AULA 01: Lógica (Parte 1)

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1 AULA 01: Lógica (Parte 1) Raciocínio Lógico p/ M. Cidades (NM) SUMÁRIO PÁGINA 1. Conceitos Básicos de Lógica 1 2. Tautologia, Contradição e Contingência Implicação Lógica Equivalência Lógica Questões comentadas nesta aula Gabaritos 69 Olá! Hoje trarei o conteúdo básico de lógica, que é algo que pode ser exigido na prova. Deixei a parte da lógica da argumentação para a próxima aula, para que esta não fique tão extensa. Mãos à obra!!! 1 Conceitos Básicos de Lógica Vamos começar lembrando desse assunto que é cobrado em praticamente todos os concursos em que a disciplina Raciocínio Lógico é abordada. Trata-se do que aprendemos na escola simplesmente com o nome de Lógica (você deve lembrar: p e q, se p... então q,... etc.). Era um dos assuntos mais detestados pelos alunos, mas é, sem dúvida alguma, um dos mais importantes para você que se prepara para passar em concurso. Por isso, vamos deixar o preconceito de lado e passar a amar a boa e velha Lógica! No estudo da lógica matemática, estaremos em muitas ocasiões diante da linguagem corrente, como vemos no seguinte exemplo: "Arnaldo é alto ou Beto é baixo" Usar essa linguagem, porém, não é adequado para resolvermos questões de concurso. Para isso, deveremos transformar essa linguagem em outra que indique apenas símbolos, a qual denominamos linguagem simbólica. A linguagem simbólica possui dois elementos essenciais: as proposições e os operadores. Antes de definirmos as proposições, devemos saber que elas são constituídas de sentenças. As sentenças são um conjunto de palavras, ou símbolos, que exprimem um pensamento de sentido completo. São compostas por um sujeito e por um predicado (não, isso não é aula de português!). Vamos a alguns exemplos: Pedro ganhou na loteria. Carlos não comprou uma Ferrari. Que horas você chegou ao trabalho? Prof. Marcos Piñon 1 de 69

2 Como o dia está lindo! Tome um café. Podemos perceber que elas podem ser: Afirmativas: Pedro ganhou na loteria. Negativas: Carlos não comprou uma Ferrari. Interrogativas: Que horas você chegou ao trabalho? Exclamativas: Como o dia está lindo! Imperativas: Tome um café. Ai você me diz: mas professor, isso tá parecendo aula de português!. E eu lhe digo: calma, que já já eu chego lá!. Analisando estas frases, qual delas nós podemos julgar se é verdadeira ou falsa? O que realmente interessa nessas sentenças é identificar quais são proposições e quais não são proposições. Agora chegamos onde eu queria, que é no conceito de proposição. Trata-se de uma sentença fechada, algo que será declarado por meio de palavras ou de símbolos (expressões matemáticas) e cujo conteúdo poderá ser considerado verdadeiro ou falso. Ou seja, poderemos atribuir um juízo de valor acerca do conteúdo dessa proposição. Ex: Pedro é pedreiro. Caso ele realmente seja pedreiro o valor lógico desta proposição será verdadeiro, caso ele não seja pedreiro, o valor lógico da proposição será falso (por exemplo, se ele for bombeiro). Nas cinco frases apresentadas, apenas as duas primeiras são proposições, pois podemos julgá-las com V ou F. Frases como: Que horas você chegou ao trabalho?, Como o dia está lindo! ou Tome um café., não são proposições, pois, como vimos acima, não podemos atribuir um juízo de valor a respeito delas. Fica a dica, sentenças interrogativas, exclamativas ou no imperativo não são proposições. Apenas as sentenças afirmativas e negativas poderão ser proposições. Perceberam o poderão ser? É isso mesmo, não basta a frase ser afirmativa ou negativa para ser considerada uma proposição. É preciso que ela possa ser julgada com F ou V. Vejamos mais alguns exemplos: = 4 A metade de oito Prof. Marcos Piñon 2 de 69

3 E então, esses dois exemplos são proposições? Bom, voltando ao conceito algo declarado por meio de palavras ou de símbolos (expressões matemáticas) e cujo conteúdo poderá ser considerado verdadeiro ou falso. Portanto, só o primeiro exemplo é considerado uma proposição, pois sabemos que = 5 e não 4, o que torna essa proposição falsa. Já o segundo exemplo, ele não apresenta algo que poderá ser julgado com V ou F, pois a informação não possui sentido completo, falta o predicado. Chamamos esse segundo exemplo apenas de expressão. Devemos saber também que existem expressões matemáticas e sentenças afirmativas ou negativas às quais não podemos atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso. Isso mesmo, pode acontecer de uma sentença não ser nem exclamativa, nem interrogativa e nem mesmo uma ordem, e, ainda assim, nós não conseguimos atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso para ela. Vejamos dois exemplos: Ele é campeão mundial de futebol com a seleção brasileira x + 5 = 10 No primeiro caso, apesar de termos uma frase afirmativa, não podemos avaliar sobre quem está se afirmando ser campeão mundial de futebol. O sujeito é uma variável que pode ser substituída por um elemento qualquer que transformará a sentença em verdadeira ou falsa. Ou seja, se esse Ele se referir a Pelé (por exemplo) a sentença será verdadeira, caso se refira a Zico (por exemplo) a sentença será falsa. No segundo caso, a depender do valor atribuído para o x, a sentença será verdadeira ou será falsa. Essas sentenças são denominadas sentenças abertas. Existe a possibilidade de essas sentenças serem transformadas em proposições com a utilização de um quantificador ( todo, existe, etc). Mas isso nós veremos mais na frente. Assim, podemos classificar as sentenças em abertas e fechadas. A sentença aberta é aquela em que existe uma variável que faz com que nós não consigamos avaliar se são verdadeiras ou falsas. Já a sentença fechada é aquela que não possui nenhuma variável, todas as informações são bem claras. Por enquanto basta saber que mesmo as sentenças afirmativas e negativas podem ser sentenças abertas e assim não serem consideradas proposições. Isso ocorrerá sempre que houver uma variável e nós não conseguirmos atribuir um valor lógico para elas (vimos isso nesses dois últimos exemplos). O último ponto que vale destacar é a sentença contraditória, o que chamamos de paradoxo. São frases que serão falsas se a considerarmos verdadeiras e serão verdadeiras se a considerarmos falsas. Confuso? Vejamos um exemplo: eu sempre falo mentiras Prof. Marcos Piñon 3 de 69

