Universidade Presbiteriana Mackenzie. Automação e Controle I

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1 Univeridade Prebiteriana Mackenzie Curo de Engenharia Elétrica Automação e Controle I Nota de Aula Prof. Marcio Eiencraft Segundo emetre de 006

2 Univeridade Prebiteriana Mackenzie Curo de Engenharia Elétrica Automação e Controle I TEORIA Prof. Marcio Eiencraft Segundo emetre de 006

3 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Univeridade Prebiteriana Mackenzie Automação e Controle I Profeor Marcio Eiencraft ([email protected]) º Semetre 006. Objetivo Introduzir o fundamento matemático de Automação e Controle e ilutrar alguma de ua aplicaçõe à Engenharia de Produção.. Aula de Teoria e Prática Na aula de prática erão vita aplicaçõe do aunto abordado na aula de teoria. Serão utilizado kit didático e a ferramenta computacional Matlab, principalmente eu ferramental (toolbox) para a área de controle. Aula de exercício erão realizada próximo da data da prova. 3. Avaliação Serão realizada trê avaliaçõe verando obre o conteúdo vito na aula de teoria e de prática. O aluno etará aprovado cao coniga média maior ou igual a 7,0 e etará reprovado cao coniga média inferior a 5,5. Se a média ficar entre 5,5 e 6,9 o aluno erá aprovado cao poua mai de 80% de preença em aula, cao contrário etará reprovado. Cada avaliação erá contituída de dua nota: o Nota da Prova 0,0 a 9,0 o Nota de Relatório da Aula Prática e Trabalho 0,0 a,5

4 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Na aula de prática o aluno formarão grupo de um ou doi aluno. Ao final de toda a aula erá paada uma atividade a er entregue pelo grupo no início da aula prática eguinte. A tolerância para entrega deta atividade é de 0 minuto. Importante: O relatório deve er entregue em folha de papel A4 contando do nome, número de matrícula e número da aula à qual a atividade e refere. FORA DESSAS CONDIÇÕES, O RELATÓRIO NÃO SERÁ ACEITO. O relatório da aula de prática formarão uma nota indo de 0,0 a,0. Ante de cada prova erá paado um trabalho envolvendo tópico da ementa do curo que valerá 0,5 ponto complementando,5 ponto. Será coniderado preente o aluno que etiver em ala no momento em que é realizada a chamada. Não erão abonada falta (exceto cao previto em lei). A tolerância para entrada na aula é de 30min. Para que o grupo tenha preença na aula de prática é indipenável que pelo meno um do componente tenha a apotila da aula. A prova erão realizada no horário da aula de teoria no eguinte dia: PROVA Turma F (3ª feira) Peo P 05/09 Peo P 0/0 Peo P3 A er definida Peo 4. Conteúdo Programático. Introdução (NISE, 00, pp. -5)

5 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho Introdução.. Hitória do Sitema de Controle.3. O Engenheiro e itema de controle e automação.4. Caracterítica da repota e configuraçõe de itema.5. Objetivo de análie e de projeto.6. Procedimento de projeto.7. Projeto aitido por computador (CAD). Modelagem no domínio da freqüência (NISE, 00, pp. 7-88)... Revião obre tranformada de Laplace.. Função de tranferência.3. Modelagem de circuito elétrico.4. Modelagem de itema mecânico em tranlação.5. Modelagem de itema mecânico em rotação.6. Modelagem de itema com engrenagen.7. Modelagem de itema eletromecânico.8. Etudo de cao 3. Modelagem no domínio do tempo (NISE, 00, pp. 90-). 3.. Introdução 3.. Obervaçõe 3.3. Repreentação geral no epaço de etado 3.4. Aplicando a repreentação no epaço de etado 3.5. Converão de função de tranferência para epaço de etado 3.6. Converão de epaço de etado para função de tranferência 3.7. Etudo de cao 4. Repota no domínio do tempo (NISE, 00, pp. 3-77). 4.. Introdução 4.. Pólo, zero e repota do itema Sitema de primeira ordem 4.4. Sitema de egunda ordem: Introdução 4.5. Sitema de egunda ordem geral 3

6 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho Sitema de egunda ordem ub-amortecido 4.7. Solução da equaçõe de etado pela tranformada de Laplace 4.8. Etudo de cao 5. Redução de itema múltiplo (NISE, 00, pp ). 5.. Introdução 5.. Diagrama de bloco 5.3. Análie e projeto de itema com retroação 5.4. Diagrama de fluxo de inal 5. Bibliografia A cada aula (de teoria e de prática), nota de aula erão diponibilizada no ite Além dio, lita de exercício erão fornecida. A principal referência que erá utilizada durante todo o curo é NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Outra referência diponívei em vário exemplare na biblioteca: CHAPMAN, Stephen J. Programação em MATLAB para engenheiro. São Paulo: Pioneira Thomon Learning, p. ISBN DISTEFANO, J. J.; STUBBERUD, A. R.; WILLIAMS, I. J. Schaum outline of theory and problem of feedback control ytem. nd edition, New York: McGraw-Hill, p. ISBN DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN HAYKIN, Simon; VAN VEEN, Barry. Sinai e itema. Porto alegre: Bookman, p. : il. (alguma ISBN ). LATHI, Bhagwanda Pannalal. Signal proceing and linear ytem. California: Berkeley, c p. ISBN

7 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Manual for Model 730 Magnetic Levitation Sytem. ECP, 999. MATSUMOTO, Élia Yathie. Simulink 5. São Paulo: Érica, p. : il. ; 5 cm ISBN MITRA, Sanjit K. Digital ignal proceing : a computer-baed approach. nd ed. Boton: McGraw-Hill, c p. : il. ; 4 cm ISBN NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN OGATA, Katuhiko. Engenharia de controle moderno. 4. ed. São Paulo: Prentice-Hall do Brail, p. ISBN PAZOS, Fernando. Automação de itema & robótica. Rio de janeiro: Axcel Book, c p. : il. ; 3 cm ISBN PHILLIPS, Charle L.; HARBOR, Royce D. Sitema de controle e realimentação. São Paulo ; Rio de Janeiro: Makron, c p. ISBN SILVEIRA, Paulo Rogério da; SANTOS, Winderon E. do. Automação e controle dicreto.. ed. São Paulo: Érica, p. : il. ; 4 cm ISBN Monitoria e atendimento O monitor da diciplina e eu horário erão diponibilizado no ite da diciplina aim que poível. Atendimento pelo profeor pode er agendado por . 5

8 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula T - Introdução ao itema de controle Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página -0. DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página -4. CAPÍTULO Introdução Objetivo: Definição e aplicaçõe de itema de controle Hitórico Benefício Caracterítica e configuraçõe báica Projeto.. Introdução Definição: um itema de controle conite em ubitema e proceo (ou planta) reunido com o propóito de controlar a aída do proceo. Ito é motrado equematicamente na Figura. Figura Decrição implificada de um itema de controle (NISE, 00). Exemplo: (a) Controle de uma caldeira: calor produzido pelo fluxo de combutível. Termotato (enore) medem temperatura da ala e válvula de combutível e atuadore de válvula de combutível ão uada para regular a temperatura da ala controlando a aída de calor da caldeira.

9 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 (b) Pâncrea regula açúcar no angue. (c) Olho eguindo um objeto (d) Peça mecânica uinada automaticamente. Figura - a. O elevadore primitivo eram controlado por cabo manuai ou por um operador de elevador. Aqui, uma corda é cortada para demontrar o freio de egurança, uma inovação no elevadore primitivo; b. o moderno elevadore de tranporte duplo fazem ua ubida no Grande Arche em Pari, conduzido por um motor, com cada carro contrabalançando o outro. Hoje, o elevadore ão completamente automático, uando itema de controle para regular poição e velocidade. (NISE, 00). Razõe para e utilizar itema de controle: (a) Amplificação de potência Elevador hidráulico em poto de combutívei. (b) Controle remoto

10 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Robô útei em localidade remota ou perigoa. Figura 3 - O Rover foi contruído para trabalhar na área contaminada de Three Mile Iland em Middleton, PA, onde ocorreu um acidente nuclear em 979. O longo braço do robô de controle remoto pode er vito na frente do veículo (NISE, 00). (c) Facilidade de uo da forma de entrada Sitema de controle de temperatura. (d) Compenação de perturbaçõe Exemplo: antena apontando para direção comandada. Se um vento força a antena a e delocar de ua poição comandada, o itema deve er capaz detectar a perturbação e corrigir o problema. 3

11 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho Hitórico Controle de nível de líquido: 300 a.c. relógio de água, lampião a óleo. Controle de preão de vapor e temperatura: éculo XVII válvula de egurança, controle de temperatura para chocar ovo. Controle de velocidade: éculo XVIII moinho de vento, máquina a vapor. Etabilidade, etabilização, condução: éculo XIX controle de embarcaçõe. Deenvolvimento no éculo XX: projeto no domínio da freqüência (Bode, Nyquit). Aplicaçõe contemporânea: meio de tranporte, planta indutriai, ônibu epaciai, entretenimento, etc. Importância do computadore..3. O Engenheiro de Controle e Automação Percorre inúmera área do conhecimento e inúmera funçõe dentro dea área. Engenheiro de A&C pode er encontrado no nível mai elevado de grande projeto, envolvido na fae conceitual de determinar ou implementar o requiito globai do itema. Engenheiro de A&C interage com inúmero ramo da Engenharia e da ciência. Expanão de horizonte da Engenharia além do currículo univeritário. Vantagem a um etudante (além de e graduar he he...): o Ênfae no projeto de cima para baixo (top-down) o Abordagem itêmica diferentemente do outro curo até aqui o A abordagem de baixo para cima é uada no curo anteriore principalmente por caua do alto nível matemático neceário. o Ete curo eclarecerá o procedimento de análie e planejamento e motrará a você como o conhecimento adquirido e encaixa dentro do projeto do itema. 4

12 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura 4 - a. Reprodutor de dico de vídeo a laer; b. lente objetiva lendo depreõe no dico; c. trajetória óptica para reprodução motrando o epelho de ratreamento acionado angularmente por um itema de controle para manter o feixe de laer poicionado na depreõe (NISE, 00). 5

13 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho Caracterítica de repota e configuração de itema Entrada e aída Sitema de controle fornece uma aída ou repota para uma dada entrada ou etímulo. A entrada repreenta a repota deejada, a aída é a repota real. Exemplo: botão do quarto andar de um elevador é preionado do térreo. Elevador deve ubir com uma velocidade e uma precião de nivelamento projetado para o conforto do paageiro. Eta caracterítica ão, repectivamente, a repota tranitória e o erro de etado etacionário. Figura 5 - Entrada e aída do elevador (NISE, 00). Sitema a malha aberta Figura 6 - Diagrama de bloco do itema de controle: a. itema a malha aberta (NISE, 00). 6

14 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Trandutor de entrada converte a forma de entrada na uada pelo controlador. Controlador age obre o proceo ou planta. Caracterítica que ditingue itema a malha aberta: não pode compenar a ação de quaiquer perturbaçõe que ejam adicionada. Exemplo: torradeira imple; digitação de texto em e olhar na tela. Sitema a malha fechada (controle com retroação) Figura 7 - Diagrama de bloco do itema de controle: b. itema a malha fechada (NISE, 00). Trandutor de entrada: converte forma de onda de entrada na forma uada pelo controlador. Trandutor de aída ou enor: mede a repota de aída e a converte na forma uada pelo controlador. Vantagem: compena perturbaçõe medindo o inal de aída. Maior precião, meno enível a ruído. Devantagem: mai complexo e caro. Exemplo: torradeira automática (mede cor do pão); digitação de texto conferindo-e o reultado na tela. Exercício. (NISE, 00, p. ) Cite trê aplicaçõe de itema de controle com retroação. 7

15 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006. (NISE, 00, p. ) Cite trê razõe para o uo de itema de controle com retroação e pelo meno uma razão para não uá-lo. 3. (NISE, 00, p. ) Dê trê exemplo de itema a malha aberta. 4. (NISE, 00, p. ) Um reitor variável, chamado potenciômetro, é motrado a eguir: Figura 8 Potenciômetro (NISE, 00). A reitência é variada pelo movimento de um curor de contato delizante ao longo de uma reitência fixada. A reitência entre A e C é fixa, ma a reitência entre B e C varia com a poição do curor. Se forem neceária 0 volta para mover o curor de contato delizante de A para C, deenhe um diagrama de bloco do potenciômetro motrando a variável de entrada, a variável de aída e (dentro do bloco) o ganho, que é uma contante e é a quantidade pela qual a entrada deve er multiplicada para e obter a aída. 8

16 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho (NISE, 00, p. 4) Reolva a eguinte equação diferencial uando o método cláico. Suponha que a condiçõe iniciai ejam iguai a zero. dx + 7 x 5co t dt 9

17 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula T - Projeto de um itema de controle Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página 0-6. DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página Objetivo de análie e de projeto Objetivo de análie e de projeto de itema: Produzir repota tranitória deejada; Reduzir erro de etado etacionário; Garantir etabilidade; Minimizar Cuto; Minimizar enibilidade de deempenho a mudança no parâmetro. Repota tranitória Muito importante. Exemplo: elevador; em um computador contribui para o tempo neceário para leitura ou gravação no dico rígido (HD). Figura - Acionador de dico rígido de computador, motrando dico e cabeça de leitura/gravação (NISE, 00).

18 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Repota de etado etacionário Repota que permanece depoi que a componente tranitória e reduz a zero. Figura - Entrada e aída do elevador (NISE, 00). Etabilidade Repota total de um itema é a oma da repota natural e da repota forçada. Quando você etudou equaçõe diferenciai lineare, provavelmente e referiu a eta repota como oluçõe homogênea e particular, repectivamente. Repota total Repota natural + Repota forçada Para que um itema de controle eja útil, a repota natural deve: o Tender a zero, deixando omente a repota forçada, ou, o Ocilar. Em algun itema, a repota natural crece em limite em vez de diminuir até zero ou ocilar. Finalmente, a repota natural é tão maior que a repota forçada que o itema não é mai controlado. Eta condição, chamada intabilidade pode conduzir à autodetruição do dipoitivo fíico e não houver batente limitadore como parte do projeto.

19 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Outra conideraçõe Seleção de hardware: dimenionamento do motor para atender o requiito de potência e ecolha de enore de acordo com precião neceária. Cuto: e o projeto for uado para fazer muita unidade, pequeno acrécimo no cuto unitário pode-e traduzir em muito mai dólare para ua emprea propor num contrato de licitação. Robutez: deempenho deve variar pouco com mudança no parâmetro. Introdução a um etudo de cao Uma introdução ao itema de poicionamento de uma antena em azimute O itema de controle de poição encontram aplicaçõe muito difundida em antena, braço robótico e acionamento de dico rígido de computador. A antena de radiotelecópio da figura a eguir é um exemplo de itema que utiliza controle de poição..6. Procedimento de projeto Figura 3 Antena de radioatronomia. Pao : Tranformar requiito em um itema fíico 3

20 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura 4 - Sitema de controle de poição da antena em azimute: a. conceito do itema; b. leiaute detalhado. (NISE, 00) Pao : Deenhar um diagrama de bloco funcional Decreve a parte componente do itema (ito é, função e/ou hardware) e motra ua interconexõe. 4

21 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura 5 - Sitema de controle de poição da antena em azimute: diagrama de bloco funcional (NISE, 00). Pao 3: Criar um diagrama equemático. Figura 6 - Sitema de controle de poição da antena em azimute: diagrama equemático (NISE, 00). Pao 4: Deenvolver um Modelo Matemático (Diagrama de bloco) Uar lei fíica para modelar matematicamente o itema. Lei mai importante: 5

22 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 o Lei de Kirchhoff da tenõe: A oma da tenõe ao longo de um caminho fechado é igual a zero. o Lei de Kirchhoff da corrente: A oma da corrente elétrica que fluem por um nó é igual a zero. o Lei de Newton: A oma da força aplicada a um corpo é igual a zero; a oma do momento aplicado a um corpo é igual a zero. Decriçõe poívei: o Equação diferencial o Função de tranferência (Tranformada de Laplace) o Epaço de etado Pao 5: Reduzir o diagrama de bloco Figura 7 - Diagrama de bloco equivalente para o itema de controle de poição da antena em azimute (NISE, 00). Pao 6: Analiar e projetar O engenheiro analia o itema para ver e a epecificaçõe de repota e o requiito de deempenho podem er alcançado atravé de imple ajute no parâmetro do itema. Se a epecificaçõe não puderem er atendida, o projetita então projeta hardware adicional a fim de obter o deempenho deejado. 6

23 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura 8 - Repota de um itema de controle de poição motrando o efeito de valore grande e pequeno para o ganho do controlador na repota de aída (NI- SE, 00). 7

24 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Entrada utilizada: Tabela - Forma de onda de tete uada em itema de controle (NISE, 00)..7. Projeto de aitido por computador (CAD) Computador tem importante papel no projeto de itema de controle moderno. Com a capacidade de imular um projeto rapidamente, pode-e facilmente fazer mudança e imediatamente tetar um novo projeto. 8

25 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Matlab Parte integrante do projeto de itema de controle moderno. Sumário A metodologia do projeto de itema de controle foi apreentada. A partir da próxima aula, aprenderemo como uar o equema para obter um modelo matemático. Exercício. (NISE, 00; p. ) Um itema de controle de temperatura opera entindo a diferença entre o ajute do termotato e a temperatura real e em eguida a- brindo uma válvula de combutível de uma quantidade proporcional a eta diferença. Deenhe um diagrama de bloco funcional a malha fechada emelhante ao da Figura 5, identificando o trandutore de entrada e de aída, o controlador e a planta. Além dio, identifique o inai de entrada e aída para todo o ubitema decrito anteriormente.. (NISE, 00; p. ) A altitude de uma aeronave varia em rolamento, arfagem e guinada conforme definido na figura a eguir. Deenhe um diagrama de bloco funcional para um itema de malha fechada que etabilize o rolamento como a eguir: o itema mede o ângulo de rolamento real com um dipoitivo girocópico e compara o ângulo de rolamento real com o ângulo de rolamento deejado. O aileron repondem ao erro de ângulo de rolamento efetuando uma deflexão angular. A aeronave reponde a eta deflexão angular produzindo uma velocidade angular de rolamento. Identifique o trandutore de entrada e de aída, o controlador e a planta. Além dio, identifique a natureza de cada inal. 9

26 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura 9 - Definição de atitude da aeronave (NISE, 00). 3. (NISE, 00; p. 4) Dado o circuito elétrico da figura a eguir: Figura 9 Rede RL (NISE, 00). (a) Ecreva a equação diferencial para o circuito e v ( t) u( t), um degrau unitário. (b) Reolva a equação diferencial para a corrente i ( t), e não há energia inicial no circuito. R (c) Faça um gráfico da olução e. L 4. (NISE, 00; p. 4) Repita o problema 3 para o circuito elétrico motrado na Figura a eguir. Suponha R Ω, L 0, 5H e 30. LC 0

27 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura 0 - Circuito RLC (NISE, 00). 5. (NISE, 00; p. 4) Reolva a eguinte equação diferencial uando o método cláico. Suponha que a condiçõe iniciai ejam iguai a zero. d x + 8 dt dx dt + 5x 0u () t

28 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 3T - Revião obre tranformada de Laplace Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página LATHI, Bhagwanda Pannalal. Signal proceing and linear ytem. California: Berkeley, c p. ISBN Página CAPÍTULO Modelagem no domínio da freqüência Objetivo do capítulo Rever a tranformada de Laplace; Função de tranferência Próximo pao no curo: deenvolver modelo a partir de diagrama de itema fíico. Doi método: () funçõe de tranferência no domínio da freqüência e () equaçõe de etado no domínio do tempo. Queremo encontrar o que colocar dentro da caixa marcada itema e ubitema na figura a eguir. Figura - a. Repreentação em diagrama de bloco de um itema; b. repreentação em diagrama de bloco de uma interconexão de ubitema (NISE, 00).

