Optimização do servomecanismo de um disco rígido

Transcrição

1 Modelação e Simulação 208/9 Trabalho de Laboratório nº 2 Optimização do ervomecanimo de um dico rígido Objectivo Apó realizar ete trabalho, o aluno deverá er capaz de utilizar o SIMULINK para optimizar um funcional de cuto que envolve a reolução duma equação diferencial e avaliar o deempenho de oluçõe ub-óptima. Bibliografia Manuai do MATLAB e SIMULINK (diponívei em pdf na ecção Laboratório da página da diciplina). Elemento a entregar Cada grupo deverá entregar por um relatório ucinto repondendo à quetõe do enunciado. A repota à quetõe de preparação prévia, identificada no enunciado como Em caa, deverão er manucrita e entregue em papel. A parte correpondente à quetõe de imulação deverá er gerada automaticamente atravé da função Publih do MATLAB, e entregue por via electrónica conjuntamente com o ficheiro MATLAB/SIMULINK utilizado. Amba a parte deverão conter um cabeçalho com a identificação do trabalho e a identificação do aluno (número e nome). A repota a cada quetão deverão er identificada pelo eu número. A repota devem er concia.

2 Nota importante: Quer nete trabalho, quer no ubequente, o relatório devem er originai e correponder ao trabalho efetivamente realizado pelo grupo que o ubcreve. Relatório não originai ou correpondente a oftware ou outro elemento copiado terão nota zero, em prejuízo de procedimento diciplinare previto pela Lei Portuguea e de regulamento do Intituto Superior Técnico e da Univeridade de Liboa. Será utilizado o oftware de deteção automática de plágio MOSS, diponível em 2

3 Decrição do problema Nete trabalho etuda-e o poicionamento da cabeça de leitura/ecrita de um dico rígido, avaliando-e etratégia de actuação do braço que a uporta para coneguir um repoicionamento rápido. Fig. Etrutura mecânica dum dico rígido. A figura motra a etrutura mecânica dum dico rígido. A uperfície do dico contém milhare de pita de gravação (track) concêntrica, que ão lida ou ecrita por uma cabeça magnética. A cabeça é uportada por um itema de upenão e tranporte, pairando a muito curta ditância (da ordem de μm) da uperfície do dico em rotação. Um ervomotor movimenta o braço, poicionando a cabeça obre a pita pretendida, endo deejável que eta operação eja precia e rápida. O itema mecânico em etudo conite no ervomotor, braço, e cabeça magnética. A entrada do itema é uma tenão, u, aplicada ao ervomotor, endo a aída, y, a poição radial da cabeça obre o dico. Aproxima-e a dinâmica dete itema por y = u by onde b é uma contante aociada a um termo que modela o efeito do atrito. Em unidade apropriada o módulo da entrada de controlo não pode exceder o valor máximo e toma-e como valor numérico nominal b = 0. O poicionamento da cabeça pode er formulado, de forma canónica, como um problema de actuação que leva o etado do itema duma configuração inicial (em unidade apropriada) y(0) =, y (0) = 0 para y(t) = 0, y (T) = 0, endo deejável que o intervalo T eja o menor poível. O objectivo dete 3

4 trabalho é comparar diferente etratégia para controlo do braço da unidade de dico. O trabalho propoto enfatiza o apecto relacionado com a optimalidade do inal de comando do braço, e com a forma de lidar com o erro de poicionamento. A obtenção duma olução analítica para um problema formal de controlo óptimo não e enquadra no objectivo da diciplina de Modelação e Simulação, adoptando-e aqui uma abordagem baeada em imulação. Trabalho a realizar Conidere inai de controlo u(t) obtido por concatenação de pare de impulo emelhante (figura 2a). Um inal u(t) pode er expreo como uma obrepoição de dua réplica delocada e ecalada (no tempo e em (a) (b) Fig. 2 (a) Etrutura do inai a aplicar ao itema (b) Modelo para o impulo protótipo A olução analítica é dada pela técnica de Controlo Óptimo e etuda-e no 2º ciclo, na diciplina de Controlo em Epaço de Etado. 4

5 amplitude) de impulo protótipo p 0 (t) cujo modelo de geração (conceptual) etá repreentado na figura 2b. O parâmetro 0 β controla a uavidade do flanco do impulo.. (Em caa) Obtenha uma expreão analítica para p 0 (t) 2. Deenvolva uma função para geração do impulo protótipo. Eta recebe como entrada um vector de intante temporai, t, e o parâmetro β. Devolve o valore de p 0 (t) calculado nee intante. 3. Deenvolva uma função para gerar u(t) a partir do protótipo. Eta recebe como entrada a duração total da forma de onda, T, o parâmetro α, o parâmetro β, a amplitude U e U2 e o número de ponto de cada um do impulo, n e n2. Devolve o vector com o intante de tempo (com n+n2- elemento) e u(t). Note que na figura 2a e tem para o primeiro impulo (por exemplo) u 4 (t) = U 4 p : ; =, com μ < 4 =? :. : 4@0 4. (Em caa) Verifique que o protótipo tem área unitária, ou eja, C 8C p 0 (t)dt =. Com bae nete reultado calcule a área de uma verão ecalada em amplitude e no tempo, C 8C Up 0 D E G dt = Uμ. F 5. (Em caa) Quando a entrada u(t) é contante motre que no plano de fae (y, y ) o etado do itema percorre uma trajectória parabólica. A figura 3 ilutra uma etratégia baeada nete reultado que conduz o etado do itema do ponto inicial para a origem em doi pao, por aplicação uceiva de um par de impulo rectangulare com igual duração e amplitude imétrica ± (o que correponde ao cao α =, β = 0). 5

