GRATUITO RACIOCÍNIO LÓGICO - EBSERH. Professor Paulo Henrique PH Aula /

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1 1 / GRATUITO RACIOCÍNIO LÓGICO - EBSERH Professor Paulo Henrique PH Aula 03 R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 1

2 2 / Raciocínio lógico matemático: proposições, conectivos, equivalência e implicação lógica Uma outra forma de cobrança em questões de concursos é quando ela pede a NEGAÇÃO de uma determinada proposição composta. NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Para facilitar o nosso trabalho futuramente, em questões que iremos resolver, vamos conhecer logo o que acontece com proposições compostas quando negativadas. Daí, conheceremos também quando duas proposições compostas são equivalentes. Para termos duas proposições equivalentes, é necessário que suas tabelas-verdade sejam idênticas. E vamos provar... Negação de uma proposição disjuntiva: Para negarmos uma proposição no formato de disjunção, faremos o seguinte: 1) Negaremos a primeira; 2) Negaremos a segunda; 3) Trocaremos OU por E. Para provarmos, vamos mostrar a tabela-verdade de ambas. A B A B ~(A B) A B ~A ~B (~A ~B) V V V V V F V F F V F V F F F F Conseguiram enxergar? Agora, toda vez que tivermos uma negação de uma conjunção, só precisaremos negar a primeira e a segunda proposição, e trocarmos OU por E. Agora, responda: qual é a negação de Bárbara não é bailarina ou Hector é músico? R: Negação de uma proposição conjuntiva: Bem parecida com a anterior. Faremos o seguinte: 1) Negaremos a primeira; 2) Negaremos a segunda; 3) Trocaremos E por OU. (comparem as duas!) R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 2

3 3 / Agora, montem a tabela-verdade para corroborar com o afirmado. A B A B ~(A B) A B ~A ~B (~A ~B) V V V V V F V F F V F V F F F F Então, resumindo: Em qualquer dos dois casos, negam-se as duas, depois é só trocar: se for E, coloca OU; se for OU coloca E. 01. A negação da afirmação a onça é pintada ou a zebra não é listrada é: (A) a onça não é pintada ou a zebra é listrada. (B) a onça não é pintada ou a zebra não é listrada. (C) a onça não é pintada e a zebra é listrada. (D) a onça não é pintada e a zebra não é listrada. (E) a onça não é pintada ou a zebra pode ser listrada. 02. Assinale a alternativa que apresenta a negação da proposição: Mauro gosta de rock ou João gosta de samba. (A) Mauro gosta de rock ou João não gosta de rock. (B) Mauro gosta de rock se João não gosta de samba. (C) Mauro não gosta de rock ou João não gosta de samba. (D) Mauro não gosta de rock se, e somente se João não gosta de samba. (E) Mauro não gosta de rock e João não gosta de samba. 03. Do ponto de vista da lógica matemática a negação da frase: Marcos foi ao cinema ou Maria foi fazer compras é a frase: (A) Marcos não foi ao cinema ou Maria não foi fazer compras. (B) Marcos foi ao cinema e Maria foi fazer compras. (C) Marcos não foi ao cinema, então Maria não foi fazer compras. (D) Marcos não foi ao cinema e Maria não foi fazer compras. (E) Marcos não foi ao cinema e Maria foi fazer compras. R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 3

4 4 / Negação de uma proposição condicional: Para negarmos uma condicional, basta: 1) Mantermos a primeira; 2) Negarmos a segunda; 3) junta-las com o conectivo E. A B (A B) ~(A B) A B ~B (A ~B) V V V V V F V F F V F V F F F F Existe uma outra forma de encontrarmos uma equivalência entre ~(A B). Ora, o resultado foi a conjunção (A ~B). Aí, nós já descobrimos que a negação de uma será uma conjunção. Então, teremos: ~(A B) = (A ~B) = ~(~A B) Complicou? Então, vamos tentar na prática! 04. A negação da proposição Se o candidato estuda, então passa no concurso é: (A) o candidato não estuda e passa no concurso. (B) o candidato estuda e não passa no concurso. (C) se o candidato estuda, então não passa no concurso. (D) se o candidato não estuda, então passa no concurso. (E) se o candidato não estuda, então não passa no concurso. 05. A negação da proposição se Paulo estuda, então Marta é atleta é logicamente equivalente à proposição: (A) Paulo não estuda e Marta não é atleta. (B) Paulo estuda e Marta não é atleta. (C) Paulo estuda ou Marta não é atleta. (D) se Paulo não estuda, então Marta não é atleta. E) Paulo não estuda ou Marta não é atleta R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 4

