SINCRONIZAÇÃO DE SISTEMA CAÓTICO

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1 SINCRONIZAÇÃO DE SISTEMA CAÓTICO Leiliane Borge Cunha Univeridade Federal do Pará-UFPA, Faculdade de Engenharia Elétrica - FEE Rua Auguto Corrêa, 0, Guamá , Belém - Pará Bruno Igor Dia de Soua igordia5@hotmail.com Joé Auguto Lima BarreiroS barreiro@ufpa.br Reumo: A contrução dete trabalho objetiva analiar técnica de projeto de controladore com domínio no epaço de etado coincidente com o de atratore caótico, e técnica de modo a forçá-lo a entrarem em comportamento pré-epecificado. O controle do cao pode er compreendido como a utilização de pequena perturbaçõe para a etabilização de orbita periódica intávei, imera em um atrator caótico. Tendo em vita que o cao pode ocorrer em vário proceo naturai, a idéia de o comportamento caótico er controlado atravé de pequena perturbaçõe de certo parâmetro fíico, permite que ete tipo de comportamento eja deejável em divera aplicaçõe. Com bae nea literatura, fez-e um etudo do incronimo de um itema caótico unificado, atravé de doi itema (metreecravo), que com o auxilio do oftware MATLAB, foi poível imulá-lo e obter repota temporai e o epaço de fae da variávei que regem cada equação. Com io, verificou-e que, com a variação do parâmetro de controle ecolhido para o itema, o memo adquire comportamento diferente para cada valor fornecido, ou eja, para un valore, o itema apreenta comportamento caótico, caracterizando a não linearidade do itema e para outro, periodicidade. Palavra-chave: Sitema Não-Lineare, Cao, Sincronização, criptografia.. INTRODUÇÃO A exitência de itema dinâmico, intrinecamente determinítico com comportamento caótico já havia ido obervada no início do éculo paado por Henri Poincaré, que abandonou o aunto por coniderá-lo apena uma curioidade matemática. A teoria do cao, aim batizada, começou formalmente no ano de 955, quando um cientita do departamento de meteorologia do Boton Tech, atualmente conhecido como M.I.T. (Intituto de Tecnologia de Maachuett), chamado Eduard Norton Lorenz, herdou a direção de um projeto de pequia cujo etudo e concentrava na previão etatítica do tempo. O trabalho do meteorologita e limitava a determinar o valore deta contante a, b, c e o preditore elemento climático que multiplicam a contante. Lorenz, não atifeito com o reultado de previõe inóptica e numérica obtido com equaçõe de caráter linear, propô utilizar

2 previõe a partir de itema de equaçõe não lineare, ito é bem razoável pelo fato que a linearidade perfeita faz com que cada variável empre auma o memo valore apreentado no ciclo anterior. Tal modelo tinha como objetivo reproduzir o movimento da corrente de ar na atmofera. Ao repetir algun cálculo em eu modelo, Lorenz percebeu que o novo reultado de ua imulação não e pareciam com o obtido anteriormente, endo inicialmente iguai e diferindo apó algum tempo. Fiicamente, ete reultado poderia er interpretado como endo a condiçõe climática que, primeiramente, comportavam-e de forma emelhante à imulação anterior, dia apó urgiam pequena diferença, depoi diferença cada vez maiore até que, emana depoi, a caracterítica climática eram totalmente diferente da caracterítica da imulação anterior. Entretanto, a concluão de Lorenz foi que o número uado não eram exatamente o memo, poi etavam arredondado, e a eta pequena diferença, cauada pela aproximação, embora irriória no início, foi de maneira tão inciiva e avolumando até que mudae totalmente o reultado final. Tal fenômeno foi denominado de cao. Com a proliferação de artigo envolvendo o controle, incronização e a criptografia de divero itema caótico, começou-e a vilumbrar divera aplicaçõe prática para ete intereante campo de pequia, hoje conhecido como controle de cao. Na engenharia, ua aplicaçõe ão inúmera, envolvendo a engenharia eletrônica de ociladore, a engenharia de controle de motore uando técnica não-lineare, a engenharia de telecomunicaçõe, envolvendo técnica de criptografia de inai e imagen, técnica de modulação e demodulação de inai, equalização de canai, etc. também há aplicaçõe em outra área da engenharia, e memo em outra área da ciência, como a biologia, onde abundam análie de inai não-lineare proveniente do ere vivo (relógio ou ociladore biológico), quer ejam de origem endógena, ou por repota a etímulo. Nee entido, buca-e realizaçõe, por imulaçõe, da modelagem matemática de itema caótico, bem como no proceo de criptografia na tranmião digital de inai.. CARACTERIZAÇÃO DA DINÂMICA CAÓTICA A dinâmica caótica apreenta conceito relativo a itema dinâmico não lineare, mai preciamente obre cao, tai como dependência enível à condiçõe iniciai, conjugação de mapa, aleatoriedade e atratore etranho... Dependência enível à condiçõe iniciai Um itema dinâmico apreenta dependência enível à condiçõe iniciai quando o inal gerado pelo itema com condiçõe iniciai ligeiramente diferente apreenta valore completamente ditinto do inal anterior, apó alguma iteraçõe, e ua repota tende a apreentar um comportamento totalmente aleatório e órbita caótica, ou eja, e torna totalmente aperiódico e impreviível..2. Sinai caótico Informalmente, um inal caótico é determinítico, aperiódico e apreenta dependência enível a condiçõe iniciai. Orbita com dependência enível a condiçõe iniciai pouem impreviibilidade na evolução temporal, portanto, é impoível determinar com exatidão a trajetória de uma condição inicial próxima a uma órbita com dependência enível a

