CAMPOS DE TENSÕES EM ZONAS DE DESCONTINUIDADE

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1 Encontro Nacional Betão Estrutural CAMPOS DE TENSÕES EM ZONAS DE DESCONTINUIDADE MIGUEL S. LOURENÇO Engº Civil JSJ Lisboa JOÃO. ALMEIDA Prof. Associado IST Lisboa SUMÁRIO Apresenta-se uma metodologia geral de selecção e avaliação de modelos de escoras e tirantes baseada em critérios energéticos avaliados através dos campos de tensões. Ilustra-se a aplicação da técnica a diversas situações práticas e comparam-se os resultados com os obtidos em ensaios, referidos na bibliografia e/ou análises de elementos finitos. 1. INTRODUÇÃO Os modelos de escoras e tirantes constituem um método de análise e dimensionamento, verificação da segurança e pormenorização de elementos de betão estrutural. Tratam-se de modelos de equilíbrio, cujo o objectivo é traduzir as trajectórias das cargas no interior da região em estudo. A verificação da segurança ao esforço transverso e torção de zonas onde é válido o principio de Bernoulli (zonas B), baseiam-se integralmente neste conceito. Schlaich et al.[1] em 1987 propõe, uma metodologia geral baseada nos modelos de escoras e tirantes para a análise estrutural de zonas onde o principio de Bernoulli não é válido, denominadas zonas de descontinuidade (zonas D). A variedade de exemplos de aplicação apresentados e a sua validação através da comparação com resultados de ensaios experimentais, efectuadas também por Schlaich[] em 1991, demonstram as potencialidades do método como técnica de dimensionamento de elementos de betão estrutural. Apesar do conceito simples e intuitivo que está na base do método, a sua aplicação prática não se verifica ainda com generalidade. Citam-se duas razões para este relativo insucesso: o estabelecimento de um modelo equilibrado, que traduza a trajectória das cargas, nem sempre é simples de obter, sendo por vezes necessário efectuar diversos modelos que envolvem cálculos morosos; a não unicidade na escolha do modelo de dimensionamento, conduz, por diversas vezes, a dúvidas se o modelo adoptado é o que melhor traduz o comportamento estrutural.

2 Encontro Nacional Betão Estrutural 004 No primeiro caso verifica-se que o aumento da experiência em aplicações práticas e a utilização de processos automáticos de dimensionamento, conduz a uma melhoria significativa da perfomance na concepção dos modelos e na respectiva verificação da segurança. Neste trabalho aborda-se essencialmente a segunda questão, apresentando-se uma metodologia baseada em critérios energéticos, para a selecção e avaliação do modelo adoptado.. MODELOS DE ESCORAS E TIRANTES A utilização de metodologias baseadas em análises elásticas de elementos finitos, conduz, em geral, a dificuldades de interpretação dos resultados obtidos e consequentemente a deficientes pormenorizações de armaduras, além de não simularem correctamente o comportamento estrutural após a fendilhação do betão. Os modelos de escoras e tirantes têm demonstrado elevadas potencialidades na resolução de problemas de betão estrutural dado que, por um lado, permitem a visualização dos campos de tensões no interior do elemento e por outro lado, simulam com eficácia o comportamento da zona em estudo após a fendilhação do betão. Estes modelos, são constituídos por escoras, que representam os campos de compressões no betão e tirantes que representam uma ou várias camadas de armaduras. Existem três tipos de escoras (ver fig. 1): i) prismática, típica de zonas B; ii) leque, simula um campo de compressões onde as tensões de tracção transversais são desprezáveis; iii) garrafa, traduz um campo de compressões com curvaturas localizadas e portanto geram tracções transversais. Para efectuar o modelo de uma determinada zona de descontinuidade, deve-se estabelecer o equilíbrio das forças aplicadas na fronteira da região, que poderão ser forças exteriores ou esforços em secções