Raciocínio Lógico e Matemático - Unidade 2: Introdução à Lógica

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1 Raciocínio lógico e matemático Unidade 2: Introdução à lógica Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego.fernandes@pitagoras.com.br Seção 2.1 O QUE É LÓGICA?

2 Lógica Parte da filosofia que trata das formas do pensamento em geral e das operações intelectuais que visam determinar o que é verdadeiro ou não Em outras palavras, é o estudo do raciocínio correto, especialmente no que envolve a elaboração de inferências Inferências: Operação intelectual ao qual se afirma a verdade de uma preposição em decorrência de sua ligação com outras preposições já reconhecidas como verdadeiras, ou seja, conclusões derivadas de premissas conhecidas Com lógica, entre outros... Quando bem aplicada Pensamento melhor ordenado e organizado Melhor poder de argumentação Muito usado em direito, matemática, pesquisas e demonstrações científicas, etc. Etc

3 Construção Premissas Raciocínio Construção Resultado Erros Formal Raciocínio com fatos corretos Porém, com arranjo errado Relacionado à validade do raciocínio CONCLUSÃO ERRADA Quando mal construído Resultado equivocado ERROS (I) Formal e (II) Material Material Raciocínio correto Mas será que proposição também é? Relacionado à validade sobre a preposição CONCLUSÃO ERRADA

4 Exemplos ERRO FORMAL Meu avô passou em medicina, meu passei passou em medicina, isso significa que eu passarei em medicina. Observação: fatos corretos, raciocínio errado dado que isso não significa que eu passarei em medicina. ERRO MATERIAL Pedro usa óculos e é inteligente, Marcos também usa e é inteligente. Portanto vou usar óculos que também serei. Observação: desenvolvimento do raciocínio está correto, problema está em acreditar que usando óculos serei inteligente Lógica - Princípios Identidade: Proposição é igual a si mesma ( = ) Exemplo: Um hipopótamo é um hipopótamo, ou seja, um hipopótamo é igual a si mesmo Da não contradição: Proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo, ou proposições contraditórias não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo ( é, ~ é ) Exemplo: Um hipopótamo não é um não hipopótamo e uma não girafa não é uma girafa Do terceiro excluído: Proposição ou é verdadeira ou é falsa (não existe alternativa três, ou seja, não pode ser simultaneamente falso) Exemplo: Existe um animal que é um hipopótamo e um animal que não é um hipopótamo

5 Sentenças declarativas fechadas Frases com sentido completo Diego é professor. Pedro é aluno. Camila foi ao curso. Isac está na escola. Conceitos Proposição: sentenças declarativas fechadas que podem ser associadas a somente um valor lógico Valor lógico: valor associado a uma proposição. Podem ser Verdadeiro (V) Falso (F)

6 Sentença declarativa aberta Não podem ser consideradas proposições, dado que não é possível indicar seu valor lógico Exemplos: Hoje é sexta-feira? Estude mais amanhã. Exercício 1 Quais das frases a seguir podem ser consideradas proposições lógicas? Que belo dia! Qual é o seu nome? X + 2 = 5. Pelé é brasileiro. Pitágoras e Anhanguera são marcas da Kroton. A química não é uma ciência

7 Exercício 1 - comentários Que belo dia! (não é proposição, e sim uma exclamativa) Qual é o seu nome? (não é proposição, e sim uma interrogativa) X + 2 = 5 (não é proposição, não dá para imaginar se isso é V ou F) Pelé é brasileiro (sim, proposição simples, no caso com valor lógico V) Pitágoras e Anhanguera são marcas da Kroton (sim, proposição composta, no caso com valor lógico V) A química não é uma ciência (sim, proposição simples, com valor lógico F) PARA SER PROPOSIÇÃO, A FRASE DEVE SER AFIRMATIVA OU NEGATIVA... NÃO PODE SER INTERROGATIVA, EXCLAMATIVA, IMPERATIVA... DEVE SER VERDADEIRA OU FALSA, E NUNCA AS DUAS... Frase imperativa - quando se quer agir sobre comportamento do interlocutor. Exemplo: Manifeste de modo claro o seu pensamento Para facilitar aplicação da lógica Escrita simplificada com uma representação simbólica e suas interações Diego está estudando. (p) Marcos foi à festa. (q) Marcius é professor. (r) Formando frases: Ex 1: Diego está estudando ou Marcius é professor. (Pode ser escrita como p e r) Ex2: Marcos foi à festa ou Marcius é professor. (Pode ser escrita como q ou r) Como visto, frases precisam ser declarativas fechadas e posteriormente escrevemos isso na forma simbólica