29 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho Revião obre Tranformada de Laplace Definição: L [ ( )] ( ) ( ) t f t F f t e dt 0 em que é uma variável complexa. F ( ) é chamada de tranformada de Laplace de f () t. A Tabela. motra algun exemplo de tranformada obtida a partir da definição. A Tabela. motra uma érie de propriedade batante importante. Exercício at. (NISE, 00; p. 9) Obter a tranformada de Laplace de f () t Ae u() t.. (NISE, 00; p. 30) Obter a tranformada de Laplace invera de: () F. ( + 3) Ou eja, encontre f () t cuja tranformada de Laplace eja () F. Expanão em fraçõe parciai Para obter a tranformada invera de uma função complicada, podemo converter a função em uma oma de parcela mai imple para cada uma da quai e conhece a tranformada de Laplace. O reultado é chamado de expanão em fraçõe parciai. Cao : Raíze do denominador de F ( ) reai e ditinta Por exemplo, F. () ( + )( + )

30 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Tabela. Principai tranformada de Laplace (LATHI, 998). 3

31 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Tabela. Propriedade da Tranformada de Laplace (LATHI, 998). 4

32 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Nete cao, o denominador tem dua raíze reai e ditinta (- e -). Para obtermo a tranformada invera, o procedimento é o eguinte: Decompomo F () numa oma de fraçõe com tanta parcela quanta forem a raíze do denominador: K K F () +. ( + )( + ) + + A contante K e K ão uualmente chama de reíduo. Para obter K, ubtitui-e a raiz correpondente ( ) em F ( ) em o termo ( +). Aim, De forma análoga, K. ( + ) K. ( + ) Aim, F () Agora, uando a linha (5) da Tabela. e a linearidade, f f t t () t ( e e ) u( t) ou t t () t ( e e ), t 0 Obervação: na aplicação dete proceo, cao o grau do numerador eja maior ou igual ao do denominador, é neceário efetuar a divião primeiro.. Exercício 3. (NISE, 00; p. 3) Dada a eguinte equação diferencial, obter a olução y ( t) e toda a condiçõe iniciai forem zero. Uar a tranformada de Laplace. d y dy + + 3y 3u() t. dt dt 5

33 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Cao : Raíze do denominador de F ( ) reai e repetida Nete cao, deve-e lembrar que, no cao de raíze reai, o número de parcela ditinta na expanão é empre igual ao grau do denominador. Aim, cada raiz múltipla gera termo adicionai com fatore no denominador de multiplicidade reduzida. Por exemplo, e: F () ( )( ), + + a raíze ão -, - e - (diz-e que - tem multiplicidade ). A expanão em fraçõe é: F () K + + K + K ( + ) + O reíduo K e K podem er obtido como anteriormente. Aim, K e ( + ) K. ( + ) 3 Já K 3 pode er obtido ubtituindo-e por um valor conveniente. Por exemplo, ubtituindo-e 0 em: obtém-e: K3 + ( + )( + ) + ( + ) + 4 K + K F () + + Uando a linha (5) e (6) da Tabela., f e aim, ( + ) + t t t () t e te e, t 0.,. 6

34 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Cao 3: Raíze do denominador de F ( ) complexa Exemplo: 3 F (). ( + + 5) Nete cao, não é poível fazer a expanão em parcela de º grau. Eta expreão deve er expandida da eguinte forma: F () K + K + K O reíduo K pode er obtido como anteriormente: K K e K 3 podem er obtido por ubtituição conveniente de valore de em: Para, para, ( + + 5) K + K. Reolvendo o itema, obtém-e: Aim, 3 3 K + K K K 3 K e 5 e 6 K

35 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho () ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) F F. Utilizando-e então a linha (), (9a) e (9b) da Tabela. chega-e a: () () + t t e t u t f t in co Exercício 4. (NISE, 00; p. 35) Obter a tranformada de Laplace de () t te t f (NISE, 00; p. 36) Obter a tranformada de Laplace invera de: () ( )( ) F.

36 Automação e Controle I Aula 4T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 4T Função de tranferência Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página Função de tranferência Vamo empregar na aula de hoje o conceito relacionado à Tranformada de Laplace para implificar a repreentação de itema dinâmico. Um itema pode er repreentado pela equação diferencial genérica: () () () ( ) () () t r b dt t r d b dt t r d b t c a dt t c d a dt t c d a m m m m m m n n n n n n em que () t c é a aída, () t r é a entrada e o i a, o i b e a forma da equação diferencial repreenta o itema. Aplicando a Tranformada de Laplace a ambo o lado da equação e upondo condiçõe iniciai nula: () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () R b b b C a a a R b R b R b C a C a C a m m m m n n n n m m m m n n n n A partir da expreão acima, chegamo a: () () () 0 0 a a a b b b G R C n n m n m m m m Eta expreão: () ( ) () R C G é chamada de função de tranferência do itema. Relaciona, de forma algébrica, a entrada e a aída de um itema. Dado ( ) G e a tranformada da entrada () R podemo calcular a aída: ( ) ( ) ( ) R G C. A função de tranferência é repreentada pelo diagrama de bloco a eguir:

37 Automação e Controle I Aula 4T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura - Diagrama de Bloco de uma Função de Tranferência (NISE, 00). Na próxima aula, aprenderemo a repreentar, atravé de funçõe de tranferência, circuito elétrico, itema mecânico de tranlação, itema mecânico em rotação e itema eletromecânico. Exercício. (NISE, 00; p. 37) Obter a função de tranferência repreentada por: dc dt ( t) () t r() t + c.. (NISE, 00; p. 37) Uar o reultado do Exercício para obter a repota c ( t) a uma entrada r () t u() t a um degrau unitário upondo condiçõe iniciai i- guai a zero. 3. (NISE, 00; p. 37) Obter a função de tranferência, correpondente à equação diferencial ( ) () C G (), R 3 d c 3 dt d c dc d r c dt dt dt + 4 dr dt + 3r 4. (NISE, 00; p. 38) Obter a equação diferencial correpondente à função de tranferência: () + G

38 Automação e Controle I Aula 4T Profeor Marcio Eiencraft julho (NISE, 00; p. 38) Obter a repota a uma rampa de um itema cuja função de tranferência é: G (). ( + 4 )( + 8) 3

39 Automação e Controle I Aula 5T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 5T Modelagem de circuito elétrico (ª parte) Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página Função de tranferência de circuito elétrico Componente paivo (ver Tabela ). Princípio-guia: Lei de Kirchhoff: omando tenõe ao longo de malha ou corrente em nó o reultado é zero. Circuito imple via método da malha I. Redeenhe o circuito original motrando toda a variávei no domínio do tempo, como v () t, i () t e v C ( t) como tranformada de Laplace V (), I ( ) e V C () repectivamente. II. Subtitua o valore de componente por eu valore de impedância. III. Some a tenõe ao longo da malha e ue a lei de Kirchhoff da tenõe. Exercício. (NISE, 00; p. 39) Obter a função de tranferência relacionando a tenão V C () no capacitor à tenão de entrada V ( ) na Figura a eguir. Figura Circuito RLC (NISE, 00).

40 Automação e Controle I Aula 5T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Tabela Elemento paivo de circuito elétrico (NISE, 00).

41 Automação e Controle I Aula 5T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Circuito imple via Método do nó A funçõe de tranferência também podem er obtida uando a lei de Kirchhoff da corrente e omando a corrente que fluem no nó. Chamamo ete método de método do nó. Exercício. (NISE, 00; p. 4) Repetir o Exercício uando o método do nó em ecrever a equação diferencial. Circuito imple via divião de tenão O Exercício pode er reolvido diretamente uando divião de tenão no circuito tranformado. Exercício 3. (NISE, 00; p. 4) Repetir o Exercício uando divião de tenão e o circuito tranformado. Circuito mai complicado via Método da Malha I. Subtituir todo o valore do elemento paivo por ua impedância. II. Subtituir toda a fonte e toda a variávei no domínio do tempo pela repectiva tranformada de Laplace. III. Arbitrar um entido para a corrente do circuito tranformado em cada malha. IV. Ecrever a lei de Kirchhoff da tenõe ao longo de cada malha. V. Reolver o itema de equaçõe em termo da aída. VI. Elaborar a função de tranferência. Exercício 4. (NISE, 00; p. 4) Dado o circuito da figura a eguir, obter a função de tranferência () () I. V 3

42 Automação e Controle I Aula 5T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura Circuito elétrico com dua malha (NISE, 00). Circuito mai complicado via Método do Nó Ua-e a Lei de Kirchhoff da corrente e omam-e a corrente que deixam cada nó. Exercício 5. (NISE, 00; p. 44) Obter a função de tranferência Figura. Uar o método do nó. V C ( ) para o circuito da V () Uma técnica para olução de problema O memo procedimento podem er uado em circuito elétrico com mai malha. Exercício 6. (NISE, 00; p. 45) Ecrever, ma não reolver, a equaçõe de malha do circuito motrado na Figura a eguir. 4

43 Automação e Controle I Aula 5T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura 3 Circuito elétrico com trê malha (NISE, 00). 5

44 Automação e Controle I Aula 6T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 6T Modelagem de circuito elétrico (ª parte) Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página 3-9. Exercício VO (). (NISE, 00, p.8) Obter a função de tranferência G() para o cir- V () cuito motrado a eguir. i Figura Circuito do Exercício (NISE, 00). VL. (NISE, 00; p. 50) Obter a função de tranferência () () G no circuito a V () eguir. Solucionar o problema de dua forma: pelo método da malha e pelo método do nó. Motrar que o doi método conduzem ao memo reultado. Figura - Circuito elétrico para o Exercício. (NISE, 00).

45 Automação e Controle I Aula 7T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 7T Modelagem de itema mecânico em tranlação Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página OGATA, Katuhiko. Engenharia de controle moderno. 4. ed. São Paulo: Prentice-Hall do Brail, p. ISBN Página Função de tranferência de itema mecânico em tranlação Sitema mecânico e aemelham muito com circuito elétrico: exitem analogia entre componente e variávei elétrico e mecânico. Sitema mecânico pouem trê componente paivo lineare. Doi dele, a mola e a maa ão elemento armazenadore de energia; um dele, o a- mortecedor vicoo, diipa energia. A Tabela motra o elemento utilizado num itema mecânico e ua relaçõe força-delocamento e força-velocidade. A Tabela, já apreentada, motra o elemento elétrico para comparação. Tabela Componente de itema mecânico (NISE, 00). Tabela Componente de itema elétrico (NISE, 00).

46 Automação e Controle I Aula 7T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Na Tabela, K, f V e M ão chamado, repectivamente de contante de mola, coeficiente de atrito vicoo e maa. Comparando a tabela, percebe-e a eguinte analogia: Sitema elétrico Tenão v () t Força f ( t) Corrente elétrica i( t) Velocidade v ( t) Sitema mecânico de tranlação Carga q () t Delocamento x ( t) Reitência R Indutância L Capacitância C Amortecimento vicoo f V Maa M Contante de mola K Para obtermo funçõe de tranferência em itema mecânico, deenha-e um diagrama de corpo livre para cada maa preente no itema poicionando nela toda a força que agem obre ela no entido do movimento ou no entido opoto. Em eguida, utilizamo a lei de Newton para contruir a e- quação diferencial do movimento omando a força e igualando a zero. Finalmente, upondo condiçõe iniciai nula, aplicamo a tranformada de Laplace à equação diferencial, eparamo a variávei e chegamo à função de tranferência deejada.

47 Automação e Controle I Aula 7T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Quando mai de um delocamento etiver preente, deenhamo o diagrama de corpo livre para cada um do corpo e, em eguida, uamo a uperpoição. Para cada um do diagrama de corpo livre, começamo fixando todo o outro corpo e determinamo a força que atuam obre o corpo devido omente ao próprio movimento. Em eguida, mantemo o corpo parado e ativamo, um a um, o outro corpo, colocando no corpo original a força criada pelo movimento adjacente. Exercício. (NISE, 00, p. 5) Obter a função de tranferência, X ( ) F( ) para o itema da Figura. Figura - Sitema maa, mola e amortecedor (NISE, 00).. (NISE, 00, p. 83) Obter a função de tranferência ( ) X ( ) F( ) para o itema mecânico motrado na Figura. G Figura Sitema do Exercício (NISE, 00). 3

48 Automação e Controle I Aula 7T Profeor Marcio Eiencraft julho (NISE, 00; p. 53) Obter a função de tranferência X () F() para o itema da Figura 3. Figura 3 - Sitema mecânico com doi grau de liberdade (NISE, 00). 4. (NISE, 00, p. 56) Obter a função de tranferência ( ) X ( ) F( ) para o itema mecânico em tranlação motrado na Figura 4. G Figura 4 Sitema mecânico em tranlação do Exercício 4 (NISE, 00). 5. (NISE, 00, p. 55) Ecrever, ma não reolver, a equaçõe de movimento da etrutura mecânica da Figura 5. Figura 5 Sitema mecânico com trê grau de liberdade (NISE, 00). 4

49 Automação e Controle I Aula 8T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 8T Modelagem de itema mecânico em rotação Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página Função de tranferência de itema mecânico em rotação O itema mecânico em movimento de rotação ão manipulado da mema forma que o itema mecânico em tranlação, exceto que o torque ubtitui força e delocamento angular ubtitui delocamento de tranlação. O componente mecânico do itema em rotação ão o memo do itema em tranlação. Veja a Tabela a eguir. Tabela - Relaçõe para itema mecânico em rotação. (NISE, 00).

50 Automação e Controle I Aula 8T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 O termo aociado a maa foi ubtituído por inércia. O valore de K, D e J ão chamado contante de mola, coeficiente de atrito vicoo e momento de inércia, repectivamente. Ecrever a equaçõe de movimento para itema em rotação é emelhante a ecrevê-la para o itema em tranlação. Obtemo o torque por uperpoição. Primeiro giramo um corpo mantendo parado todo o demai e pondo no diagrama de corpo livre todo o torque devido ao próprio movimento. Em eguida, mantendo o corpo parado, giramo o ponto adjacente, um a um, e acrecentamo o torque devido ao movimento adjacente ao corpo livre. O proceo é repetido para cada um do ponto em movimento. Exercício. (NISE, 00, p. 57) Obter a função de tranferência Θ () T () para o itema em rotação motrado na Figura a a eguir. O eixo elático é upeno por meio de mancai em cada uma da extremidade e é ubmetido a torção. Um torque é aplicado à equerda e o delocamento angular é medido à direita. O equema equivalente dete itema fíico é motrado na Figura b. Figura a. Sitema fíico; b. equema (NISE, 00).

51 Automação e Controle I Aula 8T Profeor Marcio Eiencraft julho 006. (NISE, 00, p. 60) Obter a função de tranferência () Θ () T ( ) para o itema em rotação motrado na Figura. G Figura - Sitema em rotação para o Exercício (NISE, 00). 3. (NISE, 00, p. 59) Ecrever, ma não reolver, a tranformada de Laplace da equaçõe de movimento para o itema motrado na Figura 3. Figura 3 - Sitema em rotação com trê grau de liberdade (NISE, 00). 4. (NISE, 00, p. 84) Para cada um do itema mecânico em rotação motrado na Figura 4, ecreva, ma não reolva a equaçõe de movimento. Figura 4 (NISE, 00). 3

52 Automação e Controle I Aula 9T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 9T Modelagem de itema com engrenagen Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página OGATA, Katuhiko. Engenharia de controle moderno. 4. ed. São Paulo: Prentice-Hall do Brail, p. ISBN Página Funçõe de tranferência de itema com engrenagen Sitema em rotação raramente ão vito em tren de engrenagen acionando a carga. É neceário etudar como modelá-lo. A interação entre dua engrenagen é motrada a eguir. Figura Sitema de engrenagen (NISE, 00). À medida que a engrenagen giram, a ditância percorrida ao longo de cada circunferência da engrenagen é a mema. Portanto, r ou θ θ θ rθ r r A relação entre o delocamento angulare da engrenagen é inveramente proporcional à razão do número de dente. N N.

53 Automação e Controle I Aula 9T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Como não há perda, a energia fornecida à primeira engrenagem é a mema obtida na egunda. Aim, T ou θ Tθ T T θ θ O torque ão diretamente proporcionai à relação do número de dente. Ete reultado ão reumido a eguir: N N. Figura - Funçõe de tranferência a. entre delocamento angulare de engrenagen em perda e b. entre torque de engrenagen em perda (NISE, 00). Vejamo o que acontece com a impedância mecânica acoplada à engrenagen. A Figura 3 motra engrenagen acionando uma inércia, uma mola e um amortecedor vicoo. Para maior clareza, a engrenagen ão motrada por meio de uma vita em corte implificada. Figura 3 - Sitema em rotação acionado por engrenagen (NISE, 00). Deeja-e repreentar eta figura como um itema equivalente referido a θ em engrenagen.

54 Automação e Controle I Aula 9T Profeor Marcio Eiencraft julho É poível refletir T na aída multiplicando-o por N N. O reultado etá motrado na Figura 4, a partir do qual e ecreve a equação do movimento como: Figura 4 Sitema referido à aída apó reflexão do torque (NISE, 00). ( ) () () N N T K D J Θ + +. Como θ θ N N, temo: ( ) () () () () T N N K N N D N N J N N T N N K D J Θ + + Θ + +. Ete itema equivalente é motrado na Figura 5. Figura 5 - Sitema referido à entrada apó reflexão da impedância (NISE, 00). Generalizando o reultado, podemo elaborar o eguinte enunciado: A impedância mecânica em rotação podem er refletida por meio de tren de engrenagen multiplicando-e a impedância mecânica pela relação:

55 Automação e Controle I Aula 9T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Número de dente da engrenagem do eixo de detino Número de dente da engrenagem. do eixo de origem Exercício. (NISE, 00, p. 6) Obter a função de tranferência Figura 6 a eguir. Θ T ( ) () para o itema da Figura 6 Sitema mecânico em rotação com engrenagen (NISE, 00). Θ. (NISE, 00, p. 64) Obter a função de tranferência () () G para o itema mecânico em rotação com engrenagen motrado na Figura T () 7. Figura 7 - Sitema mecânico do Exercício (NISE, 00). Ua-e um trem de engrenagen para implementar valore elevado de rotação de tranmião. O diagrama equemático de um trem de engrenagen é motrado na Figura 8. 4

56 Automação e Controle I Aula 9T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura 8 - Trem de engrenagen (NISE, 00). Concluímo que no tren de engrenagen a relação de engrenagen equivalente é o produto da relaçõe de engrenagen individuai. Exercício 3. (NISE, 00, p. 63) Obter a função de tranferência Figura 9. Θ T ( ) () para o itema da Figura 9 - Sitema uando um trem de engrenagen (NISE, 00). 4. (NISE, 00, p. 84) Para o itema mecânico em rotação com engrenagen da Θ () Figura 0, calcule a função de tranferência G() 3. A engrenagen T () pouem inércia e atrito, como motrado. 5

57 Automação e Controle I Aula 9T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura 0 (NISE, 00). 5. (NISE, 00, p. 84) Para o itema mecânico em rotação motrado na Figura Θ, calcule a função de tranferência () ( ) G. T () Figura (NISE, 00). 6

58 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula T Modelagem de itema eletromecânico Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página PHILLIPS, Charle L.; HARBOR, Royce D. Sitema de controle e realimentação. São Paulo ; Rio de Janeiro: Makron, c p. ISBN Página Funçõe de tranferência de itema eletromecânico Vamo no delocar agora para itema em que há mitura de variávei elétrica e mecânica, o itema eletromecânico. Exemplo de aplicaçõe: controle de poicionamento de uma antena em azimute, controle de robô, ratreadore do Sol e etelare, controle de poição de acionadore de fita e de dico para computadore, etc. Um exemplo é motrado na Figura. Figura - Braço robótico de imulador de vôo da NASA com componente do itema de controle eletromecânico (NISE, 00).

59 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Um motor é um componente eletromecânico que fornece um delocamento de aída para uma tenão de entrada, ito é, uma aída mecânica gerada por uma entrada elétrica. Aqui, conideraremo apena o ervo motor de corrente contínua controlado pela armadura motrado na Figura. Figura - Motor CC: a. equema; b. diagrama de bloco. (NISE, 00). A equaçõe fíica que regem o comportamento dete itema ão: F B () i a corrente elétrica circulando pelo condutor comprimento do condutor B campo magnético em que o condutor etá imero v velocidade do condutor comprimento do condutor e tenão contra-eletromotriz i a e B v () Aim, ao aplicarmo a tenão e a ( t), aparece um torque T m () t e uma velocidade angular ω( t) θ ( t) e, em compenação uma tenão contra-eletromotriz v b () t.

60 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Baeando-e na Eq. (), podemo ecrever que: v b dθ m () t K V () K Θ () b dt Ecrevendo a equação da malha para o circuito da armadura, b () L I ( ) + V ( ) E ( ) Ra I a a a b +. b m a (3) Em motore de corrente contínua, pode-e coniderar que L 0. Aim, () V ( ) E ( ) Ra I a b +. (4) a a Da Eq. (), vemo que o torque produzido pelo motor é proporcional à corrente de armadura, aim, T m K () K I () I () T () Subtituindo (3) e (5) em (4), R K a T T a a m. (5) T T m () K Θ () E () Para deduzir a função de tranferência m + b m a. (6) Θ m E a ( ), preciamo agora relacionar () T m () com Θ ( ). Ito pode er feito utilizando-e o modelo da Figura 3 para o motor carregado. Neta, J a e D a ão repectivamente a inércia e o amortecimento da armadura e J L e D L a inércia e o amortecimento da carga (load). Figura 3 - Motor acionando uma carga mecânica em rotação. (NISE, 00). 3

61 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho Daí, () ( ) ( ) D J T m m m m Θ + (7) com + N N J J J L a m e + N N D D D L a m. Subtituindo agora a Eq. (7) na Eq. (6), ( ) ( ) ( ) Θ + + E K D J K R a m b m m T a () () + + Θ b a T m m m a T a m K R K D J J R K E. Pode-e motrar que a contante do motor a T R K e b K podem er obtida a partir da curva torque-velocidade do motor, como a motrada na Figura 4. Figura 4 - Curva de torque-velocidade tendo como parâmetro a tenão de armadura a e (NISE, 00).