3 condiçõe iniciai, memo realizando tal análie logo apó alguma iteraçõe. É difícil determinar com exatidão a condição inicial de uma órbita, por io, quando e trabalha com inai caótico deve-e coniderar eta incerteza..3. Atratore etranho Um do conceito mai fundamentai no etudo da teoria do cao é o atrator. Um atrator é um conjunto de itema dinâmico de condição etável. Algun atratore ão imple ponto, outro ão objeto de geometria complexa. O atratore podem er dividido em doi grupo: não caótico ou caótico. O atratore não caótico ão previívei e de trajetória regular. O atratore caótico ou atratore etranho aparecem apena apó o começo do cao. Em relação ao efeito que produzem, ete atratore revelam-e extremamente enívei à mai ligeira variaçõe verificada na condiçõe iniciai do eu deenvolvimento, à medida que a iteraçõe vão ocorrendo ao longo do tempo, aim e vai deenvolvendo certo padrão de deordem. 2. CRIPTOGRAFIA E SINCRONIZAÇÃO DO SISTEMA CAÓTICO UNIFICADO Um do aunto batante abordado na atualidade é o incronimo e a criptografia de itema caótico, poi ee doi proceo etão endo aplicado em grande ecala em proceo de comunicaçõe, principalmente, quando e detecta preença de ruído. 2.. Criptografia A criptografia é arte de codificar menagen garantindo o igilo da informaçõe. Além do uo militar, a criptografia deempenha um importante papel na tecnologia moderna, garantindo a egurança da tranaçõe comerciai na internet e a privacidade do dado do computadore moderno. Atualmente o principai algoritmo de criptografia e baeiam em algoritmo imétrico, no quai a vária operaçõe bit a bit e permutaçõe entre o elemento vizinho de um texto e a palavra chave codificam a menagen e algoritmo aimétrico, que tem como bae a teoria do número. Um problema dete algoritmo é a facilidade para quebrar ua cifra. Como uma alternativa para ofiticar o algoritmo de criptografia e aumentar ua egurança é a exploração de método baeado em itema caótico. A teoria do cao para a fíica e a matemática é a hipótee que explica o funcionamento de itema complexo e dinâmico, o quai apreentam grande intabilidade na condiçõe iniciai, produzindo reultado para cada configuração inicial. Ete trabalho apreenta um algoritmo de criptografia de dado baeado no itema caótico do Atrator de Lorenz. A criptografia embaralha letra, número e ímbolo para codificar texto e omente peoa autorizada podem decodificar e recuperar o texto original. Tradicionalmente, a criptografia utiliza operaçõe lógica ou aritmética imple para o embaralhamento. No entanto, hoje em dia boa parte do algoritmo aplicado na criptografia já foram quebrado e ee duelo entre código etabelecido e o que tentam quebrá-lo dura mai de doi mil ano, tanto que a criptografia foi amplamente uada em operaçõe militare, muita batalha e memo guerra, foram vencida ou perdida pelo uceo ou fracao da criptografia. Pequia envolvendo a criptografia em itema caótico já foram objeto de etudo e, na última década, algoritmo de criptografia baeado na teoria do cao foram criado. Entretanto, ee algoritmo apreentavam evera limitaçõe, tornando-o ineguro e demaiadamente lento para aplicaçõe comerciai. Ma, a combinação feita entre a

