OTIMIZAÇÃO DE COLETORES SOLARES VIA ALGORITMOS GENÉTICOS

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1 DEM DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA OTIMIZAÇÃO DE COLETORES SOLARES VIA ALGORITMOS GENÉTICOS Diego Rodrigue de Carvalho¹, Wahington Braga Filho². ¹Aluno de Graduação do curo de dupla habilitação em Engenharia Mecânica e Produção da PUC-Rio. ²Eng. Mecânico, Ph. D., Profeor Aociado do Departamento de Engenharia Mecânica da PUC-Rio.

2 1. INTRODUÇÃO Coletore olare ão equipamento utilizado para a coleta de energia olar. Embora apreentem divera configuraçõe, um modelo imple é contituído por painéi (ou placa) plano, que captam o calor do ol, e por tubo, por onde um fluido é bombeado e aquecido. O coletore ão intalado geralmente obre telhado ou em uporte obre laje. São fabricado em ua maioria com uma etrutura externa de alumínio, tubo de cobre, vidro lio e vedação em borracha de ilicone. O modelo fíico da placa olare coletora é eencialmente o memo da uperfície etendida (ou aleta), envolvendo Condução de Calor, Convecção e Radiação. Naturalmente, a preença da Radiação Solar altera o balanço de energia e com ito, energia é coletada pela placa e conduzida à parede do tubo coletor, ao invé de er conduzida deta para o meio ambiente como ocorre na aleta diipadora de energia. Da mema forma que o modelo mai imple de aleta, o modelo normalmente empregado no etudo da otimização de coletore deprezam a perda Radiativa para o ambiente. É fácil obervar que um modelo mai ofiticado de uma uperfície etendida, que leve em conta a perda para o ambiente Convectivo-Radiativo, terá temperatura média inferior, aumentando o gradiente térmico junto à raiz (ou uperfície primária), endo capaz de diipar mai energia da uperfície primária. Algo emelhante ocorre no coletore: a uperfície mai fria, pela mema razão, reultará em gradiente térmico mai inteno junto ao tubo, conduzindo aim mai energia para o fluido endo aquecido. Ao aumentarmo a área do painel plano, mai energia vindo de uma fonte externa (por exemplo: o Sol) erá coletada, o que é deejado. No entanto, mai energia erá perdida para o ambiente (por Convecção e Radiação), a parte indeejável. Conequentemente, uma ituação de otimização etará envolvida. Modela-e, aim, a forma de trabalho do painel do coletor olar levando em conideração a perda atravé de Convecção e Radiação Ambiental e o ganho atravé de Radiação Solar. 2. MODELAGEM FÍSICA E SOLUÇÃO CLÁSSICA A perda por Convecção ão modelada pela lei de refriamento de Newton, que relaciona o calor tranferido por ou pelo fluido com outro parâmetro: Q conv = hα (T T ) (1) Neta equação, h é o coeficiente de calor tranferido por Convecção, Α é a área uperficial, Τ refere-e à temperatura uperficial e Τ à temperatura do fluido no infinito. Uma da maneira de aumentar o calor trocado é aumentar o coeficiente h, e a outra, é aumentar a área da uperfície (já que T e Τ ão mantido contante). A primeira opção implica na intalação de uma bomba que aumente a velocidade do fluido, uma ituação nem empre adequada devido ao grande conumo de energia. Uma alternativa mai viável é o uo de uperfície etendida, feita de um material de condutividade elevada, como o alumínio, por exemplo, para aumentar o contato do fluido com a uperfície primária (ou bae) e aim, a diipação de calor. Além de conduzirem calor por Convecção, ea uperfície etendida também diipam energia por Radiação, que geralmente é deprezada no problema de engenharia, em epecial no problema de otimização. O mecanimo de troca de calor por Radiação é explicado pela lei de Stefan-Boltzmann: 2