62 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Pode-e motrar que: T K T bloq Ra e e a K b ω e a vazio. Exercício. (NISE, 00, p. 68) Dado o itema e a curva torque-velocidade da Figura 5(a) e (b), obter a função de tranferência Θ L E a ( ). () Figura 5 - a. Motor CC e carga; b. curva torque-velocidade. (NISE, 00). Θ. (NISE, 00, p. 69) Obter a função de tranferência () () G L de um mo- E () tor e carga motrado na Figura 6. A curva torque-velocidade é dada por T 8 ω + 00 quando a tenão de entrada for 00 volt. m m a 5

63 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura 6 - Sitema eletromecânico para o Exercício (NISE, 00). 3. (NISE, 00, p. 85) Para o motor, a carga e uma curva torque velocidade Θ motrado na Figura 7, obter a função de tranferência () () G L. E () a Figura 7 (NISE, 00). 4. (NISE, 00, p. 86) O motor cuja caracterítica torque-velocidade etá motrada na Figura 8 aciona a carga motrada no diagrama. Alguma da engre- Θ nagen pouem inércia. Obter a função de tranferência () () G L. E () a 6

64 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura 8 (NISE, 00). 5. (NISE, 00, p. 86) Neta aula, deduzimo a função de tranferência de um motor CC relacionando o delocamento angular de aída com a tenão de armadura como entrada frequentemente e deeja controlar o torque em vez do delocamento angular. Deduza a função de tranferência do motor que relaciona o torque de aída com a tenão de armadura na entrada. 7

65 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula T Etudo de cao: Modelo de itema Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página Etudo de cao Controle de antena: Função de tranferência Ete capítulo motrou que o itema fíico podem er modelado matematicamente como funçõe de tranferência. De um modo geral, o itema ão compoto de ubitema de diferente tipo, como o elétrico, o mecânico e o eletromecânico. Atividade : Obter a função de tranferência de cada ubitema do itema de controle de poicionamento de uma antena em azimute, motrado na Figura, e na Tabela. Ue a Configuração. O ubitema individuai do itema etão reumido na Tabela. Figura Arranjo fíico Controle de antena (NISE, 00).

66 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura Equema Controle de antena (NISE, 00). Tabela Parâmetro do Equema Controle de antena (NISE, 00).

67 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Tabela - Subitema do itema de controle de poição de uma antena em a- zimute (NISE, 00). Repota: 3

68 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Atividade (deafio): Conultando o diagrama equemático do itema de controle de poicionamento de uma antena em azimute motrado na Figura, calcular a função de tranferência de cada ubitema. Ue a Configuração. Sumário Nete capítulo, dicutimo como obter um modelo matemático, chamado função de tranferência, para o itema lineare e invariante no tempo, de natureza elétrica, mecânica e eletromecânica. A função de tranferência é definida como () C ( ) G, ou eja, a relação da tranformada de Laplace da aída pela tranformada de Laplace da entrada. Eta relação é al- R() gébrica e também e adapta à modelagem de itema interconectado. Exercício. (NISE, 00, p. 87) O Problema 4 da Lita dicute o controle ativo de um mecanimo de pantógrafo para itema ferroviário de alta velocidade. O diagrama para o acoplamento do pantógrafo e da catenária etá motrado na Figura 5(a). Figura 5 - a. Acoplamento do pantógrafo com a catenária; b. repreentação implificada motrando a força de controle ativa (NISE, 00). 4

69 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Admita o modelo implificado motrado na Figura 5(b), em que a catenária é repreentada pela mola, K med. Ycat (a) Obtenha a função de tranferência, () ( ) G, em que y () t Fup () cat é o delocamento da catenária e f up () t é a força para cima aplicada ao pantógrafo ob controle ativo. Yh (b) Obtenha a função de tranferência () ( ) G, em que y () t F () h é o deloca- mento da parte uperior do pantógrafo. (c) Obtenha a função de tranferência () ( Yh ( ) Ycat ( ) ) G. F () up up 5

70 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 3T Modelagem no domínio do tempo: Introdução Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página Modelagem no domínio do tempo Objetivo do capítulo Obter um modelo matemático, chamado repreentação no epaço de etado, de itema lineare e invariante no tempo. Tranformar modelo ob a forma de função de tranferência em modelo no epaço de etado. Objetivo do etudo de cao Dado o itema de controle de poicionamento da antena em azimute, você deverá er capaz de obter a repreentação no epaço de etado de cada ubitema. 3. Introdução Para a análie e o projeto de itema de controle com retroação há dua a- bordagen. A primeira, que começamo a etudar no Capítulo, é conhecida como técnica cláica, ou no domínio da freqüência. Eta abordagem é baeada na tranformação de uma equação diferencial em uma função de tranferência, gerando aim um modelo matemático do itema que relaciona algebricamente uma repreentação da aída a uma repreentação da entrada. Principal devantagem: aplicabilidade limitada ó pode er uada em itema lineare e invariante no tempo ou em itema que poam er aproximado como tal.

71 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Principal vantagem: fornecem rapidamente informaçõe obre a etabilidade e obre a repota tranitória. Com o advento da exploração epacial, o requiito do itema de controle aumentaram de ecopo. A modelagem de itema uando equaçõe diferenciai lineare e invariante no tempo e a funçõe de tranferência ubeqüente e tornaram inadequada. A abordagem no epaço de etado (também referida como abordagem moderna ou no domínio do tempo) contitui um método unificado de modelagem, análie e projeto de uma gama ampla de itema. Por exemplo, a abordagem no epaço de etado pode er uada para repreentar itema não-lineare dotado de folga, aturação e zona morta. Além dio, ela pode manipular, de forma adequada, itema com condiçõe iniciai não-nula. Sitema variante no tempo (exemplo: míei com nívei de combutível variante) podem er repreentado no epaço de etado bem como itema com múltipla entrada e aída. Também permite repreentar um computador digital na malha e também é atraente devido à diponibilidade de inúmero pacote de oftware que utilizam modelo no epaço de etado. Devantagem: não é tão intuitivo quanto a abordagem cláica. O projetita deve e envolver com muito cálculo ante que a interpretação fíica do modelo e torne aparente. 3.. Alguma obervaçõe Neta eção, vamo motrar a partir de exemplo como obter a repreentação por epaço de etado para um itema. Devem-e eguir o eguinte pao: I. Selecionamo um ubconjunto particular de toda a variávei do itema e chamamo a variávei dete conjunto de variávei de etado.

72 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 II. Para um itema de ordem n, ecrevemo n equaçõe diferenciai de primeira ordem, imultânea em termo da variávei de etado. III. Se conhecermo a condição inicial de toda a variávei de etado em t 0 IV. bem como a entrada do itema para t t0, poderemo reolver a equaçõe diferenciai imultânea em função da variávei de etado para t t0. Combinamo algebricamente a variávei de etado com a entrada e obtemo toda a variávei do itema para t t0. Chamamo eta equação algébrica de equação de aída. V. Conideramo a equaçõe de etado e a equaçõe de aída uma repreentação viável do itema. Chamamo eta repreentação de repreentação do itema no epaço de etado. Exercício. (NISE, 00, p. 9) Para o circuito elétrico de primeira ordem da Figura, pede-e: (a) Coniderando como variável de etado i ( t) ecreva a equação de etado para ete circuito. (b) Repita utilizando a tenão no reitor v R ( t) como variável de etado. (c) Coniderando v R () t como variável de aída e i ( t) como variável de etado, ecreva a equação de aída. (d) Repita para a tenão no indutor v L ( t) como variável de aída. (e) Repita para a derivada da corrente como variável de aída. Figura Circuito RL (NISE, 00). 3

73 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006. (NISE, 00, p. 93) Para o circuito elétrico de ª ordem motrado na Figura, pede-e: Figura Circuito RLC (NISE, 00). (a) Ecreva a equaçõe de etado coniderando a carga q ( t) e a corrente i ( t) como variávei de etado. (b) Ecreva a equação de aída para a tenão obre o indutor v L () t. (c) Ecreva a repreentação no epaço de etado coniderando a variávei do iten (a) e (b). (d) Reecreva a equaçõe de etado coniderando como variávei de etado v R () t e () t, a tenõe obre o reitor e obre o capacitor, repectivamente. v C A equaçõe de etado podem er ecrita na forma matricial e o itema for linear. Ou eja, para um itema com uma entrada e uma aída (SISO ingle input ingle output), podem er ecrita como: x Ax + Bu y Cx + Du () Exercício 3. (NISE, 00, p. 9) Para a repreentação no epaço de etado do Exercício (c), determine quem repreenta cada uma da variávei na Eq. () A repreentação geral no epaço de etado Agora vamo definir formalmente o conceito ilutrado na eção anterior. 4

74 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Combinação linear: uma combinação linear de n variávei, x i, para é dada pela eguinte oma, S : em que cada k i é uma contante. S kn xn + kn xn + + kx i a n Independência linear: diz-e que um conjunto de variávei é linearmente independente e nenhuma da variávei puder er ecrita como uma combinação linear da outra. Por exemplo, dado x, x e x 3, e x 5x + 6x3, então a variávei não ão linearmente independente, uma vez que uma dela pode er ecrita como combinação linear da demai. Variável de itema: qualquer variável que reponda a uma entrada ou a condiçõe iniciai de um itema. Variávei de etado: o menor conjunto linearmente independente de variávei de itema tal que o valore do membro do conjunto no intante t 0, juntamente com a funçõe forçante conhecida, determinam completamente o valor de toda a variávei do itema para todo o intante de tempo t t0. Vetor de etado: um vetor cujo elemento ão a variávei de etado. Epaço de etado: o epaço n -dimenional cujo eixo ão a variávei de etado (Figura 3). Uma trajetória pode er imaginada como endo o mapeamento do vetor x () t para uma faixa de valore de t. Na Figura 3 etá motrado também o vetor de etado no intante particular t 4. Equaçõe de etado: Um conjunto de n equaçõe diferenciai de primeira ordem, imultânea, com n variávei em que a n variávei a erem reolvida ão a variávei de etado. Equaçõe de aída: A equação algébrica que exprime a variávei de aída de um itema linear como combinaçõe lineare da variávei de etado e da entrada. Um itema é repreentado no epaço de etado pela eguinte equaçõe: 5

75 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura 3 Repreentação gráfica do epaço de etado e de um vetor de etado (NISE, 00). x Ax + Bu y Cx + Du em que: x vetor de etado x derivada do vetor de etado em relação ao tempo. y vetor de repota u vetor de entrada ou de controle A matriz de itema B matriz de entrada C matriz de aída D matriz de ação avante. Exercício 4. (NISE, 00, p. 6) Dê dua razõe para modelar itema no epaço de etado. 5. (NISE, 00, p. 6) Ainale uma vantagem da abordagem em função de tranferência obre a repreentação no epaço de etado. 6

76 Automação e Controle I Aula 4T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 4T Aplicando a repreentação no epaço de etado Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página Aplicando a repreentação no epaço de etado Neta eção, vamo aplicar a formulação no epaço de etado à repreentação de itema fíico mai complicado. O primeiro pao para repreentar um itema conite em elecionar o vetor de etado, que deve er ecolhido com a eguinte conideraçõe: o Devemo elecionar um número mínimo de variávei de etado como componente do vetor de etado. o O componente do vetor de etado (ito é, ete número mínimo de variávei de etado) devem er linearmente independente. Variávei de etado linearmente independente O componente do vetor de etado devem er linearmente independente. Por exemplo, eguindo a definição de independência linear da Seção 3.3, e x, x e x 3 forem ecolhida como variávei de etado, ma x 3 5x + 4x, então x 3 não é linearmente independente de x e x, uma vez que o conhecimento do valore de x e x produz o conhecimento do valor de x 3. Número mínimo de variávei de etado Como aber qual o número de variávei de etado a elecionar? Geralmente, o número mínimo neceário é igual à ordem da equação diferencial que decreve o itema. Segundo a perpectiva da função de tranferência, a ordem da equação diferencial é a ordem do denominador da função de tranferência depoi do cancelamento do fatore comun ao numerador e ao denominador.

77 Automação e Controle I Aula 4T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Na maioria do cao, uma outra forma de determinar o número de variávei de etado é contar o número de elemento armazenadore de energia independente exitente no itema. No cao de circuito elétrico, noa abordagem conite em ecrever a equação imple da derivada para cada um do elemento armazenadore de energia (capacitore e indutore) e exprear a derivada como uma combinação linear da variávei de itema e de entrada preente na equação. No itema mecânico, mudamo a ecolha de variávei de etado para poição e velocidade de cada ponto com movimento linear independente. Exercício. (NISE, 00, p 97) Dado o circuito elétrico da Figura, obter uma repreentação no epaço de etado e a aída for a corrente atravé do reitor. Figura - Circuito elétrico para repreentação no epaço de etado (NISE, 00).. (NISE, 00, p. 0) Obter a equaçõe de etado para o itema mecânico em tranlação motrado na Figura. Qual a equação de aída e a variável de aída for x () t? Figura - Sitema mecânico em tranlação (NISE, 00).

78 Automação e Controle I Aula 4T Profeor Marcio Eiencraft julho (NISE, 00, p. 0) Obter a repreentação no epaço de etado do circuito elétrico motrado na Figura 3. A aída é v o ( t). Figura 3 - Circuito elétrico para o Exercício 3 (NISE, 00). 4. (NISE, 00, p. 0) Obter a repreentação no epaço de etado do itema mecânico motrado na Figura 4 em que a aída é x 3 ( t). Figura 4 - Sitema mecânico em tranlação para o Exercício 4 (NISE, 00). 5. (NISE, 00, p. 99) Obter a equaçõe de etado e de aída do circuito elétrico motrado na Figura 5 e o vetor de aída for y [ ] T, em que T ignifica a tranpota do vetor. vr i R Figura 5 - Circuito elétrico para o Exercício 5. 3

79 Automação e Controle I Aula 5T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 5T Convertendo uma função de tranferência para o epaço de etado Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página Convertendo uma função de tranferência para o epaço de etado Neta eção vamo aprender como paar de uma repreentação em função de tranferência para uma repreentação no epaço de etado. Uma vantagem da repreentação no epaço de etado é que ela pode er u- ada para imular itema fíico num computador digital. Deta forma, e quiermo imular um itema repreentado por uma função de tranferência, devemo primeiro converter a repreentação por função de tranferência em repreentação no epaço de etado. Vamo dividir o problema em doi cao. º cao: Função de tranferência com numerador contante Seja a função de tranferência: C R () b0 () n n + a n + + a + a0 Eta função repreenta a equação de diferença: n d c n dt n d c dc an + + a a c b r() t n dt dt + Um jeito imple de obter a repreentação no epaço de etado é ecolher um conjunto de variávei de etado chamada de variávei de fae, em que cada variável de etado ubeqüente é a derivada de etado anterior. Aim, tomamo:.

80 Automação e Controle I Aula 5T Profeor Marcio Eiencraft julho n n n dt c d x dt c d x dt dc x c x. A entrada é () t r u e a aída é ( ) t c y. Com eta ecolha, temo a eguinte equaçõe de entrada e de aída: x y u b x a x a x a x a x x x x x x x n n n Na forma matricial: [ ] + + u y u b a a a a a a a n x x x () A Eq. () é a forma em variávei de fae da equaçõe de etado. Ea forma é reconhecida facilmente pelo padrão excluivo de e 0 e do negativo do coeficiente da equação diferencial, ecrito em ordem invera, na última linha da matriz de itema. Exercício. (NISE, 00, p. 04) Obter a repreentação no epaço de etado ob a forma de variávei de fae da função de tranferência motrada na Figura. Dee-

81 Automação e Controle I Aula 5T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 nhar também um diagrama de bloco com integradore, omadore e ganho que implementem ete itema. Figura - Função de tranferência (NISE, 00). º cao: Função de tranferência com polinômio no numerador Seja, por exemplo, a função de tranferência motrada na Figura (a). Figura Decompondo uma função de tranferência (NISE, 00). Nete cao, primeiro eparamo a função de tranferência em dua, aociada em cacata, como motrado na Figura (b). A primeira é o denominador e a egunda, o numerador. A primeira função de tranferência com apena o denominador é convertida na repreentação por variávei de fae no epaço de etado como feito anteriormente. Portanto, a variável de fae x é a aída e a outra variávei de fae ão variávei interna do primeiro bloco, como motrado na Figura (b). A egunda função de tranferência com apena o numerador conduz a () C( ) ( b + b b ) X ( ) Y + 0 3

82 Automação e Controle I Aula 5T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 em que, depoi de obtida a tranformada de Laplace invera com condiçõe iniciai nula, d x dx y + dt dt () t b + b b0 x Ma o termo com derivada ão a definiçõe da variávei de fae obtida no primeiro bloco. Aim, ecrevendo-e o termo em ordem invera para dar a forma de uma equação de aída, () t b0 x + b x b x3 y +. Portanto, o egundo bloco forma implemente uma combinação linear epecífica da variávei de fae deenvolvida no primeiro bloco. Segundo uma outra perpectiva, o denominador da função de tranferência conduz à equaçõe de etado enquanto o numerador fornece a equação de aída. Exercício. (NISE, 00, p. 06) Obter a repreentação no epaço de etado da função de tranferência motrada na Figura 3. Deenhar também um diagrama de bloco com integradore, omadore e ganho que implementem ete itema. Figura 3 - Função de tranferência (NISE, 00). 3. (NISE, 00, p. 07) Obter a equaçõe de etado e a equação de aída da repreentação em variávei de fae da função de tranferência + G () (NISE, 00, p. 9) Um míil em vôo, como motrado na Figura 4, etá ubmetido a divera força: empuxo, utentação, arrato e ação da gravida- 4

83 Automação e Controle I Aula 5T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 de. O míil voa com um ângulo de ataque, α, em relação ao eixo longitudinal, criando utentação. Para manobrar o míil, controla-e o ângulo φ do corpo do míil em relação à vertical, movendo angularmente o motor propulor da parte traeira. A função de tranferência relacionando o ângulo φ ao delocamento δ do motor é da forma: Φ Δ () Ka + Kb 3 () K3 + K + K + K0 Repreentar o controle de manobra do míil no epaço de etado.. Figura 4 Míil (NISE, 00). 5. (NISE, 00, p. 8) Repreente a eguinte função de tranferência no epaço de etado. Dê ua repota na forma matricial vetorial. T () ( ) ( + )( ) 5

84 Automação e Controle I Aula 6T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 6T Convertendo do epaço de etado para função de tranferência Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página Convertendo do epaço de etado para a função de tranferência No Capítulo e 3 exploramo doi método para repreentar itema: () a repreentação em função de tranferência e () a repreentação no epaço de etado. Na aula anterior, unificamo a dua repreentaçõe convertendo funçõe de tranferência em repreentaçõe no epaço de etado. Agora, vamo mover na direção contrária e converter a repreentação no epaço de etado em função de tranferência. Dada a equaçõe de etado e de repota: x Ax + Bu y Cx + Du aplicando a tranformada de Laplace, obtemo: ou Explicitando X () na Eq. (), X em que I é a matriz identidade. ( ) AX( ) BU( ) X + () () CX( ) DU( ) Y + () ( I A) X( ) BU( ) () ( I A) BU( ) (3) Subtituindo a Eq. (3) na Eq. (), reulta: Y () C( I A) BU( ) + DU( ) C( I A) B + D U [ ] (),

85 Automação e Controle I Aula 6T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 [ ] Chamamo a matriz C ( I A) B + D uma vez que ela relaciona o vetor de aída, ( ) de matriz função de tranferência, Y, ao vetor de entrada ( ) U. Quando U () U () e Y () Y ( ) forem ecalare, podemo obter a função de tranferência: T () Y U ( ) () ( I A) B D C + Exercício. (NISE, 00, p. 09) Converter a equaçõe de etado e a equação de aída motrada a eguir em função de tranferência: 4,5 x x u y [,5 0,65]x. (NISE, 00, p. 08) Dado o itema definido pela equaçõe a eguir, obter Y a função de tranferência () ( ) T em que U ( ) é a entrada e Y () a aída. U () 0 x 0 0 y [ 0 0]x 0 0 x 0 + u 3 0 Y 3. (NISE, 00, p. 8) Obtenha a função de tranferência () () G, para cada um do itema repreentado no epaço de R() etado: (a) 0 x y [ 0 0]x 0 0 x 0 + r 5 0

86 Automação e Controle I Aula 6T Profeor Marcio Eiencraft julho (b) [ ]x x x y r (c) [ ]x x x y r

87 Automação e Controle I Aula 7T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 7T Etudo de cao: Robótica Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página -. DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página Etudo de cao Atividade. (NISE, 00, p. 0) O retorno de robô a um ponto de referência, baeado em imagen, pode er implementado gerando-e o comando de entrada de rumo para um itema de manobra baeado no eguinte algoritmo de guiamento: uponha que o robô motrado na Figura (a) deve ir do ponto R para um alvo, o ponto T, como motrado na Figura (b). Se R X, R Y e R Z ão vetore do robô a cada marco de referência, X, Y, Z, repectivamente, e T X, T Y e T Z ão vetore do alvo a cada marco de referência, repectivamente, então o comando de rumo devem acionar o robô para minimizar R Y T Y e Z TZ R T, R imultaneamente, uma vez que a diferença tenderão a zero e o robô alcançar o alvo. Se a Figura (c) repreenta o itema de controle de manobra do robô, repreente cada bloco controlador, roda e veículo no epaço de etado. X X

88 Automação e Controle I Aula 7T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura - a. Robô com itema de imagem por televião ( 99 IEEE); b. diagrama vetorial motrando o conceito por trá do acompanhamento automático baeado em imagem ( 99 IEEE); c. itema de controle de rumo. (NISE, 00).. (NISE, 00, p. ) O manipuladore robótico moderno que atuam diretamente obre o ambiente-alvo devem er controlado de modo que a força de impacto bem como a força de etado etacionário não danifiquem o alvo. Ao memo tempo, o manipulador deve fornecer força uficiente para e- xecutar a tarefa. Para deenvolver um itema de controle para regular eta força, há neceidade de modelar o manipulador robótico e o ambiente-alvo. Supondo o modelo motrado na Figura, repreente, no epaço de etado, o manipulador robótico e o ambiente ob a eguinte condiçõe: (a) O manipulador não etá em contato direto com o ambiente-alvo.

