Mecânica e Ondas. Docentes da disciplina: João Seixas e Mário Pinheiro MeMEC Department of Physics and Institute for Plasma and Nuclear Fusion,

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1 Mecânica e Ondas Série 3 Docentes da disciplina: João Seixas e Mário Pinheiro MeMEC Department of Physics and Institute for Plasma and Nuclear Fusion, Instituto Superior Técnico, Av. & Lisboa, Portugal Phone: (Dated: March 18, 2009) Rovisco Pais, I. DINÂMICA DO MOVIMENTO CIRCULAR 1) Considere uma partícula deslocando-se com velocidade v descrevendo um círculo de raio R. Dê o valor da aceleração centrípeta. No caso de a sua massa ser m, dê o módulo e direção da força centrípeta. (Solução: a c = v 2 /R, F c = ma c dirigida para o centro O.) 2) Movimento num círculo vertical (Fig. 1). Uma bola descreve uma trajectória vertical em torno de um ponto O. O seu movimento é circular, mas não é uniforme (Porquê?). A sua rapidez aumenta quando desce e diminui quando sobe. Portanto, v varia continuamente ao longo da sua trajectória. a) Quais são as componentes da aceleração da bola? (Sol: a = g sin θ, a = (T mg cos θ)/m) b) Quais as forças a que a bola se encontra submetida? (Resolvido parcialmente na alínea a) c) Calcule a expressão literal da tensão da corda. (Sol: T = m(v 2 /R + g cos θ)) d) Determine o valor da tensão da corda no ponto mais baixo, θ = 0, mais alto θ = 180 o. O que sucede quando a velocidade atinge o valor crítico v c = Rg? (Sol: T(θ = 0 = m(v 2 /R + g), porque a aceleração é radial; T (θ = 180 o ) = m(v 2 /R g); quando v = v c, T = 0) FIG. 1: Forças que actuam num corpo volteando num plano circular vertical. Electronic address: mpinheiro@ist.utl.pt versão 1.1

2 2 FIG. 2: Viatura descreve uma curva em forma de laço ( loop ). FIG. 3: Pêndulo circular. 3) Uma viatura descreve uma curva ( loop ) tal como mostra a Fig. 2. a) Um piloto dentro da viatura execute um movimento vertical na curva em forma de laço com velocidade constante v o. Calcule a força aparente que o piloto sente quando atinge o ponto mais alto e o ponto mais baixo da trajectória (i.e., calcule o peso aparente). (Sol: No ponto mais baixo é N mg = mv 2 o/r, donde N = 3.29mg; no ponto mais alto N + mg = mv 2 o/r N = 1.29mg 4) Pêndulo cónico (Fig. 3). Um objecto colocado no extremo de uma corda de comprimento l e massa total m, descreve o movimento circular no plano horizontal de raio R e com velocidade v. a) Assuma que o período de revolução é T. Calcule T em função de θ. (Sol. T = 2π cos θ) 5) Uma partícula de massa m é largada sem velocidade inicial de um ponto P situado a uma altura h = 4R e desliza sem atrito ao longo de uma pista contida no plano vertical constituída pela curva P A, o loop ABCA de raio R e a recta horizontal AD, como se pode ver na Fig. 4. Determine: a) A velocidade nos pontos A, B e C; (Sol: v A = 8gR, v B = 6gR, v C = 4gR). b) A reação normal nos mesmos pontos; (Sol: N A = 9mg, N B = 6mg, N C = 3mg) c) A altura mínima com que a partícula deve ser largada para que o loop seja realizado com sucesso. (Sol: h min = 5R/2) 6) Sabendo que a lei da atração universal entre duas massas pontuais, M e m, distanciadas de r é dada por: Mm F = G u r 2 r L g

