Física 1 Capítulo 7 Dinâmica do Movimento de Rotação Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori.

Transcrição

1 Fíica Capítulo 7 Dinâmica do Movimento de Rotação Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. Introdução: Ao uarmo uma chave de roda para retirar o parafuo para trocar o pneu de um automóvel, a roda inteira pode começar a girar, a meno que você decubra um meio de mantê-la firme. O que ocorre com a força que você realiza obre a chave de roda que ocaiona a rotação da roda? De modo geral, o que produz a aceleração angular em um corpo que gira? Uma força pode puxar, empurrar ma para produzir um movimento de rotação é neceária uma ação giratória ou de rotação. Analiaremo uma nova grandeza fíica, o torque, que decreve a ação giratória da força. Deenvolveremo um novo princípio de conervação, a lei da conervação do momento angular, que é extremamente útil para entender o movimento de rotação do corpo rígido e de corpo não rígido. Uma aplicação intereante é o movimento de um girocópio, que e comporta de acordo com a dinâmica do movimento de rotação. Torque Definimo como torque, ou momento da força F em relação a um ponto O como endo o produto da ditância l perpendicular entre o ponto O e a linha de ação da força e o módulo da força F : F. Aim: F l Em notação vetorial: r F Unidade: N.m Exemplo Um bombeiro hidráulico, incapaz de afrouxar a conexão de um tubo, encaixa um pedaço de ucata ( uma alavanca ) obre a hate da chave de grifa. A eguir ele ua eu peo de 900 N para ficar em pé na extremidade da alavanca. A ditância entre o centro da conexão e o ponto onde o peo atua é igual a 0.80 m, e o eixo da alavanca faz um ângulo de 9 com a horizontal. Calcule o módulo, a direção e o entido do torque que ele aplica em torno do centro de conexão.

2 Fíica Capítulo 7 Dinâmica do Movimento de Rotação Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. Solução: O ângulo entre r e F é igual a 90. Aim, o braço l da alavanca é: l 0.8 en09 l 0.76 m Fl N m Torque e aceleração angular de um corpo rígido. A relação fundamental para a dinâmica da rotação de um corpo rígido pode er feita e imaginarmo que o corpo contituí de um número grande de partícula. Ecolhemo para o eixo de rotação o eixo Oy; a primeira partícula de maa m etá a uma ditância r do eixo. Aim, a egunda lei de Newton para o movimento tangencial é: F m a,tan,tan F r m r,tan Somando obre toda a partícula: m r i i i Segunda lei de Newton para o movimento de rotação: I Exemplo Deenrolando um cabo. A figura motra a mema ituação motrada no exemplo do capítulo anterior. Um cabo é enrolado divera veze em torno de um cilindro ólido uniforme que pode girar em torno de eu eixo. O cilindro poui diâmetro igual a 0.0 m e maa de 50 kg. O cabo é puxado com uma força de 9.0

3 Fíica Capítulo 7 Dinâmica do Movimento de Rotação Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. N. Supondo que o cabo eja deenrolado em e dilatar e em delizar, qual ua aceleração? Solução: Fl N m I M R I I 0.09 kg m I rad 6.0 Exemplo 3 Deenrolando um cabo II. Suponha a mema ituação motrada no exemplo anterior. Ache a aceleração do objeto de maa m e a aceleração angular do cilindro. a atan R m g M a ma g a M m T M a g T M M m M g M m g T T m M m M m mm T g m M Exemplo 4 Um cavaleiro de maa m deliza em atrito ao longo de um trilho de ar horizontal. Ele etá ligado a um objeto de maa m por meio de um fio de maa deprezível. A polia é uma caca cilíndrica (ligada ao centro por raio de maa deprezível) com maa M e raio R, e o fio faz o cilindro em delizar nem dilatar. Ache a aceleração angular da polia e a tenão em cada parte do fio. 3 Solução: F m g T ma y O peo Mg e a força normal N não pouem torque em relação ao eixo de rotação. Aim: I R T I R T M R a R T M a Solução: A equaçõe de movimento para o cavaleiro e o objeto ão: y F T m a x F m g T m a Momento de inércia da polia em torno do eixo: I M R Coniderando poitivo o entido da rotação do ponteiro do relógio, a equação do movimento da polia é: I T R T R M R Como o fio não dilata nem deliza, temo a relaçõe cinemática adicionai:

4 Fíica Capítulo 7 Dinâmica do Movimento de Rotação Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. a a R Juntando a equaçõe, teremo: T m a m g T m a T T M a Somando a trê equaçõe e eliminando-e T e T : m a g m m M Subtituindo na relação acima: m m T g mm M mm m T g m m M 4 Movimento combinado de rotação e tranlação: Relaçõe envolvendo energia. Todo movimento de um corpo rígido pode er empre dividido em um movimento de tranlação do centro de maa e outro de rotação em torno do centro de maa. A energia cinética do corpo poui dua parcela: uma devida à tranlação do centro de maa e outra devida à rotação: K M vcm Icm Condição para rolamento em delizamento: v CM R

5 Fíica Capítulo 7 Dinâmica do Movimento de Rotação Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. Exemplo 5 Enrolamento de uma caca cilíndrica. Uma caca cilíndrica oca de raio R e maa M rola em delizar com uma velocidade v CM ao longo de uma uperfície plana. Qual a ua energia cinética? Solução: K M vcm Icm vcm K M vcm M R R K M v cm Exemplo 6 Velocidade de um ioiô. Um ioiô é feito enrolando-e um fio divera veze em torno de um cilindro de maa M e raio R. Mantém-e prea a extremidade enquanto o cilindro é liberado em velocidade inicial. O fio e deenrola, ma não deliza nem e dilata à medida que o cilindro cai e gira. Ue conideraçõe de energia para achar a velocidade do centro de maa v CM do cilindro ólido depoi que ele caiu a uma ditância h. Solução: K M vcm Icm v CM I M R R vcm K M vcm M R R 3 K M v cm 4 Aplicando a conervação da energia: K U K U 3 0 M g h M v cm vcm g h 3 Exemplo 7 Competição entre corpo girando. Em uma demontração durante a aula de fíica, o profeor faz uma competição de vário corpo rígido redondo, deixando-o rolar do alto de um plano inclinado. Qual a forma do corpo que alcança primeiro a parte inferior? Solução: K 0U Mgh U 0 K M vcm Icm K U K U 0 M g h M vcm Icm 0 Chamando de: I c M R cm vcm cm M g h M v c M R R M g h M vcm M vcm c gh M g h M vcm c vcm c Todo o cilindro ólido pouem a mema velocidade no ponto inferior do plano, memo quando pouem maa e raio diferente, poi ele pouem o memo valor da contante c. Toda a efera ólida pouem a mema velocidade na bae do plano. Quando menor o valor de c maior a velocidade do corpo quando ele chega na parte inferior do plano. Obervando a tabela de momento de inércia, vemo que a ordem de chegada do plano é: Qualquer efera maciça, qualquer cilindro maciço, qualquer efera oca com parede fina ou caca eférica e, finalmente, qualquer caca cilíndrica. Exemplo 8 Aceleração de um ioiô. Ache a aceleração de cima para baixo do ioiô e a tenão no fio. 5

