CIRCUITOS ELÉTRICOS RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS TRANSITÓRIOS NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA

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1 1 CIRCUITOS ELÉTRICOS RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS TRANSITÓRIOS NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA Simulação de chaves utilizando a função degrau a) Fonte de tensão que entra em operação em t = 0 Substituindo a chave v(t) = 0, para t < 0 e v(t) = E, para t > 0 A fonte que entra em operação no instante t = a, em vez de t = 0: b) Fonte de tensão que sai de operação em t = 0 Substituindo a chave V(t) = E, para t <0 e v(t) = 0, para t > 0: A fonte que sai de operação em t = a:

2 2 c) Fonte de corrente que entra em operação em t = 0 No lugar da chave: i(t) = 0, para t < 0 e i(t) = I, para t > 0 A fonte que entra em operação em t = a: d) Fonte de corrente que sai de operação em t = 0 No lugar da chave: i(t) = I, para t < 0 e i(t) = 0, para t > 0 A fonte saí de operação em t = a:

3 3 e) Fonte de tensão que entra em operação em t = a No lugar da chave: e sai de operação em t = b V(t) = 0, para t < a; v(t) = E, para a < t < b; v(t) = 0, para t > b TRANSFORMADA DE LAPLACE A- Definição. Seja a função f(t) definida para todo t > 0, onde 0 - representa uma vizinhança infinitesimal à esquerda da origem. A função f(t) poderá também ser do tipo seccionalmente contínua, isto é, contínua por partes, apresentando assim um número finito de descontinuidades em qualquer intervalo com extremos finitos. Em cada ponto de descontinuidade existem e são finitos os limites de f(t) à esquerda e à direita desse ponto. A transformada de Laplace da função é definida pela expressão Onde s = σ + jω, com σ e ω reais, é uma variável complexa denominada freqüência complexa. A aplicação da transformada de Laplace a uma função do tempo, significa obter o seu equivalente no domínio da freqüência. Existe transformada de Laplace, quando a integral da definição converge, isto é, resulta um valor finito. B Propriedades: a) Transformada de uma função f(t) multiplicada por uma constante c

4 4 b) Transformada de uma soma ou diferença de funções c) Transformada de uma função f(t) multiplicada pela variável t. d) Translação no campo complexo: Seja a função f(t) e a sua transformada F(s) e) Translação real ou deslocamento: Seja a função f(t) e a sua transformada F(s) e ainda a função g(t), tal que g(t) = 0, para t < a e g(t) = f(t-a), para t > a, com a real g(t) = f(t-a).u(t-a) então a transformada da função g(t) será: f) Transformada da derivada de uma função f(t) g) Transformada da Integral: Seja a função f(t), sua transformada F(s) e a sua integral

5 5 A transformada da função integral g(t) será: Se em particular tivermos A transformada neste caso será: h) Multiplicação do argumento por uma constante α: Seja uma função f(t) e a sua transformada F(s), então a transformada da função f(α.t) será: i)transformadas de funções periódicas: Seja f(t) uma função periódica de período T, f(t) = f(t + kt), com k = 0, 1, 2, 3,... A Transformada de f(t) pode ser calculada por: j) Teorema do valor inicial e do valor final: Seja a função f(t) e a sua transformada F(s). Pelo teorema do valor inicial, temos:

6 6 e pelo teorema ao valor final vem: k) Anti-Transformada ou Transformada Inversa Representação dos elementos do circuitos elétricos no domínio da freqüência: a) Resistor: No domínio do tempo: v = R. i onde v = v(t) e i = i(t) No domínio da freqüência: L {v }= L {R. i} = R L {i} Mas L {v} = V = V(s) e L {i} = I = I(s) V = R. I Impedância do resistor ideal : Z = R Modelo do resistor no domínio da freqüência : b) Indutor ideal: No domínio do tempo: di v = L onde v= v(t) e i = i(t) dt No domínio da freqüência: L {v} = L {L. di/dt} = L L {di/dt} Ou v = L[sI i(0 - )] = sl.i L.i(0 - ) i(0 - ) = corrente inicial no indutor Impedância no indutor ideal: Z = sl V = sl. I L.i(0 - ) = Z. I L.i(0 - )

7 7 Modelos correspondentes ao indutor, no domínio da freqüência c) Capacitor ideal: 1 t No domínio do tempo: v = i. dt + v(0 ) C 0 Onde v(0 - ) = tensão inicial no capacitor No domínio da freqüência: ou V I v(0 =. + C s s ) I v(0 ) = + sc s 1 onde Impedância Z = 1/sC e a sua admitância Y = sc 1 v(0 ) v(0 ) V =. I + = Z. I + sc s s I = sc. V C. v(0 ) = Y. V C. v(0 )