89 Automação e Controle I Aula 7T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 (b) O manipulador etá em contato contante com o ambiente-alvo. Figura - Manipulador robótico e ambiente-alvo ( 997 IEEE) (NISE, 00). 3. (NISE, 00, p. 0) Coniderar a aeronave militar F4-E motrada na Figura 3(a), em que a aceleração normal, a n, e a velocidade angular de arfagem, q, ão controlada pela deflexão do profundor, δ e, obre o etabilizadore horizontai, e pela deflexão da uperfície aerodinâmica dianteira (canard), δ C. Um comando de deflexão δ COM, como motrado na Figura 3(b) é uado para efetuar uma alteração em amba a deflexõe δ e e δ C. A relaçõe ão: δ e δ δ C δ COM COM ( ) τ () + τ () K C τ () + τ Eta deflexõe produzem, atravé da dinâmica longitudinal da aeronave, a n e q. A equaçõe de etado decrevendo o efeito de δ COM obre a n e q ão dada por: a n,70 q 0, δ e 0 50,7,48 Obter a eguinte funçõe de tranferência: 0 G G () () 63,38 an 7,06 3,99 q + 0 δ δ 4 e 4 δ Q δ 3 A n COM COM ( ) () () () COM.

90 Automação e Controle I Aula 7T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura 3 - a. F4-E com canard ( 99 AIAA); b. itema de controle de vôo a malha aberta ( 99 AIAA). (NISE, 00). 4. (NISE, 00, p. ) A Figura 4(b) motra um modelo de itema mecânico em tranlação relativo a um pantógrafo para ferrovia de alta velocidade, uado para fornecer energia elétrica a um trem a partir de uma catenária upena. Repreentar o pantógrafo no epaço de etado, onde a aída é o delocamento da parte uperior do pantógrafo y ( t) y ( t) h cat. 4

91 Automação e Controle I Aula 7T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura 4 - a. Acoplamento do pantógrafo com a catenária; b. repreentação. Simplificada motrando a força de controle ativa (NISE, 00). 5. (NISE, 00, p. 7) Repreente o itema mecânico em rotação motrado na Figura 5 no epaço de etado em que θ ( t) é a aída. Figura 5 (NISE, 00). 5

92 Automação e Controle I Aula 8T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 8T Repota no domínio do tempo - Introdução Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página 3-6. PHILLIPS, Charle L.; HARBOR, Royce D. Sitema de controle e realimentação. São Paulo ; Rio de Janeiro: Makron, c p. ISBN Página CAPÍTULO 4 RESPOSTA NO DOMÍNIO DO TEMPO Objetivo do capítulo Nete capítulo iremo aprender o eguinte: o Como obter a repota no domínio do tempo a partir da função de tranferência; o Como uar pólo e zero para determinar quantitativamente a repota de um itema de controle; o Como decrever quantitativamente a repota tranitória de itema de primeira e egunda ordem; o Como aproximar itema de ordem maior por itema de primeira e egunda ordem; o Como viualizar o efeito de não-linearidade na repota de itema no domínio do tempo; o Como obter a repota no domínio do tempo a partir da repreentação no epaço de etado. 4. Introdução No Cap. motramo como a funçõe de tranferência podem repreentar itema lineare e invariante no tempo. No Cap. 3 o itema foram repreentado diretamente no domínio do tempo por intermédio da equaçõe de etado e de aída.

93 Automação e Controle I Aula 8T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Depoi que o engenheiro obtém uma repreentação de um ubitema, ete é analiado atravé da repota tranitória e de etado etacionário para ver e eta caracterítica conduzem ao comportamento deejado. Ete capítulo e detina à análie da repota tranitória de itema. Depoi de decrever uma ferramenta valioa de análie e de projeto, pólo e zero, começaremo a analiar noo modelo para obter a repota ao degrau de itema de primeira e de egunda ordem. A ordem e refere à ordem da equação diferencial equivalente que repreenta o itema a ordem do denominador da função de tranferência depoi do cancelamento de fatore comun com o numerador ou o número de equaçõe diferenciai de primeira ordem imultânea neceária para a repreentação no epaço de etado. 4. Pólo, zero e repota do itema. A repota de aída de um itema é a oma de dua repota: a repota forçada ou em regime etacionário e a repota natural ou tranitória. Embora divera técnica, como a olução de equaçõe diferenciai ou a aplicação da tranformada de Laplace invera, permitam calcular ea repota, tai técnica ão trabalhoa e conomem muito tempo. A produtividade é favorecida pela técnica de análie e projeto que produzam reultado com um mínimo de tempo. Se a técnica for tão rápida que eja poível obter o reultado deejado por inpeção, uamo alguma veze o atributo qualitativo para decrever o método. O uo de pólo e zero e de ua relação com a repota de itema no domínio do tempo é uma dea técnica.

94 Automação e Controle I Aula 8T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Pólo de uma função de tranferência O pólo de uma função de tranferência ão o valore da variável,, da tranformada de Laplace que fazem com que a função de tranferência e torne infinita. Zero de uma função de tranferência O zero de uma função de tranferência ão o valore da variável,, da tranformada de Laplace que fazem com que a função de tranferência e torne igual a zero. Pólo e zero de um itema de primeira ordem: um exemplo Exercício. (NISE, 00, p. 4) Dada a função de tranferência G () da Figura, pede-e: Figura - Sitema motrando entrada e aída (NISE, 00). (a) Determine o pólo e zero dete itema. (b) Localize o pólo e zero no plano complexo. Ua-e um para localizar pólo e ο para localizar zero. (c) Utilizando a tranformada de Laplace invera, determine a repota ao degrau do itema. (d) Epecifique a repota em regime etacionário e a repota tranitória. Com bae no deenvolvimento do Exercício, reumido na Figura, pode-e concluir que: 3

95 Automação e Controle I Aula 8T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura - Evolução de uma repota de itema. Siga a eta voltada para baixo para ver a evolução do componente da repota gerada pelo pólo ou pelo zero. (NISE, 00). I. Um pólo da função de entrada gera a forma da repota forçada ou em regime permanente (ito é, o pólo na origem gerou a função degrau na aída). II. Um pólo da função de tranferência gera a forma da repota natural ou III. IV. tranitória (ito é, o pólo em -5 gerou e αt t e 5 ). Um pólo obre o eixo real gera uma repota exponencial da forma, em que α é a localização do pólo obre o eixo real. Aim, quanto mai a equerda fique ituado o pólo obre o eixo real negativo, tanto mai rápido erá o decaimento da repota tranitória exponencial para zero. O pólo e zero geram a amplitude para amba a repota, natural e forçada. 4

96 Automação e Controle I Aula 8T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Exercício. (NISE, 00, p. 6) Dado o itema da Figura 4, ecrever a aída c ( t), em termo genérico. Epecificar a parte forçada e natural da olução. Figura 3 - Sitema para o Exercício (NISE, 00). 3. (NISE, 00, p. 6) Um itema poui uma função de tranferência 0 () ( + 4)( + 6) G. Ecrever, por inpeção, a aída, c () t, em ( + )( + 7)( + 8)( + 0) termo genérico, e a entrada for um degrau unitário. 4. (NISE, 00, p. 69) Em um itema com uma entrada e uma aída, que pólo geram a repota em etado etacionário? 5. (NISE, 00, p. 69) Em um itema com uma entrada e uma aída, que pólo geram a repota tranitória? 5

97 Automação e Controle I Aula 9T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 9T Sitema de primeira ordem Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: Livro Técnico e Científico, c p. ISBN Página 7-9. PHILLIPS, Charle L.; HARBOR, Royce D. Sitema de controle e realimentação. São Paulo: Makron Book, c p. : il. 4 cm ISBN Página Sitema de primeira ordem Um itema de primeira ordem em zero pode er decrito pela função de tranferência motrada na Figura (a). Figura - a. Sitema de primeira ordem; b. gráfico do pólo (NISE, 00). Se a entrada for um degrau unitário, ou eja, R(), a tranformada da aída, C (), erá: C a. () R() G() ( + a) Aplicando a tranformada de Laplace invera, obtemo a repota ao degrau que é dada por: c at () t c ( t) + c ( t) e () f n em que o pólo da entrada ituado na origem gerou a repota forçada c e o pólo do itema em at a, gerou a repota natural c ( t) e. A Figura motra um gráfico de c ( t). n f

98 Automação e Controle I Aula 9T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura - Repota de um itema de primeira ordem a um degrau unitário (NI- SE, 00). Oberve que quando t, a a a c e a e 0,37 0,63. () Uamo agora a equaçõe acima para definir trê epecificaçõe da repota tranitória. Contante de tempo Chamamo de contante de tempo da repota. a Com bae na Eq.(), a contante de tempo é o tempo neceário para que a repota ao degrau alcance 63% do eu valor final.

99 Automação e Controle I Aula 9T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Como a derivada de c () t é igual a a para t 0, a é a taxa inicial de variação da exponencial em t 0. Portanto, a contante de tempo pode er coniderada uma epecificação da repota tranitória de um itema de primeira ordem, uma vez que etá relacionada com a velocidade com que o itema reponde a uma entrada em degrau. Tempo de ubida, ( T R ) O tempo de ubida é definido como o tempo neceário para que a forma de onda vá de 0, a 0,9 do eu valor final. O tempo de ubida é obtido reolvendo a Eq. () para a diferença entre o valore de t para o quai c ( t) 0, 9 e c ( t) 0,. Portanto, T,3 0,, (3) R a a a Exercício. A partir da definição de T R, deduza a Eq. (3). Tempo de aentamento ( T S ) O tempo de aentamento é definido como o tempo neceário para que a repota alcance uma faixa de valore de % em torno do valor final e aí permaneça. Fazendo c () t 0, 98 na Eq. (), obtemo o tempo de aentamento como: Exercício 4 T S (4) a. Demontre a Eq. (4) a partir da definição de T S. 3

100 Automação e Controle I Aula 9T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Funçõe de tranferência de primeira ordem obtida experimentalmente Frequentemente não é poível ou prático obter analiticamente a função de tranferência de um itema. Poivelmente o itema é fechado e a parte componente não ão identificávei facilmente. Com uma entrada degrau, podemo medir a contante de tempo e o valor do etado etacionário, a partir de cujo valore podemo calcular a função de tranferência. Conidere um itema de primeira ordem, cuja repota ao degrau é: C () G () K, + a K K K a a. ( + a) + a Se pudermo identificar o valore de K e de a a partir de enaio em laboratório, poderemo obter a função de tranferência do itema. Exercício 3. Suponha que um itema de primeira ordem tenha a repota dada na Figura 3. Determine ua função de tranferência. Figura 3 - Reultado de laboratório de um enaio com repota de um itema ao degrau (NISE, 00). 4

101 Automação e Controle I Aula 9T Profeor Marcio Eiencraft julho (NISE, 00, p. 9) Um itema poui uma função de tranferência G () o tempo de ubida, T R.. Obter a contante de tempo, T C, o tempo de aentamento T S e 5. (NISE, 00, p. 70) Determine a tenão no capacitor do circuito motrado na Figura 4 quando a chave fechar em t 0. Admita condiçõe iniciai nula. Determine também a contante de tempo, o tempo de ubida e o tempo de aentamento para a tenão no capacitor. Figura 4 (NISE, 00). 5

102 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula T Sitema de egunda ordem: Introdução Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: Livro Técnico e Científico, c p. ISBN Página PHILLIPS, Charle L.; HARBOR, Royce D. Sitema de controle e realimentação. São Paulo: Makron Book, c p. : il. 4 cm ISBN Página Sitema de egunda ordem: introdução Comparando com a implicidade do itema de primeira ordem, o itema de egunda ordem apreentam uma ampla gama de repota que deve er analiada e decrita. Enquanto no itema de primeira ordem a variação de um parâmetro muda implemente a velocidade da repota, a mudança no parâmetro do itema de egunda ordem podem alterar a forma da repota. Exemplo numérico da repota do itema de egunda ordem ão motrado na Figura. Todo o exemplo ão deduzido a partir da Figura (a), o cao geral que tem doi pólo finito e nenhum zero. A repota ao degrau pode er encontrada uando C ( ) G( ) R( ), em que R (), eguida de uma expanão em fraçõe parciai e da aplicação da tranformada de Laplace invera. Repota uperamortecida, Figura (b). Para eta repota, 9 9 C (). ( ) ( + 7,854)( +,46) Eta função poui um pólo na origem que vem da entrada degrau unitário e doi pólo reai proveniente do itema. A aída é ecrita como

103 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Superamortecido Subamortecido Figura - Sitema de egunda ordem, gráfico de pólo e repota ao degrau (NISE, 00).

104 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 c 7,854t,46t () t K + K e + K e. Eta repota, motrada na Figura (b) é chamada uperamortecida. 3 Repota ubamortecida, Figura (c). Para eta repota, 9 C (). ( + + 9) Eta função poui um pólo na origem em degrau unitário e doi pólo complexo proveniente do itema. O pólo que geram a repota natural ão + j 8. Aim, C () pode er expandida como: C () A B C j j 8 A linha (0b) da Tabela. da Aula 4T fornece o eguinte par tranformado: re at jθ jθ 0,5re 0,5re co ( bt + θ ) +. () + a jb + a + jb Aim, a forma geral da repota ao degrau erá: c () + ( + θ ) t t K K e co 8t. A parte real do pólo coincide com o decaimento exponencial da enóide enquanto a parte imaginária do pólo coincide com a freqüência da ocilação enoidal. A eta freqüência da enóide é dado o nome de freqüência amortecida, ω d. A Figura motra uma repota enoidal amortecida genérica de um itema de egunda ordem. 3

105 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura - Componente da repota ao degrau de itema de egunda ordem gerado por pólo complexo (NISE, 00). Chamamo ete tipo de repota de repota ubamortecida. Exercício. (NISE, 00, p. 3) Ecreva, por inpeção, a forma da repota ao degrau do itema da Figura 3. Figura 3 Sitema para o Exercício (NISE, 00). Voltaremo à repota ubamortecida do itema na próxima aula em que iremo generalizar a dicuão e deduzir algun reultado que relacionam a poição do pólo a outro parâmetro da repota. 4

106 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Repota em amortecimento, Figura (d). Para eta repota, () 9 C. ( + 9) Eta função poui um pólo na origem que vem da entrada em degrau unitário e doi pólo imaginário puro proveniente do itema. Expandindo, C () A + B C + + j3 j3. Uando novamente () com a 0, obtemo a repota genérica nete cao: () t A + co ( t +θ ) c 3 Ete tipo de repota, motrado na Figura (d) é chamado em amortecimento. Repota criticamente amortecida, Figura (e). Para eta repota, 9 9 C (). ( ) ( + 3 ) Eta função poui um pólo na origem que vem da entrada em degrau unitário e doi pólo reai e iguai proveniente do itema. Expandindo, Aim, c () K K K C + +. ( ) 3t 3t () t K + K e + K te Ete tipo de repota, motrado na Figura (e) é chamada criticamente amortecido. Repota criticamente amortecida ão a mai rápida poívei em a ultrapaagem que é caracterítica da repota ubamortecida. Reumindo: 5 3

107 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006. RESPOSTAS SUPERAMORTECIDAS Pólo: reai e diferente: σ e σ c t K e + K e σt σ t Repota natural: () n. RESPOSTAS SUBAMORTECIDAS Pólo: complexo com parte real não-nula: σ + jω σ d t Repota natural: c () t Ae co ( ω t + φ ) n d d d 3. RESPOSTAS SEM AMORTECIMENTO Pólo: imaginário puro: ± jω Repota natural: () t Aco ( ω t + φ ) c n 4. RESPOSTAS CRITICAMENTE AMORTECIDAS Pólo: reai e iguai: σ e σ c t K e + K te σ t σ t Repota natural: () n A repota ao degrau para o quatro cao de amortecimento dicutido na aula etão uperpota na Figura 4. Figura 4 - Repota ao degrau de itema de egunda ordem para o cao de amortecimento (NISE, 00). 6

108 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Oberve que o cao criticamente amortecido caracteriza a eparação entre o cao uperamortecido e ubamortecido e contitui a repota mai rápida em ultrapaagem. Exercício. (NISE, 00, p. 33) Ecreva, por inpeção, a forma geral da repota ao degrau para cada uma da eguinte funçõe de tranferência: (a) G () (b) G () (c) G () (d) G ()

109 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula T Sitema de egunda ordem geral Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: Livro Técnico e Científico, c p. ISBN Página PHILLIPS, Charle L.; HARBOR, Royce D. Sitema de controle e realimentação. São Paulo: Makron Book, c p.: il. 4 cm ISBN Página O itema de egunda ordem geral Na aula de hoje vamo definir dua epecificaçõe do itema de egunda ordem com ignificado fíico. A dua grandeza ão chamada de freqüência natural e relação de amortecimento. Freqüência natural - ω n A freqüência natural de um itema de egunda ordem é a freqüência de ocilação do itema em amortecimento. Por exemplo, a freqüência de ocilação de um circuito RLC érie com a reitência curto-circuitada erá a freqüência natural. Relação de amortecimento - ζ A relação de amortecimento ζ é definida como: freqüência exponencial de decaimento ζ ou freqüência natural período natural () ζ. π contante de tempo exponencial () Vamo agora relacionar ea grandeza com a forma geral do itema de ª ordem: G () b. + a + b Para um itema em amortecimento, teríamo a 0 e, nete cao,

110 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 G () b + b. Por definição, a freqüência natural é a freqüência de ocilação dete itema. Como o pólo dete itema etão obre o eixo j ω em ± j b, Portanto, ω b. n b ω n. Supondo o itema ubamortecido, o pólo complexo pouem uma parte a real, σ, igual a. A magnitude dete valor é então a freqüência de decaimento exponencial decrita na aula paada. Aim, a freqüência exponencial de decaimento σ ζ freqüência natural ω ω ou a ζω n n n Noa função de tranferência genérica finalmente adquire a forma: ( ) G ω n + ζωn+ ωn. () Exercício. (NISE, 00, p. 35) Dada a função de tranferência a eguir, obter ζ e ω n : 36 G (). + 4, + 36 Calculando o pólo da função de tranferência (), obtemo: ζω ± ω ζ () n n

111 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Deta equação, contatamo que o vário cao da repota de egunda ordem ão uma função de ζ e etão reumido na Figura a eguir. Figura - Repota de egunda ordem em função da relação de amortecimento (NISE, 00). Exercício. (NISE, 00, p. 36) Para cada um do itema motrado na Figura, obter o valor de ζ e relatar o tipo de repota eperado. 3

112 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura - Sitema para o Exercício (NISE, 00). 3. (NISE, 00, p. 36) Para cada uma da funçõe de tranferência a eguir, faça o eguinte: () obtenha o valore de ζ e ω n ; () caracterize a natureza da repota. (a) G () (b) G () (c) G () (d) G ()

113 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 3T Sitema de egunda ordem ubamortecido Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página PHILLIPS, Charle L.; HARBOR, Royce D. Sitema de controle e realimentação. São Paulo; Rio de Janeiro: Makron, c p. ISBN Página Sitema de egunda ordem ubamortecido Neta aula, vamo definir epecificaçõe aociada ao regime tranitório da repota ubamortecida. Comecemo obtendo a repota ao degrau do itema de egunda ordem genérico dado por: ( ) G ω n + ζωn+ ωn A tranformada da repota, C ( ) é a tranformada da entrada multiplicada pela função de tranferência, ou eja, ( ) C ω K + n 3 + ζωn+ ωn ( + ζωn+ ωn) em que e upõe que ζ < (cao ubamortecido).. K+ K Aplicando a tranformada de Laplace invera, pode-e motrar que: c ζωnt () t e co( ωn ζ t φ ) Com ζ φ arctan. ζ () ζ Na Figura aparece um gráfico deta repota para divero valore de ζ, traçado em função do eixo de tempo normalizado ω nt. Vemo agora a relação entre o valor de ζ e o tipo de repota obtido: quanto menor o valor de ζ, tanto mai ocilatória erá a repota.

