Ângulos nos triângulos Teorema angular de Tales: a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º. a a + b + c = 180º

Transcrição

1 RANILDO LOPES

2 Ângulos nos triângulos Teorema angular de Tales: a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º. b a c a + b + c = 180º Teorema do ângulo externo: em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é sempre igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes a ele. a x = a + b b c x

3 PRIMEIRA PARTE O paralelismo de retas RESUMO DA TEORIA

4 1. Sabendo que duas retas m e n são cortadas por uma transversal t, e que t forma com m um ângulo de 100º e com n um ângulo de 41º, vamos determinar as medidas dos oito ângulos formados pelas retas m, n e t. t 100º b d e a c 41º f m n

5 2. Na figura abaixo, onde r // s, calcule os valores de x, y e z. y 125º r x 45º z s

6 2. Na figura abaixo, onde r // s, calcule os valores de x, y e z. y 125º r x 45º z s Resolução: y = 45º (correspondentes) x = y x = 45º(opostos pelo vértice) z + 125º = 180º (suplementares) z =55º

7 3. Determine as medidas dos ângulos assinalados formados pelas paralelas e a transversal. a + 50º 3a

8 3. Determine as medidas dos ângulos assinalados formados pelas paralelas e a transversal. Resolução: 3a a + 50º a + 50º = 3a (Alternos externos) a - 3a = -50º -2a = -50º a = 25º a + 50º = 75º 3a = 75º

9 4. Sendo r//s, determine o valor de x: 30º r x 35º s

10 4. Sendo r//s, determine o valor de x: 30º r x 35º s Traçamos uma reta auxiliar paralela a r e s. Observe que x fica dividido em dois ângulos de medidas 30º e 35º, pois são ângulos correspondentes. Portanto x = 30º + 35º = 65º.

11 SEGUNDA PARTE Os ângulos nos triângulos O teorema do ângulo externo

12 6. No triângulo abaixo, que relação podemos estabelecer entre: a) x e y? z b) y e z? y c) x e z? x x x

13 6. No triângulo abaixo, que relação podemos estabelecer entre: a) x e y? 2x + y = 180º z b) y e z? y y + z = 180º c) x e z? x x z = 2x

14 TERCEIRA PARTE Classificação de ângulos

15 1. O dobro do complemento, somado com a metade do suplemento de um ângulo é igual a 70º. Quanto mede esse ângulo? (A) 70º (B) 80º (C) 86º Resposta: ( )

16 1. O dobro do complemento, somado com a metade do suplemento de um ângulo é igual a 70º. Quanto mede esse ângulo? (A) 70º Sendo x a medida do ângulo, (B) 80º Seu complemento será :90º x (C) 86º Seu suplemento será :180º x Equacionando, teremos: 180º x 2(90º x) 2 70º

17 1. O dobro do complemento, somado com a metade do suplemento de um ângulo é igual a 70º. Quanto mede esse ângulo? Sendo x a medida do ângulo, Seu complemento será :90º x Seu suplemento será :180º x Equacionando, teremos: 180º x 2(90º x) 70º 2 MMC 4(90º x) (180º x) 140º 360º 4x 5x 400º 5x 400º x 80º 180º x 140º Resposta: (B) 80º

18 2. Calcule o valor de x na figura. 70º x 30º Solução: 70º + x + 30º = 180º x = 180º 70º 30º x = 80º

19 3. A medida de um ângulo é igual à metade da medida do seu suplemento. Quanto mede esse ângulo? Solução: x é a medida do ângulo 180º x representa o seu suplemento Equação: x = ½(180º x) Resolvendo: 2x = 180º x 3x = 180º x = 60º Resposta: o ângulo mede 60º.

20 4. A soma entre os dois terços da medida do complemento de um ângulo e a metade da medida do seu suplemento é 115º. Quanto mede esse ângulo? º 4x 90º x 180º x 90º x 180º x 7x 7x x 690º 540º 360º 210º 30º º 3x 115º 690º 690º 6 Resposta: o ângulo mede 30º.