3 Qrad 4 4 = εσ Α ( Τ Τ ) (2) amb Neta equação, ε é a emiividade do material da placa na faixa de comprimento de onda da Radiação emitida e σ é a contante de Stefan-Boltzmann. Claramente, Τ amb (da lei de Radiação) é diferente de Τ (da lei de Convecção), uma vez que a primeira etá aociada à temperatura do fluido na redondeza da uperfície e a egunda, relacionada à temperatura do ambiente ao redor da uperfície. Sem perda de generalidade, nete trabalho, conidera-e Τ amb = Τ. Interaçõe térmica entre a uperfície etendida e a uperfície primária ão também deprezada nee primeiro etágio de trabalho. No etudo do coletore, é comum a definição de um fator de deempenho que pode er definido por Q, o fluxo de calor coletado na uperfície primária. Ete trabalho foca a otimização via algoritmo genético do aumento do calor Q aborvido pelo coletor, mantendoe contante a área (ou o volume) da placa coletora. Reconhecendo que a placa coletora funciona eencialmente como uma aleta, o conceito de otimização geométrica a partir da definição de uma área (ou eventualmente, de um volume) pré-determinado podem er aplicado. Aim, o proceo de otimização conite na determinação da dimenõe ótima (indicada por *) da epeura δ, e da largura L, dado um perfil de área tranveral (A b = δl, para uma aleta retangular). Alguma obra já trataram da relevância da Radiação (e.g. Razelo [2000]) obre o problema de Condução de calor em uperfície etendida e Coletore, ma deram ênfae a complexa oluçõe numérica. Uma abordagem diferente e imple é propota aqui para o memo problema. A partir da equaçõe que envolvem Convecção + Radiação no painel coletor, pretende-e encontrar a ua epeura ótima, atravé do uo de algoritmo genético, e relacioná-la à epeura ótima obtida para o cao de Convecção pura. A vantagem neta abordagem vem do conhecido fato que o modelo de Convecção pura apreenta olução emianalítica imple, diponível em Schneider [1955], por exemplo, para divero tipo de perfi de aleta. Eta abordagem foi utilizada com uceo por Braga [2007] e é agora aplicada nete trabalho ao problema de otimização em Coletore Solare. A epeura ótima para uma aleta envolvendo Condução Convecção é obtida a partir do deenvolvimento abaixo. O calor trocado na raiz da aleta é dado pela Equação 3: ( ) qb = 2(Tb T ) khδtanh 2L h / kδ (3) Diferenciando eta expreão com relação à epeura da raiz, δ, obtemo: 2 3λech λ= tanhλ (4) 3/2 Onde λ= (A b /2)( δ /2) h/k. A olução da Equação 4, obtida numericamente, é λ= Aim, a epeura ótima para uma área tranveral contante, nete modelo, é dada pela Equação 5: ( ) 1/3 δ = 2 A h/4λ k (5) * 2 2 C b opt Neta expreão, * C δ é a epeura ótima para a aleta (ou placa coletora) para o modelo de Convecção pura. A largura ótima é dada pela Equação 6: 3

4 L = A/ δ * * C (6) Com a obtenção de uma relação definida e paível de er generalizada para divero perfi de uperfície, Schneider [1955], a determinação da epeura ótima e também do fluxo de calor para uma ituação genérica e reduz à olução de alguma equaçõe imple, em vário cao, linear. Infelizmente, a implicidade dete modelo matemático, que ignora o efeito de Radiação, não lineare, reduz ua vantagen. Pelo comum, a olução apreentada até hoje na literatura envolveu empre oluçõe numérica, o que é evidentemente, um outro problema. Na próxima eção, veremo o equacionamento matemático mai completo e o método de olução utilizado na buca de uma metodologia de cálculo mai imple para ete problema. 3. EQUACIONAMENTO MATEMÁTICO E MÉTODO DE SOLUÇÃO O Balanço de Energia (1ª. Lei da Termodinâmica) para um coletor olar, com painel de eção tranveral retangular, em uma ituação na qual Convecção e Radiação ejam igualmente relevante e ecreve como: 2 d Τ Ph dx² kα ( Τ Τ Pεσ ) ( Τ kα 4 Τ 4 amb αrol w ) + = 0 ka (7) Como condiçõe de contorno, temo que na raiz do painel, x = 0, a temperatura é epecificada como Τ ( x = 0) = Τb e em x = L, na extremidade, temo que d Τ / dx = 0. Neta equação introduzem-e novo termo: k e refere à condutividade térmica do material da placa coletora, α é a abortividade do material da placa na faixa de comprimento de onda do Sol, R ol refere-e ao fluxo de energia olar, w é a profundidade da uperfície etendida e P o eu perímetro (ver figura 3.1). A olução numérica deta equação foi obtida atravé do Método de Runge-Kutta diponível no programa MATLAB. Como já foi mencionado anteriormente, coniderou-e Τ amb = Τ, em perda de generalidade. Figura 1: uperfície etendida 4

