Não sou o melhor, sei disso, mas faço o melhor que posso!! RANILDO LOPES
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- Antônio Andrade de Santarém
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1 Lógica Matemática e Computacional Não sou o melhor, sei disso, mas faço o melhor que posso!! RANILDO LOPES
2 2. Conceitos Preliminares 2.1. Sentença, Verdade e Proposição
3 Cálculo Proposicional Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática temos o CÁLCULO PROPOSICIONAL ou CÁLCULO SENTENCIAL ou ainda CÁLCULO DAS SENTENÇAS. CONCEITO DE PROPOSIÇÃO Sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa. A lua é quadrada. A neve é branca. Matemática é uma ciência.. 3 < 4. = 3,14. 1 é primo. Zero é par
4 Sentença e Proposição A lógica formal pode representar as afirmações que fazemos em linguagem cotidiana para apresentar fatos ou transmitir informações. Uma proposição (ou declaração) é uma sentença que é falsa ou verdadeira. Considere as seguintes sentenças: (a) Dez é menor do que sete. (b) Como está você? (c) Ela é muito talentosa. É uma proposição, já que é falsa. Não pode ser considerada falsa ou verdadeira, não é proposição. Não é uma proposição. Ela não está especificada, não é falsa nem verdadeira. (d) Existe vida em outros planetas do universo. É proposição. Não é preciso sermos capazes de decidir qual das alternativas é válida.
5 Consideração inicial A lógica analisa os argumentos em vista de sua validade, não de sua veracidade. Ex: Se todo homem dessa sala é candidato à engenheiro e se todo candidato a engenheiro é bonito então todo homem dessa sala é bonito. Ex: Pedro é um sujeito mais bonito que o Brad Pitt e o Marcelo Anthony juntos. O time das Pererecas Felizes vai ganhar o torneio de Handball da Faculdade. Essa frase é falsa.
6 Proposição Exemplo: Foi detectado que alguns prefeitos não moram nos municípios onde trabalham. O governo federal criou então o município de Pizzalândia e nele só podem morar os prefeitos que não moram em seus municípios. Onde mora o prefeito de Pizzalândia?
7 Cálculo Proposicional TERMO (Palavra) Definição: Definição de um objeto. Exemplo: Paula Um filme de terror Triângulo retângulo
8 PROPOSIÇÃO Definição Todo o conjunto de termos ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Exemplo: Todo homem é mortal. A Lua é um satélite da Terra. sen /2 = cos /2
9 PROPOSIÇÃO Definição PROPOSIÇÃO As PROPOSIÇÕES transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes.
10 PROPOSIÇÃO Definição A linguagem NATURAL permite vários tipos de proposições: DECLARATIVA: Meu carro é azul. INTERROGATIVA: EXCLAMATIVA: Está frio? Que lindo! IMPERATIVA: Cale a boca.
11 PROPOSIÇÃO Definição CÁLCULO PROPOSICIONAL: Permite apenas as proposições DECLARATIVAS.
12 Exercício Quais das frases a seguir são proposições declarativas? A lua é feita de queijo verde. Ele é, certamente, um homem alto. Dois é um número primo. O jogo vai acabar logo? Os juros vão subir ano que vem. Os juros vão descer ano que vem. x 2 4 = 0.
13 Exercício Quais das frases a seguir são proposições? A lua é feita de queijo verde. Ele é, certamente, um homem alto. Dois é um número primo. O jogo vai acabar logo? Os juros vão subir ano que vem. Os juros vão descer ano que vem. x 2 4 = 0.
14 PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS A Lógica Matemática adota como regras fundamentais do pensamento os 2 princípios: I - PRINCÍPIO (Axioma) DA NÃO CONTRADIÇÃO. II - PRINCÍPIO (Axioma) DO TERCEIRO EXCLUÍDO.
15 PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS I - PRINCÍPIO (Axioma) DA NÃO CONTRADIÇÃO: Uma proposição NÃO pode ser FALSA e VERDADEIRA ao mesmo tempo. O Brasil é pentacampeão de futebol. O Brasil possui pena de morte. Verdade (V) Falso (F)
16 PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS II - PRINCÍPIO (Axioma) DO TERCEIRO EXCLUÍDO: Toda proposição ou é Verdadeira ou Falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. LÓGICA BIVALENTE
17 VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO O Valor Lógico de uma PROPOSIÇÃO é: VERDADE se esta for VERDADEIRA; FALSIDADE se a PROPOSIÇÃO for FALSA.
