M. A. Marino Universidade Federal do Paraná Departamento de Construção Civil (41)

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1 Concreto Armao a UFPR 006

2 Agraeço a colaboração pretaa pelo Proeore Carlo E. N. L. Michau, Jorge L. Ceccon e Miguel F. Hilgenberg Neto na elaboração ete teto. Agraecimento epecial ao Proeor Roberto Dalleone Machao que além e colaborar a elaboração o teto, permitiu que ua publicação LAJES USUAIS DE CONCRETO ARMADO oe incorporaa ao Capítulo 8 eta eição. M. A. Marino Univeriae Feeral o Paraná Departamento e Contrução Civil (41) marino@upr.br

3 1 1ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 1.1 Introução Baicamente, a etrutura e concreto armao apreentam bom eempenho porque, eno o concreto e ótima reitência à compreão, ete ocupa a parte comprimia ao pao M Figura Viga e concreto armao que o aço, e ótima reitência à tração, ocupa a parte tracionaa. É o cao a viga e concreto armao (Figura 1.1). Seno o aço, também e boa reitência a compreão, o memo poe colaborar com o concreto em regiõe comprimia. É o cao o pilare e concreto armao (Figura 1.). A N N A Figura 1. - Pilar e concreto armao A A Corte AA M concreto comprimio Corte AA armaura comprimia armaura comprimia concreto comprimio armaura tracionaa A obra e concreto etrutural, no Brail, ão regia, baicamente, pela ABNT NBR 6118 Projeto e Etrutura e Concreto Proceimento mar/004. Seguno o item 1., eta Norma aplica-e à etrutura e concreto normai, ientiicao por maa epecíica eca maior o que 000º kg/m 3, não eceeno 800 kg/m 3, o grupo I e reitência (C10 a C50), conorme claiicação a ABNT NBR Entre o concreto epeciai ecluío eta Norma etão o concreto-maa e o concreto em ino. 1. Hitórico É atribuía ao rancê Lambot a primeira contrução e concreto armao. Tratava-e e um barco que oi contruío em Outro rancê, Coignet, publicou em 1861 o primeiro trabalho ecreveno aplicaçõe e uo o concreto armao Viabiliae o concreto armao O uceo o concreto armao e eve, baicamente, a trê atore: 1 Para melhor conhecimento a hitória o concreto armao, ver O CONCRETO NO BRASIL, Vol. 1, A. C. Vaconcelo, eição patrocinaa por Camargo Corrêa S.A., upr/tc405

4 aerência entre o concreto e a armaura; valore próimo o coeiciente e ilatação térmica o concreto e a armaura; e proteção a armaura eita pelo concreto envolvente. O principal ator e uceo é a aerência entre o concreto e a armaura. Deta orma, a eormaçõe na armaura erão a mema que a o concreto ajacente, não eitino ecorregamento entre um material e o outro. É ete imple ato e eormaçõe iguai entre a armaura e o concreto ajacente, aociao à hipótee a eçõe plana e Navier, que permite quae too o eenvolvimento o unamento o concreto armao. A proimiae e valore entre o coeiciente e ilatação térmica o aço e o concreto torna praticamente nulo o elocamento relativo entre a armaura e o concreto envolvente, quano eite variação e temperatura. Ete ato permite que e aote para o concreto armao o memo coeiciente e ilatação térmica o concreto imple. Finalmente, o envolvimento a barra e aço por concreto evita a oiação a armaura azeno com que o concreto armao não neceite cuiao epeciai como ocorre, por eemplo, em etrutura metálica. 1.4 Proprieae o concreto O concreto, aim como outro material, tem coeiciente e ilatação térmica, poe er repreentao por um iagrama tenão-eormação, poui móulo e elaticiae (móulo e eormação), etc. Apreenta, também, ua proprieae epecíica, que ão a retração e a luência (eormação lenta) Concreto a ABNT NBR 6618 Seguno a ABNT NBR 8953, o concreto a erem uao etruturalmente etão iviio em oi grupo, claiicao e acoro com ua reitência caracterítica à compreão ( ck ), conorme motrao na Tabela 1.1. Neta Tabela a letra C inica a clae o concreto e o número que e egue correpone à ua reitência caracterítica à compreão ( ck ), em MPa 1. Grupo I ck Grupo II ck C15 15 MPa C55 55 MPa C0 0 MPa C60 60 MPa C5 5 MPa C70 70 MPa C30 30 MPa C80 80 MPa C35 35 MPa C40 40 MPa C45 45 MPa C50 50 MPa Tabela Clae e concreto etrutural A oagem o concreto everá er eita e acoro com a ABNT NBR A compoição e caa concreto e clae C15 ou uperior eve er einia em oagem racional e eperimental, com a evia anteceência em relação ao início a obra. O controle tecnológico a obra eve er eito e acoro com a ABNT NBR ABNT NBR 6118, item 8..1: Eta Norma e aplica a concreto compreenio na clae e reitência o grupo I, inicaa na ABNT NBR 8953, ou eja, até C50. A clae C0, ou uperior, e aplica a concreto com armaura paiva 3 e a clae C5, ou uperior, a concreto com armaura ativa 4. A clae C15 poe er uaa apena em unaçõe, conorme ABNT NBR 61, e em obra proviória MPa 0,1 kn/cm 10 kg/cm. A aoção e um concreto com reitência mínima e 0 MPa via uma urabiliae maior a etrutura. Concreto armao. Concreto protenio upr/tc405

5 1.4. Maa epecíica Seguno o item 8.., a ABNT NBR 6118 e aplica a concreto e maa epecíica normal, que ão aquele que, epoi e eco em etua, têm maa epecíica compreenia entre 000 kg/m 3 e 800 kg/m 3. Se a maa epecíica real não or conhecia, para eeito e cálculo, poe-e aotar para o concreto imple o valor 400 kg/m 3 e para o concreto armao 500 kg/m 3. Quano e conhecer a maa epecíica o concreto utilizao, poe-e conierar para valor a maa epecíica o concreto armao aquela o concreto imple acrecia e 100 kg/m 3 a 150 kg/m Coeiciente e ilatação térmica Para eeito e análie etrutural, o coeiciente e ilatação térmica poe er amitio como eno igual a 10-5 /ºC (ABNT NBR 6118, item 8..3) Reitência à compreão A precriçõe a ABNT NBR 6118 reerem-e à reitência à compreão obtia em enaio e cilinro molao eguno a ABNT NBR 5738, realizao e acoro com a ABNT NBR 5739 (item 8..4 a ABNT NBR 6118). Quano não or inicaa a iae, a reitência reerem-e à iae e 8 ia. A etimativa a reitência à compreão méia, cmj, correponente a uma reitência ckj epeciicaa, eve er eita conorme inicao na ABNT NBR A evolução a reitência à compreão com a iae eve er obtia atravé e enaio epecialmente eecutao para tal. Na auência ee reultao eperimentai poe-e aotar, em caráter orientativo, o valore inicao em [3.8..] Reitência à tração Seguno a ABNT NBR 6118, item 8..5, a reitência à tração inireta ct,p e a reitência à tração na leão ct, evem er obtia e enaio realizao eguno a ABNT NBR 7 e a ABNT NBR 114, repectivamente. A reitência à tração ireta ct poe er conieraa igual a 0,9 ct,p ou 0,7 ct, ou, na alta e enaio para obtenção e ct,p e ct,, poe er avaliao o eu valor méio ou caracterítico por meio a equaçõe eguinte: ct,m ctk,in ctk,up 0,3 0,7 1,3 3 ck ct,m ct,m 0,1 0,39 3 ck 3 ck ct,m e ck em MPa Equação 1.1 Seno ckj 7MPa, eta epreõe poem também er uaa para iae ierente e 8 ia. O ctk,up é uao para a eterminação e armaura mínima. O ctk,in é uao na análie etruturai Móulo e elaticiae Seguno a ABNT NBR 6118, item 8..8, o móulo e elaticiae eve er obtio eguno enaio ecrito na ABNT NBR 85, eno conierao neta Norma o móulo e eormação tangente inicial coral a 30% e c, ou outra tenão epeciicaa em projeto. Quano não orem eito enaio e não eitirem ao mai precio obre o concreto uao na iae e 8 ia, poe-e etimar o valor o móulo e elaticiae uano a epreão: Eci ck Eci e ck em MPa Equação 1. O móulo e elaticiae numa iae j 7 ia poe também er avaliao atravé ea epreão, ubtituino-e ck por ckj. Quano or o cao, é ee o móulo e elaticiae a er epeciicao em projeto e controlao na obra upr/tc405

6 O móulo e elaticiae ecante a er utilizao na análie elática e projeto, epecialmente para eterminação e eorço olicitante e veriicação e etao limite e erviço, eve er calculao pela epreão: E c 0,85 E ci Equação 1.3 Na avaliação o comportamento e um elemento etrutural ou eção tranveral poe er aotao um móulo e elaticiae único, à tração e à compreão, igual ao móulo e elaticiae ecante (E c ). Na avaliação o comportamento global a etrutura poe er utilizao em projeto o móulo e eormação tangente inicial (E ci ) Coeiciente e Poion e móulo e elaticiae tranveral Para tenõe e compreão menore que 0,5 c e tenõe e tração menore que ct, o coeiciente e Poion ν poe er tomao como igual a 0, e o móulo e elaticiae tranveral G c igual a 0,4 E c (ABNT NBR 6118, item 8..9). Obervar que a equação cláica a Reitência o Materiai para a eterminação o móulo e elaticiae tranveral G não é eguia à rica pela ABNT NBR Para e obter G c igual a 0,4 E c, eria neceária a impoição e um coeiciente e Poion igual a 0,5, ou eja: E 1 E c c G c 0,4 E c ( + ν) ( 1+ 0,5) Diagrama tenão-eormação - compreão Uma caracterítica o concreto é não apreentar, para ierente oagen, um memo tipo 40 MPa 30 MPa 0 MPa 10 MPa σ c e iagrama tenão-eormação. O concreto mai rico em cimento (mai reitente) têm um "pico" e reitência (máima tenão) em torno a eormação. Já o concreto mai raco apreentam um "patamar" e reitência que e inicia entre a eormaçõe 1 e (Figura 1.3). Figura Diagrama tenão-eormação (compreão) e concreto ivero A ABNT NBR 6118, item , não leva em conieração o ierente iagrama tenão-eormação motrao na σ c Figura 1.3 e apreenta, e moo impliicao, o iagrama parábola-retângulo motrao na ck Figura 1.4. ε c σc ck 1 1 ε c 3,5 ε c Figura Diagrama tenão-eormação (compreão) a ABNT NBR upr/tc405

7 1.4.9 Diagrama tenão-eormação - tração Para o concreto não iurao, poe er aotao o iagrama tenão-eormação bilinear e σ ct tração, inicao na Figura 1.5 (ABNT NBR 6118, item ). ctk 0,9 ctk E ci 0,15 Figura Diagrama tenão-eormação (tração) a ABNT NBR Fluência e retração ε ct Fluência A luência é uma eormação que epene o carregamento. Correpone a uma contínua (lenta) eormação o concreto, que ocorre ao longo o tempo, ob ação e carga permanente. Um apecto o comportamento a eormaçõe e peça e concreto carregaa e ecarregaa é motrao na Figura 1.6. ε c recuperação eormação elática recuperação a luência l l 0 l c t 0 luência - ε cc (t,t 0 ) carga t eormação elática inicial - ε c (t 0 ) em carga t t 0 t ε c (t 0 ) ε cc (t,t 0 ) l 0 l l c l l 0 Figura Deormação e bloco e concreto carregao e ecarregao Retração A retração o concreto é uma eormação inepenente e carregamento. Correpone a uma iminuição e volume que ocorre ao longo o tempo evio à pera 'água que azia parte a compoição ε c química a mitura l a maa e concreto. A curva l que repreenta a variação a retração ao longo o tempo tem o apecto motrao ε l c (t,t 0 ) t na Figura 1.7. l Figura Retração o concreto upr/tc405

8 Deormação total A eormação total o concreto, ecorrio um epaço e tempo apó a aplicação e um carregamento permanente, correpone a: σc(t0 ) σct( 0 ) εc( t) + ϕ(t,t 0 ) + εc(t,t 0 ) Eci(t0 ) Eci(t0 ) ε (t ) c 0 ε (t,t ) cc 0 σc(t0 ) ε c( t) [ 1+ϕ(t,t 0 )] + εc(t,t0 ) Equação 1.4 Eci(t0 ) one: ε c (t) eormação epecíica total o concreto no intante t; ε c (t 0 ) eormação epecíica imeiata (t 0 ) o concreto evia ao carregamento (encurtamento); ε cc (t,t 0 ) eormação epecíica o concreto evia à luência no intervalo e tempo t t 0 ; ε c (t,t 0 ) eormação epecíica o concreto evia à retração no intervalo e tempo t t 0 ; σ c (t 0 ) tenão atuante no concreto no intante (t 0 ) a aplicação a caga permanente (negativa para compreão); E ci (t 0 ) móulo e elaticiae (eormação) inicial no intante t 0 ; e ϕ(t,t 0 ) coeiciente e luência correponente ao intervalo e tempo t t 0. Em cao one não é neceária grane precião, o valore inai (t ) o coeiciente e luência ϕ(t,t 0 ) e a eormação epecíica e retração ε c (t,t 0 ) o concreto ubmetio a tenõe menore que 0,5 c quano o primeiro carregamento, poem er obtio, por interpolação linear, a partir a Tabela 1.. Eta Tabela ornece o valor o coeiciente e luência ϕ(t,t 0 ) e a eormação epecíica e retração ε c (t,t 0 ) em unção a umiae ambiente e a epeura equivalente A c / u, one: A c área a eção tranveral; e u perímetro a eção em contato com a atmoera. Umiae ambiente (%) Epeura ictícia A c /u (cm) ,4 3,9 3,8 3,3 3,0,6,3,1 ϕ(t,t 0 ) 30 3,0,9,6,5,0,0 1,6 1,6 t ,0,6,, 1,7 1,8 1,4 1,4 (ia) 5-0,44-0,39-0,37-0,33-0,3-0,1-0,10-0,09 ε c (t,t 0 ) 30-0,37-0,38-0,31-0,31-0,0-0,0-0,09-0,09 ( ) 60-0,3-0,36-0,7-0,30-0,17-0,19-0,08-0,09 Tabela 1. Valore caracterítico uperiore a eormação epecíica e retração ε c (t,t 0 ) e o coeiciente e luência ϕ(t,t 0 ) 1.5 Proprieae o aço O aço, aim como outro material, tem coeiciente e ilatação térmica, poe er repreentao por um iagrama tenão-eormação, poui móulo e elaticiae, etc. Apreenta, também, uma proprieae epecíica, que é o coeiciente e conormação upericial Categoria o aço e armaura paiva No projeto e etrutura e concreto armao eve er utilizao aço claiicao pela ABNT NBR 7480 com o valor caracterítico a reitência e ecoamento na categoria CA-5, upr/tc405

9 CA-50 e CA-60 1 (item a ABNT NBR 6118). Ete aço e ua repectiva reitência caracterítica à tração ( yk ) etão motrao na Tabela 1.3. Categoria yk CA-5 50 MPa CA MPa CA MPa Tabela Aço e armaura paiva O iâmetro nominai evem er o etabelecio na ABNT NBR Coeiciente e conormação upericial O io e barra poem er lio ou provio e aliência ou moa. Para caa categoria e aço, o coeiciente e conormação upericial mínimo, eterminao atravé e enaio e acoro com a ABNT NBR 7477, eve atener ao inicao na ABNT NBR 7480 (item 8.3. a ABNT NBR 6118). A ABNT NBR 7480 relaciona o coeiciente e conormação upericial η com a categoria o aço. A ABNT NBR 6118 caracteriza a uperície a barra atravé o coeiciente para cálculo a tenão e aerência a armaura η 1. O coeiciente etabelecio pela norma ABNT NBR 7480 e ABNT NBR 6118 etão motrao na Tabela 1.4. Superície η 1 η Lia (CA-5) 1,00 1,0 Entalhaa (CA-60) 1,40 1,5 Alta Aerência (CA-50),5 1,5 Tabela Coeiciente e conormação upericial (ABNT NBR 7480) e para Cálculo a Tenão e Aerência (ABNT NBR 6118) Maa epecíica Seguno o item a ABNT NBR 6118, poe-e aotar para maa epecíica o aço e armaura paiva o valor e kg/m Coeiciente e ilatação térmica O valor 10-5 /ºC poe er conierao para o coeiciente e ilatação térmica o aço, para intervalo e temperatura entre -0ºC e 150ºC (Item a ABNT NBR 6118) Móulo e elaticiae Na alta e enaio ou valore ornecio pelo abricante, o móulo e elaticiae o aço poe er amitio igual a 10 GPa (ABNT NBR 6118, item 8.3.5) Diagrama tenão-eormação, reitência ao ecoamento e à tração O iagrama tenão-eormação o aço, o valore caracterítico a reitência ao ecoamento yk, a reitência à tração tk e a eormação na ruptura ε uk evem er obtio e enaio e tração realizao eguno a ABNT NBR ISO 689. O valor e yk para o aço em patamar e ecoamento é o valor a tenão correponente à eormação permanente e (ABNT NBR 6118, item 8.3.6). No projeto e etrutura e concreto armao, a ABNT NBR 6118 permite utilizar o iagrama impliicao motrao na Figura 1.8, para o aço com ou em patamar e ecoamento. Ete iagrama é válio para intervalo e temperatura entre -0ºC e 150ºC e poe er aplicao para tração e compreão. 1 A letra CA igniicam concreto armao e o número aociao correpone a 1/10 a reitência caracterítica em MPa. A NBR 6118 eine o coeiciente e conormação upericial como η b e etabelece, para o CA-60, o valor mínimo e 1,, ierente o apreentao na Tabela, página 7 a NBR 7480/1996. Neta Tabela o valor mínimo e η correpone a 1,5, como apreentao na Tabela upr/tc405

10 σ yk 10 ε Figura Diagrama tenão-eormação o aço Caracterítica e utiliae O aço CA-5 e CA-50, que atenam ao valore mínimo e yk / tk e ε uk inicao na ABNT NBR 7480, poem er conierao como e alta utiliae. O aço CA-60 que obeeçam também à epeciicaçõe ea Norma poem er conierao como e utiliae normal (item a ABNT NBR 6118) Solabiliae Para que um aço eja conierao olável, ua compoição eve obeecer ao limite etabelecio na ABNT NBR A emena e aço olaa eve er enaiaa à tração eguno a ABNT NBR A carga e ruptura, meia na barra olaa eve atiazer o epeciicao na ABNT NBR 7480 e o alongamento ob carga eve er tal que não comprometa a utiliae a armaura. O alongamento total plático meio na barra olaa eve atener a um mínimo e % (ABNT NBR 6118, item 8.3.9) Claiicação Conorme epeciica a ABNT NBR 7480, item 4.1, o aço a erem uao em etrutura e concreto armao erão claiicao: como barra, e pouírem iâmetro nominal igual ou uperior a 5 mm e orem obtio ecluivamente por laminação à quente; e como io, e pouírem iâmetro nominal igual ou inerior a 10 mm e orem obtio por treilação ou proceo equivalente. De acoro com a categoria, a barra e io e aço erão claiicaa conorme motrao na Tabela 1.5. Categoria CA-5 CA-50 CA-60 Claiicação Barra Fio Tabela Barra e io e aço A caracterítica a barra (CA-5 e CA-50) e io (CA-60), einia pela ABNT NBR 7480, etão motraa na Tabela 1.6 e Tabela upr/tc405

11 Diâmetro Nominal (mm) Maa Nominal 1 (kg/m) Barra Área a Seção (cm ) Perímetro (cm) 5 0,154 0,196 1,57 6,3 0,45 0,31 1,98 8 0,395 0,503, ,617 0,785 3,14 1,5 0,963 1,7 3, ,578,011 5,03 0,466 3,14 6,8,984 3,801 6,91 5 3,853 4,909 7,85 3 6,313 8,04 10, ,865 1,566 1,57 Tabela Caracterítica a barra e aço para concreto armao Diâmetro Nominal (mm) Maa Nominal (kg/m) Fio Área a Seção (cm ) Perímetro (cm),4 0,036 0,045 0,75 3,4 0,071 0,091 1,07 3,8 0,089 0,113 1,19 4, 0,109 0,139 1,3 4,6 0,130 0,166 1,45 5,0 0,154 0,196 1,57 5,5 0,187 0,38 1,73 6,0 0, 0,83 1,88 6,4 0,53 0,3,01 7,0 0,30 0,385, 8,0 0,395 0,503,51 9,5 0,558 0,709,98 10,0 0,617 0,785 3,14 Tabela Caracterítica o io e aço para concreto armao 1.6 Reerência normativa A norma relacionaa a eguir contêm ipoiçõe que contituem precriçõe para a ABNT NBR Como toa norma etá ujeita a revião, recomena-e que eja veriicaa a conveniência e e uarem a eiçõe mai recente a norma citaa a eguir (item a ABNT NBR 6118). A ABNT poui a inormação a Norma Braileira em vigor em um ao momento. 1 A eniae linear e maa, em kg/m, é obtia pelo prouto a área a eção nominal em m por kg/m 3. O teto relativo a eta eção é, baicamente, uma cópia o capítulo a NBR upr/tc405

12 ABNT NBR 5674:1999 Manutenção e eiicaçõe - Proceimento ABNT NBR 573:1991 Cimento Portlan comum - Epeciicação ABNT NBR 5733:1991 Cimento Portlan e alta reitência - Epeciicação ABNT NBR 5735:1991 Cimento Portlan e alto-orno - Epeciicação ABNT NBR 5736:1991 Cimento Portlan pozolânico- Epeciicação ABNT NBR 5737:199 Cimento Portlan reitente a ulato - Epeciicação ABNT NBR 5738:1994 Molagem e cura e corpo-e-prova cilínrico ou primático e concreto - Proceimento ABNT NBR 5739:1994 Concreto - Enaio e compreão e corpo-e-prova cilínrico - Métoo e enaio ABNT NBR 6004:1984 Arame e aço - Enaio e obramento alternao - Métoo e enaio ABNT NBR 610:1980 Carga para cálculo e etrutura e eiicaçõe - Proceimento ABNT NBR 61:1996 Projeto e eecução e unaçõe - Proceimento ABNT NBR 613:1988 Força evia ao vento em eiicaçõe - Proceimento ABNT NBR 6153:1988 Prouto metálico - Enaio e obramento emi-guiao - Métoo e enaio ABNT NBR 6349:1991 Fio, barra e coroalha e aço para armaura e protenão Enaio e Tração Métoo e enaio ABNT NBR 7190:1997 Projeto e etrutura e maeira ABNT NBR 7:1994 Argamaa e concreto - Determinação a reitência à tração por compreão iametral e corpo-e-prova cilínrico - Métoo e enaio ABNT NBR 7477:198 Determinação o coeiciente e conormação upericial e barra e io e aço etinao a armaura e concreto armao - Métoo e enaio ABNT NBR 7480:1996 Barra e io e aço etinao a armaura para concreto armao - Epeciicação ABNT NBR 7481:1990 Tela e aço olaa - Armaura para concreto Epeciicação ABNT NBR 748:1991 Fio e aço para concreto protenio Epeciicação ABNT NBR 7483:1991 Coroalha e aço para concreto protenio Epeciicação ABNT NBR 7484:1991 Fio, barra e coroalha e aço etinao a armaura e protenão Enaio e relaação iotérmica Métoo e enaio ABNT NBR 7680:1983 Etração, preparo, enaio e análie e tetemunho e etrutura e concreto Proceimento ABNT NBR 85:1984 Concreto - Determinação o móulo e eormação etática e iagrama tenão-eormação - Métoo e enaio ABNT NBR 8548:1984 Barra e aço etinaa a armaura para concreto armao com emena mecânica ou por ola - Determinação a reitência à tração - Métoo e enaio ABNT NBR 8681:003 Açõe e egurança na etrutura - Proceimento ABNT NBR 8800:1986 Projeto e eecução e etrutura e aço e eiício (Métoo o etao limite) - Proceimento ABNT NBR 8953:199 Concreto para in etruturai - Claiicação por grupo e reitência - Claiicação ABNT NBR 8965:1985 Barra e aço CA 4S com caracterítica e olabiliae etinaa a armaura para concreto armao - Epeciicação ABNT NBR 906:001 Projeto e eecução e etrutura e concreto pré-molao Proceimento ABNT NBR 11578:1991 Cimento Portlan compoto Epeciicação ABNT NBR 11919:1978 Veriicação e emena metálica e barra e concreto armao - Métoo e enaio ABNT NBR 114:1991 Concreto - Determinação a reitência à tração na leão em corpo-e-prova primático - Métoo e enaio ABNT NBR 1654:199 Controle tecnológico e materiai componente o concreto - Proceimento upr/tc405

13 ABNT NBR 1655:1996 Concreto - Preparo, controle e recebimento Proceimento ABNT NBR 1989:1993 Cimento Portlan branco Epeciicação ABNT NBR 13116:1994 Cimento Portlan e baio calor e hiratação Epeciicação ABNT NBR :00 Laje pré-abricaa Requiito. Parte : Laje biirecionai ABNT NBR 14931:003 Eecução e etrutura e concreto - Proceimento. ABNT NBR ISO 689:00 Materiai metálico Enaio e tração à temperatura ambiente ABNT NBR NM 67:1998 Concreto - Determinação a conitência pelo abatimento o tronco e cone 1.7 Simbologia 1 A imbologia aotaa na ABNT NBR 6118, no que e reere a etrutura e concreto, é contituía por ímbolo-bae e ímbolo ubcrito. O ímbolo-bae utilizao com mai reqüência encontram-e etabelecio em e o ímbolo ubcrito em A graneza repreentaa pólo ímbolo evem empre er eprea em uniae o Sitema Internacional (SI) (item 4.1 a ABNT NBR 6118) Símbolo bae Letra minúcula a itância ou imenão menor imenão e um retângulo elocamento máimo (lecha) b largura imenão ou itância paralela à largura menor imenão e um retângulo b w largura a alma e uma viga c cobrimento a armaura em relação à ace o elemento altura útil imenão ou itância e ecentriciae e cálculo oriuna o eorço olicitante M S e N S itância reitência h imenão altura i raio e giração mínimo a eção bruta e concreto a peça analiaa k coeiciente l comprimento vão n número número e prumaa e pilare r raio e curvatura interno o gancho rigiez epaçamento a barra a armaura t comprimento o apoio paralelo ao vão a viga analiaa tempo u perímetro w abertura e iura altura a linha neutra z braço e alavanca itância Letra maiúcula A área a eção cheia A c área a eção tranveral e concreto A área a eção tranveral a armaura longituinal e tração A' área a eção tranveral a armaura longituinal e compreão 1 O teto relativo a eta eção é, baicamente, uma cópia o capítulo 4 a NBR upr/tc405

14 D iâmetro o pino e obramento a barra e aço E móulo e elaticiae EI rigiez F orça açõe G açõe permanente G c móulo e elaticiae tranveral o concreto H altura I c momento e inércia a eção e concreto K coeiciente M momento momento letor M R momento letor reitente e cálculo M S momento letor olicitante e cálculo M 1 momento letor e 1ª orem e cálculo M momento letor e ª orem e cálculo N orça normal N orça normal e cálculo N R orça normal reitente e cálculo N S orça normal olicitante e cálculo Q açõe variávei R reação e apoio R eorço reitente e cálculo S eorço olicitante e cálculo T temperatura momento torçor T R momento torçor reitente e cálculo T S momento torçor olicitante e cálculo V orça cortante orça cortante e cálculo V Letra grega α ângulo parâmetro e intabiliae coeiciente ator que eine a coniçõe e vínculo no apoio β ângulo coeiciente δ coeiciente e reitribuição elocamento ε eormação ε c eormação epecíica o concreto ε eormação epecíica o aço φ iâmetro a barra a armaura φ l iâmetro a barra e armaura longituinal e peça etrutural φ n iâmetro equivalente e um eie e barra φ t iâmetro a barra e armaura tranveral φ vibr iâmetro a agulha o vibraor γ c coeiciente e poneração a reitência o concreto γ coeiciente e poneração a açõe γ m coeiciente e poneração a reitência γ coeiciente e poneração a reitência o aço ϕ coeiciente e luência λ ínice e ebeltez µ coeiciente momento letor reuzio aimenional upr/tc405

15 ν coeiciente e Poion orça normal aimenional θ rotação ângulo e inclinação eaprumo ρ taa geométrica e armaura longituinal e tração ρ c maa epecíica o concreto ρ mín taa geométrica mínima e armaura longituinal e viga e pilare ρ taa geométrica e armaura aerente paiva σ c tenão à compreão no concreto σ ct tenão à tração no concreto σ tenão normal no aço σ R tenõe normai reitente e cálculo σ S tenõe normai olicitante e cálculo τ R tenõe e cialhamento reitente e cálculo τ S tenão e cialhamento e cálculo uano o contorno aequao ao enômeno analiao τ T tenão e cialhamento e cálculo, por torção tenão e cialhamento e cálculo, por orça cortante τ w 1.7. Símbolo ubcrito Letra minúcula apo apoio c concreto cor corrigio valor e cálculo e equivalente e eetivo eq equivalente eie a aiga ic ictícia g açõe permanente h horizontal i número eqüencial in inerior j iae (reerente à cura o concreto) k valor caracterítico número eqüencial lim limite m méia má máimo mín mínimo nec neceário nom nominal q açõe variávei r raial aço e armaura paiva ec ecante er erviço up uperior t tração tranveral tot total u último e ruptura upr/tc405

16 v vertical viga vão vão vig viga w alma tranveral y ireção ortogonal ireção ortogonal ecoamento o aço Letra maiúcula R reitência S olicitaçõe Número 0 início intante e aplicação e carga 8 ao 8 ia Simbologia epecíica Símbolo bae c reitência à compreão o concreto ck reitência caracterítica à compreão o concreto ckj reitência caracterítica à compreão o concreto ao j ia cmj reitência méia à compreão o concreto ao j ia ct reitência o concreto à tração ireta ctk reitência caracterítica à tração o concreto ctk,in reitência caracterítica inerior à tração o concreto ctk,up reitência caracterítica uperior à tração o concreto ct,m reitência méia à tração o concreto ct, reitência o concreto à tração na leão ct,p reitência o concreto à tração inireta tk reitência caracterítica à tração o aço yk reitência caracterítica ao ecoamento o aço t tempo u perímetro a eção em contato com a atmoera A c área a eção tranveral E ci móulo e elaticiae ou móulo e eormação tangente inicial o concreto, reerino-e empre ao móulo coral a 30% c E ci (t 0 ) móulo e elaticiae (eormação) inicial o concreto E c móulo e elaticiae ecante o concreto, também enominao móulo e eormação ecante o concreto G c móulo e elaticiae tranveral o concreto M momento letor N orça normal ε c eormação epecíica o concreto ε c (t) eormação epecíica o concreto no intante t ε c (t 0 ) eormação epecíica imeiata o concreto ε cc eormação epecíica o concreto evia à luência ε cc (t,t 0 ) eormação epecíica o concreto evia à luência no intervalo e tempo t t 0 ε c eormação epecíica o concreto evia à retração ε c (t,t 0 ) eormação epecíica o concreto evia à retração no intervalo e tempo t t 0 ε ct eormação epecíica o concreto à tração ε c0 eormação epecíica o concreto no intante a aplicação o carregamento (eormação inicial) ε eormação epecíica o aço eormação epecíica caracterítica o aço na ruptura ε uk upr/tc405

17 η coeiciente e conormação upericial η 1 coeiciente para cálculo a tenão e aerência a armaura ϕ(t,t 0 ) coeiciente e luência correponente ao intervalo e tempo t t 0 ν coeiciente e Poion σ c tenão à compreão no concreto σ c (t 0 ) tenão à compreão imeiata no concreto σ ct tenão à tração no concreto tenão normal no aço σ Símbolo ubcrito in inerior up uperior t tempo início e contagem e tempo t Eercício E. 1.1: Complete o quaro abaio. Concreto C0 C5 C30 C35 C40 C45 C50 ck (MPa) ctk,in (MPa) ctk,up (MPa) E ci (MPa) E c (MPa) E. 1.: Deina o iagrama tenão-eormação - compreão (parábola-retângulo) e tenão-eormação - tração para o concreto C0. Complete o quaro abaio e eina o iagrama uano a eguinte ecala: eormação: 1 cm 1 tenão: 1 cm 5 MPa ε c 0,0 0,5 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 σ c compreão (MPa) σ ct tração (MPa) upr/tc405

18 E. 1.3: Deina o iagrama tenão-eormação para o aço CA-50. Complete o quaro abaio e eina o iagrama uano a eguinte ecala: eormação: 1 cm 1 tenão: 1 cm 100 MPa ε 0,0 1,0,0 3,0 4,0 5,0 10,0 σ (MPa) upr/tc405

19 .1 Coniçõe gerai 1 QUALIDADE DAS ESTRUTURAS A etrutura e concreto evem atener ao requiito mínimo e qualiae, urante ua contrução e erviço, e ao requiito aicionai etabelecio em conjunto entre o autor o projeto etrutural e o contratante. O requiito a qualiae e uma etrutura e concreto ão claiicao em trê grupo itinto: capaciae reitente, que conite baicamente na egurança à ruptura; eempenho em erviço, que conite na capaciae a etrutura manter-e em coniçõe plena e utilização, não eveno apreentar ano que comprometam em parte ou totalmente o uo para o qual oi projetaa; e urabiliae, que conite na capaciae a etrutura reitir à inluência ambientai previta e einia em conjunto pelo autor o projeto etrutural e o contratante, no início o trabalho e elaboração o projeto. A olução etrutural aotaa em projeto eve atener ao requiito e qualiae etabelecio na norma técnica, relativo: à capaciae reitente (etao limite último - ELU); ao eempenho em erviço (etao limite e erviço - ELS); e à urabiliae a etrutura. A qualiae a olução aotaa eve aina conierar a coniçõe: arquitetônica; uncionai; contrutiva; etruturai; e e integração com o emai projeto (elétrico, hiráulico, ar conicionao, etc.). Toa a coniçõe impota ao projeto evem er etabelecia previamente e em comum acoro entre o autor o projeto etrutural e o contratante. Para atener ao requiito e qualiae impoto à etrutura e concreto, o projeto eve atener a too o requiito etabelecio na ABNT NBR 6118 e em outra complementare e epecíica, conorme o cao. A eigência relativa à capaciae reitente e ao eempenho em erviço eiam e er atieita quano ão ultrapaao o repectivo etao limite. A eigência e urabiliae eiam e er atenia quano não ão obervao o critério e projeto einio na eção 7 a ABNT NBR Para tipo epeciai e etrutura, evem er atenia eigência particulare etabelecia em Norma Braileira. Eigência particulare poem, por eemplo, conitir em reitência a eploõe, ao impacto, ao imo, ou aina relativa a etanqueiae, ao iolamento térmico ou acútico.. Etao limite..1 Etao limite último (ELU) Etao limite relacionao ao colapo, ou a qualquer outra orma e ruína etrutural, que etermine a paraliação o uo a etrutura. A egurança a etrutura e concreto eve empre er veriicaa em relação ao eguinte etao limite último: 1 O teto relativo a eta eção é, baicamente, uma cópia o capítulo 5 a ABNT NBR upr/tc405

20 etao limite último a pera o equilíbrio a etrutura, amitia como corpo rígio; etao limite último e egotamento a capaciae reitente a etrutura, no eu too ou em parte, evio à olicitaçõe normai e tangenciai, amitino-e a reitribuição e eorço interno, ee que eja repeitaa a capaciae e aaptação plática, e amitino-e, em geral, a veriicaçõe eparaa a olicitaçõe normai e tangenciai; etao limite último e egotamento a capaciae reitente a etrutura, no eu too ou em parte, conierano o eeito e eguna orem; etao limite último provocao por olicitaçõe inâmica; etao limite e colapo progreivo; e outro etao limite último que eventualmente poam ocorrer em cao epeciai... Etao limite e erviço (ELS) Etao limite e erviço ão aquele relacionao à urabiliae a etrutura, aparência, conorto o uuário e a boa utilização uncional a mema, eja em relação ao uuário, eja em relação à máquina e ao equipamento utilizao. A egurança a etrutura e concreto poe eigir a veriicação e algun o eguinte etao limite e erviço: etao limite e ormação e iura (ELS-F) etao limite e abertura a iura (ELS-W) etao limite e eormaçõe eceiva (ELS-DEF) etao limite e vibraçõe eceiva (ELS-VE) Em contruçõe epeciai poe er neceário veriicar a egurança em relação a outro etao limite e erviço ierente o acima einio....1 Etao limite e ormação e iura (ELS-F) Etao em que e inicia a ormação e iura. Amite-e que ete etao limite é atingio quano a tenão e tração máima na eção tranveral or igual à reitência o concreto à tração na leão (13.4. e a ABNT NBR 6118).... Etao limite e abertura a iura (ELS-W) Etao em que a iura e apreentam com abertura iguai ao máimo etabelecio em e a ABNT NBR Etao limite e eormaçõe eceiva (ELS-DEF) Etao em que a eormaçõe atingem o limite etabelecio para a utilização normal ao em 13.3 e a ABNT NBR Etao limite e vibraçõe eceiva (ELS-VE) Etao em que a vibraçõe atingem o limite etabelecio para a utilização normal a contrução..3 Durabiliae a etrutura e concreto 1 A etrutura e concreto evem er projetaa e contruía e moo que ob a coniçõe ambientai previta na época o projeto e quano utilizaa conorme preconizao em projeto conervem ua egurança, etabiliae e aptião em erviço urante o períoo correponente à ua via útil. Por via útil e projeto, entene-e o períoo e tempo urante o qual e mantêm a caracterítica a etrutura e concreto, ee que atenio o requiito e uo e manutenção precrito pelo projetita e pelo contrutor, bem como e eecução e reparo neceário ecorrente e ano acientai. O conceito e via útil aplica-e à etrutura como um too ou à ua parte. Deta orma, eterminaa parte a etrutura poem merecer conieração epecial com valor e via útil ierente o too. 1 O teto relativo a eta eção é, baicamente, uma cópia o capítulo 6 a ABNT NBR upr/tc405

21 A urabiliae a etrutura e concreto requer cooperação e eorço coorenao e too o envolvio no proceo e projeto, contrução e utilização, eveno, como mínimo, er eguio o que etabelece a ABNT NBR 1655, eno também obeecia a ipoiçõe contante e manual e utilização, inpeção e manutenção. O manual e utilização, inpeção e manutenção eve er prouzio por proiional habilitao, eviamente contratao pelo contratante, e acoro com o porte a contrução, a agreiviae o meio, a coniçõe e projeto, materiai e prouto utilizao na eecução a obra. Ee manual eve epeciicar e orma clara e ucinta, o requiito báico para a utilização e a manutenção preventiva, neceária para garantir a via útil previta para a etrutura, conorme inicao na ABNT NBR Mecanimo e envelhecimento e eterioração O mecanimo e envelhecimento e eterioração ão reerente ao concreto, a armaura e a etrutura propriamente ita. O mecanimo preponerante e eterioração relativo ao concreto ão: liiviação, por ação e água pura, carbônica agreiva ou ácia que iolvem e carreiam o compoto hiratao a pata e cimento; epanão por ação e água e olo que contenham ou etejam contaminao com ulato, ano origem a reaçõe epaniva e eletéria com a pata e cimento hiratao; epanão por ação a reaçõe entre o álcali o cimento e certo agregao reativo; e reaçõe eletéria upericiai e certo agregao ecorrente e tranormaçõe e prouto erruginoo preente na ua contituição mineralógica. O mecanimo preponerante e eterioração relativo à armaura ão: epaivação por carbonatação, ou eja, por ação o gá carbônico a atmoera; e epaivação por elevao teor e íon cloro (cloreto). O mecanimo e eterioração a etrutura propriamente ita ão too aquele relacionao à açõe mecânica, movimentaçõe e origem térmica, impacto, açõe cíclica, retração, luência e relaação..3. Agreiviae o ambiente A agreiviae o meio ambiente etá relacionaa à açõe íica e química que atuam obre a etrutura e concreto, inepenentemente a açõe mecânica, a variaçõe volumétrica e origem térmica, a retração hiráulica e outra previta no imenionamento a etrutura e concreto. No projeto a etrutura corrente, a agreiviae ambiental eve er claiicaa e acoro com o apreentao na Tabela.1 e poe er avaliaa, impliicaamente, eguno a coniçõe e epoição a etrutura ou e ua parte. O reponável pelo projeto etrutural, e poe e ao relativo ao ambiente em que erá contruía a etrutura, poe conierar claiicação mai agreiva que a etabelecia na Tabela upr/tc405

22 1) ) 3) Clae e agreiviae ambiental Agreiviae Claiicação geral o tipo e ambiente para eeito e projeto Rico e eterioração a etrutura I Fraca Rural Submera Inigniicante II Moeraa Urbana 1), ) Pequeno III Forte Marinha 1) 1), ) Inutrial Grane IV Muito Forte 1), 3) Inutrial Repingo e maré Elevao Poe-e amitir um microclima com uma clae e agreiviae mai brana (um nível acima) para ambiente interno eco (ala, ormitório, banheiro, cozinha e área e erviço e apartamento reienciai e conjunto comerciai ou ambiente com concreto revetio com argamaa e pintura). Poe-e amitir uma clae e agreiviae mai brana (um nível acima) em: obra em regiõe e clima eco, com umiae relativa o ar menor ou igual a 65%, parte e etrutura protegia e chuva em ambiente preominantemente eco, ou regiõe one chove raramente. Ambiente quimicamente agreivo, tanque inutriai, galvanoplatia, branqueamento em inutria e celuloe e papel, armazén e ertilizante, inutria química. Tabela.1 - Clae e agreiviae ambiental.4 Critério e projeto viano a urabiliae Drenagem Deve er evitaa a preença ou acumulação e água proveniente e chuva ou ecorrente e água e limpeza e lavagem, obre a uperície a etrutura e concreto. A uperície epota que neceitam er horizontai, tai como cobertura, pátio, garagen, etacionamento, e outra, evem er convenientemente renaa, com ipoição e ralo e conutore. Toa a junta e movimento ou e ilatação, em uperície ujeita à ação e água, evem er convenientemente elaa, e orma a torná-la etanque à paagem (percolação) e água. Too o topo e platibana e paree evem er protegio por chapin. Too o beirai evem ter pingaeira e o encontro a ierente nívei evem er protegio por ruo..4. Forma arquitetônica e etruturai Dipoiçõe arquitetônica ou contrutiva que poam reuzir a urabiliae a etrutura evem er evitaa. Deve er previto em projeto o aceo para inpeção e manutenção e parte a etrutura com via útil inerior ao too, tai como aparelho e apoio, caiõe, inerto, impermeabilizaçõe e outro..4.3 Qualiae o concreto e cobrimento A urabiliae a etrutura é altamente epenente a caracterítica o concreto e a epeura e qualiae o concreto o cobrimento a armaura. Enaio comprobatório e eempenho a urabiliae a etrutura rente ao tipo e nível e agreiviae previto em projeto evem etabelecer o parâmetro mínimo a erem atenio. Na alta ete e evio à eitência e uma orte correponência entre a relação água/cimento, a reitência à compreão o concreto e ua urabiliae, permite-e aotar o requiito mínimo epreo na Tabela.. 1 O teto relativo a eta eção é, baicamente, uma cópia o capítulo 7 a ABNT NBR upr/tc405

23 Concreto Relação água/cimento em maa Clae e concreto (ABNT NBR 8953) Clae e agreiviae (Tabela.1) I II III IV 0,65 0,60 0,55 0,45 C0 C5 C30 C40 Tabela. - Correponência entre clae e agreiviae e qualiae o concreto O requiito a Tabela. e Tabela.3 ão válio para concreto eecutao com cimento Portlan que atena, conorme eu tipo e clae, à epeciicaçõe a ABNT NBR 573, ABNT NBR 5733, ABNT NBR 5735, ABNT NBR 5736, ABNT NBR 5737, ABNT NBR 11578, ABNT NBR 1989 ou ABNT NBR 13116, com conumo mínimo e cimento por metro cúbico e concreto e acoro com a ABNT NBR Não é permitio o uo e aitivo conteno cloreto na ua compoição em etrutura e concreto armao Cobrimento O cobrimento mínimo a armaura é o menor valor que eve er repeitao ao longo e too o elemento conierao e que e contitui num critério e aceitação. Para garantir o cobrimento mínimo (c min ) o projeto e a eecução evem conierar o cobrimento nominal (c nom ), que é o cobrimento mínimo acrecio a tolerância e eecução ( c). Aim a imenõe a armaura e o epaçaore evem repeitar o cobrimento nominai, etabelecio na Tabela.3 para c 10 mm. Na obra corrente o valor e c eve er maior ou igual a 10 mm. 1) ) Componente ou elemento Clae e agreiviae ambiental (Tabela.1) I II III IV ) Cobrimento nominal (c nom ) Laje 1) 0 mm 5 mm 35 mm 45 mm Viga 1) e Pilar 5 mm 30 mm 40 mm 50 mm Para a ace uperior e laje e viga que erão revetia com argamaa e contrapio, com revetimento inai eco tipo carpete e maeira, com argamaa e revetimento e acabamento tai como pio e elevao eempenho, pio cerâmico, pio aáltico, e outro tanto, a eigência eta tabela poem er ubtituía pelo cobrimento nominal reerente à barra ou eie (c nom φ barra ou c nom φ eie ), repeitao um cobrimento nominal e no mínimo 15 mm (c nom 15 mm). Na ace ineriore e laje e viga e reervatório, etaçõe e tratamento e água e egoto, conuto e egoto, canaleta e eluente e outra obra em ambiente química e intenamente agreivo a armaura eve ter cobrimento nominal igual ou maior que 45 mm (c nom 45 mm). Tabela.3 - Correponência entre clae e agreiviae ambiental e cobrimento nominal para c 10 mm Quano houver um aequao controle e qualiae e rígio limite e tolerância a variabiliae a meia urante a eecução poe er aotao o valor c 5 mm, ma a eigência e controle rigoroo eve er eplicitaa no eenho e projeto. Permite-e, então, a reução o cobrimento nominai precrito na Tabela.3. em 5 mm. O cobrimento nominai e mínimo etão empre reerio à uperície a armaura eterna, em geral à ace eterna o etribo (Figura.1) upr/tc405

24 c l c t φ l φ t c l c nom φ l c t c nom φ t Figura.1 - Cobrimento e barra longituinai e tranverai O cobrimento nominal e uma barra ou e um eie e barra (Figura.) eve empre er: c c nom nom φ φ barra eie φ n φ n Equação.1 φ φ barra φ n φ n φ eie c nom φ n n 3 φ n φ 3 c nom φ n Figura. - Feie e barra A imenão máima caracterítica o agregao graúo utilizao no concreto não poe uperar em 0% a epeura nominal o cobrimento, ou eja: ma 1, c nom Equação..4.4 Controle a iuração O rico e a evolução a corroão o aço na região a iura e leão tranverai à armaura principal epene eencialmente a qualiae e a epeura o concreto e cobrimento a armaura. Abertura caracterítica limite e iura na uperície o concreto etabelecia no item a ABNT NBR 6118, em componente ou elemento e concreto armao, ão atiatória para a eigência e urabiliae..5 Simbologia epecíica.5.1 Símbolo bae c l c min c nom c t ma n φ φ barra φ eie φ l cobrimento a barra longituinal cobrimento mínimo cobrimento nominal (cobrimento mínimo acrecio a tolerância e eecução) cobrimento a barra tranveral (etribo) imenão máima caracterítica o agregao graúo número e barra que contituem um eie iâmetro a barra que contituem um eie iâmetro a barra iâmetro equivalente e um eie e barra iâmetro a barra longituinal upr/tc405

25 φ n φ t c iâmetro equivalente e um eie e barra (iâmetro nominal) iâmetro a barra tranveral (etribo) tolerância e eecução para o cobrimento.5. Símbolo ubcrito barra eie ma min nom barra eie máimo mínimo nominal.6 Eercício E..1: Determinar a menor clae poível e concreto (menor ck ), bem como o maior ator poível água/cimento (maior A/C) para a eguinte contruçõe: contrução urbana, ambiente interno eco; contrução inutrial, ambiente eterno eco; e contrução marinha, ambiente eterno. E..: Determinar o cobrimento nominal a er aotao para a barra a viga e pilare a eguinte contruçõe: contrução urbana, ambiente interno eco; contrução inutrial, ambiente eterno eco; e contrução marinha, ambiente eterno. E..3: Determinar o valore e a e b o etribo abaio repreentao. A viga erá contruía em local e clae e agreiviae ambiental II, a barra longituinai uperiore tem iâmetro 10 mm, a barra longituinai ineriore tem iâmetro 16 mm e o etribo erá contituío por barra e 6,3 mm. Conierar valore inteiro (em 40 cm b centímetro) para a imenõe a e b, barra mai próima poível a ace e ignorar a curvatura o canto o etribo. 0 cm a E..4: Determinar a coorenaa o eio a barra longituinai motraa na igura abaio. A viga erá contruía em local e clae e y agreiviae ambiental I, a barra longituinai uperiore tem iâmetro 16 mm, a barra longituinai ineriore tem iâmetro 5 mm e o etribo erá contituío por barra e 8 mm. Conierar a barra mai próima poível a ace. 50 cm 30 cm upr/tc405

26 3 3AÇÕES, SOLICITAÇÕES E RESISTÊNCIAS Tipo e açõe Na análie etrutural eve er conieraa a inluência e toa a açõe que poam prouzir eeito igniicativo para a egurança a etrutura em eame, levano-e em conta o poívei etao limite último e o e erviço. A açõe a conierar claiicam-e e acoro com a ABNT NBR 8681 em: permanente; variávei; e ecepcionai Açõe permanente Açõe permanente ão a que ocorrem com valore praticamente contante urante toa a via a contrução. Também ão conieraa como permanente a açõe que crecem no tempo, teneno a um valor limite contante. A açõe permanente evem er conieraa com eu valore repreentativo mai eavorávei para a egurança. A açõe permanente ão contituía pela: açõe permanente ireta; e açõe permanente inireta Açõe permanente ireta A açõe permanente ireta ão contituía pelo: peo próprio a etrutura; peo o elemento contrutivo io e a intalaçõe permanente; e empuo permanente Peo próprio a etrutura Na contruçõe corrente amite-e que o peo próprio a etrutura eja avaliao conierano a maa epeciica o material conorme etabelecio em [1.4.] Peo o elemento contrutivo io e a intalaçõe permanente A maa epecíica o materiai e contrução corrente poem er avaliaa com bae no valore inicao na ABNT NBR 610. O peo a intalaçõe permanente ão conierao com o valore nominai inicao pelo repectivo orneceore Empuo permanente Conieram-e como permanente o empuo e terra e outro materiai granuloo quano orem amitio não removívei. Como repreentativo evem er conierao o valore caracterítico F k,up ou F k,in conorme a ABNT NBR Açõe permanente inireta A açõe permanente inireta ão contituía pela eormaçõe impota por: retração; luência; elocamento e apoio; e impereiçõe geométrica. 1 O teto relativo a ete capítulo é, baicamente, uma cópia o capítulo 11 e 1 a ABNT NBR upr/tc405

27 Retração o concreto A eormação epecíica e retração o concreto eve er calculaa conorme inica o Aneo A a ABNT NBR Na grane maioria o cao, permite-e que ela eja calculaa impliicaamente atravé a Tabela [1.], por interpolação. Ea tabela ornece o valor caracterítico uperior a eormação epecíica e retração entre o intante t 0 e t, ε c (t,t 0 ), em alguma ituaçõe uuai. No cao corrente a obra e concreto armao, em unção a retrição à retração o concreto, impota pela armaura, atiazeno o mínimo epeciicao na ABNT NBR 6118, o valor e ε c (t,t 0 ) poe er aotao igual a -5 ε (t,t ) 0,15 ( ) Equação 3.1 c 0 Ee valor amite elemento etruturai e imenõe uuai, entre 10 cm e 100 cm ujeito a umiae ambiental não inerior a 75%. O valor caracterítico inerior a retração o concreto é conierao nulo. No elemento etruturai permanente ubmetio a ierente coniçõe e umiae em ace opota, amite-e variação linear a retração ao longo a epeura o elemento etrutural entre o oi valore correponente a caa uma a ace Fluência o concreto A eormaçõe ecorrente a luência o concreto evem er calculaa conorme inica o Aneo A a ABNT NBR 618. No cao em que a tenão σ c (t 0 ) não varia igniicativamente, permite-e que ea eormaçõe ejam calculaa impliicaamente pela epreão: 1 ϕ(t,t0 ) εc (t,t0 ) σc(t0 ) + Equação 3. Eci(t0 ) Eci(8) one: ε c (t,t 0 ) é a eormação epecíica total o concreto entre o intante t 0 e t ; σ c (t 0 ) é a tenão no concreto evia ao carregamento aplicao em t 0 ; ϕ(t,t 0 ) é o limite para o qual tene o coeiciente e luência provocao por carregamento aplicao em t 0 ; E ci (t 0 ) é o móulo e elaticiae inicial o concreto no intante t 0 ; e E ci (8) é o móulo e elaticiae inicial o concreto ao 8 ia. O valor e ϕ(t,t 0 ) poe er calculao por interpolação a Tabela [1.]. Ea Tabela ornece o valor caracterítico uperior e ϕ(t,t 0 ) em alguma ituaçõe uuai. O valor caracterítico inerior e ϕ(t,t 0 ) é conierao nulo Delocamento e apoio O elocamento e apoio ó evem er conierao quano gerarem eorço igniicativo em relação ao conjunto a outra açõe, ito é, quano a etrutura or hiperetática e muito rígia. O elocamento e caa apoio eve er avaliao em unção a caracterítica íica o correponente material e unação. Como repreentativo ee elocamento, evem er conierao o valore caracterítico uperiore, δ k,up, calculao com avaliação peimita a rigiez o material e unação, correponente, em princípio, ao quantil e 5% a repectiva itribuição e probabiliae. O valore caracterítico ineriore poem er conierao nulo. O conjunto ee elocamento contitui-e numa única ação, amitino-e que too ele ejam majorao pelo memo coeiciente e poneração Impereiçõe geométrica Na veriicação o etao limite último a etrutura reticulaa, evem er conieraa a impereiçõe geométrica o eio o elemento etruturai a etrutura ecarregaa. Ea impereiçõe poem er iviia em oi grupo: upr/tc405

28 impereiçõe globai; e impereiçõe locai Açõe variávei A açõe variávei ão contituía pela: açõe variávei ireta; e açõe variávei inireta Açõe variávei ireta A açõe variávei ireta ão contituía pela: carga acientai 1 previta para o uo a contrução; e ação o vento e a chuva. Toa a açõe evem repeitar a precriçõe eita por Norma Braileira epecíica Carga acientai previta para o uo a contrução A carga acientai correponem normalmente a: carga verticai e uo a contrução; carga móvei, conierano o impacto vertical; impacto lateral; orça longituinal e renação ou aceleração; e orça centríuga. Ea carga evem er ipota na poiçõe mai eavorávei para o elemento etuao, realvaa a impliicaçõe permitia por Norma Braileira epecíica Ação o vento O eorço evio à ação o vento evem er conierao e recomena-e que ejam eterminao e acoro com o precrito pela ABNT NBR 613, permitino-e o emprego e regra impliicaa previta em Norma Braileira epecíica Ação a água O nível 'água, ou e outro líquio, aotao para cálculo e reervatório, tanque, ecantaore e outro eve er igual ao máimo poível compatível com o itema e etravaão, conierano apena o coeiciente γ γ 3 1, (ver 3.5 e 3.6). Na etrutura em que a água e chuva poa icar retia eve er conieraa a preença e uma lâmina e água correponente ao nível a renagem eetivamente garantia pela contrução Açõe variávei urante a contrução A etrutura em que toa a ae contrutiva não tenham ua egurança garantia pela veriicação a obra pronta, evem ter, incluía no projeto, a veriicaçõe a ae contrutiva mai igniicativa e ua inluência na ae inal. A veriicação e caa uma ea ae eve er eita conierano a parte a etrutura já eecutaa e a etrutura proviória auiliare com o repectivo peo próprio. Além io evem er conieraa a carga acientai e eecução Açõe variávei inireta A açõe variávei inireta ão contituía pela: variaçõe uniorme e temperatura; e variaçõe não uniorme e temperatura Variaçõe uniorme e temperatura A variação a temperatura a etrutura, cauaa globalmente pela variação a temperatura a atmoera e pela inolação ireta, é conieraa uniorme. Ela epene o local e implantação a contrução e a imenõe o elemento etruturai que a compõem. 1 O termo "carga acientai", embora batante conagrao na engenharia braileira e etrutura, não repreenta carregamento que provoque aciente, ma correpone, apena e tão omente, a "carga não permanente". No paie e língua inglea, carga acientai (não permanente) ão einia como "live loa" e carga permanente como "ea loa" upr/tc405

29 De maneira genérica poem er aotao o eguinte valore: para elemento etruturai cuja menor imenão não eja uperior a 50 cm, eve er conieraa uma ocilação e temperatura em torno a méia e 10ºC a 15ºC; para elemento etruturai maciço ou oco com o epaço vazio inteiramente echao, cuja menor imenão eja uperior a 70 cm, amite-e que ea ocilação eja reuzia repectivamente para 5ºC a 10ºC; e para elemento etruturai cuja menor imenão eteja entre 50 cm e 70 cm amite-e que eja eita uma interpolação linear entre o valore acima inicao. A ecolha e um valor entre ee oi limite poe er eita conierano 50% a ierença entre a temperatura méia e verão e inverno, no local a obra. Em eiício e vário anare evem er repeitaa a eigência contrutiva precrita pela ABNT NBR 6118 para que ejam minimizao o eeito a variaçõe e temperatura obre a etrutura a contrução Variaçõe não uniorme e temperatura No elemento etruturai em que a temperatura poa ter itribuição igniicativamente ierente a uniorme, evem er conierao o eeito ea itribuição. Na alta e ao mai precio, poe er amitia uma variação linear entre o valore e temperatura aotao, ee que a variação e temperatura conieraa entre uma ace e outra a etrutura não eja inerior a 5ºC Açõe inâmica Quano a etrutura, pela ua coniçõe e uo, etá ujeita a choque ou vibraçõe, o repectivo eeito evem er conierao na eterminação a olicitaçõe e a poibiliae e aiga eve er conieraa no imenionamento o elemento etruturai e acoro com a eção 3 a ABNT NBR Açõe ecepcionai No projeto e etrutura ujeita a ituaçõe ecepcionai e carregamento, cujo eeito não poam er controlao por outro meio, evem er conieraa açõe ecepcionai com o valore einio, em caa cao particular, por Norma Braileira epecíica. 3. Tipo e etrutura Seguno a ABNT NBR 8681, a etrutura ão claiicaa como: grane ponte; eiicaçõe tipo 1; e eiicaçõe tipo Grane ponte Grane ponte ão aquela em que o peo próprio a etrutura upera 75% a totaliae a açõe permanente. 3.. Eiicaçõe tipo 1 Eiicaçõe tipo 1 ão aquela one a carga acientai uperam 5 kn/m Eiicaçõe tipo Eiicaçõe tipo ão aquela one a carga acientai não uperam 5 kn/m. 3.3 Valore a açõe Valore caracterítico O valore caracterítico F k a açõe ão etabelecio em unção a variabiliae e ua inteniae Açõe permanente Para a açõe permanente, o valore caracterítico evem er aotao iguai ao valore méio a repectiva itribuiçõe e probabiliae, ejam valore caracterítico upr/tc405

30 uperiore ou ineriore. Ee valore etão einio na ABNT NBR 6118 ou em Norma Braileira epecíica, como a ABNT NBR 610. Algun valore apreentao na ABNT NBR 610, para peo epecíico e materiai e contrução, correponem a: bloco e argamaa... kn/m 3 lajota cerâmica kn/m 3 tijolo urao kn/m 3 tijolo maciço kn/m 3 argamaa e cal, cimento e areia kn/m 3 argamaa e cimento e areia... 1 kn/m 3 concreto imple... 4 kn/m 3 concreto armao... 5 kn/m Açõe variávei O valore caracterítico a açõe variávei, F qk etabelecio por coneno e inicao em Norma Braileira epecíica, correponem a valore que têm e 5% a 35% e probabiliae e erem ultrapaao no entio eavorável, urante um períoo e 50 ano, o que igniica que o valor caracterítico F qk é o valor com períoo méio e retorno e 00 a 140 ano repectivamente. Ee valore etão einio na ABNT NBR 6118 ou em Norma Braileira epecíica, como a ABNT NBR 610. Algun valore apreentao na ABNT NBR 610, para valore mínimo e carga verticai, correponem a: gináio e eporte... 5,0 kn/m loja... 4,0 kn/m retaurante... 3,0 kn/m ecritório...,0 kn/m orro... 0,5 kn/m eiício reienciai ormitório, ala, copa, cozinha e banheiro... 1,5 kn/m epena, área e erviço e lavaneria...,0 kn/m ecaa com aceo ao público... 3,0 kn/m em aceo ao público...,5 kn/m 3.3. Valore repreentativo A açõe ão quantiicaa por eu valore repreentativo, que poem er: valore caracterítico conorme einio em 3.3.1; valore convencionai ecepcionai, que ão o valore arbitrao para a açõe ecepcionai; valore reuzio, em unção a combinação e açõe, tai como:! veriicaçõe e etao limite último, quano a ação conieraa e combina com a ação principal. O valore reuzio ão eterminao a partir o valore caracterítico pela epreão ψ 0 F k, que coniera muito baia a probabiliae e ocorrência imultânea o valore caracterítico e ua ou mai açõe variávei e natureza ierente; e! veriicaçõe e etao limite e erviço. Ete valore reuzio ão eterminao a partir o valore caracterítico pela epreõe ψ 1 F k e ψ F k, que etimam valore reqüente e quae permanente, repectivamente, e uma ação que acompanha a ação principal Valore e cálculo O valore e cálculo F a açõe ão obtio a partir o valore repreentativo, multiplicano-o pelo repectivo coeiciente e poneração γ upr/tc405

31 3.4 Tipo e carregamento 1 Durante o períoo e via a contrução, poem ocorrer o eguinte tipo e carregamento: normal; epecial; ecepcional; ou e contrução. O tipo e carregamento poem er e longa uração ou tranitório, conorme eu tempo e uração Carregamento normal O carregamento normal ecorre o uo previto para contrução. Amite-e que o carregamento normal poa ter uração igual ao períoo e reerência a etrutura, e empre eve er conierao na veriicação a egurança, tanto em relação a etao limite último quanto em relação a etao limite e erviço Carregamento epecial Um carregamento epecial ecorre a atuação e açõe variávei e natureza ou inteniae epeciai, cujo eeito uperem em inteniae o eeito prouzio pela açõe conieraa no carregamento normal. O carregamento epeciai ão tranitório, com uração muito pequena em relação ao períoo e reerência a etrutura. O carregamento epeciai ão em geral conierao apena na veriicação a egurança em relação ao etao limite último, não e obervano a eigência reerente ao etao limite e erviço Carregamento ecepcional Um carregamento ecepcional ecorre a atuação e açõe ecepcionai que poem provocar eeito catatróico. O carregamento ecepcionai omente evem er conierao no projeto e etrutura e eterminao tipo e contrução, para o quai a ocorrência e açõe ecepcionai não poa er eprezaa e que, além io, na concepção etrutural, não poam er tomaa meia que anulem ou atenuem a graviae a coneqüência o eeito ea açõe. O carregamento ecepcional é tranitório, com uração etremamente curta. Com um carregamento o tipo ecepcional, coniera-e apena a veriicação a egurança em relação a etao limite último, atravé e uma única combinação última ecepcional e açõe Carregamento e contrução O carregamento e contrução é conierao apena na etrutura em que haja rico e ocorrência e etao limite, já urante a ae e contrução. O carregamento e contrução é tranitório e ua uração eve er einia em caa cao particular. Devem er conieraa tanta combinaçõe e açõe quanta ejam neceária para veriicação a coniçõe e egurança em relação a too o etao limite que ão e e temer urante a ae e contrução. 3.5 Coeiciente e poneração a açõe Etao limite último Coeiciente e majoração e açõe Quano e conieram etao limite último, o coeiciente γ e poneração (majoração) a açõe poem er conierao como o prouto e oi outro, e tal orma que: one : γ 1 γ 3 γ γ γ 1,0 Equação leva em conta a variabiliae a açõe; e coniera o poívei erro e avaliação o eeito a açõe, eja por problema contrutivo, eja por eiciência o métoo e cálculo empregao. 1 O teto relativo a ete capítulo é, baicamente, uma cópia o item 4.3. a ABNT NBR O coeiciente e combinação ψ 0 az o papel o terceiro coeiciente, que eria inicao por γ upr/tc405

32 O eobramento o coeiciente e egurança γ em coeiciente parciai permite que o valore gerai etabelecio para γ poam er icriminao em unção e peculiariae o ierente tipo e etrutura e e materiai e contrução conierao. Teno em vita a ivera açõe levaa em conta no projeto, o ínice o coeiciente γ poe er alterao para ientiicar a ação conieraa, reultano o ímbolo γ g, γ q e γ ε, e tal orma que: γg (açõe permanente ireta) γεg (açõe permanente inireta) γ γ1 γ 3 Equação 3.4 γq (açõe variávei ireta) γεq (açõe variávei inireta) O coeiciente e poneração para combinaçõe última γ g, γ εg, γ q e γ εq ão apreentao, em orma e tabela, na ABNT NBR 8681, conierano: açõe permanente ireta conieraa eparaamente (Tabela 1); açõe permanente ireta agrupaa (Tabela ); eeito e recalque e apoio e e retração o materiai (Tabela 3); açõe variávei conieraa eparaamente (Tabela 4); e açõe variávei conieraa conjuntamente (Tabela 5). A ABNT NBR 6118 procura intetizar, na ua Tabela 11.1, o valore mai uao apreentao na Tabela 1 a 5 e ABNT NBR Por e tratar e uma tabela incompleta (não leva em conta o tipo e etrutura, não ierencia açõe conieraa eparaamente e açõe agrupaa, não apreenta coeiciente para eeito e temperatura, etc.) recomena-e, empre, o uo a tabela a ABNT NBR Quano a açõe permanente ireta ão agrupaa (Tabela 1 a ABNT NBR 8681) e a açõe variávei ão conieraa conjuntamente (Tabela 5 a ABNT NBR 8681), o valore e γ g, γ εg, γ q e γ εq aumem o valore apreentao na Tabela 3.1 1, Tabela 3. e Tabela 3.3. Combinaçõe e açõe Grane ponte Açõe Permanente Variávei Direta (γ g ) Inireta (γ εg ) Direta (γ q ) Inireta (γ εq ) D F D F D F D F Normai 1,3 1,0 1, 0,0 1,5 0,0 1, 0,0 Epeciai ou e contrução 1, 1,0 1, 0,0 1,3 0,0 1,0 0,0 Ecepcionai 1,1 1,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 D eavorável F avorável Tabela ELU - Coeiciente γ Grane ponte - Açõe permanente ireta agrupaa e açõe variávei conieraa conjuntamente 1 A Tabela 3.1, Tabela 3. e Tabela 3.3 oram contruía com bae na airmação contia no roapé a Tabela 5 a ABNT NBR 8681: Quano a açõe variávei orem conieraa conjuntamente, o coeiciente e poneração motrao na tabela 5 e aplica a toa a açõe, eveno-e conierar também conjuntamente a açõe permanente ireta. Nee cao permite-e conierar eparaamente a açõe inireta como recalque e apoio e retração o materiai conorme tabela 3 e o eeito e temperatura conorme tabela upr/tc405

33 Combinaçõe e açõe Eiicaçõe tipo 1 e ponte em geral Açõe Permanente Variávei Direta (γ g ) Inireta (γ εg ) Direta (γ q ) Inireta (γ εq ) D F D F D F D F Normai 1,35 1,0 1, 0,0 1,5 0,0 1, 0,0 Epeciai ou e contrução 1,5 1,0 1, 0,0 1,3 0,0 1,0 0,0 Ecepcionai 1,15 1,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 D eavorável F avorável Tabela 3. - ELU - Coeiciente γ Eiicaçõe tipo 1 e ponte em geral - Açõe permanente ireta agrupaa e açõe variávei conieraa conjuntamente Combinaçõe e açõe Eiicaçõe tipo Açõe Permanente Variávei Direta (γ g ) Inireta (γ εg ) Direta (γ q ) Inireta (γ εq ) D F D F D F D F Normai 1,4 1,0 1, 0,0 1,4 0,0 1, 0,0 Epeciai ou e contrução 1,3 1,0 1, 0,0 1, 0,0 1,0 0,0 Ecepcionai 1, 1,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 D eavorável F avorável Tabela ELU - Coeiciente γ Eiicaçõe tipo - Açõe permanente ireta agrupaa e açõe variávei conieraa conjuntamente O valor o coeiciente e poneração, e carga permanente e mema origem, num ao carregamento, eve er o memo ao longo e toa etrutura. A única eceção é o cao a veriicação a etabiliae como corpo rígio. O valor o coeiciente e poneração, para açõe variávei ireta ecorrente e empuo 'água, ou e outro líquio, aotao para cálculo e reervatório, tanque, ecantaore e outro eve er conierano como eno 1,1 (ver ) Pilare com imenão inerior a 0 cm Em cao epeciai, permite-e a conieração e pilare ou pilare-paree com imenõe entre 19 cm e 1 cm, ee que e multipliquem a açõe a erem conieraa no imenionamento por um coeiciente aicional (coeiciente e ajutamento) γ n apreentao na Tabela 3.4. Em qualquer cao não e permite pilar com eção tranveral inerior a 360 cm upr/tc405

34 b (cm) γ n 1,00 1,05 1,10 1,15 1,0 1,5 1,30 1,35 one: γ n 1,95 0,05b (b em cm) b é a menor imenão a eção tranveral a paree ou pilar. nota: o coeiciente γ n eve majorar o eorço olicitante inai e cálculo no pilare, quano e eu imenionamento. Tabela Coeiciente γ n - ELU Fatore e combinação e açõe A conieração a imultaneiae a açõe variávei é eprea pelo ator ψ 0 a ABNT NBR 8681 e etão, reumiamente, apreentao na Tabela 3.5. O ator ψ 0 poe er repreentao por: γ γ ψ 1,0 Equação Carga acientai e eiício Vento Temperatura Paarela e ponte Tabela Coeiciente γ ELU Açõe ψ 0 Eiicaçõe reienciai, e aceo retrito 0,5 Eiicaçõe comerciai, e ecritório e e aceo público Biblioteca, arquivo, epóito, oicina e garagen Preão inâmica o vento na etrutura em geral Variaçõe uniorme e temperatura em relação à méia anual local 0,7 0,8 0,6 0,6 Paarela e peetre 0,6 Ponte rooviária 0,7 Ponte erroviária não epecializaa 0,8 Ponte erroviária epecializaa 1,0 Viga e rolamento e ponte rolante 1, Etao limite e erviço O coeiciente e poneração a açõe para etao limite e erviço é ao pela Equação 3.6 e tem valor variável conorme a veriicação que e eeja azer (Tabela 3.6). γ γ Equação 3.6 one: γ 1,0 para combinaçõe rara; γ ψ 1 para combinaçõe reqüente; e γ ψ para combinaçõe quae permanente upr/tc405

35 Carga acientai e eiício 1) ) Vento Temperatura Paarela e ponte Açõe ψ 1 ψ 1), ) Eiicaçõe reienciai, e aceo retrito 0,4 0,3 Eiicaçõe comerciai, e ecritório e e aceo público Biblioteca, arquivo, epóito, oicina e garagen Preão inâmica o vento na etrutura em geral Variaçõe uniorme e temperatura em relação à méia anual local 0,6 0,4 0,7 0,6 0,3 0,0 0,5 0,3 Paarela e peetre 0,4 0,3 Ponte rooviária 0,5 0,3 Ponte erroviária não epecializaa 0,7 0,5 Ponte erroviária epecializaa 1,0 0,6 Viga e rolamento e ponte rolante 0,8 0,5 Para combinaçõe ecepcionai one a ação principal or imo, amite-e aotar para ψ o valor zero. Para combinaçõe ecepcionai one a ação principal or o ogo, o ator e reução ψ poe er reuzio, multiplicano-o por 0,7. Tabela Coeiciente γ - ELS 3.6 Combinaçõe e açõe Um carregamento é einio pela combinação a açõe que têm probabiliae não eprezívei e atuarem imultaneamente obre a etrutura, urante um períoo pré-etabelecio. A combinação a açõe eve er eita e orma que poam er eterminao o eeito mai eavorávei para a etrutura. A veriicação a egurança em relação ao etao limite último e ao etao limite e erviço eve er realizaa em unção e combinaçõe última e combinaçõe e erviço, repectivamente Combinaçõe última Uma combinação última poe er claiicaa em: normal; epecial ou e contrução; e ecepcional Combinaçõe última normai Em caa combinação evem etar incluía a açõe permanente e a ação variável principal, com eu valore caracterítico e a emai açõe variávei, conieraa como ecunária, com eu valore reuzio e combinação, conorme ABNT NBR De moo geral, a combinaçõe última uuai e açõe everão conierar: o egotamento a capaciae reitente e elemento etruturai e concreto armao; e a pera e equilíbrio como corpo rígio Egotamento a capaciae reitente e elemento etruturai A equação para o cálculo e olicitaçõe conierano o poível egotamento a capaciae reitente e elemento etruturai e concreto armao poe er repreentaa por: F γ F + γ F + γ (F + ψ F ) + γ ψ F Equação 3.7 g gk εg εgk q q1k 0j qjk εq 0ε εqk upr/tc405

