DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE SEÇÕES DE VIGAS T EM CONCRETO ARMADO

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1 DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE SEÇÕES DE VIGAS T EM CONCRETO ARMADO ANA BEATRIZ CARVALHO E SILVA UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO UENF CAMPOS DOS GOYTACAZES RJ MAIO 2011

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3 DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE SEÇÕES DE VIGAS T EM CONCRETO ARMADO ANA BEATRIZ CARVALHO E SILVA "Diertação apreentada ao Centro de Ciência e Tecnologia, da Univeridade Etadual do Norte Fluminene Darcy Ribeiro, como parte da exigência para obtenção do título de Metre em Engenharia Civil. Orientador: Prof. Gine Arturo Santo Falcón Co-orientador: Prof. Sergio Lui González Garcia CAMPOS DOS GOYTACAZES RJ MAIO 2011 iii

4 DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE SEÇÕES DE VIGAS T EM CONCRETO ARMADO ANA BEATRIZ CARVALHO E SILVA Aprovada em 06 de maio de Comião Examinadora: "Diertação apreentada ao Centro de Ciência e Tecnologia, da Univeridade Etadual do Norte Fluminene Darcy Ribeiro, como parte da exigência para obtenção do título de Metre em Engenharia Civil. Prof. Joé Herkovit Norman, D.Ing. COPPE/UFRJ Prof. Jean Marie Déir, D.Sc. DECIV/UFRGS Prof. Aldo Durand Farfán, D.Sc. LECIV/UENF Prof. Sergio Lui González Garcia, D.Sc. LECIV/UENF Co-orientador Prof. Gine Arturo Santo Falcón, D.Sc. LECIV/UENF Orientador iv

5 Comece fazendo o que é neceário, depoi o que é poível, e de repente você etará fazendo o impoível. (São Francico de Ai) Ao meu pai, Ao meu avó, Ao meu irmão, A Luca. v

6 AGRADECIMENTOS A Deu por iluminar meu caminho e me dar força para eguir empre em frente. Ao meu orientador, profeor Dr. Gine Arturo Santo Falcon, pela atenção, paciência, dedicação e pela doação de conhecimento fundamentai para o deenvolvimento e evolução dete trabalho. Ao meu co-orientador, profeor Dr. Sergio Lui González Garcia, pela diponibilidade, motivação e direcionamento em momento deciivo. Ao profeore, que participaram da minha formação acadêmica e que contribuíram de alguma forma para minha evolução profiional. Ao amigo, não ó pelo momento de decontração, ma pelo apoio, incentivo e ajuda, memo com tanta atribuiçõe. À FAPERJ, pela conceão da bola de metrado, a qual poibilitou a execução deta diertação. Ao meu pai, Cláudio, por me orientar a fazer a melhore ecolha e à minha mãe, Marilza, por me incentivar e me fazer entender que o etudo é eencial para a vida. Ao meu irmão, Eduardo, que empre me apoiou e me fez acreditar que, com interee pelo conhecimento, nada é impoível. A Luca, pela paciência, incentivo e contribuição para o meu crecimento peoal e acadêmico. A toda minha família que empre acreditou em mim, muita veze, mai do que eu mema. A minha avó Zezé Cota, pelo papel de mãe deempenhado, pela confiança, orgulho e carinho, além da compreenão no momento de afatamento. vi

7 Faça a coia o mai imple que você puder, porém não a mai imple. (Albert Eintein) vii

8 ÍNDICE LISTA DE FIGURAS... x LISTA DE TABELAS... xii LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS...xiv RESUMO...xviii ABSTRACT...xix CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO Introdução Revião Bibliográfica... 5 CAPÍTULO 2 MODELAGEM DO PROBLEMA DE PROJETO ÓTIMO Modelagem do problema da viga Programação Matemática Algoritmo Genético (AG ) CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO COMPORTAMENTO MECÂNICO DA VIGA Etádio Etádio I Etádio II Etádio III Domínio de deformação na ruína Ruptura por deformação plática exceiva Ruptura por encurtamento limite do concreto Seção T verdadeira ou eção retangular Análie da eção T viii

9 Cálculo da deformaçõe da armadura Seção retangular de largura b f e eção T verdadeira Particularidade no cálculo da poição da linha neutra Cálculo do momento reitente da viga CAPÍTULO 4 DIMENSIONAMENTO ÓTIMO Função objetivo Retriçõe de projeto Implementação computacional e aplicaçõe do Algoritmo de Programação Matemática Implementação computacional e aplicaçõe do Algoritmo Genético CAPÍTULO 5 ANÁLISE DOS RESULTADOS OBTIDOS Reultado obtido utilizando Programação Matemática Reultado obtido utilizando Algoritmo Genético Comparação entre Programação Matemática e Algoritmo Genético Influência da reitência do concreto no cuto de fabricação da viga CAPÍTULO 6 CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXO A ANEXO B ANEXO C... Erro! Indicador não definido. ix

10 LISTA DE FIGURAS Figura Diagrama tenão-deformação: (a) aço; (b) concreto Figura Aplicaçõe de viga de concreto armado com eção T: (a) ponte Rio-Niterói (fonte: (b) laje nervurada típica de edificaçõe moderna Figura 2.1 Etapa da olução do equema geral de otimização Figura 2.2 Equema particular de otimização da eção T Figura Etádio I Figura Etádio II Figura Etádio III Figura Diagrama retangular equivalente Figura Domínio 2 (PINHEIRO et al., 2004) Figura Domínio 3 (PINHEIRO et al., 2004) Figura Domínio 4 (PINHEIRO et al., 2004) Figura Divero cao coniderado na análie da eção tranveral da viga Figura Diagrama de tenõe da eção tranveral da viga com comportamento retangular de largura bf Figura Diagrama de tenõe da eção tranveral da viga com eção T verdadeira, endo A A 1 A 2 A 3 e M u M u1 M u2 M u Figura 4.1- Geometria da eção T Figura Valor da função objetivo a cada iteração Figura 4.3 Reultado obtido em função do momento fletor olicitante a partir de Programação Matemática: (a) altura útil; (b) altura da flange; (c) largura da flange; (d) área de aço tracionado; (e) área de aço comprimido; (f) cuto Figura Valor da função objetivo a cada iteração x

