Universidade Federal do Rio de Janeiro. Circuitos Elétricos I EEL420. Módulo 2

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuitos Elétricos I EEL420 Módulo 2 Thévenin Norton Helmholtz Mayer Ohm Galvani

2 Conteúdo 2 Elementos básicos de circuito e suas associações Resistores lineares e invariantes Curto circuito Circuito aberto Resistor linear e variante Resistores não lineares e invariantes Diodo Diodo túnel Associação de resistores Associação série Associação paralela Fonte de tensão independente Associação de fontes de tensão Fonte de corrente independente Associações de fontes de corrente Modelo de Thévenin e Norton Associação de fontes e resistores Divisor de tensão Divisor de corrente Fontes controladas Exercícios Solução...22

3 2 Elementos básicos de circuito e suas associações Resistor, diodo, transistor, válvula, capacitor, indutor e transformador, entre outros componentes reais de um circuito, podem ser representados por modelos básicos ou associação destes modelos, cada qual apresentando apenas 1 propriedade física (resistência, capacitância, indutância ). 2.1 Resistores lineares e invariantes Os resistores são os elementos de circuito mais comuns e concentram a característica de resistência elétrica, ou seja, de oposição a passagem da corrente elétrica. Existem diversos símbolos para o resistor: na Europa se utiliza um retângulo (como os elementos apresentados no módulo anterior), nos Estados Unidos e no Brasil o símbolo mais comum é apresentado na próxima figura. O resistor é caracterizado pelas seguintes relações: v t =R i t, onde R é resistência (Ohm W). i t =G v t, onde G é condutância (Siemens S) R=G 1 Normalmente R e G são lineares (como mostrado no gráfico v i da próxima figura) e invariantes com o tempo, mas isto não é uma exigência. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 1

4 OBS.: São condições essenciais para a linearidade: f x = f x f x 1 x 2 = f x 1 f x Curto circuito O curto circuito acontece sempre que entre dois pontos de um circuito R=0. Por esta razão a diferença de tensão entre os terminais de um curto circuito é zero, independente da corrente que circula por este elemento. Idealmente o curto circuito é representado por um fio. Num gráfico v i o curto circuito se caracteriza por ser uma reta paralela ao eixo da corrente e que passa pela origem Circuito aberto Um circuito aberto é caracterizado por apresentar R=. Por esta razão não há circulação de corrente por um circuito aberto, independente da tensão aplicada a seus terminais. Idealmente o curto circuito é representado por dois nós não conectados. Num gráfico v i o curto circuito se caracteriza por ser uma reta paralela ao eixo da tensão e que passa pela origem. 2.2 Resistor linear e variante Um resistor linear e variante é aquele que apresenta uma relação linear entre tensão e corrente porém com dependência temporal para o valor do resistor. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 2

5 v t =R t i t Exemplo: Calcular v(t) quando R=R A R B cos 2 f 1 t e i t = A cos 2 f 2 t. v(t)=x cos(2 π f 2 t)+y cos[2 π ( f 1 + f 2 ) t]+z cos[2 π ( f 1 f 2 ) t ] Observe que para cada instante de tempo a resistência é um valor constante, logo a resistência é linear, porém este valor varia com o tempo. 2.3 Resistores não lineares e invariantes Resistores não lineares e invariantes são aqueles que apresentam uma relação não linear entre tensão e corrente, porém são invariantes com o tempo (não são funções do tempo) Diodo O diodo é um resistor variável cujo símbolo e curva v i são apresentados nas próximas figuras. Observe que a curva v i não é simétrica o que significa que este elemento apresenta polaridade, ou seja, dependendo de como ele for ligado ao circuito este terá um comportamento diferente. onde K T q Tradicionalmente o diodo é modelado pela equação q v t i t =I S e 1 K T 26mV para a temperatura ambiente. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 3