6 Fíica Capítulo 7 Dinâmica do Movimento de Rotação Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. T M g 3 Exemplo 9 Aceleração de uma efera rolando. Uma efera de bliche ólida rola em delizar para baixo de uma rampa ao longo de uma guia. O ângulo de inclinação da rampa em relação à horizontal é. Qual é a aceleração da bola? Conidere a bola uma efera homogênea ólida, deprezando eu orifício. 6 Solução: A equação para o movimento de tranlação do centro de maa é: F M g T M a y O momento de inércia em relação a um eixo que paa pelo centro de maa: I M R Somente a força de tenão poui torque em relação a um eixo que paa pelo centro de maa é: T R Icm T R M R cm Como o fio e deenrola em e delizar: a CM vcm R a R R T M R acm CM T M a cm M g T M a cm M g M acm M acm M g M acm M acm 3 M g M acm acm g 3 T M a cm T M g 3 Solução: A figura motra o diagrama de corpo livre, motrando o entido poitivo da coordenada. Uando o momento de inércia da efera ólida: I M R 5 Equaçõe de tranlação e rotação do centro de maa e chamando de f a força de atrito: F M gen f M a x 5 a R R f R Icm f R M R Como: a CM Subtituindo, teremo: CM f M a cm 5 Mgen f M a cm M g en M acm M acm 5 M g en M acm M acm M g en M acm acm g en f M acm f M g en f M g en 7 Coeficiente de atrito: cm

7 Fíica Capítulo 7 Dinâmica do Movimento de Rotação Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. f N M g en 7 M g co 7 tg Trabalho e potência no movimento de rotação Podemo ecrever: dw F d d R d tan dw Ftan R d dw d W Podemo deenvolver: dw d d d dw I d dw I d d dw I d dw I d W I d Wtot I I dw d P Exemplo 0 Um anúncio fazendo propaganda da potência deenvolvida pelo motor de um automóvel afirma que o motor deenvolve W para uma rotação de 6000 rpm. Qual é o torque deenvolvido pelo motor? Solução: P P 6000 f 6000rpm Hz 60 f 00Hz f rad Nm Exemplo - Um motor elétrico deenvolve um torque contante de = 0 N.m obre o emeril montado no eu eixo motor. O momento de inércia é I =.0 kg.m². Sabendo que o itema começa a e mover a partir do repouo, calcule o trabalho realizado pelo motor em 8.0 e a energia cinética no intante final. Qual a potência média deenvolvida pelo motor? Solução: I I 0 rad t rad 40 K I K K 600 J 5 8 t 60 rad W W 060 W 600 J W 600 P P P 00W t 8 A potência intantânea P = não é contante, porque crece continuamente. Porém podemo calcular o trabalho total por: t t W P W t t 7

8 Fíica Capítulo 7 Dinâmica do Movimento de Rotação Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. t W t 05t t t8 t W 50 W 600J t0 8 0 Momento angular Uma grandeza análoga ao momento linear p de uma partícula é o momento angular, que repreentamo por L. Definimo como: L r p 8 L mvr en L mv l Pode-e motrar que a taxa de variação do momento angular é igual ao torque da força reultante: dr dp p r dr mdv mv r v mv r ma 0 Para um corpo rígido de i partícula, o momento angular de cada uma erá: L m v r i i i i L m r r i i i i i L m r i i i i L L L m r i i i i LI r F

9 Fíica Capítulo 7 Dinâmica do Movimento de Rotação Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. 9 Exemplo A hélice da turbina de um motor a jato poui momento de inércia.5 kg.m² em torno do eixo de rotação. Quando a turbina começa a girar, ua velocidade angular em função do tempo é dada por 3 400t rad (a) Calcule o momento angular da hélice em função do tempo e ache eu valor em t = 3.0. (b) Determine o torque reultante que atua obre a hélice em função do tempo e calcule eu valor para t = 3.0.

