VIOLAÇÃO DA DESIGUALDADE PROBABILÍSTICA DE BELL NA MECÂNICA QUÂNTICA

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Caio Taveira Aleixo
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1 VIOLAÇÃO DA DESIGUALDADE PROBABILÍSTICA DE BELL NA MECÂNICA QUÂNTICA Felipe Andrade Velozo 1, Diogo Franio Rooni 2, Joé Alberto Cato Nogale Vera 3, Lua Monteiro Chave 4, Devanil Jaque de Souza 5 Reumo: Em 1982, Alain Apet, e olaboradore, realizaram um experimento, para obervar a violação da deigualdade de Clauer-Horne-Shimony-Holt na prátia. Apó realizar o experimento, uaram o dado na deigualdade e onluíram que a deigualdade, obtida por meio de argumento probabilítio, era violada, onirmando a onluõe obtida por John S. Bell de que não era poível uma teoria de variávei oulta na ondiçõe propota por Eintein, Podolky e Roen. O obetivo dete trabalho é obervar a validade da órmula na ondiçõe exitente da teoria probabilítia, para levar a uma onluão ondizente om o axioma da probabilidade. Palavra-have: Violação da deigualdade de CHSH; Axioma de Kolmogorov. Abtrat: The Quantum Mehani poee a tatitial interpretation, thereore or it i that hi nature or to Statiti it wa due to ignorane with relationhip the preent variable. Thi work eek to how ome mitake happened in John Bell utiiation or inompatibility o the Statiti with orrelated quantum phenomena. Keyword: Violation o the inequality o Bell; Axiom o Kolmogorov. 1 Introdução O experimento [3,4] onite em uma onte de pare de elétron om pin orrelaionado (um elétron om pin poitivo e outro om pin negativo), que ão emitido pela onte e e ditaniam um do outro e paam ada um por um ampo magnétio om entido repreentado pelo ângulo de orientação e, repetivamente. O ângulo ornee o vetor =o +en, que india a orientação do ampo. Ao paar pelo ampo magnétio, ada elétron irá deviar, ou no entido do ampo ( =+1), ou no entido 1 Departamento de Ciênia Exata UFLA. elipe.andrade.velozo@mail.ru 2 Departamento de Etatítia UEM 3 Departamento de Ciênia Exata UFLA 4 Departamento de Ciênia Exata UFLA 5 Departamento de Ciênia Exata UFLA 254

# ontrário ( = 1), om =1 para o 1º elétron e =2 para o 2º elétron. A probabilidade [4] de ada elétron deviar em um entido e o outro no entido ontrário erá 1,, ;, = 2 o, 2,! 1,+1,+1, 1" 1 2 en, 2,!

Figura 1 Da equerda para direta: Na 1ª igura tem-e uma onte de elétron (amarelo) no entro om doi aparato (vermelho e azul) que geram ampo magnétio em que o elétron irão e deviar em uma da traetória

2 # ontrário ( = 1), om =1 para o 1º elétron e =2 para o 2º elétron. A probabilidade [4] de ada elétron deviar em um entido e o outro no entido ontrário erá 1,, ;, = 2 o, 2,! 1,+1,+1, 1" 1 2 en, 2,! 1, 1,+1,+1" em que, = (dierença do ângulo da orientaçõe do ampo) e a variávei aleatória e ão o devio de ada elétron, repetivamente. Figura 1 Da equerda para direta: Na 1ª igura tem-e uma onte de elétron (amarelo) no entro om doi aparato (vermelho e azul) que geram ampo magnétio em que o elétron irão e deviar em uma da traetória (linha) e olidir om um detetor (plano inza); Na 2ª igura tem-e doi aparato de Stern-Gerlah: um orientado na vertial (equerda) e o outro na horizontal (direita). 2 Material e método Em bua de determinar aoiado ao experimento de medir o devio de elétron que tenham ido emitido om a propriedade pin ontrário um do outro, admitir-e-á uma tereira orientação $ do ampo e a medida $! 1;+1". Portanto o experimento erá eito o memo número de veze para o ampo 1 e 2 om o eguinte entido: a) Sentido em um ampo e no outro; b) Sentido em um ampo e $ no outro; ) Sentido em um ampo e $ no outro A demontração da deigualdade [5] e baeará apena em argumento preente na Etatítia, depoi erão eita omparaçõe entre a previão eita pela Etatítia e o reultado obtido pela Meânia Quântia. Por impliidade, erão omitido o parâmetro % e na apreentação da órmula. Calulando o valor eperado de $ $ e lembrando que! 1;1" 1, tem-e E $ E $ E1 $ 255

3 Apliando o módulo (valor aboluto) na equação anterior e abendo que +,. +,., tem-e Uma vez que então 0E! $ $,, $ %! 1;1" $ 1 # $,, $ 0,, $,, $ 0E $ 0 21,, $ 1 E 3 Portanto, tem-e a deigualdade de Bell ; E $ E $ 1 E A ovariânia é dada por Cov %, E % E % E, porém, obervae que E % 0, para qualquer 5. Calulando a partir da unçõe de probabilidade orneida, tem-e B E?@A, Ao eolher = $ B C, =0 e $ = B C, tem-e, = $ B C,,$ = C, $,= C, portanto E $ E $ D 1 E D G O que reulta na deigualdade 2 2, que é ala, portanto a deigualdade não é obedeida na Meânia Quãntia. 3 Reultado e diuõe Para e hegar neta deigualdade, oi upoto exitir,,$ entre 0 e 1, para quaiquer valore de,, $, porém não para quaiquer valore de %, que ito etá garantido. Na Etatítia obtém-e a eguinte igualdade 256