4 Bom, se eu realmente sempre falo mentiras, essa frase é verdadeira, mas contradiz o que está escrito nela, já que eu estaria falando uma verdade, o que a torna falsa. Por outro lado, se eu não falo mentiras, essa frase é falsa, mas contradiz o que está escrito nela, o que a torna verdadeira. Portanto, uma frase como essa é chamada de paradoxo e não é considerada proposição lógica. Resumindo: Sentenças abertas: Possuem uma variável e por isso não podemos atribuir um valor lógico para elas. Não são proposições. Frases interrogativas, exclamativas ou imperativas: Não conseguimos atribuir um valor lógico para elas. Não são proposições. Paradoxos: Não são considerados proposições Expressões sem sentido completo: Não são consideradas proposições Proposições: São sentenças as quais podemos atribuir um valor lógico Verdadeiro ou Falso. Princípios Existem alguns princípios que regem o estudo da lógica que devem ser vistos aqui: Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. (Princípio da identidade); Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Princípio da Não-Contradição); Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade. (Princípio do Terceiro Excluído). Esses princípios parecem bem óbvios. E são mesmo! Mas toda a teoria parte destes princípios. Não é preciso decorá-los, foi só pra você ir perdendo o preconceito e vendo que o assunto é bem simples! Vamos às questões!!! (TCE/PB 2006 FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte há expressões e sentenças: 1. Três mais nove é igual a doze. Prof. Marcos Piñon 4 de 69

5 2. Pelé é brasileiro. 3. O jogador de futebol. 4. A idade de Maria. 5. A metade de um número. 6. O triplo de 15 é maior do que 10. É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças apenas os itens de números (A) 1, 2 e 6. (B) 2, 3 e 4. (C) 3, 4 e 5. (D) 1, 2, 5 e 6. (E) 2, 3, 4 e 5. Solução: Nessa questão, vamos avaliar cada item e verificar quais são as sentenças: 1. Três mais nove é igual a doze. Temos um sujeito (Três mais nove) e um predicado (é igual a doze). Portanto, é uma sentença. 2. Pelé é brasileiro. Temos um sujeito (Pelé) e um predicado (é brasileiro). Portanto, é uma sentença. 3. O jogador de futebol. Aqui, temos apenas uma expressão, pois nada é dito a respeito do jogador de futebol. Portanto, não é uma sentença. 4. A idade de Maria. Aqui, temos apenas uma expressão, pois nada é dito a respeito da idade de Maria. Portanto, não é uma sentença. 5. A metade de um número. Aqui, temos apenas uma expressão, pois nada é dito a respeito da metade de um número. Portanto, não é uma sentença. 6. O triplo de 15 é maior do que 10. Temos um sujeito (O triplo de 15) e um predicado (é maior de que 10). Portanto, é uma sentença. Prof. Marcos Piñon 5 de 69

6 Assim, são sentenças os itens 1, 2 e 6. Resposta letra A (Agente Fiscal de Rendas/SP 2006 FCC) Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em II. (x + y)/5 é um número inteiro. III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em É verdade que APENAS (A) I é uma sentença aberta. (B) II é uma sentença aberta. (C) I e II são sentenças abertas. (D) I e III são sentenças abertas. (E) II e III são sentenças abertas. Solução: Bom, nessa questão devemos identificar quais das frases são consideradas sentenças abertas. Vimos que Sentenças abertas possuem uma variável e por isso não podemos atribuir um valor lógico para elas. Assim, vamos analisar cada uma: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em Bom, nessa frase nós não sabemos identificar sobre quem estamos falando. O Ele é uma variável que, a depender da pessoa a quem esteja se referindo, irá tornar esta frase verdadeira ou falsa. Portanto, temos uma sentença aberta. II. (x + y)/5 é um número inteiro. Nessa frase temos duas variáveis x e y. A depender dos valores atribuídos a x e a y, esta frase será verdadeira ou falsa. Portanto, temos uma sentença aberta. III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em Por fim, não temos nenhuma variável, podemos julgá-la verdadeira ou falsa, pois se João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo a frase será verdadeira, caso contrário será falsa. Portanto, não temos uma sentença aberta. Resposta letra C. Prof. Marcos Piñon 6 de 69