36 one: F é o valor e cálculo a açõe para combinação última. F gk repreenta a açõe permanente ireta (valor caracterítico): peo próprio a etrutura; peo o elemento contrutivo io a intalaçõe permanente; e empuo permanente. F εgk repreenta a açõe permanente inireta (valor caracterítico): retração o concreto; luência o concreto; elocamento e apoio; e impereiçõe geométrica. F q1k repreenta a ação variável ireta conieraa como principal (valor caracterítico). F qjk repreenta a açõe variávei ireta a quai F q1k é ecolhia principal (valor caracterítico): carga acientai; ação o vento; e ação a água. F εqk repreenta a açõe variávei inireta (valor caracterítico): variaçõe uniorme e temperatura; e variaçõe não uniorme e temperatura. γ g repreenta o coeiciente e poneração para açõe permanente ireta: Grane ponte (Tabela 3.1): 1,3 para combinação eavorável; e 1,0 para combinação avorável. Eiicaçõe tipo 1 e ponte em geral (Tabela 3.): 1,35 para combinação eavorável; e 1,0 para combinação avorável. Eiicaçõe tipo (Tabela 3.3): 1,4 para combinação eavorável; e 1,0 para combinação avorável. γ εg repreenta o coeiciente e poneração para açõe permanente inireta (Tabela 3.1, Tabela 3. e Tabela 3.3): 1, para combinação eavorável; e 0,0 para combinação avorável. γ q repreenta o coeiciente e poneração para açõe variávei ireta: Grane ponte (Tabela 3.1): 1,5 para combinação eavorável; e 0,0 para combinação avorável. Eiicaçõe tipo 1 e ponte em geral (Tabela 3.): 1,5 para combinação eavorável; e 0,0 para combinação avorável. Eiicaçõe tipo (Tabela 3.3): 1,4 para combinação eavorável; e 0,0 para combinação avorável. γ εq repreenta o coeiciente e poneração para açõe variávei inireta (Tabela 3.1, Tabela 3. e Tabela 3.3): 1, para combinação eavorável; e 0,0 para combinação avorável. ψ 0j repreenta o ator e reução e combinação para açõe variávei ireta (Tabela 3.5): 0,5 para carga acientai e eiício reienciai; 0,7 para carga acientai e eiício comerciai ou e ecritório; 0,8 para biblioteca, arquivo, oicina e garagen; e 0,6 para o vento upr/tc405

37 ψ 0ε repreenta o ator e reução e combinação para açõe variávei inireta (Tabela 3.5): 0,6 para variaçõe uniorme e temperatura. No cao geral, evem er conieraa incluive combinaçõe one o eeito avorável a carga permanente eja reuzio pela conieração e γ g 1,0. No cao e etrutura uuai e eiício ea combinaçõe que conieram γ g reuzio (1,0) não preciam er conieraa. Deve er obervao que a Equação 3.7 não coniera a ação variável inireta (temperatura) como poível e er a ação principal entre a açõe variávei (ireta ou inireta). Cao o eeito e temperatura (F εqk ) venham a e contituir em ator altamente igniicativo para a eterminação o eorço em etrutura, contituino-e numa poível ação variável principal, a eguinte equação eve também er veriicaa: F γ F + γ F + γ ψ F + γ F Equação 3.8 g gk εg εgk q 0 j qjk Carga e Funaçõe A capaciae e carga 1 e unaçõe upericiai (apata) ou e unaçõe prouna (etaca ou tubulõe), e moo geral, ão einia por tenõe amiívei (unaçõe upericiai) ou carga amiívei (unaçõe prouna). Ea tenõe ou carga amiívei incluem coeiciente (atore) e egurança que minoram a reitência o elemento e unação. Seguno a Tabela 1 a ABNT NBR 61, o atore e egurança globai mínimo correponem a: capaciae e carga e unaçõe upericiai... 3,0 capaciae e carga e etaca ou tubulõe em prova e carga...,0 capaciae e carga e etaca ou tubulõe com prova e carga... 1,6 O valore a olicitaçõe correponente à reaçõe e apoio a erem uportaa por elemento e unação, ecorrente a combinaçõe e açõe etabelecia pela Equação 3.7 (etao limite último), conieram coeiciente e poneração (majoração) variávei e acoro com a natureza a açõe. Se a reaçõe e apoio a erem uportaa por elemento e unação, einia pela Equação 3.7 o etao limite último, orem uaa iretamente no projeto e unaçõe upericiai ou prouna, baeao no critério a tenõe ou carga amiívei, haverá um conronto e critério e egurança, poi: o critério o etao limite último ua coeiciente e egurança ierenciao tanto para a olicitaçõe (açõe) como para a reitência o materiai; e o critério a tenõe ou carga amiívei ua um único coeiciente e egurança global envolveno tanto a olicitaçõe (açõe) com a reitência o materiai. Portanto, para que não ocorra conronto entre critério e egurança, a aplicação o critério a tenõe ou carga amiívei na unaçõe upericiai ou prouna implica na neceiae a olicitaçõe reultante a combinaçõe e açõe atuante na etrutura erem conieraa em coeiciente e poneração (majoração). Por outro lao, a probabiliae e ocorrência imultânea e ierente açõe variávei (carga acientai, vento, temperatura, etc.), repreentaa pelo coeiciente ψ 0, eve er conieraa. Deta orma, a equação para a einição a reaçõe e apoio a erem uportaa por elemento e unação upericiai ou prouna, que empregam ator e egurança global (tenõe ou carga amiívei), correpone a: F,un gk εgk q1k 0 j qjk εq 0ε εqk F + F + (F + ψ F ) + ψ F Equação 3.9 εqk 1 A ABNT NBR 61 etabelece oi moo e veriicação e egurança. O cálculo empregano ator e egurança global (tenõe e carga amiívei) e o cálculo empregano-e atore e egurança parciai (etao limite último). O primeiro é quae que o único utilizao upr/tc405

38 A Figura 3.1 motra a olicitaçõe ecorrente a ivera combinaçõe e açõe, a erem uaa na veriicação a N z capaciae o terreno e unação H y upericial (apata). A orça normal M y N z, eno e compreão, tem o entio inicao na Figura. O M H momento letore M e M y, bem como a orça horizontai H e H y epenem a combinaçõe a açõe (ireção o vento, por eemplo) e poem aumir tanto valore poitivo como negativo. Figura 3.1 Solicitaçõe em apata e concreto armao Deve-e tomar muito cuiao com a manipulação a Equação 3.7 e a Equação 3.9. No cao epecíico a Figura 3.1, a Equação 3.7 eve er uaa para o imenionamento a apata e concreto armao, ao pao que a Equação 3.9 eria a uaa para a veriicação a capaciae o terreno e unação. Eemplo 3.1: Deinir a equação e cálculo a açõe para a combinação última normal (F ) e etrutura e eiício comerciai one o carregamento ão reultante e combinaçõe que ó levam em conieração a açõe permanente ireta (peo próprio a etrutura, paree, caia 'água, etc.) e açõe variávei ireta (carga acientai e vento). Conierar o egotamento a capaciae reitente e eiicaçõe tipo para: - carregamento gerai eavorávei; e - eeito avorável a carga permanente. Etabelecer, também, a equaçõe e cálculo a erem uaa em projeto e unação. Solução: Para a combinação última normal, everão er uao, para a Equação 3.7, o valore a Tabela 3.3 e a Tabela 3.5. Para o projeto e unaçõe ireta, everá er uaa a Equação 3.9. F gk : G k (valor caracterítico a ação permanente ireta) F qk,aci : Q k (valor caracterítico a ação variável ireta carga aciental) F qk,vento : W k (valor caracterítico a ação variável ireta vento) γ g : 1,4 (combinação normal, ação permanente ireta eavorável) 1,0 (combinação normal, ação permanente ireta avorável) γ q : 1,4 (combinação normal, ação variável ireta eavorável geral) 0,0 (combinação normal, ação variável ireta avorável) ψ 0 : 0,7 (carga aciental e eiício comercial - eavorável) 0,0 (carga aciental e eiício comercial - avorável) ψ 0 : 0,6 (vento - eavorável) 0,0 (vento - avorável) a. Ação permanente ireta eavorável (γ g 1,4) F γg Fgk + γεg Fε gk + γq (Fq1k + ψ0 j Fqjk ) + γεq ψ0ε Fε qk F 1,4 G k + 0,0 (Q k + 0,0 W k ) F 1,4 G k F 1,4 G k + 1,4 (Q k + 0,0 W k ) F 1,4 G k + 1,4 Q k F 1,4 G k + 1,4 (Q k + 0,6 W k ) F 1,4 G k + 1,4 Q k + 0,84 W k F 1,4 G k + 1,4 (W k + 0,0 Q k ) F 1,4 G k + 1,4 W k upr/tc405

39 F 1,4 G k + 1,4 (W k + 0,7 Q k ) F 1,4 G k + 1,4 W k + 0,98 Q k b. Ação permanente ireta avorável (γ g 1,0) F γg Fgk + γεg Fε gk + γq (Fq1k + ψ0 j Fqjk ) + γεq ψ0ε Fε qk F 1,0 G k + 0,0 (Q k + 0,0 W k ) F 1,0 G k F 1,0 G k + 1,4 (Q k + 0,0 W k ) F 1,0 G k + 1,4 Q k F 1,0 G k + 1,4 (Q k + 0,6 W k ) F 1,0 G k + 1,4 Q k + 0,84 W k F 1,0 G k + 1,4 (W k + 0,0 Q k ) F 1,0 G k + 1,4 W k F 1,0 G k + 1,4 (W k + 0,7 Q k ) F 1,0 G k + 1,4 W k + 0,98 Q k c. Ação para projeto e unação F,un Fgk + Fε gk + (Fq1k + ψ0j Fqjk ) + ψ0ε Fε qk F G k + 0,0 (Q k + W k ) F G k F G k + (Q k + 0,0 W k ) F G k + Q k F G k + (Q k + 0,6 W k ) F G k + Q k + 0,6 W k F G k + (W k + 0,0 Q k ) F G k + W k F G k + (W k + 0,7 Q k ) F G k + W k + 0,7 Q k. Obervaçõe.1 Vento Toa a equaçõe que envolvem o vento (W k ) equivalem a quatro, ou eja o vento tem que er conierao atuano na ua ireçõe principai a etrutura (a equera para ireita, a ireita para a equera, e baio para cima e e cima para baio). Ito vale izer que haveria 14 combinaçõe poívei e açõe (carregamento) para o item a e mai 14 combinaçõe para o item b. O total correponeria a 8 poívei combinaçõe e açõe (carregamento) para a conieração o etao limite último - combinação normal. W K4 W k W k1 W k3 planta e pilare a etrutura. Veriicação a unação ireta Também para o projeto e unação haveria outra 14 combinaçõe e açõe, epenente a ireçõe o vento. A planilha para ornecimento a açõe poívei e atuarem no elemento e unação, para caa um ele (caa pilar), tem o apecto motrao a eguir. É importante obervar que a 14 combinaçõe e açõe, iniviualmente, têm que er veriicaa. A combinação e valore a tabela, como por eemplo valore máimo, não eve er incluía como outro cao poívei e combinação e açõe upr/tc405

40 Sapata (Bloco) nº... N z M M y H H y cp cp + ca cp + ca + (0,6 vt 1 ) cp + ca + (0,6 vt ) cp + ca + (0,6 vt 3 ) cp + ca + (0,6 vt 4 ) cp + vt 1 cp + vt cp + vt 3 cp + vt 4 cp + vt 1 + (0,7 ca) cp + vt + (0,7 ca) cp + vt 3 + (0,7 ca) cp + vt 4 + (0,7 ca) cp: carga permanente ca: carga aciental vt: vento.3 Etrutura uuai e eiício Cao a etrutura venha a er conieraa como uual, o eeito ecorrente a açõe permanente ireta avorávei (γ g 1,0) não preciam er conierao. Ito vale izer que too o item b poeria er econierao..4 Carregamento obrigatório em etrutura A açõe (carregamento) conieraa nete eemplo (carga permanente, carga acientai e vento) contituem a açõe obrigatória e erem conieraa em toa a etrutura. Para qualquer tipo e etrutura, a ação o vento tem que er conieraa. Incluino a einição o carregamento no elemento e unação, ão neceária 4 combinaçõe e açõe para o projeto etrutural e um eiício e concreto armao. A conieração e açõe inireta (luência, retração, recalque e apoio, temperatura, etc.) elevaria bem mai ete valor Pera e equilíbrio como corpo rígio A equação para a veriicação a pera e equilíbrio como corpo rígio poe er repreentaa por: one: S(F ) S(F n ) F F n R G k G nk Q 1k Q jk Q,min F F ( ) S( F ) S F n γ γ g gn G G n k nk + R + γ q (Q 1k + ψ 0j Q jk ) γ q Q,min Equação 3.10 é o valor e cálculo a olicitaçõe etabilizante. é o valor e cálculo a olicitaçõe não etabilizante. repreenta a açõe etabilizante (valor e cálculo). repreenta a açõe não etabilizante (valor e cálculo). é o eorço reitente conierao como etabilizante, quano houver. é o valor caracterítico a ação permanente etabilizante. é o valor caracterítico a ação permanente intabilizante. é o valor caracterítico a ação variável intabilizante conieraa como principal. é o valor caracterítico a ação variável intabilizante. é o valor caracterítico mínimo a ação variável etabilizante que acompanha obrigatoriamente uma ação variável intabilizante upr/tc405

41 γ g γ gn γ q γ q ψ 0j repreenta o coeiciente e poneração para açõe permanente ireta etabilizante: 1,0 para combinação avorável. repreenta o coeiciente e poneração para açõe permanente ireta intabilizante: valore a Tabela 1 e a ABNT NBR repreenta o coeiciente e poneração para açõe variávei ireta intabilizante: valore a Tabela 4 e 5 a ABNT NBR repreenta o coeiciente e poneração a ação variável etabilizante que acompanha obrigatoriamente uma ação variável intabilizante: uar o valor que conuza ao máimo F n. repreenta o ator e reução e combinação para açõe variávei ireta intabilizante: uar valore que levem em conta a imultaneiae a açõe. Eemplo 3.: Veriicar a coniçõe e egurança quanto ao tombamento a barragem e rejeito abaio repreentaa. Conierar: maa epecíica o concreto a barragem igual a 00 kg/m 3 ; e maa epecíica o material e rejeito igual kg/m m 54 m 1H 1,8V 0 m A Solução: Deverá er veriicaa a conição e pera e equilíbrio como corpo rígio a barragem. Para tal everão er calculao o momento etabilizante [S(F )] e o momento não etabilizante [S(F n )] em relação ao pé a barragem (ponto A). A barragem erá egura e [S(F )] [S(F n )]. Deverão er uao, para a Equação 3.10, a eguinte notaçõe e o eguinte valore para a açõe e coeiciente: G k G pp,bar (peo próprio a barragem - ação caracterítica etabilizante) Q 1k E rej (empuo o material e rejeito - ação caracterítica não etabilizante) F γ g G k γ g G pp,bar (valor e cálculo a ação etabilizante) F n γ q Q 1k γ q E rej (valor e cálculo a ação não etabilizante) γ g 1,0 (combinação normal, ação permanente ireta avorável) γ q 1, (ver ) a. Maa epecíica e peo epecíico o concreto e o material e rejeito (valore caracterítico) ρ conc 00 kg/m 3 p conc 000 N/m 3 kn/m 3 ρ rej kg/m 3 p rej N/m 3 13 kn/m upr/tc405

42 b. Ação permanente etabilizante (peo próprio a barragem) H 54 m 1 1,8 G k B A 54 B 30 m 1,8 B H Gk Gpp,bar pconc 17 80,0 kn/m F γ G 1, ,0kN/m g k c. Ação variável não etabilizante (empuo o material e rejeito) Q 1k H 51 m A H 51 Q1k Erejei prejei ,5 kn/m F γ Q 1, ,5 0 86,6 kn/m n q 1k. Solicitaçõe e cálculo (momento reerente ao pé a barragem - ponto A) F F n H rej 51 m B 30 3 A bar ( ) M F 17 80, ,0 knm/m S F A B bar 30 m,pp,bar upr/tc405

43 H 51 3 A rejei ( ) M F 0 86, , knm/m S F n,emp,rejei n e. Conição e egurança ( ) > S( F ) barragem egura S F 13 ( ,0) 13 n (344 87,) 3. Conieração o material e rejeito como ólio Como o peo próprio a etrutura upera em 75% peo total a açõe permanente eve er conierao para γ q o valor 1,5 (Tabela 5 a ABNT NBR 8681)..1 Ação variável não etabilizante (empuo o material e rejeito) Q 1k H 51 m A H 51 Q1k Erejei prejei ,5 kn/m F γ Q 1, , ,5 kn/m n q 1k. Solicitaçõe e cálculo (momento reerente ao pé a barragem ponto A) F F n H rej 51 m S F B,pp,bar 3 S F A H M,emp,rejei Fn 3.3 Conição e egurança , ,5 3 A bar ( ) M F 17 80, ,0 knm/m rejei ( ) knm/m n ( ) < S( F ) barragem não egura S F 13 ( ,0) 13 n (431090,5) B bar 30 m A Combinaçõe última epeciai ou e contrução Em caa combinação evem etar preente a açõe permanente e a ação variável epecial, quano eitir, com eu valore caracterítico e a emai açõe variávei com probabiliae não eprezível e ocorrência imultânea, com eu valore reuzio e combinação, conorme ABNT NBR upr/tc405

44 A combinaçõe última e açõe everão conierar o egotamento a capaciae reitente e elemento etruturai. A equação para o cálculo e olicitaçõe poe er repreentaa por: F γ F + γ F + γ (F + ψ F ) + γ ψ F Equação 3.11 g gk εg εgk q q1k 0j one: F é o valor e cálculo a açõe para combinação última. F gk repreenta a açõe permanente ireta, para a ituação tranitória conieraa (valor caracterítico). peo próprio parcial a etrutura; peo o elemento contrutivo tranitório; empuo tranitório. F εgk repreenta a açõe permanente inireta, para a ituação tranitória conieraa (valor caracterítico). retração parcial o concreto; luência parcial o concreto; e elocamento e apoio. F q1k repreenta a ação variável ireta principal (epecial, e or o cao), para a ituação tranitória conieraa (valor caracterítico). F qjk repreenta a emai açõe variávei ireta que poem agir concomitantemente com a ação principal F q1k (valor caracterítico): açõe variávei tranitória urante a contrução; e emai açõe variávei ireta (vento, água, etc.). F εqk repreenta a açõe variávei inireta que poem agir concomitantemente com a ação principal F q1k (valor caracterítico). variaçõe e temperatura. γ g repreenta o coeiciente e poneração para açõe permanente ireta: Grane ponte (Tabela 3.1): 1, para combinação eavorável; e 1,0 para combinação avorável. Eiicaçõe tipo 1 e ponte em geral (Tabela 3.): 1,5 para combinação eavorável; e 1,0 para combinação avorável. Eiicaçõe tipo (Tabela 3.3): 1,3 para combinação eavorável; e 1,0 para combinação avorável. γ εg repreenta o coeiciente e poneração para açõe permanente inireta (Tabela 3.1, Tabela 3. e Tabela 3.3): 1, para combinação eavorável; e 0,0 para combinação avorável. γ q repreenta o coeiciente e poneração para açõe variávei ireta: Grane ponte (Tabela 3.1): 1,3 para combinação eavorável; e 0,0 para combinação avorável. Eiicaçõe tipo 1 e ponte em geral (Tabela 3.): 1,3 para combinação eavorável; e 0,0 para combinação avorável. Eiicaçõe tipo (Tabela 3.3): 1, para combinação eavorável; e 0,0 para combinação avorável. γ εq repreenta o coeiciente e poneração para açõe variávei inireta (Tabela 3.1, Tabela 3. e Tabela 3.3): 1,0 para combinação eavorável; e 0,0 para combinação avorável. qjk εq 0ε εqk upr/tc405

45 ψ 0j 1 repreenta o ator e reução e combinação para açõe variávei ireta que poem agir concomitantemente com a ação principal F q1k, urante a ituação tranitória. Ete ator everá er igual ao valore aotao na combinaçõe normai (Tabela 3.5), alvo quano a ação principal F q1k tiver um tempo e atuação muito pequeno ou probabiliae e ocorrência muito baia, cao em que ψ 0j poe er tomao com o correponente ψ j (Tabela 3.6): 0,5 ou 0,3 para carga acientai e eiício reienciai; 0,7 ou 0,4 para carga acientai e eiício comerciai ou e ecritório; 0,8 ou 0,6 para biblioteca, arquivo, oicina e garagen; e 0,6 ou 0,0 para o vento. ψ 0ε repreenta o ator e reução e combinação para açõe variávei inireta que poem agir concomitantemente com a ação principal F q1k, urante a ituação tranitória. Ete ator everá er igual ao valore aotao na combinaçõe normai (Tabela 3.5), alvo quano a ação principal F q1k tiver um tempo e atuação muito pequeno ou probabiliae e ocorrência muito baia, cao em que ψ 0ε poe er tomao com o correponente ψ ε (Tabela 3.6): 0,6 ou 0,3 para variaçõe uniorme e temperatura. Deve er obervao, que a Equação 3.11 não coniera a ação variável inireta (temperatura) como poível e er a ação principal entre a açõe variávei (ireta ou inireta). Cao o eeito e temperatura (F εqk ) venham a e contituir em ator altamente igniicativo para a eterminação o eorço em etrutura, contituino-e numa poível ação variável principal, a eguinte equação eve também er veriicaa: F γ F + γ F + γ ψ F + γ F Equação 3.1 g gk εg εgk q 0 j qjk Combinaçõe última ecepcionai Em caa combinação evem igurar a açõe permanente e a ação variável ecepcional, quano eitir, com eu valore repreentativo e a emai açõe variávei com probabiliae não eprezível e ocorrência imultânea, com eu valore reuzio e combinação, conorme ABNT NBR Nee cao e enquaram, entre outra, imo, incênio e colapo progreivo. A combinaçõe última e açõe everão conierar o egotamento a capaciae reitente e elemento etruturai. A equação para o cálculo e olicitaçõe poe er repreentaa por: F γ g Fgk + Fq1ec + γ q ψ 0 j Fqjk Equação 3.13 one: F é o valor e cálculo a açõe para combinação última. F gk repreenta a açõe permanente ireta, para a ituação tranitória conieraa (valor caracterítico). peo próprio parcial a etrutura; peo o elemento contrutivo tranitório; e empuo tranitório. F q1ec repreenta a ação variável tranitória ecepcional (valor caracterítico). F qjk repreenta a açõe variávei ireta que poem agir concomitantemente com a ação ecepcional F q1ec (valor caracterítico). açõe variávei tranitória; e emai açõe variávei ireta (vento, água, etc.). γ g repreenta o coeiciente e poneração para açõe permanente ireta: Grane ponte (Tabela 3.1): 1,1 para combinação eavorável; e 1,0 para combinação avorável. εq εqk 1 A ABNT NBR 8681 eine ete ator como ψ 0,e. Como a ABNT NBR 6118 não az itinção e valore ψ 0, a Equação 3.7 (combinação última normal) e a Equação 3.11 (combinação última epecial ou e contrução) ão iguai na apreentação, embora com igniicao ierente na aplicação. A equação apreentaa pela ABNT NBR 6118 contém o termo F εgk e F εqk, o que não az entio poi o coeiciente γ εg e γ εq ão nulo (Tabela 3.1, Tabela 3. e Tabela 3.3) upr/tc405

46 γ q ψ 0j Eiicaçõe tipo 1 e ponte em geral (Tabela 3.): 1,15 para combinação eavorável; e 1,0 para combinação avorável. Eiicaçõe tipo (Tabela 3.3): 1, para combinação eavorável; e 1,0 para combinação avorável. repreenta o coeiciente e poneração para açõe variávei ireta Grane ponte (Tabela 3.1): 1,0 para combinação eavorável; e 0,0 para combinação avorável. Eiicaçõe tipo 1 e ponte em geral (Tabela 3.): 1,0 para combinação eavorável; e 0,0 para combinação avorável. Eiicaçõe tipo (Tabela 3.3): 1,0 para combinação eavorável; e 0,0 para combinação avorável. repreenta o ator e reução e combinação para açõe variávei ireta que poem agir concomitantemente com a ação ecepcional F q1ec, urante a ituação tranitória. Ete ator everá er igual ao valore aotao na combinaçõe normai (Tabela 3.5), alvo quano a ação ecepcional F q1ec tiver um tempo e atuação muito pequeno ou probabiliae e ocorrência muito baia, cao em que ψ 0j poe er tomao com o correponente ψ j (Tabela 3.6). 0,5 ou 0,3 para carga acientai e eiício reienciai; 0,7 ou 0,4 para carga acientai e eiício comerciai ou e ecritório; 0,8 ou 0,6 para biblioteca, arquivo, oicina e garagen; e 0,6 ou 0,0 para o vento Combinaçõe e erviço A combinaçõe e erviço ão claiicaa e acoro com ua permanência na etrutura e evem er veriicaa como etabelecio a eguir: quae permanente; reqüente; e rara Combinaçõe quae permanente e erviço São combinaçõe que poem atuar urante grane parte o períoo e via a etrutura e ua conieração poe er neceária na veriicação o etao limite e eormaçõe eceiva. Na combinaçõe quae permanente e erviço, toa a açõe variávei ão conieraa com eu valore quae permanente ψ F qk. A equação para o cálculo e olicitaçõe poe er repreentaa por: F,er Fgk + ψ j Fqjk Equação 3.14 one: F,er é o valor e cálculo a açõe para combinaçõe e erviço. F gk repreenta a açõe permanente ireta (valor caracterítico): peo próprio a etrutura; peo o elemento contrutivo io a intalaçõe permanente; e empuo permanente. F qjk repreenta a açõe variávei ireta (valor caracterítico): carga acientai; ação o vento; e ação a água. ψ j repreenta o ator e reução e combinação quae permanente para a açõe variávei ireta (Tabela 3.6): 0,3 para carga acientai e eiício reienciai; 0,4 para carga acientai e eiício comerciai ou e ecritório; upr/tc405

47 0,6 para biblioteca, arquivo, oicina e garagen; e 0,0 para o vento Combinaçõe reqüente e erviço São combinaçõe que e repetem muita veze urante o períoo e via a etrutura e ua conieração poe er neceária na veriicação o etao limite e ormação e iura, e abertura e iura e e vibraçõe eceiva. Poem também er conieraa para veriicaçõe e etao limite e eormaçõe eceiva ecorrente e vento ou temperatura que poem comprometer a veaçõe. Na combinaçõe reqüente e erviço, a ação variável principal F q1 é tomaa com eu valor reqüente ψ 1 F q1k e toa a emai açõe variávei ão tomaa com eu valore quae permanente ψ F qk. A equação para o cálculo e olicitaçõe poe er repreentaa por: F,er Fgk + ψ 1 Fq1k + ψ j Fqjk Equação 3.15 one: F,er é o valor e cálculo a açõe para combinaçõe e erviço. F gk repreenta a açõe permanente ireta (valor caracterítico): peo próprio a etrutura; peo o elemento contrutivo io a intalaçõe permanente; e empuo permanente. F q1k repreenta a ação variável ireta conieraa como principal (valor caracterítico). F qjk repreenta a açõe variávei ireta a quai F q1k é ecolhia principal (valor caracterítico): carga acientai; ação o vento; e ação a água. ψ 1 repreenta o ator e reução e combinação reqüente para a ação variável ireta principal Tabela 3.6): 0,4 para carga acientai e eiício reienciai; 0,6 para carga acientai e eiício comerciai ou e ecritório; 0,7 para biblioteca, arquivo, oicina e garagen; e 0,3 para o vento. ψ j repreenta o ator e reução e combinação quae permanente para a açõe variávei ireta (Tabela 3.6): 0,3 para carga acientai e eiício reienciai; 0,4 para carga acientai e eiício comerciai ou e ecritório; 0,6 para biblioteca, arquivo, oicina e garagen; e 0,0 para o vento Combinaçõe rara e erviço São combinaçõe que ocorrem alguma veze urante o períoo e via a etrutura e ua conieração poe er neceária na veriicação o etao limite e ormação e iura. Na combinaçõe rara e erviço, a ação variável principal F q1 é tomaa com eu valor caracterítico F q1k e toa a emai açõe ão tomaa com eu valore reqüente ψ 1 F qk. A equação para o cálculo e olicitaçõe poe er repreentaa por: F,er Fgk + Fq1k + ψ 1j Fqjk Equação 3.16 one: F,er é o valor e cálculo a açõe para combinaçõe e erviço. F gk repreenta a açõe permanente ireta (valor caracterítico): peo próprio a etrutura; peo o elemento contrutivo io a intalaçõe permanente; e empuo permanente. F q1k repreenta a ação variável ireta conieraa como principal (valor caracterítico) upr/tc405

48 F qjk repreenta a açõe variávei ireta a quai F q1k é ecolhia principal (valor caracterítico): carga acientai; ação o vento; e ação a água. ψ 1 repreenta o ator e reução e combinação reqüente para a ação variável ireta principal Tabela 3.6): 0,4 para carga acientai e eiício reienciai; 0,6 para carga acientai e eiício comerciai ou e ecritório; 0,7 para biblioteca, arquivo, oicina e garagen; e 0,3 para o vento. Eemplo 3.3: Deinir a equaçõe cálculo a açõe para a combinaçõe e erviço (F,er ) e etrutura e eiício reienciai one o carregamento ão reultante e combinaçõe que ó levam em conieração a açõe permanente ireta (peo próprio a etrutura, paree, caia 'água, etc.) e açõe variávei ireta (carga acientai e vento). Solução: Deverá er uaa a Equação 3.14 para a combinação quae permanente, a Equação 3.15 para a combinação reqüente e a Equação 3.16 para a combinação rara. O valore e ψ 1 e ψ ão o contante a Tabela 3.6. F gk : G k (valor caracterítico a ação permanente ireta) F qk,aci : Q k (valor caracterítico a ação variável ireta carga aciental) F qk,vento : W k (valor caracterítico a ação variável ireta vento) ψ 1 : 0,4 (carga aciental e eiício reiencial - eavorável) 0,0 (carga aciental e eiício reiencial - avorável) ψ : 0,3 (carga aciental e eiício reiencial - eavorável) 0,0 (carga aciental e eiício reiencial - avorável) ψ 1 : 0,3 (vento - eavorável) 0,0 (vento - avorável) ψ : 0,0 (vento - eavorável) 0,0 (vento - avorável) a. Combinação quae permanente F F + ψ F,er gk j qjk F,er G k + 0,3 Q k + 0,0 W k F,er G k + 0,3 Q k b. Combinação reqüente F F + ψ F + ψ,er gk 1 q1k j Fqjk F,er G k + 0,4 Q k + 0,0 W k F,er G k + 0,4 Q k F,er G k + 0,3 W k + 0,3 Q k F,er G k + 0,3 W k + 0,3 Q k c. Combinação rara F,er Fgk + Fq1k + ψ 1j Fqjk F,er G k + Q k + 0,3 W k F,er G k + Q k + 0,3 W k F,er G k + W k + 0,4 Q k F,er G k + W k + 0,4 Q k Toa a equaçõe que envolvem o vento (W k ) equivalem a quatro, ou eja o vento tem que er conierao atuano na ua ireçõe principai a etrutura (a equera para ireita, a ireita para a equera, e baio para cima e e cima para baio). Ito vale izer que haveria 5 combinaçõe poívei e açõe (carregamento) para a combinação reqüente e 8 combinaçõe poívei para a combinação rara upr/tc405

49 3.7 Solicitaçõe e tenõe e cálculo A olicitaçõe (eorço), ecorrente a açõe atuante em elemento etruturai, claiicam-e em: Solicitaçõe normai, caracterizaa pelo momento letore (M) e orça normai e (N), e Solicitaçõe e cialhamento, caracterizaa pelo momento torçore (T) e orça cortante (V). A tenõe, também ecorrente a açõe, claiicam-e em: Tenõe normai (σ), relacionaa ao momento letore (M) e orça normai (N), e Tenõe e cialhamento (τ), relacionaa ao momento torçore (T) e orça cortante (V). Como a açõe a erem conieraa no projeto etrutural correponem à açõe e cálculo (açõe combinaa), a olicitaçõe e a tenõe everão, também, er repreentaa pelo eu valore e cálculo. Deta, orma, para eeito e imenionamento e veriicação e elemento etruturai o valore a olicitaçõe e tenõe a erem conierao ão: Solicitaçõe e tenõe normai: M S momento letor olicitante e cálculo; N S orça normal olicitante e cálculo; e σ S tenão normal olicitante e cálculo. Solicitaçõe e tenõe e cialhamento: T S momento torçor olicitante e cálculo; V S orça cortante olicitante e cálculo; e tenão e cialhamento olicitante e cálculo. τ S Eemplo 3.4: Determinar, para a viga abaio inicaa, a envoltória o iagrama e momento letore olicitante e cálculo (M S ), conierano açõe ireta, etao limite último, combinaçõe última normai, eiicação tipo e peo próprio eprezível. Amitir: a. etrutura qualquer, one a combinaçõe a açõe que conieram o eeito avorável a carga permanente (γ g 1,0) preciam er conieraa; e b. etrutura uual e eiício one a combinaçõe a açõe que conieram o eeito avorável a carga permanente (γ g 1,0) não preciam er conieraa (ver ). A Q k 5 kn (variável) C G k 10 kn (permanente) 4 m B 4 m m D Solução: Deverão er uao, para a Equação 3.7, o eguinte valore para a açõe e coeiciente (Tabela 3.3 eiicação tipo ): F γ g Fgk + γεg Fε gk + γq (Fq1k + ψ0 j Fqjk ) + γ εq ψ0ε Fε qk F gk G k 10 kn (valor caracterítico a ação permanente ireta) F q1k Q k 5 kn (valor caracterítico a ação variável ireta principal) γ g 1,4 (combinação normal, ação permanente ireta eavorável) γ g 1,0 (combinação normal, ação permanente ireta avorável) γ q 1,4 (combinação normal, ação variável ireta eavorável geral) γ q 0,0 (combinação normal, ação variável ireta avorável geral) Para o cao a, everão er conieraa a eguinte combinaçõe: F 1,4 G k + 0,0 Q k (permanente eavorável + ação variável avorável) F 1,4 G k + 1,4 Q k (permanente eavorável + variável eavorável geral) F 1,0 G k + 0,0 Q k (permanente avorável + ação variável avorável) upr/tc405

50 F 1,0 G k + 1,4 Q k (permanente avorável + variável eavorável geral) Para o cao b, everão er conieraa a eguinte combinaçõe: F 1,4 G k + 0,0 Q k (permanente eavorável + ação variável avorável) F 1,4 G k + 1,4 Q k (permanente eavorável + variável eavorável geral) a. Conieração o eeito avorável a ação permanente a.1 F 1,4 G k + 0,0 Q k 0,0 5 0 kn 1, kn A 4 m B 4 m C m D M S,A -00 knm M S,B -14 knm M S,C -8 knm M S,D -00 knm a. F 1,4 G k + 1,4 Q k 1,4 5 7 kn 1, kn A 4 m B 4 m C m D M S,A -00 knm M S,B -00 knm M S,C -8 knm M S,D -00 knm a.3 F 1,0 G k + 0,0 Q k 0,0 5 0 kn 1, kn A 4 m B 4 m C m D M S,A -00 knm M S,B -10 knm M S,C -0 knm M S,D -00 knm a.4 F 1,0 G k + 1,4 Q k 1,4 5 7 kn 1, kn A 4 m B 4 m C m D M S,A -00 knm M S,B +04 knm M S,C -0 knm M S,D -00 knm a.5 envoltória M S -8 knm -14 knm +4 knm upr/tc405

51 b. Não conieração o eeito avorável a ação permanente b.1 F 1,4 G k + 0,0 Q k 0,0 5 0 kn 1, kn A 4 m B 4 m C m D M S,A -00 knm M S,B -14 knm M S,C -8 knm M S,D -00 knm b. F 1,4 G k + 1,4 Q k 1,4 5 7 kn 1, kn A 4 m B 4 m C m D M S,A -00 knm M S,B -00 knm M S,C -8 knm M S,D -00 knm b.3 envoltória M S -8 knm -14 knm c. Obervaçõe Deve er obervao que a conieração ou não o eeito avorável a carga permanente eine a eitência ou não e momento poitivo atuano na viga. A envoltória M S motraa no item a.5 motra um momento poitivo máimo e 4 knm, enquanto que a envoltória M S motraa no item b.3 não apreenta momento poitivo. Em princípio, eve-e acreitar que o eeito avorável a carga permanente eva er empre conierao na combinaçõe e açõe, e que a envoltória apreentaa no item a.5 é a única correta. Na realiae a opção motraa em , one a ABNT NBR 6118 etabelece: "No cao e etrutura uuai e eiício ea combinaçõe que conieram γ g reuzio (1,0) não preciam er conieraa" não poe er uaa iolaamente. A ABNT NBR 6118 etabelece, também: " Etrutura uuai e eiício - Aproimaçõe permitia Viga contínua Poe er utilizao o moelo cláico e viga contínua, implemente apoiaa no pilare, para o etuo a carga verticai, obervano-e a neceiae a eguinte correçõe aicionai: a) não evem er conierao momento poitivo menore que o que e obteriam e houvee engatamento pereito a viga no apoio interno; b)..." Portanto, ao iagrama (envoltória) apreentao no item b.3, eve-e acrecentar o iagrama e momento letore para o eguinte carregamento: upr/tc405

52 A 4 m B 1,4 5 7 kn 4 m C M S,A -0,00 knm M S,B +8,75 knm M S,C -10,5 knm Deta orma, embora o eeito avorável a ação permanente não tenha io conierao na combinaçõe última, a envoltória M S apreenta momento poitivo, como motrao no iagrama eguinte. -8 knm -14 knm +8,75 knm 3.8 Reitência Valore caracterítico O valore caracterítico k a reitência ão o que, num lote e material, têm uma eterminaa probabiliae e erem ultrapaao, no entio eavorável para a egurança. Uualmente é e interee a reitência caracterítica inerior k,in., cujo valor é menor que a reitência méia m, embora por veze haja interee na reitência caracterítica uperior k,up, cujo valor é maior que m. Para o eeito eta Norma, a reitência caracterítica inerior é amitia como eno o valor que tem apena 5% e probabiliae e não er atingio pelo elemento e um ao lote eniae e probabiliae 5% itribuição normal e material (Figura 3.). k,in m reitência Figura 3.- Valor caracterítico e reitência Reitência caracterítica o concreto O concreto, quer preparao no canteiro quer pré-miturao, everá apreentar uma reitência caracterítica ck, compatível com a aotaa no projeto. Conorme motrao na Tabela [1.1], ao e einir a clae o concreto, ica etabelecio o valor a ua reitência caracterítica (por eemplo, para o concreto clae C5, o valor e ck correpone a 5 MPa) upr/tc405

53 A epeciicação pura e imple a clae não é uiciente para a caracterização o concreto. A ABNT NBR 6118 eige, também, que eja iao um valor máimo para a relação água/cimento, conorme motrao na Tabela [.]. Outra caracterítica o concreto, tai como iâmetro máimo a brita, lump, etc. também poem er requeria. Em cao epecíico, o conumo mínimo e cimento por metro cúbico e concreto poe vir a er olicitao. Outro ator importante que eve er etabelecio pelo proiional reponável pelo projeto é a ata em que o concreto everá er olicitao etruturalmente. Etapa contrutiva, tai como, retiraa e cimbramento, manueio e pré-molao, etc., einem valore a reitência caracterítica o tipo ck,14, ck,90, ck,180, one o número poterior à vírgula correpone à ata em que o concreto everá er olicitao etruturalmente. A não inicação a ata igniica que o concreto oi oao para atingir ua reitência caracterítica ao 8 ia ( ck ck,8 ) Reitência caracterítica o aço Conorme motrao na Tabela [1.3], ao e einir a categoria o aço, ica etabelecio o valor a ua reitência caracterítica (por eemplo, para o aço CA-5, o valor e yk correpone a 50 MPa) Valore e cálculo Reitência e cálculo A reitência e cálculo é aa pela epreão: k γ m Equação 3.17 one: reitência e cálculo; k reitência caracterítica; e γ m coeiciente e poneração (minoração) a reitência. O coeiciente γ m é obtio pela multiplicação e trê atore, e tal orma que: γ m γ m1 γ m γ m3 Equação 3.18 one: γ m1 leva em conta a variabiliae a reitência eetiva, tranormano a reitência caracterítica num valor etremo e menor probabiliae e ocorrência; γ m coniera a ierença entre a reitência eetiva o material a etrutura e a reitência meia convencionalmente em corpo-e-prova paronizao; e γ m3 coniera a incerteza eitente na eterminação a olicitaçõe reitente, eja em ecorrência e métoo contrutivo eja em virtue o métoo e cálculo empregao Reitência e cálculo o concreto Quano o valore e projeto ão reerio à reitência o concreto ao 8 ia, a reitência e cálculo ica einia pela epreão: c ck Equação 3.19 γ c O valor e γ c varia acoro com o etao limite e com a combinaçõe e açõe. Seu valore etão motrao na Tabela 3.7. Combinaçõe γ c Etao Limite Ultimo Normai 1,40 Epeciai ou e contrução 1,0 Ecepcionai 1,0 Etao Limite e Serviço 1,00 Tabela Valore e γ c upr/tc405

54 Para a eecução e elemento etruturai no quai etejam previta coniçõe eavorávei (por eemplo, má coniçõe e tranporte, ou aenamento manual, ou concretagem eiciente por concentração e armaura), o coeiciente γ c eve er multiplicao por 1,1. Para elemento etruturai pré-molao e pré-abricao eve er conultaa a ABNT NBR 906. Amite-e, no cao e tetemunho etraío a etrutura, iviir o valor e γ c por 1,1 No cao em que o concreto venha a er olicitao ante o 8 ia, a reitência e cálculo ica einia pela epreão: ckj ck c β1 Equação 3.0 γ γ c c Na Equação 3.0, ckj repreenta a reitência caracterítica o concreto ao j ia. O valore e β 1 epenem o tipo e cimento e poem er etabelecio pela epreõe: β 1 ckj ck e 0, t para concreto e cimento CPIII e CPIV β 1 ckj ck e 0,5 1 8 t para concreto e cimento CPI e CPII Equação 3.1 β 1 ckj ck e 0,0 1 8 t para concreto ecimento CPV - ARI Na Equação 3.1, t correpone a iae eetiva o concreto, em ia. Algun valore e β1 etão motrao na Tabela 3.8. β 1 Dia CPIII e CPIV CPI e CPII CPV - ARI 3 0,46 0,60 0,66 7 0,68 0,78 0,8 14 0,85 0,90 0,9 1 0,94 0,96 0,97 8 1,00 1,00 1,00 Tabela Valore e β 1 Eemplo 3.5: Deinir o valor e c para o concreto clae C5. Conierar combinação e açõe normai para etao limite último, cimento CPIV e concreto olicitao ao 10 e 8 ia. Conierar, também, etao limite e erviço. Solução: A iação a clae o concreto automaticamente eine o valor a reitência caracterítica ck, conorme motrao na Tabela [1.1]. A obtenção o valor a reitência e cálculo c ao 8 ia é eita pela Equação 3.19, com valore e γ c obtio a Tabela 3.7. Para a eterminação o valor a reitência e cálculo c ao 10 ia everão er uaa a Equação 3.0 e a Equação 3.1. a. Valor e c ao 8 ia para o concreto clae C5 - ELU ck 5 MPa,5 kn/cm γ c 1,4,5 1,79 kn/cm ck c γ c 1,4 b. Valor e c ao 8 ia para o concreto clae C5 - ELS 5 MPa,5 kn/cm ck upr/tc405

55 γ c 1,0,5,50 kn/cm ck c γ c 1,0 c. Valor e c ao 10 ia para o concreto clae C5, cimento CPIV - ELU 5 MPa,5 kn/cm ck γ c 1,4 t 10 ia cimento CPIV 0, t 0, β1 e e 0,774 ck,5 c,10 β1 0,774 1,38 kn/cm γ 1,4 c. Valor e c ao 10 ia para o concreto clae C5, cimento CPIV - ELS 5 MPa,5 kn/cm ck γ c 1,0 t 10 ia cimento CPIV β 8 8 0,38 1 0,38 1 t 10 1 e e ck c,10 β1 0,774 γ c 1,0 0,774,5 1,94 kn/cm Reitência e cálculo o aço O valor a reitência e cálculo y é einio pela epreão: yk y Equação 3. γ O valor e γ varia acoro com o etao limite e com a combinaçõe e açõe. Seu valore etão motrao na Tabela 3.9. Combinaçõe γ Etao Limite Ultimo Normai 1,15 Epeciai ou e contrução 1,15 Ecepcionai 1,00 Etao Limite e Serviço 1,00 Tabela Valore e γ Eemplo 3.6: Deinir o valor e y para o aço CA-50. Conierar açõe normai para o etao limite último, e etao limite e erviço. Solução: A iação a categoria o aço automaticamente eine o valor a reitência caracterítica yk, conorme motrao na Tabela [1.3]. A obtenção o valor a reitência e cálculo y é eita pela Equação 3., com valore e γ obtio a Tabela 3.9. a. Valor e yk para o aço CA-50 - ELU yk 500 MPa 50 kn/cm γ 1,15 yk 50 y 43,5 kn/cm γ 1, upr/tc405

56 b. Valor e yk para o aço CA-50 - ELS 500 MPa 50 kn/cm yk γ 1,0 yk 50 y 50,0 kn/cm γ 1,0 3.9 Eorço reitente e cálculo O eorço reitente e cálculo ecorrem a itribuição e tenõe (reitente) atuante numa aa eção o elemento etrutural. Deta orma, aim como para a olicitaçõe e tenõe e cálculo, o eorço e a tenõe reitência e cálculo a erem conieraa ão: Eorço e tenõe normai: M R momento letor reitente e cálculo; N R orça normal reitente e cálculo; e σ R tenão normal reitente e cálculo. Eorço e tenõe e cialhamento: T R momento torçor reitente e cálculo; V R orça cortante reitente e cálculo; e tenão e cialhamento reitente e cálculo. τ R 3.10 Veriicação a egurança Na veriicação a egurança a etrutura e concreto evem er atenia: a coniçõe contrutiva; e a coniçõe analítica e egurança Coniçõe contrutiva e egurança Para a coniçõe contrutiva e egurança evem er atenia a eigência etabelecia: no critério e etalhamento contante a eçõe 18 e 0 a ABNT NBR 6118; na norma e controle o materiai, epecialmente a ABNT NBR 1655; e no controle e eecução a obra, conorme ABNT NBR e Norma Braileira epecíica Coniçõe analítica e egurança A coniçõe analítica e egurança evem er veriicaa para o: etao limite último; e etao limite e utilização Etao limite último A coniçõe analítica e egurança etabelecem que a reitência não evem er menore que a olicitaçõe e evem er veriicaa em relação a too o etao limite e too o carregamento epeciicao para o tipo e contrução conieraa, ou eja, em qualquer cao eve er repeitaa a conição: one: R S R S Equação 3.3 repreenta o eorço reitente e cálculo; e repreenta a olicitaçõe e cálculo. O valore e cálculo o eorço reitente ão eterminao a partir o valore e cálculo a reitência o materiai aotao no projeto, ou a tenõe reitente e cálculo, como einio em A olicitaçõe e cálculo ão calculaa, para a combinação e açõe conieraa, e acoro com a análie etrutural upr/tc405

57 Para a veriicação o etao limite último e pera e equilíbrio como corpo rígio, R e S evem aumir o valore e cálculo a açõe etabilizante e eetabilizante repectivamente. Uma conição analítica e egurança poe er repreentaa no trecho l e uma viga e concreto armao, motraa na Figura 3.3. ε c M R R c σ c M S h z A b w R ε eorço reitente e cálculo ("interno") l olicitaçõe e cálculo ("eterna") Figura Solicitaçõe e reitência em viga e concreto armao Na Figura 3.3, a imenõe, área, eormaçõe, tenõe, eorço e olicitaçõe correponem a: M S olicitação e cálculo obtia a envoltória M S (açõe caracterítica - permanente, variávei, inâmica ou ecepcionai - poneraa pelo coeiciente γ e combinaa entre i einem a envoltória M S, como motrao no Eemplo 3.4); M R eorço reitente e cálculo, binário ao pelo prouto R c z ou R z; ε c encurtamento (eormação) o concreto provocao pelo momento letor olicitante e cálculo M S ; ε alongamento (eormação) a armaura provocao pelo momento letor olicitante e cálculo M S ; σ c tenão e compreão atuante na região e concreto comprimio ecorrente o encurtamento (eormação) ε c ; poição a linha neutra (itância compreenia entre a ibra e concreto mai comprimia e a linha neutra); z braço e alavanca (itância entre o eorço reitente e cálculo R c e R ); altura útil a viga (itância compreenia entre a ibra e concreto mai comprimia e o centro e graviae a eção geométrica a armaura tracionaa); b w largura a viga; h altura a viga; A área a eção tranveral a armaura tracionaa: R c eorço reitente e cálculo, atuante na região e concreto comprimio, igual a σ c A; R eorço reitente e cálculo, atuante na armaura tracionaa, igual a σ A (σ obtio o iagrama tenão-eormação o aço, atravé ε ). Na Figura 3.3, conrontano o valore e M S e M R, conclui-e: a. M R >>> M S O trecho l é eguro (R > S ), com eceo e materiai. A eção tranveral a viga não é econômica. b. M R > M S O trecho l é eguro (R > S ), com obra e materiai. A eção tranveral a viga etará mai próima a econômica quanto menor or à obra e material upr/tc405

58 c. M R M S O trecho l atinge o limite e egurança (R S ), com uo aequao e materiai. A eção tranveral a viga mai econômica erá aquela em que o balanço o materiai (concreto e aço) atingir o menor cuto.. M R < M S O trecho l não é eguro (R < S ), com alta e materiai. A eção tranveral a viga tem que er reimenionaa. O reimenionamento a eção tranveral o trecho l a viga poe er eito alterano, e orma iolaa ou combinaa, o valore, b w ou A. A alteração a reitência o concreto ou o aço, embora poa er eita, não contitui prática comum no projeto e etrutura e concreto armao Etrutura em regime elático linear No projeto e etrutura e concreto armao, e or conierao comportamento em regime elático linear (elático ou peuo-elático), o coeiciente e poneração γ, conorme motrao em 3.6, poerão er aplicao tanto à açõe caracterítica (carregamento) como ao eorço reultante (momento letor, orça cortante, orça norma ou momento torçor). Deta orma, S poe er obtio e ua orma, como motrao na Equação 3.4. ( γ F ) S k S ou Equação 3.4 γ Sk γ S( Fk ) Cao o comportamento a etrutura não poa er conierao em regime elático linear, o coeiciente e poneração γ everão er aplicao omente à açõe caracterítica (carregamento), conorme etabelecio em Nete cao o valor e S eve er etabelecio conierano apena a primeira igualae a Equação 3.4 (S S(γ F k ). Diz-e que não há lineariae geométrica quano o comportamento etrutural eia e er linear em virtue a alteração a geometria o itema. Conierano que a aplicação ireta o coeiciente e poneração γ na açõe caracterítica (carregamento) é vália para qualquer comportamento e etrutura, ica mai imple aotar empre ete proceimento Etao limite e erviço A coniçõe uuai e veriicação a egurança relativa ao etao limite e erviço ão, e moo geral, eprea pela eigualae: one: S S lim S S lim Equação 3.5 repreenta a olicitaçõe e cálculo; e correpone a valore limite etabelecio Simbologia epecíica Símbolo bae b b w c ck ckj k k,in k,up m y yk menor imenão a eção tranveral a paree ou pilar largura a alma e uma viga altura útil reitência à compreão o concreto e cálculo reitência à compreão o concreto caracterítica reitência à compreão o concreto caracterítica ao j ia reitência e cálculo reitência caracterítica reitência caracterítica inerior reitência caracterítica uperior reitência méia reitência ao ecoamento o aço e cálculo reitência ao ecoamento o aço caracterítica upr/tc405

59 g k valor caracterítico a ação permanente h altura l vão q k valor caracterítico a ação variável t tempo altura a linha neutra z braço e alavanca A área a eção tranveral a armaura longituinal e tração B bae E empuo E ci (t 0 ) móulo e elaticiae inicial o concreto no intante t 0 E ci (8) móulo e elaticiae inicial o concreto ao 8 ia F açõe F valor e cálculo a açõe F,un valor e cálculo a açõe a erem conierao em projeto e unaçõe, quano nee projeto erá uao o métoo a tenõe ou carga amiívei F,er valor e cálculo a açõe para combinaçõe e erviço F gk valor caracterítico a açõe permanente ireta F k valor caracterítico a açõe F k,in valor inerior caracterítico a açõe F k,up valor uperior caracterítico a açõe F n valor e cálculo a açõe não etabilizante F qjk valor caracterítico a açõe variávei ireta F qk valor caracterítico a açõe variávei F q1ec valor caracterítico a ação variável tranitória ecepcional F q1k valor caracterítico a ação variável ireta principal F valor e cálculo a açõe etabilizante F εgk valor caracterítico a açõe permanente inireta F εqk valor caracterítico a açõe variávei inireta G k valor caracterítico a ação permanente G nk valor caracterítico a ação permanente intabilizante G k valor caracterítico a ação permanente etabilizante H altura H orça horizontal na ireção H y orça horizontal na ireção y M momento letor M R momento letor reitente e cálculo M S momento letor olicitante e cálculo M momento letor na ireção M y momento letor na ireção y N orça normal N R orça normal reitente e cálculo N S orça normal olicitante e cálculo N z orça normal na ireção z Q jk valor caracterítico a ação variável intabilizante Q k valor caracterítico e ação variável Q 1k valor caracterítico a ação variável intabilizante conieraa como principal Q,min valor caracterítico mínimo a ação variável etabilizante que acompanha obrigatoriamente uma ação variável intabilizante R c eorço reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio R eorço reitente e cálculo eorço reitente conierao como etabilizante R eorço reitente e cálculo atuante na armaura tracionaa S(F n ) valor e cálculo a olicitaçõe não etabilizante S(F ) valor e cálculo a olicitaçõe etabilizante S olicitação e cálculo S k olicitação caracterítica olicitaçõe limite S lim upr/tc405

60 T momento torçor T R momento torçor reitente e cálculo T S momento torçor olicitante e cálculo V orça cortante V R orça cortante reitente e cálculo V S orça cortante olicitante e cálculo W k valor caracterítico e ação variável evia ao vento β 1 coeiciente reerente à reitência o concreto a j ia ε c eormação epecíica o concreto ε c (t,t 0 ) eormação epecíica total o concreto entre o intante t 0 e t ε eormação epecíica o aço à tração ε c (t,t 0 ) eormação epecíica o concreto evia à retração entre o intante t 0 e t δ k,up elocamento e apoio (valor caracterítico uperior) γ c coeiciente e poneração a reitência o concreto γ coeiciente e poneração a açõe γ 1 parte o coeiciente e poneração a açõe γ que coniera a variabiliae a açõe γ parte o coeiciente e poneração a açõe γ que coniera a imultaneiae e atuação a açõe γ 3 parte o coeiciente e poneração a açõe γ que coniera o evio gerao na contruçõe e a aproimaçõe eita em projeto o ponto e vita a olicitaçõe γ g coeiciente e poneração para a açõe permanente ireta γ gn coeiciente e poneração para a açõe permanente ireta intabilizante γ g coeiciente e poneração para açõe permanente ireta etabilizante γ m coeiciente e poneração a reitência γ m1 parte o coeiciente e poneração a reitência γ m que coniera a variabiliae a reitência o materiai envolvio γ m parte o coeiciente e poneração a reitência γ m que coniera a ierença entre a reitência o material no corpo e prova e na etrutura γ m3 parte o coeiciente e poneração a reitência γ m que coniera o evio gerao na contruçõe e a aproimaçõe eita em projeto o ponto e vita a reitência γ n coeiciente e ajute e γ que coniera o aumento e probabiliae e ocorrência e evio relativo e alha na contrução (aplicao em paree e pilare com imenõe abaio e certo valore) γ q coeiciente e poneração para a açõe variávei ireta coeiciente e poneração para açõe variávei ireta intabilizante γ q coeiciente e poneração a ação variável etabilizante que acompanha obrigatoriamente uma ação variável intabilizante γ coeiciente e poneração a reitência o aço γ εg coeiciente e poneração para a açõe permanente inireta (retração, luência, elocamento e apoio e impereiçõe geométrica) γ εq coeiciente e poneração para a açõe variávei inireta (temperatura) ϕ(t,t 0 ) limite para o qual tene o coeiciente e luência provocao por carregamento aplicao em t 0 ρ maa epecíica σ tenão normal σ c tenão à compreão no concreto σ c (t 0 ) tenão no concreto evia ao carregamento aplicao em t 0 σ S tenão normal olicitante e cálculo σ R tenão normal reitente e cálculo τ tenão e cialhamento τ S tenão e cialhamento olicitante e cálculo τ R tenão e cialhamento reitente e cálculo ator e reução e combinação para a açõe variávei ireta para ELU ψ upr/tc405

61 ψ 0j ψ 0ε ψ 1 ψ 1j ψ ψ j ator e reução e combinação para a açõe variávei ireta para ELU ator e reução e combinação para a açõe variávei ireta intabilizante ator e reução e combinação para a açõe variávei inireta para ELU ator e reução e combinação reqüente para ELS ator e reução e combinação reqüente para ELS ator e reução e combinação quae permanente para ELS ator e reução e combinação quae permanente para ELS Símbolo ubcrito aci bar conc emp pp rej er vento aciental barragem concreto empuo peo próprio rejeito erviço vento 3.1 Eercício E. 3.1: Determinar, para a viga abaio inicaa, a envoltória o iagrama a orça cortante olicitante e cálculo (V S ), conierano açõe ireta, etao limite último, combinaçõe última normai, eiicação tipo e peo próprio eprezível. Amitir: a. etrutura qualquer, one a combinaçõe a açõe que conieram o eeito avorável a carga permanente (γ g 1,0) preciam er conieraa; e b. etrutura uual e eiício one a combinaçõe a açõe que conieram o eeito avorável a carga permanente (γ g 1,0) não preciam er conieraa. A Q k 5 kn (variável) C G k 10 kn (permanente) 4 m B 4 m m D E. 3.: Determinar, para a viga abaio inicaa, a envoltória o iagrama e momento letore olicitante e cálculo (M S ), conierano a. combinação última normal; b. combinação última epecial (Q k correpone ao carregamento epecial); c. combinação última ecepcional (Q k correpone ao carregamento ecepcional);. combinação quae permanente e erviço; e. combinação reqüente e erviço; e. combinação rara e erviço. A viga, cujo peo próprio poe er eprezao, é parte e uma etrutura uual e eiício reiencial (eiicação tipo ), cuja açõe (carga) ão proveniente e: peo e elemento contrutivo (G k ); carga aciental (Q k ); e vento (W k ). W k 5 knm Q k 5 kn G k 10 kn A C 4 m B 4 m m D upr/tc405

62 E. 3.3: Determinar a olicitaçõe e cálculo (N S ) atuante na barra AD. A etrutura é e um eiício reiencial, cuja açõe (carga) ão proveniente e: peo próprio a viga AC mai elemento contrutivo (g k ); e carga aciental (q k ). Conierar: etao limite último, combinaçõe última normai, eiicação tipo 1; e etao limite e erviço, combinação quae permanente. q k 50 kn/m g k 10 kn/m A B C 10 m 8 m D E. 3.4: Determinar, para a viga abaio inicaa, a envoltória o iagrama e momento letore olicitante e cálculo (M S ) e a envoltória o iagrama a orça cortante olicitante e cálculo (V S ). O carregamento g k (carga permanente) correpone a uma ação permanente ireta e o carregamento q 1k e q k (carga acientai e mema natureza 1 ) correponem a açõe variávei ireta inepenente, ou eja, poem atuar imultaneamente ou não. Conierar: etao limite último, combinaçõe última normai, eiicação tipo 1; e etrutura e eiício one a combinaçõe a açõe que conieram o eeito avorável a carga permanente (γ g 1,0) preciam er conieraa. q 1k 90 kn/m q k 70 kn/m g k 5 kn/m 3 m 8 m E. 3.5: Deeja-e imenionar a viga e concreto armao abaio inicaa. Para tanto, é neceário eterminar o momento letore olicitante e cálculo (M S ) na eçõe A (apoio o balanço) e C (meio o vão AB). Levano-e em conieração o coeiciente e poneração a açõe etabelecio na ABNT NBR-6118, por meio e uma combinação e carregamento, etermine a envoltória e olicitaçõe e avalie o momento letore olicitante e cálculo na eçõe A e C. Conierar: etao limite último, combinaçõe última normai, eiicação tipo ;! ação permanente ireta eavorável:...γ g 1,40! ação variável ireta eavorável:...γ q 1,40! ação variável ireta avorável:...γ q 0,00 1 A carga q 1k e q k ão e mema natureza. Ito vale izer que amba repreentam a ação variável ireta conieraa como principal (amba correponem ao ínice 1 a Equação 3.7, epeneno qual ela eteja eno conieraa). Memo que a carga poam atuar imultaneamente, não e implica o ator ψ 0 poi a carga ão e mema natureza upr/tc405

63 carga variávei ireta 1 Q 1k e Q k correponeno a carga acientai e mema natureza (não coniera ψ 0 ), inepenente, poeno atuar imultaneamente ou não; e carga permanente ireta g k atuano imultaneamente ao longo e toa viga. Ob: não conierar ação permanente ireta avorável (γ g 1,00); e apreentar a envoltória e moo equemático, etacano, apena, o valore eato o momento letore em A e C. Q 1k 40 kn Q k 30 kn A,0 m g k 0 kn/m C 4,0 m 4,0 m B E. 3.6: Determinar, para a viga abaio inicaa, a envoltória o iagrama e momento letore olicitante e cálculo (M S ) e o iagrama e orça cortante olicitante e cálculo (V S ), amitino: açõe ireta; etao limite último; combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4 e γ q 1,4); e peo próprio eprezível. Conierar: carga Q 1k e Q k como acientai (valore caracterítico) e mema natureza (não coniera ψ 0 ); e carga Q 1k e Q k como inepenente (atuam imultaneamente ou não); Q 1k 16 kn Q k 3 kn,5 m,5 m,5 m,5 m P l l/ l/ 3P 3 P 3 13P 3 1 Para a carga Q 1k e Q k valem a obervaçõe (roapé) apreentaa para a carga q 1k e q k o E Para a carga Q 1k e Q k valem a obervaçõe (roapé) apreentaa para a carga q 1k e q k o E upr/tc405

64 E. 3.7: Determinar, para a viga abaio inicaa, o máimo momento olicitante e cálculo (poitivo e negativo) na eção o meio o vão AB, conierano a poívei combinaçõe e cálculo, o coeiciente e poneração, e o atore e reução e combinaçõe e açõe eguno a ABNT NBR A viga etá ubmetia a uma ação permanente ireta uniormemente itribuía g k igual a 0 kn/m e a ua açõe variávei ireta, quai ejam, Q k igual a 180 kn e W k igual a 300 knm. A açõe variávei, por erem e ierente natureza (inepenente), atuam imultaneamente ou não. A viga, é parte e uma etrutura cuja açõe (carga) ão proveniente e: peo e elemento contrutivo, incluive peo próprio a viga (g k ); carga aciental (Q k ); e vento (W k ). Conierar: combinaçõe normai, eiicaçõe tipo 1 coeiciente e poneração e açõe (γ ):! açõe permanente ireta avorávei:... γ g 1,00! açõe permanente ireta eavorávei:... γ g 1,35! açõe variávei ireta avorávei:... γ q 0,00! açõe variávei ireta eavorávei:... γ q 1,50 atore e reução e combinaçõe e açõe (ψ 0 ):! carga aciental (Q k ):... ψ 0 0,70! vento (W k ):... ψ 0 0,60 Q k 180 kn W k 300 knm g k 0 kn/m A 8 m B m E. 3.8: Certa ponte e concreto armao eve er projetaa para uportar a paagen eventuai, imultânea ou não, e oi veículo e carga, tal como ilutrao na igura. Sabe-e que a roa o veículo tranmitem à etrutura carga concentraa e 75 kn caa uma (valor caracterítico). Para a poição inicaa na igura, etermine, no etao limite último, a reaçõe e apoio máima e mínima (valore e cálculo) obre o apoio correponente à viga V01 (apoio A). Coniere a combinaçõe e carregamento eigia para a ituação e o coeiciente e poneração recomenao pela ABNT NBR 6118, tanto no entio avorável quanto no entio eavorável a açõe atuante. Conierar: Ob: carga permanente uniormemente itribuía: 40 kn/m (valor caracterítico); e coeiciente e poneração para a açõe a ABNT NBR-6118, combinaçõe normai, eiicaçõe tipo 1 e ponte em geral:! açõe permanente ireta avorávei:... γ g 1,00! açõe permanente ireta eavorávei:... γ g 1,35! açõe variávei ireta avorávei:... γ q 0,00! açõe variávei ireta eavorávei:... γ q 1,50 o peo próprio a parte a etrutura etão incluío no carregamento upr/tc405

65 V01 V0 75 kn 75 kn 75 kn 75 kn 1,3 m A 1,4 m 1 m 40 kn/m,0 m B 1,3 m 1 m 1,4 m upr/tc405

66 4 4DIAGRAMAS TENSÃO-DEFORMAÇÃO DE CÁLCULO - ELU 4.1 Diagrama tenão-eormação o concreto Conorme vito na Figura [1.3], o iagrama tenão-eormação o concreto variam e acoro com ua reitência. A ABNT NBR 6118 ignora tal ato e permite que e aote um único 0,85 c σ c σ c 0,85 3,5 εc 1 1 Figura Diagrama tenão-eormação e cálculo o concreto c ε c iagrama, inepenente a reitência o concreto. Deine o item que o iagrama tenão-eormação à compreão, a er uao no cálculo, erá o iagrama motrao na Figura 4.1, one o trecho curvo correpone a uma parábola o eguno grau, a tenão limite o concreto é iaa em 0,85 c e o limite e encurtamento o concreto é einio como eno 3,5. O valor máimo e σ c é tomao igual a 0,85 c evio a trê atore: eeito Rüch, que coniera a variação a reitência o concreto em unção a velociae e carregamento (Figura 4.); ganho e reitência o concreto ao longo o tempo; e inluência a orma cilínrica o corpo e prova. O eeito Rüch é motrao na Figura 4., one, para ierente velociae e carregamento, o concreto σ c / c apreenta ierente orma 1,0 limite e ruptura a curva tenão-eormação. Para uraçõe maiore o uração o tempo e carregamento, a A B carregamento: tenão e ruptura σ c tene 0,8 minuto para valore próimo e 80% C D 0 minuto a reitência correponente luência 100 minuto ao carregamento e curta uração ( c ). 3 ia limite e luência 8 Figura 4. - Eeito Rüch Deve er levao em conta que a carga permanente na etrutura ão geralmente aplicaa rapiamente manteno-e contante ao longo o tempo, e tal orma a permitir o eenvolvimento o enômeno a luência (item [ ]). Aim, e o nível e tenão inicial or uperior à reitência e longo prazo (ponto A a Figura 4.) poerá, apó certo tempo, ocorrer o colapo o elemento etrutural por ter io atingio o limite e ruptura (ponto B a Figura 4.). Por outro lao, e o nível e tenão inicial or inerior à reitência e longo prazo (ponto C a ε c upr/tc405

67 Figura 4.) não haverá ruptura, memo com o eenvolvimento o enômeno a luência (ponto D a Figura 4.). Deta orma, para que não ocorra à ruína, é neceário que o limite e luência eja atingio ante o limite e ruptura. Ito é eito limitano a reitência o concreto a um valor inerior à reitência e curto prazo. Daí, ecorre o ato a ABNT NBR 6118 aotar para a máima reitência e cálculo o concreto o valor 0,85 c. Ete valor leva em conta não ó o eeito Rüch, como também o ganho e reitência o concreto ao longo o tempo e a inluência a orma cilínrica o corpo e prova. Como impliicação 1 poe er aotao, para repreentar o iagrama tenão-eormação o concreto, o iagrama motrao na Figura 4.3, o σ c qual correpone a uma aaptação o item 17..-e a ABNT NBR Ete iagrama poe er repreentao pela 0,85 c Equação 4.1. Figura Diagrama tenão-eormação impliicao e cálculo o concreto σ,85 0,7 ε 3,5 Equação 4.1 c 0 c c 4. Diagrama tenão-eormação o aço 4..1 Convenção Para repreentar tenõe erá uao o eio vertical, correponeno a parte uperior à tenõe e tração e a inerior a tenõe e compreão. No cao o aço, para ierenciar tração e compreão erá uaa a plica (') na tenõe e compreão. ε' tenõe e tração encurtamento 0,7 3,5 σ σ' alongamento Figura Convenção para iagrama tenão-eormação o aço. ε tenõe e compreão ε c Para repreentar eormaçõe erá uao o eio horizontal, eno o alongamento repreentao a ireita e o encurtamento à equera. Para ierenciar alongamento e encurtamento, erá uaa a plica (') no encurtamento (Figura 4.4). A eormaçõe e a tenõe erão conieraa, no iagrama, empre em valore aboluto. 4...Diagrama tenão-eormação o aço Para o aço, a ABNT NBR 6118, item 8.3.6, apreenta o iagrama impliicao motrao Figura 4.5, one no trecho inclinao é vália a Lei e Hooke e o limite e alongamento é iao 1 Ver SEÇÕES TRANSVERSAIS DE CONCRETO ARMADO SUJEITAS A SOLICITAÇÕES NORMAIS, M. A. Marino, COPEL, O item 17..-e a ABNT NBR 6118 prevê, para algun cao, σ c 0,80 c para 0,7 ε c 3,5 (ver Capítulo [5], item [5.4]) upr/tc405

68 em 10. O limite e encurtamento é tomao igual a 3,5, compatível com o limite o concreto (Figura 4.1 e Figura 4.3). Ete iagrama poe er repreentao pela Equação 4.. σ y σ ε E ε' 3,5 ε y ε y 10 ε E MPa y Figura Diagrama tenão-eormação e cálculo o aço σ ε E Equação 4. σ' y O valore e y e ε y, para o aço etinao a etrutura e concreto armao etão motrao na Tabela 4.1. O valore e y ão eterminao pela Equação [3.] com o coeiciente e minoração a reitência γ igual a 1,15 (Tabela [3.9]). O valore e ε y ão einio pela Lei e Hooke, one o Móulo e Elaticiae E é tomao igual a 10 GPa (item [1.5.5]). Aço yk y ε y CA-5 50 MPa 17 MPa 1,035 CA MPa 435 MPa,070 CA MPa 5 MPa,484 Tabela Aço - valore e cálculo - ELU 1 Eemplo 4.1: Determinar, para a viga abaio repreentaa: a poição a linha neutra (); a orça reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio (R c ); a orça reitente e cálculo atuante na armaura uperior (R' ); a orça reitente e cálculo atuante na armaura inerior (R ); e o eorço reitente e cálculo (N R e M R ). Dao: concreto: C5; aço: CA-50; armaura uperior: φ 1,5 mm; armaura inerior: 3 φ 16 mm; encurtamento o concreto:,5 para a ibra mai comprimia; e alongamento a armaura: 10,0 para a barra mai tracionaa. Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); e iagrama tenão-eormação impliicao o concreto (σ c 0,85 c para 0,7 ε c 3,5 ). 1 Para combinaçõe ecepcionai, o valor e y eve er tomao igual a yk (γ 1,0 Tabela [3.7]) upr/tc405

