Equações Diferenciais

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1 Equações Diferenciais Introdução... Soluções de uma equação diferencial... 4 Classificação das Equações Diferenciais de ª Ordem Equações Diferenciais Separáveis Equações Diferenciais Homogêneas Solução de equações diferenciais homogêneas Equações Diferenciais Eatas Método de solução Fatores integrantes... 4 Equações Diferenciais Lineares de Primeira ordem Equações Diferenciais Não-Lineares de Primeira ordem Equações de Bernoulli Referências Bibliográficas...

2 Introdução Muitas vezes em física, engenharia e outros ramos técnicos, há necessidade de encontrar uma função incógnita. Em muitos casos esta pesquisa leva a uma equação envolvendo derivadas (ou diferenciais) da função incógnita. Tais equações envolvendo derivadas (ou diferenciais) são chamadas equações diferenciais, em que a incógnita não é um número, mas uma função. As equações diferenciais representam uma série de fenômenos tais como: O crescimento de culturas de bactérias; Competitividade entre as espécies de um ecossistema, Escoamento de fluidos em dutos, O movimento dos planetas em torno do sol, Trajetória de projeteis, A formação do granizo na atmosfera, Circulação sangüínea, Movimento angular de ciclones, Fenômenos de difusão, Previsão de baias em batalhas, Jogos de guerra, O formato de um ovo, Mecanismos de transferência de calor, A maré dos oceanos, Ondas de choque, A mudança diária da temperatura do vento, Problemas de servos-mecanismos, Evolução de uma epidemia devido a vírus, Realimentação de sistemas, etc. Eemplo: Lei de Resfriamento de Newton A lei de resfriamento de Newton diz que a taa de variação de temperatura T(t) de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante Tm do meio ambiente, na forma: dt k T Tm dt, k = constante

3 Um ovo a 98º C é colocado em uma pia contendo água a 8º C. Depois de 5 minutos a temperatura do ovo é de 8º C. Suponha que durante o eperimento a temperatura da água não aumente apreciavelmente. Quanto tempo a mais será necessário para que o ovo atinja 0º C? Tf Ti t dt Tf Tm k dt ln kt T T T T m 0 i m T =8 º C; T 0 98 º C; T 5 8 º C; m i 8 8 T5 8 k ln 0, T t 0 t ln,min 0, Simbolicamente, uma equação diferencial pode ser escrita como: F onde derivada de em relação à d ( n),, ', '',..., 0 ' ( ) Se a função incógnita depende apenas de uma variável, temos uma equação diferencial ordinária (EDO). Se depender de mais de uma variável, temos uma equação diferencial parcial (EDP). As epressões seguintes são alguns eemplos de equações diferenciais. A. d B. sen C. 0 d d d d 4 d d D. 0 E. e u u d F. 0, u = d d d t (, t) A ordem de uma equação diferencial é o número n que corresponde à ordem máima das derivadas da equação (máima ordem Item D = ). O grau de uma equação diferencial é a maior potência da derivada de maior ordem (como a ordem máima é da equação D, seu grau é e não 4 como era de se esperar). Eemplos Determinar o grau e a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais. d (a) 7 0 d d d (b) 0 d d A Equação (a) é uma equação diferencial de primeiro grau de ordem porque d /d é a derivada de maior ordem na equação e está elevada à primeira potência. Notar que a terceira

4 4 potência de /d não tem influência no grau da Equação (a) porque /d é de menor ordem que d /d. A Equação (b), por outro lado, é uma equação diferencial de segundo grau e primeira ordem; /d é a derivada de maior ordem (ordem ) e é a maior potência de /d aparecendo na equação. Soluções de uma equação diferencial As soluções de uma equação diferencial correspondem a uma família de curvas. Por eemplo, dada a seguinte equação diferencial de ordem : d 0 ou d d Por integração temos: R R Isto é, uma família de circunferências centradas na origem diferenciadas pela constante R (raio). Para equações diferencias de ordem superior teríamos tantas constantes quanto a ordem da equação diferencial. Teorema. Suponha que uma família de curvas no plano cuja equação é: (,, C) 0, onde C é uma constante. A ordenada de uma destas curvas verifica uma equação diferencial de primeira ordem, independente de C. Eemplo: Seja uma família de curvas (,, K) 0 na forma parábolas. Tomando a derivada em um ponto P qualquer, tem-se: K, isto é, uma família de K d d d d Kd K K 0 Isto é, a equação diferencial independe de K. Uma solução particular pode ser obtida se forem dadas certas condições iniciais. Uma condição inicial de uma equação diferencial é uma condição que especifica um valor particular de = 0, correspondente a um valor particular de = 0. Isto é, se = f() pode ser uma solução da equação diferencial, então a função deve satisfazer a condição: 0 = f(0). O problema de ser dada uma equação diferencial com condições iniciais é chamado um problema de valor inicial.