114 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura - Repota de egunda ordem ubamortecida com o valore da relação de amortecimento (NISE, 00). Outro parâmetro aociado à repota ubamortecida (Figura ): Intante de pico, T P : tempo neceário para alcançar o primeiro valor de pico (máximo). Ultrapaagem percentual % UP : o quanto a forma de onda no intante de pico ultrapaa o valor de regime etacionário, final, expreo como uma porcentagem do valor de etado etacionário. Tempo de aentamento, T S : tempo neceário para que a ocilaçõe amortecida do regime tranitório entrem e permaneçam no interior de uma faixa de valore ± % em torno do valor de etado etacionário. Tempo de ubida, T R : tempo neceário para que a forma de onda vá de 0, a 0,9 do valor final. Figura Epecificaçõe da repota de egunda ordem ubamortecida (NISE, 00).

115 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Cálculo de T P O valor de T P é encontrado derivando-e c ( t) na Eq. () e obtendo o primeiro intante de paagem por zero depoi de t 0. Efetuando-e ea conta, obtém-e: T P ω n π ζ. () Cálculo de % UP Com bae na Figura, a ultrapaagem percentual, % c max c c final final 00 % UP é dada por: UP. (3) O termo c max é obtido calculando-e o valor de ( t) Uando a Eq. () para T p e ubtituindo na Eq. (), vem: ζπ c. T p c no intante de pico, ( ) ζ cmax c( TP ) e co( π φ) + e (4) ζ Pela repota ao degrau, calculada na Eq. (), c. (5) final Subtituindo a Equaçõe (4) e (5) na Eq. (3), obtemo: ζπ ζ % UP e 00 (6) Oberve que a ultrapaagem percentual é uma função omente da relação de amortecimento ζ. Enquanto a Eq. (6) permite que e calcule o valor de ζπ ζ % UP dada a relação de amortecimento ζ, o invero da equação permite que e calcule o valor de ζ dada a ultrapaagem porcentual % UP. O invero é dado por: 3

116 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 % UP ln 00 ζ. % UP π + ln 00 Um gráfico da Eq. (6) etá motrado na Figura 3. Figura 3 Ultrapaagem percentual em função da relação de amortecimento Cálculo de T S (NISE, 00). O tempo de aentamento é o tempo neceário para que a amplitude da enóide amortecida na Eq. () alcance o valor 0,0, ou eja, ζω t Reolvendo eta equação, obtemo: e T S n ln ζ 4 0,0 ( 0,0 ζ ). ζω O numerador deta expreão varia de 3,9 a 4,74 à medida que ζ varia de 0 a 0,9. Aim, cotuma-e uar a aproximação: T S 4 ζω n n. (7).

117 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Cálculo de T R O valor de T R em função de ζ ó pode er obtido numericamente. Ete reultado ão motrado na Figura 4. Figura 4 - Tempo de ubida normalizado veru relação de amortecimento para Exercício uma repota de egunda ordem ubamortecida (NISE, 00).. (NISE, 00, p. 40) Dada a função de tranferência: obter T P, % UP, T S e T R. 00 G (), Vimo na aula paada que o pólo do itema de ª ordem ubamortecido ão: ζω ± ω ζ. Eta localização do pólo é motrada na Figura 5. n n 5

118 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura 5 - Diagrama de pólo de um itema de egunda ordem ubamortecido (NISE, 00). Vemo, com bae no Teorema de Pitágora, que a ditância radial da origem ao pólo é a freqüência natural ω n e co θ ζ. Comparando a equaçõe () e (7) com a localização do pólo, calculamo o intante de pico e o tempo de aentamento em termo da localização do pólo. Por coneguinte, T P ω n π ζ π ω d T S 4 4, ζω σ n d em que ω d é a parte imaginária do pólo, chamada freqüência amortecida de ocilação e σ d é a magnitude da parte real do pólo, chamada freqüência exponencial amortecida. Exercício. (NISE, 00, p. 43) Dado o diagrama de pólo motrado na Figura 6, determinar ζ, ω n, T P, % UP e T S. 6

119 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura 6 - Diagrama de pólo para o Exercício (NISE, 00). 3. (NISE, 00, p. 44) Dado o itema motrado na Figura 7, obter J e D para uma ultrapaagem porcentual de 0% e um tempo de aentamento de egundo para um torque de entrada, T ( t), em degrau. Figura 7 Sitema mecânico em rotação para o Exercício 3 (NISE, 00). Funçõe de tranferência de egunda ordem obtida experimentalmente Podemo medir na curva de repota em laboratório a ultrapaagem percentual e o tempo de aentamento de onde é poível obter o pólo e, coneqüentemente, o denominador da função de tranferência. O numerador pode er obtido a partir do valor medido do etado etacionário. Exercício 7

120 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho (NISE, 00, p. 45) Obter ζ, ω n, T S, T P, T R e % UP de um itema cuja função de tranferência é: 36 G () (NISE, 00, p. 7) Determine a função de tranferência de egunda ordem que apreenta uma ultrapaagem de,3% e um tempo de aentamento de egundo. 8

121 Automação e Controle I Aula 4T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 4T Solução da equaçõe de etado atravé da tranformada de Laplace Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página OGATA, Katuhiko. Engenharia de controle moderno. 4. ed. São Paulo: Prentice-Hall do Brail, p. ISBN Página Solução da equaçõe de etado atravé da tranformada de Laplace No Capítulo 3, o itema foram modelado no epaço de etado, em que a repreentação e contituiu em uma equação de etado e em uma equação de aída. Nea aula, uaremo a tranformada de Laplace para reolver a equaçõe de etado a fim de obter o vetore de etado e de aída. Conidere a equaçõe de etado e de aída () x Ax + Bu y Cx+ Du. () Aplicando a tranformada de Laplace a ambo o membro da equação de etado, reulta A B X( ) x( 0) X( ) + U ( ). (3) Aim, ( I A) ( ) B ( ) + ( 0) X U x (4) e ou X( ) ( I A) x( 0) + BU ( ) (5) X ( ) adj det ( I A) ( I A) ( 0) + B ( ) x U. (6)

122 Automação e Controle I Aula 4T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aplicando a tranformada de Laplace à equação de aída reulta Y( ) CX( ) + DU ( ). (7) Autovalore e pólo da função de tranferência No cao em que o itema é SISO (Single input ingle output) e a condiçõe iniciai ão nula, a função de tranferência pode er obtida ubtituindo-e (6) em (7): ( I A) ( I A) adj + det Y ( ) C B DU ( ) Y ( ) + det ( ) ( ) Cadj I AB D I A ( ) U ( ) det I A. (8) Repare que o pólo da função de tranferência, que determinam o comportamento tranitório ão dado por ( I A) det 0. (9) A raíze de (9) em ão definida como o autovalore de A. Deta forma, o autovalore da matriz A fornecem o pólo do itema. Exercício. (NISE, 00, p. 73) Reolva a eguinte equação de etado e de aída para y( t ) em que u( t ) é o degrau unitário. Ue o método da tranformada de Laplace.

123 Automação e Controle I Aula 4T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 (a) Reolva para y( t) 0 x u( t) x + y 0 ; ( 0) x x 0 uando a tranformada de Laplace. (b) Obtenha o autovalore e o pólo do itema.. (0). (NISE, 00, p. 58) Dado o itema repreentado no epaço de etado pela equaçõe: (a) Reolva para y( t) 0 0 t x e 3 5 x + y 3 ; ( 0) x x uando a tranformada de Laplace. (b) Obtenha o autovalore e o pólo do itema. () 3. (NISE, 00, p. 57) Dado o itema repreentado no epaço de etado por: x 0 0 x + 0 e y 0 x; x( 0) 0 t () (a) Reolva a equação de etado e obtenha a aída para a dada entrada exponencial. (b) Obtenha o autovalore e o pólo do itema. 3

124 Automação e Controle I Aula 5T Profeor Marcio Eiencraft novembro 006 Aula 5T Etudo de cao repota a malha aberta Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página PHILLIPS, Charle L.; HARBOR, Royce D. Sitema de controle e realimentação. São Paulo: Makron Book, c p.: il. 4 cm ISBN Página Etudo de cao Nete capítulo, fez-e uo da funçõe de tranferência deduzida no Capitulo e da equaçõe de etado deduzida no Capítulo 3 para obter a repota na aída de um itema a malha aberta. Motrou-e também a importância do pólo de um itema na determinação da repota tranitória. O etudo de cao a eguir utiliza ee conceito para analiar a malha aberta do itema de controle de poição de uma antena em azimute. Exercício. (NISE, 00, p. 64) Para o diagrama equemático do itema de controle de poição em azimute dicutido na Aula T (configuração ) e reproduzido na Figura, uponha um itema em malha aberta (canal de retroação deconectado). Figura Sitema de poicionamento em azimute (NISE; 00).

125 Automação e Controle I Aula 5T Profeor Marcio Eiencraft novembro 006 Faça o eguinte: (a) prever, por inpeção, a forma da velocidade angular de aída a um degrau de tenão na entrada do amplificador; (b) encontrar a relação de amortecimento e a freqüência natural do itema a malha aberta; (c) deduzir a expreão analítica completa para a repota da velocidade angular da carga em malha aberta a um degrau de tenão na entrada do amplificador, uando a funçõe de tranferência; (d) obter a equaçõe de etado e de aída a malha aberta.. (NISE, 00, p. 68) No mar, o navio ão ubmetido a movimento egundo o eixo de rolamento, como motrado na Figura. Superfície que e projetam lateralmente, chamada etabilizadore, ão uada para reduzir ete movimento de rolamento. O etabilizadore podem er poicionado por um itema de controle a malha fechada que conite em componente como o atuadore e enore do etabilizadore, bem como na dinâmica do rolamento do navio. Admita que a dinâmica do rolamento, que relaciona o ângulo de rolamento de aída, Θ ( ), a um torque perturbador de entrada T ( ) D eja Θ( ), 5 ( ). () T + 0, 5 +,5 D Figura - Eixo de rolamento de uma embarcação (NISE, 00).

126 Automação e Controle I Aula 5T Profeor Marcio Eiencraft novembro 006 Faça o eguinte: (a) determine a freqüência natural, a relação de amortecimento, o intante de pico, o tempo de aentamento, o tempo de ubida e a ultrapaagem percentual; (b) determine a expreão analítica para a repota da aída a um torque degrau unitário na entrada. 3

127 Automação e Controle I Aula 5T Profeor Marcio Eiencraft novembro 006 Aula 6T Redução de itema múltiplo: Aociação em cacata e em paralelo Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página CAPÍTULO 5 REDUÇÃO DE DIAGRAMAS DE BLOCOS Nete capítulo, aborda-e Figura - O ônibu epacial é contituído de divero ubitema. (NISE, 00).

128 Automação e Controle I Aula 5T Profeor Marcio Eiencraft novembro 006 Figura Componente de um diagrama de bloco de um itema linear invariante no tempo (NISE, 00). Figura 3 (a) Subitema em cacata; (b) função de tranferência equivalente. (NISE, 00).

129 Automação e Controle I Aula 5T Profeor Marcio Eiencraft novembro 006 Figura 4 - (a) Subitema em paralelo; (b) função de tranferência equivalente. (NISE, 00). 3

130 Automação e Controle I Aula 7T Profeor Marcio Eiencraft novembro 006 Aula 7T Aociação com retroação Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página Aociação com retroação O itema com retroação típico, decrito detalhadamente no Capítulo, etá motrado na Figura (a); um modelo implificado etá motrado na Figura (b). Figura - a. Sitema de controle com retroação; b. modelo implificado; c. função de tranferência equivalente (NISE, 00).

131 Automação e Controle I Aula 7T Profeor Marcio Eiencraft novembro 006 Penando em termo do modelo implificado, E( ) R( ) C( ) H( ). () Ma como C( ) G( ) E( ), C( ) E( ). () G( ) Subtituindo a Eq. () na Eq. () e determinando a função de tranferência C( ) G ( ) e, obtém-e a função de tranferência equivalente, ou a malha R( ) fechada, motrada na Figura (c), G( ) G ( ) e (3) ± G( ) H( ) O produto G( ) H( ) na Eq. (3) é chamado de função de tranferência a malha aberta ou ganho de malha Movendo bloco para criar forma conhecida A Figura motra diagrama de bloco equivalente formado ao e delocarem funçõe de tranferência à equerda e à direita de uma junção omadora e a Figura 3 motra diagrama de bloco equivalente formado ao e delocarem funçõe de tranferência à equerda e à direita de um ponto de coleta do inal. Exercício. (NISE; 00, p. 85) Reduzir o diagrama de bloco motrado na Figura 4 a uma única função de tranferência.. (NISE; 00, p. ) Reduza o diagrama de bloco motrado na Figura 5 a C( ) uma única função de tranferência T( ). R( ) 3. (NISE; 00, p. 3) Para o itema motrado na Figura 6, determinar a aída c( t ) e a entrada r( t ) for um degrau unitário.

132 Automação e Controle I Aula 7T Profeor Marcio Eiencraft novembro 006 Figura - Álgebra de diagrama de bloco para junçõe de oma forma equivalente de delocar um bloco a. à equerda da junção omadora; b. à direita da junção omadora (NISE, 00). 4. (NISE; 00, p. 3) Para o itema motrado na Figura 7, determinar a ultrapaagem percentual, o tempo de aentamento e o intante de pico para uma entrada degrau e a repota for ubamortecida. (Será? Por quê?) 5. (NISE; 00, p. 3) Para o itema motrado na Figura 8, determinar o valor de k para o qual a repota a um degrau unitário apreenta 0% de ultrapaagem. 3

133 Automação e Controle I Aula 7T Profeor Marcio Eiencraft novembro 006 Figura 3 Álgebra de diagrama de bloco para junçõe de aquiição de inai forma equivalente de delocar um bloco a. à equerda da junção de aquiição de inai; b. á direita da junção de aquiição de inai (NISE; 00). Figura 4 Diagrama de bloco do Exercício (NISE, 00). 4

134 Automação e Controle I Aula 7T Profeor Marcio Eiencraft novembro 006 Figura 5 Diagrama de bloco do Exercício (NISE, 00). Figura 6 Diagrama de bloco do Exercício 3 (NISE, 00). Figura 7 Diagrama de bloco do Exercício 4 (NISE, 00). Figura 8 Diagrama de bloco do Exercício 5 (NISE, 00). 5

135 Univeridade Prebiteriana Mackenzie Curo de Engenharia Elétrica Automação e Controle I Laboratório Prof. Marcio Eiencraft Segundo emetre de 006

136 Automação e Controle Aula P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula P - Comando báico do Matlab aplicado a Automação e Controle Bibliografia HAYKIN, Simon; VAN VEEN, Barry. Sinai e itema. Porto alegre: Bookman, p. : il. (alguma ISBN ). Página MITRA, Sanjit K. Digital ignal proceing : a computer-baed approach. nd ed. Boton: McGraw- Hill, c p. : il. ; 4 cm ISBN Página Introdução O Matlab é uma ferramenta muito útil no etudo de problema e no deenvolvimento de projeto em Engenharia endo utilizado em univeridade e emprea ao redor do mundo. Na área de Engenharia de Produção e, mai preciamente, em projeto de Automação e Controle vem adquirindo um caráter quae fundamental. O principal motivo dete uceo é a utilização maciça de vetore e matrize para repreentar dado de uma forma imple (Matlab Matrix Laboratory). Eta forma de repreentação praticamente elimina a neceidade de utilização de laço FOR ou WHILE implificando e acelerando muito o programa. EM OUTRAS PALAVRAS, EM MA- TLAB, SEMPRE QUE POSSÍVEL (OU SEJA, QUASE SEMPRE!) NÃO UTILIZE LA- ÇOS FOR OU WHILE! O objetivo deta aula é (re) ver algun conceito báico de programação em Matlab. Durante o curo veremo muito outro detalhe técnico. Lembre-e: empre que você ficar na dúvida obre a utilização de um comando, a função <help comando> pode lhe ajudar.. Gerando vetore.. O operador : O operador : é utilizado para gerar e acear elemento de um vetor. Vetor valor inicial: pao: valor final Quando o pao é unitário, ele pode er omitido. Exemplo de utilização

137 Automação e Controle Aula P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 a. gerar um vetor x com o número inteiro de zero a cinco >> x 0:5 x b. gerar um vetor y indo de 0 a com pao de 0.. >> y 0:0.: y c. motrar o egundo elemento do vetor x >> x() an Exercício. Gerar um vetor x de número pare de 0 a 50. Comando:.. A função linpace A função linpace é uma forma prática de e gerar vetore quando abemo quanto ponto ele deve ter. Vetor linpace (valor inicial, valor final, no. de ponto) Exemplo de utilização a. Gere um vetor de 000 ponto com valore entre zero e igualmente epaçado. >> v linpace(0,,000); b. Repita o exercício anterior, ma com o valore em ordem decrecente. >> v linpace(,0,000);

138 Automação e Controle Aula P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Exercício. Gere um vetor x de 5000 ponto com valore entre 0 e *pi. Comando:.3. Vetore epeciai Exitem vetore pré-definido pelo Matlab e que ão muito útei. Doi dele ão o one(num.linha, num.coluna) e o zero(num.linha, num.coluna) que geram, como o nome dizem, vetore contituído de un e de zero repectivamente. Exemplo de aplicação a. Gere um vetor contituído de 0 zero. >> x zero(,0) x b. Gere um vetor contituído por 5000 un. >> y one(,5000); Exercício 3. Gere uma matriz x contituída por zero. Comando:.4. Concatenação de vetore Uma ferramenta muito intereante do Matlab é a poibilidade de combinar vetore para formar outro (concatenar vetore). Veja o eguinte exemplo. Exemplo de aplicação: a. Gere um vetor de cinco zero eguido por cinco un. >> vector [zero(,5) one(,5)] vector

139 Automação e Controle Aula P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 b. Gere um vetor contendo o número inteiro entre zero e 0 em ordem crecente eguido pelo memo em ordem decrecente. >> x [0:0 0:-:0] x Exercício 4. Contrua um vetor contituído pelo número pare de 0 a 0 eguido pelo número ímpare de 0 a 0. Comando:.5. Operaçõe entre vetore O Matlab permite omar (+), ubtrair (-), multiplicar (.*), dividir (./) vetore. Ea operaçõe ão realizada elemento a elemento e ó podem er aplicada entre vetore de memo comprimento. Além dio, quae toda a ua funçõe (trigonométrica, exponenciai e outra) podem er aplicada a um vetor endo que ela operam também elemento a elemento. Exemplo de aplicação a. Sendo x [ 3 7] e y [0-3] ecreva a repota de cada um dee comando executado no Matlab. I) x + y [ 0] ii) x y [ 4 4] iii) x.*y [0-3 ] b. Como gerar a partir do vetor x 0:0.00: um vetor com número de a? V 0*x+ 4

140 Automação e Controle Aula P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Exercício 5. Sendo x [. - 3] e y [0-3], ecreva o vetor reultante da eguinte operaçõe: i) x+y ii) x-y iii) 3*x iv) x.*y v) x./y vi) y./x vii) y.^ viii) x.^y Repota: 3. Gráfico Uma outra caracterítica muito intereante do Matlab para um engenheiro é a facilidade de e contruir gráfico complicado com ele de uma maneira muito imple. O comando mai utilizado é: plot(vetor.abcia, vetor.ordenada, modo ); O comando plot traça um gráfico colocando eu primeiro argumento no eixo horizontal e eu egundo argumento no eixo vertical. A tring modo indica a forma como o gráfico erá traçado. Veja help plot para mai detalhe. Stem traça um gráfico da eqüência em eu egundo argumento como palito com círculo no valor do dado uando eu primeiro argumento como abcia. Veja o exemplo. Exemplo de aplicação a. Faça um gráfico da função in(x) y para x [ 0,4π ] >> x linpace(0,4*pi,5000); >> y in(x); >> plot(x,y) 5