7 03 - (Agente Fiscal de Rendas/SP 2006 FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. A frase que não possui essa característica comum é a (A) I. (B) II. (C) III. (D) IV. (E) V. Solução: Nessa questão, a maior dificuldade é saber o que a questão considera como característica lógica comum. Aqui, essa característica lógica comum é sabermos se as frases são ou não proposições. Isso ocorre com certa frequência com questões de concurso, os enunciados às vezes não são muito claros. Qual o problema de perguntar Qual das frases abaixo é uma proposição?. Pois é exatamente isso que a questão quer saber. Vamos analisar cada frase: I. Que belo dia! Temos uma frase exclamativa, que já vimos que não é uma proposição. II. Um excelente livro de raciocínio lógico. Aqui está faltando o predicado, pois nada é dito a respeito de um excelente livro de raciocínio lógico. Assim, esta frase não é uma proposição. III. O jogo terminou empatado? Temos uma frase interrogativa, que já vimos que não é uma proposição. IV. Existe vida em outros planetas do universo. Bom, se existir vida em outro planeta, esta frase será verdadeira, caso não exista vida em outro planeta, esta frase será falsa. Portanto, essa frase é uma proposição. V. Escreva uma poesia. Prof. Marcos Piñon 7 de 69

8 Temos uma frase no imperativo, que já vimos que não é uma proposição. Resposta letra D Voltando à teoria, devemos saber que as proposições podem ser simples ou compostas: A proposição simples é o elemento básico da lógica matemática. Ao dizer Arnaldo é alto estamos fazendo uma única afirmação (ser alto) a respeito de uma única pessoa (Arnaldo). Se disséssemos, por exemplo, Arnaldo é alto e magro, estaríamos diante de duas informações (ser alto e ser magro) a respeito de uma pessoa (Arnaldo). Esse segundo exemplo é o que chamamos proposição composta que é o conjunto de duas ou mais proposições simples. Podemos ver pela definição de proposição composta que ela pode possuir duas ou mais proposições simples, que é o que normalmente encontramos em questões de concurso. Costumamos denominar as proposições simples por letras (A, B, C, P, Q...). Arnaldo é alto A: Arnaldo é Alto Quando estamos diante de uma proposição composta, denominamos cada proposição simples contida nela por uma letra distinta. Arnaldo é alto e magro A: Arnaldo é Alto B: Arnaldo é magro Outro importante elemento da lógica matemática são os operadores lógicos. Eles são os elementos que unem as proposições. A seguir, apresentamos os operadores utilizados na lógica: ~: negação : conjunção (chamado de e ou mas ) v: disjunção (chamamos pela palavra ou ) : condicional (lemos "se... então...") : bicondicional (lê-se "...se e somente se...") v: disjunção exclusiva (sua leitura é "ou...ou...") Os mais comuns em questões de concurso são: ~,, v,. Os outros dois ( e v) também aparecem, só que com menos frequência. Prof. Marcos Piñon 8 de 69

9 Devemos saber, agora, que toda e qualquer proposição deve possuir um valor lógico Verdade ou Falsidade. Se uma proposição é verdadeira, seu valor lógico é verdade e se uma proposição é falsa seu valor lógico é falsidade. Nunca poderá existir uma proposição que seja falsa e verdadeira ao mesmo tempo. Assim, para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, devemos analisar dois itens: o valor lógico de suas proposições simples e o tipo de operador lógico que as une. Vamos ver agora, como funciona cada operador. Para isso, utilizaremos umas tabelinhas chamadas de tabelas-verdade. Essas tabelas indicam qual o resultado da operação para cada possibilidade de valor lógico de suas proposições. ~: negação Vamos ver sua tabela verdade: A ~A V F F V A negação transforma o valor lógico da proposição em seu valor oposto, ou seja, se p é verdadeiro, ~p é falso, ou se p é falso, ~p é verdadeiro. Assim, a negação de p é igual a ~p e a negação de ~p é igual a p. : conjunção ( e ou mas ) Fazendo sua tabela verdade: A B A B V V V V F F F V F F F F Vemos que na conjunção, o valor lógico resultante da operação só será verdadeiro quando todas as suas proposições forem verdadeiras. Caso contrário, se alguma proposição for falsa, o valor lógico resultante será falso, ou seja, basta uma proposição falsa para o resultado ser falso. v: disjunção ( ou ) Construindo sua tabela verdade: Prof. Marcos Piñon 9 de 69

10 A B A v B V V V V F V F V V F F F Percebemos que na disjunção, o valor lógico resultante da operação só será falso quando todas as suas proposições forem falsas. Caso contrário, se alguma proposição for verdadeira, o valor lógico resultante será verdadeiro, ou seja, basta uma proposição verdadeira para o resultado ser verdadeiro. : condicional ( se... então... ) Fazendo sua tabela verdade, temos: A B A B V V V V F F F V V F F V Aqui, vemos que na condicional o valor lógico resultante só será falso se a primeira proposição for verdadeira e a segunda proposição for falsa. Existe uma denominação utilizada na condicional que é de vital importância no estudo para concursos que é saber quem é a condição necessária e quem é a condição suficiente. Numa condicional A B, dizemos que: A é condição suficiente para B B é condição necessária para A : bicondicional (... se e somente se... ) Fazendo sua tabela verdade: A B A B V V V V F F F V F F F V Agora, vemos que na bicondicional o valor lógico da operação será verdadeiro se as duas proposições tiverem o mesmo valor, ou seja, se as duas forem verdadeiras ou as duas forem falsas. Caso contrário, se as duas proposições tiverem valores lógicos diferentes, o valor lógico resultante da operação será falso. Prof. Marcos Piñon 10 de 69