5 O código abaixo foi implementado no MATLAB e uado como função objetivo para o algoritmo genético. Em verde, etão ainalada a variávei do problema; em azul, a funçõe da biblioteca do MATLAB para reolver EDO de 2ª ordem; e a equação em vermelho repreenta a equação (7) com o valor de σ xε já ubtituído (5.1075*10^(-8)). A condiçõe de contorno etão repreentada na função re. Uma atenção epecial deve er dada à equação em laranja, poi ela depende da equação (7) e define a quantidade de calor trocado na raiz do painel do coletor. É ea equação (8) que deve er otimizada: Q = kα Bω dt L dx x = o (8) function Q = objfuncvrcoletor (L) global Ab w h k To Too alfa H if L>0 olinit = bvpinit(linpace(0,l,10),[to;0]); ol = bvp4c(@optode,@optbd2,olinit); rep=ol.yp(1,1); Q=(-1)*k*Ab*w*rep/L; ele Q=0; end; function dxdt = optode(x,t) dxdt = [ T(2) (h*2*((ab/l)+w)*(t(1)-too)/(k*ab*w/l)) + end (5.1075*(10^(-8))*2*((Ab/L)+w)*(T(1)^4-(Too)^4)/(k*Ab*w/L)) - ]; (alfa*h*w/(k*ab*w/l)) function re = optbd2(ta,tb) re = [ Ta(1) To 5

6 Tb(2) ]; end end Na próxima eção, o método de olução do problema de otimização erá apreentado. 4. ALGORITMO GENÉTICO O algoritmo genético egue de certa forma, a idéia da Seleção Natural de Darwin e vem e tornando uma ferramenta verátil em divera área da engenharia. Sua implementação é feita da eguinte forma: gera-e uma população de indivíduo, endo cada um dele uma poível olução para o problema; no pao eguinte, o indivíduo da população paam por um proceo de evolução, aonde ão avaliado individualmente e a cada um atribui-e um grau de aptidão de acordo com o quanto ele é bom para er a olução. Apó erem avaliado, o indivíduo que pouem maior grau ão elecionado e cruzam com outro indivíduo da população ou ofrem mutação. A propriedade de cada indivíduo ão decrita uando cromoomo, que ão verõe binária do indivíduo, deta forma, para e fazer o cruzamento do indivíduo é feita a operação de croover. Eta operação conite na troca entre o alelo do cromoomo do indivíduo elecionado. O proceo de mutação ocorre ocaionalmente pelo eguinte mecanimo: um único alelo do cromoomo é elecionado aleatoriamente, endo depoi modificado, gerando aim, um novo indivíduo. O proceo de reprodução e mutação gerarão novo indivíduo que compartilham o cromoomo de eu pai. O novo indivíduo paarão então a er a nova população de oluçõe, e tornando uma nova geração. O memo proceo feito com a primeira geração (também chamada de geração zero) erá feito com eta nova geração e com a eguinte, de forma cíclica até que a população venha a convergir para uma olução ótima ou que o algoritmo atinja um número de geraçõe pré-determinado. O algoritmo genético foi utilizado em ua verão diponível no programa MATLAB, que poui ainda um toolbox próprio para a ua aplicação. Atravé do MATLAB, foi poível aplicar o algoritmo genético na ituaçõe de Tranmião de Calor por Convecção pura e pela combinação de Convecção e Radiação, variando a propriedade do material e a temperatura de trabalho. Foram feita divera operaçõe com o algoritmo para avaliar quai eriam a melhore opçõe de trabalho para a equação a er otimizada. Como o valor de L* já é conhecido pela literatura para o cao de Convecção Pura, teta-e o algoritmo nea condição. A tabela 1 contém a configuraçõe do painel do coletor e o valor de L*. Tabela 1 Configuraçõe do painel do coletor olar Configuraçõe Ab = 0,001 m² w = 1 m h = 10 W/m²K k = 237 (Al) To = 305,25 K Too = 330 K 6