69 ,5 5 cm M S 45 cm N S 0 cm 5 cm 10,0 Solução: A poição a linha neutra ica einia pelo iagrama e eormaçõe. A tenõe na região e concreto comprimio erão eterminaa pela Equação 4.1 e a tenõe na armaura erão einia pela Equação 4.. A reitência e cálculo correponem à orça atuante na região e concreto comprimio (R c A cc σ c ), na região a armaura comprimia (R' A' σ' ) e na região a armaura tracionaa (R A σ ). O eorço reitente e cálculo (N R e M R ) icam einio pela orça R c, R' e R, como motrao na igura abaio. ε c A' ' M R R c R' σ c ε' y M S N R 0,7 N S A b w R ε l eorço reitente e cálculo olicitaçõe e cálculo a. Dao - uniormização e uniae (kn e cm) 5 MPa,5 kn/cm ck γ c 1,40 ck,5 c 1,79 kn/cm γ 1,40 c (ELU - combinação normal) yk 500 MPa 50 kn/cm γ 1,15 (ELU - combinação normal) yk 50 y 43,5 kn/cm γ 1,15 E 10 GPa MPa 1000 kn/cm ' π 1,5, up A,45 cm A 4 A π 1,6 in A 3 4 6,03 ε c,5 10,0 ε, cm upr/tc405

70 b w 0 cm 50 cm ' 5 cm h 55 cm b. Poição a linha neutra () εc εc + ε εc β ε + ε c,5 β 0,0,5 + 10,0 β 0, ,0 cm 10,0 cm 50 cm ε c,5 linha neutra ε 10 c. Poição a eormação 0,7 (y) εc 0,7 εc 0,7 y εc εc + ε y ε c 0,7 βy εc + ε,5 0,7 β y 0,144, y βy 0, , cm y 7, cm y 7, 0,7 10,0 1 y 0,7. Força reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio (R c ) σ c 0,85c 0,7 εc 3,5 σ c 0,85 c σ 0,85 1,79 1,5 kn/cm 1,5 kn/cm c R c b { w y σ { c R R c c área tenão ( bw βy )( 0,85 c ) 0,85 β y ( b w ) c R c 0,85 0, ,79 19,1kN R c 19,1kN y 7, cm 50 cm b w 0 cm ε c,5 0,7 y ε 10 R c 1 Como motrao no Capítulo [5], Equação [5.5], a ABNT NBR 6118, item 17..-e, permite aotar, e moo impliicao, y 0,8, para qualquer etao e eormação upr/tc405

71 e. Deormação a armaura comprimia (ε' ) ' ' ' ε ε c ε ' β εc β ' ε ' β ε 1 β 5 0,0 ' ε 50,5 1,5 0,0. Força reitente e cálculo atuante na região a armaura comprimia (R' ) ' ' σ ε E σ R ' ' 1, ' A y { σ { área ,5 kn/cm ' tenão R ',45 6,5 64,3 kn R ' 64,3kN < 43,5 kn/cm ' 5 cm 50 cm 5 cm ε 0 cm ε c,5 ε 10 R' g. Força reitente e cálculo atuante na região a armaura tracionaa (R ) σ ε E σ σ R 10, y 43,5 kn/cm σ { { A área kn/cm tenão R 6,03 43,5 6,3 kn R 6,3kN > 43,5 kn/cm R 0 cm 5 cm upr/tc405

72 h. Eorço reitente e cálculo (N R e M R ) + ' 5 cm h/ 7,5 cm R c 19,1 kn R' 64,3 kn CG y/ 3,6 cm + eorço reitente e cálculo h/ 7,5 cm h - 5 cm R 6,3 kn R c ' N R - R - R (poitivo para tração) N R 6,3-19,1-64,3-1,1kN N R -1,1kN compreão h h y ' h ' M R R ( h ) + Rc + R (poitivo para entio horário) , 55 M R 6,3 ( ) + 19,1 + 64,3 5 M R 6,3 7, ,1 7,5 3,6 + 64,3 7, ,0 [ ( )] [ ( )] [ ( )] kncm M R 15,8 knm poitivo i. Conição limite e egurança A conição limite e egurança correpone à igualae a Equação [3.0]: R N S R N S 1,1kN MR MS 15,8 knm compreão momento poitivo j. Conieração o epaço ocupao por barra na região e concreto comprimio Deve er obervao que na eterminação o valor a orça reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio (R c ) oi ignoraa a eitência a armaura uperior, tomano-e a eção e concreto comprimio em o econto e,45 cm (área correponente a φ 1,5 mm). A conieração o epaço ocupao por armaura na região e concreto comprimio poe er eita e ua maneira: econtano a área e concreto comprimio a área a armaura eitente neta região (altera o valor e R c, bem como eu ponto e atuação que eia e er y/ por e tratar e eção vazaa); ou econtano a tenão atuante na barra comprimia, a tenão atuante no concreto comprimio (altera apena o valor e R' ). A primeira olução é a mai trabalhoa poi implica na einição o centro e graviae e uma eção vazaa (eia e er y/). A eguna olução é a mai imple, como emontrao a eguir: N N N R R R R R R - R c R R c c - R ' ' + A 1443 σc tração ' ' ' ( A σ ) + ( A σc ) ' ' A ( σ σ ) c ' R,mo upr/tc405

73 Deta orma, alterano-e o valor a orça reitente e cálculo atuante na região a armaura comprimia (R' ), tem-e: ' ' ' ' ' R A σ σ A σ 0,85, mo ( ) ( ) c [ 6,5 ( 0,85 1,79 )] 60,6 kn R ', mo,45 N R R - R c - R ',mo N R 6,3-19,1-60,6-17,4 kn N R -17,4 kn compreão h h y ' h ' M R R ( h ) + Rc + R,mo , 55 M R 6,3 ( ) + 19,1 + 60,6 5 M R 6,3 7, ,1 7,5 3,6 + 60,6 7, ,7 c [ ( )] [ ( )] [ ( )] kncm M R 15,0 knm poitivo 1,1 17,4 N R 1,3% 17,4 15,8 15,0 M R 0,6% 15,0 Como poe er obervao, a conieração o epaço ocupao por barra na região e concreto comprimio ó é igniicativa na eterminação o eorço reitente e cálculo N R (ierença e 1,3%). k. Obervaçõe A equaçõe e notaçõe aqui apreentaa ão a mema o Capítulo [5]. São vália para a reolução e qualquer tipo e problema reerente a eçõe retangulare ubmetia à leão normal imple ou compota. A ABNT NBR 6118, item 17..-e, aota para a relação y/, calculaa como 0,7 no item c ete Eemplo, o valor io e 0,8 (y 0,8 ), não conierano, eta orma, a relaçõe tenão-eormação que ocorrem na região e concreto comprimio. 4.3 Domínio a ABNT NBR 6118 Na reolução o Eemplo 4.1, item b, a poição a linha neutra poe er eterminaa como motrao na Figura 4.6, reultano na Equação 4.3. Eta equação motra que um único valor e ε c ε linha neutra β, que everia correponer a uma única poição a linha neutra, poe er obtio com ininita combinaçõe a variávei ε c e ε (o conjunto ε c ε 1, ε c ε e ε c ε 3,5, entre outro, correponem a β 0,5). Aim e evitar ininita oluçõe para a poição e linha neutra em um peça ujeita a olicitaçõe normai, a ABNT NBR 6118, item 17..-g, etabelece que o etao limite último é caracterizao quano a itribuição a eormaçõe na eção tranveral pertencer a um o omínio einio na Figura 4.7. Figura 4.6 Poição a linha neutra ε c β Equação 4.3 εc + ε upr/tc405

74 encurtamento ε c 3,5 ε c 3 h 7 4 h 7 A A b 5 4a 4 3 a 1 ε ε y ε 10 alongamento Figura Domínio e etao limite último e uma eção tranveral Na Figura 4.7 a reta e omínio correponem a: reta a: tração uniorme (ε 10 e ε 10 ), obtia por orça e tração centraa; omínio 1: tração não uniorme, em compreão (ε 10 e ε 10 ), obtia por orça e tração ecêntrica; omínio : leão imple ou compota em ruptura à compreão o concreto e com máimo alongamento o aço tracionao (0 ε c 3,5 e ε 10 ), obtia por momento letor iolao ou orça e compreão ecêntrica; omínio 3: leão imple (eção ubarmaa) ou compota com ruptura à compreão o concreto e com ecoamento o aço tracionao (ε c 3,5 e ε y ε 10 ), obtia por momento letor iolao ou orça e compreão ecêntrica; omínio 4: leão imple (eção uperarmaa) ou compota com ruptura à compreão o concreto e aço tracionao em ecoamento (ε c 3,5 e 0 ε ε y ), obtia por momento letor iolao ou orça e compreão ecêntrica; omínio 4a: leão compota com armaura comprimia (ε c 3,5 e ε 0 ), obtia por orça e compreão ecêntrica; omínio 5: compreão não uniorme, em tração ( ε c 3,5 e - ε 0 ), obtia por orça e compreão ecêntrica; reta b: compreão uniorme (ε c e ε ), obtia por orça e compreão centraa. Deve er obervao, na Equação 4.3, que: a reta a (tração uniorme) correpone ao valor β - (ε é igual a 10 e ε c é quem ore variação até chegar ao valor -10 ); e a reta b (compreão uniorme) correpone ao valor β + (ε c é igual a e ε é quem ore variação até chegar ao valor - ). A einição o omínio e etao limite último e uma eção tranveral (Figura 4.7) vai implicar que e imponha limite para a equação etabelecia no item c o Eemplo 4.1 que eine a poição e eormaa 0,7 (orenaa y), como motrao na Figura 4.8. Ao contrario e β, que poe orer uma variação e - a +, β y everá icar limitao como etabelecio na Equação 4.4, obeeceno a conição e y h upr/tc405

75 ε c y h 0,7 ε Figura 4.8 Poição a eormaa 0,7 0,0 y εc 0,7 β y Equação 4.4 εc + ε h A reta a e b, bem como o omínio motrao na Figura 4.7, poem, também, er repreentao por valore e β obtio a Equação 4.3. Para tal torna-e conveniente uar a convenção e inai apreentaa na Figura 4.9 (encurtamento poitivo para o concreto e alongamento poitivo para a armaura). A origem a orenaa β ocorre no ponto O, poição a ibra e concreto mai comprimia ou meno tracionaa. A orenaa (poição a linha neutra), (poição a armaura mai tracionaa) ε e (poição a armaura meno tracionaa 1 c O ), também ão poicionaa a partir a ibra e concreto mai comprimio (ponto O), com entio ' β poitivo na ireção a armaura mai tracionaa (memo entio poitivo e β ). ε A A ε Figura 4.9 Convenção e inai para β Uano a convenção e inai apreentaa na Figura 4.9, a reta a e b, bem como a reta limite entre o omínio, motraa na Figura 4.7, poem er repreentaa pela eguinte equaçõe: reta a (tração imple) ε c 10 β,a ε 10 Equação Obervar que a armaura A paou a er chamaa e armaura meno tracionaa e não mai e armaura comprimia. Como a Figura 4.9 motra, eta armaura, epeneno a poição a linha neutra, poerá etar tracionaa. Obervar, também, que a própria armaura A, epeneno a poição a linha neutra, poerá etar comprimia (ver omínio 4a e 5 a Figura 4.7) upr/tc405

76 reta 1- (limite entre o omínio 1 e ) ε c 0 ε 10 β, ,000 Equação 4.6 reta -3 (limite entre o omínio e 3) ε c 3,5 ε 10 β,3 3,5 3, ,59 Equação 4.7 reta 3-4 (limite entre o omínio 3 e 4) ε c 3,5 ε ε y β 5,34 3,5 3,5 + 1,035 0,77 CA 5 β 50,34 3,5 3,5 +,070 0,68 CA 50 Equação 4.8 β 60,34 3,5 0,585 3,5 +,484 reta 4-4a (limite entre o omínio 4 e 4a) ε c 3,5 β,44a 3,5 1,000 3,5 + 0 reta 4a-5 (limite entre o omínio 4a e 5) ε c 3,5 β,4a5 reta b (compreão imple) ε c β,b 3,5 3, ,5 h + - ε ε CA 60 0 h ε 1 3,5 h Equação 4.9 Equação 4.10 Equação 4.11 Além a eormaçõe ε c e ε, é conveniente, também, repreentar ε (encurtamento a armaura comprimia ou alongamento a armaura meno tracionaa) como unção e β (Figura 4.10). Na reolução o Eemplo 4.1, item 0, oi motrao que ε poe er eterminao pela Equação Obervar que a Equação 4.1, que egue a convenção e inai a Figura 4.9, ierente, no inal, a equação apreentaa no Eemplo 4.1, item e upr/tc405

77 ' ε c ε ε (+) ε ε (+) Figura 4.10 Deormaçõe a armaura ε ' ' β β ' β 1 β ε ε c ε ε ' ' > 0 alongamento < 0 encurtamento Equação 4.1 Eemplo 4.: Determinar, para a eção abaio repreentaa, o iagrama N R M R. Dao: concreto: C5; aço: CA-50; armaura uperior: φ 1,5 mm; armaura inerior: φ 1,5 mm; Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); omínio a ABNT NBR 6118; e iagrama tenão-eormação impliicao o concreto (σ c 0,85 c para 0,7 ε c 3,5 ). ε c 5 cm M S 45 cm N S 0 cm 5 cm ε Solução: A olução o problema conite na eterminação e pare e valore N R, M R para ivera poiçõe a linha neutra. Eta poiçõe a linha neutra poerão er a reta a e b e a reta limite o omínio a Figura 4.7. Com o valore e β einio pela reta, o alongamento e encurtamento poerão er calculao uano a equaçõe motra a partir a página 4-10 (Equação 4.5 a Equação 4.1). A tenõe na região e concreto comprimio erão upr/tc405

78 eterminaa pela Equação 4.1 e a tenõe na armaura erão einia pela Equação 4.. A reitência e cálculo correponem à orça atuante na região e concreto comprimio (R c A cc σ c ), na região a armaura comprimia (R' A' σ' ) e na região a armaura tracionaa (R A σ ). O eorço reitente e cálculo (N R e M R ) icam einio pela orça R c, R' e R, como motrao na igura abaio. ε c A' ' M R R c R' σ c ε' y M S N R 0,7 N S A b w R ε l a. Dao - uniormização e uniae (kn e cm) 5 MPa,5 kn/cm ck γ c 1,40 ck,5 c 1,79 kn/cm γ 1,40 c (ELU - combinação normal) yk 500 MPa 50 kn/cm γ 1,15 (ELU - combinação normal) yk 50 y 43,5 kn/cm γ 1,15 E 10 GPa MPa 1000 kn/cm ' π 1,5, up A,45 cm A 4 A π 1,5 in A 4,45 b w 0 cm 50 cm ' 5 cm h 55 cm, cm ' 5 0,10 50 h 55 1,10 50 eorço reitente e cálculo b. Alongamento e encurtamento (ε c, ε e ε ) ε c Figura 4.7 (Equação 4.5 a Equação 4.11) ε Figura 4.7 (Equação 4.5 a Equação 4.11) ' ε olicitaçõe e cálculo ε c ε (+) ε ε (+) upr/tc405

79 ε ' ' β β ou ' β 1 β ε ε c (Equação 4.1) c. Poição a eormação 0,7 (y) εc 0,7 εc 0,7 y εc εc + ε 0,0 y εc 0,7 β y (Equação 4.4) εc + ε h h 0,7 ε c y ε. Força reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio (R c ) σ c 0,85c 0,7 εc 3,5 σ c 0,85 c R c b { w y σ { c c área tenão ( bw βy ) 0,85 c R R c 0,85β y b w c b w R c y e. Força reitente e cálculo atuante na armaura A (R ) ou A (R ) σ ε E R A σ y b w O valore e R e R ão eterminao a mema orma (mema equaçõe). Se a armaura (A ou A ) etiver alongaa (ε ou ε poitivo) a orça reultante (R ou R ) correponera a orça e tração. Cao contrário, a orça e compreão. A igura apreenta omente o cao a armaura A (ão motrao e R ). Para a armaura A apareceriam no lugar e e R no lugar e R. A R upr/tc405

80 . Eorço reitente e cálculo (N R e M R ) convenção e inai R c y/ M R (+) h/ ' CG N R (+) R' eorço reitente e cálculo h/ R R c ' N R - R + R (poitivo para tração) h h y ' ' h MR R ( h ) + Rc + R h h - y ' ' h MR R + Rc + R (poitivo para entio horário) 1 g. Reta a (tração imple) ε 10 εc 10 ε 10 Equação 4.5 β A g.1 eormação a armaura A (ε ) reta a ' β ' ε ε A 1 β ' 0,10 ε 10 ε g. poição a eormação 0,7 (β y ) 0,0 y εc 0,7 β y εc + ε h 10 0,7 β y β y 0, y β y y 0,000 y 0,00 cm 50 g.3 orça reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio (R c ) R 0,85β b c y w c R c 0,85 0, ,79 0,00 kn N S 1 Eta equação egue a convenção e inai apreentaa na Figura 4.9 e por ito iere um pouco a equação apreentaa no Eemplo 4.1, item h upr/tc405

81 g.4 orça reitente e cálculo atuante na armaura A (R ) σ ε E σ R A y kN / cm σ > 43,5kN / cm σ R,45 43,5 106,58 kn g.5 orça reitente e cálculo atuante na armaura A (R ) ' ' σ ε E σ R ' ' A ' y kN/ cm σ ' > 43,5kN/ cm R ',45 43,5 106,58 kn g.6 eorço reitente e cálculo (N R e M R ) ' N R - R + R R c N R 106,58-0, ,58 13,16kN (tração) σ ' 43,5kN / cm 43,5kN/ cm h h - y ' ' h MR R + Rc + R ,00 55 M R 106, , ,58 5 0,00kNcm M R 0,00kNm N reta a M R R 13,16 kn 0,00 knm ( tração) h. Reta 1- εc 0 ε 10 Equação 4.6 β 0,000 h.1 eormação a armaura A (ε ) ' β ' ε ε 1 β ' 0,10 0,000 ε ,000 h. poição a eormação 0,7 (β y ) 0,0 y εc 0,7 β y εc + ε h 0 0,7 β 0,070 βy y β y y 0,000 y 0,00 cm 50 y 0,000 A ε A reta 1- ε 10 M S N S upr/tc405

82 h.3 orça reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio (R c ) R 0,85β b c y w c R c 0,85 0, ,79 0,00 kn h.4 orça reitente e cálculo atuante na armaura A (R ) σ ε E σ R A y kN / cm σ > 43,5kN / cm upr/tc405 σ R,45 43,5 106,58 kn h.5 orça reitente e cálculo atuante na armaura A (R ) ' ' σ ε E σ ' ' ' y ,0kN / cm ' i. Reta -3 εc 3,5 ε 10 Equação 4.7 β 0,59 i.1 eormação a armaura A (ε ) ' β ' ε εc β ' 0,10 0,59 ε 3,5,15 0,59 i. poição a eormação 0,7 (β y ) 0,0 y εc 0,7 β y εc + ε h 3,5 0,7 β y 0,07 3, y β y < 43,5kN / cm σ ' 43,5kN / cm 1,0kN / cm R A σ R ',45 1,0 51,45 kn h.6 eorço reitente e cálculo (N R e M R ) ' N R R - Rc + R N R 106,58-0, ,45 158,03kN (tração) h h - y ' ' h MR R + Rc + R ,00 55 M R 106, , , ,43kNm M R 1,40kNm (poitivo) NR 158,03 kn ( tração) reta1 MR 1,40 knm (poitivo) ε c 3,5 A ε A reta -3 ε 10 M S N S

83 y 0,07 y 10,35 cm 50 i.3 orça reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio (R c ) R 0,85β b c y w c R c 0,85 0, ,79 314,95 kn i.4 orça reitente e cálculo atuante na armaura A (R ) σ ε E σ R A y kN / cm σ > 43,5kN / cm σ R,45 43,5 106,58 kn i.5 orça reitente e cálculo atuante na armaura A (R ) ' ' σ ε E σ R ' ' y 43,5kN / cm (,15) ' A 1000 ' σ ' ,15kN / cm σ ' σ > 43,5kN / cm ( 43,5 ) 106,58kN R ',45 i.6 eorço reitente e cálculo (N R e M R ) ' N R - R + R R N R c 43,5kN / cm 106,58-314,95-106,58 314,95kN (compreão) h h - y ' ' h MR R + Rc + R ,35 55 M R 106, ,95 106, ,36kNcm M R 118,7kNm (poitivo) N reta 3 M R R 314,95 kn ( compreão) 118,7 knm (poitivo) j. Reta 3-4 εc 3,5 ε,07 Equação 4.8 β 0,68 j.1 eormação a armaura A (ε ) ' β ' ε εc β ' 0,10 0,68 ε 3,5,94 0,68 j. poição a eormação 0,7 (β y ) 0,0 y εc 0,7 β y εc + ε h A ε ε c 3,5 A ε,07 reta 3-4 M S N S upr/tc405

84 3,5 0,7 β y 0,50 3,5 +,07 y β y y 0,50 y 5,10cm 50 j.3 orça reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio (R c ) R 0,85β b c y w c R c 0,85 0, ,79 763,79 kn j.4 orça reitente e cálculo atuante na armaura A (R ) σ ε E σ R y 43,5kN / cm, σ A OK R,45 43,5 106,58 kn j.5 orça reitente e cálculo atuante na armaura A (R ) ' ' σ ε E σ R ' ' y (,94) ' A 1000 ' σ ' ,74kN/ cm σ ' σ > 43,5kN / cm ( 43,5 ) 106,58kN R ',45 j.6 eorço reitente e cálculo (N R e M R ) ' N R - R + R R N R c 43,5kN/ cm 106,58-763,79-106,58 763,79kN (compreão) h h - y ' ' h MR R + Rc + R ,10 55 M R 106, ,79 106, ,76kNcm M R 177,4kNm (poitivo) N reta 34 M R R 763,79 kn ( compreão) 16,15 knm (poitivo) k. Reta 4-4a εc 3,5 ε 0 Equação 4.9 β 1,000 k.1 eormação a armaura A (ε ) ' β ' ε εc β ' 0,10 1,000 ε 3,5 3,15 1,000 A A ε ε c 3,5 reta 4-4a M S N S ε upr/tc405

85 k. poição a eormação 0,7 (β y ) 0,0 y εc 0,7 β y εc + ε h 3,5 0,7 β y 0,800 3,5 + 0 y β y y 0,800 y 40,00 cm 50 k.3 orça reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio (R c ) R 0,85β b c y w c R c 0,85 0, ,79 117,0 kn k.4 orça reitente e cálculo atuante na armaura A (R ) σ ε E σ R 0, A y 1000 σ 0,00kN / cm R,45 0,00 0,00 kn k.5 orça reitente e cálculo atuante na armaura A (R ) ' ' σ ε E σ R ' ' y ( 3,15) ' A 1000 ' σ ' ,15kN / cm σ ' σ > 43,5kN / cm ( 43,5 ) 106,58kN R ',45 k.6 eorço reitente e cálculo (N R e M R ) ' N R - R + R R N R c 43,5kN / cm 0,00-117,0-106,58 133,78kN (compreão) h h - y ' ' h MR R + Rc + R ,00 55 M R 0, ,0 106, ,05kNcm M R 115,7 knm (poitivo) N reta 44a M R R 133,78 kn ( compreão) 115,7 knm (poitivo) l. Reta 4a-5 ε c 3,5 50 ε 1 3,5-0,3 Equação β 1, A A ε ε c 3,5 reta 4a-5 ε M S N S upr/tc405

86 l.1 eormação a armaura A (ε ) ' β ' ε εc β ' 0,10 1,100 ε 3,5 3,18 1,100 l. poição a eormação 0,7 (β y ) 0,0 y εc 0,7 β y εc + ε h 3,5 0,7 β y 0,880 3,5 0,3 y β y y 0,880 y 44,00 cm 50 l.3 orça reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio (R c ) R 0,85β b c y w c R c 0,85 0, , ,9 kn l.4 orça reitente e cálculo atuante na armaura A (R ) σ ε E σ R y ( 0,3) 1000 A σ ,7kN/ cm σ σ < 43,5kN / cm ( 6,7) 16,46 kn 6,7kN/ cm R,45 l.5 orça reitente e cálculo atuante na armaura A (R ) ' ' σ ε E σ R ' ' y ( 3,18) ' A 1000 ' σ ' ,78kN / cm σ ' σ > 43,5kN / cm ( 43,5 ) 106,58kN R ',45 l.6 eorço reitente e cálculo (N R e M R ) ' N R - R + R R N R c 43,5kN / cm 16, ,9-106, ,96kN (compreão) h h - y ' ' h MR R + Rc + R ,00 55 M R 16, ,9 106, ,76kNcm M R 93,9kNm (poitivo) N reta 4a5 M R R 1461,96 kn ( compreão) 93,9 knm (poitivo) upr/tc405

87 m. Reta b ε c εc,0 ε,0 Equação 4.11 reta b β + A m.1 eormação a armaura A (ε ) ' ε β ' N S ε εc β A ' 0,10 ε,0,0 ε - m. poição a eormação 0,7 (β y ) 0,0 y εc 0,7 β y εc + ε h 0,7 h β y βy 1,100 y β y y 1,100 y 55,00 cm 50 m.3 orça reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio (R c ) R 0,85β b c y w c R c 0,85 1, , ,65 kn m.4 orça reitente e cálculo atuante na armaura A (R ) σ ε E σ R y ( ) ,00kN/ cm σ A σ σ < 43,5kN / cm ( 4,00) 10,90kN 4,00kN/ cm R,45 m.5 orça reitente e cálculo atuante na armaura A (R ) ' ' σ ε E σ R ' ' y ( ) ' ,00kN/ cm σ A ' σ ' σ ' < 43,5kN / cm ( 4,00) 10,90kN R ',45 m.6 eorço reitente e cálculo (N R e M R ) ' N R - R + R R N R c 4,00kN/ cm 10, ,65-10, ,45kN (compreão) h h - y ' ' h MR R + Rc + R M R 10, ,65 106,58 5 0,00kNcm M R 0,00 knm upr/tc405

88 N reta b M R R 1879,45 kn 0,00 knm ( compreão ) n. Diagrama N R M R M R 00 knm omínio knm omínio 4a omínio knm N R (compreão) omínio 5 omínio omínio 1 50 knm N R (tração) 000 kn kn 1000 kn 500 kn 500 kn Teno io etabelecio valore para β que einem o limite o omínio, como também a relaçõe entre β e a eormaçõe o concreto e a armaura (Equação 4.3 e Equação 4.1) torna-e poível uma ormulação matemática para o omínio a ABNT NBR Conierano a convenção e inai a Figura 4.9, tem-e: omínio 1: - β 0,000 ε c β 1- β 10 ε c < 0 alongamento( ) ε ε ' 10 ' β 1 β 10 omínio : 0,000 β 0,59 β εc 10 ε 1- β ε ε ' c > 0 alongamento( + ) > 0 alongamento( + ) > 0 encurtamento( + ) Equação 4.13 ε ε ' 10 ' β 1 β 10 ε > 0 alongamento( + ) ' > 0 alongamento( + ) ε < 0 encurtamento( ) Equação upr/tc405

89 upr/tc405 omínio 3: 0,59 β 60 CA 0, CA 0,68 5 CA 0,77 < + > ε β β ε + > ε β β ε + > ε ε ) encurtamento( 0 ) alongamento( 0 3,5 ) alongamento( 0 3,5 1 ) encurtamento( 0 3,5 ' ' ' c c Equação 4.15 omínio 4: 0, CA 0,68 50 CA 0,77 5 CA β 1,000 < + > ε β β ε + > ε β β ε + > ε ε ) encurtamento( 0 ) alongamento( 0 3,5 ) alongamento( 0 3,5 1 ) encurtamento( 0 3,5 ' ' ' c c Equação 4.16 omínio 4a: 1,000 β h ) encurtamento( 0 3,5 ) encurtamento( 0 3,5 1 ) encurtamento( 0 3,5 ' ' c c < ε β β ε < ε β β ε + > ε ε Equação 4.17

90 omínio 5: h β + ε c β β 3 h 7 ε c > 0 encurtamento( + ) ε β 1 β 3 h 7 ε < 0 encurtamento( ) Equação 4.18 ε ' β ' β 3 h 7 ε ' < 0 encurtamento( ) 4.4 Simbologia epecíica Símbolo bae b w ' c c ck c8 k m y yk g k h l y z A cc A A' E M R M S N R N S Q k R c R R R ' S largura a viga altura útil a viga - itância a ibra e concreto mai comprimia até o centro e graviae a armaura tracionaa itância a ibra e concreto mai comprimia até o centro e graviae a armaura comprimia reitência à compreão o concreto reitência à compreão o concreto e cálculo reitência à compreão o concreto caracterítica reitência o concreto ao 8 ia reitência caracterítica reitência méia reitência ao ecoamento o aço e cálculo reitência ao ecoamento o aço caracterítica valor caracterítico a ação permanente altura a viga vão evio parão altura a linha neutra altura o retângulo e tenõe σ c braço e alavanca área e concreto comprimio área a eção tranveral a armaura longituinal tracionaa área a eção tranveral a armaura longituinal comprimia móulo e elaticiae o aço momento letor reitente e cálculo momento letor olicitante e cálculo orça normal reitente e cálculo orça normal olicitante e cálculo valor caracterítico a ação variável orça reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio eorço reitente e cálculo orça reitente e cálculo atuante na armaura tracionaa orça reitente e cálculo atuante na armaura comprimia olicitação e cálculo upr/tc405

91 β β y ε c ε ε' ε y φ γ c γ g γ q γ σ c σ σ' valor aimenional que eine a poição a linha neutra valor aimenional que eine a região e concreto comprimio eormação epecíica o concreto eormação epecíica o aço à tração eormação epecíica o aço à compreão eormação epecíica e ecoamento o aço iâmetro a barra a armaura coeiciente e poneração a reitência o concreto coeiciente e poneração para a açõe permanente ireta coeiciente e poneração para a açõe variávei ireta coeiciente e poneração a reitência o aço tenão à compreão no concreto tenão à tração na armaura tenão à compreão na armaura 4.4. Símbolo ubcrito in mo up 4.5 Eercício inerior moiicao uperior E. 4.1: Deina o iagrama tenão-eormação e cálculo para: concreto C0 (parábola-retângulo); e aço CA-50. Complete o quaro abaio e eina o iagrama uano a eguinte ecala: eormação: 1 cm 1 tenão o concreto: 1 cm 5 MPa tenão a armaura: 1 cm 100 MPa ε 0,0 0,5 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 4,0 5,0 10,0 σ c (MPa) σ (MPa) E. 4.: Determinar, para a viga abaio repreentaa: a. a poição a linha neutra () e o correponente omínio; b. a orça reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio (R c ); c. a orça reitente e cálculo atuante na armaura uperior (R' );. a orça reitente e cálculo atuante na armaura inerior (R ); e. o eorço reitente e cálculo (N R e M R ); e. a olicitaçõe e cálculo (N S e M S ) para a conição limite e egurança (R S ). Dao: concreto: C5; aço: CA-50; armaura uperior: φ 10 mm; upr/tc405

92 armaura inerior: 3 φ 1,5 mm; encurtamento o concreto: 3,5 para a ibra mai comprimia; e alongamento a armaura: 7,0 para a barra mai tracionaa. Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); omínio a ABNT NBR 6118; conição e egurança R S ; e iagrama tenão-eormação impliicao o concreto (σ c 0,85 c para 0,7 ε c 3,5 ). 3,5 5 cm M S 40 cm N S 0 cm 5 cm 7,0 E. 4.3: Determinar o valore a orça normal reitente e cálculo (N R ) e o momento letor reitente e cálculo (M R ) correponente ao etao e eormação motrao na viga abaio repreentaa. Dao: concreto: C0; aço: CA-50; armaura uperior: φ 1,5 mm; armaura inerior: 3 φ 16 mm; encurtamento o concreto:,0 para a ibra mai comprimia; e alongamento a armaura: 10,0 para a barra mai tracionaa. Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); omínio a ABNT NBR 6118; conição e egurança R S ; e iagrama tenão-eormação impliicao o concreto (σ c 0,85 c para 0,7 ε c 3,5 ).,0 5 cm M S 55 cm N S 0 cm 5 cm 10,0 E. 4.4: Determinar o valore a orça normal reitente e cálculo (N R ) e o momento letor reitente e cálculo (M R ) correponente ao etao e eormação motrao na viga abaio repreentaa upr/tc405

93 Dao: concreto: C0; aço: CA-5; armaura: 3 φ 16 mm; encurtamento o concreto: 3,5 para a ibra mai comprimia; e alongamento a armaura: 3,5 para a barra mai tracionaa. Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); omínio a ABNT NBR 6118; conição e egurança R S ; iagrama tenão-eormação impliicao o concreto (σ c 0,80 c para 0,7 ε c 3,5 ); e olicitaçõe e eorço reerio ao centro e graviae a eção tranveral a viga. 3,5 5 cm 35 cm M S N S 45 cm 5 cm 3,5 E. 4.5: Determinar o valore a orça normal reitente e cálculo (N R ) e o momento letor reitente e cálculo (M R ) correponente ao etao e eormação motrao na viga abaio repreentaa. Dao: concreto: C0; aço: CA-5; armaura: 4 φ 16 mm; encurtamento o concreto: 3,5 para a ibra mai comprimia; e alongamento a armaura: 3,5 para a barra mai tracionaa. Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); omínio a ABNT NBR 6118; conição e egurança R S ; iagrama tenão-eormação impliicao o concreto (σ c 0,85 c para 0,7 ε c 3,5 ); e olicitaçõe e eorço reerio ao centro e graviae a eção tranveral a viga upr/tc405

94 3,5 0 cm 10 cm M S 80 cm N S 60 cm 3,5 0 cm 0 cm E. 4.6: Determinar o valore a orça normal reitente e cálculo (N R ) e o momento letor reitente e cálculo (M R ) correponente ao etao e eormação motrao na viga abaio repreentaa. Dao: concreto: C30; aço: CA-50; armaura: φ 16 mm; encurtamento o concreto: 3,5 para a ibra mai comprimia; e alongamento a armaura: 1,75 para a barra mai tracionaa. Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); omínio a ABNT NBR 6118; conição e egurança R S ; iagrama tenão-eormação impliicao o concreto (σ c 0,85 c para 0,7 ε c 3,5 ); e olicitaçõe e eorço reerio ao centro e graviae a eção tranveral a viga. 50 cm 3,5 10 cm 10 cm M S N S 10 cm 10 cm 30 cm 10 cm 5 cm 1,75 E. 4.7: Determinar a curva orça normal reitente e cálculo momento letor reitente e cálculo (N R M RD ) para a viga abaio repreentaa. Dao: concreto: C0; aço: CA-50; armaura uperior: φ 10 mm; e armaura inerior: 3 φ 1,5 mm upr/tc405

95 A curva everá er traçaa para o intervalo e ponto einio a eguir: Ponto ε c (encurtamento) ε (alongamento) N R M R 1 0,0 10,0,0 10,0 3 3,5 10,0 4 3,5 7,0 5 3,5 3,5 6 3,5 0,0 Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); omínio a ABNT NBR 6118; conição e egurança R S ; e iagrama tenão-eormação impliicao o concreto (σ c 0,85 c para 0,7 ε c 3,5 ). ε c 5 cm M S 40 cm N S 0 cm 5 cm ε E. 4.8: A viga abaio inicaa etá ubmetia a um momento letor olicitante e cálculo (M S ) igual a 15 knm. Sabeno-e que o encurtamento a ibra e concreto mai comprimia (ε c ) é igual a 3,5, para a conição limite e egurança (R S ), pee-e: a. a poição a linha neutra () e o correponente omínio; b. a tenão no concreto (σ c ) na região comprimia; c. a altura o bloco e concreto comprimio (y);. valor o braço e alavanca (z) correponente ao binário ormao pela orça reitente; e. a orça reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio (R c );. a orça reitente e cálculo atuante na armaura tracionaa (R ); g. o alongamento a armaura (ε ) neceário para reitir ao momento letor olicitante e cálculo; h. a tenão na armaura (σ ) neceária para reitir ao momento letor olicitante e cálculo; e i. a área e armaura (A ) neceária para reitir ao momento letor olicitante e cálculo. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); omínio a ABNT NBR 6118; conição e egurança R S ; e upr/tc405

96 iagrama tenão-eormação impliicao o concreto (σ c 0,85 c para 0,7 ε c 3,5 ). 3,5 45 cm M S 15 knm A 0 cm 5 cm ε E. 4.9: A viga abaio inicaa etá ubmetia a um momento letor olicitante e cálculo M S. Sabeno-e que: o encurtamento a ibra e concreto mai comprimia (ε c ) é igual a 3,5 ; a linha neutra () encontra-e 5 cm abaio a ibra mai comprimia; e a armaura e compreão (A' ) correpone a 4,0 cm, pee-e: a. o omínio correponente ao etao e eormação; b. o alongamento (ε ) a armaura tracionaa; c. o encurtamento (ε' ) a armaura comprimia;. a tenão no concreto (σ c ) na região comprimia; e. a tenão na armaura comprimia (σ' );. a tenão na armaura tracionaa (σ ); g. o valor a orça reitente e cálculo na região e concreto comprimio (R c ); h. o valor a orça reitente e cálculo na armaura comprimia (R' ); i. o valor a orça reitente e cálculo na armaura tracionaa (R ); j. a área e armaura tracionaa (A ) neceária para aborver o momento letor olicitante e cálculo; e k. o valor o momento letor olicitante e cálculo (M S ). Dao: concreto: C5; e aço: CA-50. Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); omínio a ABNT NBR 6118; conição e egurança R S ; iagrama tenão-eormação impliicao o concreto (σ c 0,85 c para 0,7 ε c 3,5 ); e olicitaçõe e eorço reerio ao centro e graviae a eção tranveral a viga. 40 cm 5 cm 3,5 4,0 cm 0 cm 5 cm M S A 35 cm 0 cm 5 cm ε upr/tc405

97 E. 4.10: A viga abaio inicaa etá ubmetia a um momento letor olicitante e cálculo M S. Sabeno-e que: o encurtamento a ibra e concreto mai comprimia (ε c ) é igual a 3,5 ; e a linha neutra () encontra-e 5 cm acima a ibra mai comprimia, pee-e: a. o valor a orça reitente e cálculo na região e concreto comprimio (R c ); b. o valor a orça reitente e cálculo na armaura tracionaa (R ); c. a área e armaura tracionaa (A ) neceária para aborver o momento letor olicitante e cálculo; e. o valor o momento letor olicitante e cálculo (M S ). Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); omínio a ABNT NBR 6118; conição e egurança R S ; iagrama tenão-eormação impliicao o concreto (σ c 0,80 c para 0,7 ε c 3,5 ); e olicitaçõe e eorço reerio ao centro e graviae a eção tranveral a viga. 40 cm 5 cm ε A 0 cm 35 cm 5 cm M S 0 cm 3,5 E. 4.11: Determinar o valore a orça normal reitente e cálculo (N R ) e o momento letor reitente e cálculo (M R ) correponente ao etao e eormação motrao na viga abaio repreentaa. Dao: concreto: C5; aço: CA-5; armaura uperior: φ 10 mm; armaura inerior: 3 φ 1,5 mm; encurtamento o concreto:,0 para a ibra mai comprimia; e alongamento a armaura: 10,0 para a barra mai tracionaa. Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); omínio a ABNT NBR 6118; conição e egurança R S ; iagrama tenão-eormação impliicao o concreto (σ c 0,80 c para 0,7 ε c 3,5 ); e olicitaçõe e eorço reerio ao centro e graviae a eção tranveral a viga upr/tc405

98 0 cm 65 cm 5 cm 5 cm M S N S 40 cm 10 E. 4.1: Uma viga calha, tal como ilutraa na igura, ao er ubmetia a um carregamento permanente uniormemente itribuío, oreu uma eormação e leão. Para a eção crítica (máima olicitação), contatou-e que o encurtamento a ibra mai comprimia o concreto atingiu o máimo permitio pela ABNT NBR 6118 e oi igual ao alongamento a armaura. Neta coniçõe, e conierano a conição limite e egurança (R S ), eterminar: a. a armaura A (cm ) neceária para que o etao e eormação upra reerio eja provocao omente por momento letor (carregamento g k ); b. a orça reitente e cálculo R c (kn) atuante na região e concreto comprimio, componente o binário (momento letor) etabelecio no item a; e c. o carregamento caracterítico g k (kn/m) atuante na coniçõe etabelecia no iten a e b. Dao: concreto: C0; aço: CA-50; e altura útil: h - 5 cm. Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); omínio a ABNT NBR 6118; conição e egurança R S ; iagrama tenão-eormação impliicao o concreto (σ c 0,85 c para 0,7 ε c 3,5 ); e olicitaçõe e eorço reerio ao centro e graviae a eção tranveral a viga g k? kn/m 40 5 m 15 eção tranveral (imenõe em cm) E. 4.13: A viga abaio inicaa, em equilíbrio etático, etá ubmetia omente a um momento letor e cálculo M S. Sabeno-e que o encurtamento a ibra e concreto mai comprimia é igual a 3,5 e que a armaura tracionaa é compota por trê barra e 0 mm, pee-e: a. o alongamento a armaura tracionaa neceário para promover o equilíbrio entre o eorço eterno e interno atuante na viga; upr/tc405

99 b. a tenão na armaura neceária para promover o equilíbrio entre o eorço eterno e interno atuante na viga; e c. o valor o momento letor e cálculo M S atuante na viga. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); omínio a ABNT NBR 6118; conição e egurança R S ; e iagrama tenão-eormação impliicao o concreto (σ c 0,85 c para 0,7 ε c 3,5 ). 3,5 40 cm M S A 15 cm 5 cm ε E. 4.14: A coluna AB e CD, e eçõe tranverai iguai a 30 cm 30 cm, etão ubmetia à compreão centraa e recebem a reaçõe a viga implemente apoiaa AC. Neta coniçõe, pee-e: a. a área e armaura (A ), neceária em caa coluna, conierano, na ruptura à compreão centraa, a eormação o concreto igual a. b. para a armaura calculaa no item a, o máimo carregamento g k eetivamente permitio obre a viga, abeno-e que o controle tecnológico (ruptura o corpo e prova cilínrico), contatou, urante o proceo e concretagem, que a reitência méia o concreto ( c8 ) reultou em 5,55 MPa e o evio parão () em 7,0 MPa. c. citar, pelo meno uma recomenação, para evitar ou olucionar o problema aociao ao item b. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); omínio a ABNT NBR 6118; conição e egurança R S ; e iagrama parábola-retângulo para o concreto. Ob: conierar o peo próprio a viga incluío na carga g k ; e amitir a probabiliae e 5% e ocorrência, na obra, e valore ineriore à reitência caracterítica o concreto ( c,8 ck + 1,65 ) upr/tc405

100 g k 60 kn/m A B l 10 m C D A N S corte longituinal e uma coluna iagrama e eormaçõe E. 4.15: A viga abaio inicaa etá ubmetia a um momento letor olicitante e cálculo (M S ) que provoca o encurtamento a ibra e concreto mai comprimia (ε c ) igual a,5. Teno em vita que eta viga obeecerá, rigoroamente, o etabelecio para o omínio a ABNT NBR 6118 (correponência entre alongamento e encurtamento), eterminar: a. o valor o momento letor olicitante e cálculo (M S ) correponente ao etao e eormação acima einio (M S M R ); e b. a armaura tracionaa (A ) neceária para reitir o momento letor olicitante e cálculo (M S ) etabelecio e acoro com o item a. Dao: concreto: C0; aço: CA-5; Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); omínio a ABNT NBR 6118; conição e egurança R S ; iagrama tenão-eormação impliicao o concreto (σ c 0,80 c para 0,7 ε c 3,5 ); e olicitaçõe e eorço reerio ao centro e graviae a eção tranveral a viga.,5 M S 50 cm A S 55 cm 5 cm ε E. 4.16: A viga abaio repreentaa etá olicitaa apena por um momento letor olicitante e cálculo M S. Na conição limite e egurança - etao limite último (M R M S ), a ibra e concreto mai comprimia eormou até o valor máimo amiível pela ABNT NBR 6118 e a linha neutra icou ituaa 31,5 cm abaio eta ibra. Neta coniçõe, pee-e: upr/tc405

101 a. o valore a orça reitente e cálculo (kn) atuante na região e concreto comprimio (R c ) e na região a armaura tracionaa (R ); b. o valor o momento letor olicitante e cálculo M S (knm) capaz e provocar o etao e eormação acima einio; e c. o valor a armaura e tração A (cm ) neceária para reitir ao momento letor olicitante e cálculo M S. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); omínio a ABNT NBR 6118; conição e egurança R S ; iagrama tenão-eormação impliicao o concreto (σ c 0,85 c para 0,7 ε c 3,5 ); e olicitaçõe e eorço reerio ao centro e graviae a eção tranveral a viga. 60 cm ε c 15 cm M S 50 cm A 5 cm 0 cm ε E. 4.17: Determinar, para a viga abaio repreentaa: a. o valor limite para a carga Q k (carga aciental ireta valor caracterítico) correponente à coniçõe mínima e egurança etabelecia pela ABNT NBR 6118; e b. a armaura neceária (cm ) para a conição etabelecia no item a. Sabe-e que, para o etabelecio no item a, a viga apreenta a eormaçõe inicaa no eenho. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50; Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); omínio a ABNT NBR 6118; conição e egurança R S ; e iagrama tenão-eormação impliicao o concreto (σ c 0,85 c para 0,7 ε c 3,5 ). Ob: peo próprio a viga incluío na carga g k upr/tc405

102 Q k g k 0 kn/m 1,0 m,0 m,0 m 1,0 m,5 M S 45 cm A 0 cm 5 cm etao e eormação na eção correponente a poição a carga Q k 10 E. 4.18: Determinar o momento olicitante e cálculo (M S ) e a correponente armaura tracionaa (A ), capaze e provocar, na viga abaio repreentaa, um encurtamento na ibra e concreto mai comprimia (ε c ) igual a 3,5 aociao a uma altura (y) a região e concreto comprimia igual a 4 cm. Dao: concreto: C30; e aço: CA-50. Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); omínio a ABNT NBR 6118; conição e egurança R S ; iagrama tenão-eormação impliicao o concreto (σ c 0,85 c para 0,7 ε c 3,5 ); e olicitaçõe e eorço reerio ao centro e graviae a eção tranveral a viga. 5 ε A 0 0 M S imenõe em cm 3, upr/tc405

103 E. 4.19: Determinar, para o etao e eormação a viga abaio repreentaa: a. a armaura e compreão (A ), neceária para que a eção tranveral reita omente ao momento letor olicitante e cálculo (M S ); e b. o valor ete momento letor olicitante e cálculo. Dao: concreto: C0; aço: CA-50; armaura inerior: 3 φ 16 mm; e encurtamento a ibra e concreto mai comprimia:,5. Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); omínio a ABNT NBR 6118; conição e egurança R S ; e iagrama tenão-eormação impliicao o concreto (σ c 0,85 c para 0,7 ε c 3,5 ).,5 A 5 cm 45 cm M S 0 cm 5 cm ε E. 4.0: Determinar, para a viga abaio repreentaa, qual o momento reitente e cálculo M R para a conição e orça normal nula. Sabe-e que o reerio momento encontra-e no omínio. Amitir, para ete omínio, variação linear a curva M R N R. Dao: concreto: C0; aço: CA-50; armaura uperior (A ): φ 10 mm; e armaura inerior (A ): φ 1,5 mm. Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); omínio a ABNT NBR 6118; conição e egurança R S ; e iagrama tenão-eormação impliicao o concreto (σ c 0,85 c para 0,7 ε c 3,5 ). 5 cm ε c A 55 cm M S A 0 cm 5 cm ε upr/tc405

104 M R omínio 3 omínio (reta) N R (compreão) N R (tração) omínio 1 E. 4.1: Para a viga abaio repreentaa, eterminar: a. a armaura e tração (A ), neceária para que a eção tranveral reita omente ao momento letor olicitante e cálculo (M S ); e b. o valor ete momento letor olicitante e cálculo. Dao: concreto: C5; aço: CA-50; e altura a região e concreto comprimio (y): 15 cm. Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); omínio a ABNT NBR 6118; conição e egurança R S ; e iagrama tenão-eormação impliicao o concreto (σ c 0,85 c para 0,7 ε c 3,5 ). 50 cm ε c 10 cm 15 cm M S 40 cm 0,7 A 0 cm 5 cm ε E. 4.: A viga abaio inicaa etá ubmetia a um momento letor olicitante e cálculo (M S ) que provoca o alongamento a ibra e aço mai tracionaa (ε ) igual a 7. Teno em vita que eta viga erá imenionaa com concreto C0, aço CA-5 e obeecerá, rigoroamente, o etabelecio para o omínio a ABNT NBR 6118 (correponência entre alongamento e encurtamento), eterminar: a. o valor o momento letor olicitante e cálculo (M S ) correponente ao etao e eormação acima einio (M S M R ); e upr/tc405

105 b. a armaura tracionaa (A ) neceária para reitir o momento letor olicitante e cálculo (M S ) etabelecio e acoro com o item a. Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); omínio a ABNT NBR 6118; conição e egurança R S ; iagrama tenão-eormação impliicao o concreto (σ c 0,80 c para 0,7 ε c 3,5 ); e olicitaçõe e eorço reerio ao centro e graviae a eção tranveral a viga. ε c M S 45 cm A S 50 cm 5 cm 7 E. 4.3: A viga abaio inicaa etá ubmetia omente a um momento letor olicitante e cálculo M S. Sabeno-e que a área a eção tranveral a armaura tracionaa correpone a 8,66 cm, pee-e: a. a altura o bloco e concreto comprimio (y); b. a poição a linha neutra (); c. valor o braço e alavanca (z) correponente ao binário ormao pela orça reitente;. a orça reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio (R c ); e. a orça reitente e cálculo atuante na armaura tracionaa (R );. o encurtamento a ibra e concreto mai comprimia (ε c ); g. o alongamento a armaura tracionaa (ε ); h. a tenão na armaura (σ ); e i. o momento letor olicitante e cálculo (M S ). Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15); omínio a ABNT NBR 6118; conição e egurança R S ; e iagrama tenão-eormação impliicao o concreto (σ c 0,85 c para 0,7 ε c 3,5 ) upr/tc405

106 ε c M S 5 A imenõe em cm ε upr/tc405

107 5 5FLEXÃO SIMPLES ARMADURA LONGITUDINAL DE VIGA 5.1 Introução Uma viga reta, ee que não poua carregamento horizontai ou inclinao, erá olicitaa por momento letore e orça cortante, como motrao na Figura 5.1. orça cortante momento letor Figura 5.1 Solicitaçõe em viga Na viga e concreto armao, o momento letore e a orça cortante ão reponávei pela eitência e oi tipo e armaura (Figura 5.): longituinal, para reitir armaura para ao momento letore; e momento letor tranveral, para reitir A à orça cortante. armaura para orça cortante A armaura para momento letor corte AA Nete capítulo ó erão etuaa a armaura longituinai, ou eja, a armaura neceária para reitir ao momento letore. Figura 5. Armaura e viga e concreto armao Seguno o item a ABNT NBR 6118, a viga icam caracterizaa quano: l/h 3 para viga iotática; e l/h para viga contínua; one: l é o comprimento o vão teórico (ou o obro o comprimento teórico, no cao e balanço); e h é a altura total a viga. Viga com relaçõe l/h menore evem er trataa como viga-paree upr/tc405

108 5. Vão eetivo e viga Seguno a 6118, item , o vão eetivo (Figura 5.3) poe er calculao pela eguinte epreão: com one: a a 1 l e l 0 t h l l + a + a Equação 5.1 e 0 0,5 t1 min 0,3h 0,5 t min 0,3h 1 vão eetivo a viga; itância entre ace e oi apoio conecutivo; comprimento o apoio paralelo ao vão a viga analiaa; altura a viga. h viga l e l 0 pilar t 1 t Figura 5.3 Vão eetivo e viga 5.3 Etao limite último omínio a ABNT NBR Domínio, 3 e 4 Quano a apreentação o omínio a ABNT NBR 6118 (Figura [4.7]) oi vito que a peça e concreto armao olicitaa omente por momento letor (viga) eriam poívei apena no omínio, 3 e 4, como reprouzio na Figura 5.4. Deta Figura eve er obervao que: no omínio! o concreto não chegou ao eu encurtamento limite (3,5 ), pouino, aina, uma certa reerva e capaciae reitente;! o aço chegou ao eu alongamento máimo (10 ), teno egotao ua capaciae reitente; e! a viga, e ubmetia a um carregamento uperior ao e projeto, eve apreentar um quaro e iuração intena evio ao eceivo alongamento a armaura (e o concreto ajacente); no omínio 3 (eção ubarmaa)! o concreto chegou ao eu encurtamento limite (3,5 ), teno egotao ua capaciae reitente;! o aço tem eu alongamento compreenio entre ε y e 10, pouino, aina, uma boa reerva e capaciae reitente; e! a viga, e ubmetia a um carregamento uperior ao e projeto, eve apreentar um quaro e iuração epreivo evio ao ato a armaura (e o concreto ajacente) apreentar alongamento conierável; upr/tc405

109 no omínio 4 (eção uperarmaa)! o concreto poe etar próimo e ultrapaar eu encurtamento limite (3,5 ), teno egotao, por inteiro, ua capaciae reitente;! o aço tem eu alongamento compreenio entre 0 e ε y, pouino uma grane reerva e capaciae reitente; e! a viga, e ubmetia a um carregamento uperior ao e projeto, não eve apreentar um quaro e iuração tão perceptível quanto ao o omínio e 3 evio ao pequeno alongamento a armaura (e o concreto ajacente). ε c 3,5 0,000 3 M S 0,59 β,34 A 4 1,000 1,000 β,34 0,59 β β β,34 CA-5: 0,77 CA-50: 0,68 CA-60: 0,585 y σ 4 uperarmaa ubarmaa 3 ε y 10 ε Figura 5.4 Domínio poívei para viga e concreto armao A viga, quano imenionaa no omínio 4 (uperarmaa), poem, em cao e uma eventual obrecarga imprevita, er conuzia a uma ruptura rágil (em avio prévio poi o concreto rompe brucamente em que a armaura tenha egotao ua capaciae reitente). A viga imenionaa no omínio e 3 (ubarmaa) têm, evio a coniçõe mai aequaa a poição a linha neutra, garantia boa coniçõe e utiliae, eno conuzia, para uma conição avera e carregamento, a ruptura com avio prévio (a armaura ecoa ante o rompimento o concreto motrano um quaro viível e eterioração a viga). O comportamento e viga, e ubarmaa ou uperarmaa 1, ica einio pela paagem o omínio 3 para o omínio 4 (Figura 5.4), que correpone à reta 3-4 einia pela Equação [4.8]. Deta orma é poível etabelecer, matematicamente, a conição para comportamento e viga ubarmaa (eejao) e uperarmaa (a er evitao), ou eja: 1 A viga uperarmaa pouem, em geral, pouca altura e eceiva armaura (aí o uper, no entio e eceiva quantiae e armaura), ao pao que a viga ubarmaa têm uma itribuição mai equilibraa e materiai (aí o ub, no entio e meno quantiae e armaura) upr/tc405

110 0,77 CA 5 β,34 ubarmaa β,34 0,68 CA 50 β Equação 5. > β,34 uperarmaa 0,585 CA Recomenaçõe a ABNT NBR 6118 ABNT NBR 6118, item 16..3: Em relação ao ELU, além e e garantir a egurança aequaa, ito é, uma probabiliae uicientemente pequena e ruína, é neceário garantir uma boa utiliae, e orma que uma eventual ruína ocorra e orma uicientemente aviaa, alertano o uuário. ABNT NBR 6118, item 17..3: Na viga, principalmente na zona e apoio, ou quano eita reitribuição e eorço, é importante garantir boa coniçõe e utiliae, eno aotaa, e neceário, armaura e compreão que garanta a poição a linha neutra (), repeitano-e o limite e A introução a armaura e compreão para garantir o atenimento e valore menore a poição a linha neutra (), que etejam no omínio ou 3, não conuz a elemento etruturai com ruptura rágil (uualmente chamao e uperarmao). A ruptura rágil etá aociaa a poiçõe a linha neutra no omínio 4, com ou em armaura e compreão. ABNT NBR 6118, item : A capaciae e rotação o elemento etruturai é unção a poição a linha neutra no ELU. Quanto menor or /, tanto maior erá ea capaciae. Para melhorar a utiliae a etrutura na regiõe o apoio a viga ou e ligaçõe com outro elemento etruturai, memo quano não orem eita reitribuiçõe e eorço olicitante, a poição a linha neutra no ELU eve obeecer ao eguinte limite: / 0,50 para concreto com ck 35 MPa; ou / 0,40 para concreto com ck > 35 MPa. Ee limite poem er alterao e orem utilizao etalhe epeciai e armaura, como por eemplo o que prouzem coninamento nea regiõe. O imenionamento e etalhamento e viga e concreto armao icam mai imple e or eguio, para toa a regiõe a viga (regiõe e apoio e aataa ele), o precrito no item a ABNT NBR Deta orma, a melhora na coniçõe e utiliae a etrutura ica garantia e or aotao, para a poição a linha neutra, o valore limite (aí o β.lim ) motrao na Figura 5.5 e na Equação ,500 ck 35MPa β, lim Equação 5.3 0,400 ck > 35MPa upr/tc405

111 ε c 3,5 0,000 3 M S 0,59 β,lim A 4 1,000 1,000 β,lim 0,59 β β β,lim 0,500 ck 35 MPa 0,400 ck > 35 MPa σ 4 rágil 3 útil y Figura 5.5 Coniçõe e utiliae a ABNT NBR 6118 ε y 10 ε 5.4 Ditribuição e tenõe na região e concreto comprimio Conorme vito em [4.1], o iagrama tenão-eormação impliicao e cálculo (Figura [4.3]) permite, ao longo a altura y, a itribuição contante e tenõe σ c (região e M R R c σ c 0,7 ε c y M S concreto comprimio), como motrao na Figura 5.6. A R eorço reitente e cálculo l ε olicitaçõe e cálculo Figura 5.6 Ditribuição e tenõe na região e concreto comprimio upr/tc405

112 Da Figura 5.6, tem-e: εc 0,7 y Equação 5.4 εc Teno em vita que no omínio 3 e 4 o encurtamento o concreto ε c é igual a 3,5 (Figura 5.4), a Equação 5.4 reulta: 3,5 0,7 y 3,5 y 0,8 Equação 5.5 ABNT NBR 6118, item 17..-e: a itribuição e tenõe no concreto e az e acoro com o iagrama parábola-retângulo, einio em 8..10, com tenão e pico igual a 0,85 c, com c einio em Ee iagrama poe er ubtituío pelo retângulo e altura 0,8 (one é a prouniae a linha neutra), com a eguinte tenão: 0,85 c no cao a largura a eção, meia paralelamente à linha neutra, não iminuir a partir eta para a bora comprimia; 0,80 c no cao contrário. A ierença e reultao obtio com ee oi iagrama ão pequena e aceitávei, em neceiae e coeiciente e correção aicional. Como poe er obervao, a ABNT NBR 6118, item 17..-e, etene o reultao alcançao pela Equação 5.5 a too o omínio, incluive o omínio, eiano e er neceário repreentar o valor e y como unção a eormação ε c (Equação 5.4). Cabe ao engenheiro reponável pelo projeto etrutural a opção em aotar o proceimento motrao Capítulo [4] 1, one a altura o retângulo e tenõe e compreão é etabelecia em unção o encurtamento a ibra e concreto mai comprimia e a poição a linha neutra (y y(ε c, ) Equação 5.4), ou aotar a impliicação previta no item 17..-e a ABNT NBR 6118, one a altura o retângulo e tenõe e compreão é etabelecia em unção apena a poição a linha neutra (y 0,8 Equação 5.5). Teno em vita que o precrito no item 17..-e a ABNT NBR conuz a uma itemática e cálculo mai imple, a Equação 5.5 erá uaa na eterminação a equaçõe e imenionamento e veriicação e armaura longituinal e viga e concreto armao. Aina, eguino o que precreve o item 17..-e a ABNT NBR 6118, o valor a tenão e compreão (σ c ) eve obeecer ao motrao na Figura 5.7, para a conição y 0,8. σ c 0,85 c σ c 0,80 c y 0,8 linha neutra y 0,8 linha neutra Figura 5.7 Valor e tenão e compreão na região e concreto comprimio 5.5 Variávei aimenionai - ELU Elemento geométrico e eçõe retangulare Seja a Figura 5.8 one ão motrao, entre outro: o eorço reitente e cálculo (R c e R ), a poição a linha neutra (), a altura o retângulo e tenõe e compreão (y), a itância entre o eorço reitente e cálculo (z) e a altura útil a viga (). 1 Ver Eemplo [4.1], item c e Eemplo [4.], item c upr/tc405

113 0,5 y R c σ c ε c y 0,8 h M R z M S A b w R ε l eorço reitente e cálculo olicitação e cálculo Figura 5.8 Solicitação e eorço reitente em viga e concreto armao Da Figura 5.8 e levano-e em conta a Equação 5.5, tem-e: poição a linha neutra 1 ε c εc + ε εc β εc + ε altura o retângulo e tenõe σ c y 0,8 0,8 y β y 0, 8β braço e alavanca entre o eorço reitente e cálculo R c e R z 0,5 y z 0,5 ( 0,8 ) z 0,4 1 0,4 z β z 1 0, 4β Agrupano toa a variávei geométrica β, e criano a variável auiliar β c, tem-e: β εc ε + ε c poição a linha neutra β β y z y 0,8 β z 1 0,4 β altura o retângulo e tenõe σ braço e alavanca entre R c e R c Equação 5.6 β c 0,68β β z 0,68β ( 1 0,4 β ) variável auiliar A Equação 5.6 motra que a variávei aimenionai β y, β z e β c ão unçõe ireta e β. Deta orma, uma vez conhecia a poição a linha neutra (β ), too o emai elemento 1 Ver Equação [4.3]. Ver Equação upr/tc405

114 geométrico (β y, β z e β c ) icam igualmente einio. A Equação 5.6 permite agrupar o valore e β como motrao na Tabela 5.1. β β y β z β c 0,100 0,080 0,960 0,065 0,59 0,07 0,896 0,158 0,585 0,468 0,776 0,305 0,68 0,50 0,749 0,30 0,77 0,618 0,691 0,363 Tabela 5.1 Valore e β y, β z, e β c como unção e β 5.5. Diagrama aimenional tenão-eormação o aço Conorme vito em [4..], o iagrama tenão-eormação o aço tem o apecto motrao ε' 3,5 ε y 1,0 β σ ε y y β ε E y 10 ε na Figura 5.9. Neta Figura optou-e por apreentar ete iagrama e orma aimenional, com a introução o valore e β e β ao pela Equação ,0 β ' σ Figura 5.9 Diagrama aimenional tenão- -eormação o aço ' y E MPa β β ' σ y σ ' y ε E ε E ' y y 1,0 1,0 Equação 5.7 Seja a Figura 5.10 one ão motrao, entre outro: o eorço reitente e cálculo (R c, R e R ), a poição a linha neutra (), a altura útil a viga (), a poição a armaura comprimia ( ), o encurtamento a ibra e concreto mai comprimia (ε c ), o encurtamento a armaura comprimia (ε ) e o alongamento a armaura tracionaa (ε ) upr/tc405

115 upr/tc405 Figura 5.10 Alongamento e encurtamento a armaura Da Figura 5.10 e levano-e em conieração a Equação 5.6, a Figura 5.4 e a Figura 5.9, tem-e: alongamento a armaura tracionaa 1 c c 1 ε ε ε c 1 ε β β ε > β β β β ε omínio 3 e 4 0,59 3,5 1 omínio 0,59 10 X X Equação 5.8 encurtamento a armaura comprimia ' c ' ' ε ε ε ' c ' ' 1 ε ε ε ' c ' ' 1 ε β β ε β β ε 1 Ver Equação [4.15], Equação [4.16] e Equação [4.17]. Ver Equação [4.1], one oi conieraa a convenção e inai a Figura [4.8]. ' σ c R c y l ε M S eorço reitente e cálculo olicitaçõe e cálculo ε c R M R A R A ε

116 ' β β X 0, β omínio ' ε Equação 5.9 ' β β X > 0,59 3,5 β omínio 3 e 4 A aociação a Equação 5.7 com a Equação 5.8 e com a Equação 5.9 reulta: β β ' σ σ y ' y 1,0 E 1 β y β E E y y ' β 10 1,0 1 β β 3,5 1,0 ' 3,5 1,0 β β X β β 0,59 omínio X β > 0,59 omínio 3 e 4 X 0,59 omínio X > 0,59 omínio 3 e 4 Equação 5.10 A Equação 5.10 emontra que β e β ão unçõe e β, a relação / e a categoria o aço ( yk ). Aim como eito para a variávei β y, β z, e β c (Tabela 5.1), é poível aociar o valore β e β a valore pré-iao e β e ( /), como motrao na Tabela 5., eita para o aço CA CA-50 β para ( /) β β y β z β c β 0,05 0,10 0,15 0,100 0,080 0,960 0,065 1,000 0,68 0,59 0,07 0,896 0,158 1,000 1,000 1,000 0,71 0,68 0,50 0,749 0,30 1,000 1,000 1,000 1,000 0,800 0,640 0,680 0,370 0,4 1,000 1,000 1,000 Tabela 5. Fleão imple CA-50 A Figura 5.4 poe, também, er apreentaa com o iagrama aimenional tenão-eormação o aço, como motrao na Figura A tabela completa ão apreentaa em upr/tc405

117 ε c 3,5 0,000 3 M S 0,59 β,lim A 4 1,000 1,000 β,lim 0,59 β β β,lim 4 3 0,500 ck 35 MPa 0,400 ck > 35 MPa β rágil útil 1,0 ε ε y 10 Figura 5.11 Viga - omínio e iagrama aimenional o aço 5.6 Ineação e área comprimia Para a caracterização e área comprimia e correponente eorço reitente e cálculo (orça e momento), erá uaa a eguinte ineação (Figura 5.1): ínice 1! área e concreto comprimio e largura b w e altura y;! orça reitente e cálculo (R c1 ) einia pelo prouto (b w y) σ c ; e! momento reitente e cálculo (M R1 ) einio pelo prouto R c1 z. ínice ou plica ( )! área e armaura comprimia (A );! orça reitente e cálculo (R ) einia pelo prouto A σ ; e! momento reitente e cálculo (M R ) einio pelo prouto R ( ). ínice 3! área e concreto comprimio e largura (b - b w ) e altura h ;! orça reitente e cálculo (R c3 ) einia pelo prouto [(b - b w ) h ] σ c ; e! momento reitente e cálculo (M R3 ) einio pelo prouto R c3 ( h /) upr/tc405

118 b ' R σ c ε c h h A A R z R c3 R c1 M R ε y M S ε b w M R M R1 + M R + M R3 eorço reitente e cálculo l olicitação e cálculo Figura 5.1 Ineação e área comprimia 5.7 Armaura longituinai máima e mínima Armaura mínima A ruptura rágil e eçõe tranverai e viga e concreto armao poe, também, ocorrer evia a pouca quantiae e armaura. Viga com baia taa e armaura longituinal têm comportamento emelhante ao a viga e concreto imple, one a ruptura em avio prévio poe ocorrer imeiatamente apó o aparecimento a primeira iura ecorrente e olicitaçõe normai (momento letor). A ABNT NBR 6118, item , eine a taa e armaura longituinal mínima como eno: A,min ρ min Equação 5.11 Ac e aota o eguinte valore: c 0,035 ρmin ma y eçõe retangulare 0,15% c 0,04 eçõe T ma ρmin y Equação 5.1 mea comprimia 0,15% c 0,031 eçõe T ma ρmin y mea tracionaa 0,15% Na eçõe T, a área a eção a er conieraa eve er caracterizaa pela alma acrecia a mea colaborante. Para viga e eção retangular, a taa e armaura mínima poe er eprea por: c A,min 0,035 ρ min ma y b h Equação 5.13 w 0,15% upr/tc405

119 5.7. Armaura máima O Capítulo [4] motrou epreõe para a eterminação e armaura tracionaa (A ) e e armaura comprimia (A ), em nenhuma limitação e valore. Eta não limitação para a quantiae e armaura poe ar a ala impreão e que empre eria poível eterminar um conjunto ela (A e A ) que, compono com a imenõe a eção tranveral e com a reitência o materiai ( c e y ), eria capaz e reitir a qualquer olicitação e cálculo. A ABNT NBR 6118 apreenta valore máimo para a armaura longituinai tracionaa ou comprimia. ABNT NBR 6118, item : A epeciicação e valore máimo para a armaura ecorre a neceiae e e aegurar coniçõe e utiliae e e e repeitar o campo e valiae o enaio que eram origem à precriçõe e uncionamento o conjunto aço-concreto. ABNT NBR 6118, item : A oma a armaura e tração e compreão (A + A ) não evem ter valor maior que 4% A c, calculaa na região ora a zona e emena. O item a ABNT NBR 6118 poe er repreentao por: ' ( A + A ) ma ρ ma 4% Equação 5.14 A c A aplicação ireta a Equação 5.14, para eçõe T, poe conuzir a viga e iícil concretagem (eceo e armaura). A Figura 5.13 b motra uma eção retangular e uma eção T, e mema altura (h) e mema armaura tracionaa (A ). A h Amitino-e que a armaura comprimia (A ) eja e A pequena monta a eguinte ituação poe vir a ocorrer: ' ' ( A + A ) ( A + A ) h ρ ret < 4% A b h A A ρ c ' ' ( A + A ) ( A + A ) T < Ac bw h + ( b bw ) h w 4% b w b w Figura 5.13 Comparativo entre eçõe retangulare e T Como poe er obervao na Figura 5.13, no retângulo b w h a quantiae e armaura ão iguai tanto para eção retangular como para a eção T. Ito no leva a concluir que a veriicação a taa máima e armaura em eçõe T eve er eita tanto para a eção total como para a eção b w h., e tal orma que: ' ( A + A ) 4% b w h + ( b b w ) h ρt ' ( A + A ) 4% b w h Como a concentração e armaura empre ocorre no retângulo b w h, a veriicação a taa máima e armaura em eçõe retangulare e eçõe T poe, e moo impliicao, er eita a eguinte orma: ' ( A + A ) ma ρ ma 4% Equação 5.15 b h w upr/tc405

120 5.8 Viga e eção retangular em armaura e compreão Seja a Figura 5.14 one ão motrao, entre outro, a olicitação e cálculo (M S ), o eorço reitente e cálculo (R c e R ), o elemento geométrico reerente à eção tranveral a viga (, y, z,, b w e h), a eormaçõe (ε c e ε ) e a área e armaura (A ). ε c y 0,8 R c R c1 σ c h 1 z M R M R1 M S A b w R ε l eorço reitente e cálculo olicitação e cálculo Figura 5.14 Viga e eção retangular em armaura e compreão Da Figura 5.14 e conierano a equaçõe anteriormente apreentaa, tem-e: elemento geométrico a eção retangular (Equação 5.6) β y β y z βz valore geométrico aimenionai (Equação 5.6) β 0,8 β β y z c 1 0,4 β β 0,68β β z valor aimenional a tenão na armaura tracionaa (Equação 5.10) β X 0,59 1,0 omínio σ β y E 1 β β X > 0,59 3,5 1,0 y β omínio 3 e 4 conição e egurança MR M S eorço reitente e cálculo R c1 R momento letor (binário) evio ao eorço reitente e cálculo M R M R1 MR 1 Rc1 z R z eorço reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio e largura b w R b y σ c1 R R R c1 c1 c1 ( w ) c ( bw )( 0,8 )( 0,85 c ) 0,68( bw )( β )( c ) 0,68β ( b )( ) w c upr/tc405

121 eorço reitente e cálculo atuante na armaura tracionaa R σ R R A A β β A y y binário M R1 /R c1 R z MR 1 c1 R c1 z β β 0,68β ( b )( ) w c z z 1 0, 4β c,68 4 β M M M M M R1 R1 R1 R1 R1 w β β z 0,68β ( 1 0, ) [ 0,68β ( b )( )]( β ) 0 β w c ( 0,68β β )( b ) β 1 c c b w z c w c ( 0,68β )( 1 0,4 β )( bw ( 0,68β )( 1 0,4 β )( bw c) ( 0,68β ) ( 0, β ) M R b 7 MR1 β,5 β + 0 0,7b β w z c M 1,5 1,565 0,7b binário M R1 /R M R z R R 1 β A y z βz M β A R1 ( A )( β ) z M β β R1 y y z R1 equilíbrio o eorço reitente e cálculo R 0,68β b R c1 β A R R c1 β A y y ( )( ) w 0,68β 0,68bw β A y c c ( b )( ) w β c w c upr/tc405