8 Exercício 1 Leia a sentença Adriano é grande e pequeno. A sentença anterior está contradizendo qual princípio da lógica? EXERCÍCIOS DO LIVRO a) Princípio do terceiro excluído. b) Princípio da identidade. c) Princípio da boa vizinhança. d) Princípio da não contradição. e) Princípio das leis da física

9 Exercício 2 Leia a sentença Esse relatório está meio certo. A sentença anterior está contradizendo qual princípio da lógica? a) Princípio das leis da física. b) Princípio do terceiro excluído. c) Princípio da identidade. d) Princípio da não contradição. e) Princípio da comparação. Exercício 3 Leia a sentença Aquele carro que vem pela rua do centro da cidade é novo. Aquele outro carro que vem pela rua do centro da cidade também é novo. Logo, o próximo carro que vier por aquela rua do centro da cidade será novo também. A conclusão acima cometeu qual erro? a) Erro material. b) Erro de análise. c) Erro na proposição. d) Erro não identificado. e) Erro formal

10 Exercício 1 Leia a sentença Adriano é grande e pequeno. A sentença anterior está contradizendo qual princípio da lógica? GABARITO COMENTADO DOS EXERCÍCIOS a) Princípio do terceiro excluído. b) Princípio da identidade. c) Princípio da boa vizinhança. d) Princípio da não contradição. e) Princípio das leis da física. Observação: Já que ele é grande, ele não pode ser pequeno ao mesmo tempo

11 Exercício 2 Leia a sentença Esse relatório está meio certo. A sentença anterior está contradizendo qual princípio da lógica? a) Princípio das leis da física. b) Princípio do terceiro excluído. c) Princípio da identidade. d) Princípio da não contradição. e) Princípio da comparação. Observação: Não se pode ter uma terceira interpretação, ou está certo ou está errado. Exercício 3 Leia a sentença Aquele carro que vem pela rua do centro da cidade é novo. Aquele outro carro que vem pela rua do centro da cidade também é novo. Logo, o próximo carro que vier por aquela rua do centro da cidade será novo também. A conclusão acima cometeu qual erro? a) Erro material. b) Erro de análise. c) Erro na proposição. d) Erro não identificado. e) Erro formal. Observação: Apesar das proposições serem corretas, isso não implica em dizer que sempre os carros serão novos

12 Proposições simples Caracterizadas por possuírem uma única proposição, ou seja, não há combinação com outra. Seção 2.2 PROPOSIÇÕES LÓGICAS Exemplos: Diego é magro. (p) Camila é inteligente. (q) Marcos foi à escola. (r) OBS: Representação com letras minúsculas

13 Proposições compostas Formadas por combinações de duas ou mais proposições simples. Exemplos: Diego é magro e Camila é inteligente. (P) Camila é inteligente e Marcos foi à escola. (Q) Marcos foi à escola e Pedro é médico. (R) OBS: Representação com letras maiúsculas. Exercício Classificar as frases em proposições ou não e a seguir mencionar se proposições simples ou compostas. Seu aniversário foi na sexta-feira passada? Ricardo é coordenador de administração. Fiquem quietos! O aluno foi bem na prova e o carpinteiro foi a oficina

14 Conectivos Na lógica, quando trabalhamos com proposições compostas, o fazemos através de conectivos. Conjunção e, símbolo ^ Diego é professor e Pedro foi à escola. p ^ q Conectivos Disjunção inclusiva ou, símbolo Diego é professor ou criador de cães. p q nessa situação, Diego é somente professor ou exerce as duas profissões) Disjunção exclusiva ou, símbolo Diego é natural de MG ou SP. p q Nessa segunda situação, Diego não pode ser natural de ambos estados

15 Conectivos Condicional se..., então, cujo símbolo é Se Pedro correu muito, então ele vai se cansar. p q Interessante, se ele correr muito, ele vai se cansar, mas estar cansado não garante que ele tenha corrido muito, já que pode ter feito outra atividade física intensa. Conectivos Bicondicional se, e somente se, cujo símbolo é Um retângulo tem quatro lados se, e somente o retângulo possuir quatro ângulos retos. p q

16 Conectivos Negação não, cujo símbolo é ~ p: 9 5 p: 9 = 5 Exercício 2 Qual o conectivo usado nas frases: a) O pano está seco e molhado. (conjunção e; p^q) b) Se estiver chovendo, então uso um guarda-chuvas. (condicional se..., então; p q) c) 2+2 = 4 ou 3.4 = 12 (disjunção inclusiva ou; p q) d) Ingrid joga vôlei se, e somente se, vai à quadra. (bicondicional se, e somente se; p q) e) Aline estuda e trabalha. (conjunção e; p^q) f) Não está chovendo. (negação; p)

