Resumo para Mecânica e Ondas (Hugo Serôdio, 2010) Não é permitido o uso destas folhas no exame.

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1 Resumo para Mecânica e Ondas (Hugo Serôdio, 2010) Não é permitido o uso destas folhas no exame. I. CINEMÁTICA DO PONTO MATERIAL Posição: r = x e x + y e y + z e z Velocidade média/instantânea: v m = r d r / v = t dt Aceleração média/instantânea: a m = v d v / a = t dt Movimento uniforme Movimento uniformemente variável Aceleração a = 0 a = a 0 = const Velocidade v v 0 = const v = v 0 + a 0 t Posição r = r 0 + v 0 t r = r 0 + v 0 t a 0 t 2 Aceleração Velocidade Posição Projéctil a duas dimenções (x,z) (a x, a z ) = (0, g) (v x, v z ) = (v 0 x, v 0 z) + (0, g) t (x, z) = (x 0, z 0 ) + (vx, 0 vz) 0 t + 1 (0, g) t2 2 A aceleração, velocidade e posição estão definidas na direcção de e x, e z. Temos assim a = a x e x + a z e z, v = v x e x + v z e z Movimento em coord. polares Movimento Circular r = r e r r = r e r, com r = const v = ṙ e r + r θ e θ a = ( r r θ ) 2 e r + ( 2ṙ θ ) + r θ e θ v = r θ e θ a = r θ 2 e r + r θ e θ Nota: no movimento circular como e z e r = e θ, temos que v = r θ e θ = r θ e z e r = ( θ ez ) (r e r ), temos assim v = ω r com ω = θ e z. No movimento circular a componente tangencial é a que aponta na direcção e θ (i.e. a θ = α r), a compontente radial é a que aponta na direcção e r (i.e. a r = ω ( ω r)). A aceleração radial é o mesmo que dizer aceleração centripeta. Em módulo a aceleração centripeta é a cp = ω 2 r = v2 r. 1

2 II. DINÂMICA DO PONTO MATERIAL A três leis de Newton: 1) Lei de inércia: Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha recta, a menos que seja forçado a mudar aquele estado por forças aplicadas sobre ele. 2) Lei da quantidade de movimento: A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida, e é produzida na direcção de linha recta na qual aquela força é imprimida. F = m a 3) Lei Acção/Reacção: A toda acção há sempre uma reação oposta e de igual intensidade, ou, as acções mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas a sentido oposto. Fi j = F j i Momento linear Forma geral Sistemas abertos p = m v d p dt = F ext d p dt = F ext + σ + u + σ u, com dm = σ dt + σ, ou ainda m d v dt = F ext + σ + ( u + v) σ ( u v) Onde σ +/ são as quantidade de massa por unidade de tempo que entram/saem do nosso sistema e u +/ são as velocidades de entrada/saída da massa no sistema. Uma situação muito comum é o movimento curvilíneo acelerado, nesse caso podemos escrever: F = m( ar + a θ ) = m (( r r θ ) ( 2 e r + 2ṙ θ ) + r θ e θ ). Para movimentos circulares ( (r = const) temos: F = m r θ ) 2 e r + r θ e θ = m ( ω ( ω r) + α r). Podemos assim escrever a força como: F = Ft + F c, onde F t é a componente tangencial e F c a componente radial (centrípeta). Nota: quando um corpo se encontra em movimento circular, alguma força (atrito, tensão, etc.) tem de estar a ser aplicada no corpo, a resultante da soma de todas as forças aplicadas no corpo na direcção radial é identificada como força centrípeta. F cp = macp onde a c = v2 r 2