11 Figura 4.5 Reultado obtido em função do momento fletor olicitante a partir de Algoritmo Genético: (a) altura útil; (b) altura da flange; (c) largura da flange; (d) área de aço tracionado; (e) área de aço comprimido; (f) cuto Figura 5.1 Comparação da curva de cuto ótimo da viga de eção T obtida por Programação Matemática com o reultado obtido por PINHEIRO et al. (2004) Figura 5.2 Comparação da curva de cuto ótimo da viga de eção T obtida pelo Algoritmo Genético com o reultado obtido por PINHEIRO et al. (2004) Figura Reultado obtido em função do momento fletor olicitante a partir de Programação Matemática e de Algoritmo Genético: (a) altura útil; (b) altura da flange; (c) largura da flange; (d) área de aço tracionado; (e) área de aço comprimido; (f) cuto Figura 5.4 Dado neceário para o cálculo de a Figura 5.5 Influência da reitência do concreto no cuto de fabricação da viga: (a) Programação Matemática; (b) Algoritmo Genético Figura A-1 Ábaco para a determinação da altura útil mínima Figura A-2 Ábaco para a determinação da altura mínima da flange Figura A-3 Ábaco para a determinação da largura mínima da flange Figura A-4 Ábaco para a determinação da área mínima de aço tracionado. 59 Figura A-5 Ábaco para a determinação da área mínima de aço comprimido.60 xi

12 LISTA DE TABELAS Tabela 4.1- Configuraçõe da variávei de projeto Tabela Número de avaliaçõe da função objetivo, valor da função objetivo e da retriçõe a cada iteração Tabela Valore da retriçõe de projeto na configuração ótima Tabela Configuraçõe da variávei de projeto Tabela Número de avaliaçõe da função objetivo, valor da função objetivo e da retriçõe a cada geração Tabela Valore da retriçõe de projeto na configuração ótima Tabela 5.1 Comparação com a dimenõe de referência PINHEIRO et al. (2004) Tabela 5.2 Comparação com o cuto de referência PINHEIRO et al. (2004) Tabela 5.3 Comparação com a dimenõe de referência PINHEIRO et al. (2004) Tabela 5.4 Comparação com o cuto de referência PINHEIRO et al. (2004) Tabela 5.5 Comparação entre Programação Matemática e Algoritmo Genético Tabela 5.6 Valore utilizado no cálculo do diferente valore de a Tabela B.1 - Ábaco para a determinação da dimenõe mínima da eção T (f ck = 20 MPa) Tabela B.2 - Ábaco para a determinação da dimenõe mínima da eção T (f ck = 20 MPa) - continuação Tabela B.3 - Ábaco para a determinação da dimenõe mínima da eção T (fck = 25 MPa) Tabela B.4 - Ábaco para a determinação da dimenõe mínima da eção T (fck = 25 MPa) continuação xii

13 Tabela B.5 - Ábaco para a determinação da dimenõe mínima da eção T (fck = 30 MPa) Tabela B.6 - Ábaco para a determinação da dimenõe mínima da eção T (fck = 30 MPa) continuação Tabela B.7 - Ábaco para a determinação da dimenõe mínima da eção T (fck = 40 MPa) Tabela B.8 - Ábaco para a determinação da dimenõe mínima da eção T (fck = 40 MPa) continuação xiii

14 LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS Abreviatura: AG: Algoritmo Genético. BFGS: Broyden-Fetcher-Goldfarb-Shanno. LN: Linha neutra. PM: Programação Matemática. Ref.: Referência. Símbolo: Letra Romana Maiúcula: A : área de aço tracionado. A : área de aço comprimido. A 1 : área de aço tracionado na eção 1. A 2 : área de aço tracionado na eção 2. A 3 : área de aço tracionado na eção 3. E : módulo de elaticidade do aço. F c : força reultante de tenõe no concreto comprimido. M: momento fletor. M I : momento fletor no etádio I. M II : momento fletor no etádio II. M III : momento fletor no etádio III. M d : momento fletor olicitante. M u : momento fletor reitente da eção T. M u1 : momento fletor reitente da eção 1. xiv

15 M u2 : momento fletor reitente da eção 2. M u3 : momento fletor reitente da eção 3. N: força normal. R cc : força reultante da tenão de compreão no concreto. R ct : força reultante da tenão de tração no concreto. R : força reultante da tenão no aço tracionado. X: vetor que contém a variávei de projeto. X 0 : vetor que contém a configuração inicial da variávei de projeto. Letra Romana Minúcula: a: ditância do centro de gravidade da armadura tracionada até a face mai tracionada da eção tranveral da viga. a máx : ditância máxima do centro de gravidade da armadura tracionada até a face mai tracionada da eção tranveral da viga. a mín : ditância mínima do centro de gravidade da armadura tracionada até a face mai tracionada da eção tranveral da viga. b f : largura da flange da eção T. b w : largura da nervura da eção T. c: cobrimento da armadura. d: altura útil da eção T. f cd : reitência de cálculo à compreão do concreto. f ck : reitência à compreão do concreto. f ct : tenão de ecoamento do concreto tracionado. f(x): função objetivo. xv

16 f yd : tenão de ecoamento do aço. g(x): retrição de deigualdade. gradf(x): gradiente da função objetivo. gradg(x): gradiente da retrição de deigualdade. gradh(x): gradiente da retrição de igualdade. h: altura total da eção T. h f : largura da flange da eção T. h(x): retrição de igualdade. m: número de retriçõe de deigualdade. p: número de retriçõe de igualdade. x: poição da linha neutra. x I : poição da linha neutra no etádio I. x II : poição da linha neutra no etádio II. x III : poição da linha neutra no etádio III. Letra Grega Maiúcula: Fx : omatório de força no eixo x. 2 F x : omatório de força no eixo x na eção 2. 3 F x : omatório de força no eixo x na eção 3. M M 1 : omatório de momento fletore. A 1 : omatório de momento fletore na eção 1 em relação à área de aço tracionado na eção 1. xvi

17 1 M Fc : omatório de momento fletore na eção 1 em relação à reultante de tenõe no concreto comprimido, F c. etr : diâmetro do etribo. etr máx : diâmetro máximo do etribo. etrmín : diâmetro mínimo do etribo. long : diâmetro da armadura longitudinal. etr máx : diâmetro máximo da armadura longitudinal. etrmín : diâmetro mínimo da armadura longitudinal. Letra Grega Minúcula: c : deformação do concreto. cc : deformação à compreão do concreto. ct cu : deformação à tração do concreto. : deformação de ruptura do concreto. : deformação do aço tracionado. ' : deformação do aço comprimido. yd AC : deformação de ecoamento do aço. : relação entra a área de aço total e a área de concreto da eção tranveral da viga T. cc : tenão do concreto comprimido. cd : tenão de projeto do concreto comprimido. ct : tenão do concreto tracionado. xvii