10 Fíica Capítulo 7 Dinâmica do Movimento de Rotação Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. Solução: (a) L I L.5400 t L000 t kg L m L t (b) 000 t 000 t t N m Conervação do momento angular Princípio da conervação do momento angular: Ee princípio vale em toda ecala, dede o itema atômico como o planetário e decorre da equação: Quando i 0 0 i Podemo ecrever também: I I Exemplo 3 Qualquer um pode er bailarino. Um profeor de fíica acrobata etá de pé obre o centro de uma mea girante, mantendo eu braço etendido horizontalmente com um haltere de 5.0 kg em cada mão. ditância de.0 m do eixo e a ditância final é igual a 0.0 m. Conidere o haltere como partícula. Solução I I I prof haltere I 3 5 I 3kg m I I.6kg m rad f f Hz f T I I I 3 rad 5 I.6 I 3 f f f 0.5 f.5 Hz I.6 K I K 3 K 64 J K I K.6 5 K 30 J Exemplo 4 A figura motra dico, um dele é o volante de um motor e o outro é um dico ligado a um eixo de tranmião. Seu momento de inércia ão I A e I B, repectivamente; inicialmente ele etão girando com a mema velocidade angular A e B, repectivamente. A eguir empurramo o doi dico um contra o outro aplicando força que atuam ao longo do eixo, de modo que obre nenhum do doi dico urge torque em relação ao eixo. O dico permanecem unido um contra o outro e atingem uma velocidade angular final. Deduza uma expreão para. 0 Ele etá girando em torno de um eixo vertical completando uma volta a cada.0. Calcule a nova velocidade angular do profeor quando ele aproxima o doi haltere do eu etômago e dicuta como io modifica a ua energia cinética. Seu momento de inércia (em o haltere) é igual a 3.0 kg.m² quando eu braço etão ditendido para fora, diminuindo para. kg.m² quando ua mão etão próxima do eu etômago. O haltere etão inicialmente a uma

11 Fíica Capítulo 7 Dinâmica do Movimento de Rotação Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. Solução: O único torque que atua obre cada dico é o torque que cada dico exerce obre o outro dico; não exite nenhum torque externo. Logo o momento angular total do itema do doi dico é o memo ante e depoi de ele erem unido. No equilíbrio final ele giram junto como e contituíem um único corpo com momento de inércia: I I I A conervação do momento angular fornece: A IA A IB B I IA A IB B I IA A IB B I I A Exemplo 5 No exemplo anterior, uponha que o volante A tenha maa de.0 kg, um raio de 0.0 m e uma velocidade angular inicial de 00 rad/. Calcule a velocidade angular comum final depoi que o dico ficam em contato. A energia cinética e conerva nee proceo? Solução: IA ma ra IA IA kg m IB mb rb IB IB kg m IA A IB B I I rad K IA A IB B K K 450J K I I A B B B A B K K 300J Um terço da energia foi perdida na colião angular, o análogo rotacional de uma colião linear completamente inelática. Não deveríamo eperar conervação da energia cinética, embora a força externa reultante e o torque reultante ejam nulo, porque exitem força interna não conervativa (força de atrito) que atuam enquanti o doi dico começam a girar unido e tendem a girar com uma velocidade angular comum. Exemplo 6 Momento angular em uma ação policial. Uma porta de largura m e maa de 5 kg é articulada com dobradiça em um do lado de modo que poa girar em atrito em torno de um eixo vertical. Ela inicialmente não etá aberta. Um policial dá um tiro com uma bala de 0 g e velocidade de 400 m/ exatamente no canto da porta. Calcule a velocidade angular da porta imediatamente depoi que a bala penetra na porta. A energia cinética e conerva? Solução: Conidere um itema formado pela porta juntamente com a bala em eu interior. Não exite nenhum torque externo em torno do eixo definido pela dobradiça, de modo que o momento angular em torno dee eixo deve e conervar. O momento angular da bala é: L mvl L L kg m O momento angular final é: LI I I I porta bala mp d I mbala l 3 5 I I kg m mvl L I I rad