adjacentes, obtidos da análise corrente de zonas B. A fronteira entre a zona D e a zona B pode, em geral, ser definida com base no princípio de Saint-Venant. Escora em leque Escora prismática Escora em garrafa igura 1: Tipos de escoras O objectivo dos modelos é reproduzir as trajectórias de tensões da zona em estudo, podendo em geral ser-se conduzido a três tipos de modelos: modelos cinemáticos[], onde o equilíbrio apenas é garantido para uma determinada configuração geométrica do modelo. Estes modelos são, por vezes, os que melhor reproduzem as trajectórias das cargas. Lourenço e Almeida [3] apresentaram em 000 uma metodologia para a resolução deste tipo de modelos, com o objectivo da automatização do processo de dimensionamento; modelos isostáticos, típicos de zonas B e também correntemente utilizados em zonas D. São os mais simples de calcular, porém a sua utilização, com o objectivo de evitar os modelos cinemáticos, poderá conduzir a situações que localmente se afastam das condições de compatibilidade; modelos hiperstáticos, em geral resultam da sobreposição de dois modelos possíveis com o objectivo de aproximar o modelo final à solução obtida pela teoria da elasticidade;

3 Encontro Nacional Betão Estrutural Note-se que, Schlaich et al. [] em 1991 refere que para zonas com níveis de esforços muito elevados deve-se tentar que o modelo reproduza o melhor possível as trajectórias elásticas de tensões, de forma a controlar indirectamente o comportamento em serviço. Para níveis de esforços moderados, o modelo poderá eventualmente afastar-se da solução elástica, com o incoveniente de ser necessário um modelo distinto para a previsão do comportamento em serviço. A verificação da segurança reduz-se, no essencial, à verificação dos nós, zonas de intersepção de escoras e/ou tirantes, e à disposição de áreas de armaduras adequadas aos esforços obtidos do modelo. A geometria dos nós e os respectivos critérios de resistência são apresentados na literatura da especialidade [4] e também em documentos com caractér normativo, como o caso do Eurocódigo [5]. 3. CAMPOS DE TENSÕES Zona D Zona B Nos modelos de escoras e tirantes, as compressões e tracções que surgem no interior de um elemento ou região, são, em geral, representadas por linhas, que pretendem simular os centros de gravidade dos respectivos campos de tensões. A definição destes campos restringe-se essencialmente às zonas dos nós do modelo, onde é necessário Zona D Zona B uma análise detalhada do estado de tensão para uma adequada verificação da segurança e são igualmente utilizados na definição da largura de distribuição das armaduras traccionadas. A definição dos campos de tensões em todo o modelo (ver fig. ), permite uma visualização mais igura : Exemplos de campos de tensões intuitiva do comportamento estrutural da região em estudo e, simultaneamente, verificar algumas incorreções do modelo original. Além disso, permite a definição de características mecânicas dos diversos campos de tensões e consequentemente a adopção de critérios energéticos para a selecção e avaliação dos modelos. 4. SELECÇÃO E AVALIAÇÃO DO MODELO DE ESCORAS E TIRANTES A escolha do modelo mais adequado, pode não ser evidente, mesmo para um engenheiro experiente em modelos de escoras e tirantes. Como critério inicial, Schlaich et al.[] propõe uma técnica muito simples e eficaz, que corresponde à minimização dos tirantes, i L i =mínimo, onde i e L i são, respectivamente, a força e comprimento do tirante i. Esta metodologia baseia-se em critérios energéticos, tendo como príncipio que a energia de deformação das escoras seria desprezável em relação à dos tirantes e deve ser aplicada na escolha entre diversos modelos distintos. Em complemento, Shafaer em 1999 [6] refere que, caso as compressões sejam muito importantes seria conveniente considerá-las na determinação