18 RESUMO No último ano, oberva-e o uo cada vez mai freqüente de técnica Programação Matemática e, mai recentemente, o Algoritmo Genético no projeto de etrutura de concreto armado. Nete contexto, eta diertação apreenta uma metodologia para dimenionamento ótimo de viga de concreto armado com eçõe T, ubmetida à flexão imple. No modelo de otimização adotado, buca-e definir viga de cuto de fabricação mínimo para uma dada olicitação externa. Nete trabalho apreenta-e uma comparação do reultado obtido utilizando-e Algoritmo de Programação Matemática e Algoritmo Genético, viando à identificação da técnica numericamente mai eficiente e que proporcione uma maior economia nete tipo de dimenionamento. No projeto ótimo, ão coniderada como variávei de projeto a dimenõe da eção tranveral e a área da armadura na zona de tração e de compreão da viga. São coniderada retriçõe mecânica referente à capacidade reitente da viga e o eu funcionamento no domínio mai eficiente, coniderando a poição ótima da linha neutra e a condiçõe de ruptura de acordo com o materiai empregado. São adotado, também, limite geométrico obre a variávei de projeto decorrente de norma de projeto locai. São etudada a poibilidade de ruína que geram divero cao, modelado com funçõe epecífica para cada um dele. Adicionalmente, foi propota uma metodologia para análie etrutural da eção baeada no etado limite último, que torna poível o cálculo da poição da linha neutra, da tenõe na armadura de tração e de compreão e do momento reitente da eção. Além dio, foi feita uma análie da influência da reitência do concreto no cuto de fabricação da viga. O reultado realizado motram, claramente, a grande vantagem de utilização de ferramenta de otimização etrutural no projeto de viga de concreto armado. Palavra-chave: Otimização Etrutural, Concreto Armado, Viga Reforçada. xviii

19 ABSTRACT In recent year, there i a frequent ue of Mathematical Programming technique and, more recently, Genetic Algorithm reinforced concrete tructure deign. Thi work preent a methodology for optimum deign of reinforced concrete T-beam under bending. In the adopted optimization model, minimum cot of beam i provided for a given external requet. Thi work preent a comparion of reult obtained uing Mathematical Programming Algorithm and Genetic Algorithm, aiming the identification of the mot efficient numerical technique that provide the greatet economy in thi type of deign. In optimal deign, the cro ection dimenion and the area of reinforcement in tenion and compreion zone of the beam are conidered a deign variable. Mechanical contraint are conidered regarding to trength of the beam and it behavior in the more efficient domain, conidering the optimal poition of the neutral line and the condition of rupture according to the ued material. The limit of the geometric dimenion are adopted a deign variable due to local deign tandard. All poibilitie of ruin are tudied that, in the cae of T-ection, generate everal cae, which are modeled with pecific function of each. Additionally, a method wa propoed for tructural analyi of the ection baed on ultimate limit tate, which make poible the calculation of the neutral axi, the tree in the tenion and compreion reinforcement and the reitant moment of the ection. Furthermore, an analyi of the influence of concrete trength in the manufacturing cot of the beam wa made. The achieved reult clearly how the advantage of uing optimization tool in the deign of reinforced concrete beam. Keyword: Structural Optimization, Reinforced Concrete, Reinforced Beam. xix

20 1 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 1.1. Introdução Atualmente, a indútria da contrução civil vem e deenvolvendo aceleradamente. Com relativa freqüência ão divulgada novidade no deenvolvimento de nova metodologia relacionada ao dimenionamento e projeto de viga de concreto armado, bem como nova técnica contrutiva de edificaçõe moderna. Devido à grande quantidade de elemento etruturai utilizado em uma contrução em concreto armado, muita veze de forma ineficiente, a redução do cuto de fabricação de cada um do elemento etruturai repreenta uma economia ignificativa no cuto final da obra. Além dio, a produção em grande ecala de elemento pré-moldado é de grande interee para o mercado da contrução civil, uma vez que eta pode diponibilizar produto de qualidade uperior e de menor cuto. Além dio, abe-e que na contrução em concreto armado, há emprego de grande quantidade de materiai, muita veze deneceária. Aim, o dimenionamento ótimo de elemento etruturai implica na redução de concreto, de aço e de forma, repeitando critério técnico e funcionai, e gera economia na produção dete elemento. O elemento etruturai em concreto armado apreentam um comportamento não-linear devido à aociação do comportamento mecânico do aço e do concreto. Enquanto o concreto reite bem à compreão e é deficiente na tração, o aço complementa o concreto de modo ideal, por pouir uma boa reitência tanto à tração como também à compreão, conforme ilutrado na Figura 1.1, na qual f yd é a tenão de ecoamento do aço, f cd é a reitência à compreão do concreto (valor de cálculo), c concreto, aço. é a deformação do é a deformação do aço e yd, a deformação de ecoamento do No projeto de viga em concreto armado ubmetida à flexão imple, divera configuraçõe ão poívei. No entanto, exite uma onde o doi materiai ão aproveitado ao máximo o aço ecoa e o concreto chega a ua iminente ruptura. A eta configuração dá-e o nome de olução ótima.

