, E. Globo, 1985.

76 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 73 TBELS NEXS Tabela -1 Valore e Kc e K para o aço C-50 Tabela - Valore e Kc e K para o aço C-5, C-50 e C-60 Tabela -3 Área e maa linear e fio e barra e aço (NBR 7480). Tabela -4 Área e aço e largura bw mínima. Tabela -5 Valore e cálculo a tenão ( ) e a eformação ( ) na armaura comprimia e coeficiente K, para a linha neutra fixaa em 0,45

77 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 74 Tabela -1 Valore e K c e K para o aço C-50 (para concreto o Grupo I e reitência f ck 50 Pa, c = 1,4, γ = 1,15). FLEXÃO SIPLES E SEÇÃO RETNGULR - RDUR SIPLES x x K c (cm /kn) K (cm /kn) Dom. C15 C0 C5 C30 C35 C40 C45 C50 C-50 0,01 137,8 103,4 8,7 68,9 59,1 51,7 45,9 41,3 0,03 0,0 69, 51,9 41,5 34,6 9,6 5,9 3,1 0,8 0,03 0,03 46,3 34,7 7,8 3, 19,8 17,4 15,4 13,9 0,03 0,04 34,9 6, 0,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,03 0,05 8,0 1,0 16,8 14,0 1,0 10,5 9,3 8,4 0,03 0,06 3,4 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,04 0,07 0, 15,1 1,1 10,1 8,6 7,6 6,7 6,1 0,04 0,08 17,7 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,04 0,09 15,8 11,9 9,5 7,9 6,8 5,9 5,3 4,7 0,04 0,10 14,3 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,04 0,11 13,1 9,8 7,8 6,5 5,6 4,9 4,4 3,9 0,04 0,1 1,0 9,0 7, 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,04 0,13 11,1 8,4 6,7 5,6 4,8 4, 3,7 3,3 0,04 0,14 10,4 7,8 6, 5, 4,5 3,9 3,5 3,1 0,04 0,15 9,7 7,3 5,8 4,9 4, 3,7 3,,9 0,04 0,16 9, 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1,7 0,05 0,17 8,7 6,5 5, 4,3 3,7 3,,9,6 0,05 0,18 8, 6, 4,9 4,1 3,5 3,1,7,5 0,05 0,19 7,8 5,9 4,7 3,9 3,4,9,6,3 0,05 0,0 7,5 5,6 4,5 3,7 3,,8,5, 0,05 0,1 7,1 5,4 4,3 3,6 3,1,7,4,1 0,05 0, 6,8 5,1 4,1 3,4,9,6,3,1 0,05 0,3 6,6 4,9 3,9 3,3,8,5,,0 0,05 0,4 6,3 4,7 3,8 3,,7,4,1 1,9 0,05 0,5 6,1 4,6 3,7 3,1,6,3,0 1,8 0,06 0,6 5,9 4,4 3,5,9,5,,0 1,8 0,06 0,7 5,7 4,3 3,4,8,4,1 1,9 1,7 0,06 0,8 5,5 4,1 3,3,8,4,1 1,8 1,7 0,06 0,9 5,4 4,0 3,,7,3,0 1,8 1,6 0,06 0,30 5, 3,9 3,1,6, 1,9 1,7 1,6 0,06 0,31 5,1 3,8 3,0,5, 1,9 1,7 1,5 0,06 0,3 4,9 3,7 3,0,5,1 1,8 1,6 1,5 0,06 0,33 4,8 3,6,9,4,1 1,8 1,6 1,4 0,06 0,34 4,7 3,5,8,3,0 1,8 1,6 1,4 0,07 0,35 4,6 3,4,7,3,0 1,7 1,5 1,4 0,07 0,36 4,5 3,3,7, 1,9 1,7 1,5 1,3 0,07 0,37 4,4 3,3,6, 1,9 1,6 1,5 1,3 0,07 0,38 4,3 3,,6,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,07 0,40 4,1 3,1,5,0 1,8 1,5 1,4 1, 0,07 0,4 3,9,9,4,0 1,7 1,5 1,3 1, 0,08 0,44 3,8,8,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,08 0,45 3,7,8, 1,9 1,6 1,4 1, 1,1 0,08 0,46 3,7,7, 1,8 1,6 1,4 1, 1,1 0,08 0,48 3,5,7,1 1,8 1,5 1,3 1, 1,1 0,08 0,50 3,4,6,1 1,7 1,5 1,3 1,1 1,0 0,09 0,5 3,3,5,0 1,7 1,4 1, 1,1 1,0 0,09 0,54 3,,4 1,9 1,6 1,4 1, 1,1 1,0 0,09 0,56 3,,4 1,9 1,6 1,4 1, 1,1 0,9 0,030 0,58 3,1,3 1,8 1,5 1,3 1, 1,0 0,9 0,030 0,60 3,0,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,030 0,6,9, 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,031 0,63,9, 1,7 1,5 1, 1,1 1,0 0,9 0,031 3

