Modelo matemático para o problema de corte com sobras aproveitáveis

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1 Modelo matemático para o problema de corte com obra aproveitávei Everton Fernande da ilva, Andréa Carla Gonçalve Vianna Depto de Computação, FC, UNEP , Bauru, P evertaum@fc.unep.br vianna@fc.unep.br Adriana Critina Cherri Depto de Matemática, FC, UNEP , Bauru, P adriana@fc.unep.br Carla Taviane ucke da ilva IMECC, UNICAMP , Campina, P carlalucke@gmail.com Marco Arenale ICMC, UP , ão Carlo, P arenale@icmc.up.br Reumo: Nete trabalho apreentamo um etudo obre o problema de corte de etoque unidimenional com obra aproveitávei (PCEA). Geralmente, o PCEA têm como objetivo principal perda mínima com a poibilidade de algun retalho retornarem ao etoque para atender futura demanda. Um modelo matemático é apreentado para reolver o PCEA de modo que corte parciai ão realizado no objeto diponívei em etoque. Com ete corte, retalho podem er gerado e utilizado para atender futura demanda de iten. Tete computacionai foram realizado com problema gerado aleatoriamente e motraram um bom deempenho da etratégia deenvolvida. Todo o etudo apreentado nete trabalho foi orientado para problema unidimenionai, entretanto, o modelo também etá endo utilizado para reolver problema de corte bidimenionai. 1. Introdução O Problema de Corte de Etoque (PCE) conite no corte de um conjunto de objeto diponívei em etoque para atender a demanda de produção de peça menore, em quantidade epecificada, otimizando uma determinada função objetivo. Ete problema aparecem em divero proceo indutriai, em que o objeto correpondem a barra de aço, bobina de papel alumínio, placa de madeira, chapa de vidro e fibra de vidro, peça de couro etc. Um problema pouco etudado e comumente encontrado na prática indutrial conite em determinar uma política de aproveitamento da obra de objeto cortado. Eta obra, dede que não ejam demaiadamente pequena, podem retornar ao etoque como retalho para atender demanda futura e, portanto, não ão coniderada perda, entretanto, ua quantidade deve er limitada. Além dio, o retalho diponívei em etoque devem er utilizado prioritariamente, poi, além do epaço fíico ocupado por ete objeto, dependendo do material cortado, muito dele acabam como ucata e não forem utilizado em um determinado período de tempo, como é o cao de bobina de aço. Ee problema é frequentemente denominado de Problema de Corte de Etoque com obra Aproveitávei (PCEA). O problema de aproveitamento de obra foi citado por Brown 793

2 [2], entretanto, ó mai tarde começaram a aparecer o primeiro trabalho que abordam ete tema. Roodman [8] com o objetivo de minimizar a perda coniderou um problema com vário tipo de objeto em etoque, endo que, apó o proceo de corte, a obra eram etocada para erem utilizada poteriormente. Para coniderar o aproveitamento de obra, cheithauer [9] modificou o problema propoto por Gilmore e Gomory [6] incluindo iten etra ao demandado e em haver demanda para erem atendida. Gradiar et al. [7], com o objetivo de criar um plano de corte unidimenional para diminuir a perda ou então concentrá-la em um único objeto, apreentaram um procedimento heurítico para otimizar o corte de rolo em uma indútria de tecido. Abuabara e Morabito [1] ecreveram modelo matemático para o problema propoto por Gradiar et al. [7]. O PCEA também foi etudado por Cherri et al. [3] em que heurítica bem conhecida da literatura foram modificada, de modo que a obra gerada em cada padrão de corte deveriam er pequena para erem decartada como perda ou uficientemente grande para erem etocada como retalho, o quai eriam utilizado no atendimento de futura demanda. Cui e Yang [5] apreentaram uma etenão do modelo propoto por cheithauer [9]. No modelo matemático de Cui e Yang [5] a quantidade de retalho gerada durante o proceo de corte é limitada e o eu poívei comprimento ão previamente definido. O poívei retalho (definido previamente) também ão coniderado durante o proceo de corte, porém, em demanda para erem atendida. Cherri et al. [4] realizaram alteraçõe no problema propoto por Cherri et al. [3] priorizando o corte de retalho diponívei em etoque. Para verificar o deempenho da etratégia deenvolvida, um gerador de eemplo foi propoto de modo que uceivo problema ão reolvido em um horizonte de tempo. Nete trabalho, para reolver o PCEA, propomo um modelo matemático baeado no modelo de Gilmore e Gomory [6]. No modelo propoto, o padrõe de corte com ou em retalho ão coniderado para um memo tipo de objeto e a quantidade total de retalho gerado é limitada. 2. Definição do problema etudado O problema de otimização combinatória ão muito comun na prática e o avanço tecnológico da última década propiciou o crecente deenvolvimento de aplicaçõe nea área. O PCEA, apear de er recente, apreenta aplicaçõe importante na prática indutrial, como no corte de bobina de papel, aço, equadria metálica, entre outro. O problema etudado conite no corte de um conjunto de objeto diponívei em etoque para atender a demanda de um conjunto de iten de modo a minimizar o deperdício. O objeto diponívei em etoque ão adquirido no mercado (objeto padronizado), ou ão retalho (objeto não padronizado) de proceo de corte anteriore. Novo retalho ão permitido e não ão computado como perda, entretanto, ua quantidade deve er limitada. Obervaçõe: Um objeto padronizado pode er completamente cortado, ou parcialmente cortado para gerar doi novo objeto: um objeto reduzido que erá cortado em iten, e uma obra para er mantida no etoque para futura demanda. Toda obra poui eu comprimento definido previamente. O número total permitido para geração de nova obra é limitado. Dado: : número de tipo de objeto padronizado. Denotamo objeto tipo {1,, }; : número de tipo de retalho. Denotamo { + 1,, + }; : comprimento do objeto tipo, = 1,..., + ; e : número de objeto tipo diponívei em etoque, = 1,..., + ; m: número de tipo de iten demandado; 794