6 Observando com atenção a curva v i do diodo observamos que ela se parece muito com a curva de uma chave ideal comutada por corrente. Uma chave ideal pode ser modelada por um curto circuito ou por circuito aberto dependendo de estar fechada ou aberta respectivamente. Um modelo mais realístico pode representar a resistência de contato elétrico (R1) quando a chave está fechada e uma resistência de isolação (R2) quando a chave esta aberta. A figura seguinte mostra este modelo. É muito comum, na prática, simplificar os cálculos de circuitos que utilizam diodos substituindo seu comportamento real (descrito pela exponencial acima) por uma chave controlada (um curto circuito ou circuito aberto) associada a fontes e resistores. Desta forma um componente não linear, o diodo, é representado por uma associação de elementos lineares e invariantes com o tempo, o que torna mais simples a análise e o projeto de circuitos com este componente Diodo túnel O diodo túnel, cujo símbolo é apresentado na figura a seguir, é um diodo construído por processos especiais que levam a uma curva v i bastante interessante e que pode ser visualizado no gráfico abaixo. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 4

7 Observa-se, no gráfico, que a resistência do diodo túnel é não linear e controlada por tensão (o gráfico de i em função de v é uma função não inversível). Observa-se também, que R é negativo para uma faixa de valores (o que será útil em osciladores e filtros). Elementos com resistência positiva dissipam energia ao passo que resistências negativas podem fornecer energia. Resistências negativas, como a do diodo túnel e de outros elementos de circuito, só existem em uma determinada faixa de operação e dependem de energia externa para serem obtidas. Não existe nenhum elemento real de circuito que tenha comportamento de resistência negativa em toda sua faixa de operação. Tanto o diodo comum quanto o diodo túnel apresentam curvas não simétricas com relação a origem o que significa que estes elementos têm polaridade. 2.4 Associação de resistores Associação série A associação série de resistores é aquela onde um terminal de um resistor se conecta a um terminal do próximo formando uma sequência de resistores. Esta associação, ilustrada na Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 5

8 figura abaixo pelos resistores e R 2, tem um comportamento elétrico semelhante ao de uma resistência equivalente R EQ entre os nós A e C da associação. O valor da resistência equivalente pode ser calculada da seguinte maneira: Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff no circuito da esquerda temos que v=v R1 v R2 v=i I R 2 v= I R 2. No circuito da direita temos v=i R EQ. Por comparação entre os dois circuitos temos que R EQ = R 2 Genericamente R EQ = R n (a resistência equivalente é maior que todas as resistências individuais da associação). Cabe ressaltar que a resistência equivalente da associação é equivalente apenas do ponto de vista da tensão e da corrente nós A e C (figura anterior) pois a potência dissipada pelos resistores será diferente da potência dissipada pelo equivalente assim como a tensão sobre cada resistor será diferente da tensão sobre o resistor equivalente. A figura anterior também apresenta um símbolo até agora não utilizado: Um triângulo ligado ao nó C. Este símbolo marca o nó como se fosse um nome e costuma ser utilizado para representar uma referência de tensão (também chamado de terra, massa, chassi, retorno ). Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 6

9 Quando ele está presente no circuito as medidas de diferença de tensão são dadas com relação a este ponto. Abaixo vemos curvas de tensão em função da corrente para a associação série apresentada anteriormente. A tensão V a equivale a diferença de tensão V A V C, a tensão V b equivale a diferença de tensão V B V C, por outro lado a tensão V A, B ou V AB equivale a diferença de tensão V A V B. Estas representações de diferenças de potencial são comuns em circuitos e sempre que se deseja expressar uma diferença de tensão entre um nó qualquer do circuito e a referência basta indicar o nome deste nó. Quando a diferença de potencial se refere a uma medida que não inclua o nó de referência então se indicam os dois nós para os quais a diferença de tensão está sendo fornecida ou solicitada Associação paralela A associação paralela de resistores é aquela onde um dos terminais de cada resistor se conecta a um determinado nó e os demais terminais se conectam a um outro nó. Esta associação, ilustrada na figura abaixo pelos resistores e R 2, tem um comportamento elétrico semelhante ao de uma resistência equivalente R EQ entre os nós A e C da associação. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 7