12 Fíica Capítulo 7 Dinâmica do Movimento de Rotação Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. A colião entre a porta e a bala é inelática porque força não conervativa atuam durante o impacto da bala. Logo, não eperamo que haja conervação da energia cinética. Para conferirmo, calculamo a energia cinética inicial e final: K mv K K 800J K I K K 0.40 J A energia cinética final é apena /000 da energia cinética inicial. Girocópio e preceão Se o eixo do volante for inicialmente colocado horizontalmente e depoi largado, ua extremidade livre começará a cair ob a ação da gravidade, e o volante inicialmente não etava girando. Porém, quando o volante etá inicialmente girando, o que ocorre é baicamente diferente. Um movimento poível é o movimento circular uniforme do eixo em um plano horizontal combinado com o movimento de rotação do volante em torno dee eixo. Ee movimento urpreendente, que não é intuitivo, denomina-e preceão. A preceão ocorre na natureza, aim como na máquina que giram, como no cao do girocópio. A Terra ofre preceão: eu eixo de rotação ( o eixo que liga o pólo norte ao pólo ul) muda contantemente de direção, e a direção dee eixo ó retorna exatamente à poição inicial depoi de um ciclo completo de preceão que dura 6000 ano. Para etudar o etranho fenômeno da preceão, devemo no lembrar que o torque, o momento angular e o linear ão grandeza vetoriai. Em particular, preciamo da relação geral entre o torque reultante que atua obre um corpo e a taxa de variação de momento angular L, dada por. Vamo inicialmente aplicar ea equação ao cao em que o volante não etá girando. Tomamo a origem obre o ponto O do pivô e upomo que o volante eja imétrico, com maa M e momento de inércia I em torno do eixo do volante. O eixo do volante etá inicialmente na direção ao longo do eixo Ox. A única força que atuam obre o girocópio ão a força normal que atua obre o pivô N e o peo w do volante que atua no centro de maa, ituado a uma ditância r do pivô. A força normal poui torque nulo em relação ao pivô e o peo poui torque na direção do eixo Oy, como indicado na figura a eguir. Inicialmente não exite rotação e o momento angular inicial Li 0.Pela equação: A variação do momento angular em um intervalo de tempo curto é:

13 Fíica Capítulo 7 Dinâmica do Movimento de Rotação Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. Ea variação etá na direção Oy porque também etá. À medida que decorre cada intervalo de tempo, o momento angular varia em incremento adicionai na direção Oy porque a direção do torque é contante. O aumento crecente do momento angular horizontal ignifica que o girocópio gira para baixo com velocidade crecente em torno do eixo Oy até que ele atinja o uporte ou então que caia na mea onde ele e apoia. Vamo agora analiar o que ocorre quando o volante etá inicialmente girando, de modo que o momento angular inicial L i não é igual a. Uma vez que o volante gira em torno do eixo de imetria L i etá ao longo dee eixo. Porém, cada variação de momento angular é perpendicular ao eixo, porque o torque r é perpendicular ao eixo. Io faz com que a direção do eixo varie, porém eu módulo não varia. A variaçõe de ocorrem empre no plano xy horizontal, de modo que o vetor momento angular e o eixo do volante que com ele e move etão empre em um plano horizontal. Em outra palavra, o eixo não cai ele apena ofre preceão. Cao io ainda lhe pareça difícil, pene em uma bola prea a um fio. Se a bola etiver inicialmente em repouo e você puxar o fio para você, a bola também e delocará para você. Porém, e a bola etiver inicialmente e movendo e você puxá-la perpendicularmente à direção do eu movimento, ela e moverá em um círculo em torno de ua mão: ela não e aproximará de ua mão. No primeiro cao a bola pouía momento angular zero; quando você aplica uma força F orientada para você durante um intervalo de tempo, a bola adquire um momento linear dp F que também etá orientado para você. Porém, quando a bola já poui um momento linear p, uma variação do momento angular dp perpendicular a p produzirá uma variação da direção do movimento, e não uma variação do módulo da ua velocidade. Troque p por L e F por nete raciocínio, e você verá que a preceão é implemente o análogo relacional do movimento circular uniforme. No intante indicado na Figura (a), o girocópio poui momento angular L. Depoi de um intervalo de tempo curto, o momento angular paa para L a variação infiniteimal do momento angular e que é perpendicular a L. Como indica o diagrama vetorial da Figura, io ignifica que o eixo do volante do girocópio girou de um ângulo pequeno d dado por: d A taxa com a qual o eixo e move. d/, denominae velocidade angular de preceão ecalar: repreentando ea grandeza por, achamo: L d L wr L I Portanto a velocidade angular de preceão é inveramente proporcional à velocidade angular da rotação em torno do eixo. Um girocópio que gira rapidamente realiza uma preceão lenta; cao o atrito no mancai faça diminuir a velocidade angular do volante, a velocidade angular de preceão aumenta. A velocidade angular de preceão da Terra é muito lenta ( l rev/6000 ano) porque ua velocidade angular em torno do eixo, ou velocidade angular de pin é muito grande, e o torque devido à influencia gravitacionai do Sol e da Lua é relativamente pequeno. A medida que o girocópio realiza uma preceão, eu centro de maa e move em um círculo de raio r obre um plano horizontal. Seu componente vertical da aceleração é zero, de modo que a torça normal de baixo para cima N exercida pelo pivô deve ter módulo pre ciamente igual ao peo. O movimento circular do centro de maa com velocidade angular neceita de uma força F orientada para o interior do círculo, com módulo F M r. Ea força também deve er fornecida pelo pivô. Uma hipótee báica que lidemo em noa analie do girocópio foi que o vetor momento angular L etá aociado omente com o momento angular de 3

