AULA 1 Frases, proposições e sentenças 3. AULA 2 Conectivos lógicos e tabelas-verdade 5. AULA 3 Negação de proposições 8

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2 Índice AULA 1 Frases, proposições e sentenças 3 AULA 2 Conectivos lógicos e tabelas-verdade 5 AULA 3 Negação de proposições 8 AULA 4 Tautologia, contradição, contingência e equivalência 11 AULA 5 Argumentação lógica 14 Raciocínio Lógico 2

3 Frases AULA 1 Frase é todo enunciado que tem sentido. As frases podem ser declarativas, interrogativas, imperativas, exclamativas ou optativas. Declarativas São frases que expressam uma afirmação ou uma negação, declarando ou informando algo. O Brasil vai sediar os Jogos Olímpicos em O número 4 é primo. Fernando não passou no concurso. Interrogativas São frases utilizadas para fazer uma pergunta, empregadas quando se deseja obter alguma informação. A interrogação pode ser direta ou indireta. Que dia é hoje? Você é solteira? Desejo saber se você aceita um copo de suco. Imperativas São frases utilizadas para incentivar alguém a fazer ou deixar de fazer algo, ou seja, transmitem um pedido ou ordem. Podem ser afirmativas ou negativas. Estude matemática para o concurso. Comece a trabalhar. Não perturbe! Exclamativas São frases que expressam sentimentos. Na escrita, levam o ponto de exclamação Que prova difícil! Estou muito cansado hoje! É uma delícia esse bolo! Optativas São frases usadas para exprimir um desejo. Deus te acompanhe! Bons ventos o levem! Vá em paz! Proposições Proposições são frases que podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas, não podendo ser verdadeiras e falsas simultâneamente. Apenas frases declarativas podem representar proposições. As proposições geralmente são representadas por letras maiúsculas. P: O número 4 é par. Q: Santa Catarina é um Estado da Região Sudeste. R: Daniela é atriz. As proposições podem ser simples ou compostas. A proposição simples é aquela que vêm sozinha, desacompanhada de outras proposições, como as proposições P, Q e R do exemplo anterior. Já a proposição composta, é formada por duas ou mais proposições simples que são ligadas por meio de algumas expressões chamadas de conectivos lógicos. João é médico e Pedro é dentista. Luís é baiano ou Luís é paulista. Se Renata nasceu em Santa Catarina então Renata é brasileira. Observe que no primeiro exemplo podemos extrair a proposição João é médico e também a proposição Pedro é dentista, que são ligadas pelo conectivo e, formando uma só sentença, o que ocorre também no segundo exemplo com o conectivo ou, e no terceiro exemplo com o conectivo se então. Na próxima aula veremos todos os conectivos detalhadamente. Sentenças Paradoxais São declarações aparentemente verdadeiras que lavam a uma contradição lógica ou a uma contradição em relação a intuição comum. Não podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas, ou seja, não são proposições. Exemplo: Essa frase é uma mentira. Só sei que nada sei. Abertas São sentenças que possuem algum grau de indeterminação, não podemos classificar em verdadeiras ou falsas, também não são proposições. x + 3 = 7. Ele é presidente do país. Raciocínio Lógico 3

4 Fechadas São sentenças que não possuem grau de indeterminação, podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas, e portanto são proposições = 12. A Chapecoense foi campeã brasileira de futebol da primeira divisão. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 a 3 - Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações. 1 - ( ) (TRT CESPE) A sequência de frases a seguir contém exatamente duas proposições. A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica. EXERCÍCIOS 1 - Assinale as sentenças abaixo que são proposições: a) O Chile e o Brasil. b) Emerson é professor. c) Ela é professora. d) O Brasil foi campeão de futebol em e) Que legal! f) 5 4 = 20 g) > 4 h) (-2) 3 > 4 i) O Brasil perdeu o título j) X + Y é maior do que 7. k) Que horas são? l) Aquela mulher é linda. m) O Brasil ganhou 5 medalhas de ouro em Atlanta n) = 7 o) < 9 p) (-2) 3 < 4 Por que existem juízes substitutos? Ele é um advogado talentoso. 2 - ( ) (BB CESPE) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. "A frase dentro destas aspas é uma mentira." 2 Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). ( ) (STJ CESPE) Nas sentenças abaixo, apenas A e D são proposições. A: 12 é menor que 6. B: Para qual time você torce? C: x + 3 > 10. D: Existe vida após a morte. A expressão X + Y é positiva. O valor de = 7. Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. O que é isto? 3 - ( ) (BB CESPE) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: GABARITO 1) b) d) f) g) h) m) n) o) p) 2-V) ANOTAÇÕES (I) O BB foi criado em (II) Faça seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade. Raciocínio Lógico 4