10 O valor da condutância equivalente pode ser calculado da seguinte maneira: Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff no circuito da esquerda i TOTAL =i R1 i R2 i TOTAL =v G 1 v G 2 i TOTAL =v G 1 G2. No circuito da direita i TOTAL =v G EQ. Assim, por comparação entre os dois circuitos G EQ =G 1 G 2 Genericamente G EQ = G n (a condutância equivalente é maior que todas as condutâncias individuais da associação, ou seja, a resistência equivalente é menor que todas as resistências da associação). Novamente aqui, assim como em todas as associações realizadas nesta disciplina, o conceito de equivalente está diretamente relacionado com o comportamento da tensão e da corrente entre dois nós, ou seja, para que dois circuitos sejam equivalentes a equação de tensão em função de corrente para quaisquer dois nós deve ser igual em ambos os circuitos. A figura abaixo mostra o gráfico das condutâncias formadas por, R 2 e R EQ Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 8

11 2.5 Fonte de tensão independente As fontes de tensão são elementos capazes de absorver ou fornecer energia a circuitos mantendo constante a diferença de potencial entre seus terminais, independentemente da corrente que circule pela fonte. Existem diversos símbolos para a fonte, mas o mais comum está representado na figura abaixo. Observe na figura seguinte que a curva v i da fonte de tensão é uma reta paralela ao eixo da corrente, como se fosse um curto circuito (a resistência de uma fonte de tensão ideal é zero) porém esta curva não passa pela origem, ou seja, não tem um comportamento linear. Correntes positivas estão associadas ao sentido de referência mostrado na figura acima (observe os sentidos de referência adotados no módulo 1) e nesta região a fonte absorve energia (p>0) ou seja, está sendo carregada. Quando a corrente é negativa (sentido contrário ao de referência) a fonte fornece energia (p<0). Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 9

12 Fontes de tensão reais apresentam uma diminuição da tensão em seus terminais que é proporcional a corrente fornecida para a carga. A figura abaixo apresenta um modelo para fonte de tensão real formado por uma fonte de tensão ideal vo em série com uma resistência R S. Esta fonte está sendo utilizada para alimentar uma carga R L. Equacionando o circuito da fonte de tensão e resistor R S como um elemento de circuito (adotando os sentidos de referência propostos no módulo 1) e aplicando a lei das tensões de Kirchhoff temos que v i =Rs i vo ou i v = v Rs vo Rs O comportamento v i da fonte de tensão real é semelhante ao mostrado na figura a seguir. Neste exemplo, vo=10v e R S =10. Observe que com estes valores a curva de tensão nos terminais da fonte está longe de ser considerada constante, mas a medida que Rs for diminuído a curva torna-se mais parecida com a da fonte ideal. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 10

13 2.5.1 Associação de fontes de tensão Fontes de tensão podem ser associadas em série e em paralelo (figura abaixo). Se forem conectadas em série a fonte de tensão equivalente será dada pela soma algébrica das tensões de cada fonte. Por outro lado, se as fontes forem conectadas em paralelo todas devem ter o mesmo valor e a mesma polaridade. Isto deve ocorrer para que o somatório das tensões em cada caminho fechado seja nulo, obedecendo a LTK. 2.6 Fonte de corrente independente As fontes de corrente são elementos capazes de absorver ou fornecer energia a circuitos mantendo constante a corrente que atravessa seus terminais, independentemente da diferença de tensão entre eles. Existem diversos símbolos para a fonte de corrente, mas o mais comum está representado na figura seguinte. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 11