18 VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO Assim, o que os princípios da não contradição e o do terceiro excluido afirmam é que: Toda proposição tem um, e um só, dos valores V, F.
19 Qual é Valor Lógico (V ou F) das proposições a seguir? O número 17 é primo. ( V ) Fortaleza é a capital do Maranhão. ( F ) TIRADENTES morreu afogado. ( F ) (3 + 5) 2 = ( F ) O valor archimediano de é 22/7. ( V ) -1 < -7. ( F ) 0, é uma dízima periódica simples. ( V ) As diagonais de um paralelogramo são iguais. ( F ) Todo polígono regular convexo é inscritível. ( V ) O hexaedro regular tem 8 arestas. ( F )
20 Qual é Valor Lógico (V ou F) das proposições a seguir? A expressão n 2 n + 41 (n N) só produz números primos. ( F ) Todo número divisível por 5 termina por 5. ( F ) O produto de dois números ímpares é um número ímpar. ( V ) sen 2 30º + sen 2 60º = 2. ( F ) (2n 1) 2 = n 2. ( V ) As raízes da equação x 3-1 = 0 são todas reais. ( V ) O número 125 é cubo perfeito. ( V ) 0, 4 e -4 são raízes da equação x 3-16x = 0. ( V ) O cubo é um poliedro regular. ( V ) tg /4 < tg /6. ( F )
21 PROPOSIÇÕES SIMPLES OU ATÔMICAS PROPOSIÇÃO SIMPLES (ÁTOMOS) Proposição NÃO contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesmo. Minha casa é grande. Seus olhos são azuis. Está calor.
22 PROPOSIÇÕES SIMPLES OU ATÔMICAS PROPOSIÇÃO SIMPLES (ÁTOMOS) São designadas pelas letras latinas minúsculas p,q,r,s,..., chamadas letras proposicionais. p: Minha casa é grande. q: Seus olhos são azuis. r: Está calor.
23 PROPOSIÇÕES COMPOSTAS OU MOLECULARES PROPOSIÇAO COMPOSTA (MOLÉCULAS) Formada pela combinação de 2 ou mais PROPOSIÇÕES. Minha casa é grande e meu carro é azul. Seus olhos são azuis ou verdes. Se está calor, então é verão.
24 PROPOSIÇÕES COMPOSTAS OU MOLECULARES PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULAS) São designadas pelas letras latinas maiúsculas P,Q,R,S,..., chamadas letras proposicionais. P: Minha casa é grande e meu carro é azul. Q: Seus olhos são azuis ou verdes. R: Se está calor, então é verão.
25 PROPOSIÇÕES COMPOSTAS OU MOLECULARES PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULAS) Também chamadas de fórmulas proposicionais ou fórmulas. Notação: P(q,r,s) significa que P é uma proposição composta das proposições atômicas q,r e s.
26 Os símbolos da Linguagem do Cálculo Proposicional VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS SIMPLES E COMPOSTAS Proposições Simples: letras minúsculas p, q, r, s,... Ex: A lua é quadrada: p A neve é branca: q Proposições Compostas: letras maiúsculas P, Q, R, S,... Ex: Carlos é estudante e Pedro é Careca: P Se André é médico então sabe biologia: Q P (p, q, r,...) indica que a proposição composta P é combinação das proposições simples p, q, r,... O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p) e o de uma proposição composta P por V(P).
27 Conectivos Lógicos Termos usados para formar novas proposições a partir de outras. E OU NÃO SE... ENTÃO......SE E SOMENTE SE...
28 Conectivos Lógicos CONECTIVO Exemplos: P: Minha casa é grande e meu carro é azul. Q: Seus olhos são azuis ou verdes. R: Se está calor então é verão. S: Não está chovendo. T: O triângulo é equilátero se e somente se é equiângulo.