I 6777777777777877777,,$ 1, 1, 1+,,$ 777777779 1, 1,+1W+I 6777777777777877777,,$ 1, 1, 1+,,$ 777777779 1,+1, 1W+ J,K G,G / MNO K P J,K / J,Q G,G / MNO K P J,Q / +I 67777777777778777,,$ 1, 1, 1+,

4 I ,,$ 1, 1, 1+,,$ , 1,+1W+I ,,$ 1, 1, 1+,,$ ,+1, 1W+ J,K G,G / MNO K P J,K / J,Q G,G / MNO K P J,Q / +I ,,$ 1, 1, 1+, ,$+1, 1, 1W 2,,$ 1, 1, 1+ K,Q G,G / MNO K P K,Q / +I ,,$ +1,+1,+1+, ,$+1, +1, 1W+I ,,$ +1,+1, ,,$+1, 1, +1W + J,K R,R J,K G,G J,Q R,R J,Q G,G +I ,,$ +1,+1,+1+, ,$ 1, +1, +1W 2,,$ +1,+1,+1 11 K,Q R,R K,Q G,G lembrando que,$ $ $ +, +,$, portantoo,,$ 1, 1, 1+,,$ + +1,+1, Xen, 2 +en,$ 2 +e en,$ Que deve er maior ou igual a zero, poi e trata da oma de dua probabilidade, porém no gráio a eguir tem-e que determinado ângulo eta deigualdade não é atieita e, portanto, não pode exitir a unção de probabilidade onunta,,$ Da mema orma hega-e à deigualdade,,$ +1,+1, 1+,,$ 1, 1, XAYZ, 2 +?@A,$ 2 +1, 1,+1+,,$ 1,+1, X?@A, 2 +AYZ,$ 2 1,+1,+1+,,$ + +1, 1, X?@A, 2 +?@A,$ 2 +AY YZ,$ Figura 2 Da equerda para a direita (igura om valore do ângulo entre \ e \): Na 1ª igura tem-e a região em brano é a região em que a deigualdade de Bell é válida e em ton de inza é onde não é válida para o valore de T U,V ; Na 2ª igura, tem-e que abaixo do plano verde ão o valore negativo (]^,_,` ^, ^, ^+]^,_,`+^,+^,+^ S), ou ea, não é poível atribuir valore de probabilidade ondizente om o axioma de Kolmogorov; Na 3ª igura tem-e que a região em brano é a região em que a deigualdade é válida e em ore é onde não é válida para o valore de T U,V e não e pode determin nar ]^,_,` Note que a deigualdade de Bell não é atieita exatamente onde não e pode determinar a unção de probabilidade onunta,,$. Ao montar o itema om a equaçõe 257

5 d en, 2 2 g d en, g d en,,$ 1, 1, 1 g ,,$ 1, 1,+1 en ,,$ 1,+1, 1 en ,,$ 1,+1,+1 en ,,$ +1, 1, 1 o, ,,$ +1, 1, o, ,,$ +1,+1, 1 o b,,$ +1,+1,+1e o b e o 2 bo 2e oberva-e que o poto da matriz do oeiiente e da matriz etendida ão iguai. Segue-e a matriz etendida ealonada (bata ignorar a última oluna para e ter a outra) k lmnki oj,q K WRlmnK I o K,Q K WGpqlK I o J,K K W t Glmn I o J,Q K WGlmnK I o K,Q K WR pql I o J,K K WGlmnK I o K,Q K W lmn I o K,Q K W pql I o J,K K WGlmnK I o J,Q K W lmn I o J,Q K W lmn I o J,K K W i r Portanto o itema é onitente, endo poível enontrar valore para,,$ que reolvam o itema, porém não e pode enontrá-lo om a retrição de que eam todo poitivo. 4 Conluõe Tanto a Meânia Quântia quanto a Probabilidade, tiveram eu undamento riado no éulo XX, e podem olaborar uma om a outra para a ampliação de oneito, porém deve-e ter o uidado de não introduzir inonitênia, para não aabar reultando em onuõe. 258

6 Quântia. Ao que tudo india, é poível apliar orretamente a teoria etatítia na Meânia Bibliograia [1] BELL, J. S. On the Eintein Podolky Roen paradox. Phyi 1 #3, 195 (1964). [2] MOOD, A. M.; GRAYBILL, F. A.; BOES, D. C. Introdution to the theory o tatiti. 3rd. ed. New York: MGraw-Hill, p [3] MANOUKIAN, E. B. Quantum theory: a wide petrum. Dordreht: Springer, p [4] PITOWSKY, I. Quantum probability: quantum logi. Berlin: Springer-Verlag, p [5] KHRENNIKOV, A. I. U. Contextual approah to quantum ormalim. New York: Springer, p 259

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