MODELOS NÃO LINEARES BASEADOS EM CAMPOS DE TENSÕES

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1 MODELOS NÃO LINEARES BASEADOS EM CAMOS DE ENSÕES MIGUEL S. LOURENÇO Et. Doutoramento IS Liboa JOÃO. ALMEIDA rofeor Aoiado IS, ICIS Liboa SUMÁRIO Apreenta-e uma metodologia geral de análie não linear de elemento de betão etrutural, totalmente baeada em modelo de ampo de tenõe. De forma a prevêr a adaptação do aminho da arga devido à propriedade não lineare do materia, utiliza-e o oneito de etrutura adaptativa. Ilutra-e a ténia om a apliação a exemplo imple e elaborae uma análie não linear num ao prátio. alavra-have: Modelo de Campo de enõe, Etrutura Adaptativa, Análie Não Linear, Zona de Deontinuidade.. INRODUÇÃO O modelo de ampo de tenõe ão amplamente reonheido omo um método onitente de análie e dimenionamento, verifiação da egurança e pormenorização de elemento de betão etrutural. Baeado no teorema etátio da teoria da platiidade, ete tipo de modelo ão eenialmente apliado na verifiação da egurança ao Etado Limite Último em zona de deontinuidade e aume-e, em geral, omo ondição ufiiente para o dimenionamento, o etabeleimento de um modelo euilibrado ue traduza a trajetória de tenõe no interior da região em etudo [9,]. Em geral, o omportamento não linear de zona de deontinuidade não é expliitamente oniderada, pelo ue a análie em erviço e a dutilidade ão normalmente garantida, de forma indireta, atravé de uma adeuada eleção do modelo e de uma apropriada pormenorização de armadura [9,3]. A potenialidade do método do elemento finito têm-e traduzido numa generalizada apliação dete modelo para a avaliação do omportamento não linear de zona de deontinuidade em betão etrutural. orém, reonheem-e algun inonveniente deta

2 ténia, nomeadamente no ue repeita à interpretação de dado e reultado, epeialmente uando e apliam a análie não lineare. Ete artigo apreenta uma ténia alternativa de análie do omportamento não linear do betão etrutural, totalmente baeada em modelo de ampo de tenõe. De forma a prevêr a variação do ampo de tenõe ao longo do proeo de arregamento, devido à araterítia não lineare do materiai envolvido, introduziu-e o oneito de etrutura adaptativa [8]. or fim, apreenta-e um exemplo de apliação prátia om o objetivo ilutrar a potenialidade da ténia, alientando-e o apeto mai relevante. 2. ORMULAÇÃO A metodologia propota onite na onideração de elemento, ujeito apena a eforço axial, ue repreentam o ampo de ompreõe e traçõe reultante do devio da trajetória da arga no interior duma região de betão etrutural [,2,3,8,2]. O etabeleimento do modelo pode, deta forma, er baeado no ritério habituai da elaboração de um modelo de eora e tirante, tendo em onideração ue ete repreentam um ampo de tenõe, endo a repetiva largura determinada de forma a garantir o euilíbrio em ualuer ponto [7]. Na ig. a) é apreentado um modelo de dimenionamento de uma viga om degrau ujeita a um momento fletor ontante. Obervam-e o ampo de ompreõe e traçõe e repetiva reultante, aim omo o nó, definido omo endo zona om importante a) b) igura : a) Modelo de Campo de enõe de uma viga om degrau; b) irante e eora primátia e em leue. onentraçõe de tenõe. Na ig. b) identifiam-e o trê tipo de elemento, eora primátia, em leue e tirante,. Atravé da geometria do ampo de tenõe é poível definir a araterítia meânia de ada elemento e apliando a habituai ténia de análie de etrutura etabelee-e a euaçõe de euilíbrio e ompatibilidade, etando a relaçõe ontitutiva do materiai implíita no álulo da extenõe. 2