3 Nota: Em referenciais inerciais não há força centrifuga (ou em geral forças ditas de inércia que só existem em referenciais não-inerciais, como por exemplo referenciais linearmente acelerados ou em rotação). Por outro lado força centrípeta é um adjectivo que designa uma força aplicada, NUM REFERENCIAL DE INÉRCIA OU NÃO, que aponta na direcção do centro de rotação. Como resolver problemas com ligações (Parte I): este tipo de problemas são muito comuns, como exemplo temos os exercícios de roldanas, etc. Aqui vamos assumir que quando existem roldanas estas não rodam (não contamos com o momento de inércia, para já). Os 5 passos para o sucesso: 1) separar cada uma das massas ligadas e desenhar as forças aplicadas. 2) escrever, para cada uma das massas, a equação vectorial das forças, i.e F T = i F i, com F i as forças aplicadas numa dada massa (tensão, peso, reacção normal, etc) 3) Decompor cada uma dessas equações nas componentes tangencial e radial (ou normal). 4) Usar para componente da força resultante a formula F = m a. Se o movimento de uma das massas for circular então na componente radial da força teremos a r = a c. 5) Identificar a relação que existe entre cada uma das acelerações, já que as massas estão ligadas as acelerações não vão ser independentes. Ter sempre atenção à definição dos eixos. 3

4 III. TRABALHO E ENERGIA/CONSERVAÇÃO DA ENERGIA Trabalho: quantidade que mede a eficiência que uma força aplicada num corpo para o deslocar ao longo de um caminho W = r f r i F.d r Onde r é o vector deslocamento. Energia: capacidade de mudar o sistema que nos rodeia, quer sobre a forma de trabalho ou outra. A quantidade fundamental é a variação da energia já que podemos sempre arbitrar o referencial zero do nosso sistema. Teorema Trabalho-Energia Forças conservativas Lei de Conseração da Energia W FT = E c = 1 2 mv2 f 1 2 mv2 i W FC = E c = E p 0 = E c + E p E i c + E i p = E f c + E f p Força conservativa: este tipo de forças derivam de um potencial, i.e. FC = U onde U designa a energia potencial e = / x e x + / y e y + / z e z. Exemplos de forças conservativas Grav. na Terra Grav. geral Hooke Força m g GMm r 2 e r k(x x 0 ) e x Potencial mgh GMm r 1 2 k(x x 0) 2 A energia potencial gravítica geral é definida como a energia necessária para trazer uma massa do infinito para a posição r. O rotacional de uma força consrvativa é zero, i.e. F C = 0. É o mesmo que dizer que o integral num caminho fechado é zero, i.e. F.d r = 0. Força não-conservativa: A energia mecânica é conservada se o trabalho das forças não conservativas for zero. Forças não-conservativas são por exemplo força de atrito, reacção normal, etc. 4

5 IV. GRAVITAÇÃO DE NEWTON Lei da Gravitação Universal: F = GMm e r 2 r, U = GMm r As 3 Leis de Kepler: 1) Órbitas: corpos sujeitos a uma força proporcional a 1/r 2 descrevem uma trajectória cónica (elipse, parábola ou hipérbole). 2) Lei das Áreas: a área varrida numa órbita de um planeta por unidade de tempo é constante. d A dt = 1 2µ L 0 com µ = Mm M+m. 3) Relação entre o semi-eixo maior da órbita elíptica de um planeta e o seu período: T 2 = 4π2 GM a3. onde a = r max+r min 2 é o semi-eixo maior e b = r max r min o semi-eixo menor. 5

6 V. CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR/COLISÕES Centro de massa: este conceito aparece quando temos mais de que uma partícula pontual no sistema. Por definição F CM F T = i F i. Ou seja ( i m i) a CM = i m i a i, temos assim Aceleração do CM a CM = Velocidade do CM v CM = Posição do CM r CM = i m i a i i m i i m i v i i m i i m i r i i m i Fórmula = m 1 a 1 + m 2 a m 1 + m = m 1 v 1 + m 2 v m 1 + m = m 1 r 1 + m 2 r m 1 + m r CM e v CM são determinados por integração de a CM. O movimento de um sistema de N particulas pode ser reduzido ao movimento de uma partícula de massa total M = i m i posicionada no centro de massa do sistema. Num sistema de N partículas podem existir forças interiores e exteriores. As interiores são por definição forças que pertecem ao par acção reacção, i.e. para uma força interior existe sempre outra de igual intensidade e sentido oposto. Temos assim que a soma de todas as forças interiores é zero. Logo as forças que são relevantes para a determinação do movimento do sistema são as forças exteriores, estas podem ser conservativas ou não. Quando i F i ext = 0 = a CM = 0, o que implica que o sistema se move com velocidade constante, i.e. v CM = const = p i = p f. (Conservação do momento linear) Colisões: p t = F T ext p = F T ext t para t 0 temos p = 0. Colisões elásticas: existe conservação da energia cinética exactamente antes e depois da colisão, i.e. E i c = E f c. Os corpos que colidem seguem separados, com velocidades diferentes. Colisões inelásticas: não existe conservação da energia cinética exactamente antes e depois da colisão, i.e. E i c E f c. Os corpos seguem juntos, isto leva a que tenha sido gasta energia para os colar, essa energia apareceria na energia mecânica E m. É esta energia dispendida que faz com que a energia cinética não se conserve. 6