11 Aqui também existe uma denominação particular. Numa bicondicional A B, dizemos que: A é condição necessária e suficiente para B B é condição necessária e suficiente para A Podemos olhar para uma bicondicional como sendo a união de duas condicionais. Vejamos: A B é o mesmo que (A B) (B A). v: disjunção exclusiva ( ou... ou... ) Fazendo sua tabela verdade: A B A v B V V F V F V F V V F F F Para esse operador devemos observar que seu resultado será verdadeiro se os valores lógicos das duas proposições forem diferentes. Caso contrário, se os valores lógicos das duas proposições forem iguais, seu valor lógico será falso. Vale destacar que este operador v difere do operador v, pois se as duas proposições ( A e B ) forem verdadeiras, o resultado será verdadeiro para a disjunção simples ( ou ) e será falso para a disjunção exclusiva ( ou... ou... ). Antes das questões, vamos aprender a construir uma tabela verdade qualquer. Para construir a tabela-verdade, primeiro é importante saber quantas linhas e quantas colunas terá esta tabela. Para ilustrar melhor essa explicação, vamos construir a tabela-verdade da proposição (A v B) (C ~A). Para começar, o número de linhas vai depender da quantidade de variáveis distintas da proposição. Essa quantidade é dada por 2 n, onde n é a quantidade de variáveis. Ou seja, quando temos 2 variáveis, teremos 2 2 = 4 linhas. Para 3 variáveis, teremos 2 3 = 8 linhas, e assim por diante. No caso do nosso exemplo, temos 3 variáveis (A, B e C), portanto, teremos 2 3 = 8 linhas. Agora, precisamos saber quantas colunas terá nossa tabela. Esse número de colunas pode variar, mas deve ter no mínimo uma coluna para cada variável e uma coluna para o resultado a ser calculado. No nosso exemplo teríamos 4 colunas (3 variáveis + 1 resultado). Essa é a quantidade mínima. De forma mais didática, fazemos uma coluna para cada variável e uma coluna para cada Prof. Marcos Piñon 11 de 69

12 operação. No nosso exemplo temos 3 variáveis (A, B e C) e 4 operações ( ~A, v, e ), um total de = 7 colunas. Temos, também, que adicionar uma linha para o cabeçalho, que terá primeiro as variáveis e depois as operações, prevalecendo a ordem da matemática. Vamos partir para o desenho: A B C ~A A v B C ~A (A v B) (C ~A) Cabeçalho 8 linhas Agora, é só preencher a tabela. Começamos pelas variáveis, listando todas as possíveis combinações. No nosso exemplo A, B e C podem ser: VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF. A B C ~A A v B C ~A (A v B) (C ~A) V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Por fim, fazemos as operações, sempre na ordem da matemática (primeiro o que está dentro dos parênteses, em seguida, o que está dentro dos colchetes e, por fim, o que está fora): A B C ~A A v B C ~A (A v B) (C ~A) V V V F V F F V V F F V F F V F V F V F F V F F F V F F F V V V V V V F V F V V F F F F V V F V V F F F V F F V Pra fixar, vamos às questões! 7 colunas Prof. Marcos Piñon 12 de 69

13 (Agente Fiscal de Rendas/SP 2006 FCC) Considere a proposição Paula estuda, mas não passa no concurso. Nessa proposição, o conectivo lógico é: (A) condicional. (B) bicondicional. (C) disjunção inclusiva. (D) conjunção. (E) disjunção exclusiva. Solução: Nessa questão, devemos simplesmente identificar qual o conectivo da frase Paula estuda, mas não passa no concurso. Vimos que os conectivos unem duas proposições simples. Assim: Paula estuda, mas não passa no concurso Separando as proposições simples, percebemos que o conectivo é o mas, que, como vimos na parte teórica, trata-se de uma conjunção. Resposta letra D (TJ/SE 2009 FCC) Considere as seguintes premissas: p : Trabalhar é saudável q : O cigarro mata. A afirmação Trabalhar não é saudável" ou "o cigarro mata é FALSA se (A) p é falsa e ~q é falsa. (B) p é falsa e q é falsa. (C) p e q são verdadeiras. (D) p é verdadeira e q é falsa. (E) ~p é verdadeira e q é falsa. Solução: Nessa questão, temos as proposições simples p e q, e devemos saber quando que a proposição composta ~p v q é falsa. Vimos que para uma disjunção ser falsa, todas as suas proposições devem ser falsas. Assim, ~p deve ser falsa e q deve ser falsa para que a proposição ~p v q seja falsa. Ou seja, p deve ser verdadeira e q deve ser falsa. Vamos analisar cada alternativa: Prof. Marcos Piñon 13 de 69

14 (A) p é falsa e ~q é falsa. Vimos que a proposição p deve ser verdadeira. Alternativa incorreta. (B) p é falsa e q é falsa. Vimos que a proposição p deve ser verdadeira. Alternativa incorreta. (C) p e q são verdadeiras. Vimos que a proposição q deve ser falsa. Alternativa incorreta. (D) p é verdadeira e q é falsa. Realmente, p deve ser verdadeira e q deve ser falsa. Alternativa correta. (E) ~p é verdadeira e q é falsa. Vimos que a proposição ~p deve ser falsa. Alternativa incorreta. Resposta letra D (PROMINP 2010 CESGRANRIO) Assinale a alternativa que apresenta uma proposição composta cujo valor lógico é verdadeiro. (A) 4 2 = 2 4 ( 3) 2 = 9 (B) = 6 v 21 é primo (C) < 2 (D) 3 2 = 8 1 < 2 (E) 3 2 = Solução: Bom, a questão pede que marquemos a alternativa que apresenta uma proposição composta com valor lógico verdadeiro. Para isso, vamos analisar cada alternativa: (A) 4 2 = 2 4 ( 3) 2 = 9 Nessa alternativa, estamos diante de uma conjunção ( ). Toda conjunção só será verdadeira se os valores lógicos de suas proposições simples forem todos verdadeiros. Com isso, devemos testar se 4 2 = 2 4 é verdadeiro e se ( 3) 2 = 9 também é verdadeiro: 4 2 = = 16 Temos uma identidade, o que prova que esta proposição simples é verdadeira. Prof. Marcos Piñon 14 de 69