5 5 / Uma questão diferente... Poucas vezes encontramos questões de negação que não sejam com os 3 conectivos estudados. Nesse caso, vale a pena dar uma olhada na tabela-verdade para ajudá-los na resposta. 06. A negação da proposição Alfredo vai ao médico se, e somente se, está doente é a da alternativa: (A) Se Alfredo não vai ao médico, então ele não está doente. (B) Alfredo vai ao médico e não está doente. (C) Ou Alfredo vai ao médico, ou Alfredo está doente. (D) Alfredo está doente e não vai ao médico. (E) Alfredo vai ao médico ou não está doente e está doente ou não vai ao médico. Após esse estudo, vocês estarão aptos a trabalhar com equivalências e negações com os conectivos E, OU e SE...ENTÃO. Com as regras explicadas acima, vocês poderão encontrar: 1. a partir do E, uma proposição com OU e outra com SE...ENTÃO ; 2. a partir do OU, uma proposição com E e outra com SE...ENTÃO ; 3. a partir do SE...ENTÃO, uma proposição com E e outra com OU. 07. A negação da sentença A Terra é chata e a Lua é um planeta. é: (A) Se a Terra é chata, então a Lua não é um planeta. (B) Se a Lua não é um planeta, então a Terra não é chata. (C) A Terra não é chata e a Lua não é um planeta. (D) A Terra não é chata ou a Lua é um planeta. (E) A Terra não é chata se a Lua não é um planeta. CONDIÇÃO NECESSÁRIA E CONDIÇÃO SUFICIENTE O uso das expressões condição suficiente e condição necessária pode ser traduzida como a utilização do conectivo condicional (Se... então). Lembram-se do nosso exemplo no item 3.3? Vamos ver como fica. Se digo Paulo ser cearense é condição suficiente para Paulo ser brasileiro. Resumindo: para Paulo ser brasileiro só precisa ele ser cearense. Captaram??? Agora, se dissermos Paulo ser brasileiro é condição necessária para Paulo ser cearense, teremos o mesmo resultado. Ora, é necessário, para Paulo ser cearense, Paulo ser brasileiro. Ou existe cearense não-brasileiro? Só em Sobral (piadinha de cearense...). Usando essa nomenclatura, podemos chager às seguintes conclusões: A primeira parte da condicional é uma condição suficiente; A segunda parte da condicional é uma condição necessária; Uma condição suficiente gera um resultado necessário. R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 5

6 6 / Considere que: se o dia está bonito, então não chove. Desse modo: (A) não chover é condição necessária para o dia estar bonito. (B) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito. (C) chover é condição necessária para o dia estar bonito. (D) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover. (E) chover é condição necessária para o dia não estar bonito. 09. Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo: (A) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. (B) Marcos estudar é condição suficiente para João passear. (C) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. (D) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. (E) Marcos estudar é condição necessária para João passear. PH, pode acontecer de uma proposição aparecer condição suficiente E necessária? TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA Calma que não estou xingando ninguém! Já vimos que uma proposição composta é formada por várias proposições. Os termos acima citados referem-se ao resultado lógico dessas proposições. Assim: Tautologia Contradição Contingência Quando todos os valores lógicos de uma tabela-verdade têm como resultado VERDADEIRO Quando todos os valores lógicos de uma tabela-verdade têm como resultado FALSO Quando não for tautologia, nem contradição 10. A proposição na copa de 2010 o Brasil será hexacampeão ou não será hexacampeão, é um exemplo de: (A) Contradição. (B) Equivalência. (C) Contingência. (D) Conjunção. (E) Tautologia. R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 6

7 7 / A proposição (P V Q) (Q ^ P) é uma tautologia. (Verdadeiro) (Falso) 12. Um enunciado é uma tautologia quando não puder ser falso. Assinale a alternativa que contém um enunciado que é uma tautologia. (A) Está chovendo e não está chovendo. (C) Se está chovendo, então não está chovendo. (E) Não está chovendo. (B) Está chovendo. (D) Está chovendo ou não está chovendo. Agora, veremos proposições que utilizam os termos Todo, algum e nenhum. Também utilizaremos esses conceitos quando estudarmos, um pouco mais a frente, a parte de DIAGRAMAS LÓGICOS. Exemplos: (1) Todo cearense é brasileiro (2) Algum rondoniense (não) é casado (3) Nenhum estudante é professor (4) Há pelo menos um policial honesto TODO, ALGUM E NENHUM Como também são proposições, podemos ter equivalências e negações! Preenchendo a tabela abaixo, fica muito fácil a resolução de questões. Vamos preenchê-la: Proposição Equivalência Negação Todo Paulo é bonito Nenhum Paulo é feio Algum Paulo é modesto Algum Paulo não é metido Sabendo esta tabela, conseguiremos resolver tranquilamente as questões que aparecerem. 13. Qual a negação da proposição Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos? (A) Todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. (B) Não existe funcionário da agência P do Banco do Brasil com 20 anos. (C) Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem mais de 20 anos. (D) Nenhum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. (E) Nem todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 7