5 Conectivos lógicos AULA 2 São expressões usadas para ligar duas ou mais proposições simples, formando as proposições compostas. Veremos agora cada um deles, construindo suas respectivas tabelaverdade, determinando o valor lógico das proposições. Conjunção (e) Conjunção é toda proposição composta formada por proposições simples que estejam ligadas pelo conectivo e. Sejam P e Q as proposições a seguir: P: Fernando fala inglês. Q: Fernando fala espanhol. A conjunção P e Q (Fernando fala inglês e espanhol), pode ser representada simbolicamente como P Q. Quais serão os dessa conjunção? Se Fernando fala inglês e espanhol, significa que ele fala os dois idiomas, fala inglês e fala espanhol, assim a conjunção só será verdadeira se as duas proposições forem verdadeiras, caso contrário será falsa. A tabelaverdade a seguir nos mostra todos os possíveis resultados para uma conjunção formada por duas proposições, de acordo com seus possíveis : P Q P Q V F F F V F F F F Número de linhas da tabela-verdade Toda tabela verdade terá 2 n linhas, onde n é o número de proposições simples que estamos analisando. Disjunção inclusiva (ou) Disjunção inclusiva é toda proposição composta formada por proposições simples que estejam ligadas pelo conectivo ou. Sejam P e Q as proposições a seguir: P: Fernando fala inglês. Q: Fernando fala espanhol. A disjunção inclusiva P ou Q (Fernando fala inglês ou espanhol), pode ser representada simbolicamente como P Q. Ela nos indica que Fernando pode falar apenas inglês, apenas espanhol, ou os dois idiomas, inglês e espanhol. Dessa maneira, o valor lógico da disjunção inclusiva só será falso se todas as proposições forem falsas, caso contrário será verdadeiro. A tabela-verdade a seguir nos mostra todos os possiveis resultados para uma disjunção inclusiva formada por duas proposições, de acordo com seus possíveis : P Q P Q V F V F V V F F F Disjunção exclusiva (ou, ou) A disjunção exclusiva é semelhante a disjunção inclusiva, mas com uma pequena diferença. Na disjunção exclusiva, não existe a possibilidade de ocorrer as duas situações, elas são excludentes, ocorrendo uma, a outra necessariamente não ocorrerá, e ainda não existe a possibilidade de ambas não ocorrerem. Observe o exemplo a seguir: Ou Maria faz uma viagem ou Maria troca de carro. Vemos duas situações distintas, Maria faz uma viagem, e Maria troca de carro, siginifica que ela tem que fazer apenas uma dessas coisas, não pode fazer as duas e nem deixar de fazer ambas. Seja P uma das proposições e Q a outra, a disjunção exclusiva ou P ou Q, representada simbolicamente por P Q será verdadeira sempre que uma das proposições for verdadeira e a outra falsa, e só será falsa quando ambas forem verdadeiras ou ambas forem falsas. Observe a tabela-verdade para a disjunção exclusiva de duas proposições, de acordo com seus possíveis : P Q P Q V V F V F V F V V F F F Condicional (se, então) Denominamos de condicional a proposição composta formada por duas proposições simples que estejam ligadas pelo conectivo se, então ou por uma de suas formas equivalentes. Veja o seguinte exemplo: Se João nasceu em Santa Catarina, então João é brasileiro. Abrindo a proposição composta nas proposições simples componentes, temos a Raciocínio Lógico 5