4 Encontro Nacional Betão Estrutural da energia de deformação global dos modelos. Desta forma, propõe-se uma metodologia baseada na minimização da energia de deformação global dos modelos, definindo a geometria das escoras através dos campos de tensões. du, onde U representa a energia de deformação do modelo e X a(s) variável(eis) que se = 0 dx prentendem analisar (por ex.: força interna, geometria, etc). Com base na definição de energia de deformação = 1 U σε dv, resulta, V 1 C L 1 C L A cj U =, para escoras prismáticas, U = ln, para escoras em leque E ca c E c (A cj A ci ) A ci U = 1 T L ou no caso geral 1 U = TLε, para tirantes E sa sm s C, T forças de compressão e tracção, respectivamente. A c área da escora de compressão prismática. A ci, A cj áreas iniciais e finais, respectivamente, das escoras de compressão em leque,. E c, E s módulos de elasticidade do betão e aço, respectivamente. L comprimentos das escoras ou tirantes. ε sm extensão média nas armaduras. Esta técnica revela-se muito eficaz na resolução de modelos hiperstáticos, Além disso, com base na adopção de relações que têm em consideração a contribuição do betão entre fendas para os tirantes, aplica-se a metodologia desenvolvida na simulação do comportamento estrutural de zonas D, após a fendilhação e na rotura. Para ilustração do método proposto elege-se o caso da viga parede, caso típico de zona de descontinuidade, cujo o comportamento foi exaustivamente analisado por Leonhardt et al. [7]. Um dos aspectos interessantes das vigas parede é a sua capacidade de redistribuição dos campos tensões internos, à medida que o nível de carga e fendilhação aumenta. Este comportamento conduz a que a resistência última, para casos de vigas parede altas, possa ser largamente superior à resistência estimada a partir duma análise elástica. Como exemplo, refere-se os ensaios de Leonhardt e Walther [7], cuja carga de rotura obtida do modelo da figura 3a, baseado nas trajectórias de tensões elásticas, é de apenas 40% da capacidade última da viga (=476kN). De facto, o modelo na rotura é o representado na figura 3b, onde se obteve 94% da carga última do ensaio (=1195kN). A previsão do comportamento estrutural da viga parede na rotura só poderia ser devidamente analisada com uma análise fisicamente não linear de elementos finitos. Porém a metodologia proposta, baseada no princípio da minimização da energia de deformação do modelo de escoras e tirantes, fornece uma boa aproximação do comportamento estrutural, permitindo, de uma forma relativamente simples determinar o campo de tensões na rotura. Tendo em consideração o modelo apresentado na fig. 3b, e os respectivos campos de tensões associados (ver fig 4a), é possível estabelecer as características mecânicas das escoras e tirantes de forma a determinar a energia de deformação do sistema. Pretende-se então determinar a relação z/l que minimize a energia de deformação. No que respeita aos tirantes assume-se que a sua rigidez axial resulta da homogeneização da área de armadura e da largura efectiva da betão envolvente, resultante da definição do campo de tensões traccionado. Pela análise do gráfico da fig. 4b verifica-se que, assumindo o comportamento elástico dos materiais, obtém-se

5 Encontro Nacional Betão Estrutural z/l=0.69, semelhante ao resultado obtido pela teoria da elasticidade. Porém, após a fendilhação, verifica-se uma redução de rigidez do tirante inferior e um aumento do braço das forças interiores, que tende a utilizar a secção total da parede. Pela técnica de minimização da energia de deformação, resulta z/l=1.04 valor idêntico ao obtido pelos ensaios experimentais efectuados por Leonhardt e Walther[7] kn 1.44 igura 3a: Modelo de dimensionamento kn kn igura 3b: Modelo na rotura Energia de deformação elástico rotura z h U/Umín L z/l igura 4b: Energia de deformação em função do igura 4a: Campo de tensões braço da força Refere-se ainda que, para a análise do comportamento estrutural