3 Euaçõe de Euilíbrio (ver ig. 2) Euaçõe de Compatibilidade (ver ig. 2) A D + [ A D A D ] = + = N + = A D onde, repreenta um vetor om o alongamento total onde, A repreenta a matriz de inidênia. de ada elemento: = [ L L nl n ] A mn toma o valor ou - (onoante o é um vetor om ontituído pelo entido do elemento) e no nó m inide deloamento nodai no referenial global: o elemento n, ao ontrário toma o = [ x L xm y L ym ] valor. D e D ão matrize ontituída pelo oeno e eno, na diagonal prinipal, yj de ada elemento om a direção x. N é um vetor uja omponente ão y j xj ontituída pelo eforço axiai do x N = N LN elemento [ ] é o vetor da força apliada no nó num referenial global: = L L [ ] x xm Admitindo ue =A D e =A D, e ombinando a ubmatrize reultante, tem-e = [ ]. Aim a euaçõe de euilíbrio podem er erita de forma ondenada N + = y n ym 3. ESRUURAS ADAAIVAS N n i yi i xi Ln element n EA n j i j igura 2: orça e deloamento nodai de um elemento genério. De forma a ter em onideração a adaptação do ampo de tenõe no interior da região, devido à araterítia não lineare do materiai, reorreu-e ao oneito de etrutura adaptativa [9]. Ete prinipio baeia-e na minimização da energia de deformação da etrutura variando a ua geometria, garantindo a ondiçõe de euilíbrio e ompatibilidade. V U = d dv, unção objetivo min U, ujeito à retriçõe N+= e + = onde, V é o domínio de integração, e repreentam a tenõe e extenõe do elemento, repetivamente. A título ilutrativo apreenta-e a viga repreentada na ig. 3a) ontituída por divera barra om iguai araterítia meânia (EA) e ujeita a arga vertiai. Minimizando a energia de deformação total do itema obtém-e a etrutura apreentada na ig. 3b) (alienta-e ue e limitou a altura máxima da viga a z=8.m). A minimização da energia de deformação onduz igualmente à minimização do trabalho da força exteriore, pelo ue o deloamento N n 3

4 obtido na etrutura adaptada ão EA=ont=2MN kn kn kn kn kn inferiore ao reultante de uma viga 375 kn 375 kn om uma forma aleatória e ue utilize o 25 kn 25 kn máximo gabarit impoto de z=8.m. a) kn kn kn ratando-e de uma EA=ont=2MN om ompatibilidade etrutura hipertátia kn kn a ondiçõe de ompatibilidade ão em ompatibilidade eeniai para a (375 kn) 69 kn 69 kn (375 kn) obtenção da olução ue, por divera veze igura 3: a) Geometria e deformada iniial; b) Geometria e deformada apó a análie adaptativa. o modelo de ampo de tenõe ão iotátio, endo, nete ao, ufiiente o etabeleimento da ondiçõe de euilíbrio. or fim, alienta-e ue a tranmião de arga no interior de uma região de betão etrutural é empre efetuada de forma a minimizar a energia, pelo ue empre ue e alteram a ondiçõe de rigidez numa determinada zona, o aminho da arga adapta-e. or ete motivo, o oneito de etrutura adaptativa é eenial para deenvolvimento adeuado de uma metodologia baeada em ampo de tenõe. óptima (ver ig. 3b)) kn 25 kn Refere-e, no entanto b) 4. MODELOS DE CAMOS DE ENSÕES ADAAIVOS z=3. z=8. =L/ =L/3 A implementação de relaçõe ontitutiva não lineare na formulação apreentada anteriormente, ontitui uma ténia alternativa ao onvenionai modelo de elemento finito, para a avaliação do omportamento não linear de regiõe de betão etrutural. Nete ao partiular onideraram-e a relaçõe tenõe/extenõe apreentada no Model Code 9 [4] para o betão e aço (ver ig. 4), tendo em onideração a ontribuição do betão entre fenda tenion tiffening, no ao do tirante. Refere-e ue, por veze, foi adoptada uma urva tenão/extenão de lae C, de derivada ontínua, de forma a minimizar poívei erro numério. u y.3 r formação de fenda r E não fendilhado u y u Betão apó platifiação fendilhação etabilizada Ei f irante igura 4: Relação ontitutiva de um tirante de betão armado Et 4