21 Portanto, a identificação deta configuração ótima é aunto de grande relevância na Engenharia Civil. 2 (a) (b) Figura Diagrama tenão-deformação: (a) aço; (b) concreto. Além dio, viga com eção T ão elemento cada vez mai utilizado em etrutura como laje maciça e nervurada, galpõe indutriai e viga de ponte. Na Figura 1.2 ão ilutrada dua deta aplicaçõe: a ponte Rio- Niterói e uma laje nervurada típica de edificaçõe moderna. (a) (b) Figura Aplicaçõe de viga de concreto armado com eção T: (a) ponte Rio-Niterói (fonte: (b) laje nervurada típica de edificaçõe moderna. Na contrução civil, como prática contrutiva freqüente, a viga é moldada monoliticamente com a laje e, portanto, a eção da viga contitui, na realidade, uma eção T em vez de uma imple eção retangular. De acordo com a geometria da eção tranveral da viga reforçada e coniderando o eforço interno atuante ao longo da eção, a viga com

22 eção T pode er coniderada mai eficiente que a eção retangular, vito que a eção T reduz a quantidade de concreto na zona tracionada da eção tranveral da viga, onde ete material é ineficiente. A imulação numérica do comportamento mecânico de elemento etruturai e a utilização de técnica matemática no dimenionamento deta peça vêm ao encontro da neceidade de qualidade e de redução de cuto na indútria da contrução civil. Aim, há uma preocupação nete trabalho com o deenvolvimento de ferramenta tanto para análie como também para projeto etrutural. No último ano, divero etudo referente à otimização de peça etruturai de concreto armado foram publicado. Como exemplo, tem-e o trabalho de CHAKRABARTY (1992), SOARES e EL DEBS (1999), RATH et al. (1999). No entanto, a maioria dele é detinada ao etudo de viga com eçõe retangulare e raramente e tratam de viga de eção T. Apó ampla buca na literatura, um do pouco trabalho encontrado foi o de FERREIRA et al. (2003), que apreentaram um modelo de dimenionamento ótimo de viga de eção T, nete cao, coniderando a maximização do momento fletor reitente da viga. O método cláico de otimização baeado em Programação Matemática (PM) partem de uma configuração inicial e, iterativamente, eta olução é melhorada. Uma caracterítica importante deta técnica é que ela convergem rapidamente para a olução ótima, porém, com a devantagem de não garantirem uma olução global o menor valor entre toda a oluçõe poívei - em particular, no cao de problema multimodai, ou eja, quando a curva repreentativa poui vário valore extremo. Por outro lado, o Algoritmo Genético (AG ) método baeado no modelo de reprodução exitente na natureza e no darwinimo como modelo de evolução vêm endo freqüentemente utilizado na última década, vito que poui divera vantagen, dentre ela: aumentam a probabilidade de encontrar uma olução global, endo adequado para trabalhar com problema que apreentam vária oluçõe extrema; trabalham tanto com variávei de projeto contínua ( x ) como dicreta (valore retrito, epecificamente definido) ou uma combinação entre ela; realizam buca imultânea em 3

23 4 vária regiõe do epaço de poívei oluçõe, poi trabalham com uma população e não com um único ponto; não há neceidade de e calcular a derivada da funçõe envolvida no modelo de otimização, o que torna poível a otimização de modelo com funçõe não diferenciávei (SILVA, 2001). Nete contexto, ete trabalho de pequia e deenvolvimento propõe uma metodologia para projeto ótimo de viga de concreto armado com eção T, ubmetida à flexão imple, com a finalidade de minimizar eu cuto de fabricação. Aim, foi deenvolvido um programa computacional para análie etrutural de viga de concreto armado e foram também deenvolvida dua verõe para projeto ótimo, utilizando-e Algoritmo de Programação Matemática e Algoritmo Genético. Um apecto fundamental dete trabalho conite no aprofundado conhecimento do comportamento mecânico da viga reforçada, como também da diponibilidade da moderna ferramenta numérica para projeto etrutural. Na engenharia civil abe-e que, no problema de viga de concreto armado ubmetida à flexão imple, o dimenionamento que apreenta reultado mai econômico é aquele cujo materiai ão aproveitado ao máximo, ou eja, quando o concreto etá na iminência da ruptura e o aço etá em ecoamento, gerando, portanto, uma ruptura com avio prévio a partir de delocamento e fiuraçõe viívei. Aim, o dimenionamento ótimo da eção tranveral da viga é realizado exigindo-e, atravé de retriçõe de projeto, que a poição da linha neutra e encontre próxima a eta fronteira, coniderando que ete é o comportamento mecânico que leva à configuração ótima do problema. Como e abe, para o memo momento fletor atuante, a oluçõe com armadura dupla requerem uma maior área total de aço do que a oluçõe com armadura imple. Aim, a olução de cuto mínimo para o etado deformacional último é obtida com armadura mínima de aço comprimido para efeito etrutural. No proceo de otimização, a cada iteração é feita uma análie etrutural da viga a partir de valore corrente da variávei de projeto a fim de obter a repota mecânica atuante na viga, como valore da tenõe na

24 5 armadura de tração e de compreão, poição da linha neutra e momento reitente último da eção. Como reultado obtido pela metodologia de projeto ótimo propota, podem er definido ábaco que poibilitam o dimenionamento da eção de forma implificada, a partir de algun dado de entrada como momento fletor olicitante, reitência do concreto e reitência do aço. O reultado obtido pelo Algoritmo de Programação Quadrática Seqüencial e pelo Algoritmo Genético foram comparado. Como validação do reultado, foram realizada, também, comparaçõe do doi método de projeto ótimo implementado com o método convencional de dimenionamento. Outro apecto abordado e de grande relevância é a comparação entre a dua técnica de otimização que vêm endo batante empregada no dimenionamento de elemento etruturai. Eta comparação via à identificação da técnica numericamente mai eficiente, para o problema em quetão, que proporcione uma maior economia no dimenionamento de viga T. Nete contexto, ete trabalho compreende o etudo e deenvolvimento de metodologia numérica para o dimenionamento ótimo de viga de concreto armado com eção T, utilizando algoritmo de Programação Matemática e Algoritmo Genético, repeitando a condiçõe de erviço e de ruptura do elemento etrutural Revião Bibliográfica É apreentada a eguir uma vião geral de alguma publicaçõe técnica e científica relacionada a técnica de análie etrutural e de projeto ótimo de etrutura de concreto armado, com atenção epecial para o problema de dimenionamento de viga reforçada. CHAKRABARTY (1992) propô um modelo para minimização de cuto de fabricação de viga de concreto armado de eção retangular com armadura imple. A variávei de projeto foram a área da armadura de tração, a altura efetiva da viga, a largura em relação à altura da viga e a altura do diagrama retangular equivalente de tenõe. No problema de otimização ão coniderada retriçõe de equilíbrio, de momento fletore e da relação entre altura útil e largura da viga. Apó formulação e olução numérica do modelo, o