7 alfa = 1 H = 1000 W/m² L* = 0,2876 m A tabela 2 a 6 motram o comportamento do algoritmo para a diverão opçõe de trabalho, relacionando o L encontrado com o L*. São feito 5 experimento (5 valore de L diferente) para cada opção. Tabela 2 Porcentagem de croover ( 0% a 100%) Experimento 0 Erro 20 Erro 40 Erro 1 0,2885 0, ,2942 2, ,2730 5, ,2839 1, ,2892 0, ,2907 1, ,2882 0, ,2823 1, ,2881 0, ,2856 0, ,2896 0, ,2871 0, ,2903 0, ,2918 1, ,2847 1, Erro Médio 0, , , Erro 80 Erro 100 Erro 0,2929 1, ,2903 0, , , ,2733 4, ,2754 4, ,3094 7, ,2894 0, ,2600 9, , , ,2829 1, ,2677 6, , , ,2842 1, ,3022 5, ,2755 4, , , , Embora o melhor reultado encontrado aqui para a porcentagem de croover eja de 0%, foi decidido adotar o padrão do MATLAB de 80% para o algoritmo. Já que é de interee o etudo dee método. Tabela 3 Elite Count ( 1 a 3 ) Experimento 1 Erro 2 Erro 3 Erro 1 0,2717 5, ,2810 2, , , ,2750 4, ,2907 1, ,2864 0, ,2900 0, , , ,2665 7, ,2689 6, ,2903 0, ,2911 1, ,2864 0, ,2856 0, ,2895 0, Erro Médio 3, , , Ea opção faz com que omente um indivíduo obreviva intacto até a próxima geração. 7

8 Tabela 4 Método Heurítico de croover Experimento 1 0, , , , , % de acerto Tabela 5 Função híbrida fminearch Experimento 1 0, , , , , % de acerto Tabela 6 - Método Gauiano de Mutação (com ou em) Experimento com Erro em Erro 1 0,2840 1, ,2706 5, ,2875 0, , , ,2866 0, ,2813 2, ,2859 0, ,2908 1, ,2880 0, ,2845 1, Erro Médio 0, , Tabela 7 Tamanha da população apó adotada toda a melhore opçõe (50 a 5) Experimento 50 Erro 40 Erro 1 0, , , , , , , , , , Erro Médio Erro 10 Erro 5 Erro 0, , ,2875 0, , , ,2871 0, , , ,2861 0, , , ,2881 0, , , ,2864 0, ,

