2 a Prova de EDI-38 Concreto Estrutural I Prof. Flávio Mendes Outubro de 2006 Sem consulta (duração: 2 h)

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1 1 a rova de EDI-38 Concreto Estrutural I rof. Flávio Mendes Outubro de 006 Sem consulta (duração: h) Considere os seguintes dados numéricos: Seção retangular (base = 0,0 m altura = 0,50 m) com duas camadas de barras (nc =). osicionamento simétrico das camadas: δ = d 0 /h =0, 0. Aço CA-5 (f yk = 50 Ma; γ s =1, 15; E s = 10 Ga). Concreto C0, diagrama parabólico-retangular (f ck =0Maelembrarqueσ cd =0, 85 f ck /γ c eque γ c =1, 40). 1 a Questão Considere a seção submetida aos esforços adimensionais ν =0, 7663 e μ =0, Dimensione a taxa mecânica de armadura (ω) considerando que a armadura seja duplamente simétrica, ou seja, ω 1 = ω. Faça um esboço da armadura considerando φ0. a Questão Considere a seção submetida aos esforços adimensionais ν =0, 3009 e μ =0, Dimensione a taxa mecânica de armadura (ω) considerando que não se deseja arbitrar, a priori, a proporção de área de armadura em cada camada, ou seja, considere como incógnitas ω 1 e ω. Considere, ainda, que a profundidade adimensional da linha neutra a ser arbitrada na Zona C seja igual a 0, 3 (ou seja, não deve ser arbitrada a profundidade β x,lim ). Faça um esboço da armadura considerando φ0. 3 a Questão Considerando, diferentemente das outras questões, o diagrama retangular simplificado (RS) 1, analise, e justifique, se a afirmação seguinte é verdadeira (arranjo dearmaduraduplamentesimétrico): Quando o somatório ω i α i se anula pelo escoamento simlutâneo das camadas da barras, é válido afirmar que o maior momento fletor resistido pela seção é dado por μ = ω 1 δ. /F M N/SW3.5 Questão 1 3 Valor 5,0 5,0 1,0 Anotamáximadaprovaédez(10,0) 1 Lembrar que, neste caso, tem-se η a = η /.

2 Adimensionais (FNC) ν = N d σ cd A c μ = M d σ cd A c h ω = A s f yd A c σ cd ω i = A si f yd A c σ cd p i = A si A s = ω i ω α i = σ si f yd R cc η = σ cd A c η a = η a h β x = x h β i = d i h Equações de equilíbrio (FNC) δ = d0 h β cg = cg h Xnc ν = η + ω i α i nc X νβ cg μ = η a + ω i β i α i Funções η e η a para seção retangular (Diagrama R: parabólico-retangular) 0 Domínio 1 5 β x (3 β 1 8 β x ) 3(β 1 β x ) Domínio a η = 16 β x β β x 1 Domínio b Domínios 3, 4 e 4a β x β x 1 (7 β x 3) Domínio 5 0 Domínio 1 5 β 3 x (4 β 1 9 β x ) 1 (β 1 β x ) Domínio a η a = 171 β x β x β 1 + β β x 98 Domínio b Domínios 3, 4 e 4a (5 49 β x )(37 49 β x ) 98 (7 β x 3) Domínio 5 Funções η e η a para seção retangular (Diagrama RS: retangular-simplificado) 0 β x 0 η = 0, 8 β x 0 β x 1, 5 1 β x 1, 5 0 β x 0 η a = 0, 3 β x 0 β x 1, 5 1 β x 1, 5

3 Alguns resultados numéricos 1 a Questão Base b = +0,0000 cm Altura h = +50,0000 cm f ck = +0,0000 Ma σ cd = +1,149 Ma Dimensionamento para: ν =+0,7663 e μ =+0,1751 Aço: f yk = +50,0000 Ma, Classe= A ε yd = +1,035 (por mil) f yd = +17,3913 Ma, E s =+10,0000 Ga ara arranjos simétricos: p i α i =0quando +0, 1101 β x +0, , 0549 ν +0, 61 Camada i p i β i +0, , , ,9800 Fronteiras entre os domínios e Zona O: Domínio β x η μ o = η/ η a 1- +0, , ,0000 a-b +0, , , ,541 +0,057 +0, (lim) +0, ,61 +0, a +0, , ,0733 4a-5 +1, , ,0680 Há necessidade teórica de armadura! μ o =+0,0814 β x =+0,9466 Iteração 1: β x =+0, 9466 (1) () η =+0, 7663 η a =+0, ,461 +1, ,135-0,1193 (3) (4) (5) p i α i =+0, 4404 p i α i β i = 0, 0485 β i = 0, 1100 Equaçãodareta:μ =+0, 6100 ν 0, 3861 ara μ =+0, 1751 tem-se ν =+0, 9199 ν =+0, 9199 μ =+0, 1751 Diferença para o ν desejado: +0,0400 % N d =+1, 1170MN M d =+10, 6311MN.cm ω =+0, 3487 A s =+19, 4800 cm ρ =+1, 9480 % Iteração : β x =+0,