14 Observe na figura abaixo que a curva v i da fonte de corrente é uma reta paralela ao eixo da tensão, como se fosse um circuito aberto (a resistência de uma fonte de corrente ideal é infinita) porém esta curva não passa pela origem, ou seja, não tem um comportamento linear. Tensões positivas estão associadas ao sentido de referência mostrado na figura acima e nesta região a fonte absorve energia (p>0) ou seja, está sendo carregada. Quando a tensão é negativa (sentido contrário ao de referência) a fonte fornece energia (p<0). Fontes de corrente reais apresentam uma diminuição da corrente de saída a medida que a tensão nos terminais da fonte aumenta. A figura abaixo apresenta um modelo de uma fonte de corrente real, representada por uma fonte de corrente ideal io e uma resistência R S. Esta fonte está sendo utilizada para alimentar a carga R L. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 12

15 Podemos equacionar o circuito formado pela fonte de corrente e pelo resistor R S adotando os sentidos de referência e a lei das correntes Kirchhoff. v i =Rs i Rs io ou i v = v Rs io O comportamento v x i da fonte de corrente real é semelhante ao mostrado na figura abaixo. Neste exemplo, io=1a e R S =10. Observe que a curva da corrente em função da tensão não é constante, mas a medida que R S aumenta a curva real se aproxima da ideal. Observe que os exemplos dados para as fontes de corrente e de tensão reais apresentam resistência R S muito distantes do que seria razoável para modelar o comportamento destas fontes. Por esta razão as curvas v i apresentadas nos dois exemplos são idênticas. Isto significa que estes circuitos podem ser considerados equivalentes Associações de fontes de corrente Fontes de corrente podem ser associadas em série ou em paralelo (figura seguinte). Se forem ligadas em série todas as fontes devem ter a mesma intensidade e o mesmo sentido para que seja respeitada a LCK. Se ligadas em paralelo podem ter qualquer valor e sentido e, neste caso, a fonte equivalente corresponde a uma fonte cuja intensidade e sentido é dada pela soma algébrica das correntes das fontes individuais. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 13

16 2.7 Modelo de Thévenin e Norton Como foi mostrado, a curva v i de um circuito formado pela associação série de uma fonte de tensão com ou resistor pode ser igual à curva v i de um circuito formado pela associação de uma fonte de corrente em paralelo com um resistor. Se isto acontece os circuitos são considerados equivalentes. Estes equivalentes recebem nomes especiais (Thévenin e Norton respectivamente) e podem ser vistos na figura abaixo. Para substituir um equivalente Thévenin por um Norton e vice-versa basta comparar as equações de cada equivalente. Comparando as equações de tensão dos dois circuitos temos v i =Rs i Rs io, v i =Rs i vo observa-se que as equações ficam iguais se vo=rs io. Neste caso as duas equações representam uma reta com inclinação Rs e intersepto vo. Comparando-se as equações de corrente i v = v Rs io, i v = v Rs vo Rs observa-se que as equações ficam iguais se io=vo Rs 1. Neste caso as duas equações representam retas com inclinação Rs 1 e intercepto io. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 14

17 2.8 Associação de fontes e resistores Divisor de tensão Um problema muito comum em circuitos é o cálculo da tensão sobre um resistor numa ligação série de fonte de tensão e resistores, conforme indicado na figura a seguir. A tensão v pode ser obtida da seguinte maneira: vs i TOT = R 2 R 3 v=i TOT R 2 vs v= R R 2 R 2 3 Genericamente v i = vs R i R n Divisor de corrente Outro problema muito comum é o cálculo de uma determinada corrente num circuito paralelo entre uma fonte de corrente e resistores, como ilustrado na figura abaixo. A corrente i1 pode ser obtida da seguinte maneira is v TOT = G 1 G 2 G 3 i 1 =v TOT G 1 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 15