15 ( 3) 2 = 9 9 = -9 Como 9 não é igual a 9, estamos diante de uma proposição falsa. Assim: 4 2 = 2 4 ( 3) 2 = 9 V F (a conjunção V F possui valor lógico falso) F Portanto, este item não possui valor lógico verdadeiro. Item errado! (B) = 6 v 21 é primo Nessa alternativa, estamos diante de uma disjunção (v). Toda disjunção será verdadeira se os valores lógicos de qualquer uma de suas proposições simples forem verdadeiros. Com isso, basta que = 6 seja verdadeiro ou que 21 é primo seja verdadeiro: = 6 5 = 6 Como 5 não é igual a 6, estamos diante de uma proposição falsa. 21 é primo Como 21 não é um número primo, já que ele é divisível por 1, 3, 7 e 21, esta proposição é falsa (lembrando que um número natural é primo quando ele é divisível apenas por 1 e por ele mesmo). Assim: = 6 v 21 é primo F v F (a disjunção F v F possui valor lógico falso) F Portanto, este item não possui valor lógico verdadeiro. Item errado! (C) < 2 Nessa alternativa, estamos diante de uma condicional ( ). A condicional será verdadeira sempre que a primeira proposição for falsa ou quando as duas proposições forem verdadeiras. Com isso, basta que 7 7 seja falsa, ou, se 7 7 for verdadeira, que 1 < 2 também seja verdadeira: 7 7 Como 7 = 7, esta proposição é verdadeira. Com isso, a proposição 1 < 2 também deverá ser verdadeira para que a condicional seja verdadeira: Prof. Marcos Piñon 15 de 69

16 1 < 2 Como 1 é maior do que 2, esta proposição é falsa. Assim: < 2 V F (a condicional V F possui valor lógico falso) F Portanto, este item não possui valor lógico verdadeiro. Item errado! (D) 3 2 = 8 1 < 2 Nessa alternativa, estamos mais uma vez diante de uma condicional ( ). Vimos no item anterior que a condicional será verdadeira sempre que a primeira proposição for falsa ou quando as duas proposições forem verdadeiras. Com isso, basta que 3 2 = 8 seja falsa, ou, se 3 2 = 8 for verdadeira, que 1 < 2 também seja verdadeira: 3 2 = 8 9 = 8 Como 9 não é igual a 8, esta proposição é falsa. Assim, isso já é suficiente para que a proposição 3 2 = 8 1 < 2 seja verdadeira, pois para F K, K pode possuir qualquer valor lógico que esta condicional será verdadeira. Item correto! (E) 3 2 = Só para ilustrar, estamos mais uma vez diante de uma condicional. Assim: 3 2 = 1 1 = 1 Como 1 é igual a 1, esta proposição é verdadeira. 4 3 Como 4 é maior do que 3, esta proposição é falsa. Com isso: 3 2 = V F (a condicional V F possui valor lógico falso) F Portanto, este item não possui valor lógico verdadeiro. Item errado! Resposta letra D. Prof. Marcos Piñon 16 de 69

17 07 - (CITEPE 2009 CESGRANRIO) Considere as proposições simples abaixo. p: Janaína é irmã de Mariana. q: Mariana é filha única. Simbolizam-se por ~p e ~q, respectivamente, as negações de p e de q. A proposição composta ~p q corresponde a: (A) Janaína é irmã de Mariana e Mariana é filha única. (B) Janaína não é irmã de Mariana e Mariana é filha única. (C) Janaína não é irmã de Mariana ou Mariana é filha única. (D) Janaína não é irmã de Mariana ou Mariana não é filha única. (E) Se Janaína não é irmã de Mariana, então Mariana é filha única. Solução: Nessa questão, temos: p: Janaína é irmã de Mariana. q: Mariana é filha única. Queremos saber como fica na linguagem corrente a proposição ~p q: ~p: Janaína não é irmã de Mariana. Assim, ~p q ~p q: Janaína não é irmã de Mariana e Mariana é filha única Resposta letra B (TRT 9ª Região 2004 FCC) Leia atentamente as proposições simples P e Q: P: João foi aprovado no concurso do Tribunal. Q: João foi aprovado em um concurso. Do ponto de vista lógico, uma proposição condicional correta em relação a P e Q é: (A) Se não Q, então P. (B) Se não P, então não Q. (C) Se P, então Q. (D) Se Q, então P. Prof. Marcos Piñon 17 de 69

18 (E) Se P, então não Q. Solução: Vimos que numa condicional, quando a primeira proposição simples é verdadeira, a segunda também deverá ser verdadeira para que a condicional seja verdadeira. Caso a primeira proposição simples seja falsa, a segunda proposição simples pode ser verdadeira ou falsa que a condicional será verdadeira. Agora, vamos analisar cada alternativa: (A) Se não Q, então P. Se João não foi aprovado em um concurso então João foi aprovado no concurso do Tribunal. Veja que se a primeira proposição simples for verdadeira (João não foi aprovado em um concurso) a segunda será falsa (pois ele não poderá ter sido aprovado no concurso do Tribunal). Portanto, essa condicional não está correta. (B) Se não P, então não Q. Se João não foi aprovado no concurso do Tribunal então João não foi aprovado em um concurso. Veja que se a primeira proposição simples for verdadeira (João não foi aprovado no concurso do Tribunal) a segunda poderá ser falsa ou verdadeira (pois ele pode ou não ter sido aprovado em outro concurso). Portanto, essa condicional não está correta. (C) Se P, então Q. Se João foi aprovado no concurso do Tribunal então João foi aprovado em um concurso. Veja que se a primeira proposição simples for verdadeira (João foi aprovado no concurso do Tribunal) com certeza a segunda será verdadeira (pois ele certamente terá sido aprovado em um concurso: o do próprio Tribunal). Portanto, essa condicional está correta. (D) Se Q, então P. Se João foi aprovado em um concurso então João foi aprovado no concurso do Tribunal. Veja que se a primeira proposição simples for verdadeira (João foi aprovado em um concurso) a segunda poderá ser falsa ou verdadeira (pois ele poderá ter sido Prof. Marcos Piñon 18 de 69