9 Em relação à ea opçõe, realtam-e: o método heurítico de cruzamento que faz com que o filho levem maior número de gene do pai mai bem ranqueado; a opção excluiva do MATLAB chamada de função híbrida do tipo fminearch que permite que, ao término da buca do algoritmo genético, eja executada uma buca rápida pelo método de Nelder-Mead tendo como chute inicial o ponto ótimo encontrado. Com ea opçõe, o tempo de execução do algoritmo caiu conideravelmente, tornando-o uma ferramenta extremamente prática na otimização do problema encontrado nete trabalho. Tabela 8 Relação geral da opçõe Tamanho da Populaçõe 10 Tipo de Ranqueamento do Indivíduo Por Reultado Tipo de Seleção Natural Indivíduo de Melhor Ranking Tipo de Mutação Método Gauiano Número Máximo de Geraçõe 50 Percentagem de croover 80% Método de croover Heurítico Função híbrida fminearch Pelo expoto até eta eção, o equacionamento matemático foi apreentado para o problema de interee envolvendo perda por Convecção e Radiação e o método de otimização a er empregado na buca da olução ótima para a epeura na raiz da placa coletora (e conequentemente para a ua largura). A partir do programa ecrito no MATLAB, uma érie extena de reultado foi produzida com o objetivo de e obter um adequado entendimento do problema em quetão. De poe dete reultado, invetigou-e uma nova abordagem, extremamente mai imple, para a generalização do memo não ó para outra faixa de parâmetro ma também para outra geometria. Eta nova abordagem, apreentada com uceo por Braga [2007], utiliza o reultado obtido para o modelo implificado, aquele envolvendo apena perda por Convecção, para a obtenção do reultado para o modelo mai ofiticado, ito é, aquele envolvendo Convecção e Radiação. Ito é dicutido na próxima eção. 5. RESULTADOS A Figura 2 abaixo motra uma eqüência de reultado obtido para divera configuraçõe (materiai, nívei de convecção, volume, temperatura, etc.). Ela indica claramente que neta mai divera ituaçõe, a epeura ótima da placa coletora em função da perda por Convecção e Radiação é empre maior que a epeura ótima da placa em preença apena da Convecção. Ito ignifica, em primeira intância, que a placa coletora otimizada em função da perda mai realita devem er mai curta que à placa otimizada pela perda mai imple (de Convecção pura). Ito acontece, poi a área tranveral (o produto da epeura na raiz e a largura da placa) é mantida contante. A maior epeura correponde à menor largura. 9

10 Epeura Ótima para o Modelo Convecção - Radiação [m] 1,1E-02 1,0E-02 9,0E-03 8,0E-03 7,0E-03 6,0E-03 5,0E-03 4,0E-03 3,0E-03 2,0E-03 1,0E-03 0,0E+00 2,0E-03 4,0E-03 6,0E-03 8,0E-03 1,0E-02 1,2E-02 Epeura ótima para o Modelo Convecção [m] Figura 2: Epeura Ótima para doi modelo de placa coletora Com ete entendimento, procurou-e analiar o problema de uma forma mai completa, ito é, oluçõe numérica intena foram obtida. Entretanto, o cuto da geração deta oluçõe pode ficar proibitivo, epecialmente pelo diferente perfi de placa paívei de erem etudada (retangular, trapezoidal, parabólica, etc). Uma metodologia de cálculo da perda reai com menor demanda computacional preciava er obtido. Apó cuidadoa análie dimenional do problema, obervou-e que a razão da epeura ótima apreentava excelente correlação com a temperatura normalizada, Τ b / Τ. A Figura 3 motra uma érie dete reultado para diferente valore do parâmetro MN, definido como e egue: MN h = εσ 3 T amb (9) Como pode er notado, ete parâmetro indica a relevância relativa da Convecção obre a Radiação. Valore baixo de MN indicam que o efeito da perda radiativa para o ambiente ão importante (ou de mema ordem) que o efeito da perda convectiva. A equaçõe de correlação motrada na figura indicam muito bon reultado. Aim, uma vez que o parâmetro MN eja definido para uma configuração qualquer, a epeura ótima da placa coletora que deverá er utilizada pode er obtida diretamente em função da epeura ótima da placa coletora na ituação de Convecção pura, que etá diponível analiticamente na literatura, ito é, com nenhum eforço computacional. 10