78 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 75 Tabela - Valore e K c e K para o aço C-5, C-50 e C-60 (para concreto o Grupo I e reitência f ck 50 Pa, c = 1,4, γ = 1,15). FLEXÃO SIPLES E SEÇÃO RETNGULR - RDUR SIPLES x x Kc (cm /kn) K (cm /kn) C15 C0 C5 C30 C35 C40 C45 C50 C-5 C-50 C-60 0,01 137,8 103,4 8,7 68,9 59,1 51,7 45,9 41,3 0,046 0,03 0,019 0,0 69, 51,9 41,5 34,6 9,6 5,9 3,1 0,8 0,046 0,03 0,019 0,03 46,3 34,7 7,8 3, 19,8 17,4 15,4 13,9 0,047 0,03 0,019 0,04 34,9 6, 0,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,047 0,03 0,019 0,05 8,0 1,0 16,8 14,0 1,0 10,5 9,3 8,4 0,047 0,03 0,00 0,06 3,4 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,047 0,04 0,00 0,07 0, 15,1 1,1 10,1 8,6 7,6 6,7 6,1 0,047 0,04 0,00 0,08 17,7 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,048 0,04 0,00 0,09 15,8 11,9 9,5 7,9 6,8 5,9 5,3 4,7 0,048 0,04 0,00 0,10 14,3 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,048 0,04 0,00 0,1 1,0 9,0 7, 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,048 0,04 0,00 0,13 11,1 8,4 6,7 5,6 4,8 4, 3,7 3,3 0,049 0,04 0,00 0,14 10,4 7,8 6, 5, 4,5 3,9 3,5 3,1 0,049 0,04 0,00 0,15 9,7 7,3 5,8 4,9 4, 3,7 3,,9 0,049 0,04 0,00 0,16 9, 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1,7 0,049 0,05 0,00 0,17 8,7 6,5 5, 4,3 3,7 3,,9,6 0,049 0,05 0,01 0,18 8, 6, 4,9 4,1 3,5 3,1,7,5 0,050 0,05 0,01 0,19 7,8 5,9 4,7 3,9 3,4,9,6,3 0,050 0,05 0,01 0,0 7,5 5,6 4,5 3,7 3,,8,5, 0,050 0,05 0,01 0,1 7,1 5,4 4,3 3,6 3,1,7,4,1 0,050 0,05 0,01 0, 6,8 5,1 4,1 3,4,9,6,3,1 0,050 0,05 0,01 0,3 6,6 4,9 3,9 3,3,8,5,,0 0,051 0,05 0,01 0,4 6,3 4,7 3,8 3,,7,4,1 1,9 0,051 0,05 0,01 0,5 6,1 4,6 3,7 3,1,6,3,0 1,8 0,051 0,06 0,01 0,6 5,9 4,4 3,5,9,5,,0 1,8 0,051 0,06 0,01 0,7 5,7 4,3 3,4,8,4,1 1,9 1,7 0,05 0,06 0,01 0,8 5,5 4,1 3,3,8,4,1 1,8 1,7 0,05 0,06 0,0 0,9 5,4 4,0 3,,7,3,0 1,8 1,6 0,05 0,06 0,0 0,30 5, 3,9 3,1,6, 1,9 1,7 1,6 0,05 0,06 0,0 0,31 5,1 3,8 3,0,5, 1,9 1,7 1,5 0,053 0,06 0,0 0,3 4,9 3,7 3,0,5,1 1,8 1,6 1,5 0,053 0,06 0,0 0,33 4,8 3,6,9,4,1 1,8 1,6 1,4 0,053 0,06 0,0 0,34 4,7 3,5,8,3,0 1,8 1,6 1,4 0,053 0,07 0,0 0,35 4,6 3,4,7,3,0 1,7 1,5 1,4 0,053 0,07 0,0 0,36 4,5 3,3,7, 1,9 1,7 1,5 1,3 0,054 0,07 0,0 0,37 4,4 3,3,6, 1,9 1,6 1,5 1,3 0,054 0,07 0,0 0,38 4,3 3,,6,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,054 0,07 0,03 0,40 4,1 3,1,5,0 1,8 1,5 1,4 1, 0,055 0,07 0,03 0,4 3,9,9,4,0 1,7 1,5 1,3 1, 0,055 0,08 0,03 0,44 3,8,8,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,056 0,08 0,03 0,45 3,7,8, 1,9 1,6 1,4 1, 1,1 0,056 0,08 0,03 0,46 3,7,7, 1,8 1,6 1,4 1, 1,1 0,056 0,08 0,03 0,48 3,5,7,1 1,8 1,5 1,3 1, 1,1 0,057 0,08 0,04 0,50 3,4,6,1 1,7 1,5 1,3 1,1 1,0 0,058 0,09 0,04 0,5 3,3,5,0 1,7 1,4 1, 1,1 1,0 0,058 0,09 0,04 0,54 3,,4 1,9 1,6 1,4 1, 1,1 1,0 0,059 0,09 0,04 0,56 3,,4 1,9 1,6 1,4 1, 1,1 0,9 0,059 0,030 0,05 0,58 3,1,3 1,8 1,5 1,3 1, 1,0 0,9 0,060 0,030 0,05 0,59 3,0,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,060 0,030 0,05 0,60 3,0,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,061 0,030 0,05 0,6,9, 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,061 0,031 0,05 0,63,9, 1,7 1,5 1, 1,1 1,0 0,9 0,061 0,031 0,06 0,64,9, 1,7 1,4 1, 1,1 1,0 0,9 0,06 0,031 0,06 0,66,8,1 1,7 1,4 1, 1,1 0,9 0,8 0,063 0,031 0,06 0,70,7,0 1,6 1,4 1, 1,0 0,9 0,8 0,064 0,03 0,07 0,74,6,0 1,6 1,3 1,1 1,0 0,9 0,8 0,065 0,033 0,07 0,77,6 1,9 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,8 0,066 0,033 0,08 Dom. 3 4