122 equaçõe principai M M M β β A β R R R1 M M β z S R1 c b 1,5 w 1,0 E 1 β y β MR1 β β y 0,68bw A y c M 1,565 0,7b c R1 w 3,5 1,0 β β β c β β β y z c 0,59 > 0,59 0,8 β 1 0,4 β 0,68β β z Equação Dutiliae A utiliae e uma viga ica garantia pela conição etabelecia na Equação 5.3, ou eja: β β,lim 0,500 0,400 ck ck 35MPa > 35MPa A aociação a Equação 5.6 com a Equação 5.3 torna poível etabelecer, também, valore limite e β c que garantam a conição e utiliae e uma viga, ou eja: 0,7 ck 35MPa βc βc,lim Equação ,8 ck > 35MPa Por outro lao, aociano M R1 a Equação 5.16 com a Equação 5.17 torna-e poível etabelecer, também, valore limite para M R1 que garantam a conição e utiliae e uma viga, ou eja: 0,7bw c ck 35MPa MR 1 MR1,lim Equação ,8bw c ck > 35MPa Tanto a Equação 5.3, como a Equação 5.17, como a Equação 5.18 repreentam a conição e utiliae e uma viga e concreto armao Equaçõe para imenionamento Conierano a coniçõe e: equilíbrio, compatibiliae e egurança (Equação 5.16); utiliae (Equação 5.3 ou Equação 5.17 ou Equação 5.18); armaura mínima (Equação 5.13); e armaura máima (Equação 5.15), o imenionamento ou a veriicação e viga e eção retangular, em armaura e compreão, poe er repreentao por: upr/tc405

123 M M M A R1,lim S S β ou β c β β β z 0,7bw c ck 35MPa 0,8bw c ck > 35MPa M não há neceiae e armaura e compreão M z R1,lim R M b 1,0 E y R1 w c 1,5 M 1 0,4 β MR1 β β y R1 1 β β 0,68bw A y 0,7 0,8 A A c,min,ma ck ck M 1,565 0,7b R1 w 3,5 1,0 β 35MPa tab βz e β > 35MPa w β β c c 0,035 bw h ma y 0,0015bw h 0,04b h 0,500 0,400 0,59 > 0,59 ck ck 35MPa > 35MPa Equação 5.19 Eemplo 5.1: Determinar a armaura neceária para a viga abaio inicaa, a qual etá ubmetia a um momento letor olicitante e cálculo (M S ) igual a 15 knm. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letore); e etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15). 45 cm M S 15 knm A 0 cm 5 cm Solução: A olução o problema conite na aplicação ireta a Equação A olução ica acilitaa e or eita a utilização a tabela e leão imple o CA-50 (item 5.16). a. Dao - uniormização e uniae (kn e cm) 0 MPa,0 kn/cm ck γ c 1,40 (ELU - combinação normal) upr/tc405

124 ,0 ck c γ c 1,40 1,43 kn/cm yk 500 MPa 50 kn/cm γ 1,15 (ELU - combinação normal) yk 50 y 43,5 kn/cm γ 1,15 E 10 GPa MPa 1000 kn/cm b w 0 cm 45 cm h 50 cm c 0,035 bw h A,min ma y 0,0015 bw h 1,43 0, ,15 cm A,min ma 43,5 1,50cm 0, ,50 cm A 0,04b h, ma w, ma 0, ,0cm A M S 15kNm 1500kNcm M R1,lim 0,7b w c ck 35MPa MR 1,lim 0, , kNcm M M não há neceiae e armaura e compreão { S < R1,lim kNcm kNcm MS MR MR kNcm b. Linha neutra (β ) M β 1,5 1,565 0,7b R1 w c 0, β 1,5 1,565 0,373 < 0,500 0, ,43 c. Braço e alavanca (β z ) β 1 0, β z 4 ( 0,4 0,373) 0, 851 β z 1. Tenão na armaura (β ) E 1 β β 3,5 1,0 β > 0,59 y β ,373 3,5 β,840 > 1,000 β 43,5 0, e. Cálculo a armaura (A ) M A R1,min A βz β y A,ma A 1500 > 1,50 cm 7,50 cm 0, ,000 43,5 < 40,0cm A 7,50cm (armaura calculaa),cal OK 1,000 OK upr/tc405

125 . Reolução com uo e tabela MR1 β c 0,7 b w c 1500 β c 0,16 < 0, ,43 β 0,373 βc 0,16 β 0, z tabela β 1,000 M A R1,min A βz β y A,ma OK 1500 > 1,50 cm A 7,50 cm 0, ,000 43,5 < 40,0cm A 7,50cm (armaura calculaa),cal g. Veriicação 0,68bw c β β A y 0, ,43 β 0,373 1,001 1,000 OK 7,50 43,5 OK 5.9 Dipoição a armaura A itribuição e o poicionamento correto a armaura entro a eção tranveral e φ t φ l a h a v uma viga contitui ator e uma importância para a urabiliae a etrutura e concreto. A ipoição a armaura entro a eção tranveral a viga não poe obtruir a colocação o concreto reco, eveno permitir, com relativa olga, a introução e equipamento e vibração (Figura 5.15). ma Figura 5.15 Epaçamento horizontal e vertical e barra longituinai ABNT NBR 6118, item : O epaçamento mínimo livre entre a ace a barra longituinai, meio no plano a eção tranveral, eve er igual ou uperior ao maior o eguinte valore: a) na ireção horizontal (a h ): 0 mm; iâmetro a barra, o eie ou a luva; 1, vez o iâmetro máimo o agregao 1 ; b) na ireção vertical (a v ): 0 mm; iâmetro a barra, o eie ou a luva; 0,5 vez o iâmetro máimo o agregao. 1 O correto eria izer imenão máima o agregao. Ver Equação [.] upr/tc405

126 Para eie e barra eve-e conierar o iâmetro o eie: φ n φ n. Ee valore e aplicam também à regiõe e emena por trapae a barra. O item a ABNT NBR 6118 poe er epreo pela Equação 5.0. a a h v cm ma φl 1, cm ma φl 0,5 ma ma Equação 5.0 Eemplo 5.: Determinar o máimo momento letor olicitante e cálculo (M S ) que a viga abaio repreentaa poe uportar. Dao: concreto: C0; aço: CA-50; armaura longituinal: 5 φ 16 mm; armaura tranveral: 6,3 mm; cobrimento: 3 cm; e imenão máima o agregao: 19 mm. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letore); e etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15). A 45 cm M S 0 cm Solução: A olução o problema conite na aplicação ireta a Equação 5.19 e Equação 5.0, com o auílio a tabela e leão imple o CA-50 (item 5.16). a. Dao - uniormização e uniae (kn e cm) 0 MPa,0 kn/cm ck γ c 1,40 ck c γc 1,40 (ELU - combinação normal),0 1,43 kn/cm yk 500 MPa 50 kn/cm γ 1,15 (ELU - combinação normal) yk 50 y 43,5 kn/cm γ 1,15 b w 0 cm h 45 cm c nom 3 cm φ t 6,3 mm 0,63 cm upr/tc405

127 ma 19 mm 1,9 cm π 1,6 A A,e 5 10,05 cm (armaura eetiva) 4 c 0,035 bw h A,min ma y 0,0015 bw h 1,43 0, ,04 cm A,min ma 43,5 1,35cm 0, ,35 cm A 0,04b h, ma w, ma 0, ,0cm A 1,35 cm < 10,05 cm < 36,00 cm A,min A A,ma OK b. Veriicação e a h e a v bw ( cnom + φt + nφl ) ah n 1 b w largura a viga c nom cobrimento nominal a armaura φ t iâmetro a armaura tranveral (etribo) φ l iâmetro a armaura longituinal n número e barra na camaa φ l 0 ( 3,0 + 0, ,6 ) a h 3,97 cm φ t 3 1 cm a h ma φl 1, ma cm ah ma φl 1,6cm,8cm 1, ma 1, 1,9,8cm y cg φ t ah,cal > ah,min OK { 1 3 3,97 cm,8 cm (y cg + φ t + c nom ) cm a cg v ma φl 0,5 ma φ l cm av ma 1,6cm φl,0cm h 0,5 ma 0,5 1,9 0,95 cm h - (y a v,0cm (valor aotao) cg + φ t + c nom ) c. Determinação a altura útil () 1 h y cg < y cg < 4,5cm 10 a h a v c nom c nom cm (a v ) 1 ABNT NBR 6118, item : O eorço na armaura poem er conierao no centro e graviae correponente, e a itância ete cento ao ponto a eção e armaura mai aataa a linha neutra, meia normalmente a eta, or menor que 10%. (Ver Figura 5.6) upr/tc405

128 y cg Ai yi A i π 1,6 1,6 π 1,6 1,6 3 1,6, y,4 cm π 1,6 π 1, h y cg + φ + c cg < ( ) t nom (,44 + 0,63 + 3,0 ) 38,93cm 45. Momento limite (M R1,lim ) M 0,7b R1,lim w c ck 35MPa MR 1,lim 0,7bw c 0,7 0 38,93 1, kNcm e. Veriicação para valore eetivo 0,68bw c β β A y 0, ,93 1,43 β β 1, 73β 10,05 43,5.1 1ª tentativa 1 β 0,577 1,73 β β β z 0,769 0,577 β 0,30 1 c tabela β 1,000,73β 1,73 0, Momento olicitante e cálculo (M S ) M M M M S R1 β R c b w R1 c 1,000 M R1 0, ,93 1, kNcm > 11790kNcm Ok M R1,lim 4,5 cm OK Como o valor M R1 calculao ( kncm) reultou maior que o valor limite M R1,lim ( kncm) ito igniica que a viga eta com eceo e armaura. Para que ejam mantia a coniçõe e utiliae a eção tranveral apreentaa é neceário que o valor e M S ique limitao ao valor limite. Portanto: M M kncm 117,9 knm S R1, lim M S 117,9 knm O valor aumio obeece ao item a ABNT NBR 6118 que limita a 0,500 o valor e β (β,lim ) para regiõe e viga próima a apoio, one ocorrem momento negativo como é o cao ete eemplo Viga e eção retangular com armaura e compreão Conorme vito em 5.8, viga com imenõe aequaa e em armaura e compreão, tem comportamento útil ee que ejam projetaa para uportar momento olicitante ineriore a um eterminao limite (M S M R1,lim ). Quano o momento olicitante ultrapaam o valor limite, a utiliae a viga poe er garantia com o uo e armaura e compreão, como motrao na Figura Para tal bata orçar que a linha neutra mantenha-e no omínio ou no omínio upr/tc405

129 A manutenção a linha neutra no omínio (0,000 β 0,59) ou no omínio 3 (0,59 β β,lim ) poe er alcançaa com a einição o valor e β que conuza ao imenionamento mai econômico, ou eja, aquele que einir a menor quantiae total e armaura (menor A + A ). Em termo prático, ito nem empre é poível. A prática comum é implemente aotar para β o eu valor limite (β β.lim que correpone a M R1 M R1,lim ), inepenentemente e qualquer etuo econômico. ' R' σ c ε c y 0,8 h A' 1 - z R c1 M R M R1 + M R ε' M S A R b w A v A + A 1 R v R + R 1 (R ) (R c1 ) Figura 5.16 Viga e eção retangular com armaura e compreão Como motrao na Figura 5.16, o momento letor reitente e cálculo M R (M R M S ) é compoto por oi momento M R1 e M R. No que e reere a M R1 valem toa a conieraçõe apreentaa em 5.8. Deenvolveno, para a Figura 5.16, um raciocínio emelhante ao apreentao em 5.8, chega-e: valor aimenional a tenão na armaura comprimia (Equação 5.10) ' β E β X 0, ,0 y 1 β omínio ' ' σ β y ' β E β X > 0,59 3,5 1,0 β y omínio 3 e 4 armaura comprimia ' MR A ' ' ( ) β y armaura tracionaa MR1 MR 1 A + ' βz ( ) β y equação e veriicação ' 0,68b w c A ' β β + β A y A l ε eorço reitente e cálculo olicitação e cálculo upr/tc405

130 Deta orma, a viga e eção retangular com armaura e compreão, poem er repreentaa por: M M M M M A ' A ' ( ) ' ( A + A ) R1,lim S R1 S β ou β R ' c β β β z β 0,7bw c ck 35MPa 0,8bw c ck > 35MPa > M há neceiae e armaura e compreão M M M β R1,lim R M R1 w c R1 z R1,lim R M b M M M R ' β R1 R1 M R ' ( ) y 0,04bwh 0,68bw c β A y valor a er aumio (poe er M + M R 0,7 0,8 MR1 0,500 1,5 1,565 0,7bw c 0, ,4 β 1,0 β 0,59 E 1 β 3,5 1,0 0,59 β > y β ' β E 10 1,0 β 0,59 y 1 β ' β E 3,5 1,0 β > 0,59 y β + β 1 y A + A ' ck ck A ',min ck ck R1 35MPa tab βz,β > 35MPa β c 0,035 bw h ma y 0,0015bw h M e β R1,lim ' 35MPa > 35MPa ) Equação 5.1 Eemplo 5.3: Determinar a armaura neceária para a viga abaio inicaa, a qual etá ubmetia a um momento letor olicitante e cálculo (M S ) igual a 0 knm. Dao: concreto: C0; aço: CA-50; armaura tranveral: 6,3 mm; cobrimento: 3 cm; e imenão máima o agregao: 19 mm. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letore); e etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15) upr/tc405

131 M S 0 knm 50 cm A 0 cm Solução: A olução o problema conite na aplicação a Equação 5.19 ou Equação 5.1 e a tabela e leão imple o CA-50 (item 5.16). a. Dao - uniormização e uniae (kn e cm) 0 MPa,0 kn/cm ck γ c 1,40 ck c γ c 1,40 (ELU - combinação normal),0 1,43 kn/cm yk 500 MPa 50 kn/cm γ 1,15 (ELU - combinação normal) yk 50 y 43,5 kn/cm γ 1,15 b w 0 cm h 50 cm 44 cm (aumio) ' 4 cm (aumio) c nom 3 cm φ t 6,3 mm 0,63 cm ma 19 mm 1,9 cm c 0,035 bw h A,min ma y 0,0015 bw h 1,43 0, ,15 cm A,min ma 43,5 1,50cm 0, ,50 cm ' ( A + A ) 0,04b h 0, ,0cm ma M S 0kNm 000kNcm M R1,lim 0,7b w w c ck 35MPa MR 1,lim 0, , kNcm M M há neceiae e armaura e compreão { S > R1,lim kNcm M M M kNcm R 1 R1, lim kNcm kNcm valor aotao (correpone a R1 β c, lim MS MR MR1 + MR 000kNcm M R M R M R1 R kNcm M ) upr/tc405

132 b. Tabela CA-50 MR1 β c 0,7 bw c β c 0,7 eria ierente e 0,7 e M ,43 β 0,500 βc 0,7 βz 0,800 { ' β 1,000 4 tabela 0,091 ' 44 β 1,000 MR1 M R 1 A + A ', min βz ( ) β y A ,8cm 0, (44 4) 1,000 43,5 > A 13,8cm,cal π,0 A,e 5 φ 0mm 5 15,71cm ( camaa) 4 ' MR A ' ' β ( ) y ' 6939 A (44 4) 1,000 43,5 ',cal A 3,99cm 3,99cm ' π 1,6 A,e φ 16mm 4,0cm 4 ' A + A 15,71+ 4,0 19,73cm 40,0cm,e,e < c. Veriicação para valore calculao ' 0,68b w c A ' β β + β A y A 0, ,43 3,99 β 0, ,000 13,8 43,5 13,8 OK. Veriicação e a h e a v para a barra e 0 mm bw ( cnom + φt + nφl ) ah n 1 b w largura a viga c nom cobrimento nominal a armaura φ t iâmetro a armaura tranveral (etribo) φ l iâmetro a armaura longituinal n número e barra na camaa 0 ( 3,0 + 0,63 + 3,0 ) a h 3,37 cm 3 1 cm a h ma φl 1, ma cm ah ma φl cm,8 cm 1, ma 1, 1,9,8 cm R1 1,50 cm 1,000 OK oe ierente e M OK φ l φ t a h R1,lim a v c nom upr/tc405

133 a,cal { > a 1 h h,min 3 3,37 cm,8 cm OK cm a v ma φl 0,5 ma cm av ma φl cm,0cm 0,5 ma 0,5 1,9 0,95 cm a v,0cm (valor aotao) e. Determinação a altura útil () h y cg < y cg < 5,0cm 10 Ai yi y cg A i π,0,0 π,0,0 3,0, y cg,60 cm < 5,0 cm OK π,0 π h ( y cg + φ t + c nom ) ' c nom + φ t + 0,5φ l 50,60 + 0,63 + 3,0 43,77 cm < 44 ( ) cm. Determinação e ' φl c nom + φt + 1,6 ' 3,0 + 0,63 + 4,43 cm > 4cm h (y cg + φ t + c nom ) h - (y cg + φ t + c nom ) y cg φ l φ t cg φ t φ l cm (a v ) c nom c nom g. Cálculo a armaura para novo valore e e MR 1 0,7bw c 0,7 0 43,77 1, kNcm kNcm M R β β c c ' A ,7 eria ierente e 0,7 e M 0 43,77 1,43 0,7 4,43 43,77 β β 13 tabela ' 0,101 β z 0,800 1,000 1, ,93 cm 0,800 43,77 (43,77 4,43) 1,000 43,5 > A 13,93cm,cal π,0 A,e 5 φ 0mm 5 15,71cm 4 h R1 oe ierente e M 1,50 cm OK R1,lim upr/tc405

134 ' 7097 A (43,77 4,43) 1,000 43,5 ',cal A 4,15cm 4,15 cm ' π 1,6 π 1,0 A,e φ16mm + 1φ10mm ' A,e + A,e 15,71+ 4,81 0,5 cm < 40,0 cm OK 4,81cm h. Reolução para M R1 <M R1,lim 43,77 cm (aumio) ' 4,43 cm (aumio) MR 1,lim 0,7bw c 0,7 0 43,77 1, kNcm M M kNcm R 1 R1, lim M R1 M R β β 10958kNcm valor aotao kNcm 1104kNcm , ,77 1,43 c < c ' 0,00 4,43 43,77 β β 13 tabela ' 0,101 β z 0,7 0,864 1,000 1, A + 13,11cm > 1,50cm 0,864 43,77 (43,77 4,43) 1,000 43,5 A 13,11cm,cal OK π,0 A,e 5 φ 0mm 5 15,71cm 4 ' 1104 A 6,45cm (43,77 4,43) 1,000 43,5 ',cal A 6,45cm ' π,0 π 1,0 A,e φ 0 mm + 1φ10 mm ' A + A 15,71+ 7,07,78 cm 40,0cm OK,e,e < i. Comparação e reultao g.1 valore teórico (valore calculao e A e A ) M M kncm R 1 R1, lim M R 1 A 13,93cm,cal ',cal A 4,15cm,cal ',cal A + A 13,93 + 4,15 18,08cm 10958kNcm A 13,11cm,cal ',cal A 6,45cm A ',cal + A,cal 13,11+ 6,45 19,56 cm + g. valore reai (valore eetivo e A e A ) M M kNcm R 1 R1, lim A 15,71cm,e 7,07 cm 8,% OK upr/tc405

135 M R 1 ',e A 4,81cm,e ',e A + A 15,71+ 4,81 0,5cm 10958kNcm A 15,71cm,e ',e A 7,07cm A ',e + A,e 15,71+ 7,07,78 cm + 11% 5.11 Viga e eção T em armaura e compreão Região e concreto comprimio A região e concreto comprimio, em uma viga e eção T, poe ocorrer e trê moo itinto como apreentao na Figura b b b h y y y A A A b w b w b w y < h y h y > h Figura 5.17 Regiõe e concreto comprimio em viga e eção T A ituação em que toa a mea etá comprimia, correpone a: y h y h Conierano a Equação 5.6, tem-e: y h β y βy h β 0,8 0,8 h h h h βc 0,68β ( 1 0,4 β ) 0,68 1 0,4 0,85 0,8 0,8 Levano-e em conta a coniçõe etabelecia na Figura 5.14, cuja região comprimia é einia pelo retângulo e imenõe b w y, tem-e, pela Equação 5.16: M β b M R1 R1 c w h 0,85 c h b w c 0,85 ( bw h ) c No cao particular em que b w (a Figura 5.14) or igual a b (a Figura 5.17), e einino, para ete cao, M R1 como eno o momento reitente e cálculo reitio pela mea comprimia a eção T, tem-e: h MR1 MR,mea 0,85 ( b h ) c upr/tc405 h

136 M R,mea h 0,85( b h ) c Equação 5. Deta orma, para a regiõe e concreto comprimio em viga e eçõe T, têm-e: y < h M R < M R,mea y h M R M R,mea Equação 5.3 y > h M R > M R,mea Seçõe T em armaura e compreão: y h Seja Figura 5.18 one etá repreentaa uma viga e eção T em que a olicitação e cálculo M S é reitia pelo momento reitente e cálculo M R, compoto omente pelo binário a orça R c e R, em a neceiae e armaura e compreão. b ε c y 0,8 h R c R c1 σ c h 1 z M R M R1 M S A R ε b w eorço reitente e cálculo l olicitação e cálculo Figura 5.18 Viga e eção T em armaura e compreão y h Comparano a Figura 5.14 com a Figura 5.18 poe-e concluir que a viga e eção T em armaura e compreão, com y h, é equivalente a uma viga e eção retangular e bae b. Deta orma, introuzino valore e b no lugare e b w apreentao na Equação 5.19 e conierano: a relação entre y e h (Equação 5.3); armaura mínima (Equação 5.1); e armaura máima (Equação 5.15), a viga e eção T, em armaura e compreão, com y h, poem er repreentaa por: upr/tc405

137 M M M M M A R,mea S R1,lim S S β ou c h 0,85( b h ) c M y h eção retangular equivalente e bae b M y z R,mea R1,lim R M b M R1 c y 0,68b A y R1 0,7 0,8 M β 1,5 1,565 0,7b β y 0,8 β β z 1 0,4 β 1,0 β E 1 β 3,5 1,0 y β y β h β A A c,min,ma 0,7b c ck 35MPa 0,8b c ck > 35MPa M não há neceiae e armaura e compreão MR1 β β β ck ck 35MPa tab βy, β > 35MPa R1 w c β β 0,500 0,400 0,59 > 0,59 c 0,04 Ac ma y 0,0015 Ac 0,04b h ck ck z e β 35MPa > 35MPa Equação 5.4 Eemplo 5.4: Determinar a armaura neceária para a viga abaio inicaa, a qual etá ubmetia a um momento letor olicitante e cálculo (M S ) igual a 0 knm. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letore); e etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15). 60 cm 10 cm M S 0 knm 40 cm A 0 cm upr/tc405

138 Solução: A olução o problema conite na aplicação ireta a Equação 5.4 e a tabela e leão imple o CA-50 (item 5.16). a. Dao - uniormização e uniae (kn e cm) 0 MPa,0 kn/cm ck γ c 1,40 ck c γ c 1,40 (ELU - combinação normal),0 1,43 kn/cm yk 500 MPa 50 kn/cm γ 1,15 (ELU - combinação normal) yk 50 y 43,5 kn/cm γ 1,15 b w 0 cm b 60 cm 44 cm (aumio) h 50 cm h 10 cm A b h + b b h c c w ( w ) + ( 60-0) cm A 0 50 c 0,04 A c A,min ma y 0,0015 A c 1,43 0, ,10 cm A,min ma 43,5,10 cm 0, ,10 cm A 0,04b h, ma w, ma 0, ,0cm A M S 0kNm 000kNcm h h MR,mea 0,85( b h ) c 10 M R, mea 0,85 ( 60 10) 44 1, kNcm M { S < MR,mea y < h eção retangular equivalente e bae b kNcm M R1,lim 8 443kNcm 0,7b c ck 35MPa MR 1,lim 0, , kNcm M M não há neceiae e armaura e compreão { S < R1,lim kNcm 4518kNcm M MR MR1 S b. Tabela CA-50 MR1 β c 0,7 b c 000kNcm 000 β c 0,13 < 0, ,43 OK b A h upr/tc405

139 β 0,13 βy 0,170 βc 0, β 0,915 tabela z β 1,000 y β y 0, ,48 cm < 10,0cm 43 OK 14 A A β z M β R1 y A A,min,ma 000 >,10 cm 1,56 cm 0, ,000 43,5 < 40,0cm A 1,56cm,cal π,0 A,e 4 φ 0mm 4 1,57cm 4 c. Veriicação para valore calculao 0,68b c β β A y 0, ,43 β 0,13 1,001 1,000 OK 1,56 43,5. Comparação com o Eemplo 5.3, para igual a 44 cm 60 cm h OK 17,6 cm A 7,48 cm 10 cm 34 cm A 0 cm A 0 cm 6 cm A 13,8 cm A 3,99 cm A 1,56 cm M S 0 knm Seção Retang. Seção T A c 1000,0 cm 1400,0 cm 40,0% A cc 35,0 cm 448,8 cm 7,5% A 3,99 cm # # A 13,8 cm 1,56 cm -9,1% A + A 17,81 cm 1,56 cm -9,5% β 0,500 0,13 Domínio 3 e. Obervação Deve er veriicao o valor e (aumio igual a 44 cm) em unção a ipoição a armaura einia por A,e. Eta veriicação preupõe o conhecimento o iâmetro a armaura tranveral (etribo), cobrimento a armaura e imenão máima o agregao graúo upr/tc405

140 Seçõe T em armaura e compreão: y > h Seja Figura 5.19 one etá repreentaa uma viga e eção T em que a olicitação e cálculo M S é reitia pelo momento reitente e cálculo M R, compoto pelo binário a orça R c1 / R 1 e R c3 / R 3, em a neceiae e armaura e compreão. b ε c y 0,8 σ c h h z R c3 R c1 M R M R1 + M R3 M S A R ε A v A 3 + A 1 b w R v R 3 + R 1 (R c3 ) (R c1 ) l eorço reitente e cálculo olicitação e cálculo Figura 5.19 Viga e eção T em armaura e compreão y > h Como motrao na Figura 5.19, o momento letor reitente e cálculo M R (M R M S ) é compoto por oi momento M R1 e M R3. No que e reere a M R1 valem toa a conieraçõe apreentaa em 5.8. Deenvolveno, para a Figura 5.19, um raciocínio emelhante ao apreentao em 5.8, chega-e: armaura tracionaa MR1 M R3 1 A + βz h β y equação e veriicação [( ) ] 0,68b w c 0,85 b b w h c β β + A y A y Deta orma, a viga e eção T, em armaura e compreão, com y > h, poem er repreentaa por: upr/tc405

141 M M M M M M M S S S β ou R3 R1 c h 0,85( b h ) c > M y > h eção T R,mea R1,lim 0,85 ( b b ) ( M + M ) M 0,7b 0,8b M M b M M + M 0,7 0,8 35MPa > 35MPa 35MPa > 35MPa MR1 β 1,5 1,565 0,7bw β y 0,8 β β z 1 0,4 β 1,0 β β E β 1 β 3,5 1,0 y β y β > h y R,mea R1,lim R R R1 w c R1 R3 w w w R3 c c h h c não há neceiae e armaura e compreão R3 M R1 MR3 1 A A + βz h β y A β 0,68bw c 0,85 β + A y A ck ck ck ck c,min,ma 0,500 0,400 0,59 > 0,59 [( b b ) h ] w y tab β, β c 0,04 Ac ma y 0,0015 Ac 0,04b h c w ck ck y z e β 35MPa > 35MPa Equação 5.5 Eemplo 5.5: Determinar a armaura neceária para a viga abaio inicaa, a qual etá ubmetia a um momento letor olicitante e cálculo (M S ) igual a 30 knm. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letore); e etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15) upr/tc405

142 60 cm 10 cm M S 30 knm 40 cm A Solução: A olução o problema conite na aplicação ireta a Equação 5.5 e a tabela e leão imple o CA-50 (item 5.16). a. Dao - uniormização e uniae (kn e cm) 0 MPa,0 kn/cm ck γ c 1,40 ck c γ c 1,40 (ELU - combinação normal),0 1,43 kn/cm yk 500 MPa 50 kn/cm γ 1,15 (ELU - combinação normal) yk 50 y 43,5 kn/cm γ 1,15 b w 0 cm b 60 cm 44 cm (aumio) h 50 cm h 10 cm A c c b w h + ( b b w ) h + ( 60-0) cm A 0 50 c 0,04 A c A,min ma y 0,0015 A c 1,43 0, ,10 cm A,min ma 43,5,10 cm 0, ,10 cm A 0,04b h, ma w, ma 0, ,0cm A M S 30 knm 3000kNcm h MR,mea 0,85( b h ) c 10 M R, mea 0,85 M M y h eção T { S > R,mea > kNcm M R1,lim 0 cm 8 443kNcm 0,7b ( 60 10) 44 1, kNcm w c ck 35MPa MR 1,lim 0, , kNcm h b A b h upr/tc405

143 M R3 h 0,85 ( b bw ) h c 10 0,85 + M kNcm kncm ( 60 0) , kNcm M R 3 MR 1,lim R3 M { S 3000kNcm < MR1,lim + MR3 não há neceiae e armaura e compreão kNcm M MR MR1 + MR 3 M M M S R1 R R3 3000kNcm R kNcm M 1 b. Tabela CA-50 MR1 β c 0,7 b β w c , ,43 c < 0,7 OK β 0,415 βy 0,33 βc 0, β 0,834 tabela z β 1,000 y β y 0, ,61cm > 10,0 43 cm OK 14 M R1 MR3 1 A,min A + βz h β y A,ma A + 19,34 cm 0, ,000 43,5 44 A 19,34cm,cal π,5 A,e 4 φ 5mm 4 19,63 cm 4 c. Veriicação para valore calculao 0,68b w c 0,85[ ( b b w ) h ] β β + A y A y 0, ,43 0,85 β 0, ,34 43,5 h >,10 cm < 40,0cm ( 60 0) 10 1,43 19,34 43,5 c [ ] OK 1,000. Obervação Deve er veriicao o valor e (aumio igual a 44 cm) em unção a ipoição a armaura einia por A,e. Eta veriicação preupõe o conhecimento o iâmetro a armaura tranveral (etribo), cobrimento a armaura e imenão máima o agregao graúo. OK upr/tc405

144 5.1 Viga e eção T com armaura e compreão Seçõe T com Armaura e Compreão: y h Na eçõe T, a neceiae a armaura e compreão (Figura 5.0) poe vir a er neceária, em algun cao, quano a relação h / aume valore maiore que 0,4 para concreto e clae igual ou inerior a C35, ou 0,3 para concreto e clae uperior a C35. b ' R σ c ε c y 0,8 A R c1 h h z ε M S A 1 R M R M R1 + M R ε A + A v A 1 b w R v R + R 1 (R ) (R c1 ) l eorço reitente e cálculo olicitação e cálculo Figura 5.0 Viga e eção T com armaura e compreão y h Deenvolveno um raciocínio análogo ao apreentao em 5.8, 5.10 e 5.11, a viga e eção T, com armaura e compreão, com y h, poem er repreentaa por: upr/tc405

145 M M A ' A ' ( ) ' ( A + A ) R,mea S h 0,85( b h ) c M y h eção retangular equivalente e bae b y M β R,mea R1 z M R ' β M R ' ( ) y 0,04bwh 0,68b c β A y 0,7b c ck 35MPa MR1,lim 0,8b c ck > 35MPa MS > MR1,lim há neceiae e armaura e compreão MR1 MR1,lim valor a er aumio (poe er MR1 MR1,lim) MS MR MR1 + MR MR MR MR1 MR1 0,7 ck 35MPa ' βc tab βy,βz, β e β b c 0,8 ck > 35MPa ou M 0,500 R1 ck 35MPa β 1,5 1,565 0,7b c 0,400 ck > 35MPa β y 0,8 β βz 1 0,4 β 1,0 β 0,59 β E 1 β 3,5 1,0 0,59 β > y β ' β E 10 1,0 β 0,59 y 1 β ' β ' β E 3,5 1,0 β > 0,59 y β y β h β + β 1 y A + A ' A β ',min c 0,04 Ac ma y 0,0015 Ac Equação 5.6 Eemplo 5.6: Determinar a armaura neceária para a viga abaio inicaa, a qual etá ubmetia a um momento letor olicitante e cálculo (M S ) igual a 500 knm. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letore); e etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15) upr/tc405

146 60 cm 5 cm M S 500 knm 5 cm A 0 cm Solução: A olução o problema conite na aplicação ireta a Equação 5.6 e a tabela e leão imple o CA-50 (item 5.16). a. Dao - uniormização e uniae (kn e cm) 0 MPa,0 kn/cm ck γ c 1,40 ck c γ c 1,40 (ELU - combinação normal),0 1,43 kn/cm yk 500 MPa 50 kn/cm γ 1,15 (ELU - combinação normal) yk 50 y 43,5 kn/cm γ 1,15 b w 0 cm b 60 cm 44 cm (aumio) ' 4 cm (aumio) h 50 cm h 5 cm A c c b w h + ( b b w ) h + ( 60-0) cm A 0 50 c 0,04 A c A,min ma y 0,0015 A c 1,43 0, ,58 cm A,min ma 43,5 3,00 cm 0, ,00 cm A 0,04b h, ma w, ma 0, ,0cm A M S 500 knm 50000kNcm h h MR,mea 0,85( b h ) c 5 M R, mea 0,85 ( 60 5) 44 1, kNcm MS < MR,mea y < h eção retangular equivalente e bae b 1443 { kNcm 57 43kNcm M R1,lim 0,7b c ck 35MPa upr/tc405 b A h

147 MR 1,lim 0, , kNcm M M há neceiae e armaura e compreão { S > R1,lim kNcm 4518kNcm MR 1 MR1, lim 4518 kncm M 4518 kncm valor aotao (correpone a R1 β, lim MS MR MR1 + MR 50000kNcm M MR MR R M R b. Tabela CA-50 MR1 β c 0,7 b β c c 4818kNcm ,7 eria ierente e 0,7 e M ,43 β 0,500 β c 0,7 βy 0,400 β z 0, ' 4 tabela β 1,000 0, ' β 1,000 y β y 0, ,60 cm < 5,0cm 43 OK 14 A MR1 + βz M R ' ( ) β y 1 h c 0,04 A y 0,0015 A A + 3,8cm > 3,00cm 0, (44 4) 1,000 43,5 A 3,8cm,cal π,5 A,e 7 φ 5mm 7 34,36 cm 4 ' MR ' A ( A + A ) 0,04bwh ' ' β ( ) y ' 4818 A (44 4) 1,000 43,5 ',cal A,77cm,77 cm ' π 1,5 A,e 3 φ1, 5mm 3 3,68cm 4 ' A + A 34,36 + 3,68 38,04cm 40,0cm,e,e < c. Veriicação para valore calculao ' 0,68b c A ' β β + β A y A 0, ,43,77 β 0, ,000 3,8 43,5 3,8 c c upr/tc405 OK ) 1,000 R1 OK oe ierente e M. Obervação Devem er veriicao o valore e e em unção e A,e e A,e. Eta veriicação preupõe o conhecimento o iâmetro a armaura tranveral (etribo), cobrimento a armaura e imenão máima o agregao graúo. OK R1,lim

148 5.1. Seçõe T com Armaura e Compreão: y > h Na eçõe T, a neceiae a armaura e compreão (Figura 5.1) poe vir a er neceária, em cao, que a altura a região e concreto comprimio (y) ocupe boa parte a nervura, além a ocupação total a mea. b ' R σ c ε c y 0,8 h h A A R z R c3 R c1 M R M R1 + M R + M R3 ε M S b w A v A 3 + A + A 1 R v R 3 + R + R 1 (R c3 ) (R ) (R c1 ) l ε eorço reitente e cálculo olicitação e cálculo Figura Viga e eção T com armaura e compreão y > h Deenvolveno um raciocínio análogo ao apreentao em 5.8, 5.10 e 5.11, a viga e eção T, com armaura e compreão, com y > h, poem er repreentaa por: upr/tc405

149 upr/tc405 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] + β + β β + β β + + β > β > β β β β β β β > β β β β β β β β β > β > β > > > > y c w ' ' y c w w ' y ' ' R ' c c y c,min y R3 ' R z R1 y ' y ' y ' y z y ck ck c w R1 ' z y ck ck c w R1 c R3 R1 R R R3 R R1 R S R1,lim R1 R1,lim R1 R3 R1,lim S c w R3 ck c w ck c w R1,lim R,mea S c R,mea A h b b 0,85 A A A 0,68b h 0,04b A A M A 0,0015 A A 0,04 ma A 1 h M ) ( M M A h y 0,59 1,0 3,5 E 0,59 1, E 0,59 1,0 3,5 1 E 0,59 1,0 0,4 1 0,8 35MPa 0,400 35MPa 0,500 0,7b M 1,565 1,5 ou e β, β, β β tab 35MPa 0,8 35MPa 0,7 b M M M M M M M M M M ) M M aumio (poe er a er valor M M armaura e compreão há a neceiae e ) M (M M h h b b 0,85 M 35MPa 0,8b 35MPa 0,7b M eção T h y M M h h b 0,85 M Equação 5.7

150 Eemplo 5.7: Determinar a armaura neceária para a viga abaio inicaa, a qual etá ubmetia a um momento letor olicitante e cálculo (M S ) igual a 500 knm. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letore); e etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4 e γ 1,15). 60 cm 10 cm M S 500 knm 40 cm A Solução: A olução o problema conite na aplicação ireta a Equação 5.7 e a tabela e leão imple o CA-50 (item 5.16). a. Dao - uniormização e uniae (kn e cm) ck 0 MPa,0 kn/cm 1,40 (ELU - combinação normal) γ c,0 ck c γ c 1,40 1,43 kn/cm yk 500 MPa 50 kn/cm γ 1,15 (ELU - combinação normal) yk 50 y 43,5 kn/cm γ 1,15 b w 0 cm b 60 cm 44 cm (aumio) ' 4 cm (aumio) h 50 cm h 10 cm A c c b w h + ( b b w ) h + ( 60-0) cm A 0 50 c 0,04 A c A,min ma y 0,0015 A c 1,43 0, ,10 cm A,min ma 43,5,10 cm 0, ,10 cm A 0,04b h, ma 0 cm w, ma 0, ,0cm A M S 500 knm 50000kNcm upr/tc405

151 M M R,mea h 0,85( b h ) c 10 0,85 > MR,mea y > h eção T 1443 ( 60 10) 44 1, kNcm R, mea M { S kNcm M R1,lim 8 443kNcm 0,7 b w c ck 35MPa MR 1,lim 0, , kNcm M R3 h 0,85 ( b bw ) h c 10 0,85 + M kNcm kNcm ( 60 0) , kNcm M R 3 MR 1,lim R3 M { S kNcm > MR1,lim + MR3 há neceiae e armaura e compreão kNcm MR1 M R1,lim 15061kNcm valor aotao M R1 MS MR MR1 + MR + MR3 ( M M ) M R MR R1 + R ( ) M R b. Tabela CA-50 M1 β c 0,7 b w c 50000kNcm 15977kNcm β c 0,7 eria ierente e 0,7 e M ,43 β 0,500 β β 0,400 c 0,7 y β 0, z ' 4 tabela 0,091 β 1, ' β 1,000 y β y 0, ,60 cm > 10,0cm 43 OK 14 A A MR1 MR MR3 + + ' β z ( ) h β h 1 y A,min ,0cm 0, (44 4) 10 1,000 43,5 44 A 30,0cm,cal π,5 A,e 7 φ 5mm ,36 cm R1 oe ierente e M h,10 cm b A b OK R1,lim h upr/tc405

152 A ' M R ' ' ( ) β y ' A 1,000 43,5 ',cal ( 44 4) A 9,18cm 9,18cm ' π 1,6 A,e 5 φ16mm 5 10,05 cm 4 ' A + A 34, ,05 44,41cm > 40,0cm,e,e c. Veriicação para valore calculao ' [( ) ] 0,68b w c A β + ' 0,85 b b w h c β β + A y A A y 0, ,43 9,18 0,85 β 0, , ,0 43,5 30,0 aumentar a imenõe a viga [( 60 0) 10] 30,0 43,5 1,43 1,000. Obervação Se para a veriicação a armaura máima oe uaa a Equação 5.14 no lugar a Equação 5.15, teríamo: ' A + A 0,04 A ( ) ma c ' ( A + A ) 0, ,0 cm ma ' A,e + A,e 34, ,05 44,41cm < 56,0cm OK Porém, pela razõe apreentaa em 5.7., é conveniente eguir a eqüência e calculo motraa no item b e aumentar a imenõe a eção tranveral a viga. OK 5.13 Compoição e b Conjunto laje viga Na etrutura e concreto armao, a viga e eção T aparecem naturalmente poi o conjunto laje-viga eine ete tipo e eção, como motrao na Figura 5.. P1 0 0 V P 0 0 A L1 10 cm V L 10 cm V L3 10 cm A P3 0 0 V 0 50 P4 0 0 L1 b Corte AA V4 L3 V3 b w h L Figura 5. Conjunto laje-viga upr/tc405

153 Deve er notao que no imenionamento a armaura longituinal (armaura e leão), a viga e concreto armao compota por nervura (alma) e aba (mea), como motrao na Figura 5., ó poerá er conieraa como eção T, quano a mea etiver comprimia. Cao contrário (mea tracionaa), a viga everá er conieraa como e eção retangular e bae b w. De moo geral, poe e izer que a eção T, com a mea poicionaa na parte uperior a viga (T em pé), poe er uaa para o imenionamento a armaura longituinal poitiva (momento letore poitivo a viga V3 a Figura 5.). Eventualmente, em contruçõe com laje rebaiaa (apoiaa na bae a viga), é poível conigurar-e eçõe (T invertio a viga V4 a Figura 5.). Nete cao, eta eçõe poeriam er uaa no imenionamento a armaura longituinal negativa (momento letore negativo, e houverem, na viga V4 a Figura 5.) Largura colaborante e viga e eção T Ditância entre ponto e momento letore nulo A conieração a largura colaborante a laje aociaa à viga (Figura 5.) eve obeecer à precriçõe a ABNT NBR ABNT NBR 6118, item : A largura colaborante b eve er aa pela largura a viga b w acrecia e no máimo 10% a itância a entre ponto e momento letor nulo, para caa lao a viga em que houver laje colaborante. A itância a poe er etimaa, em unção o comprimento l o tramo conierao, como e apreenta a eguir: viga implemente apoiaa: a 1,00 l; viga com momento em uma ó etremiae: a 0,75 l; viga com momento na ua etremiae: a 0,60 l; viga em balanço: a,00 l. Alternativamente, o cômputo a itância a poe er eito ou veriicao meiante eame o iagrama e momento letore na etrutura. No cao e viga contínua, permite-e calculá-la com uma largura colaborante única para toa a eçõe, incluive no apoio ob momento negativo, ee que ea largura eja calculaa a partir o trecho e momento poitivo one a largura reulte mínima. O valore e a poem er etabelecio como: a l a 0,75l a 0,60l a l viga implemente apoiaa viga com momento em uma ó etremiae viga com momento na ua etremiae viga em balanço Equação 5.8 A Figura 5.3 motra o valore impliicao e a, como etabelecio pela ABNT NBR upr/tc405

154 l 1 l l 3 l 4 a 1 l 1 Figura 5.3 Ditância entre ponto e momento letor nulo Deve er obervao na Figura 5.3 que para a viga iotática (l 1 ) ó tem entio o uo e eçõe T com a mea poicionaa na parte uperior a viga (T em pé), poi neta viga ó atuam momento letore poitivo. Nete cao: a l a 1 1 a 0,75 l a 3 0,60 l 3 a 4,00 l 4 I II III IV Para a viga contínua (l + l 3 + l 4 ), a eçõe T com a mea poicionaa na parte uperior a viga (T em pé) poem er amitia no trecho I e III, one atuam momento letore poitivo. A eçõe com a mea poicionaa na parte inerior a viga (T invertio) poem er amitia no trecho II e IV, one atuam momento letore negativo. Para o cao em que a viga contínua motraa na Figura 5.3 tiver, em toa ua etenão, eção tranveral em orma e T com a mea poicionaa na parte uperior a viga (T em pé), na eterminação o valor e b (a er uao no imenionamento o momento letore poitivo o trecho I e III), eve er tomao para a o menor o eguinte valore: a 0,75 l a a 3 0,60 l 3 Para o cao em que a viga contínua motraa na Figura 5.3 tiver, em toa ua etenão, eção tranveral em orma e com a mea poicionaa na parte inerior a viga (T invertio), na eterminação o valor e b (a er uao no imenionamento o momento letore negativo o trecho II e IV), eve er tomao para a o menor o eguinte valore: 0,5 l + 0,0 l 3 a 0,0 l 3 +,00 l Viga iolaa e painel e viga Na eterminação e b não poe er apena conieraa a itância a entre o ponto e momento letor nulo, como apreentao em Alguma ipoiçõe ecorrente a própria natureza a viga, ou o conjunto ela, evem er conieraa, como motrao na Figura upr/tc405

155 b c b 3 c b 1 b 1 b 4 b conjunto e viga b w b w b c b 3 c b 3 b 1 0,5 b b 4 b 4 b 3 b 4 viga iolaa b w Figura 5.4 Largura e mea colaborante A relaçõe entre o valore e a motrao na Figura 5.3 e o valore e b i apreentao na Figura 5.4 correponem a: 0,1a 0,1a b 1 b3 Equação 5.9 0,5b b4 Eemplo 5.8: Determinar o valor e b para a viga V. Conierar: viga implemente apoiaa no pilare. V1A V1B 180 L1 VA V3 P L VB 40 V4 P P3 10 L3 P upr/tc405

156 Solução: A olução o problema conite na aplicação ireta a Equação 5.8 e a Equação 5.9. a. Deinição e a (vita longituinal e V) a a 0, 75l a 0, cm l 1 m P3 l 7,8 m P4 a 0,75 l b. Deinição e b (eção tranveral e V) b 400cm b b 4 10cm 0,1a b 1 0,5b b 3 b 1 0, ,5cm b V V1 1 0,5b 0, cm b 0,1a 4 b w b b w b 3 b 4 0, ,5cm b 3 10cm b b3 + b w + b1 b 58, ,5 157cm b 157 cm 5.14 M S,min Uma outra maneira e e eterminar armaura mínima em viga e concreto armao é uano o conceito e M S,min. ABNT NBR 6118, item : A ruptura rágil a eçõe tranverai, quano a ormação a primeira iura, eve er evitaa conierano-e, para o cálculo a armaura, um momento mínimo ao pelo valor correponente ao que prouziria a ruptura a eção e concreto imple, upono que a reitência à tração o concreto eja aa por ctk,up, eveno também obeecer à coniçõe relativa ao controle a abertura e iura aa em ABNT NBR 6118, item : A armaura mínima e tração, em elemento etruturai armao ou protenio eve er eterminaa pelo imenionamento a eção a um momento letor mínimo ao pela epreão a eguir, repeitaa a taa mínima aboluta e 0,15%: M,mim 0,8 W 0 ctk,up one: W 0 é o móulo e reitência a eção tranveral bruta e concreto, relativo à ibra mai tracionaa; ctk,up é a reitência caracterítica uperior o concreto à tração upr/tc405

157 Seguino o precrito no item a ABNT NBR 6118, a equação para a eterminação o momento letor mínimo 1 reulta: 3 MS,min 0,8 W0 ctk,up ctk,up 0,39 ck ck em MPa Equação 5.30 para uma taa mínima e armaura aa por: A,min ρ min 0,15% Equação 5.31 A c ABNT NBR 6118, item : Em elemento etruturai uperimenionao, poe er utilizaa armaura menor que a mínima, com valor obtio a partir e um momento letor igual ao obro e M. Nete cao, a eterminação o eorço olicitante eve conierar e orma rigoroa toa a combinaçõe poívei e carregamento, aim como o eeito e temperatura, eormaçõe ieria e recalque e apoio. Deve-e ter aina cuiao com o iâmetro e epaçamento a armaura e limitação e iuração. Eemplo 5.9: Determinar, para a viga abaio repreentaa, o momento letor olicitante e cálculo mínimo (M S,min ). Conierar: concreto: C0; e etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4). 60 cm 10 cm M S,min 40 cm A Solução: A olução o problema conite na aplicação ireta a Equação a. Dao - uniormização e uniae (kn e cm) 0 MPa,0 kn/cm ck γ c 1,40 ctk,up ctk,up (ELU - combinação normal) 0,39 3 ck 3 ck em MPa 0,39 0,874MPa 0,87 kn/cm b w 0 cm b 60 cm h 50 cm h 10 cm 0 cm 1 A ABNT NBR 6118, item , eine o momento letor mínimo como M,min, eiano e caracterizá-lo como momento letor olicitante e cálculo. Para manter coerência com o eenvolvimento ete Capítulo, na Equação 5.30, o momento oi einio como eno M S,min upr/tc405

158 b. M S,min A b c c w h + ( b b w ) h + ( 60-0) cm A 0 50 y w (b h ) [(b bw )(h h ) ] {[(b h) [(b b )(h h )]} ) [(60 0) (50 10) ] w w (60 50 y 30,71cm h {[(60 50) [(60 0) (50 10)] } y h y w y 50 30,71 19,9cm 3 3 b h [(b bw )(h h ) ] I Ac yw [(60 0) (50 10) ] I , cm 3 I W0 W0,w ibra mai tracionaa (w) yw W cm 30,71 M 0,8 W M S,min 0 ctk,up 0, ,87 S, min M S, min 4,4kNm 440kNcm c. Obervação Se neta viga etiver atuano um momento letor olicitante e cálculo inerior a 4,4 knm, o cálculo a armaura A poe er eito e ua maneira: - conierano um momento letor olicitante e cálculo igual a 4,4 knm e BBBBveriicano a taa mínima e armaura (0,15%) para o A calculao; ou - conierano um momento letor olicitante e cálculo igual ao obro e BBBB4,4 knm, em a veriicação a taa mínima e armaura para o A calculao Dipoiçõe contrutiva Dimenõe limite A viga e concreto armao, e moo geral, não evem pouir largura inerior a 1 cm. ABNT NBR 6118, item 13..: A eção tranveral a viga não eve apreentar largura menor que 1 cm e a viga-paree, menor que 15 cm. Ete limite poem er reuzio, repeitao um mínimo aboluto e 10 cm em cao ecepcionai, eno obrigatoriamente repeitaa a eguinte coniçõe: alojamento a armaura e ua intererência com a armaura e outro elemento etruturai, repeitano o epaçamento e cobertura etabelecio neta Norma; lançamento e vibração o concreto e acoro com a ABNT NBR Armaura e tração na eçõe e apoio Seguno o item a ABNT NBR 6118, a armaura longituinai poitiva e viga evem er prolongaa até o apoio (Figura 5.5), e tal orma que: A,apoio 0,33 A,vão, e M apoio or nulo ou negativo e valor aboluto M apoio 0,5 M vão ; ou A,apoio 0,5 A,vão, e M apoio or negativo e valor aboluto M apoio > 0,5 M vão ; e h 4 b cg b w y y w upr/tc405

159 No cao e apoio intermeiário, one não haja a poibiliae e ocorrência e momento poitivo, a armaura proveniente o meio o vão everão e etener, no mínimo, 10 φ além a ace o apoio (item a ABNT NBR 6118). 0,33 A,vão A,vão 0,5 A,vão Figura Prolongamento e armaura poitiva Concentração e armaura O eorço na armaura, tracionaa ou comprimia, poem er conierao concentrao no centro e graviae correponente (Figura 5.6), e a itância ete centro ao ponto a eção e armaura mai aataa a linha neutra, meia normalmente a eta, or menor que 10% h (ABNT NBR 6118, item ). 10 φ h y CG < 0,1 h CG y CG Figura Centro e graviae e armaura Armaura e pele Quano a altura e viga uperar 60 cm e a armaura longituinal e tração eta viga or contituía por aço e alta aerência (η 1,5), é obrigatório o uo a armaura e pele (ABNT NBR 6118, item ). Eta armaura e pele (armaura lateral) everá er contituía pelo memo aço a armaura longituinal e tração, com área mínima igual a 0,10% A c,alma em caa ace a alma a viga. O epaçamento entre a barra contituinte a A,pele 0,1 b w h (por ace) 0 cm h 60 cm armaura e pele não eve uperar 0 cm (Figura 5.7). b w Figura Armaura e pele 5.16 Tabela e Fleão Simple upr/tc405

160 CA-5 y 1,7 kn/cm β' para '/ β βy βz βc β 0,05 0,050 0,075 0,100 0,15 0,150 0,175 0,00 0,5 0,50 0,010 0,008 0,996 0,007 1,000 0,00 0,016 0,99 0,013 1,000 0,030 0,04 0,988 0,00 1,000 0,050 0,040 0,03 0,984 0,07 1,000 0,151 0,050 0,040 0,980 0,033 1,000 0,55 0,060 0,048 0,976 0,040 1,000 0,360 0,103 0,070 0,056 0,97 0,046 1,000 0,468 0,08 0,080 0,064 0,968 0,053 1,000 0,579 0,316 0,053 0,090 0,07 0,964 0,059 1,000 0,691 0,45 0,160 0,100 0,080 0,960 0,065 1,000 0,806 0,538 0,69 0,110 0,088 0,956 0,07 1,000 0,94 0,65 0,381 0,109 0,10 0,096 0,95 0,078 1,000 1,000 0,770 0,495 0,0 0,130 0,104 0,948 0,084 1,000 1,000 0,890 0,61 0,334 0,056 0,140 0,11 0,944 0,090 1,000 1,000 1,000 0,731 0,450 0,169 0,150 0,10 0,940 0,096 1,000 1,000 1,000 0,854 0,569 0,85 0,160 0,18 0,936 0,10 1,000 1,000 1,000 0,979 0,691 0,403 0,115 0,170 0,136 0,93 0,108 1,000 1,000 1,000 1,000 0,816 0,55 0,33 0,180 0,144 0,98 0,114 1,000 1,000 1,000 1,000 0,944 0,649 0,354 0,059 0,190 0,15 0,94 0,119 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,777 0,478 0,179 0,00 0,160 0,90 0,15 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,907 0,605 0,30 0,10 0,168 0,916 0,131 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,735 0,49 0,1 0,0 0,176 0,91 0,136 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,868 0,558 0,48 0,30 0,184 0,908 0,14 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,691 0,377 0,063 0,40 0,19 0,904 0,148 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,88 0,509 0,191 0,50 0,00 0,900 0,153 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,968 0,645 0,33 0,59 0,07 0,896 0,158 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,774 0,448 0,11 0,60 0,08 0,896 0,158 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,78 0,456 0,130 0,70 0,16 0,89 0,164 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,878 0,565 0,51 0,80 0,4 0,888 0,169 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,968 0,665 0,363 0,90 0,3 0,884 0,174 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,759 0,467 0,300 0,40 0,880 0,180 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,847 0,565 0,310 0,48 0,876 0,185 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,99 0,656 0,30 0,56 0,87 0,190 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,741 0,330 0,64 0,868 0,195 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,81 0,340 0,7 0,864 0,00 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,897 0,350 0,80 0,860 0,05 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,968 0,360 0,88 0,856 0,10 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,370 0,96 0,85 0,14 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,380 0,304 0,848 0,19 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,390 0,31 0,844 0,4 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,400 0,30 0,840 0,8 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,410 0,38 0,836 0,33 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,40 0,336 0,83 0,38 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1,000 1,000 0,650 0,50 0,740 0,37 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,660 0,58 0,736 0,330 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,670 0,536 0,73 0,333 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,680 0,544 0,78 0,337 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,690 0,55 0,74 0,340 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,700 0,560 0,70 0,343 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1, upr/tc405

161 CA-50 y 43,5 kn/cm β' para '/ β βy βz βc β 0,05 0,050 0,075 0,100 0,15 0,150 0,175 0,00 0,5 0,50 0,010 0,008 0,996 0,007 1,000 0,00 0,016 0,99 0,013 1,000 0,030 0,04 0,988 0,00 1,000 0,05 0,040 0,03 0,984 0,07 1,000 0,075 0,050 0,040 0,980 0,033 1,000 0,17 0,060 0,048 0,976 0,040 1,000 0,180 0,051 0,070 0,056 0,97 0,046 1,000 0,34 0,104 0,080 0,064 0,968 0,053 1,000 0,89 0,157 0,06 0,090 0,07 0,964 0,059 1,000 0,345 0,1 0,080 0,100 0,080 0,960 0,065 1,000 0,40 0,68 0,134 0,110 0,088 0,956 0,07 1,000 0,461 0,35 0,190 0,054 0,10 0,096 0,95 0,078 1,000 0,51 0,384 0,47 0,110 0,130 0,104 0,948 0,084 1,000 0,583 0,444 0,305 0,166 0,08 0,140 0,11 0,944 0,090 1,000 0,646 0,505 0,365 0,5 0,084 0,150 0,10 0,940 0,096 1,000 0,710 0,568 0,46 0,84 0,14 0,160 0,18 0,936 0,10 1,000 0,776 0,63 0,489 0,345 0,01 0,057 0,170 0,136 0,93 0,108 1,000 0,843 0,698 0,553 0,407 0,6 0,116 0,180 0,144 0,98 0,114 1,000 0,913 0,765 0,618 0,471 0,34 0,177 0,09 0,190 0,15 0,94 0,119 1,000 0,983 0,834 0,685 0,536 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0,185 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,87 0,736 0,600 0,463 0,37 0,30 0,56 0,87 0,190 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,898 0,766 0,634 0,50 0,370 0,330 0,64 0,868 0,195 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,9 0,794 0,666 0,538 0,410 0,340 0,7 0,864 0,00 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,944 0,80 0,696 0,57 0,447 0,350 0,80 0,860 0,05 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,966 0,845 0,74 0,603 0,483 0,360 0,88 0,856 0,10 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,986 0,868 0,751 0,634 0,516 0,370 0,96 0,85 0,14 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,890 0,776 0,66 0,548 0,380 0,304 0,848 0,19 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,91 0,800 0,689 0,578 0,390 0,31 0,844 0,4 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,931 0,83 0,715 0,607 0,400 0,30 0,840 0,8 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,950 0,845 0,739 0,634 0,410 0,38 0,836 0,33 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,968 0,865 0,76 0,659 0,40 0,336 0,83 0,38 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 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162 CA-60 y 5, kn/cm β' para '/ β βy βz βc β 0,05 0,050 0,075 0,100 0,15 0,150 0,175 0,00 0,5 0,50 0,010 0,008 0,996 0,007 1,000 0,00 0,016 0,99 0,013 1,000 0,030 0,04 0,988 0,00 1,000 0,01 0,040 0,03 0,984 0,07 1,000 0,063 0,050 0,040 0,980 0,033 1,000 0,106 0,060 0,048 0,976 0,040 1,000 0,150 0,043 0,070 0,056 0,97 0,046 1,000 0,195 0,087 0,080 0,064 0,968 0,053 1,000 0,41 0,131 0,0 0,090 0,07 0,964 0,059 1,000 0,87 0,177 0,066 0,100 0,080 0,960 0,065 1,000 0,335 0,3 0,11 0,110 0,088 0,956 0,07 1,000 0,384 0,71 0,158 0,045 0,10 0,096 0,95 0,078 1,000 0,434 0,30 0,06 0,091 0,130 0,104 0,948 0,084 1,000 0,486 0,370 0,54 0,139 0,03 0,140 0,11 0,944 0,090 1,000 0,538 0,41 0,304 0,187 0,070 0,150 0,10 0,940 0,096 1,000 0,59 0,473 0,355 0,37 0,118 0,160 0,18 0,936 0,10 1,000 0,647 0,57 0,407 0,87 0,168 0,048 0,170 0,136 0,93 0,108 1,000 0,703 0,58 0,460 0,339 0,18 0,097 0,180 0,144 0,98 0,114 1,000 0,760 0,638 0,515 0,39 0,70 0,147 0,05 0,190 0,15 0,94 0,119 1,000 0,819 0,695 0,571 0,447 0,33 0,199 0,074 0,00 0,160 0,90 0,15 1,000 0,880 0,754 0,69 0,503 0,377 0,51 0,16 0,10 0,168 0,916 0,131 1,000 0,94 0,815 0,687 0,560 0,433 0,306 0,178 0,051 0,0 0,176 0,91 0,136 1,000 1,000 0,877 0,748 0,619 0,490 0,361 0,3 0,103 0,30 0,184 0,908 0,14 1,000 1,000 0,940 0,810 0,679 0,549 0,418 0,87 0,157 0,06 0,40 0,19 0,904 0,148 1,000 1,000 1,000 0,873 0,741 0,609 0,476 0,344 0,1 0,079 0,50 0,00 0,900 0,153 1,000 1,000 1,000 0,939 0,805 0,670 0,536 0,40 0,68 0,134 0,59 0,07 0,896 0,158 1,000 1,000 1,000 1,000 0,865 0,79 0,593 0,458 0,3 0,186 0,050 0,60 0,08 0,896 0,158 1,000 1,000 1,000 1,000 0,866 0,731 0,596 0,460 0,35 0,190 0,054 0,70 0,16 0,89 0,164 1,000 1,000 1,000 1,000 0,887 0,756 0,66 0,495 0,365 0,35 0,104 0,80 0,4 0,888 0,169 1,000 1,000 1,000 1,000 0,905 0,779 0,654 0,58 0,40 0,77 0,151 0,90 0,3 0,884 0,174 1,000 1,000 1,000 1,000 0,93 0,801 0,680 0,558 0,437 0,316 0,194 0,300 0,40 0,880 0,180 1,000 1,000 1,000 1,000 0,939 0,81 0,704 0,587 0,469 0,35 0,35 0,310 0,48 0,876 0,185 1,000 1,000 1,000 1,000 0,954 0,840 0,77 0,613 0,500 0,386 0,73 0,30 0,56 0,87 0,190 1,000 1,000 1,000 1,000 0,968 0,858 0,748 0,638 0,58 0,418 0,308 0,330 0,64 0,868 0,195 1,000 1,000 1,000 1,000 0,981 0,875 0,768 0,661 0,555 0,448 0,341 0,340 0,7 0,864 0,00 1,000 1,000 1,000 1,000 0,994 0,890 0,787 0,683 0,580 0,476 0,373 0,350 0,80 0,860 0,05 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,905 0,805 0,704 0,603 0,503 0,40 0,360 0,88 0,856 0,10 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,919 0,81 0,74 0,66 0,58 0,430 0,370 0,96 0,85 0,14 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,93 0,837 0,74 0,647 0,55 0,457 0,380 0,304 0,848 0,19 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,945 0,85 0,760 0,667 0,574 0,48 0,390 0,31 0,844 0,4 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,957 0,866 0,776 0,686 0,596 0,505 0,400 0,30 0,840 0,8 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,968 0,880 0,79 0,704 0,616 0,58 0,410 0,38 0,836 0,33 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,979 0,893 0,807 0,71 0,635 0,549 0,40 0,336 0,83 0,38 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,989 0,905 0,81 0,738 0,654 0,570 0,430 0,344 0,88 0,4 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,999 0,917 0,835 0,753 0,671 0,589 0,440 0,35 0,84 0,47 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,98 0,848 0,768 0,688 0,608 0,450 0,360 0,80 0,51 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,939 0,860 0,78 0,704 0,66 0,460 0,368 0,816 0,55 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,949 0,87 0,796 0,719 0,643 0,470 0,376 0,81 0,60 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,959 0,884 0,809 0,734 0,659 0,480 0,384 0,808 0,64 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,968 0,895 0,81 0,748 0,675 0,490 0,39 0,804 0,68 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,977 0,905 0,833 0,761 0,690 0,500 0,400 0,800 0,7 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,986 0,915 0,845 0,774 0,704 0,510 0,408 0,796 0,76 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,994 0,95 0,856 0,787 0,718 0,50 0,416 0,79 0,80 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,934 0,866 0,799 0,731 0,530 0,44 0,788 0,84 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,943 0,877 0,810 0,744 0,540 0,43 0,784 0,88 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,95 0,887 0,81 0,756 0,550 0,440 0,780 0,9 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,960 0,896 0,83 0,768 0,560 0,448 0,776 0,96 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,968 0,905 0,84 0,779 0,570 0,456 0,77 0,99 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,976 0,914 0,85 0,790 0,580 0,464 0,768 0,303 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,983 0,93 0,86 0,801 0,585 0,468 0,766 0,305 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,987 0,97 0,866 0,806 0,590 0,47 0,764 0,307 0,978 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,990 0,931 0,871 0,811 0,600 0,480 0,760 0,310 0,939 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,997 0,939 0,880 0,81 0,610 0,488 0,756 0,314 0,900 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,946 0,889 0,831 0,60 0,496 0,75 0,317 0,863 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,954 0,897 0,840 0,630 0,504 0,748 0,30 0,87 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,961 0,905 0,849 0,640 0,51 0,744 0,34 0,79 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,968 0,913 0,858 0,650 0,50 0,740 0,37 0,758 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,975 0,91 0,866 0,660 0,58 0,736 0,330 0,75 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,981 0,98 0,875 0,670 0,536 0,73 0,333 0,694 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,988 0,935 0,883 0,680 0,544 0,78 0,337 0,663 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,994 0,94 0,890 0,690 0,55 0,74 0,340 0,633 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,949 0,898 0,700 0,560 0,70 0,343 0,603 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,955 0, upr/tc405

163 5.17 Simbologia epecíica Símbolo bae a itância entre ponto e momento letor nulo a h epaçamento horizontal mínimo livre entre a ace a barra longituinai, meio no plano a eção tranveral a v epaçamento vertical mínimo livre entre a ace a barra longituinai, meio no plano a eção tranveral b largura colaborante a mea e uma viga b w largura a alma e uma viga b 1 parte e b einia pela eitência e viga paralela b itância entre viga paralela, contaa a partir a míula, e eitirem b 3 parte e b einia pela eitência e laje em balanço b 4 largura a laje em balanço, contaa a partir a míula, e eitir c cateto vertical e míula c nom cobrimento nominal altura útil a viga - itância a ibra e concreto mai comprimia até o centro e graviae a armaura tracionaa ma imenão máima o agregao graúo ' itância a ibra e concreto mai comprimia até o centro e graviae a armaura comprimia c reitência à compreão o concreto e cálculo ck reitência à compreão o concreto caracterítica ctk reitência caracterítica à tração o concreto y reitência ao ecoamento o aço e cálculo yk reitência ao ecoamento o aço caracterítica g k valor caracterítico a ação permanente h altura a viga h epeura a mea e uma viga e eção T l vão q k valor caracterítico a ação variável epaçamento entre a barra que contituem a armaura e pele altura a linha neutra y altura o retângulo e tenõe σ c y cg poição o centro e graviae a eção tranveral e um conjunto e barra longituinai (tracionaa ou comprimia) em relação à geratriz mai aataa a linha neutra, meia normalmente a eta y itância o centro e graviae e uma eção T à ibra a mea mai aataa a linha neutra, meia normalmente a eta y w itância o centro e graviae e uma eção T à ibra a alma mai aataa a linha neutra, meia normalmente a eta z braço e alavanca o binário e orça R c1, R 1 A c área e concreto A cc área e concreto comprimio A área a eção tranveral a armaura longituinal tracionaa A,cal área calculaa a eção tranveral a armaura longituinal tracionaa A,e área eetiva a eção tranveral a armaura longituinal tracionaa A 1 área a eção tranveral a armaura longituinal tracionaa, reerenciaa ao binário M R1 A área a eção tranveral a armaura longituinal tracionaa, reerenciaa ao binário M R A 3 área a eção tranveral a armaura longituinal tracionaa, reerenciaa ao binário M R3 A' área a eção tranveral a armaura longituinal comprimia A,cal área calculaa a eção tranveral a armaura longituinal comprimia A,e área eetiva a eção tranveral a armaura longituinal comprimia E móulo e elaticiae o aço valor caracterítico a ação permanente G k upr/tc405

164 I momento e inércia M momento letor M gk momento letor caracterítico ecorrente e açõe permanente M qk momento letor caracterítico ecorrente e açõe variávei M R momento letor reitente e cálculo M R1 momento letor reitente e cálculo reerenciao ao binário R c1, R 1 M R momento letor reitente e cálculo reerenciao ao binário R, R M R3 momento letor reitente e cálculo reerenciao ao binário R c3, R 3 M R1,lim momento letor reitente e cálculo correpone ao limite e utiliae a eção tranveral (β β,lim ) M R,mea momento letor reitente e cálculo reerenciao ao binário R c, R para a conição y h M S momento letor olicitante e cálculo Q k valor caracterítico a ação variável R c orça reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio R c1 orça reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio e área b w y R c3 orça reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio e área (b - b w ) y R orça reitente e cálculo atuante na armaura tracionaa R 1 orça reitente e cálculo atuante na armaura tracionaa e área A 1 R orça reitente e cálculo atuante na armaura tracionaa e área A R 3 orça reitente e cálculo atuante na armaura tracionaa e área A 3 R ' orça reitente e cálculo atuante na armaura comprimia W 0 móulo e reitência a eção tranveral bruta e concreto, relativo à ibra mai tracionaa β variável aimenional β c valor aimenional auiliar β c,lim valor aimenional auiliar correponente ao limite e utiliae a eção tranveral (β β,lim ) β valor aimenional que eine a tenão e tração reerente à armaura A β valor aimenional que eine a tenão e compreão reerente à armaura A β valor aimenional que eine a poição a linha neutra β,lim valor aimenional que eine a poição a linha neutra correponente ao limite e utiliae a eção tranveral β y valor aimenional que eine a região e concreto comprimio β z valor aimenional que eine o braço e alavanca o binário e orça R c1, R 1 ε c eormação epecíica o concreto ε eormação epecíica o aço à tração ε' eormação epecíica o aço à compreão ε y eormação epecíica e ecoamento o aço φ iâmetro a barra a armaura φ l iâmetro a barra longituinal φ t iâmetro a barra tranveral (etribo) γ c coeiciente e poneração a reitência o concreto γ g coeiciente e poneração para açõe permanente ireta γ q coeiciente e poneração para açõe variávei ireta γ coeiciente e poneração a reitência o aço ρ taa geométrica e armaura longituinal e tração σ c tenão à compreão no concreto σ tenão à tração na armaura σ' tenão à compreão na armaura Símbolo ubcrito alma apoio cal e alma apoio cálculo eetivo upr/tc405

165 lim ma mea min nom pele ret rup up vão T limite máimo mea mínimo nominal pele retangular ruptura uperior vão eção T 5.18 Eercício E. 5.1: Deinir a curva M R A para a eção abaio inicaa. Motrar no gráico o omínio, 3 e 4, bem como o limite entre peça ub e uperarmaa. Ue o eio vertical para a área e armaura e o horizontal para o momento letor. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: 90 cm omente olicitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, combinaçõe normai, grane ponte (γ g 1,3, γ q 1,5, γ c 1,4 e γ 1,15). A Ecala: 1 cm 1,0 cm; e 30 cm 10 knm 1,0 cm. E. 5.: Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar a armaura longituinal para a eção tranveral a viga abaio repreentaa, a qual eve uportar, imultaneamente, o momento letore M gk 80 knm e M qk 5 knm. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: 45 cm omente olicitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15). A 0 cm E. 5.3: Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar o máimo momento letor olicitante e cálculo que a viga e eção tranveral abaio inicaa poe uportar. A viga terá: armaura longituinal contituía por 7 barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) contituía por barra e 8 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; e cobrimento nominal a armaura igual a 4 cm. Dao: 90 cm concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: A omente olicitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ c 1,4 e γ 1,15). 30 cm E. 5.4: Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar a armaura longituinal neceária para que a viga abaio repreentaa upr/tc405

166 Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15). q k 5 kn/m 54 cm g k 15 kn/m A 18 cm 6 cm 5 m E. 5.5: A eção e viga abaio inicaa etá ubmetia a um momento letor olicitante e cálculo igual a 150 knm. Manteno-e a coniçõe e utiliae e abeno-e que a viga terá: armaura longituinal inerior contituía por 3 barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) contituía por barra e 5 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; e cobrimento nominal a armaura igual a 3 cm; pee-e eterminar a altura mínima a viga. Dao: concreto: C0; e h aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo 18 cm (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15). Ob.: não conierar a reitência o porta-etribo (armaura longituinal uperior). E. 5.6: Uma viga e eção retangular e 0 cm 60 cm, altura útil correponente a 55 cm, oi enaiaa à leão imple em laboratório até atingir o Etao Limite Último. Avaliou-e, ao inal o enaio, que o braço e alavanca z, entre a reultante e compreão no concreto R c e a reultante e tração na armaura R, everia er e 46, cm. Teno em vita que a viga ó pouía armaura longituinal e tração A, pee-e: a. o valor a eormaçõe no boro mai comprimio e na armaura tracionaa; b. o omínio em que viga e encontrava no intante a ruptura; c. a inteniae o momento letor e cálculo que levou a viga à ruptura;. a armaura longituinal e tração a viga correponente à ituação e ruína; e e. o tipo e ruptura (útil ou rágil) que a peça apreentou (jutiicar). Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15) upr/tc405