17 1. Leia as seguintes frases: I Em março faz sol. II A bola pula e o peão gira. III Se a chuva cai, então está ventando. IV Mônica é viúva. A(s) proposição(ões) composta(s) é(são): Seção 2.2 EXERCÍCIOS DO LIVRO a) I. b) I e II. c) II e III. d) III e IV. e) I, II, III e IV

18 2) Considere as seguintes proposições: p: Luan é bagunceiro. q: Cristina joga bola. r: Está calor. Considere a frase Luan é bagunceiro e Cristina joga bola se, e somente se, está calor. A representação simbólica respectiva é: a) (p q) r b) (p q) rc) c) (p q) r d) (p q) r e) (p q) r 3. Observe as proposições a seguir. I Daniel é professor e Isis é psicóloga. II O tigre corre se, e somente se, está caçando. III Diego gosta de matemática ou Michael anda de carro. IV Se Celina é avó, então Aline é sua neta. A(s) frase(s) que utiliza(m) o conectivo condicional é(são): a) I e II. b) III. c) III e IV. d) I. e) IV

19 1. Leia as seguintes frases: I Em março faz sol. II A bola pula e o peão gira. III Se a chuva cai, então está ventando. IV Mônica é viúva. A(s) proposição(ões) composta(s) é(são): Seção 2.2 EXERCÍCIOS DO LIVRO - COMENTÁRIOS a) I. b) I e II. c) II e III. CORRETA d) III e IV. e) I, II, III e IV

20 2) Considere as seguintes proposições: p: Luan é bagunceiro. q: Cristina joga bola. r: Está calor. Considere a frase Luan é bagunceiro e Cristina joga bola se, e somente se, está calor. A representação simbólica respectiva é: a) (p q) r CORRETA b) (p q) rc) c) (p q) r d) (p q) r e) (p q) r Comentário: Luan é bagunceiro (p) ^ Cristina joga bola (q) está calor (r). 3. Observe as proposições a seguir. I Daniel é professor e Isis é psicóloga. (conjunção ; ^) II O tigre corre se, e somente se, está caçando. (bicondicional ; ) III Diego gosta de matemática ou Michael anda de carro. (disjunção ; ) IV Se Celina é avó, então Aline é sua neta. (condicional ; ) A(s) frase(s) que utiliza(m) o conectivo condicional é(são): a) I e II. b) III. c) III e IV. d) I. e) IV. CORRETA

21 Proposições compostas Composta de duas ou mais proposições simples Tanto a primeira como a segunda podem assumir valores lógicos (V ou F) diferentes Seção 2.3 EQUIVALÊNCIAS, CONTRADIÇÕES E TAUTOLOGIAS Exemplos: Diego é magro. (p) Camila é inteligente. (q) Dessa forma temos: p q TABELA VERDADE p q V V V F F V 41 F F

22 Proposições compostas Para saber quantas linhas serão necessárias na tabela verdade, basta calcular 2, onde representa o número de proposições Conjunção A tabela verdade para disjunção fica p q p q V V V V F F F V F F F F

23 Conjunção - exemplos Exemplo 1: p: 2 > 0 (V) q: 2 1 (V) p q: 2 > 0 e 2 1 (V) Exemplo 2: p: Marcos é terapeuta (V) q: Marcelo é médico (F) p q: Marcos é terapeuta e Marcelo é médico (F) Disjunção A tabela verdade para disjunção fica p q p q V V V V F V F V V F F F

24 Disjunção - exemplos Exemplo 1: p: 2 > 0 (V) q: 2 1 (V) p q: 2 > 0 ou 2 1 (V) Exemplo 2: p: Marcos é terapeuta (V) q: Marcelo é médico (F) p q: Marcos é terapeuta ou Marcelo é médico (V) Condicional A tabela verdade para disjunção fica p q p q V V V V F F F V V F F V

25 Condicional - exemplos Bicondicional Exemplo 1: p é V e q é V, então p q é V Se meu PC está quebrado, então a assistência técnica o concerta. Exemplo 2: p é V e q é F, então p q é F Se nasci em São Paulo, então sou carioca. Exemplo 3: p é F e q é V, então p q é V Se nasci em Jundiaí, então sou paulista. A tabela verdade para disjunção fica p q p q V V V V F F F V F F F V