5 Eemplo: Mostre que Ce é uma solução para a equação diferencial ' 0 e encontre a solução particular determinada pela condição inicial Ce Ce Ce ' ' 0 0 (0) Ce C, ( ) e Classificação das Equações Diferenciais de ª Ordem Equações nas quais as variáveis podem ser separadas; Equações homogêneas (todos os termos são do primeiro grau); Equações lineares (onde e são do primeiro grau). Todas as equações acima podem ser escritas na forma M(,)d + N(,) = 0, onde M(,) e N(,) são funções envolvendo as variáveis e. Para esse tipo de equação, pode-se juntar todos os termos contendo com d e todos os termos contendo com, obtendo-se uma solução através de integração. Tais equações são ditas separáveis, e o método de solução é o método de separação de variáveis. O método é descrito a seguir.. Equações Diferenciais Separáveis Coloque a equação na forma diferencial na forma M()d + N() = 0 ou M()d = - N() M ) d N( ) ( C. Eemplo 0 Reescreva a equação diferencial de primeiro grau ' 0 na forma da Equação d d 0 d ' 0 0 d Neste eemplo, M() = -/ e N() = /. Eemplo Determinar a solução geral da equação diferencial = 0.

6 6 d 0 d integrando d ln C ln ln C ln C 0 Eemplo Resolver a equação diferencial '. d d C d arctan arctan ln arctan C e C ke, onde k e C Eercícios: Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais. -. d 0 ln C -. d 0 C -5. d 0 ² ³ C -7. sec cos ecd 0 ² sen C -9. d e k -. d sen 6 d C -. cos 0 ln C -. e 0 d ke d -4. e e 0 arccos sen c -6. d 0 k d 0-8. arctan k e d 0-0. e C -. d arctan C -4. d e arctan C

7 7-5. e tg d e sec 0 ln e C d 4 ; ³ ³ e 0; 0 d ² ln ² 6-6. d 0 k -8. d =4 e -0. d e ; 0 4 ;. Equações Diferenciais Homogêneas Algumas equações que não são separáveis podem vir a sê-lo mediante uma mudança de variáveis. Isso funciona para equações da forma = f(,), onde f é uma função homogênia, e f pode ser escrita como uma função ' f, enão varia sesubstituirmos k e k d Eemplos: () f(,) = +5 f(k,k) =(k) (k)(k) +5(k) = k k +5k f(k,k) = k [ +5 ] = k f(,) função homogênea de grau dois. () f(,) = + + f(k,k) = (k) + (k) + k f(,) função não é homogênea. OBS: Muitas vezes uma função homogênea pode ser reconhecida eaminando o grau de cada termo. Eemplos: () f(,) = 6 A função é homogênea de grau quatro. diferentes. () f(,) = A função não é homogênea, pois os graus dos dois termos são.. Solução de equações diferenciais homogêneas

8 8 M(,)d + N(,) = 0 é chamada homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo grau. Para resolver uma equação diferencial homogênea pelo método de separação de variável, basta fazer a mudança de variáveis dada pelo Teorema a seguir. Teorema Mudança de Variáveis para Equações Homogêneas Se M(,)d + N(,) = 0 é homogênea, então ela pode ser transformada em uma equação diferencial cujas variáveis são separáveis pela mudança de variável =u onde u é uma função diferenciável de e /d =u + du/d. OBS: São válidas também as substituições = u e d=du + u. Eemplo: Resolva ( + )d + ( ) = 0 u e ud du d 0 u d uud du 0 u d u ud u du 0 u d u du 0 u d du 0 u u d du ln C u u ln u ln ln C ln C Eercícios Resolva a equação diferencial homogênea dada. -. ' C ² -. ' ² ² k -. ' ( ) k² -4. ' ² k ²

