GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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1 Hewlett-Packard GRANDEZAS PROPORCIONAIS Aulas 01 a 03 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

2 Sumário GRANDEZAS... 1 O QUE É UMA GRANDEZA?... 1 PRELIMINAR PRELIMINAR GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS (GDP)... 1 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS (GIP) DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS VARIÁVEL PROPORCIONAL A VÁRIAS OUTRAS

3 AULA 01 GRANDEZAS O QUE É UMA GRANDEZA? Entenderemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido. Exemplos: Distância, velocidade, comprimento,... PRELIMINAR 1 Considere as grandezas a seguir. X: quantidade, em gramas, de comida Y: valor pago pela comida Sabendo-se que por 100g de comida são pagos 4 reais e que por 200g de comida são pagos 8 reais, responda: a) Quanto se paga por 1kg de comida? b) Ao se calcular a razão dos valores associados c) Ao se calcular o produto dos valores associados PRELIMINAR 2 Considere as grandezas a seguir. X: módulo da velocidade, em km/h, de uma pessoa Y: tempo de deslocamento da pessoa Sabendo-se que a 5 km/h a pessoa percorre um trajeto em 2h e que a 10 km/h ela o percorre em 1h, responda: a) Em quanto tempo ela percorrerá o trajeto a uma velocidade de 20 km/h? b) Ao se calcular a razão dos valores associados c) Ao se calcular o produto dos valores associados Considere uma grandeza X, com medidas x 1, x 2, x 3, positivas e uma grandeza Y, com medidas y 1, y 2, y 3,, também positivas. Tais que X Y x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x n GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS (GDP) Diremos que uma grandeza Y é DIRETAMENTE PROPORCIONAL a uma grandeza X, se A RAZÃO de medidas correspondentes de Y para X for CONSTANTE. Simbolicamente, podemos ter y x = k, y n com k R + Aplicando-se na tabela acima, tem-se y 1 x 1 = y 2 x 2 = = k Obs.1: Uma vez escrita essa sequência de igualdades, basta escolher duas partes convenientes e resolver a equação montada. Obs.2: Note que, cada y é encontrado multiplicandose cada x pelo valor de k. CUIDADO com pensamentos simplistas!! Note que não se trata apenas de quando um aumenta o outro também aumenta, mas sim de quando uma grandeza é multiplicada por um número, então a outra também é multiplicada pelo mesmo número! Reflita: Nos primeiros anos de vida, é normal que a altura de uma pessoa aumente à medida que sua idade aumenta. Mas não há proporcionalidade, nesse caso. Ou seja, as grandezas IDADE (anos) e ALTURA (em metros) não são GDP, mesmo uma aumentando enquanto a outra também aumenta. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1

4 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS (GIP) Diremos que uma grandeza X é INVERSAMENTE PROPORCIONAL a uma grandeza Y, se O PRODUTO de medidas correspondentes de X e Y for CONSTANTE. Simbolicamente, podemos ter x y = k, com k R + Aplicando-se na tabela da página anterior, tem-se x 1 y 1 = x 2 y 2 = = k Obs.3: Uma vez escrita essa sequência de igualdades, basta escolher duas partes convenientes e resolver a equação montada. Obs.4: Note que, cada y é encontrado dividindo-se o valor de k pelo seu respectivo x. CUIDADO com pensamentos simplistas!! DE NOVO! Note que não se trata apenas de quando um aumenta o outro diminui, mas sim de quando uma grandeza é multiplicada por um número, a outra grandeza é multiplicada pelo inverso desse número. Por exemplo, se uma triplica, a outra vai a 1/ Duas grandezas Y e X são diretamente proporcionais e suas medidas estão relacionadas conforme tabela abaixo Y 2 4 b 8 d X a c 108 Determine os valores de a, b, c e d Na tabela abaixo, temos as medidas de duas grandezas Y e X que são inversamente proporcionais. Y a c X 15 b 10,8 9 Determine a, b e c 1.3. As grandezas X e Y são inversamente proporcionais e têm suas medidas relacionadas conforme tabela a seguir, em que a b c d 0 X a b c d Y Determine os menores valores naturais de a, b, c e d. TAREFA 1 Unid. 1 Cap. 3: Ler da página 14 à 20. Dê atenção às Observações 1 e 2, ao tópico 3.6 e aos exercícios resolvidos 13, 14 e 15. Fazer: PSA 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 34 e 35. Desafio: PSA 20 AULA 02 DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS MAIS PARA APLICAÇÃO DO QUE PARA MATÉRIA NOVA O que veremos a seguir são algumas aplicações clássicas nas quais utilizamos os conhecimentos sobre Grandezas Diretamente e/ou Inversamente Proporcionais. Ou seja, você não está aprendendo uma matéria nova, está aprendendo como utilizar a matéria da aula anterior em algumas situações Divida o número 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e Paulo, Ana e Luís formaram uma sociedade e investiram, respectivamente, R$ 2.500,00, R$ 3.500,00 e R$ 4.000,00 num fundo de investimentos. Ao final de um ano, a aplicação estava com um saldo de R$ ,00. Se os três investidores resgatarem somente o rendimento e o dividirem em partes diretamente proporcionais aos valores investidos, de quanto será a diferença positiva entre os valores recebidos por Ana e Paulo? Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2

5 2.3. Divida o número 1260 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e As prefeituras das cidades A, B e C construíram uma ponte sobre o rio próximo a estas cidades. A ponte fica a uma distância de 10 km de A, 12 km de B e 18 km de C. O custo da construção, R$ 7.095,00, foi dividido em partes inversamente proporcionais às distâncias das cidades à ponte. Qual foi o gasto que coube à prefeitura da cidade A? TAREFA 2 Unid. 1 Cap. 3: Ler o tópico 3.8 (p.23), o Exercício 18, o tópico 3.9 e o Exercício 19. Além disso, fazer os PSA 26 e 27. GABARITO 1.1. a = 18; b = 6; c = 72; d = a = 18; b = 13,5; c = a = 20; b = 30; c = 25; d = a = 36; b = 54; c = R$ 250, a = 600; b = 360; c = R$ , dias ,25 dias = 6 dias e 3 horas (de trabalho) NOVAMENTE, NÃO É MATÉRIA NOVA! Lembra da tal Regra de três composta? Então, mais uma vez, o que faremos na próxima aula é mostrar como um bom domínio da parte de Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais faz com que você não precise decorar novas regras para fazer esse tipo de questão. AULA 03 VARIÁVEL PROPORCIONAL A VÁRIAS OUTRAS 3.1. Para alimentar 15 vacas durante 11 dias são necessários kg de milho. Retirando-se 7 vacas, em quanto tempo serão consumidos kg? 3.2. Quinze operários furam uma vala de 80 m de comprimento em 10 dias trabalhando 8 horas por dia. Quantos dias serão necessários para que 32 operários furem outra vala de 100 m de comprimento, trabalhando 12 horas por dia e cuja dificuldade seja 3 5 maior? TAREFA 3 Unid. 1 Cap. 3: Ler os Exercícios 20, 21, 22, 23, 24 e 25. Além disso, fazer os PSA 37, 38 e 43. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 3