18 is i 1 = G G 1 G 2 G 1 3 Genericamente i i = is G i G n 2.9 Fontes controladas Uma fonte controlada é um elemento de circuito com 2 braços onde o primeiro é formado por um curto circuito ou circuito aberto e o segundo por uma fonte de tensão ou corrente. A forma de onda na fonte do segundo braço é uma função na tensão de circuito aberto ou da corrente de curto circuito do primeiro braço, ou seja, a fonte do segundo braço é controlada pela tensão ou corrente no primeiro braço. Assim, existem quatro combinações possíveis de fontes controladas que estão representadas na figura abaixo. Fonte de corrente controlada por corrente: i 2 =α i 1 Fonte de corrente controlada por tensão: i 2 =gm v 1 Fonte de tensão controlada por tensão: v 2 = μ v 1 Fonte de tensão controlada por corrente: v 2 =rm i 1 Estas fontes são muito comuns em eletrônica e representam o funcionamento de circuitos ou elementos como transistores, amplificadores operacionais e válvulas. Os símbolos utilizados diferem um pouco na literatura e nos simuladores. Via de regra o símbolo da fonte continua o mesmo utilizado para fontes independentes ou assume um formato de losango. A dependência com a corrente ou a tensão do primeiro braço é explicitada pela equação que governa o funcionamento da fonte. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 16

19 Diferente das fontes independentes, fontes controladas representadas por, gm, e rm constantes são fontes lineares e invariantes com o tempo mas também podem existir fontes controladas não lineares e variantes. As fontes independentes costumam representar absorção ou fornecimento de energia em decorrência da ação do mundo externo e são componentes não lineares por natureza. As fontes controladas representam comportamento de elementos eletrônicos (resistores, por exemplo) acoplados e podem ser elementos lineares. Nos exemplos mostrados acima, com coeficientes constantes, a impedância de uma fonte de corrente controlada não é infinita e a impedância de uma fonte de tensão controlada não é zero. De resto as fontes controladas podem ser consideradas fontes de tensão ou corrente e assim são consideradas na análise de circuitos Exercícios 1) Observando a curva v i de um elemento é possível determinar se ele apresenta polaridade? 2) Para um elemento cuja relação v i é determinada por: v=50 i 0,5 i 3. a) Qual o valor da resistência deste elemento? b) Para correntes de 10 ma, 1 A e 10 A qual o erro em aproximar R por 100? c) Para correntes de 10 ma, 1 A e 10 A qual o erro em aproximar R pela sua resposta do item a? d) A corrente que circula por este elemento sempre apresenta as mesmas frequências da tensão sobre ele? 3) Calcule a resistência equivalente para os circuitos da figura abaixo Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 17

20 4) Apresente as curvas v i para as figuras abaixo (considerar o diodo como uma chave ideal controlada por corrente). Com base nestes resultados determinar como seria possível modelar a curva do diodo real apresentada na secção sobre resistores não lineares e invariantes. No LTSpice insira a diretiva spice:.model D d(n=0.001) para obter um diodo próximo do ideal. 5) Projetar um circuito resistivo de um acesso com resistores lineares, diodos ideais e fontes independentes que tenha a característica v i mostrada abaixo. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 18

21 6) Para os circuitos da figura abaixo calcule as tensões e as correntes sobre os elementos. Considere =1, =2 e =3. Determine quem absorve e quem fornece energia. 7) Determine a tensão, a corrente e a potência sobre cada elemento do circuito abaixo. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 19

22 8) Para a figura abaixo calcule as tensões V 1 e V 2. 9) Determine o modelo equivalente para os dois circuitos abaixo. 10) Abaixo são apresentadas duas redes resistivas: uma rede chamada T ou Y e outra rede chamada ou. Dependendo dos valores dos resistores estas redes podem ser equivalentes do ponto de vista dos terminais A, B e C. a) Determine os valores de RA, RB e RC para que a rede Y seja equivalente a uma dada rede. b) Determine os valores de R1, R2 e R3 para que a rede seja equivalente a uma dada rede Y. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 20

23 11) Utilizando apenas associação de resistores e transformação de modelos Thévenin- Norton determine o valor da tensão v. 12) Para a figura abaixo calcule a tensão sobre a carga (resistor R L ) 13) Para o circuito abaixo, calcular v L (tensão sobre o resistor R L ). Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 21