25 6 autore chegaram à concluão de que o modelo apreentado pode er reolvido por qualquer algoritmo de programação não-linear e que, na maioria do cao, a oluçõe obtida correpondiam a eçõe mai alta - minimizando o problema de deformação - e com uma menor taxa de armadura. MOHARRAMI e GRIERSON (1993) apreentaram um método computacional para otimização de pórtico plano em concreto armado viando à minimização de cuto. O pórtico etudado foram compoto por pilare com eção retangular e viga com eção retangular, T ou L. A variávei de projeto foram a largura e a altura da eção, além da armadura longitudinal, utilizando retriçõe de reitência e rigidez, para viga e pilare. Não foram coniderada a poiçõe da barra de aço, omente que a área da armadura etava concentrada na zona tracionada da viga e ditribuída no quatro canto do pilare. O Critério de Otimalidade utilizado reultou em uma etratégia de otimização iterativa eficiente que, de modo geral, convergiu ao cuto mínimo em relativamente pouca iteraçõe. SOARES e EL DEBS (1999) deenvolveram uma formulação para minimização do cuto da eção tranveral retangular para obtenção do mínimo cuto do vigamento de um pavimento atravé de um método de Aproximaçõe Combinada. O omatório do mínimo locai - minimização do cuto de cada viga - repreenta o mínimo global da grelha. A altura da viga e a área de aço foram a variávei de projeto, mantendo fixa a largura da viga de acordo com o projeto arquitetônico. A taxa geométrica de armadura, a taxa de armadura de compreão em relação à armadura de tração e a flecha máxima foram a retriçõe. Para a comprovação da eficiência do programa, foram apreentado exemplo e comparaçõe com etrutura reai. HASSANAIN e LOOV (1999) utilizaram técnica de Programação Matemática para minimizar o cuto de fabricação de viga pré-moldada com eção I utilizada em ponte. A variávei de projeto foram a força de protenão, excentricidade da carga aplicada, reitência do concreto ao 28 dia e epeura do tabuleiro da ponte. Foram realizada comparaçõe do reultado a partir da variação do número de viga utilizado, da altura da viga e da reitência à compreão do concreto.

26 7 RATH et al. (1999) utilizaram um método de variação da forma de elemento de concreto armado ubmetido à flexão da eguinte forma: apó a otimização de um elemento de eção retangular uniforme, a viga paou a ter uma eção I com altura variávei ao longo do comprimento. A alteraçõe neceária na forma foram definida utilizando técnica de Programação Quadrática Seqüencial e para a determinação do número e diâmetro da barra de aço foi utilizado um Algoritmo Genético. A retriçõe de projeto envolveram limite de momento fletor reitente, de tenõe de cialhamento máxima, deflexão, área mínima de aço e de dimenõe mínima. Conideroue que o cuto da forma é proporcional ao volume de concreto empregado. Aim, a otimização dea peça trouxe uma economia ignificativa para peça pré-fabricada, quando produzida em larga ecala. SILVA (2001) elaborou um programa para minimização de cuto de etrutura de concreto armado utilizando Algoritmo Genético. Para io, realizou um etudo detalhado obre a técnica e, para ua validação, comparou o reultado obtido pelo programa com o reultado obtido da forma convencional. Enquanto que, para o problema de otimização de um trecho de pilar olicitado à flexão compota oblíqua, a retriçõe foram a taxa de armadura mínima e máxima, a condiçõe de equilíbrio e deformaçõe admiívei; para o problema de otimização de um pórtico plano de concreto armado, a retriçõe foram a flecha horizontai e verticai máxima permitida, dimenõe máxima e mínima da eçõe do pilare e viga, epaçamento da armadura, taxa de armadura máxima e mínima e equilíbrio da eçõe tranverai da viga e do pilare. Foi obervada uma economia ignificativa em relação ao cuto obtido pelo método de dimenionamento convencional. HADI (2001) apreentou o dimenionamento ótimo de viga T e L contínua de concreto armado por meio de Algoritmo Genético egundo recomendaçõe da norma autraliana AS 3600 (AS, 1994). O objetivo foi a redução de cuto de fabricação da viga, coniderando o cuto de concreto, da armadura longitudinal e da armadura tranveral. A variávei de projeto da eção T foram a largura da nervura e altura total da eção. Para a eção L, a variávei de projeto foram a altura e a largura da viga, o diâmetro da barra longitudinai e do etribo e o número de barra longitudinai e de etribo.

27 8 A retriçõe foram taxa de armadura mínima, epaçamento mínimo e reitência à flexão e ao cialhamento. Como reultado, o programa apreentou uma economia ignificativa além de uma velocidade de convergência relativamente alta para o cao de viga com eção T. O trabalho de HADI (2001) difere dete trabalho em algun apecto, como na variávei de projeto, no emprego de armadura de cialhamento - vito que o dimenionamento foi feito para viga contínua - além de er baeado na norma autraliana; enquanto que, neta diertação, o dimenionamento é feito para a eção mai olicitada da viga, ou eja, ão coniderada apena a armadura longitudinai da eção e o dimenionamento é baeado na NBR 6118 (ABNT, 2008). FERREIRA et al. (2003) deenvolveram um modelo para otimização de eçõe T de concreto armado ubmetida a momento fletor, que não foi implementado computacionalmente. No modelo de otimização foram coniderado o comportamento não-linear do concreto com a lei da parábolaretângulo para compreão e deprezando a reitência à tração dete material e o comportamento elato-plático do aço. Foram deenvolvida equaçõe de equilíbrio em termo da geometria da eção tranveral e da caracterítica mecânica do aço e do concreto. Por fim, foram comparado o reultado obtido pelo modelo com o reultado obtido pelo método corrente do CEB. Nete trabalho foi deenvolvida uma metodologia que pode er aplicada a outra eçõe. BARROS et al. (2005) apreentaram um modelo para minimização de cuto de viga de eção retangular em concreto armado, com utilização do método do Multiplicadore de Lagrange para identificação analítica da olução ótima. A retriçõe de projeto foram definida em função da equaçõe de equilíbrio. A função objetivo compreende o cuto do concreto, do aço e da forma. Foram deenvolvida expreõe adimenionai para momento fletor, área de aço ótima e relação ótima entre a armadura poitiva e negativa. A otimização do cuto dete etudo foi comparada com a otimização do cuto de outro modelo baeado no ACI 318 (ACI, 1995). VIANNA e EL DEBS (2005) apreentaram o deenvolvimento de um programa para a otimização do pré-dimenionamento de edifício em concreto armado, com emprego do método de Aproximaçõe Combinada, viando à