3 3 FIG. 4: Loop a) Mostre que para pequenos deslocamentos junto da superfície da Terra se tem para o potencial gravítico: V = mgh, onde h é a distância de um ponto à superfície da Terra e g = GMT/RT 2 é a aceleração da gravidade, também à superfície da Terra; b) Calcule a diferença entre o potencial gravítico aproximado e o exacto a m de altitude. 7) Considere um planeta de raio R, que supomos sem rotação em torno do seu eixo e sem atmosfera. a) Determine a velocidade mínima para que um corpo à sua superfície se possa libertar da sua atração (velocidade de escape). Calcule o seu valor para o caso da Terra; (Sol: v T esc = m/s) b) Suponha que um satélite descreve uma órbita de raio R. Qual o acréscimo de velocidade que se deve comunicar ao satélite para que este se liberte da atração do planeta? (Sol: v = 0.29v esc ) 8) Um satélite descreve uma órbita circular junto da superfície da Terra. Mostre que a sua velocidade é dada por v = R T g, onde R T é o raio da Terra e g = GM/R 2 T. 9) Pretende-se colocar um satélite em órbita circular geo-estacionária em torno da Terra. a) Qual, ou quais, são os planos possíveis para o realizar? (Sol: deve estar sobre o Equador) b) Determine o raio dessa óorbita; (Sol: r = m) c) Determine a velocidade do satélite nessa órbita. (v = m/s) 10) Um projéctil é lançado da superfície da Terra para a Lua. A distância da Terra à Lua é dada por d T L = m. a) Determine a velocidade de escape do projéctil à superfície da Terra e no ponto mais próximo da Lua. Verifique que é superior à situação em que não é considerado o potencial da Lua; b) Não considerando o movimento orbital da Lua, qual é a velocidade mínima de impacto do projéctil na superfície da Lua? 11) A órbita (de grande excentricidade) de um asteróide extende-se desde a órbita da Terra até à de Júpiter, tocando apenas em ambas. Considerando as órbitas dos dois planetas como circunferências de raios 1 UA = km e 5.2 UA, respectivamente, e sabendo que a massa do sol é M S = kg, a) Determine o período da órbita do asteróide; b) Calcule as velocidades máxima e mínima do asteróide no seu movimento de translação. 12) Sabendo que aceleração da gravidade à superfície da Terra é igual a 9.9 m/s 2, a distância da Terra à Lua é d = km, o raio da Terra é de R T = km e que o período de revolução da Lua em volta da Terra é de T Lua = dias, mostre que a intensidade do campo gravítico é inversamente proporcional ao quadrado da distância. 13) Para cada uma das energias potenciais que se seguem, encontre a expressão da força associada:

4 4 FIG. 5: Calha circular de raio R disposta verticalmente. a) V (x, y) = x sin x y + y cos y x ; b) V (x, y, z) = 1 2 k(x2 + y 2 + z 2 ). 14) Verifique quais das forças que se seguem são conservativas e encontre as energias potenciais correspondentes (a e b são constantes): a) F = a(x b) e x ; b) F = [ a r ; c) F = (ax + by 2 ) e x + (az + 2bxy) e y + (ay + bz 2 ) e z. 15) Uma partícula de massa m percorre o troço AB de uma calha circular de raio R disposta verticalmente, conforme mostra a Fig. 5. a) Calcule, a partir da definição, o trabalho realizado pelo peso da partícula durante o trajecto AB e verifique que iguala a variação da energia potencial gravítica. b) Calcule o trabalho de uma força constante de módulo F b e sempre tangente à calha no mesmo trajecto AB. 16) Numa partícula de massa m = 1 kg actua uma força dada por F = (4x 3 + 2xy 2 ) e x 2x 2 y e y. a) Mostre que a força é conservativa; b) Determine a energia potencial V (x, y) associada a esta força, escolhendo para referência o potencial na origem, isto é, V (0, 0) = 0; c) Verifique explicitamente que a energia potencial derivada na alínea anterior corresponde à força, F ; d) Determine o módulo da velocidade da partícula na origem, sabendo que ela é largada, sem velocidade inicial, no ponto (1, 0). 17) Um campo de forças é dado por: F = kyz sin(kxy) e x + kxz sin(kxy) e y cos(kxy) e z. a) Calcule o rotacional da força para verificar se ela é conservativa; b) Se a energia potencial de referência em (0, 0, 0) for zero, calcule a energia potencial no ponto (1, 1, 1). Utilize um caminho conveniente qualquer. 18) Considere a seguinte força: F = k(x z) 2 ( e x e z ).

5 5 a) Mostre que a forç é conservativa; b) Determine a energia potencial, V (r); c) Calcule o gradiente da energia potencial e relacione-o com a força. 19) Um campo de forças é dado por: F = (x ay) e x + (3y 2x) e y. a) Calcule o rotacional da força e verifique para que valores da constante a a força é conservativa; b) Determine para esses valores a funçãao potencial;