Transcrição

1 01/06/015 MATEMÁTICA PROFESSOR: CRISTIANO JORGE PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) 1

2 01/06/015 Sequência ou sucessão: A palavra seqüência sugere a ideia de termos sucessivos e pode ser finita ou infinita. Toda sequência pressupõe determinada ordem entre seus elementos. Representação Formal: (a 1, a, a 3,..., a n-1, a n ) a 1 : primeiro termo a : segundo termo... a n : enésimo termo, com n N* Sequência finita: (a 1, a, a 3,..., a n ) Ex: (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19) Sequência infinita: (a 1, a, a 3,..., a n ) Ex: (3, 5, 7, 11, 13, 17,...) Termo geral de uma sequência O termo geral de uma sequência permite determinar qualquer elemento a n da sequência, conhecendo-se apenas sua posição n na sequência. Exemplo: Escreva os quatro primeiros termos das sequências dadas pelos termos gerais, sendo n Є N*. a) a n = 3n 1 Para n = 1, temos: a 1 = = Para n =, temos: a = 3. 1 = 5 Para n = 3, temos: a 3 = = 8 Para n = 4, temos: a 4 = = 11 Conclusão: (, 5, 8, 11) b) a n = n - 3 Para n = 1, temos: a 1 =.1 3 = -1 Para n =, temos: a =. 3 = 1 Para n = 3, temos: a 3 =.3 3 = 3 Para n = 4, temos: a 4 =.4 3 = 5 Conclusão: (-1, 1, 3, 5)

3 01/06/015 Progressão Aritmética (PA) É toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido pela adição do anterior a uma constante r, chamada razão da progressão. Para calcular essa razão basta calcular a diferença entre qualquer termo pelo seu antecessor. Exemplos: 1) (1, 3, 5, 7, 9) r = 3-1 = ) (-3, -7, -11, ) r = -11 (-7) = -4 3) (9, 9, 9, 9) r = 9 9 = 0 Classificação de uma PA 1º Caso: Crescente r > 0 Ex: (, 7, 1, ) r = 5 º Caso: Decrescente r < 0 Ex: (9, 4, -1, ) r = -5 3º Caso: Constante r = 0 Ex: (3, 3, 3, ) r = 0 3

4 01/06/015 Termo geral de uma PA Descrevendo alguns termos de uma PA, podemos obter a fórmula do termo geral. 1º termo a 1 = a 1 + 0r a n = a 1 + (n 1).r, onde: º termo a = a 1 + 1r 3º termo a 3 = a 1 + r 4º termo a 4 = a 1 + 3r.. nº termo a n = a 1 + (n 1)r Exemplos a 1 : primeiro termo r: razão 1) Determine o vigésimo termo da PA (1, 8, 15, ). a 1 = 1 a n = a 1 + (n 1).r r = 7 a n = 1 + (0 1).7 n = 0 a n = a n =? a n = 134 n: número de termos a n : termo geral (último termo) ) Determine o número de termos da PA ( -6, -9, -1,, -66). a 1 = -6 a n = a 1 + (n 1).r a n = = -6 + (n 1).(-3) r = = -6-3n + 3 n =? n = 1 4

5 01/06/015 EXERCÍCIOS 1) Durante quinze dias observou-se o crescimento do caule de uma semente germinada. No primeiro dia sua altura era de 10 mm e no último, de 80 mm. Qual foi seu crescimento diário, sabendo-se que esse valor foi constante? GABARITO: 5 mm ) Uma avenida tem 4000 m de extensão e vai receber em seu canteiro central o plantio de palmeiras imperiais. A distância entre as mudas deverá ser de 15 m, a primeira planta vai ficar a 10 m do início da avenida e a última no final da avenida. Quantas palmeiras serão plantadas? GABARITO: 67 palmeiras 5

6 01/06/015 3) Um corpo, caindo livremente, percorre 4,9 m durante o 1º segundo; no segundo seguinte, percorre 14,7 m; no 3º segundo, 4,5 m. Continuando assim, quanto percorrerá no 11º segundo? GABARITO: 10,9 m Interpolação Aritmética Seja a sequência (a 1, a, a 3,, a n ), os termos a 1 e a n, são chamados extremos, e os demais são chamados meios. Na PA (, 5, 8, 11, 14, 17), temos: extremos: e 17 meios: 5, 8, 11 e 14 Ex: Interpole sete meios aritméticos entre os números 1 e 17. Podemos observar que a PA, possui 9 termos, pois são 7 (meios) + (extremos), fazendo: a 1 = 1 a n = a 1 + (n 1).r como r =, logo: a n = = 1 + (9 1).r PA (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17) n = 9 r = OBS: Em casos de interpolação, devemos descobrir a r =? razão, pois assim, perceberemos a construção da PA. 6

7 Não é possível apresentar esta imagem de momento. 01/06/015 Propriedades de uma PA 1ª) A soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma PA finita é igual à soma dos extremos. Ex: (3, 7, 11, 15, 19, 3, 7, 31) = = = 34 ª) Considerando-se três termos consecutivos de uma PA, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois. Ex: (1, 5, 9, 13, 17, 1, 5) 5 = = 13 1 Exemplos 1) Encontre o termo desconhecido em cada caso: a) (56, x, 70) x = x = 63 b) (y, 8, 1) y 1 8 = y = 15 c) (3, 1, z) 1 = 3 z z = 1 7

8 01/06/015 Soma dos termos de uma PA S n = ( a 1 a ). n n, onde: a 1 : primeiro termo a n : último termo n: número de termos S n : Soma dos termos Exemplos 1) Calcular a soma dos dez primeiros termos da PA (4, 7, 10, ) a 1 = 4 a n = a 1 + (n 1).r S n = ( a 1 a ). n n S n = 175 r = 3 a n = 4 + (10 1).3 n = 10 a n = 31 S n =? ( 4 31).10 a n =? S n = ) Qual é a soma dos cinquenta primeiros números ímpares? PA ( 1, 3, 5, ) ( a a 1 = 1 a n = a 1 + (n 1).r S n = 1 a ). n n n = 50 a n = 1 + (50 1). S n = 500 r = a n = 99 S n =? ( 1 99).50 a n =? S n = 8

9 01/06/015 EXERCÍCIOS 1) Qual é a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 11 e 100? GABARITO: 1665 ) A família de João é composta de 10 pessoas sucedendo-se com anos de intervalo. Sabendo-se que o mais velho tem o dobro da idade do mais novo, calcule a soma das idades dos componentes dessa família. GABARITO: 70 ANOS 9