SEQUÊNCIA DIDÁTICA PODCAST ÁREA MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO

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Manuel Figueira Alves
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1 SEQUÊNCIA DIDÁTICA PODCAST ÁREA MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO Título do Podcast Área Segmento Duração Progressão Aritmética Matemática Ensino médio 5min03seg Habilidades: H15. Relacionar padrões e regularidades a uma sequência numérica. H16. Resolver problemas que envolvam as progressões aritméticas/geométricas. Tempo Estimado: 30 minutos Materiais e recursos necessários: Podcast Progressão Aritmética. Conteúdos: Sequência e Progressão Aritmética Desenvolvimento: Caro aluno, Antes que você inicie essa sequência didática, sugerimos que seja realizada a audição do Podcast Progressão Aritmética. Você encontrará o podcast no seguinte endereço: Portal EJA: Assim que você estiver na página inicial do Portal EJA, realize um dos caminhos descritos a seguir para ter acesso ao podcast. Portal EJA> Biblioteca digital > Matemática > Podcast > Ensino Médio > Podcast Progressão Aritmética

2 Caro aluno, Durante à audição do podcast, é muito provável que você tenha observado que antes de falar de Progressão Aritmética (PA), falamos de sequência. Afinal, precisamos entender as sequências para que possamos trabalhar com a PA. Vamos voltar a sequência que representa os anos de realização dos jogos Olímpicos, para tanto, neste momento, vamos falar apenas do período que se iniciou no século XIX. Temos então: 1896, 1900, 1904, ) Considerando o ano de 1896 como o primeiro termo da sequência, qual será o décimo termo? 2) Como você chegou ao décimo termo da sequência?

3 Vamos observar quais foram os anos de realização dos jogos até chegar em , 1900, 1904, 1908, 1912, 1916, 1920, 1924, 1928, 1932,... 3) Porque essa sequência, apresentada anteriormente, pode ser identificada como uma PA? Os termos de uma progressão aritmética, neste caso, os anos de realização das olimpíadas, podem ser identificados da seguinte maneira: a1 = 1896 a2 = 1900 a3 = 1904 a4 = 1908 a5 = 1912 a6 = 1916 a7 = 1920 a8 = 1924 a9 = 1928 a10 = 1932 an =... Observe, que cada termo da sequência foi identificado como a n, onde n representa a posição do termo. Nesta PA, podemos ainda fazer a seguinte observação: a2 = a3 = a4 = a5 = a10 = ) A partir dessas observações, tente descobrir qual será o 20º termo? Sabemos que o valor 4 é a razão dessa PA, como já mencionado no podcast. Para encontrar a razão de uma progressão aritmética, basta verificar qual é a diferença entre um termo qualquer e o anterior a ele, por exemplo:

4 Verificando a diferença entre os termos a2 e a3 temos: = 4. Assim, confirmamos que a razão é o valor 4. A razão é um importante elemento que utilizamos para encontrar um termo qualquer da sequência. Mas, você observou que, além de utilizarmos a razão, para encontrar um termo qualquer da sequência, também multiplicamos a razão pelo termo que antecede o termo que queremos e ao resultado somamos o valor do primeiro termo? Pois é, podemos dizer que o valor de um termo qualquer de uma PA pode ser determinado a partir da seguinte expressão: Essa expressão é an = a1 + ( n -1).R chamada de fórmula do termo geral de uma PA. n é o termo que desejamos calcular, por exemplo, se desejamos saber o valor do 30º termo, n é igual a 30, R é a razão e a1 é o primeiro termo da PA, neste caso, é igual a Logo, a expressão ficará: a30 = ( 30-1).4 Resolveremos então a expressão. a30 = ( 30-1).4 a30 = a30 = a30 = 2012 Nesse caso, 2012 representa o ano que ocorreu a 30ª Olimpíada, após seu início no século XIX. 5) (ENEM 2011) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas passagens; em fevereiro, ; em março, Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado? a) b) c) d) e)

5 Vamos agora analisar uma progressão aritmética decrescente. 6) Considere que o primeiro termo de uma PA. vale 21, o segundo termo vale 18 e o terceiro termo vale 15. Qual é a razão dessa progressão aritmética? 7) Qual será o 10º termo dessa PA? 8) Em uma festa de música popular brasileira, realizada para um pequeno grupo de pessoas, ao entrar, cada convidado recebia um número. Esse número deveria ser guardado e ao final do evento foi realizado o sorteio de uma coletânea das bandas que tocaram. Sabendo-se que o número que cada convidado recebeu seguiu a sequência apresentada abaixo e que o número sorteado foi o 11º termo dessa sequência, qual número tinha a pessoa que recebeu a coletânea? Sequência dos números fornecidos aos convidados: 69, 65, 61, 57,... Obs.: Veja que o primeiro termo da sequência é o número 69, ele representa o número que o primeiro convidado recebeu. O segundo termo da sequência é o número 65, ele representa o número que o segundo candidato recebeu, e os demais convidados foram recebendo um determinado número de acordo com a formação da sequência apresentada.