5 A relação ontitutiva propota no MC9 [4] prevê a formação de um etado de fendilhação etabilizada, o ue repreenta uma limitação na imulação de tirante de betão armado em zona de deontinuidade. De fato, é omum a exitênia de regiõe om um padrão de fendilhação ingular, zona onde não é poível formar um meanimo de fendilhação etabilizada, e.g. arga junto ao apoio (ver ig. 5), viga om degrau, et, ondiionando de forma ignifiativa o omportamento global da etrutura. O fato de não e obervar um etado de fendilhação etabilizada, poderá etar relaionado om uma importante variação de tenão no tirante, impedindo a formação de outra fenda. Nete trabalho deenvolveu-e uma relação ontitutiva de um tirante om fendilhação ingular om bae no enion Chord Model. O modelo propoto por Marti et al. 998 [6], baeia-e numa relação de tenõe de aderênia/eorregamento bi-linear, permitindo o deenvolvimento analítio da divera variávei. O modelo baeia-e na onheida euação diferenial de eorregamento, obtida diretamente da ondiçõe de euilíbrio e ompatibilidade de um troço infinitéimal de um tirante om uma armadura de diâmetro e a área de betão efetiva irundante A (ig. 7). Aume-e um omportamento elátio linear para o betão à tração e bi-linear para a armadura (ig. 6). igura 5: Cao típio de uma zona de deontinuidade om fendilhação ingular u y E t N N+dN A E dx y u E +d t b b b +d b b +d b =2 t b = t ( = y) igura 6: Relaçõe ontitutiva e de aderênia do betão e aço igura 7: roço elementar de um tirante de betão armado 2 d 4b = ( + n) + dx E E A onde n=e /E e =A /A 5

6 x x x x lt O deenvolvimento da expreõe de euilíbrio e ompatibilidade permitem definir a tenõe, extenõe e eorregamento no betão e armadura na vizinhança da fenda. Na ig. 8 ão apreentado ee reultado. A relaçõe ontitutiva aumem uma forma ignifiativamente diferente da habitual fendilhação etabilizada, onforme e oberva na ig. 9. No preente trabalho, a energia de deformação aoiada a um tirante om fendilhação ingular foi determinada diretamente a partir do diagrama de tenõe e extenõe apreentado na ig. 8. N N;N h h li < t y r y < t lj h h N, N e N Eforço axial total, na armadura e betão, repetivamente., tenõe na armadura e betão, repetivamente. r, y tenão no aço na fenda e tenão de edênia da armadura, repetivamente. h, h tenõe no aço e betão na zona om aderênia perfeita. t tenão de tração do betão., extenõe na armadura e betão., deloamento na armadura e betão. d/dx variação do eorregamento entre armadura e betão. eorregamento. b tenõe de aderênia betão/aço. w abertura de fenda. ; u d/dx y Relação Contitutiva om fendilhação ingular Relação Contitutiva (MC9) om fendilhação etabilizada w y b b b igura 8: enõe, extenõe e eorregamento de um tirante om fendilhação etabilizada e eforço axial variável. b b m igura 9: Comparação da relaçõe ontitutiva om fendilhação etabilizada e ingular 6

7 5. EXEMLO ESE A título ilutrativo aplia-e a ténia propota na etrutura apreentada na ig., oniderando uma relação ontitutiva elátia linear para a eora (elemento 2) e um omportamento não linear, de aordo om a ig.4, para o tirante (elemento ), admitndo um etado de fendilhação etabilizada e ingular. A araterítia geométria e meânia ão igualmente apreentada na ig.. A matrize ue ontituem o itema governativo e a ondiçõe de euilíbrio e ompatibilidade ão igualmente apreentada. x x3 3 y E A L E A (variável adaptativa) 2 h=l/tan Elemento E = 2 Ga y = 5 Ma u= 648 Ma A = mm 2 A = 8 mm 2 t = 2.8 Ma Elemento 2 E = 32 Ga u = -5 Ma A= 8 mm 2 o A =, D = = o 2 o, in N D = =, N = in 2 in N2 x x o x2 x2 o x3 x3 L =, =, =, = 2L 2 y y in y2 y2 in y3 y3 L 2L on + = (euilíbrio) inn2 2 + o in x2 y2 = (ompatibilidade) y3 igura : Modelo tete de apliação do modelo de ampo de tenõe adaptativo A relação ontitutiva para o tirante, para o ao de fendilhação etabilizada, pode er linearizada em uatro patamare om rigidez EA i ontante. Minimizando a energia de deformação total do itema obtém-e ditinto ângulo : - =59.7º (etado não fendilhado), =76.5º (fae de formação de fenda), =72.º (fendilhação etabilizada) e =8.9º (fae pó-platifiação da armadura). Efetuando análie fiiamente não lineare para a ada onfiguração do modelo e traçando uatro gráfio arga, deloamento vertial do ponto 2, obtême a urva apreentada na ig.. A urva ue repreenta a análie adaptativa é também apreentada na ig. e, tal omo eria de prevêr, obtém-e uma urva ue proura o mínimo [kn] Análie não linear Adaptativa (fendilhação onentrada) Análie não linear Adaptativa (fendilhação etabilizada) =76.5º =72.º =59.7º igura : Diagrama arga/deloamento =8.9º [mm 7