141 Automação e Controle Aula P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Algun comando intereante: I) grid coloca linha de grade no gráfico ii) title permite acrecentar um título ao gráfico iii) xlabel - permite acrecentar um título no eixo da abcia iv) ylabel - permite acrecentar um título no eixo da ordenada v) hold on não apaga o gráfico atual ante de fazer o eguinte Exercício x na mema figu- 6. Faça um gráfico de y ( x) ( in x) e z ( x) ( co x) para [ 4π, 4π ] ra. O gráfico de y ( x) deverá ficar em azul e o de z ( x) em vermelho. Comando: 6

142 Automação e Controle Aula P Profeor Marcio Eiencraft julho Script Até ete ponto, toda a noa interaçõe com o Matlab têm ido atravé da linha de comando. Entramo comando ou funçõe na linha de comando e o Matlab interpreta noa entrada e toma a ação apropriada. Ete é o modo de operação preferencial quando noa eão de trabalho é curta e não repetitiva. No entanto, o real poder do Matlab para análie e projeto de itema vêm da ua habilidade de executar uma longa eqüência de comando armazenado num arquivo. Ete arquivo ão chamado de arquivo-m porque eu nome têm a forma nomearq.m. Um cript é um tipo de arquivo-m. Script ão arquivo-texto comun e podem er criado uando um editor de texto. Um cript é uma eqüência de comando e funçõe comun uado na linha de comando. Uma vez criado, ele é invocado na linha de comando digitando-e o nome do arquivo. Quando io ocorre, o Matlab executa o comando e funçõe no arquivo como e ele tiveem ido digitado diretamente na linha de comando. Suponha por exemplo que deejemo fazer um gráfico da função y() t inαt em que α é uma variável que queremo variar. Uando o editor de texto do Matlab (bata ditar edit na linha de comando), podemo ecrever um cript chamado plotdata.m como motrado a eguir. % Ete e um cript para fazer um grafico da funcao y in(alfa*t) % O valor de alfa precia exitir no epaco de trabalho ante % de e chamar ete cript t 0:0.0:; y in(alfa*t); plot(t,y); xlabel ('tempo()'); ylabel('y(t) in(\alpha t)'); grid on; É importante alvar o critpt no memo diretório em que e etá trabalhando na linha de comando. Cao contrário, ao tentar executar o cript o Matlab não encontrará o arquivo e exibirá uma menagem de erro. Ete erro é muito comum quando etamo começando a trabalhar com cript. Uma vez digitado e alvo é muito fácil utilizar o cript. Veja o exemplo a eguir: 7

143 Automação e Controle Aula P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 >> alfa 50; >> plotdata >> alfa 0; >> plotdata Ao ecrever cript é empre intereante utilizar comentário, linha que começam com %. Se você ecrever linha de comentário ante do começo da intruçõe do cript ao utilizar o comando help nomearq o Matlab apreenta eta linha na tela. Por exemplo, >> help plotdata Ete e um cript para fazer um grafico da funcao y in(alfa*t) O valor de alfa precia exitir no epaco de trabalho ante de e chamar ete cript 5. Funçõe Aim como o cript, a funçõe definida pelo uuário etão entre o recuro mai importante e utilizado do Matlab. Uma função é um cript que recebe um ou mai parâmetro do teclado e pode devolver um ou mai parâmetro ou executar uma tarefa. 8

144 Automação e Controle Aula P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 O formato de uma função no Matlab é o eguinte function [outarg, outarg,...] fname(inarg, inarg,...) % Um comentário % Mai um comentário... (código executável)... fname é o nome da função criada e deve er o nome do arquivo m em que foi gravado o arquivo. inarg, inarg,... ão o argumento de entrada e outarg, outarg,... ão o argumento de aída. A eguir damo um exemplo batante imple de função. A função omatete recebe doi argumento a, b e retorna a oma dele. function re omatete(a,b); %Funcao para omar doi numero a e b re a+b; Uma vez que você tenha alvado ete arquivo como omatete no diretório corrente, você pode uá-lo como no exemplo a eguir: >> omatete(, 4) an 6 >> a 5; >> b -3; >> re omatete(a,b) re Exercício 7. Reecreva o cript plotdata vito acima de forma que ele eja uma função que recebe a variável alfa. Ou eja, ecreva uma função que faça um gráfico da função y () t inαt no intervalo 0 t e α é um parâmetro ecolhido pelo uuário. Por e- xemplo, o comando: 9

145 Automação e Controle Aula P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 >> plotdada(50) deve gerar o gráfico Repota (litagem): 8. Sendo o vetor a [ ], ecreva o elemento do eguinte vetore: i) x a(5:-:) ii) y a(:4) iii) z a(::4) iv) w a(3) Repota: 9. Gere um vetor contituído de 00 elemento iguai a cinco. Comando: 0. (03) Ecreva uma função Matlab chamada pulograf cuja entrada ejam doi número inteiro a e b com amplitude no intervalo b +. Por exemplo, ao digitarmo: a < b. A função deverá fazer o gráfico de um pulo com a n b. O gráfico deve começar em a e terminar em 0

146 Automação e Controle Aula P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 >> pulograf(,8); devemo obter a figura Litagem da função:. Reolver o Exercício.44 da página 84 (HAYKIN; VEEN, 00). Entregue o comando e o gráfico obtido além do comentário pertinente.

147 Automação e Controle Aula P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula P Exemplo prático de itema de Automação e Controle Bibliografia DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página -4. Manual for Model 730 Magnetic Levitation Sytem, ECP, 999. O objetivo deta aula é fazer o aluno entrar em contato com algun itema de controle imple. Serão analiado quatro itema: Pêndulo invertido (Simulink) Sitema maa-mola (Simulink) Controle de nível num vazo anitário (Simulink) Levitador Magnético (kit didático). Pêndulo invertido (Simulink) Ee itema ilutra um pêndulo colocado obre um carrinho que pode er delocado com o curor. Para começar a imulação, bata digitar penddemo na linha de comando do Matlab. Deverá er aberto um diagrama do Simulink como o motrado a eguir. na barra de ferra- Para iniciar a imulação do pêndulo, clique em Start Simulation menta. Deve-e abrir uma janela em que você pode viualizar o pêndulo.

148 Automação e Controle Aula P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Puxando o curor com o moue, verifique o comportamento do pêndulo. Decreva abaixo. Repota: A eguir mude o valor do ganho proporcional (circundado abaixo bata clicar dua veze nele) de -9,4 para - e imule novamente. Verifique o que ocorre. Repota:

149 Automação e Controle Aula P Profeor Marcio Eiencraft julho 006. Sitema maa-mola (Simulink) Ee itema imula o comportamento de dua maa ligada por uma mola endo ete conjunto ubmetido a uma força excitadora. Para dar início à imulação, bata digitar dblcart na linha de comando do Matlab. Deverá er aberto um diagrama do Simulink como o motrado a eguir. Para iniciar a imulação do itema maa-mola, clique em Start Simulation barra de ferramenta. Deve-e abrir uma janela em que você pode viualizar o itema. na Ao clicar com o moue na caixa Actual Poition é motrada a entrada e a poição do itema maa-mola. O que você pôde obervar? 3

150 Automação e Controle Aula P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Repota: Clicando no gerador de inai é poível mudar a amplitude, a freqüência e a forma de onda aplicada. Tente utilizar a forma aleatória (random) e dente de erra (awtooth), imule novamente e ecreva o que ocorre. Até que valor de amplitude ainda é poível ver o bloquinho na tela? Repota: 4

151 Automação e Controle Aula P Profeor Marcio Eiencraft julho Controle de nível de um vao anitário (Simulink) Ee itema imula a decarga em um vao anitário. Para dar início à imulação, bata digitar toilet na linha de comando do Matlab. Deverá er aberto um diagrama do Simulink juntamente com um modelo GUI motrado a eguir. Preione Start Sim e dê a decarga (FLUSH) alguma veze. A eguir clique em Stop Sim. Serão motrada a eguir quatro curva. Explique cada uma dela a eguir. Repota: 4. Levitador magnético O levitador magnético é compoto por dua bobina, uma inferior e outra uperior que geram um campo magnético pela paagem de uma corrente. Ea bobina interagem a- 5

152 Automação e Controle Aula P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 travé do campo com um ou doi dico magnético que e delocam em uma barra de vidro que erve como guia. Variando-e a magnitude da corrente na bobina inferior, pode-e controlar a poição do magneto inferior fazendo-o levitar atravé de uma força magnética repuliva. Similarmente, o magneto uperior é poicionado atravé de uma força magnética de atração, adotando-e um valor adequado de corrente na bobina uperior. Com a proximidade do dico urge também interação magnética (força de repulão) entre o doi magneto. Doi enore óptico baeado em enore de laer ão utilizado para medir a poição do magneto. Figura - Diagrama do levitador magnético (ECP, 999). O diagrama equemático de um itema ECP (Educational Control Product) completo é motrado na Figura. Para o itema Dipoitivo de Levitação Magnética, a informação obre a poição é fornecida pelo medidor óptico. A placa DSP é capaz de interpretar comando de trajetória e realizar verificaçõe em variávei com o objetivo de garantir a egurança na operação do equipamento. O acionamento é feito por um itema eletrônico de potência que gera o inal de corrente adequado para a bobina. 6

153 Automação e Controle Aula P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura Diagrama completo de um itema ECP (ECP, 999). O terceiro elemento que compõe e finaliza todo o itema ECP é o programa executivo que roda no PC e dipõe de uma interface gráfica a bae de menu, que permite operar o itema com facilidade. Ele dá uporte à definição de trajetória, aquiição de dado, viualização de curva, epecificação de controladore, execução de comando do itema, etc. Oberve atentamente a demontração do equipamento a er feita pelo profeor e anote tudo que coniderar relevante. Anotaçõe: Exercício. (05) Reolver Exercício.0 da página 3 do (SILVEIRA; SANTOS, 999). 7

154 Automação e Controle Aula 3P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 3P Simulação computacional de itema contínuo (ª parte) Bibliografia OGATA, Katuhiko. Engenharia de controle moderno. 4. ed. São Paulo: Prentice-Hall do Brail, p. ISBN Página NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página O objetivo deta aula é aprender a trabalhar com funçõe de tranferência no Matlab atravé de exemplo. É intereante que você execute cada um do exercício a eguir interpretando eu reultado. Eta aula, juntamente com a da próxima emana ão fundamentai para o retante do curo.. (NISE, 00; p. 607) Cadeia de caractere ão repreentada no Matlab por texto entre apótrofo como ab. O comentário começam com % e ão ignorado pelo Matlab. O número ão digitado em quaiquer outro caractere. A operaçõe aritmética ão executada utilizando o operadore adequado. O número podem er atribuído a variávei uando um argumento à equerda e um inal de igualdade. Digite a eguinte eqüência de comando e complete o epaço com o reultado do Matlab. Certifique-e que entendeu o eu ignificado. >> '(capp)' % Exibe título. >> 'Como vai você?' % Exibe uma cadeia de caractere. >> % Exibe o número real -3,96. >> -4+7i % Exibe o número complexo -4+7i. >> -5-6j % Exibe o número complexo -5-6i. >> (-4+7i)+(-5-6i) % Adiciona o número complexo e % Exibe a oma. (-4+7j)*(-5-6j) % Multiplica o doi número complexo e % Exibe o produto. >> M5 % Atribui o valor 5 a M e exibe o reultado. >> N6 % Atribui o valor 6 a N e exibe o reultado. >> PM+N %Atribui o valor M+N a P exibe o reultado.

155 Automação e Controle Aula 3P Profeor Marcio Eiencraft julho 006. (NISE, 00; p. 607) O polinômio em podem er repreentado por vetore linha contendo o coeficiente. Dete modo, P pode er repreentado pelo vetor + motrado a eguir, com o elemento eparado por um epaço ou uma vírgula. >> P[ 7-3 3] % Armazena o polinômio ^3 + 7^ Qual eria o comando para armazenar o polinômio P + 4,5 7? Repota: + 3. (NISE, 00; p. 607) A execução da intruçõe anteriore faz com que o Matlab exiba o reultado na tela. A digitação de um comando com um ponto-e-vírgula uprime a exibição na tela. Digitando-e uma expreão em atribuição à equerda e em o ponto-e-vírgula faz com que a expreão eja calculada e o reultado, exibido na tela. Digite P na tela Matlab Command Window apó a execução e verifique o reultado. >> P[ ]; % Atribui P % em motrar na tela. >> 3*5 % Calcula 3*5 e motra o reultado. Qual o polinômio atribuído a P? Repota: 4. (NISE, 00; p. 607) Uma F () fatorada pode er repreentada ob a forma de polinômio. Aim, P3 ( + )( + 5)( + 6) pode er tranformado em polinômio atravé do comando poly(v), onde V é um vetor linha contendo a raíze do polinômio e poly(v) forma o coeficiente do polinômio. >> P3poly([- -5-6]) % Armazena o polinômio >> % (+)(+5)(+6) como P3 Ecreva o coeficiente do polinômio P 3. Repota: 5. (NISE, 00; p. 607) Podemo determinar a raíze de polinômio uando o comando root(v). A raíze vêm na forma de um vetor coluna. Por exemplo, obtenha a raíze de >>P4[ ] % Forma 5^4+7^3+9^-3+ e

156 Automação e Controle Aula 3P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 % exibe o reultado. >> raize_p4root(p4) % Acha a raíze de 5^4+7^3+9^-3+. Calcule a raíze de P () Repota: 6. (NISE, 00; p. 607) O polinômio podem er multiplicado entre i uando o comando conv(a,b). Aim, 5 ( )( ) P é gerado como a eguir: >> P5conv([ 7 0 9],[ -3 6 ]) 3 Obtenha o polinômio reultante da multiplicação ( + ) ( ) Repota:. Expanão em fraçõe parciai no Matlab. Conidere a eguinte função B A () () B A : n n () num b0 + b + + b n n () den + a + + an em que algun do a i e b j podem er nulo. No Matlab, o vetore linha num e den ão formado pelo coeficiente do numerador e do denominador da função de tranferência. Ou eja, num [b0 b bn] den [ a a an] O comando [r,p,k] reidue(num,den) determina o reíduo (r), o pólo (p) e o termo direto (k) da expanão em fraçõe parciai da relação entre o polinômio B () e ( ) B( ) A expanão em fraçõe parciai de A() B() r( ) A() p() A. é dada por: ( ) p( ) r r n ( n) p( n) + k() Por exemplo, conidere a eguinte função de tranferência: 3

157 Automação e Controle Aula 3P Profeor Marcio Eiencraft julho ( ) () B. A Para ea função, >> num [ 5 3 6]; >> den [ 6 6]; O comando [r,p,k] reidue(num, den) apreenta o eguinte reultado: >> [r,p,k] reidue(num, den) r p k B Ea é a repreentação em Matlab da eguinte expanão em fraçõe parciai de : A ( ) () B A O comando reidue pode er também utilizado para formar o polinômio (numerador e denominador) a partir de ua expanõe parciai em fraçõe. Ou eja, o comando: [num, den] reidue(r,p,k) em que r, p e k foram fornecido previamente pelo Matlab, convertendo de volta a expanão em fraçõe parciai para a relação polinomial, como e egue: >> [num, den] reidue(r, p, k); >> printy(num, den, '') num/den ^3 + 5 ^ ^3 + 6 ^ O comando () ()

158 Automação e Controle Aula 3P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 printy(num, den, ); apreenta o num/den em termo da relação polinomial em. Note que, e p( j) p( j + ) p( j + m ), o pólo ( j) Nete cao, a expanão inclui termo como e egue: r ( j) p( j) + r( j + ) [ p( j) ] p é um pólo de multiplicidade m. r( j + m ) [ p( j) ] m (OGATA, 003; p. 3) Expanda a eguinte Comando e repota: B A ( ) () B A () () ( ) em fraçõe parciai com Matlab:. 5

159 Automação e Controle Aula 3P Profeor Marcio Eiencraft julho (OGATA, 003; p. 44) Conidere a eguinte função: F () Utilizando o Matlab, obtenha a expanão em fraçõe parciai de F ( ). Em eguida, determine a tranformada de Laplace invera de F ( ). Comando e Repota: 9. Reolver Exercício 4 da página 8 do (NISE, 00). 6

160 Automação e Controle Aula 4P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 4P Simulação computacional de itema contínuo (ª parte) Bibliografia DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página (NISE, 00, p. 608) Criando Funçõe de Tranferência. Método Vetorial, Forma Polinomial: Uma função de tranferência pode er exprea como um polinômio em numerador dividido por um polinômio em denominador, ito é, F() N()/D(). O numerador, N(), é repreentado por um vetor linha, numf, que contém o coeficiente de N(). De modo emelhante, o denominador, D(), é repreentado por um vetor linha, denf, que contém o coeficiente de D(). Formamo F() com o comando F tf(numf,denf). F é chamado um objeto linear e invariante no tempo (LIT). Ete objeto, ou função de tranferência, pode er uado como uma entidade em outra operaçõe, como adição ou multiplicação. Motramo ito com F () 50( + + 7) [ ( ) ]. Oberve que ao executar o comando tf, o MATLAB imprime, na tela, a função de tranferência. >> numf50*[ 7] % Armazena 50(^++7) em numf e % motra o reultado. >> denf[ 5 4 0] % Armazena (+)(+4) em denf e % motra o reultado na tela. >> Ftf(numf,denf) % Forma F() e motra o reultado. Método Vetorial, Forma Fatorada: Também podemo criar funçõe de tranferência LIT e o numerador e o denominador etiverem repreentado na forma fatorada. Fazemo ito uando o vetore linha que contêm a raíze do numerador e do denominador. Aim, G() K*N()/D() pode er expreo como um objeto LIT, uando o comando: G zpk(numg,deng,k),

161 Automação e Controle Aula 4P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 em que numg é um vetor linha contendo a raíze de N() e deng é um vetor linha contendo a raíze de D(). A expreão zpk ignifica zero (raíze do numerador), pólo (raíze do denominador) e ganho, K. Motramo ito com G ( ) 0 ( + )( + 4) [( + 7)( + 8)( + 9) ]. Oberve que ao executar o comando zpk, o MATLAB imprime, na tela, a função de tranferência. >> numg[- -4] % Armazena (+)(+4) em numg e % motra o reultado. >> deng[ ] % Armazena (+7)(+8)(+9) em deng e % motra o reultado. >> K0 % Define K. >> Gzpk(numg,deng,K) % Forma G() e motra o reultado. Método da Expreão Racional em, Forma Polinomial: Ete método permite que você digite a função de tranferência como a ecreveria normalmente. A intrução tf('') deve preceder a função de tranferência e você quier criar uma função de tranferência LIT na forma polinomial equivalente uando G tf(numg,deng). >> tf('') % Define '' como um objeto LTI em % forma polinomial. >> F50*(^+*+7)/[*(^+5*+4)] % Forma F() como uma função de % tranferência LTI em forma polino- % mial. >> G0*(+)*(+4)/[(+7)*(+8)*(+9)] % Forma G() como uma função de % tranferência LTI em forma polino- % mial. Método da Expreão Racional em, Forma Fatorada. Ete método permite que você digite a função de tranferência como a ecreveria normalmente. A intrução zpk('') deve preceder a função de tranferência e você quier criar uma função de tranferência LIT na forma fatorada equivalente uando G zpk(numg,deng,k). Em ambo o método da expreão racional a função de tranferência pode er digitada ob qualquer forma independentemente de e uar tf('') ou zpk(''). A diferen-

162 Automação e Controle Aula 4P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 ça etá na função de tranferência LIT criada. Uamo o memo exemplo anteriore para demontrar o método da expreão racional em. >> zpk('') % Define '' como um objeto LTI em % forma fatorada. >> F50*(^+*+7)/[*(^+5*+4)] % Forma F() como uma função de tranferência % LTI em forma fatorada. >> G0*(+)*(+4)/[(+7)*(+8)*(+9)] %Forma G() como uma função de tranferência % LTI em forma fatorada.. (NISE, 00; p. 8) Ue o Matlab para gerar a eguinte função de tranferência: G () na eguinte forma: (a) relação de fatore; (b) relação de polinômio Comando utilizado: 5 ( + 5)( + 6)( + 7) ( + 55)( )( + 56)( ) 3. (NISE, 00; p. 609) O vetore do numerador e do denominador da função de tranferência podem er convertido para a forma polinomial contendo o coeficiente e para a forma fatorada contendo a raíze. A função MATLAB, tfzp(numtf,dentf), converte o coeficiente do numerador e do denominador em raíze. O reultado etão na forma de vetore coluna. Motramo ito com F() (0^ )/(^3 + 4^ ). >> numftf[ ] % Forma o numerador de F() % (0^+40+60)/(^3+4^+5+7). >> denftf[ 4 5 7] % Forma o denominador de F() % (0^+40+60)/(^3+4^+5+7). 3