3 l i: comprimento do item tipo i, i = 1,..., m; d i: demanda do item tipo i, i = 1,..., m; J : conjunto de padrõe de corte para o objeto tipo, = 1,..., + ; J (k): conjunto de padrõe de corte para objeto padronizado tipo com retalho tipo k, k = 1,...,, = 1,..., ; a i: número de iten tipo i no padrão de corte j para o objeto tipo, i = 1,..., m; c : cuto de cortar o objeto de acordo com o padrão j {J, = 1,..., + } {J (k), k = 1,...,, = 1,..., }; U: número máimo permitido para novo retalho; Variávei: : número de objeto tipo cortado no padrão j, j {J, = 1,..., + } {J (k), k = 1,...,, = 1,...,}; Modelo matemático Minimizar f() = ujeito a: a 1 jj c 1 k1 jj ( k ) c c (1) i i 1 jj 1 k1 jj ( k ) 1 jj jj a k 1 jj ( k ) jj a i 1 jj i d, i = 1,, m (2) e, = 1,, (3) e, = + 1,, + (4) U 1 k 1 jj ( k ) 1 jj 1 0 e inteiro, j{j, = 1,, + }{J (k), k = 1,,, = 1,, } (6) No modelo (1)-(6) a função objetivo (1) conite em minimizar o cuto de corte do objeto. O fatore ' 1 e " 1 na função objetivo (1) podem er uado para dizer que um novo retalho deve er criado omente e ele for realmente atrativo, ou um retalho antigo deve er cortado independente e ele produz mai perda do que outro objeto cortado. A retrição (2) garante que toda a demanda de iten eja atendida. A retriçõe (3) e (4) ão referente ao etoque de objeto padronizado e retalho. A retrição (5) limita a quantidade de novo retalho gerado durante o proceo de corte. Devido à condiçõe de integralidade, o modelo (1) (6) é difícil de er reolvido na otimalidade. Deta forma, eta condiçõe foram relaada e o modelo (1)-(6) foi reolvido utilizando uma etratégia batante conhecida na literatura que conite em utilizar a técnica de geração de coluna propota por Gilmore e Gomory [6]. O modelo (1)-(6) propoto difere do modelo propoto por Cui e Yang [5]. No modelo de Cui e Yang [5] a principal decião conite em determinar quai iten devem er alocado em quai objeto diponívei em etoque (modelo matemático orientado ao item). No modelo (1)- (6) a principal decião a er tomada conite em determinar a frequência que cada padrão de corte deve er cortado (modelo matemático orientado ao padrão). O procedimento propoto foi implementado na linguagem de programação C++, utilizando alguma biblioteca do oftware CPEX. e (5) 795