7 NOTA: EM COLISÕES EXISTEM SITUAÇÕES EM QUE DEVEMOS USAR A CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR!!! (ver mais à frente) VI. MOMENTO ANGULAR E MOMENTO DE FORÇAS. CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR. Para que um corpo esteja em repouso (equilibrio estático) não condição suficiente que i F i = 0, isto apenas indica que o sistema não executa nenhuma translacção. No entanto pode ter rotação. Para estudar sistemas com rotação é necessário introduzir duas novas quantidades o momento de forças e o momento angular. Translações Rotações Momento p = m v Lp = r p p Lei do movimento F d p = M p F dt = d L p dt Energia Cinética E c = 1 2 mv2 E c = 1I 2 pω 2 = 1mV 2 2 CM + 1I 2 CMω 2 Tal como vimos i F i = 0 = p = 0, também temos para o caso de rotações i M i F = 0 = L = 0. Dado que L p = r p m v = m r p ( ω r) = mr 2 p ω, podemos identificar I p = mr 2 p como o momento de inércia para uma partícula pontual. No caso do objecto ser constituído por mais que uma partícula temos que somar sobre todas as massa de forma contínua (logo integral), temos assim I p = d 2 p dm onde d p designa a distância ao eixo de rotação passando por P. Podemos assim escrever Onde se assumiu que I p (momento Momento Angular Momento de Forças L p = I p ω ou L = r p p M p F = r p F de inércia) não depende do tempo. A utilização de uma das duas formulas para o momento angular e momento de forças irá depender do problema em questão. M p F = r p F é útil para o cálculo do momento que cada força individualmente exerce. No momento angular L p = I p ω é útil quando o objecto não é pontual e L p = r p p é mais útil para objectos pontuais. 7

8 Como calcular o momento de inércia de um corpo: Vamos fazer o cálculo mais simples, uma barra homogénea a uma dimensão: I p = l 2 dm com λ = m/l = dm = λdl = b L a L l 2 λ dl = λ b L a L l 2 dl = 1 3 λ l3 b L a L = 1 3 λl3 (b 3 + a 3 ) usando o facto que no nosso caso λ = M/L = 1 3 ML2 (b 3 + a 3 ) Vamos supor que o eixo de rotação da barra está numa extremidade, logo os extremos de integração são (0, L), i.e. a = 0, b = 1. Temos assim I p = 1 3 ML2. Vamos supor agora que o eixo de rotação está no centro da barra, logo os extremos de integração são ( L/2, L/2), i.e. a = 1/2, b = 1/2. Temos assim que nesse caso I p = 1 12 ML2. Para qualquer outro caso é só ver quais os extremos de integração. Teorema dos eixos paralelos: este teorema permite-nos calcular o momento de inércia de um sólido rígido relativo a um eixo de rotação que passa por um ponto P, quando conhecemos o momento de inércia relativo a um eixo paralelo ao anterior e que passa pelo centro de massas e a distância entre os eixos. I P = I CM + MRCM P 2 Como resolver problemas com ligações (Parte II): Aqui vamos assumir que quando existem roldanas estas rodam. Os 5 passos para o sucesso: 1) o mesmo, mas agora tendo em conta a roldana. 2) o mesmo, mas agora escrevendo também a equação do momento de forças para a roldana M FT = MFi. 3) o mesmo. 4) o mesmo, mas agora usar também M FT = I α. 5) o mesmo. 8