14 Fíica Capítulo 7 Dinâmica do Movimento de Rotação Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. pin do volante e e puramente horizontal. Contudo, exitirá também um componente vertical do momento angular aociado com o movimento de preceão do girocópio. Ignorando io etamo tacitamente upondo que a preceão é lenta, ito é, que a velocidade angular de preceão é muito menor do que a velocidade angular de pin. Como a Equação anterior de motra, um valor elevado de automaticamente fornece um valor pequeno de, de modo que ea aproximação é razoável. Quando a preceão não é lenta, efeito adicionai motram que urge um movimento ondulado de cima para baixo, denominado nutação do eixo do volante, que e uperpõe com o movimento de preceão. Você pode ver o movimento de nutação ocorrendo em um girocópio à medida que ua velocidade angular de pin diminui, de modo que aumenta, e o componente vertical de L não pode er mai deprezado. Dea maneira, o girocópio erve como referência de direção, ma não de poição. Ou eja, é poível movimentar um girocópio normalmente no epaço em qualquer trabalho além do neceário para tranportar ua maa. A reitência urge contrária a força que atuem de maneira a rotacionar eu eixo de rotação a qualquer configuração não paralela à ua poição original. Aim, um veículo munido de um girocópio e enore apropriado pode medir com precião qualquer mudança em ua orientação, exceto rotaçõe que ocorram no plano de giro do dico do girocópio. Por ea razão, normalmente ão utilizado doi girocópio perpendiculare de modo a integralizar a poibilidade de detecção de variaçõe na orientação. É uado como auxiliar em navegação de helicóptero radio controlado, corrigindo automaticamente o curo. A agência epaciai utilizam um aparelho baeado no girocópio conhecido como girocópio humano para o treinamento de atronauta. O atronauta utiliza o peo como motor e tem a enação de "driblar a gravidade". Somente depoi de etar apto ao Girocópio humano o atrounauta etará pronto para fazer viagen epaciai. 4 Adaptado de: Sear & Zemanky, Young, Fíica, V, Ed. Pearon 0 a Edição. Girocópio é um dipoitivo que conite de um rotor upeno por um uporte formado por doi circulo articulado, com junta tipo cardan. Seu funcionamento baeia-e no princípio da inércia. O eixo em rotação guarda direção fixa em relação ao epaço. O girocópio veio a ubtituir a búola na navegação marítima. Na aviação, erve de girocompao e piloto automático, permitindo o vôo em condiçõe de viibilidade zero. No vôo epaciai o dipoitivo é fundamental para a orientação da epaçonave. O girocópio conite eencialmente em uma roda livre, ou varia roda, para girar em qualquer direção e com uma propriedade: opõe-e a qualquer tentativa de mudar ua direção original. Exemplo facilmente obervável é que, ao girar a roda de uma bicicleta no ar e tentar mudar a direção de eu eixo brucamente, percebe-e uma enorme reação.

15 Fíica Capítulo 7 Dinâmica do Movimento de Rotação Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. 5