29 Operadores Lógicos Assim como operamos com números, as proposições também podem ser operadas utilizando os operadores lógicos. São eles: Conjunção - E (^) Disjunção - Ou (v) Condicional - Se... então ( ) Bi-condicional - Se e só se ( )
30 Conectivos Lógicos
31 Exemplos A lua é quadrada e a neve é branca. p q (p e q são chamados conjunctos) A lua é quadrada ou a neve é branca. p q (p e q são chamados disjunctos) Se a lua é quadrada então a neve é branca. p q (p é o antecedente e q o consequente) A lua é quadrada se e somente se a neve é branca.: p q A lua não é quadrada.: ~p
32 Outros Exemplos Pedro é estudante e Carlos professor. p q (p e q são chamados conjunctos) O triângulo ABC é retângulo ou isósceles. p q (p e q são chamados disjunctos) Se Roberto é engenheiro então sabe matemática. p q (p é o antecedente e q o conseqüente) O triângulo ABC é equilátero se e somente se tem os três lados iguais.: p q Não tenho carro.: ~p
33 Símbolos Auxiliares ( ), servem para denotar o "alcance" dos conectivos. Exemplos: p: a lua é quadrada e q: a neve é branca Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é quadrada.: ((p q) ~p) A lua não é quadrada se e somente se a neve é branca.: ((~p) q))
34 Definição de Fórmula 1. Toda fórmula atômica é uma fórmula. 2. Se A e B são fórmulas então (A B), (A B), (A B), (A B) e (~ A) também são fórmulas. 3. São fórmulas apenas as obtidas por 1. e 2.. Os parênteses serão usados segundo a seguinte ordem dos conectivos: ~,,,,. Com o mesmo conectivo adotaremos a convenção pela direita. Exemplo: a fórmula p q ~ r p ~ q deve ser entendida como (((p q) (~ r)) ( p (~ q)))
35 Negação (~) Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada por não p cujo valor lógico é a verdade (v) se p é falsa e a falsidade (f) se p é verdadeira. Simbolicamente: ~p. Dada uma proposição p, sua negação será denotada por ~p (não p). Se p é verdadeira então ~ p será falsa e vice versa. Ex: p = Bia está usando tênis preto. ~p = Bia não está usando tênis preto. p = Esta frase possui cinco palavras. ~p = Esta frase não possui cinco palavras.
36 Algumas observações sobre a negação A negação de sempre é
37 Algumas observações sobre a negação A negação de sempre é existe uma vez que não
38 Algumas observações sobre a negação A negação de sempre é existe uma vez que não A negação de nunca é
39 Algumas observações sobre a negação A negação de sempre é existe uma vez que não A negação de nunca é existe uma vez que
40 Algumas observações sobre a negação A negação de sempre é existe uma vez que não A negação de nunca é existe uma vez que A negação de p e q é
41 Algumas observações sobre a negação A negação de sempre é existe uma vez que não A negação de nunca é existe uma vez que A negação de p e q é ~p ou ~q
42 Algumas observações sobre a negação A negação de sempre é existe uma vez que não A negação de nunca é existe uma vez que A negação de p e q é ~p ou ~q A negação de p ou q é
43 Algumas observações sobre a negação A negação de sempre é existe uma vez que não A negação de nunca é existe uma vez que A negação de p e q é ~p ou ~q A negação de p ou q é ~p e ~q
44 Quais negações das proposições estão corretas? 1. A resposta 2 é 2 ou A resposta é nem 2 nem A resposta não é 2 ou não é A resposta não é 2 e não é Pepinos são verdes e têm sementes. 1. Pepinos não são verdes e não têm sementes. 2. Pepinos não são verdes ou não têm sementes. 3. Pepinos são verdes e não têm sementes.
45 Quais negações das proposições estão corretas? 3. 2 < 7 e 3 é ímpar > 7 e 3 é par e 3 é par ou 3 é ímpar ou 3 é par.
46 Escreva a negação das afirmações a seguir. 1. Se a comida é boa, então o serviço é excelente. A comida é boa, mas o serviço é ruim. 2. Ou a comida é boa, ou o serviço é excelente. A comida é ruim e o serviço também.