9 VII. ONDAS E OSCILAÇÕES HARMÓNICAS Equação de Ondas: 2 ϕ x 1 2 ϕ 2 v 2 t = 0 2 A solução geral da equação de ondas é ϕ(x vt), que corresponde a um efeito que se propaga no sentido positivo do eixo dos XX. A função ϕ(x + vt) é igualmente solução da equação de ondas, mas descreve uma onda que se move no sentido negativo do eixo dos XX. Em grande parte dos casos estas ondas como são periódicas são descritas por ϕ(x, t) = A sin(kx ωt + α) A soma de duas funções de ondas, ϕ 1 (x, t) e ϕ 2 (x, t), tembém é solução da equação de ondas. Temos assim: (sin a + sin b = 2 sin( a+b a b ) cos( ) 2 2 Interferência construtiva: ϕ 1 (x, t) = A sin(kx ωt), ϕ 2 (x, t) = A sin(kx ωt+α). Temos assim ϕ(x, t) = ϕ 1 (x, t) + ϕ 2 (x, t) = 2A cos α 2 sin (kx ωt + α/2) Interferência destrutiva:ϕ 1 (x, t) = A sin(kx ωt), ϕ 2 (x, t) = A sin(kx ωt+π) = ϕ 1 (x, t). Logo ϕ(x, t) = ϕ 1 (x, t) + ϕ 2 (x, t) = 0 Ondas estacionárias:ϕ 1 (x, t) = A sin(kx ωt), ϕ 2 (x, t) = A sin(kx + ωt). Temos ϕ(x, t) = ϕ 1 (x, t) + ϕ 2 (x, t) = 2A sin kx cos wt freq. ângular freq. harmónica n. de onda ω = 2π/T f = 1/T k = 2π/λ comp. de onda vel. de fase vel. de grupo λ v = λf = ω/k v g = w k Relação de dispersão: ω = kv. 9

10 Efeito de dopler não relativista: Quando uma fonte emisora de um sinal ou o receptor do sinal está em movimento, a frequência medida pelo receptor é diferente a frequência própria (medida no referencial do emissor). Temos assim: f = V S±v o V S ±v f f 0. Onde V S é a velocidade do som, v f a velocidade da fonte e v o a velocidade do observador. Se o observador se estiver a aproximar da fonte o sinal é + no numerador ( se se estiver a afastar). Se a fonte se estiver a afastar o sinal é + no numerador ( se se estiver a aproximar). A frequência medida pelo observador é f, a própria é f 0. Simples Amortecido Forçado Equação ẍ + ω0x 2 = 0 ẍ + 2λẋ + ω0x 2 = 0 ẍ + 2λẋ + ω0x 2 = f(t) ( ) Solução x(t) = A cos(ω 0 t + δ) x(t) = Ae λt cos ω 2 0 λ 2 t + δ x(t) = Ae i(ωt+φ) Onde no caso do oscilador forçado temos f(t) = f 0 cos(ωt), A(ω) = e tan φ(ω) = 2λω ω 2 0 ω2. f 0 (ω0 2 ω2 ) 2 +4λ 2 ω 2 A equação do oscilador amortecido aparece quando temos no sistema forças de atrito que amortecem o movimento. Em todos estes casos a variavel x(t) representa {x(t), y(t), θ(t), etc}. VIII. RELATIVIDADE RESTRITA Os dois postulados: 1) Princípio da Relatividade: as leis das Física são as mesmas em todos os referenciais inerciais (i.e. referenciais com velocidade constante). 2) A constância da velodidade da luz: a velocidade da luz tem o mesmo valor em todos os referenciais inerciais, independentemente da velocidade do observador ou da fonte. 10

11 Contracção do espaço: L = 1 v2 L c 2 0 = L 0 γ Dilatação do tempo: t = t 0 = γt 0 1 v2 c 2 Adição de velocidades: u x = u x v 1 v u x, u x velocidade em relação ao referencial c 2 S (parado), u x velocidade em relação ao referencial S (em movimento) e v é a velocidade de S (que se afasta de S). Energia Total: E = γm 0 c 2 = m 0c 2 ou E 2 = p 2 c 2 + m 2 0c 4 1 v2 c 2 Energia de repouso: E 0 = m 0 c 2 Energia cinética: E c = E E 0 = γm 0 c 2 m 0 c 2 = (γ 1)m 0 c 2 Momento linear: p = γm 0 v 11