4 criptografia tradicional e itema caótico permitiu melhoria na egurança e maior velocidade. A teoria do cao explica o comportamento aparentemente errático e impreviível de determinado itema naturai. Ee itema ão não-lineare e eu comportamento depende fortemente de como ão inicializado. No itema caótico, pequena diferença ão fortemente amplificada. Ito é bem ilutrado pela corrente de ar atmoférica, onde o bater de aa de uma borboleta em São Paulo pode produzir uma nevaca em mocou - o chamado efeito borboleta Criptografia caótica O itema caótico produz uma eqüência de número peudo-aleatório, e e o parâmetro iniciai do itema caótico forem exatamente o memo, a eqüência erá empre a mema. Na criptografia caótica, utilizada por muito pequiadore braileiro, eta eqüência ão utilizada para embaralhar a menagen. A técnica de criptografia conitem em tranformar um arquivo ou documento em um formato que embora preerve a informação, eja inteligível (criptografada). Na tranformação invera, o arquivo ou documento retornar a ua forma original e para garantir que a tranformação invera eja realizada omente por alguém autorizado, é utilizada chave e enha na tranformaçõe. A teoria do cao para a fíica e a matemática é a hipótee que explica o funcionamento de itema complexo e dinâmico. Em itema dinâmico complexo, determinado reultado podem er intávei no que diz repeito à evolução temporal como função de eu parâmetro e variávei. Ete itema exitem com relativa abundância em problema fíico e químico, e ão governado por equaçõe relativamente imple (de fácil implementação computacional). Pela intabilidade que o itema poui, onde uma mínima variação na condiçõe iniciai produz reultado completamente diferente (reultando numa impreviibilidade do itema) torna-e intereante Sincronização do itema caótico unificado A incronização de cao aplicada à comunicação tem ido objeto de inteno etudo em divero paíe. A idéia de utilizar a incronização de cao para tranportar informaçõe jutifica-e por dua razõe principai. Por um lado, porque itema caótico pouem vária caracterítica deejávei do ponto de vita criptográfico: periodicidade, enibilidade à condiçõe iniciai, complexidade e dinâmica determinítica. Io ignifica que, além de tranportar informaçõe (como inai periódico fazem), o inal caótico é potencialmente um método de criptografar. Com bae nio, foi propoto um itema criptográfico particularmente intereante, baeado num itema caótico unificado, que etuda a previão do tempo atravé do comportamento da atmofera, que faz uma ponte entre o itema de Lorenz, o itema de Lu e o itema de Chen, atravé da incluão de um parâmetro α que varia de 0<α<, que foi utilizado como a chave do itema criptográfico. Em geral, para qualquer valor de α nete intervalo, o itema unificado apreenta comportamento caótico. Logo, a equaçõe do itema caótico unificado da Equação () ão motrada abaixo, onde x, y e z repreentam, repectivamente, o fluxo convectivo, a ditribuição de temperatura horizontal e a ditribuição de temperatura vertical e, r e b, que repreentam o parâmetro

5 que intervêm na equaçõe, ão, repectivamente, a relação entre a vicoidade e a condutividade térmica, a diferença de temperatura entre o lado inferior e uperior e a relação entre a altura e a largura do retângulo. Lembrando que, para ee tipo de itema unificado, o parâmetro citado foram mantido contante, variando-e omente o parâmetro α, que é o parâmetro que caracteriza o itema unificado (Lorenz, Lu e Chen). { () Verificação do incronimo O itema caótico uado para a verificação de incronimo foi o Sitema de Lorenz, ou eja, coniderou-e α=0. Em eguida, variaram-e omente a condiçõe iniciai, criando, aim, outro itema idêntico. A ete doi itema chamou-e de itema MESTRE/ESCRAVO, que ão a Equação (2) e Equação (3), repectivamente, como motra a equaçõe abaixo: { (2) { (3) Simulação Tabela - Parâmetro de imulação do itema unificado r=28 b=8/3 =0 α=0 U=0 U2=0 U3=0

6 x,y x,y ((25*alfa)+0)*(u[2]-u[]) dx/dt -u[]*u[3]+(28-(35*alfa))*u[]+((29*alfa)-)*u[2] dx2/dt u[]*u[2]-((alfa+8)/3)*u[3] dx3/dt Integrator Integrator 2 Integrator 3 metre x,y z x, y x2,y2 ((25*alfa)+0)*(u[2]-u[])+U*(u[]-u[3]) dy/dt Integrator 4 z2 x2, y2 -u[]*u[3]+(28-(35*alfa))*u[]+((29*alfa)-)*u[2]+u2*(u[2]-u[4]) dy2/dt Integrator 5 u[]*u[2]-((alfa+b)/3)*u[3]-u3 dy3/dt Integrator 6 ecravo x3,y3 z3 Figura - Diagrama de bloco do itema unificado x3, y metre ecravo t Figura 2- Gráfico de x,y (metre/ecravo) metre ecravo t Figura 3- Gráfico de x2,y2 (metre/ecravo)