167 0,5 y R c σ c ε c y 0,8 h M R z M S A b w R ε E. 5.7: Amitino-e que a itribuição e tenõe na região e concreto comprimio eja triangular e que: M M β β c R w S M b S c eterminar, para viga e eção retangular, β c como unção única e β. σ c 0,85 c ε c R c h z M R M S A b w R ε E. 5.8: Apó realizar o imenionamento a leão imple e uma viga e concreto armao, e bae 0 cm e altura útil 70 cm, o engenheiro ecobriu que não ora conierao no cálculo um o trê coeiciente e egurança eigio pela ABNT NBR-6118 (γ g, γ c, ou γ ). Teno em vita que, em a conieração aequaa e um ete coeiciente e egurança, obteve-e para armaura e tração A o valor correponente a 11,566 cm, pee-e: a. qual o trê coeiciente oi econierao no cálculo a armaura A (tomao igual a 1,0); e b. qual o valor correto a área a armaura tracionaa. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15) upr/tc405

168 g k 30 kn/m 70 cm 8 m A 0 cm E. 5.9: Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar a armaura longituinai neceária para a viga abaio repreentaa. A viga terá: armaura longituinal contituía por barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) contituía por barra e 5 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; e cobrimento nominal a armaura igual a 3 cm. Ao inal o cálculo, apreentar um corte longituinal equemático inicano a poiçõe a armaura poitiva e negativa. Dao: concreto: C5; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15). q k 10 kn/m 70 cm g k 0 kn/m 6 m 1,5 m 0 cm E. 5.10: Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar o máimo valor a carga g k que a viga abaio repreentaa poe uportar. A viga terá: armaura longituinal inerior, no meio o vão, contituía por 3 barra e 16 mm; e armaura longituinal uperior, no apoio, contituía por 5 barra e 10 mm. Dao: concreto: C0; aço: CA-50; e h 6 cm. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15). Ob.: não conierar a reitência o porta-etribo (armaura e compreão) upr/tc405

169 g k 60 cm m 6 m m 0 cm meio o vão 0 cm apoio E. 5.11: Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar a máima carga aciental q k que a viga abaio repreentaa poe uportar. A viga terá: armaura longituinal inerior contituía por 3 barra e 0 mm; armaura tranveral (etribo) contituía por barra e 6,3 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; e cobrimento nominal a armaura igual a 3 cm. Dao: concreto: C5; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ c 1,4 e γ 1,15). Ob.: não conierar a reitência o porta-etribo (armaura longituinal uperior). q k 60 cm g k 10 kn/m 6 m 0 cm E. 5.1: Determinar a menor altura poível para que a viga abaio repreentaa mantenha a coniçõe e utiliae, em a utilização e armaura e compreão. Para eta conição, eina ua armaura longituinal. Dao: concreto: C5; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15). peo próprio incluío na carga g k upr/tc405

170 q k 0 kn/m A 15 cm 6 cm g k 10 kn/m 5 m E. 5.13: Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar a máima carga permanente G k que a viga abaio repreentaa poe uportar. A viga terá: armaura longituinal inerior contituía por 5 barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) contituía por barra e 6,3 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; e cobrimento nominal a armaura igual a 3 cm. Dao: concreto: C5; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15). Ob.: não conierar a reitência o porta etribo (armaura longituinal uperior). G k 70 cm q k 5 kn/m g k 10 kn/m 0 cm m 3 m E. 5.14: Determinar, para a viga abaio repreentaa: a. a menor altura poível, repeitano a coniçõe e utiliae e em a utilização e armaura e compreão; e b. a armaura poitiva e negativa a viga, para a altura einia no item a. A viga terá: armaura longituinal contituía por barra e 0 mm; armaura tranveral (etribo) contituía por barra e 8 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; e cobrimento nominal a armaura igual a 3 cm. Ao inal o cálculo, apreentar um corte longituinal equemático inicano a poiçõe a armaura poitiva e negativa. Dao: concreto: C30; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, ponte em geral (γ g 1,35, γ q 1,5, γ c 1,4 e γ 1,15) upr/tc405

171 peo próprio eprezível. Q k 100 kn h 8 m 3 m 30 cm E. 5.15: Determinar o menor valor poível para a largura (b w ) a viga e eção retangular abaio repreentaa e tal orma que ejam mantia a coniçõe e utiliae. No meio o vão e no apoio o balanço omente everão eitir armaura e tração para reitir ao momento letore. Para a largura mínima eterminaa, einir a armaura no meio o vão e no apoio o balanço. Apreentar um corte longituinal a viga com o poicionamento a armaura calculaa. A viga terá: armaura longituinal contituía por barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) contituía por barra e 8 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; e cobrimento nominal a armaura igual a 3 cm. Dao: concreto: C5; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ c 1,4 e γ 1,15). peo próprio incluío na carga g k. Ob.: a carga concentraa Q k é aciental, o que vale izer que ela poe atuar ou não. Q k 50 kn 70 cm g k 30 kn/m 8 m m b w E. 5.16: Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar o aatamento máimo que a carga G k poem ter o apoio. A viga terá: armaura longituinal inerior contituía por 5 barra e 1,5 mm; armaura tranveral (etribo) contituía por barra e 6,3 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; e cobrimento nominal a armaura igual a 3 cm. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); upr/tc405

172 etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15). G k 40 kn G k 40 kn 55 cm g k 40 kn/m A 18 cm a 5 m a E. 5.17: Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar o máimo valor a carga móvel Q k que a viga abaio repreentaa poe uportar. A viga terá: armaura longituinal inerior, no meio o vão, contituía por 3 barra e 16 mm; armaura longituinal uperior, no apoio, contituía por 5 barra e 1,5 mm; armaura tranveral (etribo) contituía por barra e 6,3 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; e cobrimento nominal a armaura igual a 3 cm. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, ponte em geral (γ g 1,35, γ q 1,5, γ c 1,4 e γ 1,15). Ob.: não conierar a reitência o porta-etribo. Q k 60 cm g k 10 kn/m 0 cm 0 cm 1,5 m 4,0 m 1,5 m meio o vão apoio E. 5.18: Para a viga abaio repreentaa, eterminar: a. a menor eção tranveral poível para eta viga e tal orma que ejam mantia a coniçõe e utiliae em o uo e armaura e compreão; b. a armaura neceária para o máimo momento poitivo; c. a armaura neceária para o máimo momento negativo; e. a itância, em relação ao apoio A, one a armaura neceária para o momento poitivo correponee a barra e 16 mm. A viga terá: armaura longituinal contituía por barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) contituía por barra e 6,3 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; cobrimento nominal a armaura igual a 3 cm; e altura útil () igual a 4 veze a largura a bae (b w ) upr/tc405

173 Dao: concreto: C0; aço: CA-50; e Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ c 1,4 e γ 1,15). g k 40 kn/m h A 6 m B m b w E. 5.19: O carrinho e carga inicao na igura abaio uporta um carregamento centrao e 00 kn. Teno em vita que a einição a etrutura uporte (viga AB) everá er eita para o carrinho na poição CD, pee-e: a. a menor altura poível para a viga AB e tal orma que na eção C não eita armaura longituinal e compreão e ejam mantia a coniçõe e utiliae; e b. a armaura neceária na eçõe C e D a viga uporte, einia a partir a altura etabelecia no item a. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); e h 5 cm. Ob.: ajutar o valor e h para múltiplo e 5 cm; e conierar nulo o peo próprio a viga e o carrinho. carrinho 00 kn viga A C D B h,4 m 4,0 m 0 cm 1,6 m eção tranveral E. 5.0: Para o etao e eormação abaio inicao, eterminar: a. o valor limite para a carga Q k (valor caracterítico); e b. a armaura neceária (cm ) para a conição etabelecia no item a. Dao: concreto: C5; e aço: CA upr/tc405

174 Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ c 1,4 e γ 1,15). Ob: peo próprio a viga incluío na carga g k. Q k g k 0 kn/m 1 m m M m 1 m,5 45 cm M S A 5 cm 0 cm etao e eormação na eção M (poição a carga Q k ) E. 5.1: Dua viga e concreto armao e eçõe retangulare iguai, memo vão, apoio iêntico, materiai e mema reitência, porém com taa longituinai e armaura eiguai, oram ubmetia, num enaio e laboratório, ao memo tipo e carregamento, como ilutrao na igura abaio. Ee carregamento conitiu em ua carga concentraa, imétrica, aplicaa imultaneamente, cuja inteniae variou e zero até a carga e ruptura. Ante a ruptura, obervou-e que a Viga 01 eu inai eviente e egotamento a ua capaciae reitente, apreentano um quaro e iuração inteno, enquanto que a Viga 0 não apreentou a mema inalização e rompeu brucamente, em avio prévio. Obervou-e, também, que a carga e ruptura a Viga 0 oi 47,7% maior que a a Viga 01. Sabeno-e que a Viga 01 oi armaa com 5 barra e 16 mm, eterminar: a. a carga e ruptura (e cálculo) a Viga 01; b. a carga e ruptura (e cálculo) a Viga 0; e c. a armaura longituinal e tração (A ) uaa na Viga 0. Dao: concreto: σ c,rup c 17,86 MPa; aço: σ,rup y 43,5 MPa; b w 0 cm; 45 cm; e h 50 cm. Ob: econierar o próprio a viga upr/tc405

175 emagamento o concreto P P rupt P P rupt P P rupt P P rupt 5 φ 16 A m 4 m m VIGA 01 iuração intena m 4 m m VIGA 0 E. 5.: Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar, para a viga abaio repreentaa: a. a menor altura (h) poível; e b. a armaura neceária na eçõe A, B e C. Dao: concreto: C5; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); viga e eção retangular, em armaura e compreão; etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ c 1,4 e γ 1,15); b w 15 cm; e h + 5 cm Ob: peo próprio a viga incluío na carga g k ; aotar para h valor múltiplo e 5 cm; e conierar carregamento permanente (valore caracterítico). G k 10 kn h g k 40 kn/m 3 m 3 m 3 m 3 m b w A B E. 5.3: Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar, para a viga e altura variável abaio repreentaa, o menore valore poívei para h 1 e h. Para ete valore eterminao, einir a armaura longituinai (poitiva e negativa) para a eção D. Apreentar uma vita a viga motrano a poiçõe a armaura calculaa. Dao: concreto: C0; e aço: CA-5. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); viga e eção retangular, em armaura e compreão; etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); b w 0 cm; e upr/tc405 C

176 h i i + 5 cm Ob: peo próprio a viga incluío na carga g k ; aotar para h valor múltiplo e 5 cm; e conierar a viga como implemente apoiaa no pilare. h 1 h h 1 A B C D Q k 100 kn G g k 10 kn/m 1 m 1 m 1 m 3 m Seção A B C D E F G (m) 0,0 1,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0 M gk (knm) 0,0-5,0-0,0 0,0 10,0 10,0 0,0 M qk (knm) (-) 0,0-100,0-00,0-150,0-100,0-50,0 0,0 M qk (knm) (+) 0,0 0,0-0,0 75,0 100,0 75,0 0,0 M S (knm) (-) 0,0-147,0-308,0-10,0-130,0-60,0 0,0 M S (knm) (+) 0,0-5,0-0,0 105,0 154,0 119,0 0,0 E. 5.4: Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar, para a viga e eção tranveral abaio inicaa, o máimo momento letor olicitante e cálculo que ela poe uportar. A viga terá: armaura longituinal e compreão (uperior) contituía por barra e 1,5 mm; armaura longituinal e tração (inerior) contituía por 3 barra e 0 mm; armaura tranveral (etribo) contituía por barra e 6,3 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; e cobrimento nominal a armaura igual a 4 cm. 65 cm Dao: concreto: C5; e aço: CA-50. Conierar: 5 cm omente olicitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15) upr/tc405

177 E. 5.5: Para a eção e viga abaio inicaa, veriicar: a. o momento letor olicitante e cálculo que correponeria a conição ε 7 ; e b. a coniçõe e utiliae para a coniçõe etabelecia no item a. A viga terá: armaura longituinal e compreão (uperior) contituía por barra e 10 mm; armaura longituinal e tração (inerior) contituía por 5 barra e 16 mm; 70 cm armaura tranveral (etribo) contituía por barra e 5 mm; imenão máima o agregao igual a 5 mm; e cobrimento nominal a armaura igual a 3 cm. Dao: concreto: C0; e 0 cm aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ c 1,4 e γ 1,15). E. 5.6: Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar, para a viga abaio repreentaa: a. a armaura longituinai e tração e compreão (A e A ); b. a armaura longituinal e tração (A ), conierano nula a armaura e compreão; c. o valore a tenõe e tração e compreão na armaura einia no item a; e. o valor a tenão e tração na armaura einia no item b. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15). Ob.: conierar, para o item b, viga uperarmaa. A 4 cm g k 30 kn/m 40 cm 6 m A 0 cm 6 cm E. 5.7: A eção tranveral a viga abaio repreentaa etá ujeita a um momento letor olicitante e cálculo igual a 50 knm e tem uma relação entre a armaura e tração e e compreão tal que: ' 4 cm A 30% A ' (A + A ) Com bae na conição acima, etermine: 40 cm a. a poição a linha neutra; b. a eormação a ibra e concreto mai comprimia; c. o alongamento a armaura tracionaa; A. o encurtamento a armaura comprimia; 6 cm e. a tenão atuante na armaura tracionaa; 5 cm upr/tc405

178 . a tenão atuante na armaura comprimia; g. a área a eção tranveral a armaura tracionaa; h. a área a eção tranveral a armaura comprimia; e i. a coniçõe e utiliae. Dao: concreto: C5; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15). E. 5.8: Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar a máima carga aciental q k que a viga abaio repreentaa poe uportar. A viga terá: armaura longituinal e compreão (uperior) contituía por barra e 1,5 mm; armaura longituinal e tração (inerior) contituía por 5 barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) contituía por barra e 5 mm; imenão máima o agregao igual a 19 mm; e cobrimento nominal a armaura igual a 3 cm. Dao: concreto: C5; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15). q k 60 cm g k 10 kn/m 6 m 0 cm E. 5.9: Para a viga abaio equematizaa eterminar o máimo vão que eta poe pouir, mantia a coniçõe e utiliae. A viga terá: no meio o vão:! armaura longituinal e compreão (uperior) contituía por barra e 1,5 mm;! armaura longituinal e tração (inerior) contituía por 3 barra e 16 mm; no apoio:! armaura longituinal e tração (uperior) contituía por 7 barra e 1,5 mm;! armaura longituinal e compreão (inerior) contituía por barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) contituía por barra e 5 mm; imenão máima o agregao igual a 19 mm; e cobrimento nominal a armaura igual a 3 cm. Dao: concreto: C5; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); e upr/tc405

179 etao limite último, combinaçõe normai, ponte em geral (γ g 1,35, γ q 1,5, γ c 1,4 e γ 1,15). Q k 5 kn 70 cm g k 10 kn/m 18 cm 18 cm l/3 l l/3 meio o vão apoio E. 5.30: Um reervatório é uportao pela viga V1 e V e eção tranveral 0 cm 60 cm, tal como inicao na igura abaio. O reervatório eerce obre a viga igual carregamento, uniormemente itribuío, no trecho central a viga (4 m). Caa metro cúbico e material armazenao no reervatório pea 10 kn. Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar qual a máima altura h permitia para o armazenamento o material. A viga terão: armaura longituinal e compreão (uperior) contituía por barra e 1,5 mm; armaura longituinal e tração (inerior) contituía por 3 barra e 5 mm; armaura tranveral (etribo) contituía por barra e 8 mm; imenão máima o agregao igual a 19 mm; e cobrimento nominal a armaura igual a 3 cm. Dao: concreto:! clae: C0; e! peo epecíico: 5 kn/m 3. aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); nulo o peo próprio o reervatório; e etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15). 4 m h 60 cm φ 1,5 3 φ 5 0 cm V1 V 4 m 4 m 4 m eção tranveral no meio o vão (viga V1 e V) upr/tc405

180 E. 5.31: A viga abaio inicaa teve ua armaura poitiva imenionaa e etalhaa com cinco barra e 1,5 mm ( longa + 3 curta). Dea cinco barra, ua oram prolongaa até a etremiae o balanço contituino-e, portanto, na armaura e compreão para a eção o apoio A (apoio o balanço). Nea coniçõe, e manteno-e a coniçõe e utiliae, pee-e eterminar a. a armaura e tração para a eção o apoio o balanço (apoio A), conierano a armaura e compreão já eitente ( barra e 1,5 mm); e b. o valor a carga Q k (valor caracterítico) que eterminou a 5 barra e 1,5 mm eitente na eção C. Dao: concreto:c0;e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); b w 0 cm; 55 cm; e / 0,075. Ob.: conierar a carga acientai Q 1k e Q k como inepenente (poem atuar imultaneamente, ou não). Q 1k 100 kn Q k A g k 35 kn/m C B 1, m 3,0 m 3,0 m φ 1,5 3 φ 1,5 60 cm E. 5.3 A viga abaio repreentaa, contruía com concreto clae C0 e aço CA-50, tem eção retangular com 0 cm e bae e 55 cm e altura. Conierano, no etao limite último, que: a itância entre a orça reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio e a orça reitente e cálculo atuante na armaura tracionaa, correpone a 40 cm; e a armaura comprimia é contituía por barra e 10 mm, pee-e: a. o omínio e eormação, o encurtamento a ibra e concreto mai comprimio e o alongamento a armaura mai tracionaa, correponente a ete ELU; b. a inteniae o momento letor reitente e cálculo, correponente a ete ELU; c. a área eção tranveral a armaura longituinal tracionaa, correponente a ete ELU; e. o tipo e ruína poível (rágil ou úctil), correponente a ete ELU (jutiicar a repota). Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); e combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15) upr/tc405

181 ε c 5 cm M S 45 cm 0 cm 5 cm ε E. 5.33: Determinar, para a viga abaio repreentaa, o máimo valor que a carga aciental Q k (móvel) poe aumir, mantia a coniçõe e utiliae. A viga terá 5 cm e largura e 70 cm e altura. Dao: concreto:c0;e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); 63 cm; e 5 cm. Q k g k 50 kn/m m 6 m m A B 5 φ0 mm φ0 mm φ0 mm 5 φ0 mm armaura no apoio A e B armaura no meio o vão AB E. 5.34: Manteno a coniçõe e utiliae, eterminar a armaura longituinai neceária na eçõe B (meio o vão) e C (apoio a ireita) a viga e eção retangular abaio repreentaa. O carregamento Q k correpone a uma carga concentraa móvel equivalente a 135 kn (valor caracterítico). Apreentar, ao inal o cálculo, uma vita longituinal a viga motrano a poição a armaura calculaa upr/tc405

182 Dao: concreto:c0;e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); b w 15 cm; h 50 cm; 45 cm; e / 0,10. Ob: conierar eprezível o peo próprio a viga. Q k 3,0 m 3,0 m 1,5 m A B C D E. 5.35: Determinar, para a viga abaio repreentaa: a. a menor altura h (número múltiplo e 5 cm), neceária para que a viga eteja na conição limite e uctiliae na eçõe B e C, em armaura e compreão; e b. a armaura longituinai neceária na eção o meio o vão AD, mantia a altura a viga eterminaa no item anterior. Dao: concreto: C30;e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); b w 0 cm; h - 5 cm; e / 0,10. Ob.: peo próprio a viga incluío na carga g k. Q k 40 kn Q k 40 kn g k 0 kn/m m 4 m m A B C D upr/tc405

183 E. 5.36: Para a viga abaio equematizaa eterminar o máimo vão l que eta poe pouir, mantia a coniçõe e utiliae. A viga terá: no meio o vão:! armaura longituinal e compreão (uperior) contituía por barra e 10 mm;! armaura longituinal e tração (inerior) contituía por 3 barra e 16 mm; no apoio:! armaura longituinal e tração (uperior) contituía por 3 barra e 16 mm;! armaura longituinal e compreão (inerior) contituía por barra e 10 mm. Dao: concreto:c0;e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); 40 cm; e 4 cm. Ob: peo próprio a viga incluío na carga g k. g k 50 kn/m 44 cm l,88 l l 18 cm 18 cm,88 8 ½ meio o vão apoio E. 5.37: Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar, para a viga abaio repreentaa, o máimo momento letor olicitante e cálculo que a eção poe reitir. A viga terá: armaura longituinal inerior contituía por 7 barra e 0 mm; armaura tranveral (etribo) contituía por barra e 6,3 mm; imenão máima o agregao igual a 19 mm; e cobrimento nominal a armaura igual a 3 cm. Dao: 100 cm concreto: C5; e 8 cm aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); e 9 cm etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ c 1,4 e γ 1,15). 5 cm upr/tc405

184 E. 5.38: Determinar a largura a mea colaborante (eção T) para a viga V4 inicaa na igura. A laje têm 10 cm e epeura e a viga têm imenõe 15 cm 40 cm. P1 V1 (1540) P P3 400 cm V3 (1540) L1 V4 (1540) L V5 (1540) P4 V (1540) P5 P6 150 cm L3 L4 80 cm 350 cm PLANTA DE FORMAS E. 5.39: Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar a máima carga aciental q k que a viga abaio repreentaa poe uportar. A viga terá: armaura longituinal inerior contituía por 5 barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) contituía por barra e 6,3 mm; imenão máima o agregao igual a 19 mm; e cobrimento nominal a armaura igual a 3 cm. Dao: concreto: C5; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ c 1,4 e γ 1,15). 10 cm 10 cm q k g k 10 kn/m 75 cm 6 m 0 cm E. 5.40: Determinar o maiore comprimento poívei o vão l 1 (AB CD) e l (BC) a viga a igura abaio conierano que o imenionamento a eçõe tranverai erá eito no omínio e em armaura e compreão. Para ete valore einio e l 1 e l, calcular a armaura longituinai na eçõe crítica o balanço AB (máimo momento letor negativo) e upr/tc405

185 o vão BC (máimo momento letor poitivo). Motrar, equematicamente, o poicionamento a armaura (poitiva e negativa) em uma vita longituinal a viga. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15). Ob.: eterminar o vão l omente apó a einição o vão l 1, ou eja, einir l,ma como unção e l 1,ma ; ajutar o valore e l 1 e l para múltiplo e 5 cm (arreonar para baio); conierar o peo próprio a viga incluío na carga g k ; conierar, para a altura útil a viga, a epreão h - 5 cm vália para momento poitivo e negativo; e conierar b 60 cm, amitino como veriicao o valore b 1, b, b 3 e b g k 30 kn/m 105 l 1 l l 1 A B 0 eção tranveral cm E. 5.41: Determinar a armaura poitiva e negativa a viga abaio inicaa. Apreentar, ao inal o cálculo, uma vita longituinal a viga motrano a poiçõe a armaura eterminaa com o repectivo valore e A (cm ). Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); e h 5 cm. Ob.: peo próprio a viga incluío na carga g k ; viga iolaa a er conieraa como eção T, one poível; e obrigatória a veriicação o valor e b. C D 10 cm 60 cm g k 70 kn/m 70 cm m 5,657 m m 0 cm 5,657 4 ½ upr/tc405

186 E. 5.4: A viga a igura abaio repreentaa terá ua armaura e leão poitiva (inerior) etalhaa com barra e 16 mm. Trê eta barra (3 φ 16) erão prolongaa até a etremiae o balanço, contituino-e, então, em armaura e compreão para o momento letore negativo atuante nete balanço. Neta coniçõe, e mantia a coniçõe e utiliae, eterminar: a. a armaura e leão neceária para o apoio B, conierano, obrigatoriamente, o 3 φ 16 (ineriore) eitente nete apoio; e b. o valor mínimo e b neceário para que a eção tranveral correponente ao meio o vão AB não neceite e armaura e compreão, conierano, aina, que a armaura e tração neta eção reulte igual a armaura e tração calculaa para o momento negativo o apoio B (item a). Dao: concreto:c0;e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); altura útil equivalente a 90% a altura total; poiçõe relativa a armaura uperiore iguai a a armaura ineriore; nulo o peo próprio o reervatório; e etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15). b G k 50 kn g k 50 kn/m 0 eção tranveral cm A 7 m B m E. 5.43: Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar a armaura neceária para o momento letor poitivo e para o momento letor negativo a viga V abaio repreentaa. Apreentar, ao inal o cálculo, um corte longituinal a viga motrano a poiçõe a armaura calculaa. A viga terá: armaura longituinal contituía por barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) contituía por barra e 6,3 mm; imenão máima o agregao igual a 19 mm; e cobrimento nominal a armaura igual a 3 cm. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); e peo próprio a viga incluío na carga g k upr/tc405

187 g k 30 kn/m 1,5 m 6,0 m 1,5 m carregamento a V laje 08 V1 V V imenõe em cm E. 5.44: Determinar a armaura poitiva e negativa a viga iolaa abaio inicaa, e tal orma que ejam mantia a coniçõe e utiliae. A viga terá: armaura longituinal contituía por barra e 1,5 mm; armaura tranveral (etribo) contituía por barra e 5 mm; imenão máima o agregao igual a 19 mm; e cobrimento nominal a armaura igual a 3 cm. Dao: concreto: C0; aço: CA-50; e eção tranveral:! b 40 cm;! b w 15 cm;! h 65 cm; e! h 8 cm. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); carregamento contituío por carga permanente (valore caracterítico); e peo próprio a viga eprezível. Ob.: veriicar o valor e b (viga iolaa); e apreentar, ao inal o cálculo, uma vita longituinal a viga motrano, equematicamente, o poicionamento a armaura poitiva e negativa (inicar o valore, em cm, a armaura calculaa). b 100 kn 100 kn h 50 kn 50 kn h 3 m 3 m m 3 m 3 m b w upr/tc405

188 E. 5.45: Determinar a menor altura poível para a viga V abaio inicaa. Não everá er uaa armaura e compreão e everão er mantia a coniçõe e utiliae. A viga terá: armaura longituinal inerior contituía por barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) contituía por barra e 6,3 mm; imenão máima o agregao igual a 19 mm; e cobrimento nominal a armaura igual a 3 cm. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); e peo próprio a viga V incluío na carga g k. V1A V1B 180 L1 VA V4B P L VB 40 V5B P 10 L3 V3A V4A P L4 V3B V5B P4 P5 P6 q k 8 knm g k kn/m m P3 7,8 m P4 E. 5.46: Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar a armaura poitiva e negativa a viga V1 abaio inicaa. A viga terá: armaura longituinal contituía por barra e 16 mm; armaura tranveral (etribo) contituía por barra e 6,3 mm; imenão máima o agregao igual a 19 mm; e cobrimento nominal a armaura igual a 3 cm. Dao: concreto: C30; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); upr/tc405

189 etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); e peo próprio a viga incluío na carga g k. b 8 V1 V q k 15 knm g k 5 kn/m m 8 m E. 5.47: O projeto e uma peça pré-molaa eve conierar, além a coniçõe e trabalho, aquela ecorrente o proceo e montagem. Num ee cao, aotou-e uma viga e eção T como motrao abaio. Mantia a coniçõe e utiliae e abeno-e que a viga everá uportar uma carga aciental uniormemente itribuía (em too vão) e 10 kn/m (valor caracterítico), pee-e eterminar: a. a armaura longituinal neceária para a conição e montagem; e b. a armaura longituinal neceária para a conição e trabalho. Apreentar, ao inal o cálculo, uma vita longituinal motrano a poiçõe a armaura etabelecia no iten a e b. Dao: concreto:c0;e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); peo epecíico o concreto igual a 5 kn/m 3 ; e h 5 cm (momento poitivo e negativo). Ob.: veriicar o valor e b (viga iolaa); não conierar armaura longituinal e compreão; e na montagem, conierar omente ao próprio a viga upr/tc405

190 7 cm 83 cm 8 cm 0 cm 0 cm viga e içamento 5 m 4 m 5 m operação e montagem B C conição e trabalho 14 m A D E. 5.48: Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar, para a viga iolaa e eção tranveral contante, abaio repreentaa, o máimo valor que a carga aciental Q k (móvel) poe aumir. Dao: concreto: C0; aço: CA-50; e eção tranveral:! b 10 cm;! b w 0 cm;! h 70 cm; e! h 8 cm. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); e h 5 cm (momento poitivo e negativo). Ob.: veriicar o valor e b (viga iolaa); e peo próprio a viga incluío na carga g k upr/tc405

191 Q k g k 0 kn/m m 6 m m A B φ0 mm 3 φ0 mm armaura no meio o vão AB armaura no apoio A e B E. 5.49: Coniere que a peça, cuja eção tranveral é motraa abaio, etá olicitaa apena por um momento letor e cálculo M S. Na conição limite e egurança - etao limite último (M R M S ), a linha neutra icou ituaa 31, cm abaio a ibra mai comprimia. Neta coniçõe, e mantia a coniçõe e utiliae, pee-e: a. o valor o momento letor olicitante e cálculo M S (knm); e b. o valor a armaura e tração A (cm ) neceária para reitir ao momento letor M S. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); e etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ c 1,4 e γ 1,15). Ob.: conierar o valor e b veriicao. 60 cm ε c 15 cm M S 50 cm A 5 cm ε 0 cm E Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar para a viga V1, e eção tranveral contante (eção T), abaio repreentaa, o máimo valor que a carga aciental Q k (móvel) poe aumir. Dao: concreto: C5; aço: CA-50; e upr/tc405

192 armaura longituinal inerior: 7 φ 5 mm (34,36 cm ). Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); e h 5 cm (momento poitivo e negativo). Ob.: peo próprio a viga incluío na carga g k. Q k g k 0 kn/m 6 m A carregamento a V1 B b 8 V1 34,36 cm V eção tranveral o conjunto laje/viga (imenõe em cm) E Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar, para a viga V abaio repreentaa: a. o máimo valor poível para b ; b. o máimo valor poível para o carregamento q k, amitino-e que a altura a linha neutra, na eção tranveral (eção T) e máima olicitação, eja igual 1,5 h ; e c. a armaura longituinal neceária para a coniçõe etabelecia no item b. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); e h 5 cm. Ob.: peo próprio a viga incluío na carga g k upr/tc405

193 V1 V4B V4A P1 0 P L1 V (0 55) L V3 0 V5B V5B P P imenõe em cm P5 P6 q k g k 0 kn/m 8 m P3 P4 E. 5.5: Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar, para a viga iolaa abaio inicaa, o maior valor poível para a carga aciental móvel Q k (valor caracterítico). Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); 80 cm; 5 cm; e peo próprio a viga igual a 5,357 kn/m (não motrao na igura). Ob.: amitir, na eterminação e b, b 3 b upr/tc405

194 Q k m 8 m m A B C D 60 cm 60 cm 10 cm 75 cm 3 φ 0 mm 10 cm 75 cm 4 φ 16 mm φ 10 mm 5 cm eção tranveral meio o vão 5 cm eção tranveral apoio E. 5.53: A igura abaio repreenta a planta e orma e uma ecola. Caa laje correpone a uma ala e aula. Toa a viga têm eção tranveral e 5 cm 70 cm, too o pilare têm eção e 5 cm 50 cm e toa a laje têm epeura igual a 1 cm. Mantia a coniçõe e utiliae, eterminar a armaura longituinai neceária para a viga V04 e V05, levano-e em conieração, e poível, a colaboração o painel e laje. Dao: concreto:c0;e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); e h 5 cm; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; e carregamento uniormemente itribuío na viga V04 e V05, contituío e:! peo próprio e caa viga: 5 kn/m;! reação e uma laje em caa viga: 15 kn/m;! peo e paree obre caa viga: 15 kn/m upr/tc405

195 P01 V01 P0 P03 P04 5 L01 L0 L03 V03 V04 V05 V A B V0 P05 P06 P07 P CORTE A-B (imenõe em cm) upr/tc405

196 6 6FLEXÃO SIMPLES ARMADURA TRANSVERSAL DE VIGA 6.1 Tenõe principai Sejam o elemento 1 e, próimo ao apoio e uma viga, o quai e quer eterminar a tenõe principai (Figura 6.1). Neta Figura, o elemento 1 tangenciai em peça letia 1 linha neutra ibra mai tracionaa V τ y M itua-e obre a linha neutra (máima tenão tangencial) e o elemento etá ituao próimo à ibra mai tracionaa (máima tenão normal e tração). Figura Tenõe normai e Da Reitência o Materiai é abio que a tenõe principai e tração σ I ormam, no elemento 1, um ângulo e 45 com a horizontal (plano iagonal e ruptura), eno no elemento ete ângulo igual a 90 (plano vertical e ruptura), como motrao na Figura 6.. σ σ I τ y σ II τ y τ y τ y 1 1 plano iagonal e ruptura τ y 45º τ y σ II (compreão) σ I (tração) σ σ σ I σ plano vertical e ruptura 90º σ I (tração) Figura 6. Tenõe principai no elemento 1 e Enaio e laboratório têm emontrao uma boa aproimação com a teoria, já que em viga e concreto armao o apecto a iura, na região próima a apoio imple, é como inicao na Figura 6.3 (iura perpeniculare à tenõe principai e tração, poi o concreto não reite à mema) upr/tc405

197 iura inclinaa (45 ) na região o elemento 1 M σ I 1 1 V σ I σ I σ I iura vertical (90 ) na região o elemento Figura 6.3 Fiura em viga e concreto armao Já oi vito, quano e etuou a armaura longituinal e viga (Capítulo [5]), que próimo ao elemento, one a iura é provocaa omente pelo momento letor (τ y 0), a armaura horizontal e tração é colocaa perpenicularmente à iura, ito é na ireção a tenão principal σ I o elemento (Figura 6.4). No elemento 1, one a iura é provocaa pela orça cortante (σ 0), a armaura everia armaura e er também colocaa orça cortante perpenicularmente à iura, na ireção a σ I tenão principal σ I o M elemento 1 (Figura 6.4). 1 1 θ V σ I armaura e momento letor Figura 6.4 Armaura na ireçõe a tenõe principai e tração A iéia e e colocar armaura empre na ireção a tenão principal e tração (perpenicular à iura) vigorou por muito ano como princípio báico o concreto armao. Muança ocorreram e a teoria atuai, tanto para momento letor como para orça cortante, baeiam-e no principio e e "coturar" a iura, repeitano empre o equilíbrio e orça e a compatibiliae a eormaçõe. É por ete motivo que a viga e concreto armao, em ua grane maioria, ão, atualmente, etalhaa ó porta etribo armaura e orça cortante 1 armaura e momento letor Figura 6.5 Armaura e momento letor e orça cortante V M σ I σ I com armaura horizontal e vertical (Figura 6.5). A armaura horizontai "coturam" a iura provocaa pelo momento letor e a armaura verticai "coturam" a iura provocaa pela orça cortante. Evientemente eta é uma iéia implita, já que a iura, na realiae, ão provocaa por tenõe e tração proveniente a combinação e momento letore e orça cortante atuano conjuntamente upr/tc405

198 6. Analogia a treliça e Morh O veraeiro comportamento e peça letia (peça iuraa) e concreto armao aina não é totalmente conhecio. Uma a teoria que procura eplicar ete comportamento é a Analogia a Treliça e Morh, one é upoto que o momento letore e a orça cortante evam er reitio por uma treliça interna à viga ormaa por banzo, iagonai e montante contituío por barra e concreto comprimio e barra e aço tracionao (Figura 6.6). armaura e orça cortante concreto e momento letor M M 90 θ V α θ V armaura e momento letor concreto e orça cortante barra e cialhamento verticai Figura 6.6 Analogia a treliça e Morh 6..1 Moelo e ABNT NBR 6118 barra e cialhamento inclinaa Enaio e laboratório tem emontrao que o ângulo θ motrao na Figura 6.6, que correpone à inclinação a iura motraa na Figura 6.4, varia entre 30 e 45. Deta orma, a ABNT NBR 6118, iten e houve por bem aotar oi moelo correponente à analogia a treliça e Morh, ou ejam: Moelo I, one é amitio que a iagonai e compreão ejam inclinaa e θ 45 em relação ao eio longituinal o elemento etrutural; e Moelo II, one é amitio que a iagonai e compreão ejam inclinaa e θ em relação ao eio longituinal o elemento etrutural, com θ variável livremente entre 30 e Colapo e viga e concreto armao Baeao no mecanimo a treliça, poe er obervao que a ruína a viga poe ocorrer e varia maneira, já que qualquer parte (banzo, iagonal ou montante) poe entrar em colapo. Amitino-e comportamento e viga ub ou uperarmaa (Figura 6.7), one o momento ruptura o concreto comprimio (viga uperarmaa) M letor é reponável pelo binário a orça horizontai atuante no banzo uperior e inerior a treliça, o colapo poe ocorrer por: ruptura (emagamento) o concreto comprimio que contitui o banzo uperior (viga uperarmaa); ou ruptura (alongamento eceivo) a armaura tracionaa o banzo inerior (viga ubarmaa). ruptura a armaura tracionaa (viga ubarmaa) Figura Colapo e viga evio ao momento letor upr/tc405

199 Para evitar a ruptura (emagamento) o concreto comprimio no banzo uperior (ruptura e viga uperarmaa motraa na Figura 6.7), ua proviência poem er tomaa: colocação e armaura na região comprimia; ou aumento a imenõe a eção tranveral a viga. De moo análogo ao a viga uper e ubarmaa, one o momento letor é o cauaor o colapo, poe a orça cortante também er ruptura o concreto comprimio reponável pela ruína e uma viga e concreto armao (Figura 6.8). Ito poe acontecer por: V ruptura (emagamento) a iagonal e concreto comprimio; ou ruptura (alongamento eceivo) a armaura tracionaa o montante (etribo). ruptura a armaura tracionaa Figura Colapo e viga evio a orça cortante O emagamento o concreto comprimio motrao na Figura 6.8 ó poe er evitao com o aumento a imenõe a eção tranveral a viga. A veriicação a neceiae e e aumentar ou não a imenõe e uma viga e concreto armao é eita pelo iten e a ABNT NBR 6118, o quai iam valore limite para a orça cortante atuante em eçõe tranverai e viga. 6.3 Valore limite para orça cortante iagonal e compreão Equilíbrio a iagonal e compreão e treliça e Morh Seja a Figura 6.9 one a orça cortante reitente e cálculo V R é reponável pelo equilíbrio vertical a orça atuante no trecho e viga. α D R cw σ cw BC b w V R α A θ C ψ B σ cw z 0,9 b w Figura 6.9 Equilíbrio vertical a reultante atuante na iagonal e compreão a treliça e Morh Na Figura 6.9, θ repreenta a inclinação a iura em relação ao eio horizontal a viga e correpone à inclinação a tenõe σ cw ; α correpone à inclinação a armaura tranveral (iagonal tracionaa a treliça e Morh) em relação ao eio horizontal a viga; ψ correpone a um o ângulo o triângulo retângulo BCD (reto em B), equivalente a [(α + θ) - 90 ]; largura a alma a viga; b w z altura útil a viga; repreenta o braço e alavanca correponente à itância entre a reultante horizontal e compreão atuante no banzo uperior a treliça e Morh e a reultante upr/tc405

200 atuante na armaura horizontal tracionaa (banzo inerior a treliça), amitio como eno igual 0,9 ; σ cw tenõe normai atuante na iagonal e compreão a treliça e Morh (tenõe perpeniculare à reta BC); R cw correpone à orça atuante na iagonal e compreão a treliça e Morh, reultante a tenõe σ cw ; e V 1 R correpone à orça cortante reitente e cálculo, relativa à ruína a iagonai comprimia e concreto. Do triângulo ABD (Figura 6.9) tem-e: z BD en α Do triângulo BCD (Figura 6.9) tem-e: BC BD coψ ou aina: coψ BC z enα Teno em vita que: ψ ( α + θ) - 90 tem-e: ψ α ( 90 θ) co ψ co α 90 θ [ ( )] αco( 90 θ) + enα en( θ) co ψ co 90 co ψ coα enθ + enαcoθ coψ coα enθ + enαcoθ enα enα coψ cot gα enθ + coθ enα coψ enθ( cot gα + cot gθ) enα que levao para a epreão a reta BC, tem-e: ( cot gα + cot θ) BC zenθ g Do equilíbrio a orça verticai motraa na Figura 6.9, tem-e: VR Rcwenθ ou aina: V R σ cw BCb w en θ V σ zenθ cot gα + cot gθ b en V R R { cw[ ( )] w} θ b z( cot gα + cot gθ) en θ σ cw w Teno em vita que (Figura 6.9): z 0,9 e tomano para σ cw um valor em torno e 70% a máima tenão e compreão e cálculo o concreto 0,85 c, neceário pela incerteza ecorrente a impliicação a analogia e Morh, tem-e: σ Κ 0,85 ( ) cw c 1 Κ 0,7 1,4 1 Notação a ABNT NBR O ínice que aparece em V R é uao para inicar viga, eno o ínice 1, que aparecerá em V R1, uao para laje upr/tc405

201 ou aina: V R 0,85 1,4 c b w ( 0,9 )( cot gα + cot gθ) en θ [ b en θ( cot gα + cot θ) ] VR 0,54 c w g Equação Moelo a ABNT NBR Moelo I O Moelo I a ABNT NBR 6118 eine θ como eno igual a 45. Deta orma a Equação 6.1 reulta: V 0,54 b en 45 cot gα + cot g45 R [ c w ( )] [ c bw ( 0,5 )( cot gα 1) ] [ b ( cot gα 1) ] VR 0,54 + V 0,7 R c w + Se o ângulo α (inclinação a barra e cialhamento) or tomao igual a 90, V R aumirá eu valor mínimo, correponente a: VR 0,7 c bw Equação 6. A ABNT NBR 6118, item a, apreenta a Equação 6. corrigia o ator α v, unção a reitência caracterítica o concreto. Deta orma, a epreão e V R, para o Moelo I, reulta: V R α 0,7α v Moelo II v c ck 1 50 b w ck emmpa Equação 6.3 O Moelo II a ABNT NBR 6118, que etabelece para θ uma variação entre 30 e 45, ua, para a eterminação e V R, a Equação 6.1 corrigia o ator α v. Seguno o item a, V R eve er eterminao pela epreão: VR 0,54αv c bw en θ ck αv 1 ck emmpa θ α 90 ( cot gα + cot gθ) Equação Reitência e viga iagonal e compreão A reitência e viga, numa eterminaa eção tranveral, eve er conieraa atiatória quano or veriicaa, a eguinte conição: VS V R Equação 6.5 one: V S orça cortante olicitante e cálculo na eção; e V R orça cortante reitente e cálculo, relativa à ruína a iagonai comprimia e concreto, e acoro com o Moelo I e II ecrito em e 6.3.., repectivamente. Na regiõe o apoio, o cálculo evem conierar a orça cortante agente na repectiva ace (Figura 6.10) upr/tc405

202 V S,ace V R iagrama V S Figura 6.10 Veriicação e orça cortante Eemplo 6.1: Veriicar, para a eção tranveral e viga abaio inicaa, qual a máima orça cortante olicitante e cálculo (V S ) que a mema poe uportar, einia pela iagonal e compreão (V R ). Fazer a veriicação para o Moelo I e para o Moelo II amitino θ 30 e α 90. Conierar: concreto: C5; h 4 cm; e etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4). 40 cm 0 cm Solução: Na eterminação e V R, uar a Equação 6.3 para o Moelo I e a Equação 6.4 para o Moelo II. V S é einia pela Equação 6.5. a. Dao uniormização e uniae (kn e cm) ck 5 MPa,5 kn/ cm γ c 1,4 ck c γ c,5 c 1,79 kn / cm 1,4 ck α v 1 ck 50 5 α v 1 0,9 50 b w 0 cm cm em MPa b. Moelo I VR 0,7αv c bw V 0,7 0,9 1, V 313 kn R VS R 313,18 kn upr/tc405

203 c. Moelo II θ 30 (30 θ 45 ) α 90 (45 α 90 ) V V R R OK OK 0,54α b en θ g v c w ( cot gα + cot θ) 36 en 30 ( cot g90 + cot g ) 36 ( 0,5 ) ( 0,0 + 1,73) 70,90 kn 0,54 0,9 1, VR 0,54 0,9 1,79 0 V 71kN VS R. Obervação No Moelo I, a orça cortante olicitante e cálculo V S (313 kn) reultou 15% maior que a correponente no Moelo II (71 kn). Portanto, no que e reere à iagonal e compreão, o Moelo I tem um melhor comportamento que o Moelo II. 6.4 Valore limite para orça cortante iagonal e tração Equilíbrio a iagonal e tração e treliça e Morh Seja a Figura 6.11 one a orça cortante reitente e cálculo V R é reponável pelo equilíbrio vertical a orça atuante no trecho e viga. C V c α V R3 α A θ α B z 0,9 V w R w A w σ w R w n A w σ w V w R w en α Figura Equilíbrio vertical a reultante atuante na armaura tranveral (iagonal tracionaa a treliça e Morh) Na Figura 6.11, θ repreenta a inclinação a iura em relação ao eio horizontal a viga; α correpone à inclinação a armaura tranveral (iagonal tracionaa a treliça e Morh) em relação ao eio horizontal a viga; z altura útil a viga; repreenta o braço e alavanca correponente à itância entre a reultante horizontal e compreão atuante no banzo uperior a treliça e Morh e a reultante atuante na armaura horizontal tracionaa (banzo inerior a treliça), amitio como eno igual 0,9 ; correpone ao epaçamento a armaura tranveral, meio paralelamente ao eio horizontal a viga; n repreenta o número a barra, componente a armaura tranveral, que corta o plano AC co trecho a viga; A w correpone à área a eção tranveral e uma barra que contitui a armaura tranveral a viga; σ w tenõe normai atuante na armaura tranveral (iagonal tracionaa a treliça e Morh); R w correpone à orça atuante na armaura tranveral (iagonal tracionaa a treliça e Morh), reultante a tenõe σ w ; V 1 R3 correpone à orça cortante reitente e cálculo, relativa à ruína por tração iagonal; 1 Notação a ABNT NBR upr/tc405

204 V w V c correpone a componente vertical a orça R w ; e correpone à parcela e orça cortante aborvia por mecanimo complementare ao a treliça e Morh. Do triângulo ABC (Figura 6.11) tem-e: ( cot gθ + cot α) AB z g O número e barra que corta o plano AC (projeção horizontal AB) é ao por: AB z ( cot gθ + cot gα) z n ( cot gθ + cot gα) Do equilíbrio vertical e orça atuante no trecho e viga a Figura 6.11, tem-e: VR 3 Rw enα Vc 0 ou aina: V R enα + V R3 R3 w c w c V V + V Equação 6.6 Aina a Figura 6.11, tem-e: V R enα na σ en V V w w w w ( ) α w z ( cot gθ + cot gα) ( Aw σw ) enα 0,9 cot gθ + cot gα A w σw en w ( ) ( ) α A w Vw 0,9 σw ( cot gθ + cot gα) enα Equação 6.7 A ABNT NBR 6118, iten b e b, apreenta a Equação 6.7 com yw no lugar e σ w, one yw é a tenão na armaura tranveral, limitaa ao valor y no cao e etribo e a 70% ee valor no cao e barra obraa, não e tomano, para ambo o cao, valore uperiore a 435 MPa. Deta orma a Equação 6.7 reulta: V w A yw yw w 0,9 yw yk min γ 435MPa yk 0,7 min γ 435MPa ( cot gα + cot gθ) etribo enα barra obraa Equação Armaura componente a iagonai tracionaa a treliça e Morh A armaura que compõem a iagonai tracionaa a treliça e Morh poem er contituío por: etribo; ou barra obraa. O etribo, e moo geral, ão echao e na grane maioria o cao ão poicionao verticalmente (α 90 ), como motrao na Figura 6.1. O valore e A w, a erem uao na Equação 6.8, epenem o número e ramo que compõe o etribo upr/tc405

205 A A etribo e ramo A w A etribo e 4 ramo A w 4 A Figura 6.1 Etribo e viga A barra obraa, e moo geral, ão poicionaa na viga como continuiae a barra horizontai, ormano ângulo e 45 com a horizontal (Figura 6.13). Figura 6.13 Barra obraa e viga Moelo a ABNT NBR Moelo I O Moelo I a ABNT NBR 6118 eine θ como eno igual a 45. Deta orma a Equação 6.8 reulta: A w Vw 0,9 yw ( cot gα + cot g45 ) enα V w A yw yw w 0,9 yw yk min γ 435MPa yk 0,7 min γ 435MPa ( enα + coα) etribo barra obraa Equação 6.9 O item b a ABNT NBR 6118 apreenta, o cálculo a armaura tranveral e viga, para o Moelo I, eparao por tipo e olicitação Fleão imple ou leo-tração com a linha neutra cortano a eção No cao e leão imple ou leo-tração, com a linha neutra cortano a eção, o valore e V R3 (Equação 6.6), V c e V w (Equação 6.9) ão ao por: upr/tc405

206 V R3 V V V c w c V + V c0 w 0,6 ct b ctk,in 0,1 ct γc γ Aw 0,9 yw w 3 ck yk yw min γ 435MPa yk 0,7 yw min γ 435MPa 45 α 90 c ck ( enα + coα) etribo em MPa barra obraa Equação Fleo-compreão No cao e leo-compreão, o valore e V R3 (Equação 6.6), V c e V w (Equação 6.9) ão ao por: V R3 V V V c w c + V M V c0 1 + M V 0,6 b c0 w ct V ctk,in 0,1 ct γ c γ c A w 0,9 yw yk yw min γ 435 MPa yk 0,7 yw min γ 435 MPa 45 α 90 0 S,ma w 3 ck c0 ck ( en α + co α) etribo em MPa barra obraa Equação 6.11 Na Equação 6.11, M 0 valor o momento letor que anula a tenão normal e compreão na bora a eção (tracionaa por M S,Ma ), provocaa pela orça normai e ivera origen concomitante com V S, eno ea tenão calculaa com valor e γ igual a 1,0; e M S,ma valor o máimo momento letor e cálculo que atua na eção conieraa Elemento etruturai tracionao com a linha neutra ora a eção No cao e elemento etruturai tracionao com a linha neutra ora a eção, o valore e V R3 (Equação 6.6), V c e V w (Equação 6.9) ão ao por: upr/tc405

207 V R3 V c + V w Vc 0 A Vw w 0,9 yw yk yw min γ 435 MPa yk 0,7 yw min γ 435 MPa 45 α 90 ( en α + co α) etribo barra obraa Equação Moelo II O Moelo II a ABNT NBR 6118, etabelece para θ uma variação entre 30 e 45, aplicao iretamente na Equação 6.8. O item b a ABNT NBR 6118 apreenta, o cálculo a armaura tranveral e viga, para o Moelo II, eparao por tipo e olicitação Fleão imple ou leo-tração com a linha neutra cortano a eção No cao e leão imple ou leo-tração, com a linha neutra cortano a eção, o valore e V R3 (Equação 6.6), V c e V w (Equação 6.8) ão ao por: V R3 V V V c w V V c c1 + V c1 V V c0 w c0 V V R R 0,6 V ct V b w S c0 V ctk,in 0,1 ck ct γ c γ c ck em MPa A w 0,9 yw ( cot gα + cot gθ) en α yk yw min γ 435 MPa etribo yk 0,7 yw min γ 435 MPa barra obraa 30 θ 45º 45 α 90 c0 3 Equação Fleo-compreão No cao e leo-compreão, o valore e V R3 (Equação 6.6), V c e V w (Equação 6.8) ão ao por: upr/tc405

208 V R3 V V V c w c + V M + 0 Vc1 1 V MS,ma VR VS Vc1 Vc0 V V V V c0 w A 0,6 ct w R γ 0,9 yk yw min γ 435 MPa yk 0,7 yw min γ 435 MPa 30 θ 45º 45 α 90 ct c b ctk,in w yw c0 c1 0,1 γ c0 3 ck c ( cot gα + cot gθ) etribo em MPa en α barra obraa ck Equação 6.14 Na Equação 6.14, M 0 valor o momento letor que anula a tenão normal e compreão na bora a eção (tracionaa por M S,Ma ), provocaa pela orça normai e ivera origen concomitante com V S, eno ea tenão calculaa com valor e γ igual a 1,0; e M S,ma valor o máimo momento letor e cálculo que atua na eção conieraa Elemento etruturai tracionao com a linha neutra ora a eção No cao e elemento etruturai tracionao com a linha neutra ora a eção, o valore e V R3 (Equação 6.6), V c e V w (Equação 6.8) ão ao por: VR3 V c + Vw Vc 0 A w Vw 0,9 yw ( cot gα + cot gθ) en α yk yw min γ etribo Equação MPa yk 0,7 yw min γ barra obraa 435 MPa 30 θ 45º 45 α Reitência e viga iagonal tracionaa A reitência e viga, numa eterminaa eção tranveral, eve er conieraa atiatória quano or veriicaa, a eguinte conição: VS V R3 Equação upr/tc405

209 one: V S orça cortante olicitante e cálculo na eção; e V R3 orça cortante reitente e cálculo, relativa à ruína por tração iagonal, e acoro com o Moelo I e II ecrito em e 6.3.., repectivamente. Eemplo 6.: Veriicar, para a eção tranveral e viga abaio inicaa, qual a máima orça cortante olicitante e cálculo (V S ) que a mema poe uportar, einia pela iagonal tracionaa (V R3 ). Fazer a veriicação para o Moelo I e para o Moelo II amitino θ 30 e α 90. Conierar: aço: CA-50; concreto: C5; h 4 cm; etribo verticai e oi ramo, epaçao e 10 cm, contituío por barra e 6,3 mm; leão imple; e etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4, γ 1,15). 40 cm Solução: Na eterminação e V R3, uar a Equação 6.10 para o Moelo I e a Equação 6.13 para o Moelo II. V S é einia pela Equação a. Dao uniormização e uniae (kn e cm) 5 MPa,5 kn/ cm ck γ c 1,4 ct 0,1 γ 3 ck c 0 cm 3 ck em MPa 0,1 5 ct 1,8MPa 0,18kN/ cm 1,4 yk 500 MPa γ 1,15 yk yw min γ 435MPa MPa yw min 1,15 435MPa 43,5kN/ cm 435MPa π 0,63 A w A 0,63 cm 4 10 cm b w 0 cm cm b. Moelo I α 90 (etribo verticai) upr/tc405

210 V c 0 0,6 ct b w V c 0 0,6 0, kN Aw Vw 0,9 yw ( enα + coα) 0,63 V w 0, ,5 en90 + co V V + V R3 c w V R kN V 143 kn VS R3 c. Moelo II θ 30 (30 θ 45 ) α 90 (45 α 90 ) 0,6 0, V c 0 V 71kN OK OK 55kN ( ) kn R (ver Eemplo 6.1, item c) A w Vw 0,9 yw ( cot gα + cot gθ) en α 0,63 V w 0, ,5 cot g90 + cot g30 en VR VS Vc1 Vc0 Vc0 V V R c0 ( ) kn 71 VS Vc kN VS Vc1 55kN (V c1 unção e V S neceário proceo interativo) 3,97 c.1 V S V R3 V w 15 kn (1ª tentativa, econierao o valor e V c ) V c1 30kN 55kN OK 3,97 V 30kN Vc c1 V V + V R3 c w V R kN > 15kN c. V S V R3 18 kn (ª tentativa) V c1 3kN 55kN OK 3,97 Vc Vc1 3kN V V + V R3 c w V R kN < 18kN c.3 V S V R3 175 kn (3ª tentativa) V c1 4kN 55kN OK 3,97 Vc Vc1 4kN V V + V R3 c w V R kN > 175kN c.4 V S V R3 176 kn (4ª tentativa) V c1 4kN 55kN OK 3,97 Vc Vc1 4kN V V + V R3 c w upr/tc405

211 R kN V 176 kn V 3 VS R3 OK. Obervação No Moelo I, a orça cortante olicitante e cálculo V S (143 kn) reultou 19% menor que a correponente no Moelo II (176 kn). Portanto, no que e reere à iagonal tracionaa, leão imple, o Moelo II tem um melhor comportamento que o Moelo I. 6.5 Armaura mínima Seguno o item a ABNT NBR 6118, a viga e concreto armao evem conter armaura tranveral mínima contituía por etribo, com taa geométrica: one: ρ w A w α b w ywk ct,m ρ w b ct,m ywk w A w 0, enα 0,3 3 ck yk min 500MPa ck ct,m ywk em MPa taa geométrica e armaura tranveral; área a eção tranveral o etribo; epaçamento o etribo, meio eguno o eio longituinal a viga; inclinação o etribo em relação ao eio longituinal a viga; largura méia a alma, meia ao longo a altura útil a eção, reitência caracterítica ao ecoamento o aço a armaura tranveral; e reitência méia à tração o concreto. Equação 6.17 Eemplo 6.3: Determinar a taa geométrica mínima para a armaura tranveral a viga e eção tranveral abaio inicaa. Conierar: aço: CA-60; e concreto: C5. 40 cm Solução: Uar a Equação 6.17 para a eterminação e ρ w. a. Dao uniormização e uniae (kn e cm) 5 MPa,5 kn/ cm ck ct,m ct,m 0,3 0 cm 3 ck 3 ck em MPa 0,3 5,56MPa yk 600 MPa 0,56kN / cm yk ywk min 500MPa 600MPa ywk min 500MPa 50kN/ cm 500MPa upr/tc405

212 b. Taa geométrica ct,m ρ w 0, ρ ywk 0,56 0, 50 w 0,10% 6.6 Fleão imple - Viga com etribo verticai Moelo I ABNT NBR 6118, item : A armaura tranveral (A w ) poe er contituía por etribo (echao na região e apoio a iagonai, envolveno a armaura longituinal) ou pela compoição e etribo e barra obraa; entretanto, quano orem utilizaa barra obraa, eta não evem uportar mai o que 60% o eorço total reitio pela armaura. O etalhamento e viga e concreto armao com etribo verticai, permitio pelo item a ABNT NBR 6118, tem io o mai uao pela engenharia e etrutura (Figura 6.14). Figura 6.14 Viga com etribo verticai Por outro lao, a aoção o Moelo I, que eige meno a iagonal comprimia a treliça e Morh (ver Eemplo 6.1 e Eemplo 6.), também tem-e motrao batante útil no etalhamento e viga e concreto armao. Deta orma, levano em conieração apena a equaçõe etabelecia em (Equação 6.3), (Equação 6.5), (Equação 6.10), (Equação 6.16) e 6.5 (Equação 6.17), para leão imple, tem-e: upr/tc405

213 V S VR VR3 V 0,7α V R R3 ck αv 1 50 V + V V V ρ c w w 0,6 c ct 0,1 γ A b b 0,9 emmpa yk yw min γ 435MPa A w ct,m 0, b w w v ct w c w c w 3 ck ck ywk yw ck em MPa Equação 6.18 ct,m ywk 0,3 3 ck yk min 500MPa ck em MPa Eemplo 6.4: Veriicar, para a eção tranveral e viga abaio inicaa, qual a máima orça cortante olicitante e cálculo (V S ) que a mema poe uportar. Conierar: aço: CA-50; concreto: C5; h 4 cm; etribo verticai e oi ramo, epaçao e 10 cm, barra e 6,3 mm; leão imple, Moelo I; e etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4, γ 1,15). 40 cm Solução: Na eterminação e V S, uar a Equação a. Dao uniormização e uniae (kn e cm) 5 MPa,5 kn/ cm ck 0 cm γ c 1,4 ck α v 1 ck em MPa 50 5 α v 1 0, upr/tc405

214 ck c γ c,5 c 1,79 kn / cm 1,4 ct,m ct,m 0,3 3 ck 3 ck em MPa 0,3 5,56MPa ct 0,1 γ 3 ck c 3 ywk ck em MPa 0,56kN / cm 0,1 5 ct 1,8MPa 0,18kN/ cm 1,4 yk 500 MPa γ 1,15 yk ywk min 500MPa 500MPa ywk min 500MPa 50kN/ cm 500MPa yk yw min γ 435MPa MPa yw min 1,15 435MPa 43,5kN/ cm 435MPa π 0,63 A w A 0,63 cm 4 10 cm b w 0 cm cm ct,m ρ w 0, b. V R V c. V R3 V 0,56 ρ 0, 50 ρ A w w b w w 0,10% 0,63 ρ w 0,31% > 0,10% 0 10 OK 0,7αv c bw 0,7 0,9 1, kn R V R c 0 0,6 ct b w V c 0 0,6 0, kN A w Vw 0,9 yw upr/tc405

215 0,63 V w 0, ,5 88kN 10 V V + V R3 c w V R kN. V S V V S S VR VR3 313kN V 143kN S 143kN 6.7 Fleão imple - Viga com etribo verticai Moelo II A aoção o Moelo II para viga com etribo verticai poe er uma olução intereante quano e quer eigir mai a iagonal comprimia a treliça e Morh (ver Eemplo 6.1 e Eemplo 6.), e meno a armaura. Deta orma, levano em conieração apena a equaçõe etabelecia em (Equação 6.4), (Equação 6.5), (Equação 6.13), (Equação 6.16) e 6.5 (Equação 6.17), para leão imple, tem-e: V S VR VR3 V 0,54α V R ck αv θ 45 R3 V V ρ V c w w V V + V yk yw min γ 435MPa 30 θ 45 c c1 A b ct,m ywk c1 V V A w w c0 0, w v c0 0,3 V V b 0,6 w ct c w γ 0,9 enθcoθ emmpa V V b cot θ yk min 500MPa R R 3 ck ck ct ctk,in c yw ct,m ywk w S c0 V 0,1 γ ck c0 3 ck c em MPa ck em MPa Equação upr/tc405

216 Eemplo 6.5: Veriicar, para a eção tranveral e viga abaio inicaa, qual a máima orça cortante olicitante e cálculo (V S ) que a mema poe uportar. Conierar: aço: CA-50; concreto: C5; h 4 cm; etribo verticai e oi ramo, epaçao e 10 cm, contituío por barra e 6,3 mm; leão imple, Moelo II, θ 30 ; e etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4, γ 1,15). 40 cm Solução: Na eterminação e V S, uar a Equação 6.19 a. Dao uniormização e uniae (kn e cm) ck 5 MPa,5 kn/ cm γ c 1,4 ck α v 1 ck em MPa 50 5 α v 1 0,9 50 ck c γ c,5 c 1,79 kn / cm 1,4 ct,m ct,m 0,3 3 ck 3 ck em MPa 0,3 5,56MPa ct 0,1 γ 3 ck c 0 cm 3 ck em MPa 0,56kN / cm 0,1 5 ct 1,8MPa 0,18kN/ cm 1,4 yk 500 MPa γ 1,15 yk ywk min 500MPa 500MPa ywk min 500MPa 50kN/ cm 500MPa yk yw min γ 435MPa upr/tc405

217 MPa yw min 1,15 435MPa 43,5kN/ cm 435MPa π 0,63 A w A 0,63 cm 4 10 cm b w 0 cm cm ct,m ρ w 0, b. V R V ywk 0,56 ρ 0, 50 ρ A w w b w w 0,10% 0,63 ρ 0,31% 0 10 θ 30 w > 0,10% 0,54 α b enθcoθ OK R v c w V R 0,54 0,9 1, en30 co30 71kN c. V R3 Vc 0 0,6 ct bw 0,6 0, V c 0 55kN A w Vw 0,9 yw cot θ 0,63 V w 0, ,5 cot 30 15kN 10 VR VS Vc1 Vc0 Vc0 V V R c0 71 VS Vc kN VS Vc1 55kN (V c1 unção e V S neceário proceo interativo) 3,97 c.1 V S V R3 00 kn (1ª tentativa, valor arbitrao) V c 1 18kN < 55kN OK 3,97 V 18kN Vc c1 V R3 Vc + Vw V R kN < 00kN c. V S V R3 170 kn (ª tentativa) V c 1 6kN < 55kN OK 3,97 V 6kN Vc c1 V R3 Vc + Vw kN V R 3 > 170kN upr/tc405

218 . V S c.3 V S V R3 178 kn (3ª tentativa) V c 1 4kN < 55kN OK 3,97 Vc Vc1 4kN V V + V R3 c w V R kN < 178kN c.4 V S V R3 176 kn (4ª tentativa) V c 1 4kN < 55kN OK 3,97 Vc Vc1 4kN V V + V V V S S R3 c w V R VS VR 3 VR VR3 71kN V 176kN 176kN 176 kn S 176kN OK e. Comparaçõe e Moelo (valore o Moelo I retirao o Eemplo 6.4) Moelo I II α θ V c 55 kn 4 kn V w 88 kn 15 kn V R 313 kn 71 kn V R3 143 kn 176 kn Como poe er obervao pela tabela, o Moelo I apreenta melhore coniçõe para o concreto (V R ), ao pao que o Moelo II é melhor para armaura (V R3 ). Em outra palavra ito quer izer que o Moelo II neceita meno armaura que o Moelo I. 6.8 Coniçõe para uo e etribo em viga Seguno o item a ABNT NBR 6118, o etribo etinao a viga e concreto armao evem atiazer à eguinte eigência (Figura 6.15): one: φ t b w V S bw 5mm φt 10 V V V V S R S R 0,67 > 0,67 0,6 min 30cm 0,3 min 0cm iâmetro a barra que contitui o etribo; epaçamento o etribo, meio eguno o eio longituinal a viga; largura a alma a viga; altura útil a viga; orça cortante olicitante e cálculo na eção; e Equação upr/tc405

219 V R orça cortante reitente e cálculo, relativa à ruína a iagonai comprimia e concreto. φ t b w Figura 6.15 Etribo e viga e concreto armao Embora a ABNT NBR 6118 não aça reerência ao epaçamento mínimo entre etribo, é recomenável que ete valor não eja inerior a 10 cm. Em cao etremo ete valor poe er reuzio para até 7 cm, porém torna-e neceário que ejam veriicaa a coniçõe totai e concretagem que envolvem toa a armaura (longituinai e tranverai). Deta orma a Equação 6.0 reulta: bw 5mm φt 10 V V V V S R S R 0,67 > 0,67 0,6 10cm min 30cm 0,3 10cm min 0cm Equação 6.1 No cao e viga e pouca altura útil ( 35 cm), o prouto 0,3 poerá reultar inerior a 10 cm. Nete cao o epaçamento mínimo e 10 cm everá er ignorao, manteno-e o epaçamento igual ou inerior a 0,3. Eemplo 6.6: Determinar o epaçamento o etribo para o trecho II a viga abaio inicaa. Conierar: aço: CA-60; concreto: C0; h 5 cm; etribo verticai e oi ramo, contituío por barra e 6,3 mm; leão imple, Moelo I; e etao limite último, combinaçõe normai (γ c 1,4, γ 1,15). 50 cm I II iagrama V S 0 cm 10 kn 140 kn Solução: A olução o problema conite na aplicação a Equação 6.18 e Equação 6.1. Obervar que a veriicação e V R eve er eita para a maior orça cortante upr/tc405

220 olicitante e cálculo V S atuante na viga (10 kn). O cálculo a armaura eve er eito para V S igual a 140 kn que correpone a maior orça cortante e cálculo atuante no trecho II. a. Dao uniormização e uniae (kn e cm) ck 0 MPa,0 kn / cm γ c 1,4 ck α v 1 ck em MPa 50 0 α v 1 0,9 50 ck c γ c,0 c 1,43 kn / cm 1,4 ct,m ct,m 0,3 3 ck 3 ck em MPa 0,3 0,1MPa ct 0,1 γ 3 ck c 3 ywk ck em MPa 0,1kN / cm 0,1 0 ct 1,11MPa 0,111kN/ cm 1,4 yk 600 MPa γ 1,15 yk ywk min 500MPa 600MPa ywk min 500MPa 50kN/ cm 500MPa yk yw min γ 435MPa 600 5MPa yw min 1,15 435MPa 43,5kN/ cm 435MPa bw 5mm φ t mm φt 10 5mm φt 0mm φ t 6,3mm OK π 0,63 A w A 0,63 cm 4 b w 0 cm cm ct,m ρ w 0, upr/tc405

221 ρ V 0,1 0, 0,09% 50 0,7α b w R v c w V R 0,7 0,9 1, kn Vc 0,6 ct bw V c 0,6 0, kN b. Veriicação e V R V S V R V S 10kN (máima orça cortante e cálculo atuante na viga ace o pilar) V R V S < 30 kn { V { R OK 10kN 30kN c. Veriicação e V R3 VS V R3 V S 140kN (máima orça cortante e cálculo no trecho II) V c 60kN A w Vw 0,9 yw 0, ,57 V w 0, ,5 V R3 Vc + Vw 1097,57 V R , ,7cm 13cm. Veriicação e V 0,6 S 0,67 10cm min V R 30cm V 0,3 S > 0,67 10cm min V R 0cm V S 140kN V R 30kN 13cm VS 140 0,44 V 30 R VS 0, cm 0,67 10 cm min 7 cm VR 30cm 10 cm < 13cm < 7cm OK e. Veriicação e ρ w ρ w 0,09% ρ A w w b w 0,63 ρ w 0,4% > 0,09% 0 13 OK upr/tc405

222 6.9 Carga próima ao apoio A eitência e carga próima ao apoio poe inluenciar na eterminação a armaura e cialhamento em viga e concreto armao. Da Figura 6.16 poe er obervao que: a carga uniormemente itribuía, à equera o plano α, não intererem no nó B (one eite V w ), ão irecionaa iretamente ao apoio (nó) A e, no equilíbrio vertical e orça, inluenciam na eterminação a orça V R (reação e apoio), relativa à ruína a iagonai comprimia e concreto; e a carga uniormemente itribuía, compreenia entre o plano α e β, intererem no nó B e, no equilíbrio vertical e orça, inluenciam na eterminação a orça V w, reitia pela armaura tranveral A w. α β A R w B V M V R α β Figura 6.16 Carga próima ao apoio Da Figura 6.16 poe-e concluir que: a carga uniormemente itribuía, à equera o plano α, não intererem na eterminação e A w ; e a carga uniormemente itribuía, à ireita o plano α, intererem na veriicação e V R. ABNT NBR 6118, item : Para o cálculo a armaura tranveral, no cao e apoio ireto (e a carga e a reação orem aplicaa em ace opota o elemento etrutural, comprimino-a), valem a eguinte precriçõe: a. a orça cortante oriuna e carga itribuía poe er conieraa, no trecho entre o apoio e a eção ituaa à itância / a ace o apoio, contante e igual à eta eção; b. a orça cortante evia a uma carga concentraa aplicaa a uma itância a o eio teórico o apoio poe, nete trecho e comprimento a, er reuzia multiplicano-a por a/(). A reuçõe inicaa neta eção não e aplicam à veriicação a reitência à compreão iagonal o concreto. No cao e apoio inireto, ea reuçõe também não ão permitia. A Figura 6.17 motra o iagrama e orça cortante para o cálculo a armaura tranveral e viga e concreto armao, eguno o item a ABNT NBR upr/tc405

223 a / V S V S a iagrama V S para cálculo a armaura e cialhamento iagrama V S para cálculo a armaura e cialhamento Figura 6.17 Diagrama V S para cálculo a armaura e cialhamento Eemplo 6.7: Determinar a armaura e cialhamento o trecho I, II e III a viga abaio inicaa. Conierar: aço: CA-60; concreto: C0; etribo verticai e oi ramo; leão imple, Moelo I; e etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15). G k 144 kn g k 7 kn/m m m 1 m I II III 60 cm 65 cm 15 cm 30 cm upr/tc405

224 Solução: A olução o problema conite na aplicação a Equação 6.18 e Equação 6.0, bem como a reuçõe e carga apreentaa na Figura a. Diagrama e orça cortante V S,eio,A +161,8 kn V S,ace,A +146,16 kn A + V S,/,A +115,9 kn V S,eio,B V S,ace,B -40,3 kn - B m 3 m 4 m 1 m A + V S,eio,A V S,ace,A 40,3 kn V S,a/,B -134,40 kn - V S,eio,B V Sc,ace,B -161,8 kn B carga uniormemente itribuía: 4 VS, eio, A 1, ,8kN 5 0,30 VS,ace,A 161,8 1, ,16kN 13 l pil V V S,/,A S, eio,b 0,30 0,60 161,8 1, ,9kN l pil V S,ace, B 1 1,4 7 40,3kN 5 carga concentraa: 1 V eio,a VS,ace, A 1, V S, S, eio,b V S,ace, B 40,3kN 4 1, ,8 kn upr/tc405

225 V S,a /,B ,8 134,40kN b. Dao uniormização e uniae (kn e cm) ck 0 MPa,0 kn / cm γ c 1,4 ck α v 1 ck em MPa 50 0 α v 1 0,9 50 ck c γ c,0 c 1,43 kn / cm 1,4 ct,m ct,m 0,3 3 ck 3 ck a em MPa 0,3 0,1MPa ct 0,1 γ 3 ck c 3 ywk ck em MPa 0,1kN / cm 0,1 0 ct 1,11MPa 0,111kN/ cm 1,4 yk 600 MPa γ 1,15 yk ywk min 500MPa 600MPa ywk min 500MPa 50kN/ cm 500MPa yk yw min γ 435MPa 600 5MPa yw min 1,15 435MPa 43,5kN/ cm 435MPa bw 5mm φ t mm φ t 10 5mm φt 15mm b w 15 cm 60 cm ct,m ρ w 0, ρ 0,1 0, 50 w 0,09% upr/tc405