24 14) Para o circuito abaixo calcular a impedância vista pela fonte de corrente 15) Para os circuitos abaixo calcular o valor de v o considerando que o ganho A do amplificador operacional não é infinito. Determine o limite de v o quando o ganho A tende a infinito. Refaça as contas considerando que a fonte controlada da saída é uma fonte de tensão independente de valor v o e que a diferença de tensão entre as duas entradas do operacional é nula. Compare os resultados e explique o que aconteceu Solução 1) Observando a curva v i de um elemento é possível determinar se ele apresenta polaridade? Sim. Simetria ímpar indica elemento sem polaridade. 2) Para um elemento cuja relação v i é determinada por: v=50 i 0,5 i 3. a) Qual o valor da resistência deste elemento? b) Para correntes de 10 ma, 1 A e 10 A qual o erro em aproximar R por 100? c) Para correntes de 10 ma, 1 A e 10 A qual o erro em aproximar R pela sua resposta do item a? d) A corrente que circula por este elemento sempre apresenta as mesmas frequências da tensão sobre ele? Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 22

25 a) Genericamente a resistência deste elemento pode ser modelada como dv di =R=50+1,5 i 2 b) Erro de aproximadamente 100% na tensão para corrente de 10mA v 10mA =50 i 0,5 i 3 =0, V, v=00 Ω i=1v Erro de aproximadamente 98% na tensão para corrente de 1A v 1A =50 i 0,5 i 3 =50,5V, v=00 Ω i=100v Erro de 0% na tensão para corrente de 10A v 10A =50 i 0,5 i 3 =1000V, v=00 Ω i=1000v c) Erro de aproximadamente 0% na tensão para corrente de 10mA R(10mA)=50+1,5 i 2 =50,00001Ω, v= R i=0,500001v Erro de aproximadamente 2% na tensão para corrente de 1A R(1A)=50+1,5 i 2 =51,5Ω, v=r i=51,5v Erro de aproximadamente 100% na tensão para corrente de 10A R(10A)=50+1,5 i 2 =200 Ω, v=r i=2000v **Isto faz sentido? Como explicar estes números? Usando a expressão da resistência o erro não deveria estar próximo de 0%? Como escolher o melhor valor de resistência para linearizar este resistor? d) Não. Por exemplo, se i=sen(ω t), então i 3 =sen 3 (ω t). Isto significa que a tensão terá componentes de frequência diferentes da corrente ( i 3 = 0,25 sen(3 ω t)+0,75 sen(ω t) ). 3) Calcule a resistência equivalente para os circuitos a seguir Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 23

26 Circuito da esquerda: Req=R1 R2 R3 R2 R3 R4 R2 R3 Circuito da direita: Req=R1 R4 R2 R3 4) Apresente as curvas v i para as figuras abaixo (considerar o diodo como uma chave ideal controlada por corrente). Com base nestes resultados determinar como seria possível modelar a curva do diodo real apresentada na secção sobre resistores não lineares e invariantes. No LTSpice insira a diretiva spice:.model D d(n=0.001) para obter um diodo próximo do ideal. 5) Projetar um circuito resistivo de um acesso com resistores lineares, diodos ideais e fontes independentes que tenha a característica v i mostrada a seguir. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 24

27 Solução: Um circuito possível é apresentado abaixo. No simulador do tipo Spice modifique o parâmetro N do diodo para obter um comportamento mais próximo do ideal. Quanto menor o N mas próximo do ideal e mais problemas computacionais. No LTSpice insira a diretiva spice:.model D d(n=0.001) 6) Para os circuitos das figuras a seguir calcule as tensões e as correntes sobre os elementos. Considere =1, =2 e =3. Determine quem absorve e quem fornece energia. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 25