19 aprovado ou não no concurso do Tribunal, já que ele pode ter sido aprovado em outro concurso). Portanto, essa condicional não está correta. (E) Se P, então não Q. Se João foi aprovado no concurso do Tribunal então João não foi aprovado em um concurso. Veja que se a primeira proposição simples for verdadeira (João foi aprovado no concurso do Tribunal) a segunda certamente será falsa (pois ele realmente foi aprovado em um concurso). Portanto, essa condicional não está correta. Resposta letra C (Agente Fiscal de Rendas/SP 2006 FCC)) Considere o argumento seguinte: Se o controle de tributos é eficiente e é exercida a repressão à sonegação fiscal, então a arrecadação aumenta. Ou as penalidades aos sonegadores não são aplicadas ou o controle de tributos é ineficiente. É exercida a repressão à sonegação fiscal. Logo, se as penalidades aos sonegadores são aplicadas, então a arrecadação aumenta. Se para verificar a validade desse argumento for usada uma tabela-verdade, qual deverá ser o seu número de linhas? (A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 32 (E) 64 Solução: Lembram-se da quantidade de linhas da tabela-verdade? É igual 2 n, onde n é a quantidade de variáveis. Assim, basta contarmos a quantidade de variáveis envolvidas no argumento: Se o controle de tributos é eficiente e é exercida a repressão à sonegação fiscal, então a arrecadação aumenta. Ou as penalidades aos sonegadores não são aplicadas ou o controle de tributos é ineficiente. É exercida a repressão à sonegação fiscal. Prof. Marcos Piñon 19 de 69

20 Logo, se as penalidades aos sonegadores são aplicadas, então a arrecadação aumenta. Pelas cores que eu destaquei, podemos perceber que temos 4 variáveis (letras que representam as proposições simples). Por exemplo: p: o controle de tributos é eficiente q: é exercida a repressão à sonegação fiscal r: a arrecadação aumenta s: as penalidades aos sonegadores são aplicadas Portanto, o número de linhas da tabela verdade é dado por: 2 n = 2 4 = 16 Resposta letra C (Agente Fiscal de Rendas/SP 2006 FCC) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. p q? V V F V F V F V F F F F A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é (A) p q (B) ~ (p v q) (C) p q (D) p q (E) ~(p q) Solução: Bom, uma maneira de resolver essa questão é construir a tabela-verdade de cada alternativa e compará-las com o enunciado. Vamos lá! (A) p q Essa é direta Prof. Marcos Piñon 20 de 69

21 Portanto, alternativa incorreta. p q p q V V V V F F F V F F F V (B) ~ (p v q) Aqui temos a negação de uma disjunção simples Portanto, alternativa incorreta. p q p v q ~(p v q) V V V F V F V F F V V F F F F V (C) p q Essa também é direta Portanto, alternativa incorreta. p q p q V V V V F F F V F F F F (D) p q Mais uma direta Portanto, alternativa incorreta. p q p q V V V V F F F V V F F V Prof. Marcos Piñon 21 de 69

22 (E) ~(p q) Aqui temos a negação de uma condicional Portanto, alternativa correta. Resposta letra E. p q p q ~(p q) V V V F V F F V F V V F F F V F Tautologia, Contradição e Contingência Esses assuntos são bem simples. Tratam-se, na verdade, de casos particulares das proposições compostas. Por meio da tabela-verdade é possível identificá-los de maneira rápida e direta. Vejamos: Tautologia - Dizemos que uma proposição composta é uma tautologia (ou uma proposição logicamente verdadeira) quando, ao testarmos todos os possíveis valores lógicos de suas proposições simples, por meio de sua tabela-verdade, a última coluna contém somente a letra V. Ou melhor, é toda proposição composta cujo valor lógico será sempre verdadeiro, independentemente dos valores lógicos de suas proposições simples. Exemplo: p v ~p p ~p p v ~p V F V F V V Contradição - Dizemos que uma proposição composta é uma contradição (ou uma proposição logicamente falsa) quando, ao testarmos todos os possíveis valores lógicos de suas proposições simples, por meio de sua tabela-verdade, a última coluna contém somente a letra F. Ou melhor, é toda proposição composta cujo valor lógico será sempre F (falsidade), independentemente dos valores lógicos de suas proposições simples. A contradição é o oposto da tautologia, pois enquanto na tautologia há unanimidade da letra V na última coluna da tabelaverdade, na contradição somente aparece a letra F. Prof. Marcos Piñon 22 de 69