9 9-5. ' Ce / -7. e d e 0; 0 ln ² -9. d 0; arcsen ln -6. ' k² sec 0; 0-8. d e -0. d 0; 0 sen ln. Equações Diferenciais Eatas Embora a equação d + = 0 seja separável e homogênea, podemos ver que ela é também equivalente à diferencial do produto de e ; isto é d + = d() = 0, integrando = c. Se z = f(,) é uma função com derivadas parciais contínuas em uma região R do plano, então sua diferencial total é f f dz d f f E se f(,) = c, então d 0 () () Eemplo Se 5 + = c, então por () ( 5)d + ( ) = 0 ou. d 5 Note que a equação anterior não é separável nem homogênea. Uma equação diferencial M(,)d + N(,) é uma diferencial eata em uma região R do plano se ela corresponde à diferencial total de alguma função f(,). Isto é:

10 0 f (, ) M (, ) e f (, ) N(, ) ou d f (, ) f (, ) f (, ) d 0 f (, ) f (, ) 0 f (, ) c Eemplo A equação d + = 0 é eata, pois d( ) d ( ) d e ( ) d, se esomentese C Teorema Critério para uma Diferencial Eata Sejam M(, ) e N(, ) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região R definida a < < b, c < < d. Então, uma condição necessária e suficiente para que M(,)d + N(,)=0, seja uma diferencial eata é M N... Método de solução Dada a equação M(,)d + N(,) = 0 Mostre primeiro que M N. f Depois suponha que M, Integrando, considerando =cte, obtém-se:, (, ) f M d g, onde g() é a constante de integração. Derivando f(,) com relação a e supondo f/ = N(,) f (, ) M (, ) d g N, g = N, M (, ) d g = N, M (, ) d f, M (, ) d N, M (, ) d

11 Eecutando os cálculos acima chega-se a f(,) = c. Eemplo Resolva d + ( ) = 0. M, e N, E. D. eata Pelo teorema anterior, eiste uma função f,, tal que, M f, M, f, d g g f, g N, g g f C C N Eemplo 4 Resolva o problema de valor inicial d cos sen 0, 0, cos sen e, M N M N E. D. eata f, M, d N, M, d f, cos sen d cos sen d f, cos C cos C K (0) cos 0 0 K 4 K K 5 cos 5 cos 5 Eercícios. Verifique se a equação diferencial dada é eata e, se for, encontre sua solução geral. d 0 -. ² ² C 0 d ² 5 ² ² C -. e d e 0 e C cos d cos 0-4. sen C

12 4 6 d não é eata -7. ( d) 0 arctan C -9. ( d ) 0 não é eata d ln( ) 0; 4-4. ln ² 6-4. d ² ² 6 ( ) 0; d tan 5 sec 0; 0 0 ² tan e d e 0 não é eata ( ) -8. e ( d ) 0.e C -40. e e cos d tan 0 e sen C -4. d 5 ( ) 0; 4 e d -44. (sen cos ) 0; 0 e sen d ² 0;.. Fatores integrantes Algumas vezes, é possível converter uma equação diferencial não eata em uma equação eata multiplicando-a por uma função (,) chamada fator de integração. Porém, a equação eata resultante: (,)M(,)d + (,)N(,) = 0 Pode não ser equivalente à original no sentido de que a solução para uma é também a solução para a outra. A multiplicação pode ocasionar perdas ou ganhos de soluções. Eemplo Se a equação diferencial d + = 0 (Não é uma equação eata) for multiplicada pelo fator integrante (,) =, a equação resultante d + = 0 (Equação eata)

13 M N é eata, ou seja,. Pode ser difícil encontrar um fator integrante. No entanto, eistem duas classes de equações diferenciais cujos fatores integrantes podem ser encontrados de maneira rotineira - aquelas que possuem fatores integrantes que são funções que dependem apenas de ou apenas de. O Teorema a seguir, que enunciaremos sem demonstração, fornece um roteiro para encontrar esses dois tipos especiais de fatores integrantes. Teorema Fatores Integrantes Considere a equação diferencial M(,)d + N(,) = 0. N(, ). Se M, N, h fator integrante. é uma função só de, então h( ) d e é um M (, ). Se N, M, k fator integrante. é uma função só de, então k ( ) e é um Eemplo Encontre a solução geral da equação diferencial ( ) d + = 0. M N A equação dada não é eata, pois e 0. Entretanto, como M N h N(, ) 0 0 h,, Temos que h( ) d d e = e e obtemos a equação diferencial eata ( e e ) d + e = 0 cuja solução é obtida da seguinte maneira: é um fator integrante. Multiplicando a equação dada por e,