da viga parede na fase elástica e na rotura, os resultados obtidos adoptando o tirante a meia altura da parede, simulando a armadura da alma, não diferem significativamente dos obtidos com o modelo simplificado, sem a armadura da alma. Com a mesma metodologia, efectuou-se ainda uma análise incremental, minimizando a energia de deformação em cada passo de carga, onde se avaliou a evolução das tensões nas armaduras na face inferior da viga (ver fig. 5). As relações constitutivas dum tirante de betão armado traccionado baseam-se no proposto no MC90[8]. Observa-se que próximo da carga de rotura do ensaio, =100 kn, se obtém uma tensão de 544MPa (tensão de rotura das

6 k N Encontro Nacional Betão Estrutural armaduras) e 364MPa, nas armaduras na face inferior e na alma, respectivamente. Para uma carga de serviço de cerca de metade da carga última (=600kN), as tensões nas armaduras na face inferior rondam os 300MPa, resultando uma abertura de fendas característica de aproximadamente w k =0.0mm. No que respeita ao braço da força, este varia entre os z/l=0.69 e z/l=1.04 na fase elástica e na rotura, respectivamente, verificando-se um aumento significativo logo após o ínicio da fendilhação do tirante inferior. σ [MPa] Evolução das tensões nos tirantes [kn] igura 5: Tensão no tirante 4.1 Aplicação do Método a Modelos Hiperstáticos Carga concentrada em meio contínuo Na fig. 6 apresenta-se esquematicamente o desenvolvimento das tensões de compressão e tracção numa placa devidas a uma carga concentrada no plano. Pela teoria da elasticidade verifica-se que, no caso da aplicação de uma carga concentrada em meio contínuo (por ex. ancoragem de pré-esforço), surgem tensões de tracção na face anterior da placa de ancoragem cuja resultante corresponde a cerca de 0% da força aplicada. igura 6: Carga em meio contínuo. Tensões elástica / 1/ 1/ O modelo de escoras e tirantes e os respectivos campos de tensões associados, que caracteriza essa zona está representado na fig. 7a. Admitindo a rigidez elástica homogeneizada das armaduras e betão envolvente na zona traccionada, a energia de deformação do modelo é mínima para =0.17 (ver fig. 7b), valor em concordância com o obtido pela teoria da elasticidade. Tendo em consideração os efeitos da fendilhação localizada, verificase que o valor das forças de tracção que se desenvolvem na face anterior pode variar entre os 15% a 5% da força aplicada 4.1. Carga junto ao apoio ou consola curta. U/Umín Energia deformação Cargas em meio contínuo / igura 7a,7b: Campos de tensões. Energia de deformação. / Para o dimensionamento e pormenorização de uma consola curta ou uma carga junto ao apoio, recorre-se, em geral, a um modelo de escoras e tirantes. Porém a utilização de um modelo

7 z Encontro Nacional Betão Estrutural demasiado simplificado, poderá não prevêr correctamente o modo de rotura, conforme Schlaich em 1991[] verificou, com os ensaios efectuados numa consola curta. O MC90 [8], as recomendações da fib de 1999 [4] e outros, estipulam uma relação entre a força que deverá ser suspensa e a que poderá ir directamente para o apoio, em função do vão a e o braço da força z. De facto, as trajectórias de tensões elásticas, representadas na fig. 8, comprovam que, mesmo para uma relação de a/z 1, parte da força não se trasmite directamente ao apoio. a z Com o objectivo de mais uma vez validar a metodologia proposta, minimizou-se a energia de deformação associada aos campos de tensões do modelo de escoras e tirantes, representado na fig. 9a. Estes resultados foram comparados com os obtidos duma análise elástica de elementos finitos e também com a expressão proposta nas recomendações da fib (ver gráfico da fig. 9b). 