8 8 / Qual é a negação de Todos os alunos gostam de matemática? (A) Nenhum aluno gosta de matemática. (B) Existem alunos que gostam de matemática. (C) Existem alunos que não gostam de matemática. (D) Pelo menos um aluno gosta de matemática. (E) Apenas um aluno não gosta de matemática. 15. Considere a proposição: sozinho às vezes, mas mal acompanhado nunca. Do ponto de vista lógico-matemático, assinale a alternativa que indica uma proposição equivalente à sua negação. (A) Nunca sozinho, ou mal acompanhado às vezes. (B) Sozinho sempre, ou mal acompanhado às vezes. (C) Nunca sozinho, e mal acompanhado sempre. (D) Sozinho nunca e mal acompanhado às vezes. (E) Sozinho às vezes, e mal acompanhado sempre. Final da aula de hoje, meu povo! Seguem abaixo algumas questões de fixação! Beijo no papai e na mamãe, PH R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 8

9 9 / Exemplo 1 : Seja a proposição p: Maria é estagiária e a proposição q: Marcos é estudante. A negação da frase Maria é estagiária ou Marcos é estudante" é equivalente a: (A) Maria não é estagiária ou Marcos não é estudante. (B) Se Maria não é estagiária, então Marcos não é estudante. (C) Maria não é estagiária, se e somente se, Marcos não é estudante. (D) Maria não é estagiária e Marcos não é estudante. Exemplo 2 : De acordo com o raciocínio lógico matemático, pode- se afirmar que a negação da disjunção entre duas proposições compostas (p v q) é equivalente a: (A) ~p v ~q (B) ~p v q (C) p ^ ~q (D) ~p ^ ~q Exemplo 3 : A negação lógico-matemática de está chovendo lá fora e eu estou dentro de casa é (A) não está chovendo lá fora ou eu não estou dentro de casa. (B) está chovendo lá fora e eu não estou dentro de casa. (C) não está chovendo lá fora e eu estou dentro de casa. (D) não está chovendo lá fora nem eu estou dentro de casa. (E) não está chovendo lá fora ou eu estou dentro de casa. Exemplo 4 : Se A e B são proposições, completando a tabela abaixo, se necessário, conclui-se que a proposição (A v B) A ^ B é uma tautologia. (Verdadeiro) (Falso) 1 Gabarito: letra D 2 Gabarito: letra D 3 Gabarito: letra A 4 Gabarito: V R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 9

10 10 / Exemplo 5 : A negação de À noite, todos os gatos são pardos é: (A) De dia, todos os gatos são pardos. (B) De dia, nenhum gato é pardo. (C) De dia, existe pelo menos um gato que não é pardo. (D) À noite, existe pelo menos um gato que não é pardo. (E) À noite, nenhum gato é pardo. Exemplo 6 : A negação de Nenhum rondoniense é casado é: (A) há pelo menos um rondoniense casado. (B) alguns casados são rondonienses. (C) todos os rondonienses são casados. (D) todos os casados são rondonienses. (E) todos os rondonienses são solteiros. Exemplo 7 : Dizer que não é verdade que Lúcia é magra e Lucas gosta de chocolate é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: (A) Se Lúcia não é magra, então Lucas não gosta de chocolate. (B) Se Lúcia não é magra, então Lucas gosta de chocolate. (C) Lúcia é magra ou Lucas não gosta de chocolate. (D) Lúcia não é magra e Lucas não gosta de chocolate. (E) Lúcia não é magra ou Lucas não gosta de chocolate. Exemplo 8 : Marque a alternativa que contém a negação da proposição Todos os carros são velozes. (A) Apenas um dos carros é veloz. (C) Pelo menos um carro é veloz. (E) Todos os carros são lentos. (B) Pelo menos um carro é lento. (D) Apenas um dos carros é lento. Exemplo 9 : Se p e q são proposições e ~p e ~q suas respectivas negações, então podemos dizer que (p q) (~q ^ p) é uma: (A) Tautologia (C) Contradição (B) Contingência (D) Equivalência 5 Gabarito: letra D 6 Gabarito: letra A 7 Gabarito: letra D 8 Gabarito: letra B 9 Gabarito: letra C R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 10

11 11 / Exemplo 10 : Assinale a alternativa que contém a negação da sentença lógica Se fizer frio, eu compro um agasalho. (A) Se não fizer frio, eu compro um agasalho. (B) Faz frio e eu não compro um agasalho. (C) Não faz frio e eu não compro um agasalho. E) Não faz frio e eu compro um agasalho. (D) Se fizer frio, eu não compro um agasalho. 10 Gabarito: letra B R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 11