79 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 76 Tabela -3 Área e maa linear e fio e barra e aço (NBR 7480). Diâmetro (mm) aa (kg/m) Área (mm ) Perímetro (mm) Fio Barra,4-0,036 4,5 7,5 3,4-0,071 9,1 10,7 3,8-0,089 11,3 11,9 4, - 0,109 13,9 13, 4,6-0,130 16,6 14, ,154 19,6 17,5 5,5-0,187 3,8 17,3 6-0, 8,3 18,8-6,3 0,45 31, 19,8 6,4-0,53 3, 0,1 7-0,30 38,5, ,395 50,3 5,1 9,5-0,558 70,9 9, ,617 78,5 31,4-1,5 0,963 1,7 39,3-16 1,578 01,1 50,3-0, , 6,8 -, ,1 69,1-5 3, ,9 78,5-3 6, , 100,5-40 9, ,6 15,7

80 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 77 Tabela -4 Área e aço e largura b w mínima. Diâm. (cm ) Número e barra (mm) b w (cm) ,14 0,8 0,4 0,56 0,70 0,84 0,98 1,1 1,6 1,40 4, Br b w Br ,0 0,40 0,60 0,80 1,00 1,0 1,40 1,60 1,80,00 5 Br b w Br ,31 0,6 0,93 1,4 1,55 1,86,17,48,79 3,10 6,3 Br b w Br ,50 1,00 1,50,00,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 8 Br b w Br ,80 1,60,40 3,0 4,00 4,80 5,60 6,40 7,0 8,00 10 Br b w Br ,5,50 3,75 5,00 6,5 7,50 8,75 10,00 11,5 1,50 1,5 Br b w Br ,00 4,00 6,00 8,00 10,00 1,00 14,00 16,00 18,00 0,00 16 Br b w Br ,15 6,30 9,45 1,60 15,75 18,90,05 5,0 8,35 31,50 0 Br b w Br ,80 7,60 11,40 15,0 19,00,80 6,60 30,40 34,0 38,00 Br b w Br ,90 9,80 14,70 19,60 4,50 9,40 34,30 39,0 44,10 49,00 5 Br b w Br ,05 16,10 4,15 3,0 40,5 48,30 56,35 64,40 7,45 80,50 3 Br b w Br ,60 5,0 37,80 50,40 63,00 75,60 88,0 100,80 113,40 16,00 40 Br b w Br largura b w mínima: b w,mín = (c + t) + n o barra. + a h.mín (n o barra 1) c Ø t Br. 1 = brita 1 ( máx = 19 mm) ; Br. = brita ( máx = 5 mm) Valore aotao: t = 6,3 mm ; c nom =,0 cm Para c nom,0 cm, aumentar b w,mín conforme: c nom =,5 cm + 1,0 cm cm c nom = 3,0 cm +,0 cm a h,mín c nom = 3,5 cm + 3,0 cm c nom = 4,0 cm + 4,0 cm 1, máx,agr Ø b w a h a v

81 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 78 Tabela -5 Valore e cálculo a tenão ( ) e a eformação ( ) na armaura comprimia e coeficiente K, para a linha neutra fixaa em 0,45 (para concreto o Grupo I e reitência f ck 50 Pa, γ = 1,15). '/ Deformação ( ) (C-5 ; C-50 ; (Pa) K =1/ (1/kN/cm ) C-60) C-5 C-50 C-60 C-5 C-50 C-60 0,05 3,11 51,7 0,10,7 435,0 51,7 0,03 0,019 0,15,33 490,9 0,00 17,4 0,046 0,0 1,94 408,4 409,1 0,04 0,04 0,5 1,56 36,7 37,3 0,031 0,031 0,30 1,17 45,0 45,4 0,041 0,041 ' x = 0,45 c = 3,5 ' 4,3 4,3