21 5. Dois ângulos são complementares e a diferença de suas medidas é 16º. Quanto mede cada um desses ângulos? 1º modo: osângulos são x e (90º - x). Logo : x - (90º - x) 16º 2x 106º x 53º e (90º - y) 37º y 37º Resposta: 53º e 37º. 2º modo: Os ângulos são x e y. x y 90º Logo (pois são complementares) x y 16º Pelo método da adição, temos que 2x 106º x 53º y 37º

22 6. As medidas de dois ângulos complementares são diretamente proporcionais aos números 3 e 2. Calcule as medidas desses ângulos. x 3 Vamos resolver usando equação: 90º x 2 ( cruz credo) 2x 5x x x 270º 3x 270º 270º 5 54º e (90º x) Resposta54º e 36º. 36º

23 7. As bissetrizes de dois ângulos adjacentes formam um ângulo de 25º. Um desses ângulos mede 20º. Quanto mede o outro ângulo? 15º 15º 10º 10º Resposta: o outro ângulo mede 30º.

24 8. Dois ângulos suplementares são tais que o dobro do menor é igual ao maior aumentado de 30º. Quais as medidas desses ângulos? Vamos resolver recorrendo a um sistema: x y 180º 2x y 30º 2 180º y y 360º 2y 3y 330º y 110º x 180º 110º x 70º y 30º x 180º y 2x y 30º 30º Resposta: o maior mede 110º e o menor, 70º.

25 9. Qual o complemento do ângulo de medida 72,25º? Temos que: 72,25º = 72º + 0,25º 72,25º = 72º + 0,25x60 72,25º = 72º15 Então, o seu complemento é dado por 90º - 72º15 Mas 90º = 80º60 Vem, que o complemento é igual a 89º60-72º15, que resulta em 17º45. Resposta: o complemento de 72,25º é 17º45.

26 10. As medidas de dois ângulos suplementares são inversamente proporcionais a 3 e 2. Calcule as medidas desses ângulos. Montaremos um sistema de equações: x y 180º 3x 2y y 180º x 3x 3x 5x 360º y 108º 2(180º x) 360º 2x x 72º y 180º 72º Resposta: 72º e 108º.

27 1) OPERAÇÃO COM ÂNGULOS 38 o o o o º º 15 15

28 2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS Ângulo agudo: 90º Ângulo reto: = 90º Ângulo obtuso: > 90º Ângulo raso: = 180º

29 2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS Ângulo nulo: (lados coincidentes) = 0 o Ângulo de 1 volta: Ângulos adjacentes: Ângulos consecutivos: = 360 o Mesmo vértice e um lado comum entre os lados não comuns Mesmo vértice e, dois a dois, um lado comum.

30 2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS Ângulos complementares: + = 90º Ângulos suplementares: + = 180º Ângulos replementares: + = 360º

31 3) ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL. t c b d a r g f h e s Correspondentes: a e e; d e h; b e f; c e g. Opostos pelo vértice: a e c; b e d; e e g; f e h. Alternos internos: d e f; c e e. Alternos externos: a e g; b e h. Colaterais internos: d e e; c e f. Colaterais externos: a e h; b e g.

32 Questão 3: (UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo. Este ângulo mede: a) 45 º b) 48 o 30 c) 56 o 15 d) 60 o e) 78 o 45 Solução: O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo. 1 3.(90 x).(180 x) x.(180 x) x 180 x 8x x o 45 ' x º 8 6º 78º 360º

33 Questão 13: (UF-ES) Se as retas r e s da figura abaixo são paralelas então 3 + vale: a) 225 o b) 195 o c) 215 o d) e) 185 0

34 Questão 13: Solução: = 45º = 60º 15º 30º o º 60º 60º

35 2. POLÍGONOS 3) NÚMERO DE DIAGONAIS n o de diagonais determinadas a partir de 1 vértice: (n 3) n o de diagonais de um polígono c/ n lados: d n.( n 3) 2

36 Questão 4: (ESAF/2006) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a: a) 11 b)12 c)10 d) 15 d)18 O número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Diagonais a partir de um dos vértices: (n 3) Diagonais de um hexágono: d d d n.( n 3) 2 6.(6 3) 2 9 Então: n 3 = 9 n = 12

37 Questão 8: Na figura seguinte, o valor de é: a) 90 o b) 95 o c) 100 o d) 110 o e) 120 o Solução: 75º 110º