6 Ponto inicial Curva de comutação Fig. 3 Diagrama de comutação com entrada bi-nível imétrica. 6. (Em caa) Dado α e β pretende-e agora determinar o parâmetro U, U2, e T (ou T, T2) para que u(t) conduza o itema da configuração inicial dada y(0) =, y (0) = 0 para a configuração final deejada y(t) = 0, y (T) = 0 em tempo mínimo. Sem recorrer à expreão analítica de p 0 (t) comece por relacionar a amplitude da dua réplica, U e U2, para que C y (T) = u(t)dt = 8C 0. De eguida calcule2 y(t) = y(0) +? y (t)dt J função de U, T, α > 0 e β > 0. Atendendo a que y(t) y(0) =, expree U em função de T. Finalmente, imponha a retrição U 4, U M, para obter o valor mínimo admiível para T em função de α e β. Qual o valor de α que minimiza ee tempo? 7. Simule o itema com entrada compota de acordo com a alínea anterior para 3 pare diferente de α, β, confirmando o reultado analítico. Analie também o comportamento de uma verão perturbada do itema nominal com b = Retomando a etratégia de actuação com impulo rectangulare imétrico ± da figura 3, pretende-e realizá-la uando uma arquitectura de controlo em malha fechada repreentada na figura 4a. Agora, o impulo rectangulare que compõem u(t) não ão gerado a priori, ma im dinamicamente em função da evolução do próprio itema. Nete contexto, em 2 Para ete cálculo é uficiente conhecer a área total do protótipo ecalado (já calculada) atendendo á 7 imetria do flanco de y (t) = u(τ)dτ. J 6

7 ao conjunto do doi ramo de parábola da figura 3 que convergem na origem chama-e curva de comutação. Realizando o ubitema Suby da figura 4a um mapeamento decrito por f(x) = gn(x)x2 x, repreente a função de geração da entrada u(y, y ) (região tracejada no diagrama de bloco) e explique o princípio de funcionamento global da etrutura de controlo 0 Ref In Out Suby Sign Vel Po y (a) 0 Ref In Out Suby K Gain Saturation Vel Po y (b) Fig. 4 Controlo do itema em cadeia fechada (a) Etrutura ideal (b) Etrutura para imulação 9. Realize imulaçõe que ilutrem o funcionamento do itema em malha fechada da figura 4b, verificando a ua equivalência com a etratégia de malha aberta uada anteriormente 3 para impulo rectangulare. Jutifique a caraterítica ocilatória do inal de controlo que obteve em malha fechada apó convergência do etado do itema para a vizinhança da origem. Ete comportamento, conhecido por chattering, é problemático? 0. A figura 5 apreenta uma arquitectura de controlo modificada que evita o chattering na entrada. Em traço gerai ete método altera a curva de 3 Para evitar problema numérico no cálculo da evolução do modelo é aconelhável ubtituir o bloco Sign por uma aturação em ± com uma etreita zona linear. Ito conegue-e ligando um bloco de ganho elevado em cacata com um bloco de aturação em ±. Atenção ao parâmetro dete bloco, que não correpondem ao valore por omião da biblioteca do SIMULINK. 7

8 comutação, epecificando um intervalo ±y Y em torno da origem onde o eu andamento paa a er linear, e atribuindo à curva uma epeura não nula no plano de fae. O mapeamento do ubitema Suby é dado pela expreão f(x) = k 4 k M x, gn(x) _X2 x, k M` e x y Y e x > y Y onde a contante k 4 = /y Y, k M = X2k 4 aeguram que a curva de comutação e a ua derivada ão contínua. Dê um ignificado mai precio a eta decrição umária, repreentando a função de geração da entrada u(y, y ) (região tracejada no diagrama de bloco) para um valor adequado de y Y e explicando o princípio de funcionamento. 0 Ref In Out Suby k2 Gain Saturation Vel Po y Fig. 5 Arquitectura modificada que evita ocilaçõe no inal de controlo.. Implemente ete itema em SIMULINK e compare a evolução do etado e do inal de controlo com o cao do itema báico em cadeia fechada. Quantifique a degradação no tempo de repota e dicuta o eu impacto. Compare também com a repota do itema linear que e obtém retendo apena o ramo uperior da função f(x) definida acima, etendido para todo o x. 2. À emelhança da configuração em cadeia aberta analie o comportamento do itema perturbado com b = Compare com o reultado em cadeia aberta e dicuta a robutez do doi tipo de etrutura. 8

9 3. Simule o itema da figura 5 com referência não nula, aplicando na entrada Ref inai contante por troço e equência de rampa. Comente a fidelidade de eguimento que obteve no doi cao. 9