7 x2,y2 x,y A Figura 2 e a Figura 3 motram o comportamento de doi itema caótico unificado idêntico com condiçõe iniciai diferente, em a utilização de acoplamento ou controle. E como pode er verificada, a alteração da condiçõe iniciai do itema, em a aplicação de qualquer controle ecalar e mantendo o retante do parâmetro contante, ocorre uma mudança no comportamento do memo, e ea mudança exemplifica uma da caracterítica do cao, que é a enibilidade à condiçõe iniciai. Oberva-e, também, que o doi itema idêntico não entram em incronimo. Logo, torna-e neceário a preença de um acoplamento ou controle ecalar, para poibilitar a incronização do memo. Com io, com o controle ecalar U, U2 e U3, foi poível colocar o itema MESTRE/ESCRAVO em incronimo, admitindo a mema condiçõe iniciai. Como motra o reultado computacionai abaixo Sincronimo do itema caótico unificado Tabela 2- Parâmetro de imulação do itema unificado incronizado r=28 b=8/3 =0 α=0 U= U2= U3= metre ecravo t Figura 4-Gráfico de x,y(metre/ecravo) metre ecravo t Figura 5 - Gráfico de x2,y2(metre/ecravo)

8 Figura 6 - Atrator de Lorenz, α=0 A Tabela 2 foi uada para fazer a imulação da incronização do itema, com o memo diagrama de bloco da Figura. A Figura 4 e a Figura 5 motram o reultado da imulação do itema via controle ecalar. A Figura 5 motra o fenômeno conhecido como efeito borboleta e o atratore etranho. Com ee reultado, verifica-e a incronização do itema unificado, quando e admite valore não nulo para a variávei de controle ecalar Criptografia do itema caótico unificado: A técnica utilizada para atender à demanda por egurança e privacidade é a criptografia. O objetivo é tranmitir a informaçõe de uma maneira que omente o detinatário poa compreender, obtendo-e egurança da tranmiõe de dado. Aim, a menagem ditribuída em um canal de comunicação público paa a er não inteligível ao uuário para o quai a mema não foi endereçada ou autorizada. Nete cao, o tranmior reponável pela criptografia deve gerar uma palavra (conjunto de bit) ecreta, conhecida como chave. Atravé de um algoritmo de criptografia, a chave é uada para embaralhar o texto a er enviado, endo a menagem criptografada reultante conhecida como criptograma. Para a recuperação da menagem original, no receptor, faz-e neceária a utilização da mema chave, endo a menagem praticamente inviolável para quem não pouí-la. Portanto, uma vez que a chave tenha ido ecolhida no tranmior, ela deve er tranmitida ao receptor. Logo, erá deenvolvido um modelo de encriptação que dá uo à impreviibilidade explícita na moderna Teoria do Cao, um modelo não-linear que explica o funcionamento de itema complexo e dinâmico, que terá como bae o itema caótico unificado, como motra o conjunto de equaçõe abaixo. { (4)