226 ρ w A V w R A b w 0,09% w 0, ,7α cm 15 { 0,0135 cm b v w c b w cm 1,35 m V R 0,7 0,9 1, kn V 0,6 b c ct w V c 0,6 0, kN c. Veriicação e V R V S V R V V + V V S,ace,A S,ace,A,it S,ace,A,conc S,ace, A 146, ,3 V V + V V S,ace,B S,ace, B S,ace,B,it 186,48kN S,ace,B,conc 40,3 161,8 01,60kN VS,ace, ma 01,60kN (valor aboluto) 30 kn V R V,ace,ma 1443 S < 01,60 kn. Trecho I V V S V R3 V V { R OK 30 kn 115,9 + 40,3 S S, ma V c 60kN A w Vw 0,9 yw A w V 0, ,5 V V + V w R3 c w 156,4 kn A 349 A w VR Aw 156, A w cm cm cm 0,0410 4,10 > 1,35 cm m m V 0,6 S 0,67 10cm min V R 30cm V V S R V R > 0,67 30kN w 0,3 10cm min 0cm OK VS 156,4 0, cm cm 0,63 cm 0,49 10 cm min VR cm 100cm 4,10 cm 10cm 30 cm Será aotao para o trecho I, etribo e 6,3 mm, oi ramo, epaçao e 15 cm (4,15 cm /m). A aoção e barra e 5 mm implicaria em epaçamento inerior a 10 cm, o que, eve er evitao. A aoção e barra e 8 mm implicaria em um eceo e armaura para o trecho II. φ t A A + m + A w (cm ) +115,9 kn I (cm) -40,3 kn +40,3 kn A w / (cm /m) (mm) 5 0, ,37 6,3 0, ,15 8 1, , upr/tc405

227 e. Trecho II V V S V R3 V 40,3 + 40,3 S S, ma V c 60kN V V { S < { c 0kN A w 60kN armaura mínima cm 1,35 m 0kN A - m II + -40,3 kn +40,3 kn V V V V S R S R V R 0,67 > 0,67 30kN 0,6 10cm min 30cm 0,3 10cm min 0cm VS 0 0, cm cm 0,63 cm 0,00 10cm min VR 30 30cm 100 cm 1,35 cm 10cm 30cm Será aotao para o trecho II, etribo e 6,3 mm, oi ramo, epaçao e 30 cm (,08 cm /m) que é o máimo permitio por Norma. A aoção e barra e 6,3 mm é evia a manutenção e um memo tipo e etribo em too o vão a viga.. Trecho III V B -40,3 kn S V R3 VS VS, ma 40,3 134,40 174,7kN V c 60kN A w Vw 0,9 yw A w V 0, ,5 V V + V w R3 c w A 349 A w VR A w 174, A w cm cm cm 0,0488 4,88 > 1,35 cm m m V 0,6 S 0,67 10cm min V R 30cm V V S R V R > 0,67 30kN w 0,3 10cm min 0cm upr/tc405 OK VS 174,7 0, cm cm 0,63 cm 0,55 10cm min VR 30 30cm 100 cm 4,88 cm 10cm 30cm Será aotao para o trecho III, etribo e 6,3 mm, oi ramo, epaçao e 1 cm (5,19 cm /m). A aoção e barra e 6,3 mm é evia à manutenção e um memo tipo e etribo em too o vão a viga. φ t φ t A - 1 m III - A w (cm ) B A w (cm ) (cm) -134,40 kn (cm) A w / (cm /m) (mm) 5 0, ,36 6,3 0,63 30,08 8 1, ,35 A w / (cm /m) (mm) 5 0, ,91 6,3 0,63 1 5,19 8 1, ,03

228 g. Poicionamento o etribo 13 φ 6,3 mm 1 15 cm 6 φ 6,3 mm 1 30 cm 7 cm 3 cm 0 cm 8 φ 6,3 mm 6 cm 1 1 cm 6.10 Decalagem o iagrama e orça no banzo tracionao Seja a viga a Figura 6.18 ubmetia a um carregamento qualquer one, internamente, etá repreentaa a treliça e Morh. Figura 6.18 Viga com repreentação a treliça e Morh Seja agora um trecho iolao a viga one omente orça horizontai, einia por momento letore, ão conieraa (Figura 6.19). Conorme motrao na Figura 6.18, o banzo uperiore e ineriore a treliça ão amitio paralelo. Deta orma, poe-e, também, amitir-e, na Figura 6.19, a igualae o braço e alavanca z, itância entre a orça R c e R. Eitino no trecho a Figura 6.19 R c1 R c variação o momento letore (M R > M R1 ), M R1 M R eno z contante e M R ao pelo prouto R z, z z conclui-e que a orça atuante na armaura tracionaa R não é contante nete trecho A B (R > R 1 a mema orma que M R > M R1 ). R 1 R M z M R > R z R1 R R 1 1 Figura 6.19 Força horizontai em um trecho e viga Seja agora o memo trecho iolao a treliça a Figura 6.18, one etá motrao a orça interna e tração R atuante no banzo inerior a treliça e Morh. Por e tratar e um trecho e treliça, obrigatoriamente eve-e ter na Figura 6.0 orça R iguai entre oi nó conecutivo (nó A e B que einem o trecho ). Ito vale izer que a orça atuante na armaura tracionaa (armaura horizontal inerior) é contante no trecho upr/tc405

229 A B R 1 R R 1 R Figura 6.0 Força horizontai no banzo inerior a treliça Do epoto, ica caracterizao uma icrepância quanto ao comportamento a orça R, poi para o memo trecho ora ela é variável (Figura 6.19) ora ela é contante (Figura 6.0). Ito e eplica pela completa inepenência eitente na eterminação a armaura horizontal (armaura e momento letor) com a eterminação a armaura vertical (armaura e orça cortante). Determina-e a armaura horizontal em e levar em conta a orça cortante, ao memo tempo em que e etermina a armaura vertical em e levar em conta o momento letor. Um critério e cálculo (momento letor) coniera a viga como um too, o outro (orça cortante) amite o comportamento e uma treliça interna. Para levar em conta a icrepância eitente no comportamento a armaura horizontal tracionaa, e agora já poemo conierá-la tanto na ace inerior a viga (momento poitivo) com na ace uperior (momento negativo), eve o imenionamento eta armaura er eito para o maior valor aboluto a orça R atuante no trecho (ponto B a Figura 6.19 e a Figura 6.0). Ito vale izer que o iagrama e orça R eve er elocao na ireção a menor eta A B orça (na ireção e R 1 a Figura 6.19, ou e B para A) e tal moo que no trecho R 0 no apoio a orça horizontal tracionaa ique contante com eu maior valor aboluto. A Figura 6.1 motra um eemplo e iagrama e orça R elocao. iagrama R elocao iagrama R M R /z Figura 6.1 Diagrama R elocao ABNT NBR 6118, item c Moelo e cálculo I: Quano a armaura longituinal e tração or eterminaa atravé o equilíbrio e eorço na eção normal ao eio o elemento etrutural, o eeito provocao pela iuração obliqua poem er ubtituío no cálculo pela ecalagem o iagrama e orça no banzo tracionao, aa pela epreão: VS,ma ( ) ( ) al 1+ cot gα cot gα VS,ma Vc one: a l 0,5, no cao geral; a l 0,, para etribo inclinao a upr/tc405

230 Ea ecalagem poe er ubtituía, aproimaamente, pela correponente ecalagem e momento letore. A ecalagem o igrama e orça no banzo tracionao poe er também obtia implemente aumentano a orça e tração, em caa eção, pela epreão: MS 1 RS,cor + VS ( cot gθ cot gα) z ABNT NBR 6118, item c Moelo e cálculo II: Se orem mantia a coniçõe etabelecia c, o elocamento o iagrama e momento letore, aplicano o proceo ecrito nea eção, eve er: a l 0,5 ( cot gθ cot gα) one: a l 0,5, no cao geral; a l 0,, para etribo inclinao a 45. Permanece vália para o moelo II a alternativa aa em c. A eguinte obervaçõe evem er eita a repeito o iten c e c a ABNT NBR 6118: a. Contrariano toa a bibliograia nacional e internacional, a ABNT NBR 6118 não etabelece um limite uperior para valore e a l. Eta limitação everia er: a l b. Para valore negativo e a l, ete everia er conierao como: a l Deta orma, o valore e a l everiam er calculao como e egue: Moelo I a l V S,ma c 0,5 a cao geral 0, a S,ma ( ) ( 1+ cot gα ) V V l l cot gα etribo inclinao a 45 para V S,ma < V c a l Moelo I, etribo verticai (α 90 ) a l V S,ma 0,5 a S,ma ( V V ) l c para V S,ma < V c a l Moelo II a l 0,5 0,5 a 0, a ( cot gθ cot gα) l l cao geral etribo inclinao a 45 Equação 6. Equação 6.3 Equação 6.4 A Figura 6. motra como icaria um iagrama e momento letore olicitante e cálculo para eeito e imenionamento e etalhamento a armaura horizontal e tração. É intereante notar que no apoio rotulao B há um aparente aparecimento e momento letor. Na realiae, nete apoio B, etá repreentaa a orça horizontal e tração que aparece no equilíbrio o nó A a Figura upr/tc405

231 a l A a l iagrama M S B a l iagrama M S elocao a l Figura 6. Diagrama M S elocao Eemplo 6.8: Eetuar o elocamento o iagrama e momento letore olicitante e cálculo para a viga abaio repreentaa. Conierar: concreto: C0; etribo verticai e oi ramo; preo próprio eprezível; leão imple, Moelo I; e etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15). G k 00 kn 4 m 1 m 50 cm 55 cm 18 cm 30 cm Solução: A olução o problema conite na aplicação a Equação 6.3 para a veriicação e V R e na Equação 6.3 para a eterminação e a l upr/tc405

232 a. Diagrama M S e V S G k 00 kn 4 m I 1 m II 1, kNm 5 1, kN 5 1, kN 5 b. Dao uniormização e uniae (kn e cm) ck 0 MPa,0 kn / cm γ c 1,4 ck α v 1 ck em MPa 50 0 α v 1 0,9 50 ck c γ c,0 c 1,43 kn / cm 1,4 ct 0,1 γ 3 ck c 3 ck em MPa 0,1 0 ct 1,11MPa 0,111kN/ cm 1,4 b w 18 cm 50 cm V R 0,7α v c b w V R 0,7 0,9 1, kn Vc 0,6 ct bw V c 0,6 0, kN c. Veriicação e V R V S V R upr/tc405

233 VS,ace, ma 4kN (valor aboluto) 30 kn V R V,ace,ma 1443 S < 4kN V { R OK 30kN. Valor e a l para o trecho I V ( ) S,ma 0,5 a l VS,ma Vc V S, ma 56kN (valor aboluto) V c 60kN V,ma V a { c 13 < l S 56 kn 60 kn a l 50cm e. Valor e a l para o trecho II V S, ma 4kN (valor aboluto) V c 60kN 50 4 a l 34cm ( 4 60) 0,5 0,5 50 5cm a l 50cm a l 34cm. Diagrama elocao G k 00 kn 4 m I 1 m II 50 cm 34 cm 6.11 Simbologia Epecíica Símbolo bae a itância e carga concentraa ao eio o pilar mai próimo a l b w itância correponente a ecalagem o iagrama e orça no banzo tracionao largura a alma a viga largura méia a alma, meia ao longo a altura útil a eção altura útil a viga upr/tc405

234 c ck ct ctk,in ct,m y yk yw ywk g k h n q k z A A w G k M M R reitência e cálculo à compreão o concreto reitência caracterítica à compreão o concreto reitência e cálculo à tração o concreto reitência caracterítica inerior à tração o concreto reitência méia à tração o concreto reitência e cálculo ao ecoamento o aço reitência caracterítica ao ecoamento o aço reitência e cálculo ao ecoamento o aço a armaura tranveral reitência caracterítica ao ecoamento o aço a armaura tranveral valor caracterítico a ação permanente altura a viga número a barra valor caracterítico a ação variável epaçamento o etribo, meio eguno o eio longituinal a viga epaçamento a armaura tranveral, meio paralelamente ao eio horizontal a viga braço e alavanca área a eção tranveral a armaura área a eção tranveral o etribo área a eção tranveral e uma barra que contitui a armaura tranveral a viga valor caracterítico a ação permanente momento letor momento letor reitente e cálculo M S,ma máimo momento letor e cálculo M 0 momento letor que anula a tenão normal e compreão na bora a eção (tracionaa por M S,Ma ) Q k valor caracterítico a ação variável R c orça reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio R cw orça atuante na iagonal e compreão a treliça e Morh, reultante a tenõe σ cw R orça reitente e cálculo atuante na armaura tracionaa R w orça atuante na armaura tranveral (iagonal tracionaa a treliça e Morh), reultante a tenõe σ w V orça cortante V c orça cortante aborvia por mecanimo complementare ao a treliça e Morh V c0 valor e V c na leão imple ou leo-tração com a linha neutra cortano a eção Moelo I V c1 valor e V c na leão imple ou leo-tração com a linha neutra cortano a eção Moelo II V R orça cortante reitente e cálculo, relativa à ruína a iagonai comprimia e concreto V R3 cortante reitente e cálculo, relativa à ruína por tração iagonal V S orça cortante olicitante e cálculo V S,eio orça cortante olicitante e cálculo correponente ao eio o pilar V S,ace orça cortante olicitante e cálculo atuante na ace interna o pilar máima orça cortante olicitante e cálculo V S,ma V w componente vertical a orça R w upr/tc405

235 α inclinação o etribo em relação ao eio longituinal a viga inclinação a armaura tranveral em relação ao eio horizontal a viga α v φ φ t θ γ c γ g γ q γ ρ w σ cw σ w σ σ I σ II τ y ψ Κ coeiciente para cálculo e V R iâmetro a barra iâmetro a barra que contitui o etribo inclinação a iura em relação ao eio horizontal a viga coeiciente e poneração a reitência o concreto coeiciente e poneração para açõe permanente ireta coeiciente e poneração para açõe variávei ireta coeiciente e poneração a reitência o aço taa geométrica e armaura tranveral tenão normal atuante na iagonal e compreão a treliça e Morh tenão normal atuante na armaura tranveral tenão normal tenão principal e tração tenão principal e compreão tenão tangencial ângulo auiliar contante Símbolo ubcrito cor corrigio eio eio ace ace in inerior ma máimo min mínimo 6.1 Eercício E. 6.1: Determinar, para a viga abaio repreentaa, o iâmetro e o epaçamento neceário para o etribo o trecho I, II e III. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo I, etribo verticai e oi ramo; h 5 cm; viga implemente apoiaa no pilare; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 0 cm e largura; carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento upr/tc405

236 Q k 80 kn g k 60 kn/m m m 1 m I II III 60 cm 0 cm 0 cm 0 cm E. 6.: Determinar, para a viga abaio repreentaa, o valore a itância a, b e c. Sabe-e que a armaura tranveral o trecho b é compota por etribo verticai e oi ramo, iâmetro 6,3 mm, epaçao e 5 cm. Dao: concreto: C5; e aço: CA-60. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo I; h 5 cm; viga implemente apoiaa no pilare; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 0 cm e largura; carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. G k 45 kn g k 50 kn/m m 6 m a b c 60 cm 0 cm 18 cm upr/tc405

237 E. 6.3: Determinar, para a viga abaio equematizaa: a. a máima carga Q k poível e atuar na viga; e b. a armaura neceária (cm /m) para o trecho I e II, unção a carga Q k einia no item anterior. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo II, θ 37, etribo verticai; h 5 cm; viga implemente apoiaa no pilare; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 0 cm e largura; carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. Q k g k 50 kn/m 1 m I 5 m II 60 cm 0 cm 0 cm E. 6.4: A etrutura inicaa na igura é uportaa por uma viga inerior e eção retangular. Para atener à eigência arquitetônica, a viga eve pouir a menor altura poível. Conierano apena o cialhamento, etermine o valor e h min (múltiplo e 5 cm) bem como a armaura tranverai (cm /m) neceária no trecho I e II. Dao: concreto: C5; e aço: CA-60. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo I, etribo verticai e oi ramo; h + 5 cm; b w 5 cm; carga permanente uniormemente itribuía em toa viga (6 m): g k 50 kn/m; carga aciental uniormemente itribuía em toa viga (6 m): q k 30 kn/m; upr/tc405

238 viga implemente apoiaa no pilare; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare (6 m); pilare uporte a viga com 0 cm e largura (itância e 10 cm o eio até a ace o apoio); carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. Ob: peo próprio a viga incluío na carga g k. E. 6.5: Determinar, para a viga abaio repreentaa, o valore e a, b e c e tal orma que no trecho b a armaura para reitir o eorço evio à orça cortante eja a mínima etabelecia pela NBR Dao: concreto: C5; e aço: CA-60. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo I, etribo verticai e oi ramo; altura útil () igual a 93% a altura total (h); viga implemente apoiaa no pilare; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 0 cm e largura (10 cm entre o eio e a ace); Ob: carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. econierar o peo próprio a viga; 1,9 m,0 m 1,9 m I II I pilar pilar viga 0 cm 0 cm upr/tc405

239 g k 50 kn/m A B m 6 m m a b c cm cm 60 eção tranveral - cm E. 6.6: Determinar, para a viga abaio inicaa, o valor máimo a carga Q k (valor caracterítico) que a mema poe uportar. Veriicar a poibiliae e ruptura ao cialhamento tanto por compreão no concreto como por tração na armaura tranveral (etribo). Dao: concreto: C5; e aço: CA-60. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo I, etribo verticai e oi ramo, iâmetro 6,3 mm, epaçao e 10 cm; h 6 cm; viga implemente apoiaa no pilare; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 0 cm e largura (10 cm entre o eio e a ace); carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. Ob: peo próprio a viga incluío na carga g k upr/tc405

240 Q k A g k 50 kn/m B 3 m 3 m 1 φ 6,3 10 cm φ t 6,3 mm 60 cm 60 0 cm 0 eção tranveral cm E. 6.7: Determinar, para a viga abaio repreentaa, o valore e, y e z e tal orma que no trecho y a armaura para reitir o eorço evio à orça cortante eja a mínima etabelecia pela ABNT NBR Dao: concreto: C0; e aço: CA-60. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); h 5 cm; moelo I, etribo verticai; viga implemente apoiaa no pilare; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 30 cm e largura; carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento upr/tc405

241 G k 10 kn g k 60 kn/m 6 m m y z 70 cm 30 cm 30 cm 0 cm E. 6.8: Uma viga e eção retangular com 60 cm e bae e 40 cm e altura, etá armaa tranveralmente com etribo verticai e quatro ramo, iâmetro φ 6,3 mm. Para eta viga, pee-e: a. a área e armaura tranveral por uniae e comprimento (cm /m) para epaçamento e etribo igual a 10 cm; e b. o máimo eorço cortante e cálculo que a eção reite para ρ w igual a 0,%. Dao: concreto: C5; e aço: CA-60. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo II, θ 40 ; h 5 cm; carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. 40 cm 60 cm E. 6.9: Determinar, para a viga abaio repreentaa: a. a altura mínima neceária; e b. o iâmetro e o epaçamento o etribo verticai neceário para o trecho I e II, conieraa a altura a viga einia no item a. Dao: concreto: C5; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); upr/tc405

242 etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo I, etribo e oi ramo; h múltiplo e 5 cm; h 5 cm; viga implemente apoiaa no pilare; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 30 cm e largura; carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. G k 300 kn g k 50 kn/m 1 m I 4 m II h 30 cm 0 cm E. 6.10: Determinar, para a viga abaio repreentaa, o iâmetro e o epaçamento o etribo verticai neceário para o trecho I, II e III. A viga everá ter a menor altura poível (múltiplo e 5 cm) permitia pela ABNT NBR Dao: concreto: C0; e aço: CA-60. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo II, θ 30, etribo e oi ramo; b w 0 cm; h 5 cm; viga implemente apoiaa no pilare; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 40 cm e largura; Ob: carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. econierar o peo próprio a viga upr/tc405

243 I II III G k1 75 kn G k 350 kn m 4 m 1 m E. 6.11: Coniere que, para a etrutura inicaa abaio, a viga V1 e V, e eçõe retangulare 15 cm 60 cm, poem er calculaa, caa uma ela, e uma orma impliicaa, como e oem iolaa e bi-apoiaa. Conierano apena o eorço e cialhamento atuante na etrutura, pee-e: a. entre a ua viga (V1 e V), qual é a mai crítica em termo a reitência o concreto; b. a armaura vertical (cm /m) neceária para a viga V1, na região o apoio correponente ao pilar P1 (trecho e 1 m compreenio entre o pilar P1 e a projeção vertical o pilar P3); e c. a armaura vertical (cm /m) neceária para a viga V, na região compreenia entre o pilare P1 e P3. Dao: concreto: C0; e aço: CA-60. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo I; h 5 cm; viga implemente apoiaa no pilare; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare com 0 cm e largura; Ob: carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. econierar o peo próprio a viga e pilare upr/tc405

244 g k 50 kn/m V P1 V P P3 P4 E. 6.1: Determinar, para a viga abaio repreentaa, o iâmetro e o epaçamento o etribo verticai neceário para o trecho I, II e III. Dao: concreto: C0; e aço: CA-60. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo II, θ 30, etribo e oi ramo; h 7 cm; viga implemente apoiaa no pilare; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 30 cm e largura; Ob: imenõe em cm carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. econierar o peo próprio a viga upr/tc405

245 g k 50 kn/m G k 500 kn A B m 7 m 1 m m 6 m m I II III cm cm 60 eção tranveral - cm E. 6.13: Determinar, para a etrutura abaio inicaa, o máimo valor que a carga permanente uniormemente itribuía g k poe aumir, e tal orma que a viga, e eção retangular vazaa, não atinja o etao limite último relativo à orça cortante. A viga terá etribo verticai e quatro ramo contituío por barra e 10 mm epaçaa e 1 cm. Dao: concreto: C0; e aço: CA-60. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ c 1,4 e γ 1,15); h 6 cm; carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. Ob: peo próprio a viga incluío na carga g k ; e veriicaçõe para o moelo I e para o moelo II, θ 30. g k 5 m ace o pilar imenõe em cm upr/tc405

246 E. 6.14: Para a viga abaio repreentaa, pee-e: a. a menor altura poível (múltiplo e 5 cm) que a mema eva ter, e tal moo que o etao limite último por ruptura o concreto não eja alcançao; e b. a armaura e cialhamento (cm /m) neceária para o trecho I, calculaa em unção a altura einia no item a. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo I, etribo verticai; b w 15 cm; b 60 cm; h 1 cm; h 5 cm; viga implemente apoiaa no pilare; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 30 cm e largura; carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. Ob: peo próprio a viga incluío na carga g k. A A AA G k 48 kn 30 g k 0 kn/m 10 trecho I 680 imenõe em cm E. 6.15: Determinar o máimo carregamento g k que a viga abaio inicaa poe uportar. No trecho laterai AB e CD o etribo ão epaçao a caa 10 cm, enquanto que no trecho central BC o epaçamento é e 5 cm. Em too o trecho a viga o etribo ão verticai e oi ramo, iâmetro 8 mm upr/tc405

247 Dao: concreto: C5; e aço: CA-60. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo I; h 5 cm; viga implemente apoiaa no pilare; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 0 cm e largura; carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. Ob: econierar o peo próprio a viga. G k 70 kn G k 70 kn eção tranveral cm A g k B C m m m D 1 φ 8 10 cm 1 φ 8 5 cm 1 φ 8 10 cm E. 6.16: Determinar a menor altura poível (múltiplo e 5 cm) para a viga abaio repreentaa. Com eta altura einia e conierano que no trecho central (trecho III) a armaura e cialhamento erá contituía por 1 φ 8 5 cm (etribo verticai e ramo), eterminar: a. a itância correponente ao trecho II, III e IV; e b. o epaçamento neceário para etribo verticai e ramo o trecho V, mantio o iâmetro e 8 mm. Dao: concreto: C0; e aço: CA-60. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo II, θ 37 ; toa a carga (valore caracterítico) atuano imultaneamente; viga implemente apoiaa no pilare; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 40 cm e largura (eio A e B); carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e upr/tc405

248 Ob: toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. econierar o peo próprio a viga kn 100 kn 100 kn h + 5 cm 0 kn/m 1 eção tranveral cm,0 m,5 m,5 m I A II III IV B V 1,0 m E. 6.17: Sobre a viga AB, abaio repreentaa, corre um carrinho cujo peo total correpone a 400 kn. Deconierano o peo próprio eta viga e abeno-e que o carrinho corre a partir a poição 1 (poição limite), pee-e: a. a menor altura (h) poível para a viga (aotar valor múltiplo e 5 cm); e b. a armaura vertical (cm /m) neceária para reitir ao eorço e cialhamento na região próima ao apoio A. Dao: concreto: C0; e aço: CA-60. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo I, etribo verticai; h 5 cm; viga implemente apoiaa em A e B; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 40 cm e largura (eio A e B); Ob: carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. para a einição a armaura e cialhamento próima ao apoio A, veriicar apena a poiçõe 1 e. Inicar, ao inal o cálculo, qual a poição o carrinho que einiu a armaura e cialhamento upr/tc405

249 carrinho 400 kn viga A 1,0 m B h 7,6 m 8,0 m 0 cm eção tranveral 0,7 m poição 1 (limite o carrinho) poição eio o pilar (apoio a viga) 1, m E. 6.18: Determinar a armaura e cialhamento (cm /m) o trecho I (a ireita o apoio o balanço) a viga abaio repreentaa. Dao: concreto: C5; e aço: CA-60. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo I, etribo verticai; h 100 cm; 94 cm; b w 5 cm; toa a carga (valore caracterítico) atuano imultaneamente; viga implemente apoiaa no pilare; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 40 cm e largura; Ob: carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. obrigatória a veriicação a reitência o concreto ao eorço e cialhamento upr/tc405

250 I II III 100 kn 500 kn 500 kn 10 kn/m,0 m 1,5 m 7,0 m 1,5 m E. 6.19: Determinar o máimo valor a carga G k (valor caracterítico) que a viga abaio repreentaa poe uportar. No trecho I o etribo ão e 8 mm epaçao e 30 cm, ao pao que no trecho II o etribo, e memo iâmetro, etão poicionao a caa 10 cm. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo I, etribo verticai e ramo; h 60 cm; 55 cm; b w 0 cm; toa a carga (valore caracterítico) atuano imultaneamente; viga implemente apoiaa no pilare; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 0 cm e largura; Ob: carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. econierar o peo próprio a viga upr/tc405

251 G k G k,0 m,0 m,0 m,0 m 0,315 G k 1,375 G k 0,315 G k E. 6.0: A viga a igura abaio repreentaa eve tranerir a carga o pilar que nace na ponta o balanço para a unaçõe (apoio A e B). Neta coniçõe, pee-e: a. a menor altura h poível para a viga (utilizar valor múltiplo e 5 cm); b. o iâmetro e o epaçamento neceário para o etribo o trecho I e o trecho II, para a altura etabelecia no item a. Dao: concreto: C5; e aço: CA-60. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo I, etribo verticai e ramo; h 6 cm; viga implemente apoiaa no pilare; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 0 cm e largura; I II III carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. Ob: peo próprio a viga incluío na carga g k. G k 400 kn g k 0 kn/m 4 m I 1 m II h 30 cm 0 cm 0 cm upr/tc405

252 E. 6.1: Para a viga abaio repreentaa, pee-e: a. o menor valor poível (múltiplo e 5 cm) para a bae a viga; b. a einição o trecho I, II e III (valore e, y e z), e tal orma que o trecho II tenha a menor taa e armaura tranveral poível, conierano o b w etabelecio no item a; e c. o epaçamento o etribo no trecho I, conierano o b w etabelecio no item a. Dao: concreto: C0; e aço: CA-60. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo I, etribo verticai e ramo, iâmetro 10 mm; h 100 cm; h 6 cm; viga implemente apoiaa em A e B; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 30 cm e largura (eio A e B); carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. Ob: peo próprio a viga incluío na carga g k. G 1k 100 kn G k 00 kn G 1k 100 kn A g k 80 kn/m B 1 m 4 m 4 m 1 m trecho I () trecho II (y) trecho III (z) 100 cm 30 cm E. 6.: Deinir, para a viga abaio repreentaa, o máimo carregamento permanente g k (valor caracterítico) poível. No trecho I o etribo ão e 8 mm epaçao e 10 cm, ao pao que no trecho II o etribo, e memo iâmetro, etão poicionao a caa 30 cm. Dao: concreto: C0; e aço: CA upr/tc405

253 Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo II, θ 30, etribo verticai e ramo; h - 6 cm; viga implemente apoiaa em A e B; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 0 cm e largura (eio A e B); carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. Ob: peo próprio a viga incluío na carga g k. 3g k g k 1 40 A B 48 0 I II I 10 3 m 3 m 3 m 30 eção tranveral cm 0 cm E. 6.3: A viga ABC inicaa na igura abaio tem altura contante por trecho. No trecho AB, a altura é e 60 cm, enquanto que no trecho BC a altura é e 40 cm. Para eta viga, pee-e: a. o máimo valor a carga concentraa G k (valor caracterítico) que a viga poe uportar; e b. a armaura tranveral (cm /m) neceária no trecho AB. Dao: concreto: C5; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo I, etribo verticai e ramo; b w 0 cm; h 5 cm; viga implemente apoiaa em A e C; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 0 cm e largura (eio A e C); carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento upr/tc405

254 Ob: econierar o peo próprio a viga. 1,0 m G k 60 cm g k 60 kn/m 40 cm A B C 0 cm,3 m,3 m 0 cm E. 6.4: Determinar o epaçamento a armaura e cialhamento o trecho II (equera o apoio B) a viga abaio inicaa. Dao: concreto: C5; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo I, etribo verticai e ramo, iâmetro 10 mm; h 6 cm; viga implemente apoiaa em A e B; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 40 cm e largura (eio A e B); carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. Ob: peo próprio a viga incluío na carga g k G k 430 kn 85 g k 30 kn/m 5 eção tranveral cm A 8 m II B m m E. 6.5: Determinar, para a viga abaio repreentaa, qual o máimo valor que a carga aciental q k (valor caracterítico) poe aumir. No trecho I o etribo ão e 8 mm epaçao e 10 cm, ao pao que no trecho II o etribo, e memo iâmetro, etão poicionao a caa 5 cm. Dao: concreto: C0; e aço: CA upr/tc405

255 Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo I, etribo verticai e ramo; h 6 cm; viga implemente apoiaa em A e B; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 0 cm e largura (eio A e B); carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. Ob: peo próprio a viga incluío na carga g k. G k 100 kn q k 40 1 A g k 15 kn/m B 48 0 I II 10 1,4 m 5,6 m 30 eção tranveral cm 0 cm E. 6.6: Determinar, para a viga abaio repreentaa, o iâmetro e o epaçamento neceário para a armaura e cialhamento. Conierar o trecho em balanço mai trê trecho iguai para o vão central. A reaçõe (carga permanente) a laje L1 e a viga V1 e V correponem a (valore caracterítico): laje L1: kn/m; viga V1: 10 kn; e viga V: 55kN. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo I, etribo verticai e ramo; h 5 cm; viga implemente apoiaa em A e B; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 0 cm e largura (eio A e B); upr/tc405

256 toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. Ob: avaliar o peo próprio a viga e conierar no carregamento; omente a reação a laje conite em carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio). V1 L1 V A B imenõe em cm 0 0 E. 6.7: Determinar o máimo valor a carga Q k que a viga abaio inicaa poe uportar. No trecho próimo ao apoio o etribo ão epaçao e 10 cm, enquanto que no trecho central o epaçamento é e 5 cm. Em too o trecho a viga o etribo ão verticai e quatro ramo, iâmetro 8 mm. Dao: concreto: C5; e aço: CA-60. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo I; h 5 cm; viga implemente apoiaa em pilare; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 0 cm e largura (10 cm entre o eio e a ace); Ob: carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. a carga itribuía correpone ao peo próprio a viga (peo epecíico igual a 5 kn/m 3 ) upr/tc405

257 Q k g k peo próprio A m m m B 1 φ 8 10 cm 1 φ 8 5 cm φ 8 10 cm E. 6.8: Determinara, para a viga abaio repreentaa, o máimo valor o vão l. Dao: concreto: C5; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo I; 90 cm viga implemente apoiaa em A e B; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 30 cm e largura (eio A e B); carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. Ob: econierar o peo próprio a viga eção tranveral - cm upr/tc405

258 G k 500 kn G k 500 kn 90 A g k 50 kn/m B m l - m 1 m l 60 eção tranveral cm 100 cm 30 cm E. 6.9: Determinara, para a viga abaio repreentaa: a. o menor valor poível para o ângulo θ (múltiplo e 5º), e tal orma que a viga poa reitir o eorço evio à orça cortante; e b. a armaura neceária (cm /m) no trecho I, II e III, conierano o valor e θ etabelecio no item a. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo II, etribo verticai e ramo; altura útil () igual a 90% a altura total (h); viga implemente apoiaa no pilare; vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 0 cm e largura (eio A e B); Ob: carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. econierar o peo próprio a viga upr/tc405

259 A g k 85 kn/m B 80 m 6 m m 3,5 m 3 m 3,5 m I II III 15 eção tranveral cm 80 cm 0 cm E. 6.30: A viga ABCD a etrutura abaio repreentaa receberá a carga e n pavimento. Caa pavimento tranmite uma carga P,i 400 kn (valor e cálculo) a caa uma a coluna verticai. O carregamento total que chega ao ponto B e C a viga é a oma a carga e too o pavimento. Pee-e: a. o número máimo e pavimento (n) que a viga ABCD é capaz e uportar; e b. a armaura tranveral (cm /m) no trecho AB a reeria viga. Dao: concreto: C30; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe tangenciai (orça cortante); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); moelo I, etribo verticai; altura útil () igual a altura total (h) meno 10 cm; viga implemente apoiaa no pilare (apoio A e D); vão e cálculo a viga igual à itância entre o eio o pilare; pilare uporte a viga com 40 cm e largura; carga aplicaa na ace uperior a viga (ace opota a a reação e apoio); e toa a recomenaçõe a ABNT NBR-6118, incluive aquela reerente à reução no cálculo a armaura e cialhamento. Ob: econierar o peo próprio a viga; e P,i (valor e cálculo) leva em conieração o coeiciente e egurança relativo à combinaçõe e açõe (carga permanente e carga aciental) upr/tc405

260 n Viga - ABCD P,n n-1 3 A B P,total P,total C D 10 cm 10 cm 100 cm P,3 P, P,1 A B C 1 80 cm 500 cm 180 cm 40 cm P,total P,i D 40 cm 40 cm eção tranveral ESQUEMA ESTRUTURAL upr/tc405

261 7.1 Tipo e aerência 7 7ADERÊNCIA ENTRE O CONCRETO E O AÇO A aerência entre o concreto e o aço poe er obtia: por aeão (Figura 7.1a); por atrito (Figura 7.1b); e mecanicamente (Figura 7.1c) concreto aço a) b) c) Figura Tipo e aerência A aerência mecânica, coneguia atravé e moa ou aliência, é a mai eiciente e toa. A caracterização a uperície e aerência a barra e aço etinao a armaura para concreto armao é eita pelo coeiciente e conormação upericial η, atravé enaio etabelecio na ABNT NBR O valore mínimo para ete coeiciente, apreentao na ABNT NBR 7480 ão etabelecio em unção a categoria o aço. Para a ABNT NBR 6118, a conormação upericial é meia pelo coeiciente η 1. O valore para ete coeiciente ão etabelecio em unção o tipo e uperície lateral a barra. A relaçõe entre o coeiciente η e η 1, apreentaa pela ABNT NBR 6118, item 8.3., ão motraa na Tabela Superície η 1 η Lia (CA-5) 1,00 1,0 Entalhaa (CA-60) 1,40 1,5 Nervuraa (CA-50),5 1,5 Tabela Relação entre η e η 1 7. Ancoragem e barra tracionaa Seja a Figura 7. one é motraa a tranerência a orça normal R atuante na barra e aço para o bloco e concreto. Eta tranerência e orça é poível evio ao eenvolvimento e tenõe tangenciai e aerência τ b, entre a armaura e o concreto. 1 A ABNT NBR 6118, item 8.3., eine o coeiciente e conormação upericial a ABNT NBR 7480 como eno η b. A barra nervuraa ão, também, reeria como e alta aerência upr/tc405

262 τ b, φ R A πφ /4 u πφ tenõe tangenciai e aerência tenõe normai na barra τ b, σ R / A σ, σ, + σ, φ Figura 7. - Tranerência e orça normal Fazeno o equilíbrio e orça atuante no eguimento e barra, tem-e: A σ + u τ A ( σ + σ ) u τ, b, A b, σ πφ π φ τb, 4 φ σ, τ b, 4 σ, 4 φ τ b,, σ,,, Equação 7.1 A olução a Equação 7.1 ó é poível e or conhecia a variação e τ b, ao longo e. A olução impliicaa (uaa em projeto com a introução e coeiciente e egurança aequao) conite em aotar para τ b, um valor contante, amitino a tenõe e aerência uniormemente itribuía ao longo o trecho a barra ituao entro o bloco e concreto (Figura 7.3). Neta coniçõe tem-e: σ, 4 τb,uni φ σ, 4 τb, φ 4 τ φ uni σ, b, uni 4 σ, τb,uni Equação 7. φ upr/tc405

263 τ b,uni A Equação 7. correpone a uma reta e a Figura 7.3 motra o equema impliicao e tranerência e orça atuante na barra para o τ b,uni φ bloco e concreto (τ b,uni R é contante e σ, varia R linearmente). Em e tratano e valore e projeto (valore e cálculo), o valor a l b,nec tenão normal σ eve tenõe tangenciai e aerência icar limita a y e a orça R aume o valor e cálculo R. tenõe normai na barra σ, (4/φ) (τ b,uni ) σ (R / A ) y Figura Comprimento e ancoragem - valore e projeto Do epoto na Figura 7.3, torna-e poível eterminar o comprimento e ancoragem neceário l b,nec para tornar nula, no inal a barra, a tenão normal nela atuante, ou eja, o comprimento e ancoragem neceário para que a orça atuante na barra poa er traneria para o concreto. Do iagrama e tenõe normai motrao na Figura 7.3 poe-e etabelecer: 0 σ, 0 R lb,nec σ, σ A Introuzino o valore e l b,nec e σ na Equação 7., tem-e: 4 σ τb,uni l b,nec φ φ σ l b,nec Equação τb,uni 7.3 Inluência a poição a barra A qualiae a aerência varia em unção a poição a barra. Barra horizontai ituaa na parte uperior e uma viga ou e uma laje têm qualiae e aerência inerior àquela colocaa na parte inerior. Devio à egregação o concreto reco, ocorre um acúmulo e água ob a barra horizontai uperiore, conorme motrao na Figura 7.4. Poteriormente, eno eta água aborvia pelo concreto, vazio erão ormao na parte inerior a barra uperiore iminuino, coneqüentemente, a qualiae a aerência. A eimentação o cimento que ocorre ante o início a pega e a euação o eceo e água e amaamento armaura uperior água acumulaa ob a barra também contribuem para a pior qualiae e aerência o concreto ituao na parte uperior e uma viga ou laje (Figura 7.4). concreto água e euação Figura Qualiae a aerência - armaura horizontal uperior upr/tc405

264 A ABNT NBR 6118, item 9.3.1, coniera o trecho e barra em boa ituação e aerência quano etiverem em uma a poiçõe eguinte: a. com inclinação maior que 45 obre a horizontal; b. horizontai ou com inclinação menor que 45 obre a horizontal, ee que (Figura 7.5): para elemento etruturai com h < 60 cm, localizao no máimo 30 cm acima a ace inerior o elemento ou a junta e concretagem mai próima; para elemento etruturai com h 60 cm, localizao no mínimo 30 cm abaio a ace uperior o elemento ou a junta e concretagem mai próima. O trecho a barra em outra poiçõe e quano o uo e orma elizante evem er conierao em má ituação quanto à aerência. h < 60 cm má aerência boa aerência 30 cm 30 cm má aerência h 60 cm boa aerência Figura Situaçõe e boa e má aerência para armaura horizontai Em termo gerai poe-e izer que a armaura negativa (armaura horizontai uperiore) e viga e laje com altura uperior a 30 cm então em ituaçõe e má aerência. A armaura poitiva e laje e viga (armaura horizontai ineriore), bem como a armaura e pilare (armaura verticai), e moo geral, etão em ituação e boa aerência. má aerência boa aerência viga ou laje com h > 30 cm (h 30 cm ó boa aerência) h > 30 cm boa aerência pilare Figura Armaura em ituaçõe e boa e má aerência 7.4 Reitência e aerência e cálculo A ABNT NBR 6118, item , etabelece que a reitência e aerência e cálculo entre armaura e concreto na ancoragem e armaura paiva eve er obtia pela eguinte epreão: eno: b ct η η η Equação γ c ctk,in 3 ct upr/tc405

265 1,00 barra lia η1 1,40 barra entalhaa,5 barra nervuraa ou alta aerência 1,00 ituaçõe e boa aerência η 0,70 ituaçõe e má aerência 1,00 φ 3 mm η3 0,9 φ 40 mm Na alta e enaio para a eterminação mai precia o valor a reitência à tração o concreto caracterítica, é permitio pela ABNT NBR 6118, item 8..5, o uo a eguinte epreõe: ct,m ctk,in ctk,up 0,3 3 ck 0,7 1,3 ct,m ct,m valore em MPa Equação 7.5 Seno ckj 7MPa, a epreõe a Equação 7.5 poem também er uaa para iae ierente e 8 ia. Combinano a Equação 7.4 e a Equação 7.5, tem-e: 3 3 ctk, in 0,7 ct,m 0,7 0,3 ck 0,1 ck ct b γ η ctk,in 1 c η 0,1 γ η 3 ct 3 ck c η 1 η 0,1 η3 γ 3 ck c 0,1η1 η η3 3 b ck ck em MPa Equação 7.6 γ c O valore e γ c etão motrao na Tabela [3.7] e para o ELU valem: 1,40 combinaçõe normai γ c 1,0 combinaçõe epeciai ou e contrução 1,0 combinaçõe ecepcionai Eemplo 7.1: Determinar o valor e b para a região uperior e uma viga e concreto armao que terá 70 cm a altura. Conierar: concreto: C5; barra nervuraa: φ 40 mm; e combinação normal e carregamento - ELU. Solução: O valor e b é eterminao pela Equação 7.6. Para η 1 everá er uao o valor,5 que correpone a barra nervuraa; para η everá er uao o valor 0,7 que correpone a ituação e má aerência, região uperior e viga e 70 cm (ver Figura 7.6); para η 3 everá er uao o valor 0,9 que correpone a barra e iâmetro 40 mm; e para γ c everá er uao o valor 1,4 que correpone a combinação e normal e carregamento - ELU. a. Dao ck 5 MPa C5 η 1,5 η 0,70 barra nervuraa ituação e má aerência upr/tc405

266 η 3 0,9 φ 40 mm γ c 1,40 ELU - combinação normal b. b 0,1η1 η η3 3 b ck ck em MPa γ c 0,1,5 0,7 0,9 3 b 5 1,86 MPa 1,4 b 1,86 MPa O valore e b para ituaçõe e boa aerência e barra com iâmetro igual ou menor que 3 mm etão motrao na Tabela 7.. b φ 3 mm (boa aerência) γ c 1,40 concreto barra lia entalhaa nervuraa C0 1,11 MPa 1,55 MPa,49 MPa C5 1,8 MPa 1,80 MPa,89 MPa C30 1,45 MPa,03 MPa 3,6 MPa C35 1,60 MPa,5 MPa 3,61 MPa C40 1,75 MPa,46 MPa 3,95 MPa C45 1,90 MPa,66 MPa 4,7 MPa C50,04 MPa,85 MPa 4,58 MPa Tabela 7. - Valore e b Comprimento e ancoragem - valore e cálculo O valore e cálculo para comprimento e ancoragem e barra, a erem uao em projeto e etrutura e concreto armao, ão obtio a Equação 7.3 ubtituino τ b,uni por b, e tal orma que: φ σ l b,nec Equação b No cao particular em que a tenão normal σ correpone ao valor limite e cálculo y, tem-e: φ y l b 4 Equação 7.8 b A ABNT NBR 6118, item , eine o valor e l b a Equação 7.8 como eno o comprimento e ancoragem báico, neceário para ancorar a orça limite A y, atuante na barra, amitino, ao longo ee comprimento, reitência e aerência uniorme e igual a b. Deve er obervao que o valor o comprimento e ancoragem neceário (l b,nec a Equação 7.7) erá empre menor ou igual ao comprimento e ancoragem báico (l b a Equação 7.8) poi σ y. ABNT NBR 6118: Comprimento e ancoragem báico Deine-e comprimento e ancoragem báico como o comprimento reto e uma barra e armaura paiva neceário para ancorar a orça limite A y nea barra, amitino, ao longo ee comprimento, reitência e aerência uniorme e igual a b, conorme item Para ituação e má aerência, multiplicar o valore a tabela por 0, upr/tc405

267 O comprimento e ancoragem báico é ao por: φ y l b 4 b Comprimento e ancoragem neceário O comprimento e ancoragem neceário poe er calculao por: A,cal l b,nec α l b l b,min A,e eno: α 1,0 para barra em gancho; α 0,7 para barra tracionaa com gancho, com cobrimento no plano normal ao o gancho 3φ; α 0,7 quano houver barra tranverai olaa conorme 9.4..; α 0,5 quano houver barra tranverai olaa conorme e gancho, com cobrimento no plano normal ao o gancho 3φ; l b calculao conorme ; l b,min o maior valor entre 0,3l b, 10φ e 100 mm Permite-e, em cao epeciai, conierar outro atore reutore o comprimento e ancoragem neceário. Deve er obervao que a apreentação o comprimento e ancoragem neceário apreentao pelo item a ABNT NBR 6118, aparentemente, iere o etabelecio pela Equação 7.7. No entanto, o oi moo e apreentação ão equivalente, como emontrao a eguir. A Equação 7.7 ecorre a Figura 7.3 one é motrao que: R R σ A A,e one A repreenta a área a eção tranveral eetiva (A,e ) a barra tracionaa pela orça R. Deta orma, a Equação 7.7 poe er ecrita φ σ φ 1 R l b,nec 4 b 4 b A,e Como uma orça poe er empre repreentaa pelo prouto e uma área por uma tenão, para a orça R vale: R A,cal y one A,cal repreenta a área a er calculaa (A,cal A,e ), para que a tenão σ atuante na barra tracionaa pela orça R reulte igual a y. Deta orma, tem-e: φ 1 R φ 1 A,cal y l b,nec 4 b A,e 4 b A,e ou aina: φ y A,cal A,cal l b,nec l b Equação A A b,e,e A Equação 7.9 é, portanto, a mema apreentaa pela ABNT NBR 6118, item , a meno o ator α. Deta orma, o valor e l b,nec poe er calculao por: 0,3 lb A,cal l b,nec α lb ma 10φ A Equação 7.10,e 10cm A combinação a Equação 7.7 com a Equação 7.9, reulta em: φ σ φ y A,cal l b,nec 4 b 4 b A,e e tal orma que, a tenão atuante na barra tracionaa ica einia por: upr/tc405

268 A,cal σ y Equação 7.11 A,e Eemplo 7.: Determinar o valor o comprimento e ancoragem báico a barra e armaura poitiva (armaura inerior) a er uao em viga e concreto armao a erem contruía com concreto clae C0 e aço CA-50. Conierar apena barra nervuraa com iâmetro ineriore a 40 mm e combinaçõe normai e carregamento - ELU. Solução: O valor e l b é eterminao pela Equação 7.8, com b einio pela Equação 7.6. Para η 1 everá er uao o valor,5 que correpone a barra nervuraa; para η everá er uao o valor 1,0 que correpone a ituação e boa aerência, região inerior e viga (ver Figura 7.6); para η 3 everá er uao o valor 1,0 que correpone a barra e iâmetro menor que 40 mm; para γ c everá er uao o valor 1,4 que correpone a combinaçõe normal e carregamento - ELU; e para γ everá er uao o valor 1,15 que correpone a combinaçõe normal e carregamento - ELU. a. Dao ck 0 MPa C0 yk 500 MPa η 1,5 η 1,00 CA50 barra nervuraa η 3 1,00 φ < 40 mm γ c 1,40 γ 1,15 b. b c. l b γ ituação e boa aerência ELU - combinação normal ELU - combinação normal 500 1,15 yk y l b 435 MPa 0,1η1 η η3 3 ck ck em MPa γ c 0,1,5 1,0 1,0 3 0,49 MPa 1,4 b b l b l b φ 4 y b φ φ 4,49 44 φ O valore e l b para CA-50, ituaçõe e boa aerência e barra com iâmetro igual ou menor que 3 mm etão motrao na Tabela upr/tc405

269 l b γ c 1,40 γ 1,15 φ 3 mm (boa aerência) concreto Barra Lia entalhaa nervuraa C0 98φ 70φ 44φ C5 85φ 61φ 38φ C30 75φ 54φ 33φ C35 68φ 48φ 30φ C40 6φ 44φ 8φ C45 57φ 41φ 5φ C50 53φ 38φ 4φ Tabela Comprimento e ancoragem báico - CA-50 1 CA Reução o comprimento e ancoragem Gancho a armaura e tração Uma a maneira permitia pela ABNT NBR 6118 para a reução e comprimento e ancoragem é atravé o uo φ 4φ 8φ e gancho em armaura tracionaa (Figura 7.7). D φ D φ D φ a) b) c) Figura 7.7 Tipo e gancho De acoro com o item a ABNT NBR 6118, o gancho poem er: a. emicirculare, com ponta reta e comprimento não inerior a φ (Figura 7.7.a) ; b. em ângulo e 45 (interno), com ponta reta e comprimento não inerior a 4φ (Figura 7.7.b) ; e c. em ângulo reto, com ponta reta e comprimento não inerior a 8φ (Figura 7.7.c). Para a barra lia, o gancho evem er emicirculare. O iâmetro interno a curvatura (D) o gancho a armaura longituinai e tração eve er pelo meno igual ao etabelecio na Tabela 7.4. Bitola (mm) Tipo e Aço CA-5 CA-50 CA-60 <0 4φ 5φ 6φ 0 5φ 8φ - Tabela 7.4 Diâmetro o pino e obramento É importante obervar que o uo e gancho em barra tracionaa é batante retrito. A neceária cobertura e concreto (3φ), no plano normal ao o gancho, praticamente, ó ocorre na etremiae e viga que terminam em viga, como motrao na Figura 7.8. O gancho a armaura a viga V, tem, entro a viga V1, cobertura lateral e concreto maior que 3φ. Para outra barra a viga V1, poicionaa ora o encontro a viga, torna-e mai iícil a obtenção o cobrimento eigio pela ABNT NBR Para ituação e má aerência, iviir o valore a tabela por 0, upr/tc405

270 V V 3φ V1 V1 Figura 7.8 Gancho em etremiae e viga 7.6. Barra tranverai olaa Outra maneira permitia pela ABNT NBR 6118 para a reução e comprimento e φ φ t 5φ φ 5φ ancoragem é atravé o uo e barra tranverai olaa (Figura 7.9). l b,nec l b,nec φ φ 5φ 5φ l b,nec l b,nec Figura 7.9 Ancoragem com barra tranverai olaa De acoro com o item a ABNT NBR 6118, a reução e comprimento e ancoragem é atravé o uo e barra tranverai olaa poerá er eita ee que: a. o iâmetro a barra olaa eja maior ou igual a 60% o iâmetro a barra ancoraa (φ t 0,6 φ); b. a itância a barra tranveral ao ponto e início a ancoragem eja maior ou igual 5 veze o iâmetro a barra ancoraa ( 5 φ); e c. a reitência ao cialhamento a ola eja maior ou igual a 30% a reitência a barra ancoraa (0,3 A y ). 7.7 Diagrama R Conorme motraa na Figura 7.3, a armaura neceitam, em ua parte inal, e um eterminao comprimento para e iarem (ancorarem) entro a maa e concreto. Deta orma o iagrama e tenõe normai poível e er eenvolvio em uma barra e aço etinaa a armaura para concreto armao é o motrao na Figura upr/tc405

271 A l b,nec início a ancoragem l b σ y Figura Diagrama e tenõe normai em barra e aço para concreto armao Deve er obervao na Figura 7.10 que a tenão normal na barra σ ó poe atingir o valor máimo y e houver epaço uiciente para ancoragem com o eenvolvimento o comprimento e ancoragem báico l b (lao ireito o iagrama). Quano o epaço neceário para a ancoragem a barra é retrito (lao equero o iagrama), one omente o comprimento e ancoragem neceário l b,nec poe er eenvolvio, a tenão normal σ é menor que y. Se a orenaa motraa no iagrama e tenõe a Figura 7.10 orem multiplica por A (área a eção tranveral a barra) chega-e ao iagrama e orça reitente R 1, como motrao na Figura 7.11 (trocou-e tenão por orça). A l b,nec início a ancoragem l b R A σ R A y Figura Diagrama R (eorço reitente e cálculo) 1 A orça reitente R é a mema orça motraa na Figura [5.14] e na Figura upr/tc405

272 Eemplo 7.3: Determinar o iagrama e orça reitente e cálculo R para a armaura negativa (tracionaa) a viga abaio inicaa. Conierar: concreto: C0; barra nervuraa: CA-50; combinação normal e carregamento - ELU; e σ y (máimo aproveitamento a barra). N1 φ 1,5 80 cm N φ cm N3 φ cm - ª cam A N1 N A Corte AA N3 Solução: O valor e l b everá er eterminao para caa barra uano a Equação 7.8, com b einio pela Equação 7.6. Para η 1 everá er uao o valor,5 que correpone a barra nervuraa; para η everá er uao o valor 0,7 que correpone a ituação e má aerência, região uperior e viga (ver Figura 7.6); para η 3 everá er uao o valor 1,0 que correpone a barra e iâmetro menor que 40 mm; para γ c everá er uao o valor 1,4 que correpone a combinaçõe normal e carregamento - ELU; e para γ everá er uao o valor 1,15 que correpone a combinaçõe normal e carregamento - ELU. O iagrama iniviuai R (N1, N e N3) ão obtio e móulo análogo ao apreentao na Figura 7.11 uano omente valore l b na horizontal e A y na vertical. Por e tratar e armaura negativa, o valore a orça everão er poicionao "para cima", contrário ao apreentao na Figura 7.11 que correpone a armaura poitiva ("para baio"). O iagrama inal R correpone à omatória o iagrama iniviuai. a. Dao - uniormização e uniae (kn e cm) 0 MPa kn/cm C0 ck yk 500 MPa 50,0 kn/cm η 1,5 η 0,70 barra nervuraa η 3 1,00 φ < 40 mm γ c 1,40 γ 1,15 CA50 ituação e má aerência ELU - combinação normal ELU - combinação normal yk 500 y 435 MPa γ 1,15 43,5 kn/cm b. b 0,1η1 η η3 3 b ck ck em MPa γ c 0,1,5 0,7 1,0 3 b 0 1,74 MPa 0,174 kn/cm 1, upr/tc405

273 c. l b l b φ 4 y b φ 43,5 63 φ 4 0,174 φ 1,5 mm l b 63 1,5 787,5mm 80cm φ 16 mm l mm 100 cm l b b. Diagrama iniviuai a orça reitente e cálculo.1. φ 1,5 mm, l b 80 cm πφ π 1,5 A 1,3 cm 4 4 R A 1,3 43,5 53,5 kn y 53,5 kn 80 cm.. φ 16 mm, l b 100 cm πφ π1,6 A,01cm 4 4 R A,01 43,5 87,4 kn y 87,4 kn 100 cm e. Diagrama R N1 1 53,5 53,5 kn 80 cm N 87,4 174,8 kn 100 cm N3 87,4 174,8 kn 403,1 kn 100 cm 349,6 kn 174,8 kn R 0 kn upr/tc405

274 7.8 Diagrama M R1 Seja a Figura 7.1 1, one ão motraa a olicitaçõe e reitência atuante em um h 1 z R c R c1 σ c M R M R1 ε c y 0,8 M S trecho e viga e concreto armao e eção retangular em armaura e compreão. A b w R eorço reitente e cálculo l ε olicitação e cálculo Figura Eorço e olicitaçõe em viga e concreto armao Por e tratar e eção retangular em armaura e compreão, para a Figura 7.1, ão vália a eguinte epreõe: R c R c1 M R M R1 Da Figura 7.1 também valem a eguinte epreõe: σ 0,85 c c y z e tal orma que: R c1 R R σ b R R c1 c 1 c w 0,85 σ y c b A R 1 Rc1 z M R z Portanto: 0,85 b y A σ c w 1 A y 0,85 b w w σ c y z 1 A σ z 1,7 b w c 1 A σ z 1 1,7 b w y c z 1 A σ β z 1 1,7 b w c Introuzino o valor e β z na equação e M R1, tem-e: Equação Eta Figura correpone à Figura [5.14] o Capítulo [5] upr/tc405

275 M M R1 R1 R z R ( β ) ( A σ )( β ) z z A σ β Equação 7.13 z Amitino que ε y ε 10 1, o iagrama tenão-eormação o aço (Figura [4.5]) poe-e etabelecer: σ β y z M R1 z 1 1 1,7 A b w y c Equação 7.14 A β Equação 7.15 y z A Equação 7.13 correpone ao momento letor reitente e cálculo para barra ancoraa com l b,nec (σ < y ) e a Equação 7.15 correpone ao momento letor reitente e cálculo para barra ancoraa com l b (σ y ). Obervar, também, que a Equação 7.13 e a Equação 7.15 etão contia na Equação [5.18] uaa para a eterminação e armaura longituinal e viga e eção retangular em armaura e compreão. O iagrama e momento letor reitente M R1 e uma barra, einio pela Equação 7.13 e pela Equação 7.15, é análogo ao iagrama a Figura 7.11, com orenaa A σ β z para ancoragem l b,nec (σ < y ) e orenaa A y β z para ancoragem l b (σ y ), como motrao na Figura De moo impliicao poe-e izer que o igrama e momento letor reitente M R1 é obtio o iagrama R multiplicano ua orenaa pelo braço e alavanca z (βz ). A l b,nec início a ancoragem l b M R1 R z A σ β z M R1 R z A y β z Figura Diagrama M R1 (momento reitente e cálculo) Eemplo 7.4: Determinar o iagrama e momento reitente e cálculo M R1 para a armaura poitiva (tracionaa) a viga abaio inicaa. A viga tem 0 cm e bae e 50 cm e altura útil. Conierar: concreto: C5; barra nervuraa: CA-50; combinação normal e carregamento - ELU; e σ y (máimo aproveitamento a barra). 1 Eta conição para ε correpone ao omínio e 3 a Figura [5.4]. Correpone, também, à viga ubarmaa (útei, e β obervar o limite etabelecio pela Equação [5.3]) upr/tc405

276 A B N3 N3 A 10 N1 φ cm N φ cm B AA N BB N3 φ cm Solução: O valor e l b everá er eterminao para caa barra uano a Equação 7.8, com b einio pela Equação 7.6. Para η 1 everá er uao o valor,5 que correpone a barra nervuraa; para η everá er uao o valor 1,0 que correpone a ituação e boa aerência, região inerior e viga (ver Figura 7.6); para η 3 everá er uao o valor 1,0 que correpone a barra e iâmetro menor que 40 mm; para γ c everá er uao o valor 1,4 que correpone a combinaçõe normal e carregamento - ELU; e para γ everá er uao o valor 1,15 que correpone a combinaçõe normal e carregamento - ELU. O iagrama M R1 é obtio e móulo análogo ao iagrama R o Eemplo 7.3, com o uo a Equação 7.15 para eterminação o valore o momento reitente e cálculo. Por e tratar e armaura poitiva, o valore o momento everão er poicionao "para baio", como apreentao na Figura a. Dao - uniormização e uniae (kn e cm) 5 MPa,5 kn/cm C0 ck 500 MPa yk η 1,5 η 1,00 50,0 kn/cm barra nervuraa η 3 1,00 φ < 40 mm γ c 1,40 γ 1,15 b w 0 cm 50 cm φ 16 mm 1,6 cm CA50 ituação e boa aerência ELU - combinação normal ELU - combinação normal largura a viga altura útil a viga 5 ck c 17,9 MPa γ c 1,4 yk 500 y 435 MPa γ 1,15 iâmetro a barra 1,79 kn/cm 43,5 kn/cm b. b 0,1η1 η η3 3 b ck ck em MPa γ c 0,1,5 1,0 1,0 3 b 5,89 MPa 0,89 kn/cm 1, upr/tc405

277 c. l b l b l b l b φ 4 y b φ 43,5 38 φ 4 0,89 38 φ mm 60 cm. β z.1. φ 16 mm (eção BB) πφ π1,6 A 4,0 cm A y β z 1 1,7 b w c 1 4,0 43,5 β z 1 0,943 1, , φ 16 mm (eção AA) πφ π 1,6 A 4 4 8,04 cm ,04 43,5 β z 1 0,885 1, , φ 16 mm (eção ituaa entre,1 m e 5,6 m a ace interna o pilar equero) πφ π1,6 A ,05 cm ,05 43,5 β z 1 0,856 1, ,79.4. Aoção e um único valor para β z Deve er obervao, nete eemplo, que para uma variação e armaura e 150% (e barra para 5 barra) a variação e β z oi e -9% (e 0,943 para 0,856). Com o objetivo e não perer a lineariae entre o valore e M R1 para a ivera combinaçõe e barra, é prática comum no etalhamento e viga e concreto armao aotar, inepenentemente o número e barra atuante na eção tranveral e qualquer trecho e viga, um único valor para o braço e alavanca z, ou eja aotar um único β z (z β z ). Para que a coniçõe e egurança não ejam violaa, aota-e o menor β z (menor braço e alavanca, menor letor reitente M R1 ) que jutamente correponente à eção tranveral com maior número e barra, ou eja aota-e o β z correponente à eção tranveral mai olicitaa (one atua o máimo momento letor olicitante e cálculo M S ). Deta orma, o moo impliicao e eterminar o valor e β z é atravé o uo a equação: β A z 1 A,ma 1 1,7 b w 10,05 cm,ma y c 5 φ ,05 43,5 β 1 1, ,79 β z 0,856 z 0,856 e. Diagrama M R1 para uma barra e 16 mm πφ π 1,6 A,01cm 4 4 M A β,01 43,5 0, R 1 y z 37 knm 60 cm upr/tc405

278 R 374 kncm 37 knm M 1 Eitino barra com bitola ierente, para caa uma ela everá er eenvolvio o iagrama M R1.. Diagrama M R1 N knm 60 cm N knm 60 cm N knm 60 cm 0 knm 74 knm M R1 148 knm 185 knm g. Conição e egurança M S,el M R upr/tc405

279 M R1 A viga erá egura e, em qualquer eção tranveral, or veriicaa a conição M R S S,el ( ) Além o epoto nete eemplo, outra coniçõe para etalhamento e armaura longituinal e viga evem er obervaa, como a etabelecia no item a ABNT NBR Poição relativa entre o iagrama M S,el e M R Vão e apoio intermeiário e viga Seguno a ABNT NBR 6118, item , o iagrama M R1, no ponto one a tenão normal atuante na barra é nula (ponta a barra), eve icar aatao e 10 φ (iâmetro a barra que eta eno ancoraa) o iagrama M S,el, (iagrama e momento letore olicitante, elocao) como motrao na Figura barra n iâmetro φ início a ancoragem M R1 barra n l b l b barra n inal a ancoragem barra n φ 10 φ M S a l M S,el 10 φ 10 φ barra m + barra m + 1 barra m l b 10 φ l b barra m iâmetro φ barra m + 1 iâmetro φ Figura 7.14 Poição relativa entre o iagrama M S,el e M R1 Eemplo 7.5: Detalhar a armaura poitiva a viga abaio repreentaa. A viga tem 15 cm e bae e 50 cm e altura. Dao: concreto: C0; e barra nervuraa: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai; upr/tc405

280 viga e eção retangular, em armaura e compreão e implemente tttttttapoiaa no pilare; - pilare com 0 cm e largura; etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, tttttttγ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); - a l ; armaura tranveral (etribo): 6,3 mm; cobrimento nominal: 3 cm; e imenão máima o agregao: 1,5 mm. Ob.: peo próprio a viga incluío na carga g k. g k 30 kn/m 1,5 m 5,0 m 1,5 m Ec.: 1:0,667 Solução: O valor e l b é eterminao e moo análogo ao o Eemplo 7.. A eterminação a armaura neceária para reitir ao máimo momento letor poitivo é eita e moo análogo ao o Eemplo [5.1]. O poicionamento a barra é eterminao e moo análogo ao motrao na Figura a. Diagrama M S 47,5 knm ,00 knm b. Dao ck 0 MPa γ c 1,40 C0 ELU - combinação normal 0 ck c 14,3MPa γ c 1,4 η 1,5 η 1,00 barra nervuraa η 3 1,00 φ < 40 mm b 0,1η1 η γ c 1,43 kn/cm ituação e boa aerência η 3 3 ck ck em MPa Ec. hor.: 1:0,667 Ec. vert.: 1: upr/tc405

281 0,1,5 1,0 1,0 3 b 0,49 MPa 1,4 yk 500 MPa CA50 γ 1,15 b ELU - combinação normal yk 500 y 435 MPa 43,5kN/cm γ 1,15 φ y l b 4 φ 43,5 l b 44 φ 4 0,49 b w 15 cm h 50 cm cm (aumio) c nom 3 cm φ 6,3 mm t 0,63 cm ma 1,5 mm 1,5 cm 0,49 kn/cm 1,43 0, ,86 cm A,min ma 43,5 1,13cm 0, ,13 cm, ma 0, ,0cm A M S 84kNm 8400 kncm MR 1,lim 0, , kncm M M não há neceiae e armaura e compreão { S < R1,lim kNcm 1195kNcm MS MR MR1 8400kNcm c. Armaura longituinal β c 0,0 < 0, ,43 β z 0,86 βc 0,0 1 3 β 1,000 tabela OK > 1,13 cm A 5,09 cm 0, ,000 43,5 < 30,0 cm 3φ1,5 π 1, ,68cm φ10 π 1,0 4 1,57cm 3φ1,5 + φ10 5,5cm A 5,09cm,cal A 5,5cm,e OK 15 cm 10 mm 1,5 mm 6,3 mm cm 3 cm. Veriicação e a h e a v a v,00 cm ( 3,0 + 0, ,5) 15 a h,00 cm 3 1 a h upr/tc405

282 a a cm ma 1,5 cm φl 0,5 ma 0,5 1,5 0,63 cm,0cm OK cm ma 1,5 cm φl 1, ma 1, 1,5 1,50 cm,0cm OK v h e. Veriicação e π 1,5 1,5 π 1,0 1, ,5 +, y cg π 1,5 π 1, ,5 1,5 + 1,0 ( 3 1,5 ) + ( 1,0 ) ( y cg + φ c ) 1,0 1,5 +,0 + ycg h + t nom ( 1,56 + 0,63 + 3,0 ) 44,81cm 44cm OK 50 > 44,81cm a l 45cm 1,56 cm h φ l a v. Determinação e M R1 0,68bw c β β A y 0, ,81 1,43 β β 5,5 43,5 β, 86β β 0, 349β β c 0,04 β 0,349 β 0, z tabela β 1,000 OK M R1 β c b w c M R1 0, ,81 1, kNcm > 8 400kNcm (y cg + φ t + c nom ) y cg cg φ t c nom M S π 1, π 1,5 π 1, , kNcm 6kNm 5,5 MR1, φ 1,5 MR 1, φ 1, 5 π 1, π 1,5 π 1, , kNcm 6kNm 5,5 MR1, φ 10 M R 1, φ upr/tc405

283 Veriicação o valor e β z e M R1 (Equação 7.14 e Equação 7.15) z 1 A y β z 1 1,7 b w c 1 5,5 43,5 β z 1 0,860 OK 1, ,81 1,43 M A β R1 y z 5,5 43,5 0,860 44, kNcm 8786kNcm (imprecião e tabela) M R 1 > A ierença o valore e M R1, calculao como unçõe e β c (8 786 kncm) e e β z (8 801 kncm), é evia à imprecião e tabela. Para β igual a 0,34941 (valor mai eato), β c correponeria a 0,0439 e β z eria igual a 0, O valor e M R1, unção e β c, 0, ,81 1,43 reultaria igual a 8803 kncm e o valor e M R1, unção e β z, 5,5 43,5 0, ,81 correponeria a 8803 kncm. Eta imprecião e tabela erá ignoraa na eqüência a reolução ete Eemplo. g. Determinação o comprimento e ancoragem l mm 44cm l b, φ10mm 44 1,5 550mm b, φ1,5mm h. Diagrama M S,el 55cm 47,5 knm M S M S,el 84,00 knm a l 45 cm Ec. hor.: 1:66,7 Ec. vert.: 1:0 i. Poicionamento vertical a barra em relação ao iagrama M S,el Ec. hor.: 1:66,7 Ec. vert.: 1:0 φ 1,5 mm φ 1,5 mm φ 1,5 mm φ 10 mm φ 10 mm 84 knm 6 knm 88 knm upr/tc405

284 j. Leque e ancoragem 3 l b 55 cm Ec. hor.: 1:66,7 Ec. vert.: 1:0 55 cm φ 1,5 mm φ 10 mm 84 knm 6 knm 88 knm l b 44 cm 44 cm k. Paralelimo e ancoragem l b 55 cm Ec. hor.: 1:66,7 Ec. vert.: 1:0 55 cm φ 10 φ φ 1,5 mm paralela φ 10 mm paralela l b 44 cm φ 10 mm cm 44 cm upr/tc405

285 l. Diagrama M R1 o conjunto e barra l b 55 cm Ec. hor.: 1:66,7 Ec. vert.: 1:0 55 cm 3 paralela φ 1,5 mm φ 10 mm paralela paralela l b 44 cm φ 10 mm 310 cm 44 cm 1 φ 1,5 mm 400 cm φ 1,5 mm 510 cm Ob.: Toa a ponta a barra etão aataa e uma itância maior ou igual a 10 φ o iagrama M S,el. O paralelimo e ancoragem eitente o lao ireito é imétrico em relação ao lao equero. m. Detalhamento a armaura longituinal poitiva armaura inerior (porta-etribo) não etalhaa armaura uperior (negativa) não etalhaa 85 cm c nom 3 cm Ec.: 1:66,7 40 cm 15 cm N1 - φ 10 mm cm - ª cam. 1 N - φ 1,5 mm cm N3 - φ 1,5 mm cm Para etalhamento a armaura longituinal negativa ver Eemplo upr/tc405

286 n. Veriicaçõe De acoro com o item c a ABNT NBR 6118, pelo meno 5% a armaura poitiva eve er etenia ao apoio intermeiário. Como ua barra (N3) chegam ao apoio, tem-e: π 1,5 % A 4,apoio 47% > 5% OK π 1,5 π 1, De acoro com item a ABNT NBR 6118, a armaura poitiva proveniente o meio o vão everão etener-e, no mínimo, 10 φ além a ace o apoio. Como a armaura N3 etá poicionaa 15 cm além a ace interna o apoio, o item a Norma etá veriicao (10 φ correpone a 1,5 cm). o. Diagrama M S,el e M R1 M S,el M R Balanço Para o trecho e viga em balanço, o etalhamento a ancoragem reta requer algun cuiao epeciai. Pela Figura 7.15 M S,el l b poe er obervao que, pelo etalhamento apreentao em 7.9.1, parte a armaura reta ancoraa icaria ituaa ora a viga. M R1 l b Figura 7.15 Viga em balanço Embora ipoitivo epeciai e ancoragem poam er uao para reolver a ituação a armaura motraa na Figura 7.15, é prática comum a obra eta armaura para entro a viga. Para e evitar que trecho epreivo e ancoragem e ituem na vertical é conveniente aotar para l b valore não uperiore a 5% e l b, como motrao na Figura 7.16 ( l b contao a partir a ace inal o balanço). Como a ponta e barra evem etar aataa e 10 φ o iagrama M S,el e a parte obraa não poe er maior que, tem-e para l b : upr/tc405