163 Automação e Controle Aula 4P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 >> [numfzp,denfzp]tfzp(numftf,denftf) % Converte F() para a forma fatorada. A função MATLAB zptf(numzp,denzp,k) tranforma a raíze do numerador e do denominador em coeficiente. O argumento numzp e denzp devem er vetore coluna. Na demontração a eguir, o inal de apótrofo ignifica o vetor tranpoto. Vamo motrar a converão de raíze em coeficiente com G() 0( + )( + 4)/[( + 3)( + 5)]. >> numgzp[- -4] % Forma o numerador de >> K0 % G() 0(+)(+4)/[(+3)(+5)]. >> dengzp[0-3 -5] % Forma o denominador de % G() 0(+)(+4)/[(+3)(+5)]. >> [numgtf,dengtf]zptf(numgzp',dengzp',k) % Converte G() para a forma polinomial. 4. (NISE, 00; p. 8) Repita o problema para a eguinte função de tranferência: Comando utilizado: F () (NISE, 00; p. 609) Modelo LIT também podem er convertido entre a forma polinomial e fatorada. O comando MATLAB tf e zpk também ão uado para converão entre modelo LIT. Se a função de tranferência, Fzpk(), for exprea como fatore em numerador e denominador, então tf(fzpk) converte Fzpk() em uma função de tranferência exprea a- travé do coeficiente do numerador e do denominador. De modo emelhante, e uma função de tranferência, Ftf(), for exprea atravé do coeficiente do numerador e do denominador, então zpk(ftf) converte Ftf() em uma função de tranferência exprea atravé do fatore de numerador e de denominador. O eguinte exemplo motra o conceito. 4

164 Automação e Controle Aula 4P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 >> Fzpkzpk([- -4],[0-3 -5],0) % Forma Fzpk() %0(+)(+4)/[(+3)(+5)]. >> Ftftf(Fzpk) % Converte Fzpk() à % forma de coeficiente. >>Ftftf([ ],[ 4 5 7]) % Forma Ftf() % (0^+40+60)/(^3+4^+5+7). >> Fzpkzpk(Ftf) % Converte Ftf() à % forma fatorada. 6. (DORF; BISHOP, 00, p. 76) Uma impreora utiliza um feixe de laer para imprimir rapidamente cópia para um computador. O laer é poicionado por um inal de controle de entrada, r () t, tal que: ( + 00) 5 Y () R() A entrada r () t repreenta a poição deejada do feixe de laer. (a) Determine a aída y () t quando ( t) (b) Qual o valor final de y () t? (c) Uando o Matlab, gere um gráfico de ( t) Reolução (ue o vero também): r for um degrau unitário de entrada. y para 0 t egundo. 5

165 Automação e Controle Aula 4P Profeor Marcio Eiencraft julho O comando tep(y, Tfinal) gera um gráfico da repota ao degrau para um itema y no intervalo 0 t TFINAL. Sendo aim, ue o Matlab para gerar diretamente a repota ao degrau do exercício anterior (faça em outra figura para não apagar a anterior) e compare com o reultado obtido na letra (c) do Exercício 6. Comando utilizado e comparação. 8. (DORF; BISHOP, 00, p. 76) A função de tranferência de um itema é: Y R ( ) () ( + ) Determine algebricamente e faça um gráfico de y ( t) quando ( t) r for um degrau unitário de entrada. Confira eu reultado com o comando tep. Reolução: 9. (06) Reolver Exercício PM.4 da página 9 do (DORF; BISHOP, 998). 6

166 Automação e Controle Aula 5P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 5P Aula de Exercício para P Bibliografia DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página -9. NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página (DORF; BISHOP, 00, p. ) Um exemplo comum de itema de controle com dua entrada é um chuveiro domético com válvula eparada para água quente e fria. O objetivo é obter () a temperatura deejada da água do chuveiro e () um fluxo de água deejado. Eboce um diagrama do itema de controle a malha fechada.. (DiSTEFANO; STUBBERUD; WILLIAMS, 995, p. 36) Um impulo é aplicado à entrada de um itema contínuo e a aída é obervada como endo a função do tempo função de tranferência do itema. e t. Encontre a

167 Automação e Controle Aula 5P Profeor Marcio Eiencraft julho (DiSTEFANO; STUBBERUD; WILLIAMS, 995, p. 39) Determine a função de tranferência de dua rede de atrao conectada em érie como motrado na Figura. Figura (DiSTEFANO; STUBBERUD; WILLIAMS, 995). 4. (DORF; BISHOP, 00, p. 9) Conidere o itema mecânico eboçado na Figura. A entrada é dada por f ( t) e a aída por y ( t). Determinar a função de tranferência de f () t para y ( t) e, uando o Matlab, traçar a curva da repota a uma entrada degrau unitário. Seja m 0, k e b 0, 5. Motrar que a amplitude máxima da aída é de cerca de,8. Figura Sitema mecânico mola-maa-amortecedor (DORF; BISHOP, 00).

168 Automação e Controle Aula 5P Profeor Marcio Eiencraft julho (NISE, 00, p. 84) Para o itema mecânico em rotação motrado na Figura 3, calcule a função de tranferência, () Θ ( ) T ( ) G. Figura 3 (NISE, 00). 6. (05) Reolver exercício PM.8 da página 9 do (DORF; BISHOP, 00). 3

169 Automação e Controle I Aula 6P - Profeor Marcio Eiencraft etembro 006 Aula 6P Quetõe da P. (NISE; 00, p. ) (,0) Funcionalmente, como o itema a malha fechada e diferenciam do itema a malha aberta? Dê trê exemplo de itema a malha aberta.. (NISE; 00, p. 3) (,0) Dada a eguinte equação diferencial, obter a olução y( t ) e toda a condiçõe iniciai forem zero. Uar a tranformada de Laplace. dy dy 3 3 dt dt + + y u( t) () 3. (DORF; BISHOP, 998, p. 78) A velocidade de rotação ω de um atélite motrado na figura a eguir é ajutada mudando-e o comprimento L da barra. A função de tranferência entre Δ é ω ( ), 5( + ) Δ L( ) ( + 5)( + ) ω ( ) e a variação incremental do comprimento da barra L( ) A variação do comprimento da barra é Δ L( ). Determine a repota de velocidade ω ( t ). 4 () (DORF; BISHOP, 998). 4. (PHILLIPS; HARBOR, 997, p. 70) Conidere o circuito motrado na figura eguinte. V ( ) (a) (,0) Encontre a função de tranferência V (. ) (b) (,0) Suponha que um indutor L é conectado ao terminai de aída em paralelo com R 3. V ( ) Encontre a função de tranferência V (. )

170 Automação e Controle I Aula 6P - Profeor Marcio Eiencraft etembro 006 (PHILLIPS; HARBOR, 997). 5. (OGATA; 003, p. 44) (,0) Ecreva uma eqüência de comando Matlab que gere a expanão em fraçõe parciai da eguinte função. 0( + )( + 4) F( ) ( + )( + 3)( + 5) (3) Em eguida obtenha a tranformada invera de Laplace de F( ).

171 Automação e Controle Aula 7P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 7P Exemplo imple de itema e diagrama de bloco no Simulink Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página Introdução O Simulink é uado para imular itema. Ua uma interface gráfica do uuário (GUI) para você interagir com bloco que repreentam ubitema. Você pode poicionar o bloco, ajutá-lo, rotulá-lo, epecificar eu parâmetro e interconectá-lo para formar itema completo para o quai podem er executada imulaçõe. O Simulink poui biblioteca de bloco a partir da quai podem er feita cópia de ubitema, de fonte (ito é, geradore de funçõe) (ource) e dipoitivo de viualização (ink). Etão diponívei bloco de ubitema para repreentar itema lineare, nãolineare e dicreto.. Uando o Simulink O reumo a eguir motra o pao para uar o Simulink.. Aceando o Simulink. O Simulink Library Brower, de onde começamo o Simulink, é aceado digitando-e imulink na janela Matlab Command Window ou clicando no botão Simulink Library Brower na barra de ferramenta, como motra a parte circundada na Figura. Figura - A janela MATLAB Command Window - como acear o Simulink. (NISE, 00). Criamo agora uma janela de modelo untitled (em título), Figura, clicando obre o botão Create a new model (dentro do círculo motrado na Figura ) na barra de ferramenta da janela Simulink Library Brower.

172 Automação e Controle Aula 7P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura - A janela Simulink Library Brower motrando: a. o botão Create a new model ainalado com um círculo; b. a janela de modelo untitled.. Selecionando ubitema. Selecione o ubitema neceário e arrate-o com o moue para a janela untitled. 3. Monte e rotule o ubitema. Você pode poicionar, ajutar o tamanho e renomear o bloco. Bata clicar dua veze obre ele. 4. Interconecte ubitema e rotule o inai. Poicione o curor na pequena eta de aída ao lado de um ubitema, preione o botão do moue e arrate o curor reultante em forma de retículo para a pequena eta de entrada do próximo ubitema. 5. Ecolha de parâmetro para o ubitema. Dê um duplo clique no ubitema da janela do modelo e digite o parâmetro deejado. 6. Ecolha o parâmetro para imulação. Selecione Parameter no menu Simulation na janela do modelo para configurar parâmetro adicionai, como o tempo de imulação. 7. Inicie a imulação. Selecione Start no menu Simulation na janela do modelo ou clique no ícone Start/Paue na barra de ferramenta da janela do modelo, como motrado na Figura.

173 Automação e Controle Aula 7P Profeor Marcio Eiencraft julho Interaja com o gráfico. Na janela Scope você pode uar o zoom para aproximar ou afatar o gráfico, modificar a ecala do eixo, alvar a configuração do eixo e imprimir o gráfico reultante. 9. Gravar o modelo. Ao gravar o modelo, ecolhendo a opção Save no menu File, cria-e um arquivo com extenão.mdl, a qual é neceária. Atividade. (DORF; BISHOP, 00, p. 9) Conidere o itema com realimentação eboçado na Figura 3. Figura 3 Sitema de controle com realimentação negativa (DORF; BISHOP, 00). (a) Implemente ete itema no Simulink. (b) Obtenha um gráfico da repota ao degrau dete itema. Qual eu valor máximo? Qual eu erro etacionário? Repota: 3

174 Automação e Controle Aula 7P Profeor Marcio Eiencraft julho 006. (DORF; BISHOP, 00, p. 88) Uma carga adicionada a um caminhão reulta em uma força F obre a mola do uporte e o pneu e deforma como etá motrado na Figura 4a. O modelo para o movimento do pneu etá motrado na Figura 4b. Figura 4 Modelo de uporte de caminhão (DORF; BISHOP, 99). (a) Determine a função de tranferência ( ) () X. F (b) Implemente eta função no Simulink. Ue k k e b 0, 5 e M 0. (c) Obtenha um gráfico da poição x ( t) quando balançamo o caminhão com uma freqüência de ocilação por egundo (0,Hz) o que pode er modelado por f ( t) in( π 0, t). (d) Repita para freqüência de 0,Hz, 0,5Hz e Hz. O que ocorre com a aída? Jutifique. Repota: 4

175 Automação e Controle Aula 7P Profeor Marcio Eiencraft julho (DORF; BISHOP, 00, p. 8) Etrutura em T ão uada freqüentemente como filtro em itema de controle em corrente alternada. A Figura 5 motra um dee circuito em T. Figura 3 Etrutura em T (DORF; BISHOP, 00). (a) Determinar a função de tranferência da rede. (b) Implemente ete itema no Simulink para R 0, 5, R e C 0, 5. (c) Obtenha um gráfico da repota ao degrau para ete itema. (d) Obtenha a repota à entrada x( t) in( πf ) Repota: para f 0,; ; 0; 00 Hz. 4. Implemente no Simulink o diagrama de bloco do itema de poicionamento de antena dicutido na Aula T uando a Configuração. Obtenha a repota dete itema a uma entrada θ () t u( t) i. Comente o reultado obtido. 5

176 Automação e Controle Aula 8P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 8P Revião: vetore e matrize no Matlab Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Apêndice G. CHAPMAN, Stephen J. Programação em MATLAB para engenheiro. São Paulo: Pioneira Thomon Learning, p. ISBN (CHAPMAN, 003, p. 30) Reponda à quetõe eguinte coniderando a matriz abaixo: c (a) Qual o tamanho de c? (b) Qual o valor de c(,3)? (c) Apreente o índice de todo o elemento cujo valor eja 0,6.. (CHAPMAN, 003, p. 30) Qual a diferença entre uma matriz e um vetor? 3. (CHAPMAN, 003, p. 38) Auma que a matriz c eja definida como abaixo e determine o conteúdo da eguinte ubmatrize: c (a) c(,:) (b) c(:,end) (c) c(:,:end) (d) c(6) (e) c(4:end) (f) c(:,:4) (g) c([ 4],) (h) c([ ], [3 3])

177 Automação e Controle Aula 8P Profeor Marcio Eiencraft julho (CHAPMAN, 003, p. 9) Qual o conteúdo da eguinte matrize: Azero(); B zero(,3); C [ ; 3 4]; D zero(ize(c)); 5. Qual o reultado do comando diag([ 3])? O que faz o comando diag? 6. (CHAPMAN, 003, p. 9) Determine o conteúdo da matriz a apó a execução da eguinte declaraçõe: (a) a eye(3,3); b [ 3]; a(,:) b; (b) a eye(3,3); b [7 8 9]; a(3,:) b([3 ]); 7. Qual o reultado do comando toeplitz([ 3])? O que faz o comando toeplitz?

178 Automação e Controle Aula 8P Profeor Marcio Eiencraft julho (CHAPMAN, 003, p. 9) Determine o conteúdo da matriz a apó a execução da eguinte declaraçõe: a eye(3,3); b [4 5 6]; a(:,3) b ; 4 9. Calcule o determinante da matriz A. Ue o comando det para confirmar eu 7 reultado. 0. Calcule o menor M 3 do determinante da matriz 4. Ecreva um coman- 4 do Matlab que reolve ete problema. A 3 8. Calcule o cofator C 3 da matriz do problema anterior.. Reolva de forma manucrita e uando o Matlab, o determinante da matriz 7 A Para que erve o comando Matlab cond? 4. Verifique a ingularidade ou não da matriz 3 7 A Calcule a adjunta da matriz do exercício anterior. 3

179 Automação e Controle Aula 8P Profeor Marcio Eiencraft julho Uando a função rank determine o poto da matriz do exercício anterior. 7. (CHAPMAN, 003, p. 9) Auma que a, b, c e d ão definida como a eguir: 0 3 a b c 0 e d 5. Qual é o reultado da eguinte operaçõe? a+b a+c a.*b a+d a*b a.*d a*c a*d 8. (CHAPMAN, 003, p. 5) Auma que a, b, c e d ão definida como a eguir e calcule o reultado da eguinte operaçõe e ela forem legai. Se uma operação for ilegal, explique o motivo. 0 a b c 3 e d -3. (a) reult a.*c; (b) reult a* [c c]; (c) reult a.*[c c]; (d) reult a+b*c; (e) reult a+b.*c; 4

180 Automação e Controle Aula 8P Profeor Marcio Eiencraft julho (CHAPMAN, 003, p. 5) Reolva para x a equação Ax B A 3 e 0 B. 0, em que 0. (CHAPMAN, 003, p. 74) Reolva o eguinte itema de equaçõe imultânea para x : -.0 X X +.0 X X X5 -.0 X X -.0 X X3 -.0 X X X X X X3-5.0 X X5 -.0 X X X X3-5.0 X4 -.0 X5 -.0 X X X X3 +.0 X4-6.0 X X X X X X X5-4.0 X Defina o que ão autovalore e autovetore de uma matriz. Encontre-o para: 0 3 A (.) 5

181 Automação e Controle Aula 9P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 9P Repreentação computacional de itema de controle no epaço de etado Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página -4.. Criando a repreentação no epaço de etado Para criar a decrição de um itema no epaço de etado no Matlab, utilizamo o comando (de tate pace) cuja funcionalidade é a mema do tf para funçõe de tranferência. Seu formato é: SYS SS(A,B,C,D) Por exemplo, conidere o problema de obter a repota ao degrau para um itema repreentado por: 3 x x + 0 u. y [ ]x Utilizamo a eguinte eqüência de intruçõe: >> A [ 3; - ]; >> B [;0]; >> C [ -]; >> D 0; itema (A,B,C,D) a x x x 3 x - b u x x 0 c x x y - d

182 Automação e Controle Aula 9P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 u y 0 >> tep(itema) 3 Step Repone Amplitude Time (ec). Calculando a aída de um itema a uma entrada Pode-e utilizar o comando lim para obter a aída de um itema a uma dada entrada incluindo aí condiçõe iniciai. Seu formato é: LSIM(SYS,U,T,X0) O itema y pode etar definido na forma de epaço de etado ou função de tranferência, U ão o valore que a entrada aume, T o intante de tempo em que a entrada foi paada e X0 é um vetor de condiçõe iniciai da variávei de etado (e não epecificado, conidera-e condiçõe iniciai nula). Aim, a repota ao degrau do exercício anterior poderia ter ido obtida com a eguinte eqüência de comando: A [ 3; - ]; B [;0]; C [ -]; D 0; itema (A,B,C,D) t linpace(0,.6,000); u one(,000); figure(); lim(itema, u,t);

183 Automação e Controle Aula 9P Profeor Marcio Eiencraft julho Linear Simulation Reult Amplitude Time (ec) Exercício. (DORF; BISHOP, 00, p. 38) Conidere-e o itema eguinte: com 0 0 x x 3 + u y [ 0]x x ( 0). 0 (a) Uando a função lim obter e traçar a repota do itema quando () t 0 (b) Obtenha um gráfico de x () t para a mema entrada. u. 3. Convertendo funçõe de tranferência para o epaço de etado A funçõe de tranferência repreentada eja pelo numerador e denominador, eja por um objeto LIT podem er convertida para o epaço de etado. Para a repreentação em numerador e denominador, a converão pode er implementada uando: [A,B,C,D] tf(num,den). A matriz A retorna em uma forma chamada canônica controlável. Para obter a forma em variávei de fae, [Af,Bf,Cf,Df], executamo a eguinte operaçõe: Af inv(p)*a*p; 3

184 Automação e Controle Aula 9P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Bf inv(p)*b; Cf C*P, Df D, onde P é uma matriz quadrada com valore unitário ao longo da diagonal ecundária e zero no reto. Para itema repreentado como objeto LIT, o comando (F), onde F é um objeto função de tranferência LIT, pode er uado para converter F em um objeto do epaço de etado. Por exemplo, conidere obter a repreentação no epaço de etado da função de tranferência: ( ) C 4. 3 R() Para o objeto função de tranferência LIT, a converão para o epaço de etado não conduz à forma em variávei de fae. Como (F) não conduz a forma familiare da equaçõe de etado (nem é poível converter facilmente em forma familiare) teremo, no momento, uo limitado dea tranformação. num4; % Define o numerador de G()C()/R(). den[ 9 6 4]; % Define o denominador de G(). [A,B,C,D]tf(num,den) % Converte G()para a forma canônica % do controlador, % armazena a matrize A, B, C, D, e % motra o reultado. P[0 0 ;0 0; 0 0]; % Forma a matriz de tranformação. Afinv(P)*A*P % Forma a matriz A (variávei de fae). Bfinv(P)*B % Forma o vetor B (variávei de fae). CfC*P % Forma o vetor C,(variávei de fae). DfD % Forma D,(variávei de fae). Ttf(num,den) % Repreenta T()4/(^3+9^+6+4) % como um objeto função de tranferência LTI. T(T) % Converte T() em repreentação no epaço de % etado. Exercício. (NISE, 00, p. 8) Utilize o Matlab para obter a repreentação no epaço de etado em variávei de fae para cada um do itema motrado na Figura a eguir. 4

185 Automação e Controle Aula 9P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura (NISE, 00). 4. Convertendo itema no epaço de etado para funçõe de tranferência A repreentaçõe no epaço de etado podem er convertida em funçõe de tranferência repreentada por um numerador e um denominador uando [num,den] tf(a,b,c,d,iu), em que iu é o número da entrada em itema de entrada múltipla. Para itema com uma única entrada e uma única aída iu. Para um itema LIT no epaço de etado, T, a converão pode er implementada u- ando Ttf tf(t) para e obter a função de tranferência na forma polinomial ou uando Tzpk zpk(t) para obter a função de tranferência na forma fatorada. Por exemplo, a função de tranferência repreentada pela matrize decrita por: x 0 0 x 8 + u y [ 3 4]x podem er obtida como: A[0 0;0 0 ; ]; % Repreenta A. B[7;8;9]; % Repreenta B. 5

186 Automação e Controle Aula 9P Profeor Marcio Eiencraft julho C[ 3 4]; % Repreenta C. D0; % Repreenta D. [num,den]tf(a,b,c,d,) % Converte uma repreentação % no epaço de etado % em função de tranferência repreentada por % um numerador e um denominador,g()num/den, % em forma polinomial, % e motra num e den. T(A,B,C,D) % Form LTI tate-pace model. Ttftf(T) % Tranforma a repreentação no epaço de % etado em função de tranferência % na forma polinomial. Tzpkzpk(T) % Tranforma a repreentação no epaço de % etado em função de tranferência % na forma fatorada. Exercício 3. (NISE, 00, p. 8) Utilize o Matlab para obter a função de tranferência, () ( ) () R Y G, para cada um do itema repreentado no epaço de etado. (a) [ ]x x x y r (b) [ ]x x x y u 4. (NISE, 00, p. 8) Utilize o Matlab para obter a repreentação no epaço de etado em variávei de fae para cada um do itema motrado na Figura a eguir.