6 proposição João nasceu no Brasil e a proposição João é brasileiro, vamos identificar a primeira por P e a segunda por Q. A proposição P, que é anunciada pelo uso da conjunção se, é denominada condição ou antecedente enquanto a proposição Q, apontada pelo advérbio então, é denominada conclusão ou consequente. A condicional se P, então Q, simbolicamente P Q, só terá valor lógico falso se a primeira proposição for verdadeira e a segunda for falsa, caso contrário a condicional é sempre verdadeira. Em outras palavras, a única coisa que não pode acontecer é uma condição verdadeira implicar uma conclusão falsa. Vamos entender com o exemplo. Se as duas proposições forem verdade, a condicional é verdade, já se for verdade que João nasceu em Santa Catarina mas for falso que é brasileiro, a condicional é falsa, é a única coisa que não pode acontecer, pois Santa Catarina é um Estado brasileiro. Caso a primeira proposição seja falsa, a condicional será sempre verdadeira, pois se for verdadeiro que ele é brasileiro, basta ter nascido em outro Estado do país, e se for falso que é brasileiro, basta ter nascido em qualquer outro país do mundo. Observe a tabela-verdade: P Q P Q V F F F V V F F V Bicondicional (se e somente se) Denominamos de bicondicional a proposição composta formada por duas proposições simples que estejam ligadas pelo conectivo se e somente se. Veja o seguinte exemplo: João é meu tio se e somente se João é irmão de um de meus pais. As proposições são João é meu tio e João é irmão de um de meus pais, as quais vamos representar respectivamente por P e Q. A bicondicional P se e somente se Q (João é meu tio se e somente se João é irmão de um de meus pais), que pode ser representada simbolicamente por P Q, indica que se uma coisa acontecer, a outra também acontece, já se uma não acontecer, a outra também não acontece. No exemplo, se João é meu tio, ele tem que ser irmão de um de meus pais, e viceversa, já se não for meu tio, não é irmão de um de meus pais e vice-versa. Dessa maneira, a bicondicional terá valor lógico verdadeiro quando as duas proposições forem verdadeiras, ou quando as duas forem falsas, caso contrário a bicondicional será falsa. Observe a tabelaverdade: P Q P Q V F F F V F F F V Resumindo os conectivos e das proposições, temos a tabela a seguir: Conectivo Simbologia Verdadeiro Falso E P Q P e Q são Nos demais verdade casos Ou P Q Nos demais P e Q são casos falsos Ou, ou P Q diferentes iguais Se, então P Q Nos demais P é verdade e Se e somente se P Q casos iguais EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Q é falso diferentes 1 (CESGRANRIO) Considere verdadeira a proposição: Marcela joga vôlei ou Rodrigo joga basquete. Para que essa proposição passe a ser falsa: a) é suficiente que Marcela deixe de jogar vôlei. b) é suficiente que Rodrigo deixe de jogar basquete. c) é necessário que Marcela passe a jogar basquete. d) é necessário, mas não suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete. e) é necessário que Marcela passe a jogar basquete e Rodrigo passe a jogar vôlei. 2 - (TJ-SE CESPE 2014) Considerando que P seja a proposição Se os seres humanos soubessem se comportar, haveria menos conflitos entre os povos, julgue os itens seguintes ( ) Se a proposição Os seres humanos sabem se comportar for falsa, então a proposição P será verdadeira, independentemente do valor lógico da proposição Há menos conflitos entre os povos. Raciocínio Lógico 6

7 3 - (SEFAZ-SP) Assinale a opção verdadeira. a) 3 = 4 ou = 9. b) Se 3 = 3, então = 9. c) 3 = 4 e = 9. d) Se 3 = 4, então = 9. e) 3 = 3 se e somente se = 9. EXERCÍCIOS 1 - (MEC CESPE 2015) Considerando que as proposições lógicas sejam representadas por letras maiúsculas e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue o item a seguir a respeito de lógica proposicional. ( ) A sentença A vida é curta e a morte é certa" pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica P Q, em que P e Q são proposições adequadamente escolhidas. 2 - (TRT FCC) Em lógica de programação, denomina-se... de duas proposições p e q a proposição representada por "p ou q" cujo valor lógico é a falsidade (F), quando os das proposições p e q são ambos falsos ou ambos verdadeiros, e o valor lógico é a verdade (V), nos demais casos. Preenche corretamente a lacuna acima: a) disjunção inclusiva b) proposição bicondicional c) negação d) disjunção exclusiva e) proposição bidirecional Essa tabela-verdade representa o funcionamento de 2 sensores x e y em um equipamento, de tal forma que: V = VERDADEIRO, ou seja, o sensor está acionado. F = FALSO, ou seja, o sensor não está acionado. Assinale a alternativa que contém os valores CORRETOS para 1, 2, 3 e 4, considerando-se o Conectivo do tipo OU (x y). a) 1-V, 2-V, 3-V,4-F b) 1-F, 2-F, 3-F, 4-F c) 1-V, 2-F, 3-V, 4-F d)1-v, 2-V, 3-F, 4-F e) 1-V, 2-F, 3-F, 4-F 5 Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): ( ) (TRE-ES CESPE) Se P e Q representam as proposições Eu estudo bastante e Eu serei aprovado, respectivamente, então, a proposição P Q representa a afirmação Se eu estudar bastante, então serei aprovado. 1-V) 2-d) 3-V) 4-a) 5-V) GABARITO ANOTAÇÕES 3 - Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): ( ) Londres é a capital da Inglaterra ou a torre Eiffel situa-se em Londres. 4 (DATAPREV 2014) Observe a tabelaverdade a seguir. Raciocínio Lógico 7