Formulário de Mecânica e Ondas MeMEC e LEAN Mário J. Pinheiro Para consulta no Teste e Exame

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1 1 Formulário de Mecânica e Ondas MeMEC e LEAN Mário J. Pinheiro Para consulta no Teste e Exame Constantes Físicas Fundamentais: Velocidade da luz, c m.s 1 Constante da aceleração da gravidade, g m/s Constante da Gravitação G = N.m /kg Massa da Terra kg Raio equatorial da Terra 6378, 1366 km Massa do Sol 1, kg Raio do Sol km Parsec 3, m Ano-luz 9, m Å 10 8 cm = m Velocidade do som no ar 331 m/s Mecânica rapidez média = l t rapidez instantânea lim t 0 [ l t ] = dl velocidade média v = s t velocidade instantânea = lim t 0 [ s t = d s Movimento relativo dum objecto A dum ref. R R v AR = v AR + v R R Para qualquer vector A, B e C = A + B, verifica-se A x = A cos θ A y = A sin θ C = Cx + Cy θ = arctan Cy C x Movimento rectilíneo uniformemente acelerado v = v 0 + at v av = 1 (v 0 + v) s = 1 (v 0 + v)t s = v o t + 1 at v = v0 + as y(t) = y o + v o t + 1 at Vel. coordenadas polares v (t) = ṙ u r + r θ u θ Acel. coordenadas polares a (t) = ( r r θ ) u r + (ṙ θ + r θ) u θ Velocidade do foguetão v f (t) = v i + v e ln mi m f Empuxo do foguetão T = v e dm Delta-v v = v e ln( mi m f ) ]

2 Aceleração média a med = v f v i t f t i Aceleração instantânea v a = lim t 0 Momento linear, p p = m v 1 a Lei de Newton Lei da Inércia a Lei de Newton (eq. fundamental da dinâmica) F = d p 3 a Lei de Newton (lei da ação-reação) F1 = F 1 Impulso p f p i = t f t i F (t) Aceleração centrípeta a c = v r t = d v Força máxima de atrito estático = µ s F N Superfícies em movimento relativo F f = µ k F N Momento externo τ ext = [ r F ext ] Trabalho realizado no deslocamento dum ponto material W = F.d r Acção, S S = t f t i L(r, ṙ, t) Princípio da mínima acção δs = 0 Equações de Euler-Lagrange (q i, coordenada generalizada i = 1,...N) L q i d L q i = 0 Movimento Relativo de Rotação uniforme: Momento angular Momento das foras externas L = r p τ = r F F max a Lei fundamental Momento angular em torno dum eixo fixo = τ L = I ω Energia cinética E c = 1 Iω = L I Energia cinética no movimento plano dum sólido E c = Icω Aceleração (referencial em rotação) a = a + ω v + ω ( ω r) Velocidade (ref. em rotação) v = v + ω r Aceleração efectiva da gravidade g = g 0 ω ( ω r) Teorema de Huygens-Steiner I A = I o + ma Centro de Percussão, r = r c + r c r c r c = Ic m Movimento plano de um sólido: Movimento de translação Movimento de rotação Condição de não deslizamento d L m a c = F ext I c θz = τ cz a cx = R θ z Equaçã fundamental da dinâmica rotacional τ = d L L = I ω τ = I α Forças centrais Lei universal da gravitação Aceleração da gravidade na superície terrestre F G = G mm r g 0 = GM R Energia potencial gravítica U = Gmm r Eq. da energia para um movimento 1-dim radial E = 1 µv r + L µr + U(r) Energia gravitacional de uma esfera U = 3 GM 5 R Leis de Kepler: 1 Os planetas movem-se em órbitas elípticas com o Sol num dos seus focos; A linha que une o Sol a um planeta varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais; 3 O rácio da distância média ao Sol ao cubo sobre o período ao quadrado é constante para todos os planetas: r3 T = C.

3 3 Fenómenos ondulatórios Mov. oscilatório amortecido 1 0 mov. aperiódico r = A exp(α 1 t) + B exp(α t) 0 mov. aperiódico crítico r = ( At + B) exp( λt) 3 0 mov.oscilatório amortecido r = ( A cos(ωt) + B sin(ωt)) exp( λt) m d r + b d r + k r = 0 Decremento logarítmico δ = λt Método da energia (período das oscilações) T = m a a 1 dx E V (x) Pêndulo simples (θ 1) E = 1 ml θ + 1 mglθ Frequência pêndulo simples f 0 = 1 g π l Frequência aproximada no mov. não-linear ω ω 0 ( θ 0) En. cinética média no MHS < E c >= 1 4 mω 0A En. potencial média no MHS < U >= 1 4 mω 0A Constante de amortecimento viscoso b Const. crítica de amortecimento viscoso, b c b c = mω n Taxa de amortecimento γ = b m Frequência natural de oscilação (massa-mola) ω n = Freq. resonância oscilador amortecido ω d = ω n 1 ( b b c ) Dissipação da energia E(t) = E 0 e γt Factor de mérito π Q = ( E/E) ciclo Oscilações forçadas (sol. part.) x(t) = x o (ω) cos(ωt + δ) k m ωn γ (γ ω n) f o (k mω ) +(bω) Amplitude oscilações x o (ω) = Freq. resonância oscilador forçado ω res = ωn b m = ω n 1 ( b b c ) Ângulo de fase δ(ω) = arctan bω Velocidade das oscilações v o (ω) = m(ω ωn ) fo k ωω n (ω n ω ) +ω γ Amplitude de oscilação x o (ω) = [1 ( ω ωn ) ] +[( b bc )( ω ωn )] Impedância mecânica-massa, mola, amort. (ı 1) Z(ω) = b + ı(mω k ω ) Factor de amplificação, FA F A = xo F 0/k f = 1 o/k (1 ( ω ωn ) ) +( b bc ω ωn ) bω f o m (ωn ω ) +(bω) Potência média P = 1 Largura a meia-altura, ( ω) 1/ γ = ( ω) 1/ = ω (onde ω ω ω n ) Factor de mérito (ou factor-q) Q = ωn ( ω) 1/ Impedância, Z Z = F orce velocity Adaptação de impedância (entre meio 1 e meio ) Z 1 = Z Impedância mec. da massa Z massa = ıωm Impedância mec. da mola Impedância mec. do amortecedor Z mola = ık ω Z amort = b

4 4 Velocidade de fase, v v = λf 1 Equação das ondas φ c t c = Velocidade do som v = Velocidade de propagação da onda numa corda vibrante v = = φ x dp dρ γp ρ T µ Velocidade de grupo v = dω dk Modos normais f n = ωn π = n v L (n = 1,,...) Amplitude da onda de pressão p 0 = ρωvs 0 Intensidade da onda I = 1 ρω s 0v (W/m ) Potência da onda P = IA (W)

5 5 Relatividade: Transformações de Lorentz x x= +V t y = y z= z t= t +(V/c )x Contracção dos comprimentos L = L 0 1 ( V t Dilatação do tempo t = Energia e momento relativista E (pc) = (m 0 c ) E m 0c p m 1 ( 0 v V Defeito de massa M = i m i M Energia de ligação E = c M