28 Circuito a esquerda =1, v R1 =v 1, i R1 =2 A, i V1 = 1 A, p V1 = 2W, p R1 =4 W, p I1 = 2W =2, v R1 =v 1, i R1 =1 A, i V1 =0 A, p V1 =0W, p R1 =2 W, p I1 = 2 W =3, v R1 =v 1, i R1 =2/3 A, i V1 =1/3 A, p V1 =2/3W, p R1 =4/3 W, p I1 = 2W Circuito a direita =1, v R1 =1V, i R1 =i I1, i V1 =i I1, p V1 =2W, p R1 =1W, p I1 = 3W =2, v R1 =2 V, i R1 =i I1, i V1 =i I1, p V1 =2W, p R1 =2 W, p I1 = 4W =3, v R1 =3 V, i R1 =i I1, i V1 =i I1, p V1 =2W, p R1 =3W, p I1 = 5W Circuito isolado, v R2 =3V, p R2 =3W =1, i R1 =2 A, i V1 = 1 A, p V1 = 2 W, p R1 =4 W, p I1 = 5W =2, i R1 =1 A, i V1 =0 A, p V1 =0W, p R1 =2 W, p I1 = 5W =3, i R1 =2/3 A, i V1 =1/3 A, p V1 =2/3W, p R1 =4/3W, p I1 = 5W 7) Determine a tensão, a corrente e a potência sobre cada elemento do circuito a seguir. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 26

29 Os resultados estão apresentados na tabela abaixo. As células pintadas correspondem as fontes que fornecem energia. I R1 =3A, V R1 =6V, P R1 =18W I R6 =4A, V R6 =16V, P R6 =64W I R5 =2A, V R5 =10V, P R5 =20W V I1 =V 7 +V R1 =26V, P I1 =78W I V10 = 4A, P V10 = 200W V I2 =V V8 +V R5 =25V, P=50W I R7 =V 9 / R 7 = 4A, V R7 = 40V, P R7 = 160W V I3 =V V10 +V R6 V V9 =26V, P=104W V R4 =15V, I R4 =2A, P R4 =30W V R2 =20V, I R2 =5A, P R2 =100W V R3 =V V9 V R2 V R4 =5V, I R3 =2A, P R3 = 10W I V7 =I R1 +I R3 I R2 =0A, P V7 =0W I V8 =I R3 +I R5 I R4 =2A, P V8 =30W I V9 =I R4 +I V8 +I I3 +I R7 -I I2 =10A, P V9 =400W 8) Para a figura abaixo calcule as tensões V 1 e V 2. v 2 =25V, v 1 = 1V Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 27

30 9) Determine o modelo equivalente para os dois circuitos abaixo. Circuito da esquerda igual a uma fonte de tensão de valor V1. Circuito da direita igual a uma fonte de corrente de valor I1. 10) Abaixo são apresentadas duas redes resistivas: uma rede chamada T ou Y e outra rede chamada ou. Dependendo dos valores dos resistores estas redes podem ser equivalentes do ponto de vista dos terminais A, B e C. a) Determine os valores de RA, RB e RC para que a rede Y seja equivalente a uma dada rede. b) Determine os valores de R1, R2 e R3 para que a rede seja equivalente a uma dada rede Y. a) R AC = RA RC, R AB = RA RB, R BC =RB RC R AC = R1 // R2 R3 = R1 R2 R3 R1 R2 R3 = R1 R2 R1 R3 R1 R2 R3 R AB = R2 // R1 R3 = R2 R1 R3 R1 R2 R3 = R1 R2 R2 R3 R1 R2 R3 R3 R1 R2 R BC =R3 // R1 R2 = R1 R2 R3 = R1 R3 R2 R3 R1 R2 R3 RA RC= R1 R2 R1 R3 R1 R2 R3 RA RB= R1 R2 R2 R3 R1 R2 R3 RB RC = R1 R3 R2 R3 R1 R2 R3 (1) (2) (3) Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 28