28 9 utilização dete valore no programa de cálculo de eforço e dimenionamento para verificar e o memo atingem o grau de egurança e economia deejado. O edifício foi repreentado de modo implificado por um pórtico plano. Foi realizada, então, a otimização da eçõe tranverai do elemento - pilare e viga. A função objetivo foi o cuto por unidade de comprimento para cada elemento, eparadamente. A retriçõe de projeto foram baeada na equaçõe de equilíbrio e compatibilidade da eçõe. Como reultado, obervou-e que a eçõe ótima obtida pelo programa pouem dimenõe próxima à eçõe encontrada pelo prédimenionamento convencional. FLORES e RODRÍGUEZ (2010) apreentaram uma metodologia para otimização do cuto de pórtico de concreto armado de edificaçõe ubmetido a carga etática, baeando-e na exigência da ACI 318 (ACI, 2008). Foram coniderado o cuto do concreto, do aço, da forma e da mão-de-obra. A variávei de projeto para a viga de eção retangular foram a largura e a altura da eçõe, além da área da armadura de tração para viga. Para a coluna, também de eção retangular, foram coniderada como variávei de projeto a altura, a largura e a área de aço tracionado e comprimido. A retriçõe foram a reitência à flexão, a taxa de armadura mínima, o limite uperior da área de aço e limite da largura e da altura da eção da viga. Para o cao da coluna, a retriçõe foram a reitência axial, o limite inferior e uperior da área de aço tracionada, a relação entre a largura e a altura da eção, a ebeltez, além de limite da largura e da altura da eção. O reultado foram obtido por meio de Programação Quadrática Seqüencial e foram comparado com o reultado obtido por dimenionamento convencional. Foi obervada uma economia de 11,73% para viga implemente armada e de 31% para coluna curta. MEDEIROS e KRIPKA (2010) deenvolveram um programa a partir do método Simulated Annealing viando à minimização do cuto de viga de pavimento de edifício em concreto armado, coniderando o cuto de concreto, de aço e de forma. A variávei de projeto foram a altura da viga. A armadura longitudinai e tranverai foram dimenionada baeando-e no Etado Limite Último e de Serviço, egundo a NBR 6118 (ABNT, 2008). Foram apreentado algun exemplo para validação do

29 10 reultado. De forma geral, concluiu-e que, quanto maior o número de variávei de projeto, maior a economia reultante e que o método de programação utilizado obteve um bom deempenho. Além dio, foi feito um etudo da influência da reitência do concreto (f ck ) no cuto de fabricação da viga, chegando-e à concluão de que não compena aumentar o f ck a fim de reduzir o ete cuto. Neta diertação foi feita a mema análie, no entanto, utilizando Programação Matemática e Algoritmo Genético, com a finalidade de verificar e ocorre o memo comportamento na utilização dete doi método de otimização.

30 CAPÍTULO 2 MODELAGEM DO PROBLEMA DE PROJETO ÓTIMO Um apecto de grande relevância no proceo contrutivo na engenharia civil é a minimização do cuto de produção do elemento etruturai, principalmente do elemento de maior utilização. Nete entido, o método de otimização ão ferramenta eenciai para auxiliar no projeto ótimo deta etrutura. Aim, uma etapa importante dete trabalho é a identificação do algoritmo de otimização mai apropriado para o dimenionamento de viga de concreto armado com eção T. Deta forma, baeando-e na pequia bibliográfica realizada, foram ecolhido algoritmo de otimização que vêm endo freqüentemente utilizado na última década: Programação Quadrática Seqüencial e Algoritmo Genético Modelagem do problema da viga De forma geral, o problema de minimização de uma dada função objetivo ujeita a retriçõe de igualdade e deigualdade é: minimizar f(x) ; ujeito a g i (X) 0 ; i= 1,...,m e (1) 11 h j (X) = 0; j= 1,...,p No qual f(x), g(x) e h(x) ão funçõe diferenciávei não neceariamente lineare, endo X o vetor que contém a variávei de projeto. f(x) é a função objetivo, g(x) e h(x) a retriçõe de deigualdade e de igualdade, repectivamente; m repreenta o número de retriçõe de deigualdade e p, o número de retriçõe de igualdade. Um valor particular da variávei de projeto define uma configuração do problema. A configuraçõe que atendem a toda a retriçõe de igualdade e de deigualdade definem a região viável do problema. De acordo com ARORA (1989), a olução geral dete modelo egue a etapa de cálculo apreentada na Figura 2.1. De forma prática, ete módulo de cálculo podem er agrupado em apena doi grande módulo computacionai: o módulo de Análie Etrutural e o módulo de Algoritmo de Otimização - como apreentado na Figura 2.2 -

31 uma vez que muito programa de otimização já incluem técnica de Análie de Senibilidade, em geral, utilizando técnica aproximada. 12 Figura 2.1 Etapa da olução do equema geral de otimização. Figura 2.2 Equema particular de otimização da eção T. O equema motrado na Figura 2.2 é o adotado nete trabalho. Inicialmente, viando à implementação do módulo de Análie Etrutural de viga de concreto armado de eção T, foram deenvolvida a formulaçõe para cálculo da equaçõe de equilíbrio de força e de momento e da equaçõe de compatibilidade da deformaçõe, de acordo com o cao de domínio de deformação e do comportamento da eção. O programa deenvolvido permite determinar a poição da linha neutra, a tenõe na armadura de tração e de compreão e o momento reitente da viga.

32 Em eguida, na implementação do módulo otimizador, foram deenvolvido código computacionai para cálculo da função objetivo e da retriçõe de projeto, de acordo com o problema de projeto ótimo em quetão. Poteriormente, foi realizada a implementação computacional do algoritmo de otimização. Nete etudo, foram coniderado doi algoritmo de otimização: Programação Matemática e Algoritmo Genético. Por fim, foram implementada toda a interface neceária para a comunicação de dado entre o módulo computacionai apreentado no equema geral da Figura Programação Matemática O problema definido na Equação (1) pode er reolvido empregando técnica de programação não-linear. No método de programação não-linear, é contruída uma eqüência de oluçõe aproximada ótima a partir de um ponto inicial atravé da regra de recorrência: 13 k X, monotonicamente convergente a uma olução 0 X. A variávei de projeto ão atualizada X k 1 X k t d k (2) Na qual k d é uma direção de buca e t, um ecalar poitivo, calculado convenientemente viando a um decrécimo da função objetivo e à viabilidade da retriçõe de deigualdade (HERSKOVITS, 1995). Geralmente, o algoritmo globalmente convergente definem, a cada ponto, uma direção de buca e procuram por uma configuração melhor neta direção. A condição que determina o decrécimo da função objetivo é: f ( X ) f ( X k 1 k ) (3) O vetor d é uma direção viável dede que contenha um egmento não nulo na região viável. No interior de uma região viável, qualquer direção é viável. No contorno deta região, a direçõe viávei formam um cone chamado cone da direçõe viávei.