23 Exemplo: p ~p p ~p p ~p V F F F V F Aqui vale fazer uma observação: Toda negação de uma tautologia consiste numa contradição e toda negação de uma contradição resulta numa tautologia. A contingência é toda proposição composta que não é nem uma tautologia nem uma contradição. Há, pelo menos, um V e um F na última coluna da tabelaverdade. É bem simples, caso a proposição composta não seja nem uma tautologia nem uma contradição, será chamada de contingência. Exemplo: p q Vamos às questões!!! p q p q V V V V F F F V F F F F (Agente Fiscal de Rendas/SP 2006 FCC) Seja a sentença aberta A: (~p v p) e a sentença B: Se o espaço for ocupado por uma (I), a sentença A será uma (II). A sentença B se tornará verdadeira se I e II forem substituídos, respectivamente, por (A) tautologia e contingência. (B) contingência e contingência. (C) contradição e tautologia. (D) contingência e contradição. (E) tautologia e contradição. Solução: Essa é uma questão muito interessante. Podemos perceber que o retângulo poderá tornar a sentença A uma tautologia, uma contradição ou uma contingência. Vejamos: A: (~p v p) Prof. Marcos Piñon 23 de 69

24 Analisando esta bicondicional, podemos perceber que (~p v p) será sempre verdadeira: p ~p ~p v p V F V F V V Assim, podemos reescrever A da seguinte forma: A: V Logo, sabendo que uma bicondicional é verdadeira quando os dois termos possuem o mesmo valor lógico e que a bicondicional é falsa quando os dois termos possuem valores lógicos diferentes, podemos concluir que A será verdadeira quando o retângulo for verdadeiro e será falsa quando o retângulo for falso. Assim, temos três opções para o retângulo: sempre verdadeiro (tautologia), sempre falso (contradição) ou às vezes verdadeiro às vezes falso (contingência). Para cada uma dessas três opções, a proposição A terá um comportamento diferente: Para o retângulo considerado uma tautologia A também é uma tautologia Para o retângulo considerado uma contradição A também é uma contradição Para o retângulo considerado uma contingência A também é uma contingência Portanto, a única alternativa apresentada que satisfaz essa análise é a letra B. Resposta letra B (Agente Fiscal de Rendas/SP 2006 FCC) Dada a sentença ~(~p q r), complete o espaço com uma e uma só das sentenças simples p, q, r ou a sua negação ~p, ~q ou ~r para que a sentença dada seja uma tautologia. Assinale a opção que responde a essa condição. (A) Somente q. (B) Somente p. (C) Somente uma das duas: q ou r. (D) Somente uma das três: ~p, q ou r. (E) Somente uma das três: p, ~q ou ~r. Solução: Bom, devemos lembrar que uma condicional só será falsa se a primeira proposição for verdadeira e a segunda for falsa, ou seja, se o retângulo tiver valor Prof. Marcos Piñon 24 de 69

25 lógico verdadeiro e a proposição ~(~p q r) tiver valor lógico falso. Assim, vamos primeiro verificar as possibilidades da proposição ~(~p q r) ser falsa. Olhando com cuidado, podemos perceber que temos uma negação da proposição (~p q r). Assim, essa negação só será falsa quando a proposição (~p q r) for verdadeira. Essa proposição é uma conjunção, que só será verdadeira quando ~p, q e r forem verdadeiras simultaneamente. Com isso, podemos concluir que sempre que o retângulo for substituído pelas proposições ~p, q ou r, a condicional poderá ter um valor falso (e não será uma tautologia), pois teremos: ~p sendo verdadeiro ~p ~(~p q r) V ~(V q r), que será falso para q e r verdadeiros q sendo verdadeiro q ~(~p q r) V ~(~p V r), que será falso para ~p e r verdadeiros r sendo verdadeiro r ~(~p q r) V ~(~p q V), que será falso para ~p e q verdadeiros Assim, podemos concluir que só teremos tautologia quando p, ~q ou ~r substituírem o retângulo. Resposta letra E (PROMINP 2010 CESGRANRIO) Abaixo são apresentadas 3 proposições compostas. I. p ~p II. p v ~p III. p p É(São) tautologia(s) APENAS (A) I. (B) II. (C) I e II. (D) I e III. (E) II e III. Prof. Marcos Piñon 25 de 69

26 Solução: Conforme vimos acima, uma proposição composta é considerada uma tautologia (ou logicamente verdadeira) se sua tabela-verdade apresenta apenas valor V para todos os possíveis valores lógicos de suas proposições simples. Assim, vamos analisar cada um dos três itens por meio de suas tabelas-verdade: I. p ~p p ~p p ~p V F F F V F Olhando para a tabela-verdade, percebemos que não se trata de uma tautologia, e sim, de uma contradição (só apresenta valor F na última coluna). Item errado. II. p v ~p p ~p p v ~p V F V F V V Olhando para a tabela-verdade, percebemos que se trata de uma tautologia, pois só aparece valor V na última coluna. Item correto. III. p p p V F p p V V Olhando para a tabela-verdade, percebemos que se trata de uma tautologia, pois só aparece valor V na última coluna. Item correto. Portanto, apenas II e III são tautologias. Resposta letra E (CITEPE 2009 CESGRANRIO) Tautologias são proposições compostas cuja tabela-verdade dá sempre verdadeiro, não importando se as proposições simples p e q são verdadeiras ou falsas. Na proposição composta p (p q) os símbolos e representam conectivos. Assinale a alternativa que apresenta, na ordem, conectivos que, ao substituírem o quadrado e o triângulo, transformam a proposição composta em uma tautologia. Prof. Marcos Piñon 26 de 69