4 (6) (7) (8) (9) (10) η =+0, 6383 η a =+0, ,411 +1, ,8500-0,811 p i α i =+0, 0894 p i α i β i = 0, 394 β i = 4, 3870 Equaçãodareta:μ =+4, 8870 ν 3, 0097 ara μ =+0, 1751 tem-se ν =+0, 6517 ν =+0, 6517 μ =+0, 1751 Diferença para o ν desejado: -14,9586 % N d =+0, 7913MN M d =+10, 6311MN.cm ω =+0, 1494 A s =+8, 3458 cm ρ =+0, 8346 % Iteração 3: β x =+0, 8561 (11) (1) (13) (14) (15) η =+0, 6930 η a =+0, ,418 +1, ,5065-0,4893 p i α i =+0, 553 p i α i β i = 0, 98 β i = 0, 8998 Equaçãodareta:μ =+1, 3998 ν 0, 8704 ara μ =+0, 1751 tem-se ν =+0, 7469 ν =+0, 7469 μ =+0, 1751 Diferença para o ν desejado: -,5341 % N d =+0, 9069MN M d =+10, 6311MN.cm ω =+0, 109 A s =+11, 7795 cm ρ =+1, 1780 % Iteração 4: β x =+0, 8699 (16) (17) η =+0, 704 η a =+0, , , ,4430-0,479 4

5 5 (18) (19) (0) p i α i =+0, 860 p i α i β i = 0, 1997 β i = 0, 6981 Equaçãodareta:μ =+1, 1981 ν 0, 7464 ara μ =+0, 1751 tem-se ν =+0, 769 ν =+0, 769 μ =+0, 1751 Diferença para o ν desejado: +0,373 % N d =+0, 9340MN M d =+10, 6311MN.cm ω =+0, 71 A s =+1, 689 cm ρ =+1, 683 % Iteração 5: β x =+0, 8681 (1) η =+0, 707 () η a =+0, 538 (3) (4) (5) +3, , ,451-0,4358 p i α i =+0, 81 p i α i β i = 0, 036 β i = 0, 716 Equaçãodareta:μ =+1, 16 ν 0, 7609 ara μ =+0, 1751 tem-se ν =+0, 766 ν =+0, 766 μ =+0, 1751 Diferença para o ν desejado: -0,0156 % N d =+0, 9304MN M d =+10, 6311MN.cm ω =+0, 49 A s =+1, 5605 cm ρ =+1, 560 % Iteração 6: β x =+0, 868 (6) η =+0, 708 (7) η a =+0, 538 (8) (9) (30) +3, , ,4509-0,4356 p i α i =+0, 8 p i α i β i = 0, 034 β i = 0, 708

6 Equaçãodareta:μ =+1, 08 ν 0, 7604 ara μ =+0, 1751 tem-se ν =+0, 7663 ν =+0, 7663 μ =+0, 1751 Diferença para o ν desejado: -0,007 % N d =+0, 9305MN M d =+10, 6311MN.cm ω =+0, 49 A s =+1, 5645 cm ρ =+1, 565 % Resultado final: φ0 em cada camada ( na superior e na inferior). Este arranjo é meramente didático, há problemas de detalhamento. Críticas neste sentido são bem-vindas na finalização da questão. Observação: obviamente foram feitas mais iterações do que o estritamente necessário para uma precisão adequada dos resultados. a Questão Lembrar que 0 < ν < 1 e, portanto, só poderíamos ter Zonas B, C, D ou O. A análise de Zona Omostraqueháanecessidadeteóricadearmadura(μ o =+0,1039 β x =+0,3713). Como ν > η (β x =0, 3) = 0, 49 fica-se com a dúvida entre as zonas B ou C. Calculando a fronteira entre as Zonas B e C obtem-se μ BC =0, 1190 > μ. O dimensionamento será realizado, portanto, na Zona B (A s1 =0por definição). A figura seguinte ilustra o posicionamento do par de esforços. A linha neutra calculada (equação de o grau): 0, 9663 β x = 0, O valor positivo é a resposta do problema. A camada superior tem deformação ε s =3, 969 e, portanto, α =1. O cálculo da armadura superior resulta em ω =0, Oresultado final é A s =1, 04 cm,ou seja, 1φ0. Naturalmente este arranjo também é meramente didático, não sendo possível na prática. Críticas neste sentido são bem-vindas na finalizaçãodaquestão. Observação: Notar que o problema não se encontra na Zona D, como seria concluído se a linha neutra arbitrada na Zona C fosse a fronteira entre os Domínios 3e4enãoaquelepropostonaquestão(conformefigura seguinte). 6

7 7 3 a Questão articularizando para duas camadas, como foi pedido no enunciado, e levando em consideração que as camadas escoam ( α 1 = α =1)chega-se ao sistema ν = η, μ = ν (1 ν)+ω (1 δ). Derivando a segunda equação em relação ao esforço normal e igualando-se a zero obtem-se dμ dν =0 ν = 1 μ = ω (1 δ). A expressão está correta desde que ν =0, 5 cause o escoamento simultâneo das camadas de barras, conforme hipótese da questão. Se isto não for verdade o momento máximo será um daqueles calculados com os extremos do intervalo de linha neutra onde o escoamento simultâneo das camadas ocorra.