287 0,5lb 10φ l b min Equação 7.16 Se a eigualae apreentaa na Equação 7.16 não puerem er veriicaa imultaneamente, prevalece o 10 φ, ee que ineriore a. l b 0,5 l b φ 10 φ Figura 7.16 Detalhe e armaura e viga em balanço O comprimento o trecho reto obrao (trecho vertical), também, não everá er inerior a 10 φ (Figura 7.16). Para a einição o iâmetro o pino e obramento a barra longituinai que chegam a ponta o balanço eve er uaa a Tabela 7.6, apreentaa em Eemplo 7.6: Detalhar a armaura negativa a viga abaio repreentaa. A viga tem 15 cm e bae e 50 cm e altura. Dao: concreto: C0; e barra nervuraa: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai; viga e eção retangular, em armaura e compreão e implemente tttttttapoiaa no pilare; - pilare com 0 cm e largura; etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, tttttttγ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); - a l ; armaura tranveral (etribo): 6,3 mm; cobrimento nominal: 3 cm; e imenão máima o agregao: 1,5 mm. Ob.: peo próprio a viga incluío na carga g k. g k 30 kn/m 1,5 m 5,0 m 1,5 m Ec.: 1:0,667 Solução: O valor e l b é eterminao e moo análogo ao o Eemplo 7.. A eterminação a armaura neceária para reitir ao máimo momento letor negativo é eita e moo análogo ao o Eemplo [5.]. O poicionamento a barra é eterminao e moo análogo ao motrao na Figura upr/tc405

288 a. Diagrama M S 47,5 knm ,00 knm b. Dao ck 0 MPa γ c 1,40 C0 ELU - combinação normal 0 ck c 14,3MPa γ c 1,4 η 1,5 η 0,70 barra nervuraa η 3 1,00 φ < 40 mm 1,43 kn/cm ituação e má aerência 0,1η1 η η3 3 b ck ck em MPa γ c 0,1,5 0,7 1,0 3 b 0 1,74 MPa 0,174kN/cm 1,4 yk 500 MPa CA50 γ 1,15 b ELU - combinação normal yk 500 y 435 MPa 43,5kN/cm γ 1,15 φ y l b 4 φ 43,5 l b 63φ 4 0,174 b w 15 cm h 50 cm cm (aumio) c nom 3 cm φ 6,3 mm t 0,63 cm ma 1,5 mm 1,5 cm 1,43 0, ,86 cm A,min ma 43,5 1,13cm 0, ,13 cm, ma 0, ,0cm A Ec. hor.: 1:0,667 Ec. vert.: 1: upr/tc405

289 M S 47,5kNm 475kNcm MR 1,lim 0, , kncm M M não há neceiae e armaura e compreão { S < R1,lim kNcm 1195kNcm M MR MR1 S 475kNcm c. Armaura longituinal 475 β 0, ,43 βz 0,98 βc 0, β 1,000 A c < tabela 0,7 OK 4 75,66 cm 0, ,000 43,5 π 1,0 4 φ ,14 cm ( camaa) 4 A,66cm,cal A 3,14cm,e. Veriicação e a h e a v a v,00 cm ( 3,0 + 0,63 + 1,0 ) > 1,13 cm < 30,0 cm 15 a h 5,74 cm 1 cm a ma 1,5 cm v φl,0cm OK 0,5 ma 0,5 1,5 0,63 cm cm ah ma 1,5 cm φl,0cm OK 1, ma 1, 1,5 1,50 cm e. Veriicação e π 1,0 1,0 π 1,0 1,0 1,0, y π 1,0 4 4 h y cg + φ + c OK cg ( ) t nom (,00 + 0,63 + 3,0 ) 44,37 cm 44cm OK 50 > 44,37 cm a l 45cm a h 10 mm 15 cm,00 cm cg y cg 3 cm cm 6,3 mm c nom a v. Determinação e M R1 0,68bw c β β A y 0, ,37 1,43 β β 3,14 43,5 β 0, 11β h φ l φ t upr/tc405

290 β M β 0,11 β 1 tabela β 3 R1 β c b w c c z 0,131 0,916 1,000 OK M R1 0, ,37 1,43 553kNcm > 475kNcm Veriicação o valor e β z e M R1 (Equação 7.14 e Equação 7.15) z 1 A y β z 1 1,7 b w c 1 3,14 43,5 β z 1 0,916 OK 1, ,37 1,43 M A β R1 M R1 y z 3,14 43,5 0,916 44, kNcm 553kNcm g. Determinação o comprimento e ancoragem l mm 63 cm b, φ10mm h. Diagrama M S,el M S OK 47,5 knm M S M S,el 84,00 knm a l 45 cm Ec. hor.: 1:66,7 Ec. vert.: 1:0 i. Poicionamento vertical a barra em relação ao iagrama M S,el (apoio equero) φ 10 mm 47,5 knm 55,3 knm Ec. hor.: 1:33,3 Ec. vert.: 1: upr/tc405

291 i. Leque e ancoragem e einição e l b (apoio equero) 4 φ 10 mm 47,5 knm 55,3 knm K 0 l b 63 cm l b 15 cm Ec. hor.: 1:33,3 Ec. vert.: 1:10 l b 63 cm O ponto K correpone ao ponto inal e ancoragem (ponta e barra) a barra que irão cobrir o momento negativo que aparece na ponta o balanço evio ao elocamento o iagrama M S. O valor e l b atiaz a toa a eigualae a Equação 7.16, ou eja, menor que 0,5 l b (15,75 cm), menor que (44,37 cm) e maior que 10 φ (10 cm). j. Diagrama M R1 o conjunto e barra (apoio equero) 3 cm (c nom ) a ace inal o balanço φ 10 mm 75 cm (rt.: 55 cm; b.: 0 cm) 0 cm φ 10 mm 195 cm paralela paralela 3 paralela 1 10 φ 1 0 K 0 l b 63 cm 10 φ < l b 15 cm (<5% e l b ) Ec. hor.: 1:33,3 Ec. vert.: 1:10 10 φ (10 cm) l b 63 cm A obra a barra N1 oi ajutaa e 18 para 0 cm (15 cm correponente a l b mai 3 cm e c nom ) upr/tc405

292 k. Detalhamento a armaura longituinal negativa N1 - φ 10 mm - 75 cm 0 55 N1 - φ 10 mm - 75 cm 55 0 N - φ 10 mm cm N - φ 10 mm cm ª cam ª cam 60 cm 60 cm c nom 3 cm Ec.: 1:66,7 armaura uperior (porta-etribo) não etalhaa armaura inerior (poitiva) não etalhaa Para etalhamento a armaura longituinal poitiva ver Eemplo Apoio etremo e viga Conorme vito em [6.], a analogia a treliça e Morh apreenta um conjunto e orça R c M S como motrao na Figura R Figura 7.17 Força atuante na treliça e Morh R cw V S Na Figura 7.17 tem-e: M S momento letor olicitante e cálculo; R c orça reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio; R orça reitente e cálculo atuante na armaura tracionaa; V S orça cortante olicitante e cálculo. Aina, na Figura 7.17, eve er obervao que: na região o apoio, a reultante R é unção ireta a reação e apoio V S ; e em região aataa o apoio, a reultante R é unção ireta o momento letor M S. Seguno o item b a ABNT NBR 6118, a orça cortante olicitante e cálculo V S θ V S tan θ a l ( eterna ) poe er equilibraa ( internamente ) pela orça R cw (orça reitente atuante no iagonal comprimia e concreto) e R (orça reitente atuante na armaura tracionaa), como motrao na Figura R Figura 7.18 Equilíbrio e orça no apoio upr/tc405

293 Da Figura 7.18, tem-e: R a Equação 7.17 l V S ABNT NBR 6118: Armaura e tração na eçõe e apoio O eorço e tração junto ao apoio e viga imple ou contínua evem er reitio por armaura longituinai que atiaçam à mai evera a eguinte coniçõe: a) no cao e ocorrência e momento poitivo, a armaura obtia atravé o imenionamento a eção; b) em apoio etremo, para garantir ancoragem a iagonal e compreão, armaura capaze e reitir a uma orça e tração R S (a l / ) V + N, one V é a orça cortante no apoio e N é a orça e tração eventualmente eitente; c) em apoio etremo e intermeiário, por prolongamento e uma parte a armaura e tração o vão (A,vão ), correponente ao máimo momento poitivo o tramo (M vão ), e moo que: - A,apoio 1/3 (A,vão ) e M apoio or nulo ou negativo e e valor aboluto M apoio 0,5 M vão ; - A,apoio 1/4 (A,vão ) e M apoio or negativo e e valor aboluto M apoio > 0,5 M vão Ancoragem a armaura e tração no apoio "Quano e tratar o cao e a), a ancoragen evem obeecer ao critério a igura Para o cao e b) e c), em apoio etremo, a barra a armaura evem er ancoraa a partir a ace o apoio, com comprimento iguai ou uperiore ao maior o eguinte valore: l b,nec, conorme ; (r + 5,5 φ); 60 mm. Quano houver cobrimento a barra no trecho, meio normalmente ao plano o gancho, e pelo meno 70 mm, e a açõe acientai não ocorrerem com grane reqüência com eu valor máimo, o primeiro o trê valore anteriore poe er econierao, prevaleceno a ua coniçõe retante. Para o cao e b) e c), em apoio intermeiário, o comprimento e ancoragem poe er igual a 10 φ, ee que não haja qualquer poibiliae a ocorrência e momento poitivo nea região, provocao por ituaçõe imprevita, particularmente por eeito e vento e eventuai recalque. Quano ea poibiliae eitir, a barra evem er contínua ou emenaa obre o apoio. A eguinte obervaçõe evem er eita a repeito o iten e a ABNT NBR 6118: a. A epreão que aparece em b, icaria melhor repreentaa e aparecee como: a R S l VS + NS one: R S repreentaria a orça (horizontal) e tração olicitante e cálculo ( eterna ) atuante na ireção a armaura que chega ao apoio; V S repreentaria a orça (vertical) cortante olicitante e cálculo ( eterna ) atuante no apoio; N S repreentaria a orça (horizontal) normal e tração olicitante e cálculo ( eterna ) que poeria atuar na viga; a l correponeria ao elocamento horizontal o iagrama M S (momento letor olicitante e cálculo); e correponeria a altura útil a viga upr/tc405

294 Deta orma too o componente a equação eriam reerio a valore olicitante e cálculo ( eterno ). Obervar que a Equação 7.17 correpone ao equilíbrio e uma orça vertical 1 olicitante ( eterna ) por orça reitente ( interna ). Daí aparecer R ( minúculo) no lugar e R S ( maiúculo). Amba repreentam orça atuante na armaura horizontal, eno R a correponente reitência ( interna ) a orça olicitante R S ( eterna ). Pela conição e egurança, R R S (a reitente tem que er maior ou igual a olicitante). A ABNT NBR 6118, ao uar R S ( maiúculo), procura repreentar a olicitação que etará ubmetia a armaura na região e ancoragem. b. O r que aparece na epreão r + 5,5 φ, o item , correpone ao raio interno mínimo e curvatura, einio na Tabela Ancoragem reta em gancho ou barra tranveral olaa A ancoragem reta, em gancho ou barra tranveral olaa, e apoio etremo e viga e concreto armao poe er repreentaa pela Figura l b,nec R S h pil h pil l b,nec + c nom Figura 7.19 Ancoragem reta em gancho O valor e l b,nec é ao pela Equação 7.7 e vale: φ σ l b,nec 4 b Por outro lao, R S a Figura 7.19 poe er obtio a Equação 7.17 e vale: al RS V S A teão σ que aparece na equação e l b poe er repreentaa por: al VS σ y A,e Introuzino o valor e σ na epreão e l b,nec, tem-e: al V φ 1 S l b,nec 4 b A,e ou aina, φ 1 al lb,nec VS A,e 4 b al VS A,e y Equação R e reultante (orça reitente), (minúculo) e aço e e "eign" (projeto/cálculo). R (maiúculo) e orça, S (maiúculo) e olicitação e e "eign" (projeto/cálculo) upr/tc405

295 O item a ABNT NBR 6118, etabelece, para l b,nec : 0,3 lb l b,nec ma 10φ Equação cm Por outro lao, o item a ABNT NBR 6118 eine que o comprimento e ancoragem, em apoio etremo, evem er iguai ou uperiore a r + 5,5 φ ou 60 mm. Como o limite e 60 mm (6 cm) é inerior a 100 mm (10 cm) e o maior iâmetro apreentao na Tabela 7.4 correpone a 8 φ (raio 4 φ, r + 5,5 φ 9,5 φ), a veriicação a Equação 7.19 atene, por inteiro, ao etabelecio em a ABNT NBR Lembrano que: φ y l b 4 b tem-e: φ y 0,3 4 b 1443 l b l b,nec ma Equação φ 10cm Valore mínimo para l b,nec poem, então, erem tabelao, como motrao a eguir. l b,nec CA-50 γ c 1,40 (boa aerência) γ 1,15 concreto barra nervuraa 10 mm 1,5 mm 16 mm 0 mm mm 5 mm 3 mm C0 13 cm 16 cm 1 cm 6 cm 9 cm 33 cm 4 cm C5 11 cm 14 cm 18 cm 3 cm 5 cm 8 cm 36 cm C30 10 cm 13 cm 16 cm 0 cm cm 5 cm 3 cm C35 10 cm 13 cm 16 cm 0 cm cm 5 cm 3 cm C40 10 cm 13 cm 16 cm 0 cm cm 5 cm 3 cm C45 10 cm 13 cm 16 cm 0 cm cm 5 cm 3 cm C50 10 cm 13 cm 16 cm 0 cm cm 5 cm 3 cm Tabela 7.5 Valore mínimo e l b,nec para ancoragem e apoio etremo Somano-e ao valore apreentao na Tabela 7.5, o cobrimento nominal (c nom ), têm-e o valore mínimo para a imenão o pilar (h pil ). A junção a Equação 7.18 com a Equação 7.0, permite: upr/tc405

296 l A b,nec,e φ A,e al V S y 1 4 b a l V S φ y 0,3 4 b 1443 lb 10 φ 10 cm Equação 7.1 Eemplo 7.7: Detalhar a armaura poitiva a viga abaio repreentaa. A viga tem 0 cm e bae e 60 cm e altura. Dao: concreto: C5; e barra nervuraa: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai; viga e eção retangular, em armaura e compreão e implemente tttttttapoiaa no pilare; - pilare com 0 cm e largura; etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, tttttttγ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); armaura tranveral (etribo): 6,3 mm; cobrimento nominal: 3 cm; e imenão máima o agregao: 19 mm. Ob.: peo próprio a viga incluío na carga g k. g k 0 kn/m Ec.: 1:0,667 6,0 m Solução: O valor e l b é eterminao e moo análogo ao o Eemplo 7.. A eterminação a armaura neceária para reitir ao máimo momento letor poitivo é eita e moo análogo ao o Eemplo [5.1]. A eterminação e a l é eita e moo análogo ao o Eemplo [6.7]. Para a veriicação a ancoragem e apoio etremo uar a Equação 7.1. O poicionamento a barra é eterminao e moo análogo ao motrao no Eemplo upr/tc405

297 a. Diagrama M S e V S 16 knm + Ec. hor.: 1:0,667 Ec. ver.: 1:0 84 kn Ec. hor.: 1:0,667 Ec. ver.: 1:40 b. Dao ck 5 MPa C5 ck α v 1 ck em MPa 50 5 α v 1 0,9 50 γ c 1,40 ELU - combinação normal 5 ck c 17,9MPa γ c 1,4 1,79 kn/cm η 1,5 barra nervuraa η 1,00 ituação e boa aerência η 3 1,00 φ < 40 mm 0,1η1 η η3 3 b ck γ c ck em MPa 0,1,5 1,0 1,0 3 b 5 1,4,89 MPa 0,89 kn/cm ct 0,1 γ 3 ck c 3 ck em MPa 0,1 5 ct 1,8MPa 0,18kN/ cm 1,4 yk 500 MPa CA upr/tc405

298 γ 1,15 ELU - combinação normal yk 500 y 435 MPa γ 1,15 b w 0 cm h 60 cm cm (aumio) c nom 3 cm φ 6,3 mm t 0,63 cm ma 19 mm 1,9cm c. Veriicação e V R VR 0,7αv c bw 0,7 0,9 1, V R V S V R 43,5kN/cm 470 kn V S, ma 84kN (o correto eria o V S,ace que é menor que V S,eio ) V S,ma < V { R 13 OK (veriicao para V S,eio, ica veriicao V S,ace ) 84kN 470 kn. Valor e a l Será amitio Moelo I, etribo verticai Vc 0,6 ctbw V c 0,6 0, kN V ( ) S,ma 0,5 a l VS,ma Vc V S, ma 84kN (o correto eria V S,ace ) a l 68 cm ( 84 83) 0,5 0,5 54 7cm a l al 54cm 54cm a 54cm l e. Determinação e l b φ y l b 4 b φ 43,5 l b 38 φ 4 0,89. Armaura longituinal 1,43 0, ,73 cm A,min ma 43,5 1,80cm 0, ,80 cm, ma 0, ,0cm A M S 16 knm 1600kNcm MR 1,lim 0, , kNcm M M não há neceiae e armaura e compreão { S < R1,lim kNcm 8 395kNcm MS MR MR1 1600kNcm β c 0,11 < 0,7 OK , upr/tc405

299 β A β 0,11 1 β c 3 tabela S z 0,93 1, > 1,80 cm 5,81cm 0, ,000 43,5 < 38,0 cm π 1,5 5 φ 1,5 5 6,14 cm ( camaa) 4 A 5,81cm,cal A,e 6,14cm g. Veriicação e a h e a v a v,00 cm ( 3,0 + 0, ,5) 0 a h 4,5cm 3 1 cm a v ma φl 1,5 cm,0cm OK 0,5 ma 0,5 1,9 0,95 cm cm a ma 1,5 cm h φl,3cm OK 1, ma 1, 1,9,3cm h. Veriicação e π 1,5 3 4 y cg OK 1,5 π 1,5 1,5 + 1,5 +,0 + 4 π 1,5 π 1, ,5 1, ,5 +,0 + y cg 1,93 cm ( 3 + ) ( y cg + φ c ) h + t nom ( 1,93 + 0,63 + 3,0 ) 54,44 cm 54cm OK 60 > 54,44 cm h 15 cm 1,5 mm a h φ l cg 6,3 mm cm 3 cm a v c nom i. Determinação e M R1 0,68bw c β β A y 0, ,44 1,79 β β 6,14 43,5 β 4, 96β β 0, 0β β c 0,16 β 0,0 β 0, z tabela β 1,000 OK M R1 β c b w c M R1 0, ,44 1, kNcm > 1 600kNcm M R knm M S y cg φ t upr/tc405

300 Veriicação o valor e β z e M R1 (Equação 7.14 e Equação 7.15) z 1 A y β z 1 1,7 b w c 1 6,14 43,5 β z 1 0,919 OK 1,7 0 54,44 1,79 M A β R1 M R1 y z 6,14 43,5 0,919 54, kNcm 13369kNcm j. Determinação o comprimento e ancoragem l 38 1,5 475mm 48cm b, φ1,5mm k. Ancoragem e apoio etremo 0cm h pil c nom 3cm l b,nec cm φ y 0,3 4 b 1443 l b φ 1 al lb,nec VS ma A,e 4 b 10φ 10cm al VS A,e y A Tabela 7.5 motra que omente barra e 10 mm e 1,5 mm poem er uaa como ancoragem e apoio etremo (l b,nec 17 cm). A ecolha e barra e 1,5 mm para o máimo momento letor poitivo e motrou correta. 84 A,e 1,93cm (mínimo e barra e 1,5 chegano ao apoio,45 cm ) 43,5 1, A,e 5,34 cm (5 barra e 1,5 mm igual a 6,14 cm ) A 4 0,89,e Pelo cálculo reerente à ancoragem e apoio etremo, ão neceária 5 barra e 1,5 mm além a ace o apoio a viga. Ito igniica que toa a barra (5) einia para o máimo momento letor poitivo everão er etenia até o apoio. Veriicaçõe: 1,5 1 l b,nec 84 14,8cm < 17cm OK 6,14 4 0,89 l 0,3 φ y 0,3 1,5 43,5 14,1cm 4 b 4 0,89 ma 10φ 10 1,5 1,5cm 10cm b,nec 14,1cm OK OK upr/tc405

301 l. Diagrama M S,el ace interna o pilar 16 knm M S M S,el a l 54 cm Ec. hor.: 1:66,7 Ec. ver.: 1:0 m. Poicionamento vertical a barra em relação ao iagrama M S,el Ec. hor.: 1:66,7 Ec. ver.: 1:0 φ 1,5 mm 16 knm 134 knm n. Leque e ancoragem φ 1,5 mm 16 knm 134 knm 1 0 l b 48 cm Ec. hor.: 1:66,7 Ec. ver.: 1:0 0 l b 48 cm upr/tc405

302 o. Diagrama M R1 o conjunto e barra 17 cm ace interna o pilar ace interna o pilar 17 cm h 60 cm paralela 1 φ 1,5 mm 1 0 l b 48 cm Ec. hor.: 1:66,7 Ec. ver.: 1:0 0 l b 48 cm 5 φ 1,5 mm 614 cm p. Detalhamento a armaura longituinal poitiva armaura uperior (porta-etribo) não etalhaa c nom 3 cm 5 N1 - φ 1,5 mm cm Ec.: 1:66,7 q. Veriicação De acoro com o item c a ABNT NBR 6118, pelo meno 33% a armaura poitiva eve er etenia ao apoio etremo. Como toa a barra chegam ao apoio, o item a Norma etá veriicao upr/tc405

303 r. Diagrama M S,el e M R1 M S M S,el M R Ancoragem reta com gancho ou barra tranveral olaa A ancoragem reta, com gancho ou barra tranveral olaa, e apoio etremo e viga e concreto armao poe er repreentaa pela Figura 7.0. l b,nec R S h pil h pil l b,nec + c nom Figura 7.0 Ancoragem reta com gancho De acoro com o item a ABNT NBR 6118, o uo o gancho ou a barra tranveral olaa, permite uma reução e 30% no comprimento e ancoragem. Se o gancho e a barra tranveral olaa orem uao imultaneamente, a reução paa a er e 50%. Deta orma a Equação 7.1 poe er ecrita como: l A b,nec,e φ α A,e al V S y 1 4 b al V S 0,3 φ 4 ma 10φ 10cm upr/tc405 y b Equação 7. eno: α 0,7 para barra tracionaa com gancho, com cobrimento no plano normal ao o gancho 3φ; α 0,7 quano houver barra tranverai olaa conorme 9.4..; α 0,5 quano houver barra tranverai olaa conorme e gancho, com cobrimento no plano normal ao o gancho 3φ;

304 O valore mínimo para l b,nec permanecem o memo a Equação 7.1, ou eja, o valore a Tabela 7.5 inepenem a eitência e gancho ou barra tranverai olaa Armaura tranveral na ancoragem Embora a equaçõe e ancoragem tenham io etabelecia em unção a impliicação apreentaa na Figura 7.3, one é amitio que a tenõe (orça) tangenciai ão paralela ao eio a barra, a veraeira itribuição e orça (tenõe) na interace concreto-aço tem um apecto mai próimo o apreentao na Figura 7.1. Neta interace, a orça (tenõe) iagonai e compreão (R b,iag ) atuante no concreto ão acompanhaa por orça (tenõe) R R b,iag R + R R b,traç R b,iag R b,tang R tranverai e tração (R b,traç ) para o etabelecimento o equilíbrio o elemento. orça aplicaa na barra orça aplicaa no concreto Figura Região e ancoragem - equilíbrio e orça A orça (tenõe) e tração (R b,traç ) ão reponávei pela criação e uma região microiuraa no entorno a barra e aço, conorme motrao na Figura 7.. l b σ b,traç Figura 7. - Microiura na região e ancoragem Na regiõe e ancoragem, microiuraa como motrao na Figura 7., poem ocorrer ruptura, como motrao na Figura 7.3. Eta ruptura e coniguram: pela eparação ("plit") o concreto no plano horizontal que contem a barra (Figura 7.3a); pela eparação o concreto no plano horizontal que contem a barra, acompanhaa e enilhamento em plano perpeniculare ao e ruptura (Figura 7.3b); e pela eparação o concreto, em orma e cunha ("notch") iniviuai (Figura 7.3c). a) b) c) Figura Tipo e ruptura em regiõe e ancoragem Motra, aina, a Figura 7.3, que a ruptura em regiõe e ancoragem ão evia, principalmente a: poição relativa entre a armaura; e poição a barra entro a maa e concreto upr/tc405

305 A proviência a erem tomaa para evitar ruptura na regiõe e ancoragem conitem na aoção e: cobrimento aequao ( 3φ) a armaura e tal orma que a região microiuraa ique interna ao concreto e aataa a bora (Figura 7.4a); epaçamento aequao ( 3φ) entre a armaura evitano ao máimo a obrepoição e regiõe microiura (Figura 7.4b); e armaura (etribo) que coturem o plano e ruptura ou enilhamento (Figura 7.4c). 3φ 3φ φ φ 3φ a) b) c) Figura Proviência para evitar ruptura em regiõe e ancoragem ABNT NBR 6118, item : "À eceção a regiõe ituaa obre apoio ireto, a ancoragen por aerência evem er coninaa por armaura tranverai (ver ) ou pelo próprio concreto, conierano-e ete cao quano o cobrimento a barra ancoraa or maior ou igual a 3φ e a itância entre barra ancoraa or maior ou igual a 3φ Armaura tranveral para ancoragem e barra e iâmetro menor que 3 mm ABNT NBR 6118, item : "Ao longo o comprimento e ancoragem eve er previta armaura tranveral capaz e reitir a 5% a orça longituinal e uma a barra ancoraa. Se a ancoragem envolver barra ierente, prevalece para ee eeito, a e maior iâmetro. A w,b b A R A y l b Figura Armaura tranveral e barra ancoraa - φ long < 3 mm A colocação a armaura tranveral, neceária em regiõe e ancoragem, normalmente é colocaa ob a orma e etribo echao (A w,b ), como motrao na Figura upr/tc405

306 Seguno o item a ABNT NBR 6118, a equivalência e orça reulta: 1 R w, b R 4 ou aina 1 n ( A w, b yw,b ) ( A y ) 4 com: l b n b Deta orma, tem-e: A A w,b y Equação 7.3 b 4 l b yw,b No cao em que a barra longituinai e tranverai orem contituía e memo material ( y yw,b ), tem-e: A A w,b Equação 7.4 b 4 l b O epaçamento entre a armaura tranverai (etribo) eve eguir a mema limitaçõe etabelecia para armaura e cialhamento (ABNT NBR 6118, item ). Eemplo 7.8: Determinar a armaura tranveral neceária para a ancoragem e barra e 16 mm. Conierar: concreto: C0; barra nervuraa: CA-50; ituação e má aerência; cobrimento e epaçamento entre barra menor que 3φ; altura útil a viga igual a 50 cm; combinação normal e carregamento - ELU; e σ y (máimo aproveitamento a barra). Solução: O valor e l b everá er eterminao pela Equação 7.8, com b einio pela Equação 7.6. Para η 1 everá er uao o valor,5 que correpone a barra nervuraa; para η everá er uao o valor 0,7 que correpone a ituação e má aerência; para η 3 everá er uao o valor 1,0 que correpone a barra e iâmetro menor que 40 mm; para γ c everá er uao o valor 1,4 que correpone a combinaçõe normal e carregamento - ELU; e para γ everá er uao o valor 1,15 que correpone a combinaçõe normal e carregamento - ELU. A armaura tranveral neceária para ancoragem everá er einia pela Equação 7.4. a. Dao - uniormização e uniae (kn e cm) 0 MPa,0 kn/cm C0 ck 500 MPa yk η 1,5 η 0,7 50,0 kn/cm barra nervuraa CA50 ituação e má aerência η 3 1,00 φ < 40 mm γ c 1,40 γ 1,15 φ 16 mm 1,6 cm 50 cm ELU - combinação normal ELU - combinação normal altura útil a viga iâmetro a barra upr/tc405

307 πφ π 1,6 A,01cm 4 4 yk 500 y 435 MPa γ 1,15 área a eção tranveral e uma barra ancoraa 43,5 kn/cm b. b 0,1η1 η η3 3 b ck ck em MPa γ c 0,1,5 0,7 1,0 3 b 0 1,74 MPa 0,174 kn/cm 1,4 c. l b l b l b l b φ 4 y b φ 43,5 63 φ 4 0, φ mm 100 cm. A w,b / b A w,b A 4 l b b A w,b,01 0,005 cm /cm 0,5 cm /m b conierano armaura tranveral contituía por barra e 5 mm, tem-e: πφ π 0,5 A w, b 0, cm 4 4 0,0 0,005 b 40 cm b como o valor e b eve icar limitao a 60% a altura útil a viga ou a 30 cm, tem-e: 0, cm b min 30cm 30 cm e. Solução armaura tranveral: 1 φ e 5 mm a caa 30 cm Armaura tranveral para ancoragem e barra e iâmetro maior ou igual a 3 mm ABNT NBR 6118, item : Deve er veriicaa a armaura em ua ireçõe tranverai ao conjunto e barra ancoraa. Ea armaura tranverai evem uportar o eorço e enilhamento eguno o plano crítico, repeitano epaçamento máimo e 5φ (one φ o iâmetro a barra ancoraa). Quano e tratar e barra comprimia, pelo meno uma a barra contituinte a armaura tranveral eve etar ituaa a uma itância igual a quatro iâmetro (a barra ancoraa) além a ecentriciae a barra. A colocação a armaura tranveral, neceária em regiõe e ancoragem, poe er eita, como motrao na Figura upr/tc405

308 A wy,b Armaura e cotura o plano X e paralelo A w,b Armaura e cotura o plano Y e paralelo barra paante barra ancoraa 6 Plano e enilhamento Y (barra 5 e 6) Plano e enilhamento X (barra 1,,3 e 4) Figura Armaura tranveral e barra ancoraa - φ long 3 mm one: Para a barra verticai (A wy,b ), a equivalência e orça longituinai e tranverai reulta: one: 1 ( A ) ( A ) wy, b yw,b y Equação A wy,b correpone a área a eção tranveral e uma barra vertical e ua omatória abrange toa a barra colocaa ao longo o comprimento e ancoragem l b (na Figura 7.6 ão motraa apena quatro eta barra); e A correpone a área a eção tranveral e uma a barra ancoraa e ua omatória abrange toa a barra que compõem o plano e enilhamento X (barra 1,, 3 e 4 a Figura 7.6). Para a barra verticai (A w,b ), a equivalência e orça longituinai e tranverai reulta: 1 ( A ) ( A ) w, b yw,b y Equação A w,b correpone a área a eção tranveral e uma barra horizontal e ua omatória abrange toa a barra colocaa ao longo o comprimento e ancoragem l b (na Figura 7.6 ão motraa apena ua eta barra); e A correpone a área a eção tranveral e uma a barra ancoraa e ua omatória abrange toa a barra que compõem o plano e enilhamento Y (barra 5 e 6 a Figura 7.6) Ancoragem e barra comprimia Não eve haver itinção entre comprimento e ancoragem e barra tracionaa ou comprimia. A única eigência eita pela ABNT NBR 6118, item é que a barra comprimia evem er ancoraa em gancho em ua etremiae. No cao epecíico e apata e bloco obre etaca (Figura 7.7), one nacem pilare, a aplicação ireta a Equação 7.10, para ancoragem e barra entro eta etrutura, não eve er eita. É recomenao que o limite mínimo 0,3 l b eja aumentao para 0,8 l b, e tal orma que: upr/tc405

309 l b,nec φ 4 y b A A,cal,e φ y 0,8 4 b 1443 l b ma 10φ 10cm Equação 7.7 h l b,nec h 0 h l b,nec Figura 7.7 Sapata e bloco obre etaca Eemplo 7.9: Um pilar e eção tranveral 5 cm 50 cm nace e um bloco e unação que tem 70 cm e altura útil e erá contruío com concreto clae C15. Sabeno-e que o pilar neceita 18,05 cm e área e armaura e aço CA-50 (barra nervuraa) para reitir à olicitaçõe normai e compreão (ELU), eterminar o número e barra e 3 mm neceária para compor a armaura longituinal ete pilar. Ao inal o cálculo, apreentar o iagrama R a barra. 70 cm upr/tc405

310 Solução: A olução ete problema conite em e eterminar, para a barra o pilar, um comprimento e ancoragem igual ou inerior a 70 cm (altura útil o bloco e unação). O cálculo motrarão que é impoível ancorar barra e 3 mm nete bloco. O valor e l b,nec everá er eterminao pela Equação 7.7, com b einio pela Equação 7.6. Para η 1 everá er uao o valor,5 que correpone a barra nervuraa; para η everá er uao o valor 1,0 que correpone a ituação e boa aerência (Figura 7.6); para η 3 everá er uao o valor 1,0 que correpone a barra e iâmetro menor que 40 mm; para γ c everá er uao o valor 1,4 que correpone a combinaçõe normal e carregamento - ELU; e para γ everá er uao o valor 1,15 que correpone a combinaçõe normal e carregamento - ELU. O iagrama R erá etabelecio em unção a tenão atuante na barra (Equação 7.11). Deve er lembrao que o concreto C15, aqui uao, é permitio pela ABNT NBR 6118 apena em obra e unaçõe. a. Dao - uniormização e uniae (kn e cm) 15 MPa 1,5 kn/cm C15 ck 500 MPa yk η 1,5 η 1,0 50,0 kn/cm barra nervuraa CA50 ituação e boa aerência η 3 1,00 φ < 40 mm γ c 1,40 γ 1,15 70 cm φ 3 mm 3, cm A c ELU - combinação normal ELU - combinação normal altura útil o bloco e unação iâmetro a barra cm área a eção tranveral o pilar yk MPa 43,5 kn/cm reitência e cálulo o aço γ 1,15 y A, cal 18,05 cm α 1,0 l b,nec área e armaura cálculaa armaura comprimia não poe terminar em gancho 70cm comprimento e ancoragem limitao à altura útil o bloco b. b 0,1η1 η η3 3 b ck ck em MPa γ c 0,1,5 1,0 1,0 3 b 15,05 MPa 0,05 kn/cm 1,4 c. l b l b l b l b φ 4 y b φ 43,5 53 φ 4 0,05 53 φ mm 170 cm upr/tc405

311 . Valor mínimo e comprimento e ancoragem (Equação 7.7) 0,8 lb 0, cm ma b,nec , 3cm l φ 136cm > 70cm 10cm Como o valor mínimo para l b,nec reultou maior que 70 cm (altura útil o bloco e unação), torna-e impoível a ancoragem e barra e 3 mm nete bloco. e. Veriicação a poibiliae e ancorar barra e 5 mm l 53 φ mm 133 cm b 0,8 lb 0, cm ma b,nec 10 10,5 5cm l φ 106cm > 70cm 10cm Como o valor mínimo para l b,nec reultou maior que 70 cm (altura útil o bloco e unação), torna-e impoível a ancoragem e barra e 5 mm nete bloco.. Veriicação a poibiliae e ancorar barra e 0 mm l 53φ mm 106 cm b 0,8 lb 0, cm l b,nec ma 10φ 10,0 0cm 85cm > 70cm 10cm Como o valor mínimo para l b,nec reultou maior que 70 cm (altura útil o bloco e unação), torna-e impoível a ancoragem e barra e 0 mm nete bloco. g. Veriicação a poibiliae e ancorar barra e 16 mm l 53 φ mm 85 cm b 0,8 lb 0, cm l b,nec ma 10φ 10 1,6 16cm 68cm < 70cm OK 10cm Como o valor mínimo para l b,nec reultou menor que 70 cm (altura útil o bloco e unação), torna-e poível a ancoragem e barra e 16 mm nete bloco. h. Determinação o número e barra e 16 mm φ 16 mm 1,6 cm πφ π 1,6 A,01cm 4 4 A n A n,01 cm n l, e b,nec l b A A,cal,e 18, cm n,01 n 10,90 n 1 barra n 1 barra Com o valor e n einio, chega-e: A 1,01 4,1, e cm 4,1 18,05 34% 18,05 A,e 4,1 ρ 1,93% A 150 c número par e barra e 16 mm acrécimo e armaura o pilar taa e armaura o pilar upr/tc405

312 l l σ O valore e l b,nec e σ, para eta olução, reultam: 1,6 43,5 0,8 68 cm 4 0,05 1,6 43,5 18,05 56 cm ma 4 0,05 4,1 10 φ 10 1,6 10cm 100mm 10cm 68cm 70cm (altura útil a apata) b,nec b,nec A A,cal,e y 18,05 4,1 43,5 3,6kN / cm i. Diagrama R R A σ,01 3,6 65,5 kn (ver Figura 7.11) 68cm 65,5 kn 56 cm 70 cm 7.1 Barra lia e barra com alternância e olicitação Seguno o item a ABNT NBR 6118, é obrigatório o uo e gancho na ancoragen e barra lia tracionaa. Por outro lao, a barra que tenham alternância e olicitação, tração e compreão, não evem er ancoraa com gancho em ua etremiae Ancoragem e etribo Seguno o item a ABNT NBR 6118, a ancoragem o etribo eve neceariamente a b er garantia por meio e gancho ou barra longituinai olaa. a φ t φ t φ t 5 φt a 5cm 10 φt b 7cm Figura 7.8 Ancoragem e etribo upr/tc405

313 O gancho o etribo poem er (Figura 7.8); a. emicirculare ou em ângulo e 45 (interno), com ponta reta e comprimento igual a 5 φ t, porém não inerior a 5 cm; e b. em ângulo reto, com ponta reta e comprimento maior ou igual a 10 φ t, porém não inerior a 7 cm (ete tipo e gancho não eve er utilizao para barra e io lio) O iâmetro interno a curvatura o etribo (Figura 7.8) eve er, no mínimo, igual ao inicao na Tabela 7.6. Bitola (mm) Tipo e Aço CA-5 CA-50 CA-60 φ t 10 3φ t 3φ t 3φ t 10 < φ t <0 4φ t 5φ t - φ t 0 5φ t 8φ t - Tabela 7.6 Diâmetro o pino e obramento para etribo 7.14 Simbologia epecíica Símbolo bae a h a l a v b w c nom ma b c ck ckj ct ctk ctk,in ct,m ctk,up y yk yw,b g k h h pil h 0 l b l b,min epaçamento horizontal mínimo livre entre a ace a barra longituinai, meio no plano a eção tranveral itância correponente a ecalagem o iagrama e orça no banzo tracionao epaçamento vertical mínimo livre entre a ace a barra longituinai, meio no plano a eção tranveral largura a viga cobrimento nominal altura útil itância a ibra e concreto mai comprimia até o centro e graviae a armaura tracionaa imenão máima o agregao graúo reitência e aerência e cálculo reitência à compreão o concreto e cálculo reitência à compreão o concreto caracterítica reitência à compreão o concreto caracterítica ao j ia reitência à tração o concreto e cálculo reitência à tração o concreto caracterítica reitência à tração o concreto caracterítica inerior reitência à tração o concreto méia reitência à tração o concreto caracterítica uperior reitência ao ecoamento o aço a armaura tranveral que atua na região e ancoragem e barra reitência ao ecoamento o aço caracterítica reitência ao ecoamento o aço caracterítica a armaura tranveral e barra ancoraa valor caracterítico a ação permanente altura a viga imenão o pilar menor altura e apata comprimento e ancoragem báico comprimento e ancoragem mínimo upr/tc405

314 l b,nec m n r b u y y cg z A c A A,apoio A,cal A,e A,ma A,min A,vão A w,b A w,b A wy,b D G k M apoio M vão M R comprimento e ancoragem neceário número e barra número e barra raio interno mínimo e curvatura epaçamento a armaura tranveral que atua na região e ancoragem e barra perímetro abcia altura o retângulo e tenõe σ c poição o centro e graviae a eção tranveral e um conjunto e barra longituinai (tracionaa ou comprimia) em relação à geratriz mai aataa a linha neutra, meia normalmente a eta braço e alavanca área e concreto área a eção tranveral a armaura longituinal tracionaa área a eção tranveral a armaura longituinal tracionaa no apoio área a eção tranveral a armaura longituinal calculaa área a eção tranveral a armaura longituinal eetiva área a eção tranveral a armaura longituinal tracionaa máima área a eção tranveral a armaura longituinal tracionaa mínima área a eção tranveral a armaura longituinal tracionaa no vão área a eção tranveral a armaura tranveral que atua na região e ancoragem e barra área a eção tranveral a armaura tranveral que atua na região e ancoragem e barra, reerente ao plano e enilhamento y área a eção tranveral a armaura tranveral que atua na região e ancoragem e barra, reerente ao plano e enilhamento iâmetro o pino e obramento valor caracterítico a ação permanente momento letor atuante no apoio momento letor atuante no vão momento letor reitente e cálculo M R1 momento letor reitente e cálculo reerenciao ao binário R c1, R 1 M R1,lim momento letor reitente e cálculo correpone ao limite e utiliae a eção tranveral (β β,lim ) M S momento letor olicitante e cálculo M S,el momento letor olicitante e cálculo elocao N orça normal e cálculo N S orça normal olicitante e cálculo R b,iag orça normal iagonal e tração evia à ancoragem R b,tang orça normal tangente e tração evia à ancoragem R b,traç orça normal e tração evia à ancoragem R c orça reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio R c1 orça reitente e cálculo atuante na região e concreto comprimio e área b w y R cw orça reitente e cálculo atuante na iagonal e compreão a treliça e Morh R reitência e cálculo R orça normal atuante na barra R orça reitente e cálculo atuante na armaura tracionaa R S orça olicitante e cálculo atuante em apoio etremo e viga upr/tc405

315 R w,b S V c V V R V S V S,ma α α v β c β β β y β z ε c ε ε y φ φ l φ t γ c γ g γ q γ η η b η 1 η η 3 θ ρ σ b,traç σ c σ σ, τ b,uni τ b, orça normal atuante na armaura tranveral que atua na região e ancoragem e barra olicitação e cálculo orça cortante aborvia por mecanimo complementare ao a treliça e Morh orça cortante e cálculo orça cortante reitente e cálculo, relativa à ruína a iagonai comprimia e concreto orça cortante olicitante e cálculo orça cortante olicitante e cálculo máima coeiciente e minoração para barra ancoraa com gancho na etremiae ou com armaura tranveral olaa coeiciente para cálculo e V R valor aimenional auiliar valor aimenional que eine a tenão e tração reerente à armaura A valor aimenional que eine a poição a linha neutra valor aimenional que eine a região e concreto comprimio valor aimenional que eine o braço e alavanca o binário e orça R c1, R 1 eormação epecíica o concreto eormação epecíica o aço à tração eormação epecíica e ecoamento o aço iâmetro a barra a armaura iâmetro a barra a armaura longituinal iâmetro a barra a armaura tranveral coeiciente e poneração a reitência o concreto coeiciente e poneração para açõe permanente ireta coeiciente e poneração para açõe variávei ireta coeiciente e poneração a reitência o aço coeiciente e conormação upericial coeiciente e conormação upericial coeiciente para cálculo a tenão e aerência a armaura coeiciente correponente à conormação upericial a barra na eterminação e b coeiciente que repreenta a coniçõe e boa e má aerência na eterminação e b coeiciente que repreenta a bitola a barra na eterminação e b ângulo taa e armaura longituinal tenão normal e tração evia à ancoragem tenão à compreão no concreto tenão à tração na armaura tenão à tração na armaura na abcia tenão tangencial e aerência uniorme tenão tangencial e aerência na abcia upr/tc405

316 7.14. Símbolo ubcrito apoio apoio b aerência cal cálculo cg centro e graviae el elocao iag iagonal e eetiva in inerior lim limite m méia ma máimo min mínimo nec neceário nom nominal pil pilar up uperior tang tangente traç tração uni uniorme vão vão abcia 7.15 Eercício E. 7.1: Complete o quaro abaio conierano ELU. Forneça o valore e l b na orma nφ, eno n um número inteiro e φ o iâmetro a barra a er ancoraa. Aço Concreto b (MPa) l b (boa aer.) l b (má aer.) CA-5 C0 CA-50 C5 CA-50 C30 CA-60 C35 CA-60 C40 E. 7.: Determinar o comprimento a barra neceária para reitir o momento letor olicitante e cálculo (negativo) o apoio B a viga abaio repreentaa. Detalhar a armaura uano barra e 16 mm. Dao: concreto: C0; e barra nervuraa: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai; viga e eção retangular, implemente apoiaa no pilare; etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); 60 cm; b w 18 cm; e a l. Ecala: vão: 1 cm 50 cm (1:50); e momento: 1 cm 0 knm (1:0) upr/tc405

317 16 mm B iagrama e momento M S 110 knm - 1,8 m,1 m E. 7.3: Detalhar a armaura longituinal a viga abaio inicaa. Dao: concreto: C0; e barra nervuraa: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai; viga e eção retangular, implemente apoiaa no pilare; etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); b w 0 cm; armaura tranveral (etribo): 6,3 mm; cobrimento nominal: 3 cm; e imenão máima o agregao: 19 mm. Ob.: peo próprio a viga eprezível. Ecala: vão: 1 cm 50 cm (1:50); e momento: 1 cm 0 knm (1:0). G k 60 kn 50 cm 90 cm 90 cm 90 cm 0 cm 0 cm upr/tc405

318 E. 7.4: Detalhar a armaura longituinal a viga abaio inicaa. Dao: concreto: C5; e barra nervuraa: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai; viga e eção retangular, implemente apoiaa no pilare; etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); b w 0 cm; armaura tranveral (etribo): 6,3 mm; cobrimento nominal: 3 cm; e imenão máima o agregao: 19 mm. Ob.: peo próprio a viga eprezível. Ecala: vão: 1 cm 50 cm (1:50); e momento: 1 cm 0 knm (1:0). G 1k 60 kn G k 30 kn 50 cm A B 90 cm 160 cm 170 cm 160 cm 90 cm 0 cm 0 cm E. 7.5: Detalhar a armaura e leão mai econômica (barra e menore comprimento poívei) para a viga abaio inicaa. Dao: concreto: C5; e barra nervuraa: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai; viga e eção retangular, implemente apoiaa no pilare; etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); b w 0 cm; armaura longituinal: 16 mm; armaura tranveral (etribo): 6,3 mm; cobrimento nominal: 3 cm; e imenão máima o agregao: 19 mm. Ob.: a barra everão er etalhaa ao pare (ua por vez); o poicionamento a armaura everá er, obrigatoriamente, reerio à ace interna o pilar equero (A); o carregamento é permanente (carga atuano imultaneamente) e o valore apreentao ão caracterítico; e peo próprio a viga eprezível upr/tc405

319 Ecala: vão: 1 cm 50 cm (1:50); e momento: 1 cm 0 knm (1:0). G k 40 kn G k 40 kn G k 40 kn 50 cm A B 90 cm 90 cm 150 cm 150 cm 90 cm 90 cm 0 cm 0 cm E. 7.6: Detalhar a armaura poitiva e negativa (barra e menore comprimento poívei) para a viga abaio inicaa. Dao: concreto: C5; e barra nervuraa: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai; viga e eção retangular, implemente apoiaa no pilare; etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); b w 0 cm; armaura longituinal poitiva: 16 mm; armaura longituinal negativa: 1,5 mm; armaura tranveral (etribo): 6,3 mm; cobrimento nominal: 3 cm; e imenão máima o agregao: 19 mm. Ob.: o poicionamento a armaura everá er, obrigatoriamente, reerio à ace interna o pilar equero (A); o carregamento é permanente (carga atuano imultaneamente) e o valore apreentao ão caracterítico; e peo próprio a viga eprezível. Ecala: vão: 1 cm 50 cm (1:50); e momento: 1 cm 0 knm (1:0). G k 90 kn G k 144 kn G k 90 kn 50 cm A B 90 cm 90 cm 150 cm 150 cm 90 cm 90 cm 0 cm 0 cm upr/tc405

320 E. 7.7: Detalhar a armaura longituinal a viga abaio inicaa. Dao: concreto: C5; e barra nervuraa: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai; viga e eção retangular, implemente apoiaa no pilare; pilare com 30 cm e largura; etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); b w 0 cm; h 65 cm; armaura tranveral (etribo): 6,3 mm; cobrimento nominal: 3 cm; e imenão máima o agregao: 19 mm. Ob.: peo próprio a viga incluío na carga g k. Ecala: vão: 1 cm 50 cm (1:50); e momento: 1 cm 0 knm (1:0). G k 90 kn g k 0 kn/m 4 m m E. 7.8: Determinar a altura mínima h o bloco e unação abaio inicao. A armaura e compreão neceária para a egurança o pilar (armaura calculaa) reultou em 6,0 cm, porém erão uaa 6 barra e 16 mm. Conierar: concreto: C15; barra nervuraa: CA-50; e combinação normal e carregamento ELU. h 10 cm upr/tc405

321 E. 7.9: Um pilar e eção tranveral 5 cm 45 cm, uportao por um bloco e unação, neceita e 17,4 cm e área e armaura longituinal para uportar a orça normal olicitante e cálculo (compreão) que nele poerá atuar. Determinar o número total e barra e 5 mm que o pilar everá pouir, abeno-e que o bloco e unação terá 75 cm e altura útil. Conierar: concreto: C15; barra nervuraa: CA-50; e combinação normal e carregamento ELU. N S 85 cm 10 cm E. 7.10: O pilar abaio repreentao, cujo cálculo a armaura longituinal e compreão reultou em uma área e aço (A,cal ) igual a 14,40 cm, everá er uportao por uma apata cuja altura não poerá ultrapaar 65 cm. Obervaa a regra e ancoragem reta etabelecia pela ABNT NBR 6118, einir a menor altura poível para a apata e tal orma que a eção tranveral o pilar apreente a menor quantiae e barra (número par). Conierar: concreto: C15; barra nervuraa: CA-50; altura útil a apata: h 5 cm; e combinação normal e carregamento ELU. N S pilar apata? 5 cm E. 7.11: Determinar a menor largura poível para o pilar abaio repreentao, e tal orma que a armaura negativa a viga poam nele e ancorar. A armaura a viga, neceária para reitir ao momento letor olicitante e cálculo, atuante na região próima o pilar, reultou em,1 cm, teno io optao pelo uo e 3 barra e 16 mm upr/tc405

322 Conierar: concreto: C0; barra nervuraa: CA-50; cobrimento a armaura: 3 cm; e combinação normal e carregamento ELU. início a ancoragem 50 cm 3 φ 16 M S? upr/tc405

323 8 8LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO Introução Na teoria a etrutura, conieram-e elemento e uperície aquele em que uma imenão, uualmente chamaa epeura, é relativamente pequena em ace a emai, poeno receber a eguinte enominaçõe (Figura 8.1): placa: elemento e uperície plana ujeito principalmente a açõe normai ao eu plano; caca: elemento e uperície não plana; e chapa: elemento e uperície plana ujeito principalmente a açõe contia em eu plano. placa caca chapa Figura 8.1 Etrutura laminare A laje maciça e concreto armao contituem etrutura laminare, tipo placa. Em cao epeciai, one e requer laje com maior rigiez (maior altura), poe-e azer uo e laje nervuraa (Figura 8.). laje maciça laje nervuraa Figura 8. Laje maciça e nervuraa Quano or eejao que a uperície inerior a laje nervuraa e torne contínua e plana, echam-e o vazio com elemento inerte (tijolo, bloco vazao e concreto, iopor, etc.), como motrao na Figura 8.3. Eta laje é enominaa mita. Figura 8.3 Laje mita A laje que e apóiam iretamente obre pilare ão enominaa laje lia e a laje que e apóiam obre pilare com capitéi enominam-e laje cogumelo. Nete Capítulo omente erão aboraa a laje maciça apoiaa em viga. 1 Ete capítulo é uma cópia aaptaa a publicação LAJES USUAIS DE CONCRETO ARMADO e Roberto Dalleone Machao upr/tc405

324 8. Vão eetivo e laje Seguno a ABNT NBR 6118, item , quano o apoio puerem er conierao uicientemente rígio quanto à tranlação vertical, o vão eetivo (Figura 8.4) eve er calculao pela eguinte epreão: com l l + a + a Equação 8.1 a e ,5 t1 min 0,3h one: l e l 0 t h a 0,5 t min 0,3h vão eetivo a laje; itância entre ace e oi apoio (viga) conecutivo; comprimento o apoio paralelo ao vão a laje analiaa; epeura a laje. h laje t 1 l e l 0 t viga Figura 8.4 Vão eetivo e laje 8.3 Curvatura e laje A laje maciça e concreto armao (Figura 8.5) poem apreentar: curvatura em uma ó ireção; ou curvatura em ua ireçõe ortogonai. l y l y l l Figura 8.5 Curvatura e laje Quano a laje apreenta curvatura em uma ó ireção, eu comportamento é iêntico ao e uma viga e larga bae e pouca altura. A laje com curvatura em ua ireçõe ortogonai têm comportamento e placa upr/tc405

325 A laje com curvatura em uma ó ireção ão apoiaa na bora perpeniculare ao eio a curvatura, ao pao que a laje com curvatura em ua ireçõe ortogonai ão apoiaa em too eu contorno (Figura 8.5). Quano a relação entre o vão maior (l y ) e vão menor (l ) uperar oi, a critério o projetita, a curvatura na ireção o vão maior poe er eprezaa. Neta conição omente a curvatura (eorço) na ireção o vão menor erá conieraa. A laje conieraa como e curvatura em uma ó ireção ão também chamaa laje armaa em uma ó ireção. A e curvatura em ua ireçõe ortogonai ão enominaa armaa em ua ireçõe (Figura 8.6). l y l y l l Figura 8.6 Laje armaa em uma ou ua ireçõe 8.4 Laje contínua Aim como a viga, a laje apreentam, também, coniçõe e continuiae. Deta orma o apoio poem er: apoio imple, one a etremiae a laje é conieraa rotulaa, tranmitino à viga uporte omente carga verticai (reação e apoio); apoio contínuo, one ua laje contígua tranmitem omente carga verticai (reação e apoio) para a viga uporte; e bora livre, one a etremiae a laje é conieraa em balanço. A conieração e apoio imple em laje e etremiae evita que ejam tranmitio momento torçore para a viga uporte. Na eterminação o eorço e um painel e laje, é prática comum conierar a laje iolaamente. Como em regiõe e continuiae e laje eite momento negativo, ete poe er repreentao, na laje iolaa, por um engate (Figura 8.7). Neta Figura 8.7, o apoio imple é repreentao por uma linha contínua; o engate é repreentao pela hachura; e a bora livre é repreentaa por uma linha tracejaa. Aina na Figura 8.7, a laje L1 é conieraa implemente apoiaa na viga V1 e V4, contínua na ireção a laje L (apoiaa obre a V5) e contínua na ireção a laje L3 (apoiaa obre a V); a laje L é conieraa implemente apoiaa na viga V1 e V3, contínua na ireção a laje L1 e L3 (apoiaa obre a V5) e com uma bora livre; e a laje L3 é conieraa implemente apoiaa na viga V3 e V4, contínua na ireção a laje L1 (apoiaa obre a V) e contínua na ireção a laje L (apoiaa obre a V5) upr/tc405

326 P1 V1 P L1 V4 V L V5 L3 P3 V3 P4 V1 V1 V4 L1 V5 V V V5 L V4 L3 V5 V3 V3 Figura 8.7 Laje contínua Quano obre um apoio comum, ua laje contígua apreentarem ierente imenõe, coniera-e o engate no vão maior e ete or igual ou uperior a /3 o vão menor (Figura 8.8). Deve er obervao na Figura 8.8 que a laje L1 everá empre er conieraa como engataa na ireção a laje L upr/tc405

327 L1 l 1 l 1 l 3 L1 l L L L1 l 1 l 1 < l 3 L1 l L L Figura 8.8 Laje contínua e ierente imenõe 8.5 Epeura e laje A iação a epeura a laje eve atener à eigência o eorço olicitante (momento letor e orça cortante) para o etao limite último, bem como à veriicaçõe o etao limite e erviço (lecha, vibraçõe, iuração, etc). Seguno a ABNT NBR 6118, item , na laje maciça evem er repeitao o eguinte limite mínimo para a epeura: 5 cm para laje e cobertura não em balanço; 7 cm para laje e pio ou e cobertura em balanço; 10 cm para laje que uportem veículo e peo total menor ou igual a 30 kn; e 1 cm para laje que uportem veículo e peo total maior que 30 kn. 8.6 Carga atuante na laje A carga atuante na laje poem er: permanente, evia ao peo próprio, contra-pio, revetimento, paree, etc.; e acientai, ecorrente a coniçõe e uo a laje (reiência, ecritório, ecola, biblioteca, etc.) Carga permanente Seguno a ABNT NBR 610, o peo epecíico o materiai e contrução que eventualmente poam contituir carregamento em laje poem er tomao como eno: argamaa e cal, cimento e areia... 19,0 kn/m 3 argamaa e cimento e areia... 1,0 kn/m 3 argamaa e geo... 1,5 kn/m 3 reboco... 0,0 kn/m 3 concreto imple... 4,0 kn/m 3 concreto armao... 5,0 kn/m upr/tc405

328 O carregamento atuante na laje (peo por uniae e área) é ao pela epreão: g γ mat h Equação 8. one: g carga permanente uniormemente itribuía, geralmente em kn/m ; γ mat peo epecíico o material, geralmente em kn/m 3 ; e h epeura o material, geralmente em m. Para materiai e acabamento ou cobertura, poem er aotao o eguinte valore, conierano peo por uniae e área: cerâmica... 0,70 kn/m taco... 0,65 kn/m cobertura e telha rancea (com vigamento)... 0,90 kn/m cobertura e telha coloniai (com vigamento)... 1,0 kn/m cobertura e ibro-cimento (com vigamento)... 0,30 kn/m cobertura e alumínio (com vigamento)... 0,16 kn/m 8.6. Carga acientai A ABNT NBR 610 apreenta uma érie e valore que poem er aumio para a carga acientai que venham a contituir carregamento em laje. Algun valore ão reprouzio a eguir: arquibancaa... 4,0 kn/m biblioteca ala e leitura...,5 kn/m ala para epóito e livro... 4,0 kn/m ala com etante... 6,0 kn/m cinema platéia com aento io... 3,0 kn/m etúio e platéia com aento móvei... 4,0 kn/m banheiro...,0 kn/m correore com aceo ao público... 3,0 kn/m em aceo ao público...,0 kn/m eiício reienciai ormitório, ala, copa, cozinha e banheiro... 1,5 kn/m ipena, área e erviço e lavaneria...,0 kn/m ecaa com aceo ao público... 3,0 kn/m em aceo ao público...,5 kn/m ecola aniteatro, correor e ala e aula... 3,0 kn/m outra ala...,0 kn/m ecritório...,0 kn/m orro em aceo e peoa... 0,5 kn/m gináio e eporte... 5,0 kn/m hopitai ormitório, enermaria, ala e recuperação ou cirurgia, banheiro...,0 kn/m correor... 3,0 kn/m loja... 4,0 kn/m retaurante... 3,0 kn/m teatro palco... 5,0 kn/m platéia com aento io... 3,0 kn/m etúio e platéia com aento móvei... 4,0 kn/m banheiro...,0 kn/m upr/tc405

329 Eemplo 8.1: Determinar o carregamento em uma laje e eiício comercial. A laje terá e 10 cm e epeura, contra-pio (argamaa e cimento e areia) e 1 cm, acabamento uperior com taco e acabamento inerior com orro e geo com 1 cm e epeura. Solução: A carga permanente (Equação 8.) e acientai everão er eterminaa por uniae e área (kn/m ). O peo o concreto armao, conta-pio e geo correponem a 5 kn/m 3, 1 kn/m 3 e 1,5 kn/m 3, repectivamente. O taco peam 0,65 kn/m. A carga aciental e um eiício comercial eve er conieraa como eno kn/m. a. Dao uniormização e uniae (kn e m) 3 γ 5kN / m γ γ conc arm cont pio geo 1kN / m 1,5kN / m g taco 0,65kN / m h 10cm 0,10m h conc arm cont pio 1cm 3 3 0,01m h geo 1cm 0,01m q kn / m ei com b. Carga permanente pp:... 5,0 0,10,50 kn/m contra-pio:... 1,0 0,01 0,1 kn/m geo:... 1,5 0,01 0,13 kn/m taco:... 0,65 kn/m c. Carga aciental. Carga total g k 3,49 kn/m ( 3,50 kn/m ) q k,00 kn/m g k 3,50 kn/m q k,00 kn/m p k 5,50 kn/m Paree O peo a paree epene o tipo e tijolo (maciço ou urao) e a epeura o reboco. Ete peo normalmente é apreentao por metro quarao e paree (paree e 1 m e largura por 1 m e altura), como motrao na Figura 8.9. O peo por uniae e área e uma paree rebocaa em amba a ace poe er repreentao por: one p par γ e + γ e Equação 8.3 tij tij reb reb taco contra-pio (1 cm) concreto armao (10 cm) geo (1 cm) p par peo a paree por uniae e área, geralmente em kn/m ; γ tij peo epecíico o tijolo, geralmente em kn/m 3 ; e tij epeura (menor imenão em planta) o tijolo, geralmente em m. γ reb peo epecíico o reboco, geralmente em kn/m 3 ; e e reb epeura o reboco, geralmente em m upr/tc405

330 h par e 1 m l par Figura 8.9 Carga e paree Para materiai componente e paree, poem er uao o eguinte valore: tijolo e urao... 1 kn/m 3 tijolo e maciço kn/m 3 reboco... 0 kn/m 3 A Tabela 8.1 motra algun valore e peo e paree. Na Tabela oi conierao reboco e,5 cm e epeura por ace. tijolo (cm) paree em reboco tijolo urao (kn/m ) tijolo maciço (kn/m ) paree (cm) paree com reboco tijolo urao (kn/m ) tijolo maciço (kn/m ) 10 1,0 1,60 15,0,60 1 1,44 1,9 17,44,9 15 1,80,40 0,80 3,40 0,40 3,0 5 3,40 4,0 Tabela 8.1 Peo e paree Carga e paree em laje e upla curvatura A carga e paree apoiaa em laje e upla curvatura (Figura 8.10) poem er conieraa como equivalente a uma carga uniormemente itribuía em toa eta laje. Para ete cao, coniera-e o peo total a paree e ivie-e ete valor pela área total a laje, como apreentao a eguir: ppar lpar hpar gpar Equação 8.4 l l y one: g par carga uniormemente itribuía, evia à paree, por uniae e área, atuano em toa laje, geralmente em kn/m ; p par peo a paree por uniae e área, geralmente em kn/m ; l par largura a paree, geralmente em metro; altura a paree, geralmente em metro; h par 1 m upr/tc405

331 l l y menor imenão a laje, geralmente em metro; e maior imenão a laje, geralmente em metro. l par l l y g par (kn por m e laje) Figura 8.10 Paree obre laje e upla curvatura Eemplo 8.: Determinar a carga a paree atuante na laje abaio repreentaa. A altura a paree correpone a,7 m e ão contituía e tijolo urao e 10 cm, reboco e 1,5 cm em caa ace.,5 m, m 3,5 m Solução: O peo por metro quarao e paree é eterminao pela Equação 8.3 e a carga uniormemente itribuía obre a laje é eterminaa pele Equação 8.4. a. Dao uniormização e uniae (kn e m) 3 γ 1kN/ m γ tij reb 0kN/ m e tij 10cm 0,10m e reb 1,5cm l,5 +, 3 par h par,7m l 3,5m l y 6,0m 0,015m 4,7m b. Curvatura a laje l y 6,0 1,71< uplacurvatura l 3,5 c. Peo por metro quarao e paree p γ e + γ e par par tij tij reb reb 6,0 m ( 1 0,10) + ( 0 0,015) 1,80kN/ m p upr/tc405

332 . Carga uniormemente itribuía na laje ppar l par hpar gpar l l y 1,80 4,70,70 g par 1,09kN/ m 3,50 6, Carga e paree em laje e uma ó curvatura A carga e paree apoiaa em laje e uma ó curvatura e ituam em ua coniçõe: paree paralela ao lao maior a laje;e paree paralela ao lao menor a laje. A carga e paree paralela ao lao maior é conieraa como uma carga linear uniormemente itribuía ao longo e ua largura (Figura 8.11), cujo valor é ao por: g par ppar hpar Equação 8.5 one: g par carga uniormemente itribuía, evia à paree, por uniae e comprimento (linear), atuano ao longo a largura a paree, geralmente em kn/m; p par peo a paree por uniae e área, geralmente em kn/m ; e altura a paree, geralmente em metro. h par l par l y l g par (kn por metro e laje) Figura 8.11 Paree paralela ao lao maior a laje A carga e paree paralela ao lao menor é conieraa como uma carga uniormemente itribuía na área e imenõe l por 0,5 l (Figura 8.1), cujo valor é ao por: ppar lpar hpar gpar l Equação 8.6 l one: g par carga uniormemente itribuía, evia à paree, por uniae e área, atuano na área e imenõe l por 0,5 l, geralmente em kn/m ; p par peo a paree por uniae e área, geralmente em kn/m ; l par largura a paree, geralmente em metro; h par altura a paree, geralmente em metro; e menor imenão a laje, geralmente em metro. l upr/tc405

333 l y l l par g par (kn por m e laje) l Figura 8.1 Paree paralela ao lao menor a laje Eemplo 8.3: Determinar a carga a paree atuante na laje abaio repreentaa. A altura a paree correpone a,7 m e ão contituía e tijolo urao e 1 cm, reboco e 1,5 cm em caa ace. 1,6 m L1,5 m L 3,6 m 6 m, m 6 m 1,7 m,4 m,4 m Solução: O peo por metro quarao e paree é eterminao pela Equação 8.3. A carga linear uniormemente itribuía obre a laje L1 é eterminaa pela Equação 8.5 e a carga uniormemente itribuía na região l por 0,5 l a laje L é eterminaa pela Equação 8.6. a. Dao uniormização e uniae (kn e m) 3 γ 1kN/ m γ tij reb 0kN/ m e tij 1cm 0,1m e reb 1,5cm l par1,m 3 0,015m l par 1,7m h,7 m hpar1 par upr/tc405

334 l l 1 l y1 l y,4m 6,0m b. Curvatura a laje l y 6,0,50 > uma ó curvatura l,4 c. Peo por metro quarao e paree p γ e + γ e par par tij tij reb reb ( 1 0,1) + ( 0 0,015),04kN / m p. Laje L1 - peo por metro linear e paree g p h par par par g par,04,70 5,51kN / m e. Laje L peo por metro quarao e paree ppar l par hpar gpar l l,04 1,70,70 g par 3,5kN / m,40,40. Carregamento 1,6 m L1,5 m L 3 m 6 m, m 6 m 1, m 1,7 m,4 m 5,51 kn/m,4 m 3,5 kn/m Parapeito e balcõe Ao longo o parapeito e balcõe evem er conieraa aplicaa, uma carga horizontal kn/m 0,8 kn/m e 0,8 kn/m na altura o corrimão e uma carga vertical mínima e kn/m (ABNT NBR 610, item..15), como motrao na Figura Figura 8.13 Parapeito e balcõe upr/tc405

335 8.6.5 Reução e carga acientai em pilare e unaçõe No cálculo o pilare e a unaçõe e eiício para ecritório, reiência e caa comerciai não etinaa a epóito, a carga acientai poem er reuzia e acoro com o valore inicao na Tabela 8. (ABNT NBR 610, item..1.8). Nº e pio que atuam obre o elemento Reução percentual a carga acientai 1, e 3 0% 4 0% 5 40% 6 ou mai 60% Tabela 8. Reução e carga acientai Na aplicação a Tabela 8., o orro eve er conierao como pio (Figura 8.14). 1º (cob) º 3º 4º 5º 6º 7º iº g + 1,0 q g + 1,0 q g + 1,0 q g + 0,8 q g + 0,6 q g + 0,4 q g + 0,4 q g + 0,4 q Figura Reução e carga acientai 8.7 Determinação e eorço em laje Para a eterminação o eorço em laje maciça e concreto armao, ua impliicaçõe ão amitia: eite uma eparação virtual entre a laje e a viga que uportam o painel e laje; e a reação e apoio a viga uporte o painel e laje e az e orma uniormemente itribuía. Embora concretaa e orma monolítica, amite-e que a laje e viga ejam eparaa virtualmente, e tal orma que poam er projetaa iniviualmente (Figura 8.15). A viga uporte a laje ão conieraa como apoio inelocávei upr/tc405

336 Figura 8.15 Separação virtual entre laje e viga Uma vez que a viga uporte a laje ão conieraa como inelocávei, poe-e amitir que a reaçõe e apoio eitente na interace laje/viga ejam conieraa como uniormemente itribuía (Figura 8.16). Rigoroamente ito não ocorre poi eite uma tenência e levantamento no canto a laje. Figura 8.16 Reação e apoio e laje Laje iolaa A eterminação o eorço em laje iolaa poe er eita por proceo aproimao m b l y m y m (MARCUS), pela teoria a placa (BARES), pela teoria a charneira plática (LANGENDONCK), etc.. Dentre o conjunto e oluçõe apreentaa na literatura munial, etacam-e a tabela e CZERNY, para eterminação o momento letore atuante em laje iolaa. A notação a er uaa para CZERNY etá motraa na Figura 8.17 e o conjunto e tabela é apreentao em m by Figura 8.17 Notação a tabela e CZERNY A tabela e CZERNY oram coneccionaa para varia coniçõe e contorno e carga. O momento letore ão ao pela eguinte epreõe: m m y pl α pl α l y m m b by pl β pl β y Equação upr/tc405

337 one: l l y menor vão; maior vão; m momento letor poitivo na ireção ; m y momento letor poitivo na ireção y; m b momento letor negativo (bora) na ireção ; m by momento letor negativo (bora) na ireção y; p carga uniormemente itribuía em toa laje; α coeiciente para einição o momento letor poitivo na ireção ; α y coeiciente para einição o momento letor poitivo na ireção y; β coeiciente para einição o momento letor negativo (bora) na ireção ; e β y coeiciente para einição o momento letor negativo (bora) na ireção y. Se a carga uniormemente itribuía correponer a um valor caracterítico (p k g k + q k ) o momento letore reultarão caracterítico (m k ). Se a carga correponer a um valor e cálculo (p γ g g k + γ q q k ), o momento letore reultarão e cálculo (m ) Laje contínua Como a tabela e CZERNY eterminam momento letore iolao em bora que ão contínua em um painel e laje, l i Li m bi m bj Lj l yj torna-e neceário uniormizar ete momento negativo atuante neta regiõe e continuiae e laje (Figura 8.18). m i m j l yi l j Figura 8.18 Momento letore em laje continua O momento negativo e bora, atuante na junção a laje Li e Lj, é ao pela eguinte epreão: mbi + mbj m bij ma mbj mbi 0,8m > Equação 8.8 bj l i A uniormização o momento letore negativo atuante na junção a laje Li e Lj implica em alteraçõe (correçõe) no momento letore poitivo m i e m j Li m bij m bj Lj (Figura 8.19). O momento m i tem eu valor reuzio ao pao que o momento m j tem eu valor l yj aumentao. m i,cor m j,cor l yi l j Figura 8.19 Momento letore uniormizao em laje continua upr/tc405

338 O ajute e momento letore poitivo na laje Li e Lj correpone a: m m i,cor j,cor m i m m + j bj m bij m bj > m bi Equação 8.9 Como poe er obervao na Equação 8.9, a correção e momento poitivo ó é eita para o momento m j (momento que ore acrécimo). Cao m bi eja maior que m bj, o ínice i e j evem er invertio na Equação 8.8 e na Equação 8.9. Deve er obervao também que na Figura 8.18 e na Figura 8.19, bem como na Equação 8.8 e na Equação 8.9, o ínice e y correponente a ireçõe a laje Li e Lj não oram conierao (aprecem na Figura 8.17). A relação entre o valore apreentao em o ínice e y (ireçõe) correpone a: m i m yi momento letor poitivo na ireção y a laje Li; m j m j momento letor poitivo na ireção a laje Lj; m bi m byi momento letor negativo na ireção y a laje Li; e m bj m bj momento letor negativo na ireção a laje Lj. Eemplo 8.4: Determinar o momento letore e cálculo atuante no painel e laje abaio inicao. Conierar: etao limite último, combinaçõe última normai, eiicação tipo (γ g 1,4 e γ q 1,4); carga permanente uniormemente itribuía (g k ): 4 kn/m : e carga aciental uniormemente itribuía (q k ): kn/m. 1,8 m 3 m 5m L1 L L3 4 m 1, m L4 Solução: A olução o problema conite na aplicação a Equação 8.7 para a eterminação o momento letore em laje iolaa. A uniormização o momento negativo na regiõe e continuiae e laje é eita com a utilização a Equação 8.8. Para a correção o momento poitivo eve-e uar a Equação 8.9. a. Carregamento a laje (valore e cálculo) p γ g gk + γ qqq L1 p 1,4 4,0 + 1,4,0 8,4kN / m m y1 m b1 b. Laje L1 l 1 1,8m l y1 4,0m l l y1 1 α 4,0 α, tab 1,8 β β 1 y1 1 y1 14,0 40,0 8,00 1, upr/tc405 l y1 4 m m 1 m by1 l 1 1,8 m