14 4 M, e e e N, e f, M, d N, M, d f, e e d e e e d f e e e, 0 Outra forma de encontrar o fator integrante é em E. D. na forma: M(,) =. f(,) e N(,) =. g(,), então,, N, M Eemplo Resolva. d d d 0, M N,, d 0 d 0 E. D. eata M, e N, M,, f, M, d N, M, d f ln C ln K ln K Eercícios Encontre o fator integrante que é função apenas de ou apenas de, e use-o para encontrar a solução geral da equação diferencial dada d - ( + 6 ) = 0 FI: /² (/) 6 = C -49. ( + )d - = 0 FI: /² (/) + 5 = C -48. ( )d + = 0 FI: /² (/) ² = C -50. d + ( - ) = 0 FI: e - e - (² - 5² - 0 0) = C -5. (5 - )d + = 0-5. ( + + )d + = 0

15 5 FI: cos sen + sen + cos = C FI: - ² ln = C -5. (5 )d + = 0 FI: (/) ln = C -55. ( + )d + tg = 0 FI: (/ ). + cos = C -54. d + ( sen ) = 0 FI: e e ( + ² ) = C -56. (- + )d + ( + ) = 0 FI: - - ³ + - (/ ²) = C 4 Equações Diferenciais Lineares de Primeira ordem Definimos a forma geral para uma equação diferencial linear de ordem n como, n n- d d n n- n 0 an a a a g( ). - d d d A linearidade significa que todos os coeficientes e todas as suas derivadas são elevadas à primeira potência. Quando n =, a equação linear é de primeira ordem: an a a0 g a d P Q( ) d ( ) ou são funções de somente e que Procuramos uma solução para a equação acima em um intervalo no qual as funções P() e Q() são contínuas. Rescrevendo na forma: ( ) 0 P Q d Podemos sempre encontrar uma função () para equações lineares, isto é: é uma equação diferencial eata. Neste caso: P Q( ) d 0

16 6 P Q( ) d d d d P ln P d P d e P d Portanto, () é um fator de integração para a equação linear. Note que não precisamos usar uma constante de integração pois a equação diferencial não se altera se multiplicarmos todos os temos por uma constante. Para () 0, é contínua e diferenciável. P Q( ) d Pd Pd Pd e e P Q( ) e d d P( ) d P( ) d d P( ) d P( ) d P( ) d mas e e e e P( ) e d d d d d e P( ) d Q e P( ) d e P( ) d Q e P( ) d d C portanto ( ). ( ) d Q( ) e d C e P( ) d P( ) d a Solução da ED linear de. ordem Esta solução pode ser obtida diretamente pelo método Método de Lagrange. Resolve-se a equação considerando Q()=0, e obtendo-se ()=Af(), com A=Cte. Depois, substitui-se A por uma função A() e resolve a equação completa, e então obtém-se o valor de A(). d d ( ) P ( ) 0 ( ) P d ln ( ) P d ln A ( ) Ae d A A( ) Pd d d Pd Pd d ( ) A( ) e ( ) A( ) e e A( ) d d d d Pd Pd d ( ) A( ) P e e A( ) d d Pd Pd d Pd A( ) P e e A( ) P A( ) e Q d d Pd Pd A ( ) Q e A ( ) Q e d C d Pd Pd ( ) Q e d C e P d