8 deloamento. Verifia-e também ue o omportamento ue arateriza a etrutura om uma relação onitutiva baeada numa fendilhação ingular é ubtanialmente diferente. A ig. 3, repreenta a tenõe na armadura e a variação da onfiguração do modelo ao longo do proeo inremental. Ilutra-e igualmente na ig. 2 um gráfio ue repreenta a variação da energia de deformação om a arga e o ângulo, obervando-e laramente a onfiguração ue minimiza a energia de deformação para ada pao de arga [kn] [grau] igura 2: Gráfio ue relaiona a força apliada, ângulo entre barra e energia de deformação..9 CARGA v ENSÕES NAS ARMADURAS (ELEMENO ) CARGA VS CONIGURAÇÃO DO MODELO u 6 y r 3 r 2 [grau] [Ma] =59.7º (rigidez não fendilhada) Adaptação da Geometria =72.º (rigidez fendilhação etabilizada) =76.5º (rigidez formação da fenda) Análie não Linear Adaptação da Geometria =8.9º (rigidez pó-platifiação) =8.9º =76.5º =72.º =59.7º [kn] [kn] igura 3: Configuração do modelo e tenõe na armadura ao longo do proeo de arregamento. Salienta-e por fim ue a formulação propota foi já apliada a divero ao de análie de zona de deontinuidade, tendo ido poível omprovar a ualidade do reultado obtido. 8

9 /2=5 kn /2=5 kn /2=5 kn /2=5 kn /2=25 kn /2=25 kn /2=35 kn /2=35 kn /2=45 kn /2=45 kn /2=55 kn /2=55 kn /2=5 kn /2=5 kn /2=5 kn /2=5 kn /2=25 kn /2=25 kn /2=35 kn /2=35 kn /2=45 kn /2=45 kn /2=55 kn /2=55 kn [kn] Carga v Deloamento [kn] Carga v Extenão média [kn] Carga v Máxima Abertura de enda 2 Modelo Campo enõe 2 Enaio Experimentai 2 Modelo Campo enõe (.28) Enaio Experimentai Modelo Campo enõe Enaio Experimentai [mm] m [% ] igura 4: Comparação de reultado obtido pelo modelo de ampo de tenõe adaptativo e o enaio experimentai de uma viga parede (Leohnardt, Walther, 966 [5]) wk [mm]. 6. EXEMLO DE ALICAÇÃO RÁICA O modelo de ampo tenõe adaptativo, apreentado anteriormente, foram apliado num ao prátio, relevando a potenialidade dete tipo de ténia para dimenionamento e análie de zona de deontinuidade. A ig. 5 repreenta o pilare e a eção tranveral do tabuleiro de um viaduto om vão orrente de 35.m na Autoetrada A28. A arga vertiai, proveniente do tabuleiro, ão tranmitida, ao pilare atravé de aparelho de apoio do tipo pot. A arga de dimenionamento é de 855 kn, por viga, tendo-e adoptado uma olução pó-tenionada no topo do pilar, de forma a reduzir a uantidade de armadura paiva garantido, imultaneamente, um i=6.5% Ø. Ø. igura 5: Seção tranveral do tabuleiro e pilare.3 9