6 9) Observe a sequência de números: 21, 21,21,21,21,21,21 a) Qual é a diferença entre um termo qualquer e seu antecedente? b) Você identificaria essa sequência como uma PA.? Indicações: Caro aluno, Para que você possa explorar um pouco mais seu conhecimento sobre as progressões aritméticas, utilize os materiais disponíveis no Portal EJA. Para tanto, sugerimos que você consulte o Mapa Curricular seguindo o caminho descrito abaixo. Portal EJA ( > Área do aluno> Mapa Curricular > Ensino Médio > Matemática >Progressão Aritmética O conteúdo de Progressões Aritméticas é abordado no seu livro didático nas seguintes aulas: Aula 33 Progressões Aritméticas Aula 34 Somando os termos de uma progressão aritmética Caso você tenha dificuldades para encontrar os materiais disponíveis no Portal EJA, peça ajuda ao seu monitor.

7 Bons estudos! 1. O décimo termo será o ano de Gabarito Comentado: 2. Para se chegar ao décimo termo é preciso observar que, na sequência apresentada, entre um número e seu antecessor, a diferença é de 4 unidades. Portanto, para se chegar ao décimo termo, basta somar o número 4 a cada novo termo. 3. Uma sequência pode ser identificada como uma PA., quando cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante. Na sequência apresentada, observamos a existência dessa característica, logo podemos chamá-la de Progressão Geométrica. 4. De acordo com as observações feitas, conclui-se que o 20º termo pode ser calculado da seguinte forma: a20 = a20 = a20 = Para se saber quantas passagens foram vendidas em julho observe que: Em janeiro foram vendidas , em fevereiro e em março Conforme mencionado no exercício, há um padrão de crescimento e, nesse caso, é possível concluir cada mês o aumento foi de passagens, acompanhe: = = Logo, entendemos que a situação representa uma PA, e, para saber a quantidade de passagens que foi vendida em julho, faremos o uso da fórmula do termo geral de uma PA. an = a1 + ( n -1).R Neste caso, an é o mês de julho, e portanto, o 7º termo dessa progressão. Pois o exercício indica o acompanhamento das vendas a partir de janeiro. a1 = (quantidade de passagens vendidas em janeiro)

8 R = (razão) n = 7 ( mês de julho, 7º termo) a7 = ( 7-1) a7 = a7 = a7 = Para se saber qual é a razão, primeiro vamos visualizar a sequência: 21, 18, Agora, vamos verificar qual é a diferença entre o segundo termo e o anterior a ele = - 3 Faremos o mesmo para o segundo e o terceiro termo = - 3 Portanto, a razão é o número Para se calcular o décimo elemento, vamos utilizar a seguinte expressão: an = a1 + ( n -1).R n = 10 a1 = 21 R = - 3 a7 = 21 + ( 10-1). (- 3) a7 = (- 3) a7 = a7 = Para se saber qual é número da pessoa que recebeu a coletânea, primeiro precisamos observar que a sequência representa uma PA. decrescente. Portanto, é necessário descobrir qual é a razão dessa progressão para que possamos calcular o 11º termo. Acompanhe: = - 4 Veja que a diferença entre o segundo o primeiro termo é igual a -4. Ou seja, - 4 é a razão.

9 Vamos então ao cálculo do 11º termo. an = a1 + ( n -1).R n = 11 a1 = 69 R = - 4 a 11 = 69 + ( 11-1).(-4) a 11 = (-4) a 11 = a 11 = 29 Concluímos, então, que o convidado que ganhou a coletânea recebeu na entrada o número a) A diferença é igual a zero. b) Sim, podemos identificar como uma PA., pois cada termo, a partir do segundo, é a soma do termo anterior com uma constante (razão). Nesse caso, a razão é zero. Obs.: Em uma progressão aritmética, quando a razão é igual a zero, dizemos que ela é constante.

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