17 7 Eemplo : Encontre a solução geral de d. 6 4 e 4 4 d 5 5 e P( ) e Q( ) e Q( ) e d C e P( ) d P( ) d 4 P( ) d d ln e e e e d C e e C Pelo Método de Langrange ln 4 ln d 0 4 ln 4 ln ln A ln ln A A d A A( ); A A4 d da 4 da 4 d d A A e e A e d C e e C 4 e e C da d Eemplo : Um corpo de massa m, afunda em um fluido e sofre a resistência deste. Como as velocidades são pequenas, a resistência é proporcional à velocidade na forma f=bv. Determine a velocidade do corpo. Da segunda lei de Newton d d B F ma m v( t) P f mg Bv( t) v v g dt dt m B B P t Q( t) P t e Q( t) g P( t) dt t dt m m P( t) dt P( t) dt mg v( t) Q( t) e dt C e ge dt C e e C e B v(0) 0 velocidade inicial nula B t B t B t B t m m m m mg mg v(0) C 0 C B B mg B m v( t) e t B mg P Quando t, v( t) B B Eemplo Uma esfera de diâmetro D e massa m, com velocidade inicial de translação v0, é desacelerada pela ação do ar. Se a força de resistência do ar fr=cd v, onde C é uma constante e D refere-se a área de seção transversal da esfera em relação ao movimento. Calcule o comportamento da velocidade e do deslocamento da esfera.

18 8 d d CD F ma m v( t) fr CD v( t) v v 0 dt dt m CD CD Pt Q( t) P t e Q( t) 0 P( t) dt t dt m m CD P( t) dt P( t) dt t m ( ) ( ), (0) v t Q t e dt C e Ce v C v v() t v e CD m t 0 mv0 CD ( ) ( ) m t a trajetória é t v t dt E e E CD m mv0 CD (0) 0 E 0 ( ) C m t v t e D CD Eemplo Calcule a corrente elétrica que circula em um circuito composto por uma fonte V=V0 cos(wt), onde w é a frequencia angular, conectada em série com um resistor R e um capacitor C. q() t d E( t) Ri( t) 0, mas i q( t) C dt dq V0 V0 t q coswt P t e Q( t) cos wt P( t) dt dt RC R RC R q( t) cos wt e dt C e cos wt wsen wt C e t t t V0 e V t 0 R w R V0 t q( t) coswt wsen wt Ce A w w R V0 V0 q( t 0) 0 C q( t) Asen wt coswt e w R A R d V0 i( t) q( t) A cos wt Asen wt e dt A R Se a fonte não depender do tempo, w 0 e A 0 V0 t i( t) e e q( t) CV0 e R t t 0 t Eercícios Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais e d e Ce e d e Ce 4-. d 4 ³ C

19 d ³ 5 C² 4-5. d e ( ) e Ce 4-6. d e ( ) e C d e d d d ³ e C R : Ce 6 5d 4 d R : C 4-0. d; 0 + Ce ( ) d d tan sen ³ C d 4-. ² sen² C sec d 5 ² 5 5 C d 5 ² ln C² 4-5. d e ; 0 e e 4-6. d ; () ln C 4-7. cosec cot d sen 4-8. ( 4) d 4 R : 8 4 C 5 Equações Diferenciais Não-Lineares de Primeira ordem 5. Equações de Bernoulli A equação diferencial d ( n ) P ( ) Q ( ) ( ) d em que n é um número real qualquer, é uma equação não-linear, chamada de equação de n Bernoulli. Dividindo por (), obtém-se:

20 0 n n P Q d dw d dw d n n fazendo w n a ( n) Pw ( n) Q Equação linear de ordem n ( n) P d ( n) P d ( ) ( n) Q e d C e d Eemplo: resolva Comparando com d n P Q d verificamos que P ; Q e n. n ( n) P d ( n) P d ( ) ( n) Q e d C e P ln ln ln ( ) e d C e d C C ( ) C Eercícios Resolva a equação diferencial de Bernoulli dada. d = Ce = ke 5-. = e ² e Ce = 5 C = ( ) Ce ' ln ln C

21 6 Referências Bibliográficas BRONSON, R. Moderna Introdução às Equações Diferenciais. BOYCE, W.E.; DIPRIMA, R.C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. EDWARDS, C. H. Jr. e PENNEY, David E. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. GUIDORRIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de Cálculo (vol. ). ZILL, Dennis G. e CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais. (vol ) SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica (vol ) LARSON, Hostetler & Edwards. Cálculo com Geometria Analítica (vol ). STEWART, James. Cálculo (vol ). KREIDER, D.L. e Outros. Equações Diferenciais.