ÂNGULOS e PARALELISMO

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1 Hewlett-Packard e PARALELISMO Aulas 01 e 02 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

2 Sumário... 1 DEFINIÇÃO DE ÂNGULO... 1 CONGRUENTES ( )... 1 MEDIDA DE ÂNGULO... 1 SUBDIVISÕES DO GRAU... 1 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 1 CLASSIFICAÇÃO DOS... 2 CLASSIFICAÇÃO QUANTO ÀS MEDIDAS... 2 RELAÇÕES ENTRE DOIS... 2 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 2 FORMADOS POR 2 RETAS CONCORRENTES... 2 BISSETRIZ DE UM ÂNGULO... 3 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 3 PARALELISMO... 4 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 5 GABARITO... 5

3 AULA 01 DEFINIÇÃO DE ÂNGULO Ângulo é, por definição, a união de duas semirretas de mesma origem. Essas semirretas são denominadas lados do ângulo e a origem comum é denominada vértice do ângulo. MEDIDA DE ÂNGULO Um ângulo que tem medida igual a 1 90 do ângulo reto, será adotado como unidade de medida dos ângulos e sua medida será chamada de 1 (um grau). SUBDIVISÕES DO GRAU 1 (um grau) pode ser dividido em: Minuto ( ) Cada grau equivale a 60 minutos. 1 = 60 ou 1 = ( 1 60 ) Segundo ( ) Cada minuto equivale a 60 segundos. O ângulo acima tem lados OA e OC, vértice O e é denominado ângulo AÔC. Obs.1: Dois ângulos são chamados de adjacentes se têm apenas um lado em comum e suas regiões interiores são disjuntas. Obs.2: Um ponto pertencente ao mesmo plano que contém um ângulo pode pertencer ao ângulo, à sua região interior ou à sua região exterior. Veja: 1 = 60 ou 1 = ( 1 60 ) ou ainda 1 = 3600 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Determine o valor da expressão a seguir: Operações com ângulos CONGRUENTES ( ) Dois ângulos que têm a mesma abertura são denominados ângulos congruentes. Para somar e subtrair ângulos, basta você entender que 1) Você deve operar grau com grau, minutos com minutos e segundos com segundos. 2) Quando, na parte dos segundos ou dos minutos, aparece um número maior do que 60, você deve retirar quantos agrupamentos de 60 forem possíveis, convertendo-os na unidade à esquerda. 3) Quando devemos subtrair um valor de outro menor que ele, devemos trocar 1 unidade a esquerda por 60 unidades a mais à direita. Obs.3: Dois ângulos congruentes têm a mesma medida. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1

4 CLASSIFICAÇÃO DOS CLASSIFICAÇÃO QUANTO ÀS MEDIDAS Ângulo agudo Um ângulo de medida x é agudo, se: 0 < x < 90 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.2. A soma da quarta parte da medida do complemento de um ângulo com o quádruplo da medida desse ângulo é igual à medida do suplemento desse ângulo subtraída de 15. Determine, em graus, a medida desse ângulo. Ângulo obtuso Um ângulo de medida x é obtuso, se: 90 < x < 180 RELAÇÕES ENTRE DOIS Ângulos Complementares Dois ângulos de medidas x e y, em graus, são complementares se x + y = 90. Ângulos Suplementares Dois ângulos de medidas x e y, em graus, são suplementares se x + y = 180. Obs.2: Nos problemas a serem resolvidos, é muito importante que você entenda como definir a medida do complementar e do suplementar de um ângulo. Veja alguns exemplos, em que FORMADOS POR 2 RETAS CONCORRENTES Ângulos Opostos Pelo Vértice (O.P.V.) Os pares de ângulos que são opostos pelo vértice são congruentes, enquanto os pares de ângulos adjacentes são suplementares. Na figura, temos: Opostos Pelo Vértice: AO B CO D e AO D BO C. a medida de um ângulo x o triplo da medida β de um ângulo 3β a quinta parte da medida y de um ângulo y 5 Pares de ângulos suplementares: AO B e BO C BO C e CO D CO D e AO D DO A e AO B Medida da referência (em graus) Medida do seu complementar (em graus) Medida do seu suplementar (em graus) x 90 x 180 x 3β 90 3β 180 3β y 5 90 y y 5 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2

5 BISSETRIZ DE UM ÂNGULO A bissetriz de um ângulo é, por definição, a semirreta de origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois ângulos adjacentes e congruentes. med(bâe) + med(eâc) = med(bâc) med(bâe) = med(eâc) = 1 2 med(bâc) EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.3. Qual é a medida do ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes, cujas medidas somam o suplemento de 80? 1.4. Considere 3 semirretas, todas partindo do mesmo ponto P num certo plano, formando 3 ângulos adjacentes, os quais a união das regiões internas são o próprio plano e cujas medidas são diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5. Determine o valor absoluto da diferença entre as medidas do maior e do menor ângulo. TAREFA 2 Unid. 3, Cap.8: Fazer os PSA 1 a 6 e TSC 1. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 3

6 AULA 02 PARALELISMO Quando duas retas coplanares r e s são cortadas por uma transversal t, são formados 8 ângulos, como ilustrado na figura a seguir. CORRESPONDENTES INTERNOS ALTERNOS EXTERNOS INTERNOS COLATERAIS EXTERNOS Se r//s, tem-se: (CONGRUENTES) (CONGRUENTES) (SUPLEMENTARES) QUADRO RESUMO Figura 1 Observe a imagem a seguir. Sobre as medidas dos ângulos Note que, na figura, com r//s, todos os ângulos agudos são congruentes entre si, assim como todos os ângulos obtusos também são congruentes entre si. Dessa forma, temos que se nos forem dados as medidas de dois ângulos agudos, basta igualá-las. O mesmo vale se as medidas forem de dois ângulos obtusos. E, caso, conheçamos a medida de um dos ângulos agudos e de um dos ângulos obtusos, basta soma-las e igualá-las a Você verá, a seguir, como podemos nomear e classificar alguns pares de ângulos. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 4

7 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. Duas retas paralelas, cortadas por uma transversal, formam quatro ângulos obtusos cuja soma de suas medidas é 480. Calcule a medida de um dos ângulos agudos Duas retas paralelas intersectadas por uma transversal formam ângulos alternos internos cujas medidas, em graus, são iguais a 3x + 15 e 5x 15. Determine a medida de um dos ângulos obtusos formados por essas retas Na figura a seguir, tem-se r//s e t//u. Além disso, B, D e E pertencem a r; C, G e H pertencem a s; e A, D, F e H pertencem a v. GABARITO B Dado que as medidas x, y e z dos ângulos AD B, BC G e EF H, em graus, são iguais a 3α 20, 5α e 100, respectivamente, tem-se que α é igual a A) 10. B) 20. C) 30. D) 40. E) Na figura a seguir, considere r//s e as medidas dos ângulos apresentados. Determine x. TAREFA 2 Unid. 3, Cap.8: Fazer os PSA 7 a 16. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 5