31 1 2 3 =2 RA, =2 RB, =2 RC RA= R1 R2 R1 R2 R3, RB= R2 R3 R1 R2 R3, RC= R1 R3 R1 R2 R3 b) considerando que R T =R1 R2 R3 então RA= R1 R2 RT, RB= R2 R3 RT, RC= R1 R3 RT RA RB= R1 R22 R3 RT 2, RA RC= R12 R2 R3 RT 2, RB RC = R1 R2 R33 RT 2 RA RB RA RC RB RC= R1 R22 R3 R1 2 R2 R3 R1 R2 R3 2 RT RA RB RA RC RB RC= RA RA R1 R2 R3 R1 2 R2 R3 R1 R2 R3 2 RT 2 1 RA RB RA RC RB RC= RT RA RA RB RA RC RB RC = R2 R3 R1 R3 R3 2 RA RT RA RB RA RC RB RC R3 R2 R1 R3 = RA R1 R2 R3 RA RB RA RC RB RC R3= RA RA RB RA RC RB RC R2= RC R1= RA RB RA RC RB RC RB, R3 R1 2 R2 R3 R1 R2 R3 2 R1 R2 R1 R22 RT 2 11) Utilizando apenas associação de resistores e transformação de modelos Thévenin- Norton determine o valor da tensão v. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 29

32 R 4 e R 6 não influenciam a tensão v e podem ser desconsiderados V 12 =V 1 V 2 =10 4 =6V O modelo Thevènin formado por V 12 e pode ser transformado em um Norton I 12 =V 12 / =6/2=3 A e =2. R eq = R 3 R 5 R 2 =1,14, e I eq =I 12 I 1 =3 10=13 A. Assim, v= I eq R eq =14,85V 12) Para a figura abaixo calcule a tensão sobre a carga (resistor R L ) v RL = R L gm v 1 e v 1 = v s R 2 v RL = R L gm v s R 2 com polaridade positiva para baixo. 13) Para o circuito abaixo, calcular v L (tensão sobre o resistor R L ). Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 30

33 Solução: v m v v = R = R 2 1 L L L R2 + RL R2 + RL v S v 1 = R R S 1 μ v v L = S R L R L R 2 R S 14) Para o circuito abaixo calcular a impedância vista pela fonte de corrente Solução: R E = V L = 1 a I L = 1 a R I L S I S Observe que dependendo do valor de a a impedância equivalente conectada em paralelo com a fonte de corrente varia. Se a=1 a impedância é nula e o circuito se comporta como um curto circuito. Se 0 a 1 a impedância será uma parcela da impedância da carga. Se a 1 a impedância é negativa. 15) Para os circuitos abaixo calcular o valor de v o considerando que o ganho A do amplificador operacional não é infinito. Determine o limite de v o quando o ganho A tende a infinito. Refaça as contas considerando que a fonte controlada da saída é uma fonte de tensão independente de valor v o e que a diferença de tensão entre as duas entradas do operacional é nula. Compare os resultados e explique o que aconteceu. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 31

34 Solução para o primeiro circuito. Redesenhando o circuito para facilitar o equacionamento i 1 = v i v o R 2 v _ =i 1 R 2 v o = v i v o R 2 R 2 v o v _ = v i R 2 v o R 2 v o = A v + v _ como v + =0, v o = A v _ v _ = v o A = v i R 2 +v o +R 2 v o = R 2 R 2 A v i lim v o = R 2 v A R i 1 Observe que se A tende a infinito e a saída v o é finita então a diferença de tensão entre as duas entradas do amplificador operacional obrigatoriamente deve ser nula. Considerando Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 32

35 antecipadamente as duas entradas do operacional com o mesmo potencial podemos resolver o problema da seguinte forma: v + =v _ =0 logo i 1 = v i = v o R 2, então v o = R 2 v i. Para o segundo circuito v + =v i v - = +R 2 v o v + v - = v o A v i v +R o = v o 2 A v o = ( R +R ) A 1 2 v i +R 2 + A v o = +R 2 + +R 2 A v i lim v o A =( 1+ R 2 ) v i Resolvendo da forma simplificada: v R1 =v i i R1 =i R2 = v v 0 i = v i R 2 v o =( 1+ R 2 ) v i Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 33

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