10 adeuado omportamento em erviço. ara o dimenionamento e pormenorização do apitel do pilar, foram elaborado doi modelo ditinto (ver ig.6), um para a fae de apliação de pré-eforço, onde e prevê uma tração proviória na fae inferior da onola e o egundo para a arga vertiai, ue orreponde a um ao típio de arga junto ao apoio, onde e deverá dipôr de armadura vertiai para upender parte da arga. A pormenorização de armadura reultou diretamente do modelo de eora e tirante e ão apreentada na ig Ma kn 488 kn Ma kn kn kn 53 kn 7 kn 53 kn 342 kn 855 kn 588 kn Ma igura 6: Modelo de dimenionamento para a fae de apliação do pré-eforço e Etado Limite Último 5Ø6 7Ø32 + 2Ø25/3. 7Ø32 =588 kn Ap=54mm2 7Ø32 + 2Ø25/3. 5Ø6 Ø2//. (4r) 5Ø25 + 2Ø32 5Ø25 + 2Ø32 Ø6//.2 igura 7: ormenorização de armadura. Elaborou-e um modelo de ampo de tenõe adaptativo para avaliar o omportamento não linear da região. O modelo iniial teve em onideração ambo o meanimo aoiado à fae de apliação de pré-eforço e arga vertiai. Cada elemento repreenta uma ou mai amada de armadura e o ampo de ompreõe foram orientado egundo o aminho de arga previto. Ao longo do proeo inremental verifiou-e a arga e dearga de divero elemento devido à adaptatividade do ampo de tenõe.

11 Vito ue durante a fae de apliação do préeforço a região permanee não fendilhada, ompararam-e o reultado obtido, om um modelo de elemento finito baeado na teoria da elatiidade, tendo-e verifiado uma boa onordânia do reultado, nomeadamente no ue e refere a deloamento e trajetória de tenõe (ver ig. 8) Na ig. 9, apreentam-e o modelo de análie para algun do pao de arga, aim omo o repetivo ampo de tenõe aoiado, verifiando-e a adeuabilidade deta metodologia para ituaçõe om divero ao de arga. igura 8: rajetória elátia de tenõe na fae de apliação do pré-eforço igura 9: Modelo de ampo de tenõe para divero ao de arga O reultado obtido da análie permitiram traçar o diagrama orrepondete à tenão na armadura (ig. 2), abertura de fenda (ig. 2) e arga/deloamento (ig. 2) ao longo do proeo de arregamento. Refere-e ue o reultado obtido pela análie não linear ão emelhante ao obtido atravé do modelo de dimenionamento apreentado na ig. 6, no pao de arga orrepondente à fae de apliação do pré-eforço e para a arga de Etado Limite Último. =588kN =, =588kN =855kN igura 2: Relação arga deloamento

12 w k y 4 2.6,, =588kN = =588kN =855kN =588kN G G+Q = G G+Q =588kN =855kN igura 2: enõe na armadura e abertura de fenda ao longo do proeo inremental 7. CONCLUSÕES Ete artigo apreenta uma ténia alternativa ao onvenionai modelo de elemento finito para a avaliação do omportamento não linear em zona de deontinuidade de betão etrutural, baeada inteiramente no oneito de ampo de tenõe adaptativo. A metodologia apreentada proporiona a avaliação do omportamento etrutural de uma determinada região em toda a fae de arga, permitindo etudar apeto relaionado om a dutilidade e omportamento em erviço em zona de deontinuidade, apeto freuentemente referido omo inoveniente na apliação de modelo de ampo de tenõe. inalmente, apreenta-e um exemplo da apliação da ténia a um ao prátio, obervandoe a adaptação do aminho da arga ao longo do proeo inremental e verifiando-e a adeuabilidade dete tipo de modelo a ituaçõe om divero arregamento. 8. REERÊNCIAS [] Almeida, J., Lourenço, M. (25): Stre ield Model for Strutural Conrete, fib Sympoium Keep Conrete Attrative, Vol., pp , Budapet, 25. [2] Lourenço, M., Almeida, J. (26): Nonlinear Behaviour of Conrete Diontinuity Region, proeeding of 2nd International Congre Naple 26, Naple, 26. [3] Lourenço, M.; Almeida, J. Campo de tenõe em zona de deontinuidade, Betão Etrutural 24, orto, Novembro 24. [4] CEB-I MC 9 (993): Deign of onrete truture. CEB-I-Model-Code 99. homa elford, 993. [5] Leonhardt. and Walther R. (966): Wandartiger räger, DAfStb Heft 78, Wilhelm Ernt & Sohn, Berlin [6] Marti,., Alvarez, M., Kaufmann W., Sigrit V. (998): enion Chord Model for Strutural Conrete. Strutural Engineering International, Siene and ehnology pp , IABSE, April

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