187 Automação e Controle Aula 9P Profeor Marcio Eiencraft julho Figura (NISE, 00). 5. (DORF; BISHOP, 00, p. 38) Conidere o itema: [ ]x x x y u. (a) Uando a função tf, determinar a função de tranferência ( ) () U Y. (b) Traçar a repota do itema à condição inicial ( ) [ ] T x para 0 0 t. 6. (306) Reolver o Exercício 40 da página 73 do (NISE, 00).

188 Automação e Controle Aula 0P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 0P Aula de exercício para P Bibliografia OGATA, Katuhiko. Engenharia de controle moderno. 4. ed. São Paulo: Prentice-Hall do Brail, p. ISBN PHILLIPS, Charle L.; HARBOR, Royce D. Sitema de controle e realimentação. São Paulo: Makron Book, c p. : il. 4 cm ISBN (DORF; BISHOP, 00, p. 78) O itema de poicionamento de alta precião de uma peça delizante etá motrado na figura a eguir, Determinar a função de tranferência X X P IN () () quando o coeficiente de atrito vicoo da hate acionadora é b, a contante de mola da hate acionadora é k 3, d m c e o atrito de delizamento é b S. 3 d Peça delizante de precião (DORF; BISHOP, 00).

189 Automação e Controle Aula 0P Profeor Marcio Eiencraft julho 006. (PHILLIPS; HARBOR, 996, p. 79) Contrua um diagrama para computador analógico da eguinte funçõe de tranferência: 6,3 (a) G () + 4 (b) G () ,7 + 79,7

190 Automação e Controle Aula 0P Profeor Marcio Eiencraft julho (OGATA, 003, p. ) Obtenha a repreentação no epaço de etado do itema mecânico indicado na figura, em que u e u ão a entrada e y e y ão a aída. Sitema mecânico (OGATA, 003). 3

191 Automação e Controle Aula 0P Profeor Marcio Eiencraft julho (NISE, 00, p.86) (,0) Para o motor, a carga e a curva torque-velocidade motrado na ( ) () figura a eguir, obter a função de tranferência, G(). E Θ L a 4

192 Automação e Controle Aula 0P Profeor Marcio Eiencraft julho (NISE, 00, p. 6) Repreente o circuito elétrico motrado na figura a eguir no epaço de etado em que i () t é a aída. R (NISE, 00). 6. (05) Reolver Exercício E. da página 78 do (DORF; BISHOP, 00, p. 78). 5

193 Automação e Controle I Aula P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula P Efeito da não-linearidade Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página MATSUMOTO, Élia Yathie. Simulink 5. São Paulo: Érica, p.: il. ; 5 cm ISBN Página 67. Neta aula, vamo examinar qualitativamente o efeito da não-linearidade obre a repota no domínio do tempo de itema fíico. No exemplo a eguir, inerimo no itema não-linearidade como aturação, zona morta e folga, motrada na Figura, para motrar o efeito deta não-linearidade obre a repota lineare. Figura Alguma não-linearidade fíica (NISE, 00). A repota foram obtida uando o Simulink. Atividade - Saturação O itema da Figura pode er uado para ilutrar o efeito da aturação de um amplificador na repota ao degrau de um motor que é limitar a velocidade obtida. Figura - Diagrama de bloco em Simulink para ilutrar aturação (NISE, 00). Simule ete itema, compare a curva obtida e explique o que ocorre.

194 Automação e Controle I Aula P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Atividade - Zona morta O efeito de uma zona morta obre o ângulo de aída do eixo acionado por um motor com engrenagen pode er imulado pelo itema da Figura 3. Figura 3 - Efeito da zona morta obre a repota de delocamento angular da carga (NISE, 00). Simule ete itema, compare a curva obtida e explique o que ocorre. Atividade 3 - Folga O efeito da folga (backlah) obre o eixo de aída acionado por um motor com engrenagen é imulado pelo itema da Figura 4.

195 Automação e Controle I Aula P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura 4 - Efeito da folga obre a repota de delocamento angular da carga (NISE, 00). Quando o motor inverte o entido de rotação, o eixo de aída permanece parado no início do movimento de inverão de entido. Quando a engrenagen finalmente ultrapaam a folga de contato, o eixo de aída começa a girar no entido opoto. A repota reultante é batante diferente da repota de um itema linear em folga. Simule ete itema, compare a curva obtida e explique o que ocorre. Exercício. Reolver Exercício 50 da página 76 do (NISE, 00). 3

196 Automação e Controle Aula 3P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 3P Modelamento de itema o levitador magnético Bibliografia DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página -4. Manual for Model 730 Magnetic Levitation Sytem, ECP, 999. É OBRIGATÓRIO TRAZER UM DISQUETE PARA ESTA AULA ( POR DUPLA) PARA QUE VOCÊ POSSA EXPORTAR OS DADOS DO KIT. O objetivo deta aula é verificar a validade de um modelo de função de tranferência de ª ordem para um itema fíico, o levitador magnético. Cada grupo obterá a repota ao degrau do kit. Siga o pao decrito pelo profeor. Pede-e: (a) Faça um gráfico da repota ao degrau obtida. (b) A partir do ponto obtido, determine: a ultrapaagem percentual o tempo de aentamento o tempo de ubida o valor da repota no regime permanente (c) Com o valore da ultrapaagem percentual e do tempo de aentamento, encontre ζ e ω n. (d) Monte a função de tranferência experimental G( ). (e) Uando a função tep levante a repota ao degrau de G( ) e compara com a curva experimental do item (a).

197 Automação e Controle Aula 4P Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 4P Aula de exercício para P3 Bibliografia DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página 3. NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página 7.. (NISE, 00, p. 7) Para cada uma da repota ao degrau unitário motrada na Figura, determine a função de tranferência do itema. Reolução: Figura (NISE, 00).

198 Automação e Controle Aula 4P Profeor Marcio Eiencraft julho 006. (DORF; BISHOP, 00, p. 3) Um itema é decrito por equaçõe em variávei de etado: 0 x x 0 + u. 0 y [ ]x () () Y Determinar G (). U Reolução:

199 Automação e Controle Aula 4P Profeor Marcio Eiencraft julho (NISE, 00, p. 7) No itema motrado na Figura é aplicado um degrau de torque em θ () t. Determinar: Θ ( ) () (a) A função de tranferência G(). T (b) A ultrapaagem percentual, o tempo de aentamento e o intante de pico para ( t) θ. Reolução: Figura (NISE, 00). 4. (DORF; BISHOP, 00, p. 78) (,5) A função de tranferência de um itema é: Determinar () t Reolução: Y R ( ) () ( + ) y quando r () t for um degrau unitário de entrada. 3

200 Automação e Controle I - Lita de Exercício Suplementare Profeor Marcio Eiencraft agoto 006 Automação e Controle I Lita de Exercício Suplementare º emetre 006. Reolva o Exercício P. da página 0 do (DORF; BISHOP, 998).. Reolver Exercício E.4 da página 76 do (DORF; BISHOP, 00). Repota: no livro. 3. Reolver Exercício 8 da página 3 do (NISE, 00). 4. Reolver Exercício 7 da página 5 do (NISE, 00). 5. Reolver Exercício da página 8 do (NISE, 00). Repota: (a) ; (b) ; (c) ω + ω ; (d) + ω 6. Reolver Exercício da página 8 do (NISE, 00). Repota: (a) ω ( + a) + ω ; (b) ( + a) ( + a) + ω. ; (c) Reolver Exercício 4 da página 8 do (NISE, 00). t Repota: (a) x() t 0,co t 0,in t + e (, cot 0,6in t) 9 co t in t t.. t t t ; (b) 5e e + 9te + t ; (c) 8. Reolver Exercício 7 da página 8 do (NISE, 00). Repota: Reolver Exercício 0 da página 8 do (NISE, 00) d c d c d c dc 3 + δ dt dt dt dt Repota: c 8 () t + ( t + 9t + 3t ) u() t 0. Reolver Exercício da página 8 do (NISE, 00).. Reolver Exercício 4 da página 8 do (NISE, 00).

201 Automação e Controle I - Lita de Exercício Suplementare Profeor Marcio Eiencraft agoto 006. Reolver Exercício 7 da página 8 do (NISE, 00). Repota: (a) ; (b) Reolver Exercício 9 da página 8 do (NISE, 00). Repota: (a) ; (b) Reolver Exercício 3 da página 83 do (NISE, 00). Repota: Reolver Exercício B.3.0 da página do (OGATA, 003). 6. Reolver Exercício. da página 70 do (PHILLIPS; HARBOR, 997). Repota: (a) RRC + R R R C + R + R ; (b) R ; (c) e 0, repectivamente. 7. Reolver Exercício.0 da página 3 do (SILVEIRA; SANTOS, 999). 8. (DiSTEFANO; STUBBERUD; WILLIAMS, 995, p. 3) Uando a técnica de tranformada de Laplace, encontre a repota forçada da equação diferencial: () t 3 em que x t e, t 0. d y dy dx y 3 + x, dt dt dt

202 Automação e Controle I - Lita de Exercício Suplementare Profeor Marcio Eiencraft etembro 006 Automação e Controle I Lita de Exercício Suplementare º emetre 006. Reolver Exercício E. da página 78 do (DORF; BISHOP, 00). Repota: no livro.. Reolver Exercício PM.3 da página 9 do (DORF; BISHOP, 00). 3. Reolver Exercício E3.4 da página 8 do (DORF; BISHOP, 00). 0 x 0 4 y Repota:. [ 0 0] x 0 u 3 5 x + 0u 4. Reolver Exercício E3.9 da página 9 do (DORF; BISHOP, 00). Repota: no livro. 5. Reolver o Exercício 6(b) da página 8 do (NISE, 00). V ( ) O Repota: (a) ( ). V + + I 6. Reolver Exercício 7(a) da página 8 do (NISE, 00). 7. Reolver Exercício 33 da página 84 do (NISE, 00). Repota: Θ ( ) T ( ) Reolver Exercício 37 da página 85 do (NISE, 00). 9. Reolver Exercício 40 da página 85 do (NISE, 00). (Ao primeiro aluno que entregar a olução completa e correta dete exercício erá acrecentado 0,5 ponto à nota da prova P).

203 Automação e Controle I - Lita de Exercício Suplementare Profeor Marcio Eiencraft etembro 006 Repota: X T () () Reolver Exercício 4 da página 85 do (NISE, 00). Repota: Θ E L a () 0,667 () ( +,6667). Reolver Exercício 43 da página 86 do (NISE, 00). G Repota: ( ) ( + 0, 75)... Reolver Exercício 44 da página 86 do (NISE, 00). Repota: G () 0, 0, ( + ) 3. Reolver Exercício 54 da página 87 do (NISE, 00). Repota: Y F () () M f v + + M K M W D, com F(). 4. Reolver Exercício da página 6 do (NISE, 00). 5. Reolver Exercício 3 da página 6 do (NISE, 00). 6. Reolver Exercício 4 da página 6 do (NISE, 00). T Repota: x x v x v x3 v 3, x x + u y x + 0u. 7. Reolver Exercício 5 da página 7 do (NISE, 00).

204 Automação e Controle I - Lita de Exercício Suplementare Profeor Marcio Eiencraft etembro Reolver Exercício 6 da página 7 do (NISE, 00). 9. Reolver Exercício 8 da página 8 do (NISE, 00). 0. Reolver Exercício 3 da página 8 do (NISE, 00). 3

205 Automação e Controle I - Lita de Exercício Suplementare 3 Profeor Marcio Eiencraft novembro 006 Automação e Controle I Lita de Exercício Suplementare 3 º emetre 006. Reolver Exercício E.8 da página 78 do (DORF; BISHOP, 00). Repota: ( ) 4 5 3t 5t y t + e 3 e, t Reolver Exercício 6 da página 84 do (NISE, 00). G Repota: ( ) Reolver Exercício 5 da página 7 do (NISE, 00). 4. Reolver Exercício 0 da página 8 do (NISE, 00). 5. Reolver Exercício da página 8 do (NISE, 00). 6. Reolver Exercício 4 da página 8 do (NISE, 00). Repota: (a) () () G ; (b) () G G ; (c) 7. Reolver Exercício 8 da página 9 do (NISE, 00) K t ; y 0 K 0 K K K K a a K 3 K 3 K 3 K 3. b Repota: x x δ () x 8. Reolver Exercício da página 0 do (NISE, 00). 9. Reolver Exercício da página 0 do (NISE, 00). 7,06 Repota: () ( +, ,8) G ; () ( + 4)(,7834)( + 4,9034) 507,7( +,554) ( + 4)(,7834)( + 4,9034) G. 0. Reolver Exercício 4 da página do (NISE, 00).

206 Automação e Controle I - Lita de Exercício Suplementare 3 Profeor Marcio Eiencraft novembro 006 Repota: 0 0 x ,9 769, , y [ 0, ]x 0 0 4,9 0 x + 0 9,30 0,058 f cima () t. Reolver Exercício da página 70 do (NISE, 00).. Reolver Exercício da página 70 do (NISE, 00). 7,06 Repota: () ( +, ,8) G ; () ( + 4)(,7834)( + 4,9034) 507,7( +,554) ( + 4)(,7834)( + 4,9034) G. 3. Reolver Exercício 7 da página 70 do (NISE, 00). 4. Reolver Exercício 9 da página 70 do (NISE, 00). 5. Reolver Exercício 0 da página 70 do (NISE, 00) Repota: G () ; pólo :9,683; 0,7347; 9, Reolver Exercício da página 70 do (NISE, 00). 7. Reolver Exercício 3 da página 70 do (NISE, 00). (Ao primeiro aluno que entregar a olução completa e correta dete exercício erá acrecentado 0,5 ponto à nota da prova PAF). 8. Reolver Exercício 5 da página 7 do (NISE, 00). G Repota: (a) ( ) ; (b) ζ 0, 7538; ω ; % UP, 7%; T, 6; T, 44; T 0, n S P R 9. Reolver Exercício 6 da página 7 do (NISE, 00). Repota: (a) Θ ( ) T( ) + + ; (b) 6,30%; 8 e 3,67 repectivamente. 0. Reolver Exercício 9(a) da página 7 do (NISE, 00).

207 Automação e Controle I - Lita de Exercício Suplementare 3 Profeor Marcio Eiencraft novembro 006 G Repota: ( ) ,5.. Reolver Exercício 40 da página 73 do (NISE, 00).. Reolver Exercício B.3.0 da página do (OGATA, 003). G Repota: ( ) (DORF; BISHOP, 00, p. 98) Uma impreora a laer ua um raio de laer para imprimir cópia rapidamente de um computador. O laer é poicionado por uma entrada de controle, r( t ), de forma que 5( + 00) Y ( ) ( ) R. () A entrada r( t ) repreenta a poição deejada para o raio de laer. (a) Se r( t ) for um degrau unitário, encontre a aída y( t ). (b) Qual o valor final de y( t )? Repota: (a) ( ) 50t 0t y t + 0,5e,5 e, t 0; (b). 4. (DORF; BISHOP, 00, p. 64) Um itema é decrito no epaço de etado por: 0 x x + 0 u. () 0 y x Y ( ) Determine G( ). U( ) G Repota: ( ) VO 5. (DiSTEFANO et al., 990, p. 38) Obtenha a função de tranferência G() do V compenador por atrao/avanço de fae implementado atravé de uma rede RC motrada na figura a eguir. I ( ) () 3

208 Automação e Controle I - Lita de Exercício Suplementare 3 Profeor Marcio Eiencraft novembro 006 (DISTEFANO et al., 990). Repota: + V ( ) O + + RC RC RC RC V ( ) I RC RC RC RC RC. 6. (DORF; BISHOP, 00, p. 78) Conidere o itema mecânico eboçado na figura a eguir. A entrada é dada por f () t e a aída por y ( t) f () t para () t. Determinar a função de tranferência de y e ecrever uma eqüência de comando Matlab que permita traçar a curva da repota a uma entrada degrau unitário. Conidere m 0, k e b 0, 5. (DORF; BISHOP, 00, p. 78) 4

209 Automação e Controle I Trabalho Profeor Marcio Eiencraft agoto 006 Automação e Controle I Trabalho º emetre Senore Ete trabalho vale 0,5 ponto omado à nota da Prova P. Intruçõe: Deve er entregue impreterivelmente até o dia 05/09 data da P Em folha de papel A4 MANUSCRITO, com nome e número de matrícula. A repota não pode ultrapaar página. Cao qualquer uma dea condiçõe não eja atendida, o trabalho não erá aceito. Cada aluno deve reolver e entregar a APENAS a quetão cujo número coincide com o dígito do eu número de matrícula. O aunto do trabalho, enore, é matéria para a P. Uma dea quetõe pode cair na prova. Entre outra, uma poível referência a er utilizada para reolver a quetõe é: PAZOS, F. Automação de itema & robótica. Rio de Janeiro: Axcel Book, 00. Capítulo O que ão trandutore? O que ão enore?. Qual a diferença entre enore analógico e digitai?. Explique a eguinte caracterítica do enore: faixa, reolução, enibilidade, linearidade, hiteree. 3. Explique o funcionamento e dê exemplo de enore de temperatura. 4. Explique o funcionamento e dê exemplo de enore de preença. 5. Explique o funcionamento e dê exemplo de enore de poição. 6. Explique o funcionamento e dê exemplo de enore de força. 7. Explique o funcionamento e dê exemplo de enore de velocidade.

210 Automação e Controle I Trabalho Profeor Marcio Eiencraft agoto Explique o funcionamento e dê exemplo de enore de luz. 9. Explique o funcionamento e dê exemplo de enore de preão.

211 Automação e Controle I Trabalho Profeor Marcio Eiencraft etembro 006 Automação e Controle I Trabalho º emetre 006 Tecnologia aociada à automação Ete trabalho vale 0,5 ponto omado à nota da Prova P Intruçõe: Deve er entregue impreterivelmente até o dia 0/0 data da P Em folha de papel A4 MANUSCRITO, com nome e número de matrícula. A repota não pode ultrapaar uma folha. Cao qualquer uma dea condiçõe não eja atendida, o trabalho não erá aceito. Cada aluno deve reolver e entregar a APENAS a eguinte quetõe de acordo com o dígito do eu número de matrícula: 0 e 6 e 5 3 e e e 5 6 e 6 7 e e e e A quetõe e referem ao livro: SILVEIRA, P. R; SANTOS, W. E. Automação e controle dicreto, a edição. São Paulo: Érica, 999. Página 09.

212 Automação e Controle I Trabalho 3 Profeor Marcio Eiencraft novembro 006 Automação e Controle I Trabalho 3 º emetre 006 Tecnologia e ociedade Ete trabalho vale 0,5 ponto omado à nota da Prova PAF Intruçõe: Deve er entregue impreterivelmente até o dia 8/ data da PAF Em folha de papel A4 MANUSCRITO, com nome e número de matrícula. A repota não pode ultrapaar página. Cao qualquer uma dea condiçõe não eja atendida, o trabalho não erá aceito. Cada aluno deve reolver e entregar a APENAS a eguinte quetão de acordo com o dígito do eu número de matrícula: Dígito 0 Quetão Dígito Quetão Dígito Quetão 3 Dígito 3 Quetão 4 Dígito 4 Quetão 5 Dígito 5 Quetão 6 Dígito 6 Quetão 7 Dígito 7 Quetão 8 Dígito 8 Quetão 9 Dígito 9 Quetão 0 A quetõe e referem ao livro: SILVEIRA, Paulo Rogério da; SANTOS, Winderon E. do. Automação e controle dicreto.. ed. São Paulo: Érica, p. : il. ; 4 cm ISBN Página 3 e 3.