339 m m p l 1 8,4 1,8 1, α1 14,0 p l 1 8,4 1,8 y 1, αy1 40,0 1,9kNm / m 0,68kNm /m m m b1, by1, p l β 1 1 p l β 1 y1 8,4 1,8 8,00 8,4 1,8 1,00 3,40kNm / m,7knm / m c. Laje L l 3,0m l y 4,0m l l m m y α 4,0 α 1,33 tab 3,0 β β p l 8,4 3,0, α 7,87 y y p l 8,4 3,0 y, αy 47,83 7,87 47,83 13,00 17,50,71kNm /m 1,58kNm / m l y 4 m L m m by m y l 3 m m b m m b, by, p l β p l β y 8,4 3,0 13,00 8,4 3,0 17,50 5,8kNm / m 4,3kNm / m. Laje L3 l 3 4,0m l y3 5,0m l l m m y3 3 5,0 4,0 α α 1,5 tab β β p l 3 8,4 4,0 3, α3 4,90 3 y3 3 y3 p l 3 8,4 4,0 y 3, αy3 34,40 4,90 34,40 11,10 1,90 5,40kNm / m 3,91kNm / m l 3 4 m L3 m by3 m y3 m b3 l y3 5 m m 3 m m b3, by3, p l β p l β y3 8,4 4,0 11,10 8,4 4,0 1,90 1,11kNm /m 10,4kNm / m m b4 e. Laje L4 (laje iotática laje em balanço) l 4 1,m m b4, 4 p l 8,4 1, 6,05kNm /m l 4 1, m L upr/tc405

340 . Uniormização e momento letore Laje L1/L mb1, + mb, m b1, ma 0,8m b, mb, > mb1, 3,40 + 5,8 m b 1, ma 0,8 5,8 4,61 m b 1, ma 4,66 m b 1, 4,66kNm / m mb, mb1, m,,cor m, + mb, > mb1, 5,8 4,66 m,, cor,71+ m,, cor 3,9kNm /m 1,9 L1 3,40 L1 4,66,71 5,8 L 5,8 L 5,8 1,9 3,9 g. Uniormização e momento letore Laje L/L3 mb, + mb3, m b3, ma mb3, mb, 0,8m > L 5,8 10,4 b3, 4,66 5,8 + 10,4 m b 3, ma 0,8 10,4 8,1 m b 3, ma 8,34 m b 3, 8,34kNm / m 3,9 3,91 mb3, mb3, m 3,,cor m3, + mb3, > m L b, 8,34 4,66 10,4 8,34 m 3,, cor 3,91+ m 3,, cor 4,95kNm / m L3 L3 3,9 4,95 h. Uniormização e momento letore Laje L1/L4 Como a laje L4 correpone a um trecho iotático (laje em balanço), obrigatoriamente o momento letor atuante na junção a laje L1 e L4 é o a laje L4 (6,05 knm/m). Não há correção o momento poitivo a laje L1 poi o momento a bora eta laje (,7 knm/m) é inerior ao momento a bora a laje L4 (6,05 knm/m). m m 6,05kNm /m b 14, b4, m, 1 0,68kNm /m L1 0,68,7 L1 0,68 L4 L4 6,05 6, upr/tc405

341 i. Uniormização e momento letore Laje L/L4 Como a laje L4 correpone a um trecho iotático (laje em balanço), L obrigatoriamente o momento letor atuante na junção a laje L e L4 é o a laje L4 (6,05 knm/m). Não há correção o momento poitivo a laje L poi o momento a bora eta laje (4,3 knm/m) é inerior ao momento a bora a laje L4 (6,05 knm/m). m m 6,05kNm /m b 4, b4, m, 1,58kNm / m 4,3 1,58 L4 L 6,05 1,58 L4 6,05 j. Uniormização e momento letore Laje L3/L4 Como a laje L4 correpone a um trecho iotático (laje em balanço), obrigatoriamente o momento letor atuante na junção a laje L3 e L4 é o a laje L4 (6,05 knm/m). Há correção o momento poitivo a laje L4 poi o momento a bora eta laje (10,4 knm/m) é uperior ao momento a bora a laje L4 (6,05 knm/m). m m 6,05kNm /m b 34, b4, m m m > 1,11 6,05 m 4,, cor 5,40 + m 4,, cor 8,43kNm / m b3, b34, 4,,cor m4, + mb3, mb4, L3 L3 1,11 5,40 L4 L4 6,05 6,05 8,43 k. Momento letore (knm/m) na ireção L1/L/L3 L1 L 8,34 L3 4,66 1,9 3,9 4,95 L upr/tc405

342 l. Momento letore (knm/m) na ireçõe L1/L4, L/L4 e L3/L4 L1 L L3 L4 6,05 6,05 6,05 0,68 1,58 8,43 m. Obervação Embora a relação entre o vão maior (4 m) e o vão menor (1,8 m) a laje L1 upere oi, a upla curvatura eta laje oi conieraa. Cao a curvatura na ireção o vão maior oe eprezaa (conieração e laje armaa em uma ó ireção), o reultao inal praticamente não e alteraria poi o momento letor poitivo na ireção o balanço reultou bem próimo e zero (0,68 knm/m) e o momento letor negativo (6,05 knm/m) oi einio pela laje em balanço. 8.8 Armaura e leão Armaura principal e armaura ecunária Para a laje armaa em ua ireçõe (curvatura em ua ireçõe ortogonai), toa a armaura e leão (armaura longituinai) ão conieraa como principal. Para a laje armaa em uma ó ireção (uma ó curvatura na ireção o vão menor), a armaura conieraa como principal é aquela poicionaa na ireção o vão menor. Na ireção o vão maior eve-e, obrigatoriamente, colocar uma l y l y armaura e itribuição enominaa armaura ecunária (Figura 8.0). l l armaura principal armaura ecunária Figura 8.0 Armaura principal e ecunária e laje upr/tc405

343 8.8. Equaçõe gerai Na eterminação a armaura e leão (momento letore) e laje evem er eguio o memo princípio etabelecio no Capítulo [5]. A armaura erá eterminaa para caa Figura 8.1 Seção tranveral e laje ( c + 1, ) φ l metro e laje (b w 1 m). Para a eterminação a altura útil é conveniente aotar-e a altura útil a armaura mai aataa a bora (Figura 8.1). tracionaa h nom 5 Equação 8.10 Para a laje e pouca altura, a armaura e compreão evem er evitaa. Deta orma a equaçõe para eterminação ou veriicação a armaura longituinal e laje correponem a: m b A w m m R1,lim S S β ou β c β β β z 0,7b 0,8b 100cm m m z R1,lim R m b 1,0 E y m β β φ l h h (c nom + 1,5 φ l ) b w 100 cm R1 w c 1,5 1 0,4 β R1 m y 0,68bw A y R1 1 β β c w w A,min c c 0,7 0,8 ck ck não há neceiae e armaura e compreão ck ck m 1,565 0,7b R1 w 3,5 1,0 β 35MPa > 35MPa 35MPa > 35MPa β β c β tab β 0,500 0,400 0,59 > 0,59 ck ck z 35MPa > 35MPa Equação Armaura mínima O valore a armaura mínima para laje maciça e concreto armao etão etabelecio no item a ABNT NBR 6118 e correponem a: armaura negativa A c A,min 0,035 c (por metro e laje) Equação 8.1 y upr/tc405

344 armaura poitiva e laje armaa em ua ireçõe c A,min 0,03 Ac (por metro e laje) Equação 8.13 y armaura poitiva (principal) e laje armaa em uma ireção c A,min 0,035 Ac (por metro e laje) Equação 8.14 y armaura poitiva (ecunária) e laje armaa em uma ireção 0,0 A,princ A,min ma 0,9cm (por metro e laje) Equação 8.15 c 0,018 Ac y Diâmetro a armaura e leão Seguno o item 0.1 a ABNT NBR 6118, qualquer barra e armaura e leão e laje h φ l h φ l 8 Figura 8. Diâmetro máimo a armaura e leão φ l eve ter eu iâmetro limitao a 1/8 a epeura a laje (Figura 8. e Equação 8.16). h φ l Equação Epaçamento a armaura e leão ABNT NBR 6118, item 0.1 A barra a armaura principal e leão evem apreentar epaçamento no máimo igual h ou 0 cm, prevaleceno o menor ee oi valore na região o maiore momento letore. A armaura ecunária e leão eve er igual ou uperior a 0% a armaura principal, manteno-e, aina, um epaçamento entre barra e, no máimo, 33 cm. A emena ea barra eve repeitar o memo critério e emena a barra a armaura principal. A Figura 8.3 motra o epaçamento máimo a armaura e leão para laje maciça 0cm min h 33 cm e concreto armao. armaura principal armaura ecunária Figura Epaçamento máimo a armaura e leão upr/tc405

345 Deve er obervao também que o item 0.1 a ABNT NBR 6118 não az reerência ao epaçamento mínimo entre a barra e leão e laje e concreto armao. Por razõe contrutiva, é conveniente não e poicionar barra com aatamento ineriore a 7 cm. De moo geral, poe-e etabelecer para a barra e leão e laje e concreto armao: armaura principal 0cm 7 cm min Equação 8.17 h armaura ecunária 10cm 33cm Equação 8.18 Obervar que na Equação 8.18 o epaçamento mínimo para armaura ecunária oi iao em 10 cm. Eemplo 8.5: Determinar a armaura neceária para o painel e laje abaio repreentaa. Dao: concreto: C5; e aço: CA-60. Conierar: etao limite último, combinaçõe última normai, eiicação tipo (γ g 1,4 γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); epeura a laje (h): 1 cm; cobrimento nominal (c nom ):,5 cm; barra e leão não alternaa; carga permanente uniormemente itribuía (g k ): 5 kn/m : e carga aciental uniormemente itribuía (q k ): 1,5 kn/m. L1 L L3 5 m m 4 m 6m Solução: A olução o problema conite na aplicação a Equação 8.7 para a eterminação o momento letore em laje iolaa. A uniormização o momento negativo na região e continuiae e laje é eita com a utilização a Equação 8.8. Para a correção o momento poitivo eve-e uar a Equação 8.9. A armaura evem er eterminaa com a aplicação a Equação 8.10, Equação 8.11, Equação 8.1, Equação 8.13, Equação 8.14, Equação 8.15, Equação 8.16, Equação 8.17 e Equação a. Dao - uniormização e uniae (kn e cm) 5 MPa,5 kn/cm ck γ c 1,40 ck c γc 1,40 yk (ELU - combinação normal),5 1,79 kn/cm 600 MPa 60 kn/cm γ 1,15 (ELU - combinação normal) upr/tc405

346 yk 60 y 5, kn/cm γ 1,15 b w 100 cm h 1 cm c nom,5cm ( c + 1, φ l ) (,5 + 1,5 1,0 ) 8cm h 5 nom 1 (aumio φ l 10 mm) A c b w h cm armaura negativa c A,min 0,035 A c y 1,79 A,min 0, ,44 cm / m 5, armaura poitiva e laje armaa em ua ireçõe c A,min 0,03 Ac y 1,79 A,min 0, ,95 cm /m 5, armaura poitiva (principal) e laje armaa em uma ireção c A,min 0,035 A c y 1,79 A,min 0, ,44 cm / m 5, armaura poitiva (ecunária) e laje armaa em uma ireção 0,0 A,princ A,min ma 0,9cm c 0,018 Ac y A h φ l 8 1 φl 8,min 0,0 A,princ ma 0,9cm 1,79 0, ,74 cm 5, 0,0 A,princ ma 0,90 cm / m A,min 1,50 cm φ l, ma 1,5mm 0cm 7 cm min h 0cm 7 cm min 1 4cm 7cm 0cm (armaura principal) 10cm 33cm (armaura ecunária) m R1,lim 0,7b w c ck 35MPa / m upr/tc405

347 mr 1,lim 0, , kNcm /m m R 1, lim 31,16kNm / m máimo momento permitio na laje para que não haja armaura e compreão b. Carregamento a laje (valore e cálculo) p γ g + γ q g k q q p 1,4 5,0 + 1,4 1,5 9,1kN/ m c. Laje L1 l 1,0m l y1 5,0m l l m m m y1 1 α 5,0,50 tab α,0 β p l 1 9,1,0 1, α1 14,0 p l 1 9,1,0 y 1, αy1 4,50 b1, p l β. Laje L l 4,0m l y 5,0m l l m m m y 5,0 4, y1 1 9,1,0 8,00 α 1,5 tab α β p l 9,1 4,0, α 6,40 p l 9,1 4,0 y, αy 48,0 b, p l β e. Laje L3 l 3 5,0m l y3 6,0m l l m m m y3 3 14,0 4,50 8,00,56kNm /m 0,86kNm / m y 9,1 4,0 1,70 α 6,0 1,0 tab α 5,0 β p l 3 9,1 5,0 3, α3,00 p l 3 9,1 5,0 y 3, αy3 3,80 by3, p l β 3 y3 4,55kNm / m 6,40 48,0 1,70 5,5kNm /m 3,0kNm /m y3 3 y3 9,1 5,0 10,10 11,46kNm / m,00 3,80 10,10 10,34kNm /m 9,56kNm / m,5knm / m m y1 l y1 5 m m 1 m b l y 5 m m by3 l 3 5 m L1 l 1 m L L3 m m y l 4 m m 3 m y3 m b1 l y3 6 m m b upr/tc405

348 . Uniormização e momento letore Laje L1/L mb1, + mb, m b1, ma 0,8m b, mb, > mb1, 4, ,46 m b 1, ma 0,8 11,46 8,01 m b 1, ma 9,17 m 9,17kNm /m b 1, m m m > 11,46 9,17 m,, cor 5,5 + m 6,67kNm / m b, b1,,,cor m, + mb, mb1,,, cor L1 4,55 L1 9,17 11,46 L 11,46,56 5,5 L 11,46,56 6,67 g. Uniormização e momento letore Laje L/L3 mb, + mb3, m b3, ma 0,8m b3, mb3, > mb, 11,46 +,5 m b 3, ma 0,8,5 16,99 m b 3, ma 18,0 m 18,0kNm / m b 3, m m m >,5 18,0 m 3,, cor 9,56 + m 11,81kNm /m b3, b3, 3,,cor m3, + mb3, mb, 3,, cor L 9,17 L 9,17 11,46 6,67 6,67,5 18,0 L3 9,56 L3 11,81 h. Momento letore (knm/m) na ireção L1/L/L3 L1 L L3 9,17 18,0,56 6,67 11, upr/tc405

349 i. Momento letore (knm/m) a laje em continuiae (L1, L e L3) L1 L L3 3,0 10,34 0,86 j. Armaura para o momento letore na ireção L1/L/L3 m S,56 knm/m m m nãoháneceiae earmaura ecompreão { S < R1,lim 13,56kNm / m 31,16kNm / m ms mr mr1 56kNcm /m mr1 β c 0,7 ck 35MPa bw c 56 β c 0,0 < 0,7 OK ,79 β z 0,987 βc 0,0 1 3 β 1,000 A A A m β β z,min R1 tabela y 0,95 cm A,min / m 56 0,6 cm 0, ,000 5, / m < A 0,95 cm / m 7cm 0cm m S -9,17 knm/m m m { S < R1,lim 13 9,17kNm / m 31,16kNm / m 0,95 cm / m nãoháneceiaeearmaura ecompreão ms mr mr1 917kNcm /m 917 β c 0,080 < 0,7 OK ,79 β z 0,950 βc 0, β 1,000 A,min tabela 1,44 cm A,bar φ A,e (mm) (cm ) (cm) (cm /m) 5 0, ,98 / m 917 A,31cm / m > 1,44 cm 0, ,000 5, cm 0,196 cm 100 cm 0,95 cm / m OK upr/tc405

350 A,31cm / m 7cm 0cm m S 6,67 knm/m m m { S < R1,lim 13 6,67kNm / m 31,16kNm / m nãoháneceiaeearmaura ecompreão ms mr mr1 667kNcm / m 667 β c 0,058 < 0,7 OK ,79 β z 0,964 βc 0, β 1,000 A A,min tabela 0,95 cm / m 667 1,66 cm 0, ,000 5, / m > A 1,66 cm / m 7cm 0cm m S -18,0 knm/m m m { S < R1,lim 13 18,0kNm / m 31,16kNm / m ms mr mr1 180kNcm / m 180 β c 0,157 < 0,7 OK ,79 β z 0,897 βc 0, β 1,000 A φ (mm) A,bar (cm ) (cm) A,e (cm /m) 5 0,196 8,45 6 0,83 1,36 7 0,385 16,41,min tabela 1,44 cm / m 0,95 cm / m OK nãoháneceiae earmaura ecompreão 180 A 4,81cm / m > 1,44 cm 0, ,000 5, A 4,81cm / m 7cm 0cm m S 11,81 knm/m m m { S < R1,lim 13 11,81kNm / m A,bar φ (mm) (cm ) (cm) A,e (cm /m) 5 0, ,78 6 0, ,66 φ (mm) A,bar (cm ) (cm) A,e (cm /m) 8 0, , , ,91 31,16kNm / m m mr mr1 S / m OK nãoháneceiae e armaura ecompreão 1181kNcm / m cm 0,196 cm 100 cm,31 cm upr/tc405

351 β β A , ,79 β z 0,935 0,103 1 β 1,000 c < c 3 tabela,min 0,95 cm / m 0,7 OK 1181 A 3,0 cm / m > 0,95 cm 0, ,000 5, A 3,0 cm / m 7cm 0cm / m OK k. Armaura para o momento letore na ireção a laje em continuiae (L1, L e L3) m S 0,86 knm/m m m nãoháneceiae e armaura e compreão { S < R1,lim 13 0,86kNm / m 31,16kNm / m ms mr mr1 86kNcm / m 86 β c 0,008 < 0,7 OK ,79 β z 0,996 βc 0, β 1,000 A,min tabela 0,95 cm / m 86 A 0,1cm / m < 0,95 cm 0, ,000 5, A 0,95 cm / m 7cm 0cm m S 3,0 knm/m m m { S < R1,lim 13 3,0kNm / m 31,16kNm / m / m nãoháneceiae earmaura ecompreão ms mr mr1 30kNcm / m 30 β c 0,06 < 0,7 OK ,79 β z 0,984 βc 0, β 1,000 A A,min tabela 0,95 cm A,bar φ (mm) (cm ) (cm) A,e (cm /m) 6 0,83 9 3,14 8 0, ,14 φ A,bar A,e (mm) (cm ) (cm) (cm /m) 5 0, ,98 / m 30 0,73 cm 0, ,000 5, / m < 0,95 cm / m upr/tc405

352 A 0,95 cm / m 7cm 0cm m S 10,34 knm/m m m { S < R1,lim 13 10,34kNm / m 31,16kNm / m ms mr mr1 1034kNcm / m 1034 β c 0,090 < 0,7 OK ,79 β z 0,944 βc 0, β 1,000 A A,min tabela 0,95 cm / m nãoháneceiae earmaura ecompreão 1034,6 cm 0, ,000 5, / m > A,6 cm / m 7cm 0cm l. Armaura poitiva φ A,bar A,e (mm) (cm ) (cm) (cm /m) 5 0, ,98 φ (mm) A,bar (cm ) (cm) A,e (cm /m) 5 0,196 7,80 6 0,83 10,83 7 0,385 14,75 0,95 cm / m OK φ 5 0 cm φ 5 0 cm φ 6 10 cm L1 L L3 φ 5 0 cm φ 5 11 cm φ 6 9 cm upr/tc405

353 m. Armaura negativa L1 L L3 φ 6 1 cm φ 8 10 cm n. Conieração a laje L1 com curvatura em uma ó ireção Embora a relação entre o vão maior (5 m) e o vão menor ( m) a laje L1 upere oi, a upla curvatura eta laje oi conieraa, reultano na armaura motraa no item m (toa armaura conieraa como principai). Cao a curvatura na ireção o vão maior oe eprezaa (conieração e laje armaa em uma ó ireção), o momento letore a laje L1 reultariam: l 1,0m l y1 5,0m p l l y1 1 5,0,50 >,0,0 l y1 5 m m 1 L1 m b1 A m m B AB l pl 8 pl + 14, B m 1, p l 1 14, 1 9,1,0 14,,56kNm / m l 1 m p l 9,1,0 mb1, 4,55kNm /m 8,0 8,0 Como não houve moiicaçõe no momento letore na ireção L1/L, a itribuição e momento e armaura neta ireção permanecerá inalteraa para too o painel e laje. L1 L L3 9,17 18,0,56 6,67 11, upr/tc405

354 A única moiicação everá er eita para a laje L1, na ireção o maior vão (5 m), one não haverá momento poitivo atuano e everá er poicionaa apena uma armaura e itribuição, unção o momento poitivo na outra ireção (,56 knm/m). L1 L L3 3,0 10,34 É importante obervar que a armaura poitiva para o momento letor poitivo a laje L1 (,56 knm/m) reultou em 0,95 cm /m, correponente ao valor e armaura mínima para laje armaa em ua ireçõe. Como agora a laje erá armaa em uma ó ireção, o valor a armaura mínima eve er alterao para 1,44 cm /m (1 φ e 5 13 cm). Para a armaura e itribuição, tem-e: 0,0 A,princ A,min ma 0,90 cm / m A A,princ 1,44 cm / m ms,min 0,0 1,44 0,9 cm ma 0,90 cm / m A,min 0,90 cm / m 10cm 33cm,56 knm / m / m φ (mm) A,bar (cm ) (cm) A,e (cm /m) 5 0, ,93 6,3 0, ,95 A itribuição e armaura o painel e laje ica como a eguir inicao. armaura poitiva φ 5 1 cm φ 5 0 cm φ 6 10 cm L1 L L3 φ 5 13 cm φ 5 11 cm φ 6 9 cm upr/tc405

355 armaura negativa (inalteraa) L1 L L3 φ 6 1 cm φ 8 10 cm Comprimento e barra Armaura poitiva Barra não alternaa O comprimento horizontai a armaura poitiva (c b e c by ) e barra não alternaa evem eguir o inicao na Figura 8.4. O comprimento total a barra, ante a obra, erá igual ao comprimento horizontal omao ao comprimento o gancho a etremiae. c by c b l0y bwy1 bwy cby l0y + bwy1 + bwy cnom - φ l φ l c nom c nom c nom l 0 b w1 b w c b l 0 + b w1 + b w c nom - φ l b w Figura 8.4 Comprimento e barra não alternaa armaura poitiva Obervar na Figura 8.4 que a barra que contituem a armaura poitiva a laje maciça e concreto evem terminar em gancho. Ito eve er eito para melhorar a coniçõe e ancoragem. O gancho e 90, como motrao na Figura 8.4, é o mai conveniente, embora nem empre poa er uao. A ponta uperior ete gancho eve, também, repeitar o cobrimento nominal, o que nem empre é poível. Quano o gancho e 90º não puer er utilizao, poe-e azer uo o gancho e 135 ou 180º, como motrao na Figura [7.7] e na Figura upr/tc405

356 φ 4φ 8φ D φ D φ D φ a) b) c) Figura 8.5 Gancho a armaura poitiva O iâmetro interno a curvatura (D) o gancho a armaura longituinai e tração eve er pelo meno igual ao etabelecio na Tabela [7.4] e na Tabela 8.3. Tipo e Aço Bitola (mm) CA-5 CA-50 CA-60 <0 4φ 5φ 6φ 0 5φ 8φ - Tabela 8.3 Diâmetro o pino e obramento Barra alternaa O comprimento horizontai a armaura poitiva (c b e c by ) e barra alternaa, para laje contínua, evem eguir o inicao na Figura 8.6. O comprimento total a barra, ante a obra, erá igual ao comprimento horizontal omao ao comprimento o gancho a etremiae que chega ao apoio. c by c b l0y bwy1 bwy cby l0y + bwy1 + bwy - 0, l l 0 b w1 b w c b l 0 + b w1 + b w 0, l b w Figura 8.6 Comprimento e barra alternaa armaura poitiva para laje contínua upr/tc405

357 O comprimento horizontai a armaura poitiva (c b e c by ) e barra alternaa, para laje em continuiae, evem eguir o inicao na Figura 8.7. O comprimento total a barra, ante a obra, erá igual ao comprimento horizontal omao ao comprimento o gancho a etremiae que chega ao apoio. c by c b l0y bwy1 bwy cby l0y + bwy1 + bwy 0,1 l φ l c nom c nom c nom l 0 b w1 b w c b l 0 + b w1 + b w 0,1 l b w Figura 8.7 Comprimento e barra alternaa armaura poitiva para laje em continuiae Para a laje que apreentam continuiae em uma ó ireção, o comprimento horizontai a armaura poitiva (c b e c by ) e barra alternaa, evem er eterminao e tal orma que: na ireção a continuiae, eja eguio o inicao na Figura 8.6; e na ireção one não eite continuiae, eja eguio o inicao na Figura 8.7. É importante obervar que a ABNT NBR 6118, item 0.1, não az reerência ao 17 cm min h epaçamento máimo e mínimo a armaura e leão e laje maciça e concreto contituía por barra alternaa. Como o mínimo e trê barra por metro e laje eve er mantio, o epaçamento máimo a barra alternaa eve eguir o inicao na Figura 8.8 {[3 bar ( 17 cm )] 10 cm 1 m}. armaura principal Figura 8.8 Epaçamento máimo a armaura e leão barra alternaa upr/tc405

358 Quanto ao epaçamento mínimo eve-e er mantio o etabelecio na Equação Deta orma, poe-e etabelecer para armaura e leão e laje maciça e concreto contituía por barra alternaa: 17cm 7 cm min Equação 8.19 h Armaura negativa Laje contínua - barra não alternaa O comprimento horizontai a armaura negativa (c b ) e barra não alternaa e laje contínua evem eguir o inicao na Figura 8.9. O comprimento total a barra, ante a obra, erá igual ao comprimento horizontal omao ao comprimento o gancho a etremiae. 0,5 l,maior 0,5 l,maior c nom li c b c nom l j c b 0,5 l,maior l k lli Figura Comprimento e barra não alternaa e laje contínua armaura negativa A barra que contituem a armaura negativa a laje continua evem terminar em gancho e 90, com motrao na Figura 8.9. O etalhe o gancho evem repeitar o inicao na Figura 8.5 e na Tabela Laje contínua - barra alternaa O comprimento horizontai a armaura negativa (c b ) e barra alternaa e laje contínua evem eguir o inicao na Figura O comprimento total a barra, ante a obra, erá igual ao comprimento horizontal omao ao comprimento o gancho a etremiae upr/tc405

359 0,5 l,maior 0,5 l,maior c nom li c b c nom l j c b 0,375 l,maior Figura Comprimento e barra alternaa e laje contínua armaura negativa Laje em balanço barra não alternaa O comprimento horizontai a armaura negativa (c b ) e barra não alternaa e laje em balanço evem eguir o inicao na Figura O comprimento total a barra, ante a obra, erá igual ao comprimento horizontal omao ao comprimento o gancho a etremiae. A barra que contituem a armaura negativa a laje em balanço evem terminar em gancho e 90, com motrao na Figura O etalhe o gancho evem repeitar o inicao na Figura 8.5 e na Tabela ,5l ma l bal l bal c nom c nom c b l c nom l bal c b 0,5l ma lbal + l bal Figura 8.31 Comprimento e barra não alternaa e laje em balanço armaura negativa Laje em balanço barra alternaa O comprimento horizontai a armaura negativa (c b,maior e c b,menor ) e barra alternaa e laje em balanço evem eguir o inicao na Figura 8.3. O comprimento total a barra, ante a obra, erá igual ao comprimento horizontal omao ao comprimento o gancho a etremiae upr/tc405

360 0,5l ma l bal l bal c nom c b,maior c nom l c b,menor c nom l bal c b,maior 0,5l ma lbal + l bal c b,menor 0,5l 0,5 ma lbal + l bal Figura 8.3 Comprimento e barra alternaa e laje em balanço armaura negativa Armaura e iuração viga e contorno Na viga e contorno, embora conieraa como apoio imple (em momento negativo), é empre conveniente colocar uma armaura e iuração como inicao na Figura , l i 0, l i c nom li A y,i c b A,i c b c nom L i c b 8φ lb φ c b 0, l i + 0,5 b w b w Figura 8.33 Viga e contorno armaura e iuração upr/tc405

361 A armaura e iuração, como motraa na Figura 8.33, everá correponer a: 0,5 A,po A,i ma 0,9cm (por metro e laje) c 0,018 Ac y 0,5 A y,po A y,i ma 0,9cm (por metro e laje) c 0,018 Ac y Equação Reaçõe e apoio Seguno a ABNT NBR 6118, item , a reaçõe e apoio a laje maciça retangulare com carga uniormemente itribuía, em caa apoio, ão a correponente à carga atuante no triângulo ou trapézio eterminao por reta inclinaa, a partir o vértice com o eguinte ângulo: 45 entre oi apoio o memo tipo; 60 a partir o apoio conierao engatao, e o outro or conierao implemente apoiao; e 90 a partir o apoio, quano a bora vizinha or livre. A Figura 8.34 motra o equema para cálculo e reaçõe e apoio e laje A n A n 45 V n V n 90 l i l i Figura 8.34 Reaçõe e apoio e laje Para a viga V n, obre a qual a laje motraa na Figura 8.34 etão apoiaa, a reação e apoio erá aa por: r p A k n Vn Equação 8.1 l i one: r Vn reação e apoio na viga V n ; p k valor caracterítico a carga uniormemente itribuía na laje; A n área n einia pelo trapézio e bae l i a Figura 8.34; l i vão a laje e a viga V n, correponente a bae o trapézio a Figura A Equação 8.1 é vália para qualquer trapézio ou triângulo motrao na Figura A reação e apoio em qualquer viga uporte a laje motraa na Figura erá empre aa pelo prouto a carga uniormemente itribuía pela área o triângulo ou trapézio one atua eta carga, iviio pela bae o trapézio ou triângulo (vão a viga uporte) upr/tc405

362 Eemplo 8.6: Determinar o equema e carregamento a viga o painel abaio repreentao. Determinar, também, o carregamento no pilare. Dao: carga permanente atuante na laje (peo próprio incluío): 3,5 kn/m ; carga aciental atuante na laje: 1,5 kn/m ; paree atuante obre a viga e contorno (tijolo urao e 10 cm, reboco e 1,5 cm e,5 m e altura): 4,5 kn/m; e peo próprio a viga (0 cm 50 cm):,5 kn/m. Solução: A olução o problema conite na eterminação, para a laje, o triângulo e trapézio conorme o item a ABNT NBR O carregamento obre a viga ão eterminao pela aplicação a Equação 8.1. O carregamento no pilare ão eterminao pelo cálculo a reaçõe e apoio a viga. P1 V1A V1B P V3 L1 V4 L 5 m P3 VA VB P4 4 m 7 m a. Laje L1 - carga permanente (g k 3,5 kn/m ) 4 m V1A 1, A 1A 60 1,464,07 V3 45 A 3 A 4 A A 60 V4 5 m A L1 4 m 5 m 0 m P L1 0 m 3,5 kn/m 70 kn 1,464 VA, ,464 A 1A,98 m 5 +,07 A 3 1,464 5,177 m 5 +,07 A 4,536 8,967 m 4 1,464 A A,98 m A,98 + 5, ,967 +,98 n 0m upr/tc405 OK

363 r Vn pka l i n 3,5,98 r V1A,56 kn/m 4 3,5 5,177 r V3 3,64 kn/m 5 3,5 8,967 r V4 6,77 kn/m 5 3,5,98 r VA,56 kn/m 4 4 m V1A,56 kn/m V3 3,64 kn/m L1 6,77 kn/m V4 5 m,56 kn/m VA P n (4,56) + (5 3,64) + (5 6,77) + (4,56) 70kN b. Laje L - carga permanente (g k 3,5 kn/m ) OK 7 m V1B 5 m V4 60 A 4 A 1B 90,500 A L 5 m 7 m 35 m P L 35 m 3,5 kn/m 1,5 kn 60 4,330 VB A B,670 90, ,670 A 1B,500 1,088 m 5 4,330 A 4 10,85 m 7 +,670 A B,500 1,088 m A n 1, ,85 + 1,088 35m OK upr/tc405

364 r Vn pka l i n 3,5 1,088 r V1B 6,044 kn/m 7 3,5 10,85 r V4 7,578 kn/m 5 3,5 1,088 r VB 6,044 kn/m 7 7 m V1B 6,044 kn/m 5 m V4 7,578 kn/m 6,044 kn/m VB P n (7 6,044) + (5 7,578) + (7 6,044) 1,5 kn c. Painel e laje - carga permanente (g k 3,5 kn/m ) OK P1 V1A V1B P,56 kn/m 6,044 kn/m V3 3,64 kn/m L1 06,77 kn/m 07,578 kn/m 13,855 kn/m L 5 m P3 V4,56 kn/m 6,044 kn/m VA VB 4 m 7 m P upr/tc405

365 . Painel e laje - carga aciental (q k 1,5 kn/m ) P1 V1A V1B P 1,098 kn/m,590 kn/m V3 1,553 kn/m L1,690 kn/m 3,48 kn/m 5,938 kn/m L 5 m P3 V4 1,098 kn/m,590 kn/m VA VB 4 m 7 m P4 O proceimento para a obtenção o valore motrao no painel e carga aciental ão o memo eetuao para o painel e carga permanente (iten a, b e c). Trocou-e a carga permanente (g k 3,5 kn/m ) pela carga aciental (q k 1,5 kn/m ). Como não há variação e carga e uma laje para a outra, o painel motrao nete item oi obtio o painel motrao no item c, na proporção 1,5/3,5 (carga aciental / carga permanente). e. V3 carregamento e reaçõe e apoio carga aciental: q k 1,553 kn/m carga permanente: reação a laje: 03,64 kn/m paree: peo próprio a viga: 04,500 kn/m 0,500 kn/m g k 10,64 kn/m q k 1,553 kn/m g k 10,64 kn/m V3 P3 5 m P1 G k,p3 G k,p1 6,560 kn Q k,p3 Q k,p1 3,883 kn 10,64 5 Gk, P1 Gk,P3 6,560kN 1,553 5 Qk, P1 Qk,P3 3,883kN. V4 carregamento e reaçõe e apoio carga aciental: q k 5,938 kn/m carga permanente: reação a laje: 13,855 kn/m peo próprio a viga: 0,500 kn/m g k 16,355 kn/m upr/tc405

366 q k 5,938 kn/m g k 16,355 kn/m V4 V 5 m V1 G k,v G k,v1 40,888 kn Q k,v Q k,v1 14,845 kn 16,355 5 Gk, V1 Gk,V 40,888kN 5,938 5 Qk, V1 Qk,V 14,845kN g. V1 V carregamento e reaçõe e apoio V1A carga aciental: q k 1,098 kn/m carga permanente: reação a laje: 0,56 kn/m paree: 04,500 kn/m peo próprio a viga: 0,500 kn/m g k 9,56 kn/m V1B carga aciental: q k,590 kn/m carga permanente: reação a laje: 06,044 kn/m paree: 04,500 kn/m peo próprio a viga: 0,500 kn/m g k 13,044 kn/m Q k 3,883 kn Q k 14,845 kn G k 6,560 kn G k 40,888 kn q k 1,098 kn/m q k,590 kn/m g k 9,56 kn/m g k 13,044 kn/m P1 V1A 4 m V1B 7 m P G k,p1 11,96 kn G k,p 84,078 kn Q k,p1,69 kn Q k,p 18,558 kn G P1 Gk,P3 9 3,5 7 6, , , ,888 11,96kN ,5 4 9, , ,888 84,078kN ,5 7 3, , , ,845,69kN k, G P Gk,P4 k, Q P1 Qk,P3 k, upr/tc405

367 Q P Qk,P4 7,5 4 1, , , k, 18,558kN h. Veriicação carga permanente: laje: (0 m + 35 m ) 3,5 kn/m... 19,5 kn pp a viga: [ (4 m + 7 m + 5 m)],5 kn/m... 80,0 kn paree: {[ (4 m + 7 m)] + 5 m} 4,5 kn/m... 11,5 kn total: ,0 kn carga aciental: laje: (0 m + 35 m ) 1,5 kn/m... 8,5 kn carga permanente (V1 + V): (G k,p1 + G k,p ) (11, ,078) ,0 kn OK carga aciental (V1 + V): (Q k,p1 + Q k,p ) (, ,558)... 8,5 kn OK i. Obervação Nete eemplo oram uao número com trê caa ecimai, o que não é neceário para cálculo normai e etrutura e concreto. Ete número eagerao e caa ecimai oi uao para emontrar a precião a veriicação apreentaa no item h Força cortante em laje maciça e concreto armao Seguno o item a ABNT NBR 6118, a laje maciça poem precinir e armaura tranveral para reitir ao eorço e tração oriuno a orça cortante, quano a orça cortante olicitante e cálculo obeecer à epreão 1 : vs v R1 Equação 8. one: v S orça cortante olicitante e cálculo (por metro e laje), poeno er aumia a reaçõe e apoio como motrao em 8.9; e v R1 orça cortante reitente e cálculo (por metro e laje). A orça cortante reitente e cálculo é aa por: vr1 [ τr k ( 1, + 40ρ1) ] Equação 8.3 one: τ R tenão reitente e cálculo ao cialhamento; k coeiciente unção a taa e armaura eitente na região próima ao apoio one etá eno conieraa a orça cortante; ρ 1 taa e armaura eitente na região próima ao apoio one etá eno conieraa a orça cortante; e altura útil a laje. A tenão reitente e cálculo ao cialhamento é aa por: 0,055 3 τ R ck ck em MPa Equação 8.4 γ c 1 A ABNT NBR 6118 apreenta a equação e veriicação e orça cortante como eno V S V R1, ou eja, veriicação e orça pontuai (kn). A Equação 8. az a veriicação e orça cortante por uniae e comprimento (kn/m). A epreão apreentaa pela ABNT NBR 6118 correpone a VR1 [ τr k ( 1, + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bw. Neta epreão etão incluío o valor e b w, para que a epreão reulte em orça pontual (kn), e o valor σ cp, relativo à orça e protenão. A Equação 8.3 não tem b w (reulta em orça cortante por uniae e comprimento - kn/m) e não tem σ cp (não coniera orça e protenão) upr/tc405

368 O coeiciente k eve er eterminao a eguinte orma: a. para elemento one 50% a armaura inerior não chega até o apoio: 1,0 k Equação 8.5 b. para o emai cao: 1,6 k ma em metro Equação 8.6 1,0 A taa e armaura ρ 1, na região próima ao apoio one etá eno conieraa a orça cortante, é aa pela epreão: A 1 b w ρ1 min Equação 8.7 % one: A 1 b w área a armaura e tração que e etene até não meno e + l b,nec além a eção conieraa (Figura 8.35) 1 ; largura mínima a eção ao longo a altura útil (1 metro); e altura útil a laje. + l b,nec + l b,nec A 1 A A 1 A eção conieraa eção conieraa Figura 8.35 Armaura a er conieraa na veriicação e orça cortante em laje De moo geral poe-e aotar para valore e A 1 : a. 100% a armaura principal que chega ao apoio one etá eno conieraa a orça cortante, para o cao e armaura não alternaa; e b. 50% a armaura principal que chega ao apoio one etá eno conieraa a orça cortante, para o cao e armaura alternaa. Eemplo 8.7: Veriicar, para o painel abaio repreentao, e a laje poem precinir e armaura tranveral para reitir ao eorço e tração oriuno a orça cortante. Dao: concreto: C5; e aço: CA-60. Conierar: - etao limite último, combinaçõe última normai, eiicação tipo (γ g 1,4 γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); epeura a laje (h): 10 cm; cobrimento nominal (c nom ):,5 cm; barra e leão alternaa; carga permanente atuante na laje (peo próprio incluío): 3,5 kn/m ; e carga aciental atuante na laje: 1,5 kn/m. 1 Algun autore preerem conierar, empre, a armaura poitiva que chega ao apoio, ignorano a armaura tracionaa negativa upr/tc405

369 Solução: A olução o problema conite na aplicação a Equação 8.7 para a eterminação o momento letore em laje iolaa. A uniormização o momento negativo na região e continuiae e laje é eita com a utilização a Equação 8.8. Para a correção o momento poitivo eve-e uar a Equação 8.9. A armaura evem er eterminaa com a aplicação a Equação 8.10 a Equação A eterminação a reaçõe e apoio a laje (orça cortante) eve er eita conorme o item a ABNT NBR 6118, com a aplicação a Equação 8.1. A veriicação a orça cortante é eita com o uo a Equação 8. a Equação 8.7. P1 V1A V1B P V3 L1 V4 L V5 5 m P3 VA VB P4 a. Dao - uniormização e uniae (kn e cm) 5 MPa,5 kn/cm ck γ c 1,40 ck c γc 1,40 yk (ELU - combinação normal),5 1,79 kn/cm 600 MPa 60 kn/cm γ 1,15 (ELU - combinação normal) yk 60 y 5, kn/cm γ 1,15 b w 100 cm h 10 cm c nom,5cm ( c + 1, φ l ) (,5 + 1,5 0,8 ) 6,3 cm h 5 nom 10 (aumio φ l 8 mm) A c bw h cm armaura negativa c A,min 0,035 A c y 1,79 A,min 0, ,0 cm / m 5, armaura poitiva e laje armaa em ua ireçõe c A,min 0,03 Ac A 4 m 4 m y 1,79 0, ,,min 0,79 cm / m upr/tc405

370 armaura poitiva (principal) e laje armaa em uma ireção c A,min 0,035 A c y 1,79 A,min 0, ,0 cm / m 5, armaura poitiva (ecunária) e laje armaa em uma ireção 0,0 A,princ A,min ma 0,9cm c 0,018 Ac y 0,0 A,princ A,min ma 0,9cm 1,79 0, ,6 cm / m 5, 0,0 A,princ A,min ma 0,90 cm / m h φ l 8 10 φl 1,5 cm φl, ma 1,5 mm 8 17cm 7 cm min (barra alternaa) h 17cm 7 cm min 10 0cm 7cm 17cm (armaura principal, barra alternaa) 10cm 33cm (armaura ecunária) m R1,lim 0,7b w c ck 35MPa mr 1,lim 0, ,3 1,79 193kNcm / m m R 1, lim 19,3kNm / m máimo momento permitio na laje para que não haja armaura e compreão b. Carregamento a laje (valore e cálculo) p γ g + γ q g k q q p 1,4 3,5 + 1,4 1,5 7,0kN / m c. Laje L1 l 4,0m 1 l y1 5,0m l l m m y1 1 5,0 4,0 α 1,5 tab α β p l 1 7,0 4,0 1, α1 1,4 p l 1 7,0 4,0 y 1, αy1 35, 1 y1 1 1,4 35, 9,9 5,3kNm / m 3,18kNm / m ly1 5 m L1 m 1 m y1 l 1 4 m m b upr/tc405

371 m b1, p l β 1 1 7,0 4,0 9,9 11,31kNm / m. Momento letore a laje com continuiae (L1/L) A uniormização e momento é eita pela própria imetria o painel e laje. L1 11,31 kn/m L 5,3 kn/m 5,3 kn/m e. Momento letore a laje em continuiae (L1 e L) L1 L 3,18 kn/m 3,18 kn/m. Armaura para o momento letore m S 5,3 knm/m m m nãoháneceiaeearmaura ecompreão { S < R1,lim 13 5,3kNm / m 19,3kNm / m ms mr mr 1 53kNcm /m mr1 β c 0,7 ck 35MPa b w c 53 β c 0,074 < 100 6,3 1,79 βz 0,954 βc 0, β 1,000 A A A A m β β z,min R1 tabela y 0,79 cm A /m,min 0,7 OK 53 1,67 cm 0,954 6,3 1,000 5, / m > 1,67 cm /m 0,79 cm / m OK upr/tc405

372 7cm 17 cm m S -11,31 knm/m m m { S < R1,lim 13 11,31kNm / m 19,3kNm / m nãoháneceiaeearmaura ecompreão ms mr mr1 1131kNcm / m 1131 β c 0,159 < 0,7 OK 100 6,3 1,79 βz 0,896 βc 0, β 1,000 A A,min tabela 1,0 cm / m ,84 cm 0,896 6,3 1,000 5, / m > A 3,84 cm / m 7cm 17cm m S 3,18 knm/m m m { S < R1,lim 13 3,18kNm / m 19,3kNm / m 1,0 cm / m OK nãoháneceiae earmaura ecompreão ms mr mr1 318kNcm/m 318 β c 0,045 < 0,7 OK 100 6,3 1,79 β z 0,973 βc 0, β 1,000 A A φ (mm) A,bar (cm ) (cm) A,e (cm /m) 5 0, ,78 6 0, ,77 7 0,385 17,6 φ (mm) A,bar (cm ) (cm) A,e (cm /m) 6 0,83 7 4,04 7 0, ,85 8 0, ,87,min tabela 0,79 cm / m 318 0,99 cm 0,973 6,3 1,000 5, / m > A 0,99 cm / m 7cm 17cm A,bar φ (mm) (cm ) (cm) A,e (cm /m) 5 0, ,15 6 0, ,66 0,79 cm cm 0,196 cm 100 cm 1,67 cm cm 0,83 cm 100 cm 3,84 cm / m OK upr/tc405

373 g. Armaura φ 8 13 cm 3,87 cm /m L1 L φ 5 17 cm 1,15 cm /m φ 5 11 cm 1,78 cm /m h. Reação e apoio - laje L1 - carga permanente (g k 3,5 kn/m ) - valore caracterítico 4 m V1A 1, A 1A 60 1,464,07 V3 45 A 3 A 4 A A 60 V4 5 m A L1 4 m 5 m 0 m P L1 0 m 3,5 kn/m 70 kn 1,464 VA, ,464 A 1A,98 m 5 +,07 A 3 1,464 5,177 m 5 +,07 A 4,536 8,967 m 4 1,464 A A,98 m A,98 + 5, ,967 +,98 r Vn n pka l i n 3,5,98 r V1A,56 kn/m 4 3,5 5,177 r V3 3,64 kn/m 5 3,5 8,967 r V4 6,77 kn/m 5 3,5,98 r VA,56 kn/m 4 0m OK upr/tc405

374 4 m V1A,56 kn/m V3 3,64 kn/m L1 6,77 kn/m V4 5 m,56 kn/m VA P n (4,56) + (5 3,64) + (5 6,77) + (4,56) 70kN OK i. Painel e laje - carga permanente (g k 3,5 kn/m ) - valore caracterítico P1 V1A V1B P,56 kn/m,56 kn/m V3 3,64 kn/m L1 06,77 kn/m 06,77 kn/m L 3,64 kn/m 5 m V4 V5,56 kn/m,56 kn/m P3 VA VB 4 m 4 m P4 j. Painel e laje - carga aciental (q k 1,5 kn/m ) valore caracterítico P1 V1A V1B P 1,098 kn/m 1,098 kn/m V3 1,553 kn/m L1 0,690 kn/m 0,690 kn/m L V4 1,553 kn/m 5 m V5 1,098 kn/m 1,098 kn/m P3 VA VB 4 m 4 m P4 O proceimento para a obtenção o valore motrao no painel e carga aciental ão o memo eetuao para o painel e carga permanente (iten h e i). Trocou-e a carga permanente (g k 3,5 kn/m ) pela carga aciental (q k 1,5 kn/m ). Como upr/tc405

375 não há variação e carga e uma laje para a outra, o painel motrao nete item oi obtio o painel motrao no item i, na proporção 1,5/3,5 (carga aciental / carga permanente). k. Apoio V1A veriicação a orça cortante (igual para V1B, VA e VB) v 1,4r + 1,4 r r S gk,v1a r qk,v1a gk qk,56kn / m 1,098kN / m v S 1,4,56 + 1,4 1,098 τ R 0,055 γ c 3 ck ck em MPa 5,1kN / m 0,055 3 τ R 5 0,31MPa 0,03kN / cm 1,4 k 1,0 (barra alternaa) A,e A 1 (barra alternaa) A,e 1,15 cm / m (1 φ 5 17 cm) armaura poitiva que chega na V1A ρ ρ 1 A 1 b min w % 1, ,3 0,091% min min % % [ τ k ( 1, + 40ρ )] 1 vr1 R 1 0,091% 0,091 v 1 0,03 1,0 1, ,3 0,49kN / cm 100 v R S v R1 v S < v R1 5,1kN / m 4,9kN / m { { OK l. Apoio V3 veriicação a orça cortante (igual para V5) 3,64kN / m rgk,v3 rqk,v3 1,553kN / m v S 1,4 3,64 + 1,4 1,553 τ R 0,03kN / cm k 1,0 (barra alternaa) 7,kN / m 4,9kN / m A,e 1,78 cm / m (1 φ 5 11 cm) armaura poitiva que chega na V3 (V5) 1, ,3 0,141% ρ min min % % 1 0,141% upr/tc405

376 0,141 0,03 1,0 1, ,3 0,53kN / cm 100 v { S < v { R1 OK v R 1 7,kN / m 5,3kN / m m. Apoio V4 veriicação a orça cortante rgk,v4 6,77kN / m rqk,v4,690kn / m v S 1,4 6,77 + 1,4,690 1,6kN / m τ R 0,03kN / cm k 1,0 (barra alternaa) 5,3kN / m A,e 3,87 cm / m (1 φ 8 13 cm) armaura negativa obre a V4 1 ρ 3, ,3 0,307% min min % % 1 0,307% 0,307 0,03 1,0 1, ,3 0,67kN / cm 100 v { S < v { R1 OK v R 1 1,6kN / m 6,7kN / m 6,7kN / m 8.11 Tabela e CZERNY A tabela a eguir apreentaa ão vália para laje retangulare apoiaa em toa a ua bora, com carregamento uniormemente itribuío. Eta tabela apreentaa por CZERNY no volume I o Beton Kalener e 1976 oram aaptaa por BURKE para coeiciente e Poion (ν) igual a 0,0. Na tabela que e eguem valem a eguinte notaçõe: l menor vão a laje; l y maior vão a laje; m momento letor poitivo na ireção ; m y momento letor poitivo na ireção na y; m b momento letor negativo (bora) na ireção ; m by momento letor negativo (bora) na ireção y; a lecha máima a laje; p carga uniormemente itribuía em toa laje; α coeiciente para einição o momento letor poitivo na ireção ; α y coeiciente para einição o momento letor poitivo na ireção y; β coeiciente para einição o momento letor negativo (bora) na ireção ; β y coeiciente para einição o momento letor negativo (bora) na ireção y; α a coeiciente para einição a lecha; E c móulo e elaticiae ecante o concreto (E c ); e h epeura a laje. m p l p my l pl mb α αy β m by pl β y c 4 3 pl a E h α a 1 Algun autore conieram a armaura poitiva que chegam ao apoio (1,78 cm /m 1 φ e 5 11 cm) upr/tc405

377 Quatro bora com apoio imple l y /l α α y β β y α a 1,00,7,7 1,4 1,05 0,8,5 19,4 1,10 19,3,3 17,8 1,15 18,1,3 16,5 1,0 16,9,3 15,4 1,5 15,9,4 14,3 1,30 15,,7 13,6 1,35 14,4,9 1,9 1,40 13,8 3,1 1,3 1,45 13, 3,3 11,7 1,50 1,7 3,5 11, 1,55 1,3 3,5 10,8 1,60 11,9 3,5 10,4 1,65 11,5 3,5 10,1 1,70 11, 3,5 9,8 1,75 10,8 3,5 9,5 1,80 10,7 3,5 9,3 1,85 10,4 3,5 9,1 1,90 10, 3,5 8,9 1,95 10,1 3,5 8,7,00 9,9 3,5 8,6 > 8,0 3,5 6,7 l y m y l m Trê bora com apoio imple e um engate em l l y /l α α y β β y α a 1,00 3,4 6,5 11,9 31, 1,05 9, 5,0 11,3 7,6 1,10 6,1 4,4 10,9 4,7 1,15 3,7 3,9 10,4,3 1,0,0 3,8 10,1 0,3 1,5 0, 3,6 9,8 18,7 1,30 19,0 3,7 9,6 17,3 1,35 17,8 3,7 9,3 16,1 1,40 16,8 3,8 9, 15,1 1,45 15,8 3,9 9,0 14, 1,50 15,1 4,0 8,9 13,5 1,55 14,3 4,0 8,8 1,8 1,60 13,8 4,0 8,7 1, 1,65 13, 4,0 8,6 11,7 1,70 1,8 4,0 8,5 11, 1,75 1,3 4,0 8,45 10,8 1,80 1,0 4,0 8,4 10,5 1,85 11,5 4,0 8,35 10,1 1,90 11,3 4,0 8,3 9,9 1,95 10,9 4,0 8,5 9,6,00 10,8 4,0 8, 9,4 > 8,0 4,0 8,0 6,7 l y m by m y l m upr/tc405

378 Trê bora com apoio imple e um engate em l y l y /l α α y β β y α a 1,00 6,5 3,4 11,9 31, 1,05 5,7 33,3 11,3 9, 1,10 4,4 33,9 10,9 7,4 1,15 3,3 34,5 10,5 6,0 1,0,3 34,9 10, 4,8 1,5 1,4 35, 9,9 3,8 1,30 0,7 35,4 9,7,9 1,35 0,1 37,8 9,4,1 1,40 19,7 39,9 9,3 1,5 1,45 19, 41,1 9,1 0,9 1,50 18,8 4,5 9,0 0,4 1,55 18,3 4,5 8,9 0,0 1,60 17,8 4,5 8,8 19,6 1,65 17,5 4,5 8,7 19,3 1,70 17, 4,5 8,6 19,0 1,75 17,0 4,5 8,5 18,7 1,80 16,8 4,5 8,4 18,5 1,85 16,5 4,5 8,3 18,3 1,90 16,4 4,5 8,3 18,1 1,95 16,3 4,5 8,3 18,0,00 16, 4,5 8,3 17,8 > 14, 4,5 8,0 16,7 m b l y m y l m Dua bora com apoio imple e oi engate em l l y /l α α y β β y α a 1,00 46,1 31,6 14,3 45,3 1,05 39,9 9,8 13,4 39, 1,10 36,0 8,8 1,7 34,4 1,15 31,9 7,9 1,0 30,4 1,0 9,0 6,9 11,5 7, 1,5 6, 6,1 11,1 4,5 1,30 4,1 5,6 10,7,3 1,35,1 5,1 10,3 0,4 1,40 0,6 4,8 10,0 18,8 1,45 19,3 4,6 9,75 17,5 1,50 18,1 4,4 9,5 16,3 1,55 17,0 4,3 9,3 15,3 1,60 16, 4,3 9, 14,4 1,65 15,4 4,3 9,05 13,7 1,70 14,7 4,3 8,9 13,0 1,75 14,0 4,3 8,8 1,4 1,80 13,5 4,3 8,7 11,9 1,85 13,0 4,3 8,6 11,4 1,90 1,6 4,3 8,5 11,0 1,95 1,1 4,3 8,4 10,6,00 11,8 4,3 8,4 10,3 > 8,0 4,3 8,0 6,7 l y m by l m y m upr/tc405

379 Dua bora com apoio imple e oi engate em l y l y /l α α y β β y α a 1,00 31,6 46,1 14,3 45,3 1,05 9,9 46,4 13,8 43, 1,10 9,0 47, 13,5 41,5 1,15 8,0 47,7 13, 40,1 1,0 7, 48,1 13,0 39,0 1,5 6,4 48, 1,7 37,9 1,30 5,8 48,1 1,6 37, 1,35 5,3 47,9 1,4 36,5 1,40 4,8 47,8 1,3 36,0 1,45 4,4 47,7 1, 35,6 1,50 4, 47,6 1, 35,1 1,55 4,0 47,6 1,1 34,7 1,60 4,0 47,6 1,0 34,5 1,65 4,0 47,6 1,0 34, 1,70 4,0 47,4 1,0 33,9 1,75 4,0 47,3 1,0 33,8 1,80 4,0 47, 1,0 33,7 1,85 4,0 47,1 1,0 33,6 1,90 4,0 47,1 1,0 33,5 1,95 4,0 47,1 1,0 33,4,00 4,0 47,0 1,0 33,3 > 4,0 47,0 1,0 3,0 l y m y l m b m Dua bora com apoio imple, um engate em l e outro em l y l y /l α α y β β y α a 1,00 34,5 34,5 14,3 14,3 41,3 1,05 3,1 33,7 13,3 13,8 37,1 1,10 30,1 33,9 1,7 13,6 34,5 1,15 8,0 33,9 1,0 13,3 31,7 1,0 6,4 34,0 11,5 13,1 9,9 1,5 4,9 34,4 11,1 1,9 8, 1,30 3,8 35,0 10,7 1,8 6,8 1,35 3,0 36,6 10,3 1,7 5,5 1,40, 37,8 10,0 1,6 4,5 1,45 1,4 39,1 9,8 1,5 3,5 1,50 0,7 40, 9,6 1,4,7 1,55 0, 40, 9,4 1,3,1 1,60 19,7 40, 9, 1,3 1,5 1,65 19, 40, 9,1 1, 1,0 1,70 18,8 40, 8,9 1, 0,5 1,75 18,4 40, 8,8 1, 0,1 1,80 18,1 40, 8,7 1, 19,7 1,85 17,8 40, 8,6 1, 19,4 1,90 17,5 40, 8,5 1, 19,0 1,95 17, 40, 8,4 1, 18,8,00 17,1 40, 8,4 1, 18,5 > 14, 40, 8,0 1,0 16,7 m b l y m by m y l m upr/tc405

380 Trê bora engataa e um apoio imple em l l y /l α α y β β y α a 1,00 38,1 44,6 16, 18,3 55,4 1,05 35,5 44,8 15,3 17,9 51,6 1,10 33,7 45,7 14,8 17,7 48,7 1,15 3,0 47,1 14, 17,6 46,1 1,0 30,7 47,6 13,9 17,5 44,1 1,5 9,5 47,7 13,5 17,5 4,5 1,30 8,4 47,7 13, 17,5 41, 1,35 7,6 47,9 1,9 17,5 39,9 1,40 6,8 48,1 1,7 17,5 38,9 1,45 6, 48,3 1,6 17,5 38,0 1,50 5,7 48,7 1,5 17,5 37, 1,55 5, 49,0 1,4 17,5 36,5 1,60 4,8 49,4 1,3 17,5 36,0 1,65 4,5 49,8 1, 17,5 35,4 1,70 4, 50, 1, 17,5 35,0 1,75 4,0 50,7 1,1 17,5 34,6 1,80 4,0 51,3 1,1 17,5 34,4 1,85 4,0 5,0 1,0 17,5 34, 1,90 4,0 5,6 1,0 17,5 33,9 1,95 4,0 53,4 1,0 17,5 33,8,00 4,0 54,1 1,0 17,5 33,7 > 4,0 54,0 1,0 17,5 3,0 l y m by m y l m b m Trê bora engataa e um apoio imple em l y l y /l α α y β β y α a 1,00 44,6 38,1 18,3 16, 55,4 1,05 41,7 37,3 16,6 15,4 49,1 1,10 38,1 36,7 15,4 14,8 44,1 1,15 34,9 36,4 14,4 14,3 40,1 1,0 3,1 36, 13,5 13,9 36,7 1,5 9,8 36,1 1,7 13,5 33,8 1,30 8,0 36, 1, 13,3 31,7 1,35 6,4 36,6 11,6 13,1 9,7 1,40 5, 37,0 11, 13,0 8,1 1,45 4,0 37,5 10,9 1,8 6,6 1,50 3,1 38,3 10,6 1,7 5,5 1,55,3 39,3 10,3 1,6 4,5 1,60 1,7 40,3 10,1 1,6 3,6 1,65 1,1 41,4 9,9 1,5,8 1,70 0,4 4,7 9,7 1,5,1 1,75 0,0 43,8 9,5 1,4 1,5 1,80 19,5 44,8 9,4 1,4 1,0 1,85 19,1 45,9 9, 1,3 0,5 1,90 18,7 46,7 9,0 1,3 0,1 1,95 18,4 47,7 8,9 1,3 19,7,00 18,0 48,6 8,8 1,3 19,3 > 14, 48,6 8,0 1,0 16,7 m b l y m by l m y m upr/tc405

381 Quatro bora engataa l y /l α α y β β y α a m by m y 1,00 47,3 47,3 19,4 19,4 68,5 1,05 43,1 47,3 18, 18,8 6,4 1,10 40,0 47,8 17,1 18,4 57,6 1,15 37,3 48,3 16,3 18,1 53,4 1,0 35, 49,3 15,5 17,9 50,3 1,5 33,4 50,5 14,9 17,7 47,6 1,30 31,8 51,7 14,5 17,6 45,3 1,35 30,7 53,3 14,0 17,5 43,4 1,40 9,6 54,8 13,7 17,5 4,0 1,45 8,6 56,4 13,4 17,5 40,5 1,50 7,8 57,3 13, 17,5 39,5 1,55 7, 57,6 13,0 17,5 38,4 1,60 6,6 57,8 1,8 17,5 37,6 1,65 6,1 57,9 1,7 17,5 36,9 1,70 5,5 57,8 1,5 17,5 36,3 1,75 5,1 57,7 1,4 17,5 35,8 1,80 4,8 57,6 1,3 17,5 35,4 1,85 4,5 57,5 1, 17,5 35,1 1,90 4, 57,4 1,1 17,5 34,7 1,95 4,0 57, 1,0 17,5 33,8,00 4,0 57,1 1,0 17,5 34,5 > 4,0 57,0 1,0 17,5 34,3 l y l m b m 8.1 Simbologia epecíica Símbolo bae a b w b wi b wj b wyi b wyj c b c b,maior c b,menor c b c by c nom e reb e tij c ck y yk g g k g par g taco imenão lecha largura a laje largura mínima a eção ao longo a altura útil largura a viga i na ireção largura a viga j na ireção largura a viga i na ireção y largura a viga j na ireção y comprimento horizontal e barra comprimento horizontal maior e barra comprimento horizontal menor e barra comprimento horizontal e barra na ireção comprimento horizontal e barra na ireção y cobrimento nominal altura útil a laje epeura o reboco epeura (menor imenão em planta) o tijolo reitência à compreão o concreto e cálculo reitência à compreão o concreto caracterítica reitência ao ecoamento o aço e cálculo reitência ao ecoamento o aço caracterítica carga permanente uniormemente itribuía valor caracterítico a carga permanente carga uniormemente itribuía, evia à paree, por uniae e área carga uniormemente itribuía, evia à paree, por uniae e comprimento peo o taco por metro quarao upr/tc405

382 h epeura a laje epeura o material h conc arm epeura o concreto armao h cont pio epeura o contra-pio h geo epeura o geo h par altura a paree k coeiciente unção a taa e armaura eitente na região próima ao apoio l vão e laje vão e viga l b comprimento e ancoragem l b,nec comprimento e ancoragem neceário l bal vão e laje em balanço l e vão eetivo a laje l i vão e laje vão e viga l par largura a paree l menor imenão a laje l,maior maior o vão l l i menor imenão a laje L i l j menor imenão a laje L j l y maior imenão a laje l yi maior imenão a laje L i l yj maior imenão a laje L j l 0 itância entre ace e oi apoio (viga) conecutivo l 0 itância entre ace e oi apoio (viga) conecutivo na ireção l 0y itância entre ace e oi apoio (viga) conecutivo na ireção y m bi momento letor negativo (bora) a laje L i m bi, momento letor negativo (bora) e cálculo a laje L i m bij momento letor negativo (bora) na junção a laje L i e L j m bij, momento letor negativo (bora) e cálculo na junção a laje L i e L j m bj momento letor negativo (bora) a laje L j m bj, momento letor negativo (bora) e cálculo a laje L j m b momento letor negativo (bora) na ireção m bi, momento letor negativo (bora) e cálculo na ireção a laje L i m by momento letor negativo (bora) na ireção y m byi, momento letor negativo (bora) e cálculo na ireção y a laje L i m i momento letor poitivo a laje L i m i,cor momento letor poitivo corrigio a laje L i m i,,cor momento letor poitivo corrigio e cálculo a laje L i m j momento letor poitivo a laje L j m j,cor momento letor poitivo corrigio a laje L j m momento letor poitivo na ireção m i, momento letor poitivo e cálculo na ireção a laje L i m y momento letor poitivo na ireção y m yi, momento letor poitivo e cálculo na ireção y a laje L i m AB momento letor poitivo no vão AB m B momento letor negativo (engate) no apoio B m R momento letor reitente e cálculo m R1 momento letor reitente e cálculo em a conieração e armaura comprimia m R1,lim momento letor reitente e cálculo correpone ao limite e utiliae a eção m R1,lim tranveral (β β,lim ) m S momento letor olicitante e cálculo p carga uniormemente itribuía correponente à omatória a carga permanente mai a carga aciental carga uniormemente itribuía na laje carga uniormemente itribuía na viga upr/tc405

383 p valor e cálculo a omatória carga permanente mai carga aciental p k valor caracterítico a carga uniormemente itribuía na laje valor caracterítico a omatória carga permanente mai carga aciental p par peo a paree por uniae e área peo a paree por uniae e área q carga aciental uniormemente itribuía q ei com carga aciental e eiício comerciai q k valor caracterítico a carga aciental r gk reação e apoio caracterítica evia à carga permanente r gk,vi reação e apoio caracterítica evia à carga permanente na viga V i r qk reação e apoio caracterítica evia à carga aciental r qk,vi reação e apoio caracterítica evia à carga aciental na viga V i r Vn reação e apoio na viga epaçamento entre a barra que contituem a armaura longituinal t comprimento o apoio v R1 orça cortante reitente e cálculo v S orça cortante olicitante e cálculo A 1 área a armaura e tração que e etene até não meno e + l b,nec além a eção conieraa A c área e concreto A n área e triângulo ou trapézio A área a eção tranveral a armaura longituinal tracionaa A,bar área a eção tranveral a armaura longituinal tracionaa e uma barra A,min área a eção tranveral mínima a armaura longituinal tracionaa A,princ área a eção tranveral principal a armaura longituinal tracionaa A,e área a eção tranveral eetiva a armaura longituinal tracionaa A,i armaura e iuração na ireção A,po armaura poitiva na ireção A y,i armaura e iuração na ireção y A y,po armaura poitiva na ireção y A Li área a laje L i D iâmetro interno a curvatura E móulo e elaticiae o aço E c móulo e elaticiae ecante o concreto G k,pi Reação e apoio evia à carga permanente no pilar P i G k,vi Reação e apoio evia à carga permanente na viga V i P Li orça reultante atuante na laje L i Q k,pi Reação e apoio evia à carga aciental no pilar P i Q k,vi Reação e apoio evia à carga aciental na viga V i α a coeiciente para einição a lecha α coeiciente para einição o momento letor poitivo na ireção α y coeiciente para einição o momento letor poitivo na ireção y β c valor aimenional auiliar β valor aimenional que eine a tenão e tração reerente à armaura A β coeiciente para einição o momento letor negativo (bora) na ireção β valor aimenional que eine a poição a linha neutra β y coeiciente para einição o momento letor negativo (bora) na ireção y β z valor aimenional que eine o braço e alavanca o binário e orça R c1, R 1 φ iâmetro a barra a armaura φ l iâmetro a barra longituinal γ c coeiciente e poneração a reitência o concreto γ conc arm peo epecíico o concreto armao γ cont pio peo epecíico o contra-pio γ g coeiciente e poneração para açõe permanente ireta γ geo peo epecíico o geo γ mat peo epecíico o material coeiciente e poneração para açõe variávei ireta γ q upr/tc405

384 γ reb γ γ tij ρ 1 τ R peo epecíico o reboco coeiciente e poneração a reitência o aço peo epecíico o tijolo taa e armaura eitente na região próima ao apoio tenão reitente e cálculo ao cialhamento 8.1. Símbolo ubcrito bal bar conc arm cont pio cor ei com e i geo lim maior mat menor min nec par po princ reb taco tij balanço barra concreto armao contra-pio corrigio eiício comercial eetivo iuração geo limite maior material menor mínimo neceário paree poitivo principal reboco taco tijolo 8.13 Eercício E. 8.1: Dimenionar e etalhar a armaura poitiva e negativa o painel e laje abaio repreentao. Dao: concreto: C0; e aço: CA-60. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); epeura a laje (h): 11 cm; altura útil a laje (): 8 cm; carga permanente (g k ): 4,5 kn/m (peo próprio incluío); e carga aciental (q k ):,0 kn/m. Ob.: a carga aciental atua imultaneamente na ua laje; a armaura a laje evem er alternaa; e a imenõe a igura correponem a centímetro upr/tc405

385 15 L1 L E. 8.: Para o painel abaio inicao, eterminar o valor a carga aciental uniormemente itribuía (q k ) que a laje poem uportar. Dao: concreto: C0; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); epeura a laje (h): 1 cm; altura útil a laje (): 9 cm; armaura poitiva: 1 φ e 8 15 cm na ua ireçõe; armaura negativa: 1 φ e 8 10 cm; e carga permanente (g k ): 5 kn/m (peo próprio incluío). Ob.: a carga aciental atua imultaneamente na ua laje. 4 m 7 m 7 m E. 8.3: Dimenionar e etalhar a armaura poitiva e negativa o painel e laje abaio repreentao. Dao: concreto: C5; e aço: CA upr/tc405

386 Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); epeura a laje (h): 10 cm; altura útil a laje (): 7 cm; carga permanente (g k ): 4 kn/m (peo próprio incluío); e carga aciental (q k ): kn/m. Ob.: a carga aciental atua imultaneamente na ua laje; a armaura a laje evem er alternaa; e a imenõe a igura correponem a centímetro L L E. 8.4: A igura abaio repreenta a orma e um pavimento e um eiício. Sabeno-e que a laje erão carregaa, além o peo próprio, por uma carga e revetimento e 1,50 kn/m e por uma carga aciental igual a,0 kn/m, pee-e eterminar e etalhar a armaura poitiva e negativa o painel e laje. Dao: concreto: C5; e aço: CA-50. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); epeura a laje (h): 10 cm; altura útil a laje (): 7 cm; e peo epecíico o concreto armao: 5 kn/m 3. Ob.: a carga aciental atua imultaneamente na trê laje; e a armaura a laje evem er alternaa upr/tc405

387 3 m 3 m 4 m L1 L,4 m L3 E. 8.5: A igura abaio repreenta um painel e laje e um pavimento e um eiício. Sabeno-e que a laje etão carregaa, além o peo próprio, por uma carga e revetimento e 1,50 kn/m e por uma carga aciental igual a,0 kn/m, pee-e eterminar a armaura poitiva e negativa a laje L3. Dao: concreto: C5; e aço: CA-60. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); epeura a laje (h): 11 cm; altura útil a laje (): 8 cm; e peo epecíico o concreto armao: 5 kn/m 3. Ob.: a carga aciental atua imultaneamente na trê laje; e a armaura a laje evem er alternaa. L1,5 m L L3 4,0 m 6,0 m 4,0 m upr/tc405

388 E. 8.6: Apreenta-e, na igura abaio, o equema etrutural e um pavimento contituío por trê laje maciça e concreto armao. Determinar a armaura neceária na poiçõe N1, N e N3 (cm /m). Dao: concreto: C5; e aço: CA-60. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); epeura a laje (h): 10 cm; altura útil a laje (): 7 cm; carga permanente (g k ): 4 kn/m (peo próprio incluío); e carga aciental (q k ): kn/m. Ob.: a carga aciental atua imultaneamente na trê laje; e a imenõe a igura correponem a centímetro L1 N1 L N N3 L E. 8.7: Determinar a máima carga aciental (q k ) que o painel e laje abaio repreentao poe uportar. Dao: concreto: C5; e aço: CA-60. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ 1,15); epeura a laje (h): 11 cm; altura útil a laje (): 8 cm; armaura poitiva: 1 φ e cm na ua ireçõe; armaura negativa: 1 φ e cm; e carga permanente (g k ): 4 kn/m (peo próprio incluío). Ob.: a carga aciental atua imultaneamente na ua laje upr/tc405

389 5,0 m L1 L, m 5,0 m E. 8.8: Determinar, para o painel e laje abaio repreentao: a. o iagrama e momento letore (valore e cálculo) na ireção ; b. a armaura negativa neceária na bora (encontro) a laje L1/L; e c. a armaura poitiva, na ireção, a laje L3. Dao: concreto: C5; e aço: CA-60. Conierar: omente olicitaçõe normai (momento letor); etao limite último, combinaçõe normai, eiicação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ c 1,4 e γ 1,15); epeura a laje (h): 1 cm; altura útil a laje (): 9 cm; revetimento: 1 kn/m ; carga aciental (q k ): 6 kn/m ; e peo epecíico o concreto armao: 5 kn/m 3. Ob.: a carga aciental atua imultaneamente na trê laje; e a armaura a laje evem er alternaa. 6,0 m L1 L 4, m 9,0 m y L3 6,0 m 3,0 m 7,0 m upr/tc405