11 tcvr / tcv 1,50 1,45 1,40 1,35 1,30 1,25 1,20 1,15 1,10 1,05 1,00 MN = 2 MN = 5 MN = 20 y = 0,5704x + 0,8956 R 2 = 0,9959 y = 0,3568x + 0,8821 R 2 = 0,9962 y = 0,1322x + 0,9418 R 2 = 0,9998 0,87 0,88 0,89 0,9 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 Tb/Too Figura 3: Razão de Epeura em função da temperatura adimenional na raiz da placa coletora. Nete contexto, o que e pretende agora é a generalização de tai reultado, o que pode er feito pela etimativa de como a contante da reta motrada na figura variam em função do demai parâmetro do problema, em epecial, o parâmetro MN. Deve er mencionado que ete reultado independem do material, do perfil da placa plana coletora, como motrado em outro contexto em Braga [2007]. Tabela 9 - Influência do parâmetro de Radiação Solar Epeura ótima Convecção Pura Convecção + Radiação [m] MN = 2 MN = 5 αr = 700 W/m2 3,477E-03 4,936E-03 4,203E-03 αr = 800 W/m2 3,477E-03 4,943E-03 4,209E-03 αr = 900 W/m2 3,477E-03 4,950E-03 4,216E-03 αr = 1000 W/m2 3,477E-03 4,955E-03 4,221E-03 A Tabela 9 motra o reultado para a epeura ótima para o coletor, em função de vário nívei de Radiação Solar (e abortividade da placa), em função ainda da perda por Convecção pura e Convecção + Radiação. Como podem er vita, a diferença ão batante ignificativa. Embora a contrução da placa coletora dependa eencialmente da epeura na raiz e do comprimento, para cada valor de área tranveral (ou volume, ou peo), e ito etá reolvido a partir da informaçõe contida na Figura 3, o engenheiro neceita contantemente da informação do calor trocado. Continuando a invetigação, analiou-e o calor trocado na ituação em quetão. Entre outra opçõe, uma da mai razoávei ob o ponto de vita de análie dimenional é motrada na Figura 4 que relaciona a razão entre o calor trocado na Superfície Primária do Coletor na dua ituaçõe já mencionada, ito é, em preença da Convecção e da Radiação, e com Convecção pura, e a razão entre a epeura 11

12 ótima no doi cao. Como pode er vito, a correlação indica reultado piore, e comparado com o reultado da Figura 3, ma ainda excelente do ponto de vita de engenharia. QCvR / QCv 1,20 1,15 1,10 1,05 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 y = 1,21x -1,8233 R 2 = 0,9966 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 Razão entre Epeura ótima Figura 4: Razão entre o calore trocado na uperfície primária e a epeura ótima em função do modelo Fíico Embora haja nitidamente erro neta abordagem, etimado em média de 4% no diferente cao tratado, a rapidez da obtenção de tai reultado mai que jutificam eu uo. 6. CONCLUSÕES Ete trabalho apreentou uma nova metodologia de cálculo da dimenõe de placa coletora otimizada em função de peo, volume ou área, em uma ituação batante mai próxima da realidade. Evitando complexa imulaçõe numérica do problema, a abordagem envolve o uo de reultado cláico, diponívei na literatura, que indicam a dimenõe otimizada para o modelo Fíico que depreza Radiação. Reconhecendo, em primeiro lugar, a precariedade deta aproximação, embora jutificável à época, o preente trabalho oferece uma opção mai imple que a etritamente numérica. Todo o reultado até agora obtido, coniderando-e diferente materiai, área tranverai, nívei de Convecção e Radiação, etc., corroboram o acerto neta abordagem. Em continuação a ete projeto, epera-e incluir a preença do tubo na análie térmica. AGRADECIMENTOS Parte dete trabalho foi deenvolvido com o apoio do Programa Intitucional de Iniciação Científica do CNPq PUC Rio. O autore agradecem inceramente o apoio recebido. 12

13 REFERÊNCIAS Braga, W., 2007, Optimization of Radiative-Convective Extended Surface, aceito para publicação no ECOS 2007: 20th International Conference on Efficiency, Cot, Optimization, Simulation and Environmental Impact of Energy Sytem, Pádua, Itália. Razelo, P. & Kakatio X., 2000, Optimum dimenion of convecting-radiating fin: Part I longitudinal fin, Applied Thermal Engineering, 20, pp Schneider P.J., Conduction Heat Tranfer, 2a. Impreão, Addion-Weley Publihing Co, Inc., Reading, Maachuett,