47 Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: 1. p: Está frio e q: Está Chovendo. a) ~p b) p ^ q c) p v q d) q p e) p ~q f) p v ~q g) ~p ^ ~q h) p ~q i) p ^ ~q p 2. p: Jorge é rico e q: Carlos é feliz. a) q p b) p v ~q c) q ~p d) ~p q e) ~~p f) ~p ^ q p
48 Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: 3. p: Claudio fala inglês e q: Claudio fala alemão. a) q v p b) p ^ q c) p ^ ~q d) ~p ^ ~q e) ~~p f) ~(~p ^ ~q) 4. p: João é gaúcho e q: Jaime é paulista. a) ~(~p ^ ~q) b) ~~p c) ~(~p v ~q) d) p ~q e) ~p ~q f) ~(~q p)
49 Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: 5. p: Marcos é alto e q: Marcos é elegante. a) Marcos é alto e elegante b) Marcos é alto, mas não é elegante c) Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante d) Marcos não é nem alto e nem elegante e) Marcos é alto ou é baixo e elegante f) É falso que Marcos é baixo ou que não é elegante
50 Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: 6. p: Suely é rica e q: Suely é feliz. a) Suely é pobre, mas feliz b) Suely é rica ou infeliz c) Suely é pobre e infeliz d) Suely é pobre ou rica, mas infeliz
51 Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: 7. p: Carlos fala francês e q: Carlos fala inglês e r: Carlos fala alemão. a) Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão b) Carlos fala francês e inglês, ou não fala francês e alemão c) É falso que Carlos fala francês mas que não fala alemão d) É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas que não fala francês
52 Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas: 8. a) x = 0 ou x > 0 b) x 0 ou y 0 c) x > 1 ou x + y > 0 d) x 2 = x. x ou x 0 = 1 9. a) (x + y = 0 e z > 0) ou z = 0 b) x = 0 e (y + z > x ou z = 0) c) x 0 ou (x = 0 e y < 0 e z = 0) d) x + y = 0 e z > 0) ou z = 0
53 Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas: 10. a) Se x > 0 então y = 2 b) Se x + y = 2 então z > 0 c) x = 1 ou z = 2 então y > 1 d) Se z > 5 então x 1 e x 2 e) Se x y então x + z > 5 e y + z < 5 f) Se x + y > z e z = 1 então x + y > 1 g) Se x < 2 então x = 1 ou x = 0 h) Se y = 4 e se x < y então x < 5
54 Gabarito 1. a) Não está frio b) Está frio e está chovendo c) Está frio ou está chovendo d) Está chovendo se e somente se está frio e) Se está frio, então não está chovendo f) Está frio ou não está chovendo g) Não está frio e não está chovendo h) Está frio se e somente se não está chovendo i) Se está frio e não está chovendo, então está frio
55 Gabarito 2. a) Se Carlos é feliz, então Jorge é rico b) Jorge é rico ou Carlos não é feliz c) Carlos é feliz se e somente se Jorge não é rico d) Se Jorge não é rico, então Carlos é feliz e) Não é verdade que Jorge não é rico f) Se Jorge não é rico, e Carlos é feliz, então Jorge é rico
56 Gabarito 3. a) Cláudio fala alemão ou inglês b) Cláudio fala inglês e alemão c) Cláudio fala inglês, mas não alemão d) Não é verdade que Cláudio fala inglês e alemão e) Não é verdade que Cláudio não fala inglês f) Não é verdade que Cláudio não fala inglês e nem alemão
57 Gabarito 4. a) Não é verdade que João não é gaúcho e Jaime não é paulista b) Não é verdade que João não é gaúcho c) Não é verdade que João não é gaúcho ou que Jaime não é paulista d) Se João é gaúcho, então Jaime não é paulista e) Se João não é gaúcho então Jaime não é paulista f) Não é verdade que, se Jaime não é paulista, então João é gaúcho
58 Gabarito 5. a) p ^ q b) p ^ ~q c) ~(~p v q) d) ~p ^ ~q e) p v (~p ^ q) f) ~(~p v ~q) 6. a) ~p ^ q b) p v ~q c) ~p ^ ~q d) (~p v q) ^ ~q
59 Gabarito 7. a) (p v q) ^ ~r b) (p ^ q) v ~(p ^ r) c) ~(p ^ ~r) d) ~((q v r) ^ ~p) 8. a) x = 0 v x > 0 b) x 0 v y 0 c) x > 1 v x + y > 0 d) x 2 = x. x v x 0 = 1
60 Gabarito 9. a)(x + y = 0 ^ z > 0) v z = 0 b) x = 0 ^ (y + z > x v z = 0) c) x 0 v (x = 0 ^ y < 0 ^ z = 0) d) (x + y = 0 ^ z > 0) v z = 0
61 Gabarito 10. a) x > 0 y = 2 b) x + y = 2 z > 0 c) x = 1 v z = 2 y > 1 d) z > 5 x 1 ^ x 2 e) x y x + z > 5 ^ y + z < 5 f) (x + y > z ^ z = 1) x + y > 1 g) x < 2 x = 1 v x = 0 h) y = 4 ^ (x < y x < 5)
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