33 14 é: A condição que determina a viabilidade da retriçõe de deigualdade k 1 g ( X ) 0 (4) O cálculo do pao t é um ubproblema de buca unidimenional de minimização de f ( X td ) na direção d. Eta buca realiza-e de modo iterativo e o cálculo exato de t é, em geral, dipendioo e lento computacionalmente, dado que, a cada iteração, é neceária a avaliação da função. Deta forma, uualmente, utilizam-e técnica aproximada para ete cálculo. Para cálculo da direção de buca d, o algoritmo de Programação Matemática preciam do cálculo do gradiente da funçõe envolvida e podem convergir em mínimo locai do problema. A matriz Heiana é a egunda derivada da funçõe envolvida no problema de otimização. Se o algoritmo utiliza informaçõe da Heiana deta funçõe para o cálculo da direção de buca, então o problema é de egunda ordem. O cálculo da matriz Heiana também é computacionalmente dipendioo e podem er utilizado cálculo aproximado, endo que ete podem er aprimorado no trancuro do proceo de otimização. Deta forma, a técnica de programação não-linear não ão adequada para problema cuja função repreentativa poui vário valore extremo. Ete tipo de algoritmo pode não chegar a uma olução ótima global, devido ao fato de bucar empre o valor extremo mai próximo, o que pode levar a uma olução apena local (SILVA, 2001). São exemplo de Algoritmo Cláico de Programação Matemática o método de Newton-Raphon, Quae-Newton, Lagrangiano, Ponto Interiore, Programação Quadrática Seqüencial, entre outro. Ultimamente, o método de Programação Quadrática Seqüencial vem endo utilizado com uceo na reolução de problema de engenharia, principalmente, devido a ua implicidade em relação a outro algoritmo, boa velocidade de convergência e abrangência na olução de divero tipo de problema.

34 Algoritmo Genético (AG ) O Algoritmo Genético ão claificado como Algoritmo Evolucionita. Ete algoritmo utilizam algun mecanimo inpirado na natureza e na evolução biológica para aprimoramento de uma configuração inicial qualquer viando à melhor olução poível. Algoritmo como o da Colônia de Formiga e Enxame de Abelha também ão exemplo de técnica evolucionita empregada na olução de problema de engenharia. Dá-e o nome de Otimização por Colônia de Formiga a uma família de algoritmo que egue um memo padrão de funcionamento, emelhante ao de uma colônia de formiga quando etão em buca de comida. A formiga definem gradualmente o caminho mai curto que a levam até o alimento deejado. A ecolha do caminho ótimo é influenciada pela intenidade do ratro deixado pela formiga que ali paaram anteriormente. Já o Algoritmo Enxame de Abelha é baeado no comportamento da abelha também em buca do alimento, que e epalham em um raio de 10 km para que eja explorado um maior número de fonte de comida. O Algoritmo Genético têm motrado reultado atifatório no que diz repeito à otimização de problema de engenharia (YANG e SOH, 2002). Um exemplo de etudo utilizando ete método é o trabalho de SILVA (2001), que envolve minimização de cuto de etrutura de concreto armado. Como reultado, obteve-e uma economia ignificativa no cuto de fabricação da etrutura e o tempo de proceamento foi de aproximadamente 30 minuto. No entanto, ete tempo poderia er reduzido e o computador tivee uma maior velocidade de proceamento. A máquina utilizada na ocaião foi um Pentium II 233 MHz com 128 Mb de memória RAM. É importante lembrar que, da época em que foi apreentado ete etudo até o dia de hoje, houve uma crecente evolução no que diz repeito à velocidade de proceamento e capacidade de armazenamento de dado do computadore. O Algoritmo Genético e baeiam, de forma implificada, no modelo de reprodução exitente na natureza, e no darwinimo como modelo de evolução. A Seleção Natural de Darwin é um proceo pelo qual caracterítica hereditária que contribuem para a obrevivência e reprodução e tornam mai

35 16 comun em uma população, enquanto que caracterítica prejudiciai torname mai rara. Io ocorre porque indivíduo com caracterítica vantajoa têm mai uceo de reprodução, de modo que mai indivíduo na próxima geração herdam eta caracterítica. O algoritmo começa com um conjunto de oluçõe repreentada por cromoomo chamado população. Soluçõe de uma população ão utilizada para formar uma nova população. Aim, é eperado que a nova população, ou eja, a próxima iteração poua caracterítica melhore que a da população anterior. Ete proceo é repetido até que alguma condição eja atifeita. A eguir, erão apreentado algun conceito e definiçõe fundamentai para uma melhor compreenão dete método. Cromoomo É o componente principal de um Algoritmo Genético e repreenta uma olução candidata para o problema. Um cromoomo é compoto de gene, o quai decrevem a olução candidata. Em cada cromoomo exitem gene alelo, que ão gene que ocupam a mema poição (locu) em cromoomo homólogo, ou eja, cromoomo iguai entre i. O gene de um cromoomo podem er compoto por uma tring de bit ou por valore reai. População Um Algoritmo Genético inicia ua execução gerando uma população de cromoomo. Calcula-e, em eguida, o valor de fitne de cada indivíduo (cromoomo) da população e um proceo de eleção do melhore cromoomo (oluçõe candidata) é efetuado. São realizado, então, cruzamento e mutaçõe obre o indivíduo. Um parâmetro muito importante no deenvolvimento do Algoritmo Genético é o tamanho da população. Ete parâmetro indica quanto cromoomo exitem em cada população. Se o tamanho da população é muito grande, maior erá o tempo de proceamento do algoritmo devido ao número exceivo de avaliaçõe. Em