1 a 1 C1 C M 1 a = 1 3 z T C / Carga junto ao apoio Relação entre / e a/z a/z igura 9a: Campos de tenões igura 9b: Relação entre a carga a suspender e a/z Verifica-se os resultados são idênticos aos indicados na literatura da especialidade e aos obtidos da teoria da elasticiade. Note-se que, σ s w k / [MPa] [mm] neste último caso, as forças de tracção nas armaduras verticais foram determinadas através dos modelos de equilíbrio propostos pelo... MC90[8] (1) A título ilustrativo e para uma relação de a/z=1, avaliou-se o comportamento estrutural da região, tendo em consideração um determinado critério adoptado no dimensionamento ao estado limite último ( /). No quadro apresenta-se resumidamente uma estimativa das tensões nas armaduras (σ s ) e abertura de fendas característica (w k ), para uma carga de serviço de aproximadamente metade da carga ao estado limite último ( sd =1800kN). Verifica-se que para relações / excessivamente baixas ocorre a cedência permatura dos estribos, conduzindo a um deficiente comportamento (1) Cedência das armaduras em em serviço, revelando-se assim essencial a disposição de serviço ( serv= sd/; a/z=1) quantidades de armaduras transversais adequadas igura 8: Carga junto ao apoio. Trajectória de tensões elástica Udef ME MC90

8 Encontro Nacional Betão Estrutural Carga junto ao apoio com pré-esforço No caso de uma carga junto ao apoio com esforço axial, [6] e [8] indicam uma expressão, que relaciona a força que deve ser suspensa com o nível de esforço axial(n). Pela observação da figura 10, verifica-se que a equação proposta conduz a valores de forças de tracção verticais ligeiramente inferiores aos obtidos do ME. / Carga junto ao apoio com esforço axial Comparação ME / MC90 a 1 z = N 3 ME a/z= ME a/z=1.5 MC90 a/z=1.5 ME a/z=1 MC90 a/z=1 MC90 a/z= N/ igura 10: Carga a suspender vs esforço axial. O modelo de escoras e tirantes para este caso está representado na fig. 11, assim como o correspondente campo de tensões. Os resultados obtidos, para a força de tracção vertical, da análise elástica de elementos finitos foram comparados com os obtidos através da minimização da energia de deformação, assumindo que não existe fendilhação (CT elastico ). Para este caso a adopção de uma lei que tenha em consideração a contribuição do betão entre fendas, para os tirantes do modelo (CT fend ), pode conduzir a uma redistribuição de tensões internas mais importante, obtendo-se resultados que poderão diferir dos obtidos da teoria da elasticidade. Esta análise foi efectuada para um nível de compressão médio de 3MPa CONSIDERAÇÕES INAIS Apresenta-se e desenvolve-se uma metodologia, baseada em critérios energéticos, para selecção e avaliação da qualidade dos modelos de dimensionamento e verificação da segurança, de zonas de descontinuidade. Aplica-se o método proposto ao estudo de algumas situações usualmente tratadas com base na aplicação de regras semi-empíricas. Os resultados obtidos, através da minimização da energia de deformação assoaciada aos campos de tensões de modelos de escoras e tirantes, permitem uma clara percepção do problema, quer em termos qualitativos como quantitativos, no que respeita ao comportamento estrutural em serviço e na rotura de zonas de continuidade. 6. REERÊNCIAS [1] Schlaich, J. et al. Toward a Consistent Design of Structural Concrete em PCI Journal, [] Schlaich, J.; Schafer, K. Design and detailing of structural concrete using strut-and-tie models em The Structural Engineer/Volume 69/nº6/19. March [3] Lourenço, M.; Almeida, J. Zonas de descontinuidade. Automatização do processo de dimensionamento, Betão Estrutural 000, Porto, Novembro 000. [4] IP Recommendations fib, Practical design of structural concrete. SETO, London, [5] Eurocode : Design of concrete structures, Part 1, Revised final draft, April 00 [6] Shafer, K. - Structural Concrete, Textbook on behaviour, Design and Performance, Volume 3, pp. 141 a 03, December [7] Leonhardt,.; Walther, R. Wandartig Trager, (Deep Beams), DafStb Heft nº178, Berlin, 1966 [8] CEB-IP Model Code N N1 1 igura 11: Campos de tensões. ME CT elástico MC90 CT fend a/z / / / / T N C M N