26 Bicondicional - exemplos Exemplo 1: p é V e q é V, então p q é V Exemplo 2: p é F e q é F, então p q é F Tautologia Seja v uma proposição formada a partir de outras (p, q, r,...), mediante emprego de conectivos ( ou ), ou de modificador ( ), ou de condicionais ( ou ) dizemos que v é uma tautologia ou proposição logicamente verdadeira quando v tem o valor lógico V (verdadeiro) independentemente dos valores lógicos de p, q, etc

27 Exemplo - tautologia p q p q p q (p q) (p q) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V p: Marcelo é alto. (V) q: Marcelo joga vôlei. (V) p q: Marcelo é alto e joga vôlei. (V) p q: Marcelo é alto ou joga vôlei. (V) (p q) (p q): Se Marcelo é alto e joga vôlei, então Marcelo é alto ou joga vôlei. (V) Exemplo - tautologia p q p q (p q) p q p q (p q) ( p q) V V V F F F F V V F F V F V V V F V F V V F V V F F F V V V V V p: 2 < 3 (V) q: 2 2 < 3 2 (V) p q: 2 < 3 e 2 2 < 3 2 (V) (p q): 2 3 e (F) p: 2 3 (F) q: (F) p q: 2 3 ou (F) (p q) ( p q): e se, e somente se, 2 3 ou (V)

28 Proposição equivalente Dada as proposições p e q, dizemos que p é equivalente a q quando p e q têm tabelasverdades iguais, isto é, quando p e q têm sempre o mesmo valor lógico. p q Exemplo proposição equivalente p: João vai a praia (verdade) p: João não vai à praia. (falso) p: Não é verdade que João não vai a praia. (verdade) Mesma coisa que João vai a praia

29 Exemplo proposição equivalente Exemplo p q p q q p q p V V V F F V V F F V F F F V V F V V F F V V V V p: Maria anda de bicicleta. (V) q: Faz atividade física. (V) p q: Se Maria anda de bicicleta, então faz atividade física. (V) p: Maria não anda de bicicleta. (F) p q: Maria não anda de bicicleta ou faz atividade física. (V)

30 Contradição ou proposições logicamente falsas Seja v uma proposição formada a partir de outras (p, q, r,...), mediante emprego de conectivos ( ou ), ou de modificador ( ), ou de condicionais ( ou ) dizemos que v é uma contradição quando v tem o valor lógico F (falso) independentemente dos valores lógicos de p, q, etc. Tabela-verdade (contradição) p p p p V F F F V F p: F p: = 4 V p p: se, e somente se, =4 F

31 Paradoxo Imagine a seguinte frase dita por Pinquio: Meu nariz vai crescer. Seção 2.3 EXERCÍCIOS DO LIVRO

32 1. Considere a seguinte proposição: Osmar concerta carros e não concerta motos. O conectivo lógico usado é: a) Bicondicional. b) Conjunção. c) Disjunção exclusiva. d) Disjunção inclusiva. e) Condicional. 2. Na construção da tabela-verdade, podemos determinar o número de linhas a partir da utilização da seguinte expressão 2n, em que n é o número de proposições simples. Com base no texto, determine o número de linhas da tabelaverdade construída para validar a seguinte proposição (p q) r. a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e)

33 3. A tabela-verdade permite verificar a validação das proposições compostas. Verificando os resultados dos valores lógicos da proposição p q, através da construção de sua tabela-verdade, podemos afirmar que o resultado é: a) F, F, F e F. b) F, V, V e V. c) V, V, F e F. d) V, V, V e V. e) V, F, F e F. Seção 2.3 EXERCÍCIOS DO LIVRO - COMENTÁRIOS

34 1. Considere a seguinte proposição: Osmar concerta carros e não concerta motos. O conectivo lógico usado é: a) Bicondicional. b) Conjunção. c) Disjunção exclusiva. d) Disjunção inclusiva. e) Condicional. Comentário: concerta carros e não concerta 2. Na construção da tabela-verdade, podemos determinar o número de linhas a partir da utilização da seguinte expressão 2, em que n é o número de proposições simples. Com base no texto, determine o número de linhas da tabela-verdade construída para validar a seguinte proposição (p q) r. a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64 Comentário: Temos p, q e r, ou seja, três proposições. Sendo assim verifica que 2 =