9 { (5) Com a Equação (4) (tranmior) e a Equação (5) (receptor), erá feita uma aplicação da incronização e da criptografia de itema caótico em comunicação. O proceo conite em dua etapa ditinta: a incronização do ociladore e a tranferência do inal caótico que carrega a menagem. Na equaçõe citada, m é a menagem, A é uma contante, que tem o objetivo de diminuir a amplitude da menagem em relação ao inal caótico, α é um parâmetro, e U, U2, e U3 ão inai de controle. Na primeira etapa, o itema tranmior e receptor ão incronizado na forma metre/ecravo (item 3.3.2), onde o itema receptor é controlado e ua trajetória é levada à do itema tranmior, de forma que o erro entre a trajetória eja levado a zero. Na egunda etapa, inicia-e com o tranmior, o proceo de encriptação e tranmião do inal, que é recebido e decriptado na quarta equação do receptor. No contexto da criptografia, o parâmetro α trabalha como a chave do itema, cuja etrutura é pública. Dea forma, o epaço da chave é o intervalo [0, ]. Para decifrar a menagem econdida, é neceário incronizar emior e receptor do inal caótico. Uma vez obtida ea incronização, pretende-e fazer o proceo de criptografia do memo itema dinâmico, no cao o itema caótico unificado. No geral, quando e gera a tranmião de inai caótico, falta o eencial: camuflar a menagem que e quer enviar. Além do mai, emior e receptor têm de er itema caótico emelhante, endo que, nete cao, ambo têm de etar a gerar inai caótico, e de forma independente. O que e faz, em eguida, é adicionar a menagem ao emior, quer ito dizer, a menagem vai er embebida na onda portadora caótica. Qualquer utilizador externo não autorizado detectará apena ruído, porque o cao tem caracterítica emelhante ao ruído. Para o receptor extrair a menagem enviada, injeta-e parte do cao no receptor, de modo a que emior e receptor fiquem incronizado. A incronização faz que o emior e o receptor gerem o memo inal caótico. 3. CONSIDERAÇÕES FINAIS: A pequia bibliográfica e a implementaçõe de itema, a nível de imulação, vem contribuindo batante na olidificação e utentação do poterior deenvolvimento dete trabalho. Vito que, o trabalho propoto teve o objetivo de fazer um etudo obre o itema caótico e ua aplicaçõe em itema dinâmico e complexo não lineare, com parâmetro variávei. Ito fora alcançado atravé da imulaçõe feita com o recuro do SIMULINK e MATLAB apreentada nete trabalho. Enfatizou-e peculiaridade no itema etudado, obervando comportamento caótico e ua caracterítica, como a preença de atratore, a preença de incronimo quando adicionado um controle ecalar. Atravé da aplicação do controle ecalar, obtivemo a incronização do itema caótico unificado. Nee cao, a incronização ocorreu de maneira rápida e eficiente.

10 Foi confirmado, também, por meio da imulaçõe o que prega a teoria, que variando a condiçõe iniciai que regem cada equação do itema etudado, o memo vai perdendo a etabilidade e paando a ocilar cujo comportamento é de grande interee na Engenharia. Etudo baeado no proceo de encriptação revelaram que, tanto a imagem quanto o texto encriptado tornam-e ininteligívei apó o proceo de incronimo e encriptação, endo recuperado com aboluta perfeição no receptor. Em trabalho futuro pretende-e aumentar o nível de egurança do algoritmo atravé da utilização de parâmetro α variável, uando a criptografia 4. AGRADECIMENTOS Ao orientador Profeor Joé A. L. Barreiro pelo apoio e orientação na elaboração deta pequia. Ao Laboratório de Controle (LACUS) da Faculdade de Engenharia Elétrica da Univeridade Federal do Pará (UFPA) pelo fornecimento do epaço para o deenvolvimento deta pequia. Ao CNPQ (Conelho Nacional de Deenvolvimento Cientifico e tecnológico) que financiou eta pequia. 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: Z. Cao and Z. Zheng, The chao of nonlinear moving ytem for the ynchronou motor, in Proc. China Society Electronic Engineering, vol. 8, May 998, pp Z. Li and J. B. Park et al., Bifurcation and chao in a permanent-magnet ynchronou motor, IEEE Tran. Circuit Syt. I, Fundam. Theory Appl., vol. 49, no. 3, pp , Mar Z.Li, B.Zhang and Z.Y.Mao, Strange Attractor in Permanent-magnet Synchronou Motor, Proc. Of the IEEE 999 International Conference on Power - Electronic and Drive Sytem, PEDS 99. Hong Kong. pp SYNCHRONIZATION OF CHAOTIC SYSTEM Abtract: The contruction of thi paper objective to analyze technical controller deign with domain in tate pace coincident with thoe chaotic attractor and technique in order to force them to enter into pre-pecified behavior. The control of chao can be undertood a the ue of mall perturbation to tabilize untable periodic orbit, immered in a chaotic attractor. Given that the chao can occur in many natural procee, the idea of chaotic behavior i controlled by mall perturbation of certain phyical parameter, allow thi type of behavior i deirable in many application. Baed on thi literature, wa made a tudy of

11 the ynchronim of a unified chaotic ytem, through of two ytem (mater-lave), who with the help of MATLAB oftware, it wa poible to imulate them and to obtain time anwer and the phae pace of variable that governing each equation. Thu, wa found that, with the variation of control parameter choen for the ytem, the ame acquire different behavior for each given value, in other word for ome value, the ytem ha chaotic behavior, characterizing the nonlinearity of ytem and for other, periodicity. Key-word: Nonlinear ytem, Chao, Synchronization, Cryptography.