4 3. Tete computacionai Para avaliar o deempenho da etratégia propota, tete computacionai foram realizado com problema gerado aletoriamente. Cada eemplo a eguir motra a perda média de 10 problema quando variamo a quantidade de retalho que podem er gerada durante o proceo de corte. Para cada eemplo, é utilizado um tipo de objeto padronizado = O iten ão gerado no intervalo [v 1, v 2], em que v 1 = 0.35 e v 2 = Inicialmente, um vetor v ref com 50 tipo de iten é gerado e, a partir dee vetor, iten ão elecionado. Cada problema poui m + 10 tipo de iten, endo que, o 10 primeiro tipo de iten ão elecionado de v ref (chamado de iten regulare, por terem aída frequente e aparecerem em todo o problema) pouem demanda gerada no intervalo [1,5] e o m tipo de iten retante (chamado de iten não regulare, por terem aída eporádica) pouem demanda gerada no intervalo [5,10]. O comprimento para o retalho foram definido por 200, 300 e 400, ou eja, no objeto padronizado, corte parciai podem er realizado coniderando ete comprimento dede que a perda gerada nete objeto eja menor. A oluçõe conideram a quantidade de retalho permitida U = 0, 1,..., 8. No gráfico a eguir, motramo a porcentagen da perda obtida em 2 eemplo (10 período cada) conforme o valor de U varia no eu intervalo. Para cada eemplo, o tete foram realizado obtendo oluçõe contínua e, portanto, o etoque de objeto padronizado e retalho gerado num período não ão atualizado para o período eguinte. Figura 1: Perda total (Eemplo 1) Figura 2: Perda total (Eemplo 2) Como podemo obervar na figura 1 e 2, a perda gerada é menor quando retalho podem er gerado. No doi eemplo, é poível obervar que quanto maior o número de retalho permitido (valor de U), menor é o valor de porcentagem da perda total. Quando retalho ão coniderado para período futuro, a olução do problema pode er melhor, poi o etoque de objeto (padronizado + retalho) fica com uma maior diveridade 796

5 durante o período. De modo geral, para o doi eemplo de problema, e coniderarmo a perda gerada, o reultado motram claramente que é melhor manter retalho em etoque e aguardar por futura demanda. Também é poível obervar um comportamento emelhante em todo o eemplo eecutado e acrecentarmo um objeto padronizado no etoque. No eemplo 3 e 4 conideramo que o etoque de objeto padronizado poui objeto de tamanho 1 =1000 e objeto de tamanho 2 =900. Figura 3: Perda total (Eemplo 3). Figura 4: Perda total (Eemplo 4) Como eperado, a perda diminuíram, poi, a quantidade de objeto em etoque aumentou, Entretanto, a oluçõe apreentam o memo comportamento que no eemplo anteriore, ou eja, quanto maior o valor de U, menor é o valor da perda gerada. Nete eemplo, o retalho gerado em um problema não ão coniderado como objeto a erem cortado no eemplo poteriore pelo fato de a oluçõe obtida ainda erem contínua. Faz parte da continuidade dete trabalho, invetigar procedimento heurítico que gerem uma olução inteira para o problema em alterar a caracterítica da oluçõe que o memo apreentam. 4. Concluõe Nete trabalho, abordamo o problema de corte de etoque unidimenional com obra aproveitávei (PCEA). Para reolver ete problema, propomo um modelo matemático que foi reolvido utilizando o oftware CPEX. Para coniderar o aproveitamento de obra, corte parciai foram realizado no objeto diponívei em etoque de modo a gerar retalho. Para 797

6 avaliar o deempenho do procedimento propoto, um gerador aleatório de eemplo foi deenvolvido. O reultado obtido motraram, em termo de porcentagem de perda gerada, que quanto maior o número de retalho permitido, menor é a perda. Em todo o tete, foi poível obervar um comportamento uniforme da oluçõe, que até o momento ão contínua. Como continuidade dete trabalho, pretende-e invetigar procedimento heurítico que não alterem o comportamento obervado na oluçõe contínua. Referência [1] A. Abuabara, R. Morabito, Cutting optimization of tructural tube to build agricultural light aircraft. Annal of Operation Reearch, vol. 169, pp , (2009). [2] A. R. Brown, Optimum packing and depletion: the computer in pace and reource uage problem. New York: Macdonald - ondon and American Elevier Inc, pp. 107, (1971). [3] A. C. Cherri, M. N. Arenale, H. H. Yanae, The one dimenional cutting tock problem with uable leftover: A heuritic approach. European Journal of Operational Reearch, vol. 196, pp , (2009). [4] A. C. Cherri, M. N. Arenale, H. H. Yanae, The uable leftover one-dimenional cutting tock problem a priority-in-ue heuritic. International Tranaction in Operational Reearch, vol. 20, pp (2013). [5] Y. Cui, Y. Yang, A heuritic for the one dimenional cutting tock problem with uable leftover. European Journal of Operational Reearch, vol. 204, pp , (2010). [6] P. C. Gilmore, R. E. Gomory, A linear programming approach to the cutting tock problem - Part II. Operation Reearch, vol. 11, pp , (1963). [7] M. Gradiar, J. Jeenko, C. Reinovic, Optimization of roll cutting in clothing indutry. Computer & Operational Reearch, vol. 10, pp , (1997). [8] G. M. Roodman, Near-optimal olution to one-dimenional cutting tock problem. Computer and Operation Reearch, vol. 13, pp , (1986). [9] G. cheithauer, A note on handling reidual length. Optimization, vol. 22, pp , (1991). 798