35 3. A tabela-verdade permite verificar a validação das proposições compostas. Verificando os resultados dos valores lógicos da proposição p q, através da construção de sua tabela-verdade, podemos afirmar que o resultado é: a) F, F, F e F. b) F, V, V e V. c) V, V, F e F. d) V, V, V e V. e) V, F, F e F. Comentário: p q p q V V V V F F F V F F F F Seção 2.4 ARGUMENTAÇÃO

36 Raciocínio indutivo Casos particulares para se chegar a uma conclusão geral Exemplo Diego tem febre, tosse, espirros e nariz escorrendo, dor de garganta, dores musculares, perda de apetite e cansaço e foi diagnosticado com gripe. (PREMISSA) Camila tem febre, tosse, espirros e nariz escorrendo, dor de garganta, dores musculares, perda de apetite e cansaço e foi diagnosticado com gripe. (PREMISSA) Logo, todas as pessoas com quadros cujo os sintomas são febre, tosse, espirros e nariz escorrendo, dor de garganta, dores musculares, perda de apetite e cansaço podem ser diagnosticadas com gripe. (CONCLUSÃO) Raciocínio dedutivo A partir de afirmações gerais chega a uma conclusão particular. Exemplo Todos os seres humanos possuem coração. (PREMISSA) Diego é um ser humano. (PREMISSA) Logo, Diego tem um coração. (CONCLUSÃO

37 Resultados Consistentes (válidos): quando se utiliza proposição verdadeira e lógica é corretamente aplicada Inconsistentes (inválidos): uso de proposições falsas ou logicamente incorretas. Neste caso podemos ter: Falácia: argumentação com falha involuntária Sofisma: argumentação com falha propositada da lógica Seção 2.4 EXERCÍCIOS DO LIVRO

38 Exercício 1 Realizar uma argumentação exige a utilização de afirmações verdadeiras em conjunto com a lógica formal; só assim a conclusão obtida pode ser considerada verdadeira. As formas de raciocínio são: a. Dedutiva e analógica. b. Indutiva e dedutiva. c. Indutiva e referencial. d. Analógica e digital. e. Dedutiva e referencial. Exercício 2 Observe as premissas a seguir: Todos os alunos praticam futebol. Marcos é um aluno. Aplicando o raciocínio dedutivo, podemos concluir que: a. Marcos pratica futebol. b. Marcos estuda com os alunos. c. Todos os alunos jogam bola com Marcos. d. Todos os alunos conhecem Marcos. e. Quem joga futebol é aluno

39 Exercício 3 Analise cada um dos raciocínios a seguir: I. Todas as frutas são doces; manga é uma fruta; logo, manga é doce. II. Todos os que nascem na Argentina são latino-americanos; Messi nasceu na Argentina. Logo, Messi é latino-americano. III. Todos os homens têm dois olhos; Igor tem dois olhos; logo, Igor é homem. Podemos dizer que são deduções falaciosas os itens: a. I b. II c. II e III d. I e II e. I e III Seção 2.4 EXERCÍCIOS DO LIVRO - COMENTÁRIOS

40 Exercício 1 Realizar uma argumentação exige a utilização de afirmações verdadeiras em conjunto com a lógica formal; só assim a conclusão obtida pode ser considerada verdadeira. As formas de raciocínio são: a. Dedutiva e analógica. b. Indutiva e dedutiva. c. Indutiva e referencial. d. Analógica e digital. e. Dedutiva e referencial. Comentário: Indutiva (particular para geral); dedutiva (geral para particular) Exercício 2 Observe as premissas a seguir: Todos os alunos praticam futebol. Marcos é um aluno. Aplicando o raciocínio dedutivo, podemos concluir que: a. Marcos pratica futebol. b. Marcos estuda com os alunos. c. Todos os alunos jogam bola com Marcos. d. Todos os alunos conhecem Marcos. e. Quem joga futebol é aluno. Comentário: Como Marcos e aluno e todos os alunos praticam futrbol, logo, Marcos pratica futebol

41 Exercício 3 Analise cada um dos raciocínios a seguir: I. Todas as frutas são doces; manga é uma fruta; logo, manga é doce. II. Todos os que nascem na Argentina são latino-americanos; Messi nasceu na Argentina. Logo, Messi é latino-americano. III. Todos os homens têm dois olhos; Igor tem dois olhos; logo, Igor é homem. Podemos dizer que são deduções falaciosas os itens: a. I b. II c. II e III d. I e II e. I e III Comentário: Por exemplo, no caso da afirmação I, sabemos que limão é uma fruta e não é doce (falácia); III Igor não poderia ser o nome do meu pássaro de estimação... E o meu pássaro também não tem dois olhos... (falácia)