36 17 compenação, maior é a diveridade de olução e ainda previne convergência prematura para olução local ao invé de global. Em contrapartida, uma população pequena pode gerar uma redução no deempenho do algoritmo em função do pequeno epaço de buca (SILVA, 2001). Uualmente, o tamanho da população varia de 10 a 100 cromoomo. Fitne O valor de fitne indica o quanto a olução decrita e aproxima do eperado. Quanto mai próxima da olução, melhor erá o fitne do cromoomo e mai apto ele etará a paar por cruzamento e obreviver na próxima geraçõe. Geraçõe e cruzamento Uma geração compreende a população de cromoomo. Cada iteração do Algoritmo Genético produz uma nova geração. Para iniciar uma nova geração, o algoritmo realiza o proceo de cruzamento, no qual doi cromoomo ão elecionado e têm eu gene miturado para gerar novo indivíduo. Probabilidade ou taxa de cruzamento A probabilidade de cruzamento indica com qual freqüência o cruzamento é realizado. Se não houver probabilidade de cruzamento, toda a nova geração é formada por cópia exata do cromoomo da população antiga, o que não ignifica que a nova geração é a mema. Para valore alto da taxa de cruzamento, novo indivíduo erão introduzido na população de modo mai rápido. No entanto, e ete valore forem exceivamente alto, pode ocorrer perda de indivíduo de alta aptidão. Para valore baixo, há redução na velocidade de convergência. De modo geral, a taxa de cruzamento varia entre 50 e 95%. Mutação Aim como no cruzamento, cada novo indivíduo gerado tem uma chance de ofrer mutação, que pode er implementada de divera forma.

37 18 A mutação tem a intenção de prevenir que toda a oluçõe do problema dea população cheguem a um ponto ótimo local. A operação de mutação muda aleatoriamente a decendência criada pelo cruzamento. Probabilidade ou taxa de mutação A probabilidade de mutação indica com qual freqüência a parte do cromoomo ofrerão mutação. Se não houver probabilidade de ofrer mutação, a decendência é gerada imediatamente apó o cruzamento ou copiada diretamente, em nenhuma alteração. Se a probabilidade de ofrer mutação for de 100%, todo o cromoomo ão alterado. No entanto, a mutação não deve ocorrer com muita freqüência, pelo fato de que o AG poderá e tornar uma buca aleatória. Uualmente, a probabilidade de mutação varia entre 0,1 e 10%. Seleção O cromoomo ão elecionado de uma população para erem o pai de um cruzamento. Para io, exitem divero método para elecionar o melhor cromoomo como, por exemplo, eleção por roleta, eleção Boltzmann, eleção por campeonato, eleção por claificação, eleção por etado etacionário etc. Elitimo Quando uma nova população é gerada por cruzamento e mutação, há uma grande chance de que o melhore cromoomo ejam perdido. O elitimo, então, tem a função de primeiro copiar o indivíduo com melhor valor da função objetivo para a geração eguinte em alteraçõe, garantindo, deta forma, que empre a melhor olução encontrada em qualquer uma da geraçõe erá mantida até o final do proceo. Eta técnica pode aumentar rapidamente o deempenho do algoritmo, porque previne a perda da melhor olução já encontrada.

38 19 Etrutura báica de um Algoritmo Genético A etrutura báica de um AG é decrita a eguir: 1. [Início] Gere uma população com valore de gene alelo aleatório; 2. [Adequação] Avalie a adequação f(x) de cada cromoomo da população; 3. [Nova população] Crie uma nova população por cruzamento repetindo o pao eguinte até que a nova população eteja completa; 1. [Seleção] Selecione de acordo com ua adequação doi cromoomo para erem o pai (quanto melhor a adequação, mai chance de er elecionado); 2. [Cruzamento] Com a probabilidade de cruzamento, cruze o pai para formar a nova geração. Se não realizar o cruzamento, a nova geração erá uma cópia exata do pai; 3. [Mutação] Com a probabilidade de mutação, altere o cromoomo da nova geração no locu (poição no cromoomo); 4. [Aceitação] Subtitua a população atual pela nova população; 4. [Subtitua] Utilize a nova população gerada para a próxima iteração do algoritmo; 5. [Tete] Se a condição final foi atingida, pare e retorne à melhor olução da população atual; 6. [Repita] Vá a para o pao 2.

39 CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO COMPORTAMENTO MECÂNICO DA VIGA Nete capítulo ão etudada a técnica de análie de viga de eção T ubmetida à flexão imple viando ao deenvolvimento de uma nova técnica de análie de acordo com a neceidade do projeto de otimização propoto nete trabalho. Como e abe, a viga ão elemento lineare, vito que a dimenão do comprimento é bem maior que a dimenõe da eção tranveral. Nete elemento, conidera-e que o eforço de flexão ão preponderante em relação ao outro eforço atuante na viga, egundo a NBR 6118 (ABNT, 2008). Inicialmente ão apreentado algun conceito neceário para o deenvolvimento da equaçõe de equilíbrio e de compatibilidade, que erviram como bae para definição do modelo de análie. Em eguida, é definido um algoritmo iterativo para cálculo da repota mecânica da etrutura, coniderando a divera ituaçõe de projeto que podem ocorrer em um proceo iterativo de otimização etrutural Etádio A eção tranveral central da viga de concreto armado, ubmetida a um momento fletor crecente, paa por trê nívei de deformação, denominado etádio, o quai determinam o comportamento da peça até ua ruína Etádio I O etádio I correponde ao início do carregamento. A tenõe normai que urgem ão de baixa intenidade. O concreto conegue, então, reitir à tenõe de tração. O diagrama de tenõe é linear ao longo da eção tranveral da peça e não há fiura viívei. Coniderando que o concreto poui baixa reitência à tração em relação a ua reitência à compreão, não é viável o dimenionamento nete etádio. É nete etádio onde é calculado o momento de fiuração, que determina a armadura mínima neceária para que o concreto não fiure. 20

40 21 Figura Etádio I Etádio II Nete etádio, a tenão de tração no concreto ultrapaa ua reitência caracterítica à tração, levando à formação da primeira fiura de tração no concreto. Admite-e que apena o aço paa a reitir ao eforço de tração, ou eja, a contribuição do concreto tracionado deve er deprezada. A parte comprimida da eção continua apreentando diagrama de tenõe com comportamento linear. Ete etádio erve para a verificação da peça em erviço e termina com o início da platificação do concreto comprimido. Figura Etádio II Etádio III Nete etádio, a zona comprimida etá platificada e o concreto deta região etá na iminência da ruptura.