27 (A) v (B) (C) (D) (E) v Solução: Bom, uma maneira de resolver essa questão é testar cada uma das cinco alternativas e verificar se resultam em tautologia ou não. Vamos lá! (A) v p q p v q p (p v q) V V V V V F V V F V V V F F F V Portanto, já encontramos a resposta da nossa questão. Item correto. De qualquer forma, vamos continuar testando as outras alternativas. (B) p q p q p (p q) V V V V V F F F F V F V F F F V Portanto, não é uma tautologia. Item errado. (C) p q p q p (p q) V V V V V F F F F V V F F F V F Portanto, não é uma tautologia. Item errado. (D) Prof. Marcos Piñon 27 de 69

28 p q p q p (p q) V V V V V F F F F V F F F F F F Portanto, não é uma tautologia. Item errado. (E) v p q p v q p (p v q) V V V V V F V V F V V F F F F F Portanto, não é uma tautologia. Item errado. Resposta letra A Implicação Lógica Dizemos que uma proposição A implica em outra B, se B é verdadeira todas as vezes que A é verdadeira. Assim, em nenhuma linha da tabela-verdade de A e B aparece VF, ou seja, não temos simultaneamente o A verdadeiro e o B falso. Usamos para a implicação o símbolo. Vamos ver um exemplo: p (p v q) p q p v q V V V V F V F V V F F F Podemos dizer que p p v q, pois sempre que o p é verdadeiro, p v q também é verdadeiro. Devemos notar que uma proposição A implica numa proposição B, sempre que a condicional A B for verdadeira. Das possíveis implicações, a mais importante para concurso é a propriedade transitiva: Prof. Marcos Piñon 28 de 69

29 (p q) (q r) p r p q r p q q r (p q) (q r) p r V V V V V V V V V F V F F F V F V F V F V V F F F V F F F V V V V V V F V F V F F V F F V V V V V F F F V V V V 4 - Equivalência Lógica Dizemos que duas proposições são equivalentes se elas forem formadas pelas mesmas proposições simples e suas tabelas-verdade forem iguais. Ou seja, pra os mesmos valores lógicos de suas proposições simples, seus valores resultantes serão sempre os mesmos. Usamos para a equivalência o símbolo " ". Vamos ver um exemplo: A proposição ~p v q e a proposição p q : p q ~p ~p v q p q V V F V V V F F F F F V V V V F F V V V Podemos dizer que ~p v q p q, pois as suas tabelas verdade são iguais, conforme mostrado acima. Devemos notar que uma proposição A é equivalente à proposição B, sempre que a bicondicional A B for verdadeira. Negação de proposições compostas Algumas das principais equivalências são aquelas que negam as proposições compostas. Já vimos o operador ~ (negação) utilizado numa proposição simples. Veremos, agora, o que ocorre se negarmos uma proposição composta. O resultado dependerá da estrutura dessa proposição. Negação da conjunção: ~(p q) Prof. Marcos Piñon 29 de 69

30 Para realizar a negação de uma conjunção, executaremos 3 passos: 1- Negamos o p 2- Negamos o q 3- Substituímos o e pelo ou Portanto, a negação de (p q) é (~p v ~q). Podemos dizer então que: ~(p q) ~p v ~q Não iremos demonstrar aqui, como chegamos a este resultado. Basta saber que a tabela-verdade da proposição composta e de sua negação devem ser opostas, ou seja, sempre que uma for verdadeira, a outra deverá ser falsa e sempre que uma for falsa a outra deverá ser verdadeira. p q ~p ~q p q ~(p q) ~p v ~q V V F F V F F V F F V F V V F V V F F V V F F V V F V V Negação da disjunção: ~(p v q) Para realizar a negação de uma disjunção, executaremos, também, 3 passos: 1- Negamos o p 2- Negamos o q 3- Substituímos o ou pelo e Portanto, a negação de (p v q) é (~p ~q). Podemos dizer então que: ~(p v q) ~p ~q Da mesma forma que a conjunção, vamos apenas demonstrar a tabela-verdade: p q ~p ~q p v q ~(p v q) ~p ~q V V F F V F F V F F V V F F F V V F V F F F F V V F V V Negação da condicional: ~(p q) Para realizar a negação de uma condicional, executaremos, mais uma vez, 3 passos: Prof. Marcos Piñon 30 de 69

31 1- Mantemos o p 2- Negamos o q 3- Substituímos o se... então... pelo e Portanto, a negação de (p q) é (p ~q). Podemos dizer então que: ~(p q) p ~q Vamos, mais uma vez, apenas demonstrar a tabela-verdade: p q ~p ~q p q ~(p q) p ~q V V F F V F F V F F V F V V F V V F V F F F F V V V F F Negação da bicondicional: ~(p q) Na negação da bicondicional (p q), que como vimos acima, é o mesmo que (p q) (q p), faremos o que já aprendemos para a negação da conjunção e da condicional. Vejamos: 1- Chamamos p q de k 2- Chamamos q p de j Teremos então uma conjunção: k j Para negar uma conjunção, já vimos que devemos negar as proposições e trocar o operador e por ou. Assim: ~(k j) = ~k v ~j Retornando os valores de k e j, temos: ~(p q) v ~(q p) Substituindo, agora, o que aprendemos para a negação da condicional, temos: ~(p q) v ~(q p) = (p ~q) v (q ~p) Portanto, a negação de (p q) é (p ~q) v (q ~p). ~(p q) (p ~q) v (q ~p) Vamos, mais uma vez, apenas demonstrar a tabela-verdade: Prof. Marcos Piñon 31 de 69

32 p q ~p ~q p q ~(p q) (p ~q) (q ~p) (p ~q) v (q ~p) V V F F V F F F F V F F V F V V F V F V V F F V F V V F F V V V F F F F Vamos a algumas questões! (PROMINP 2010 CESGRANRIO) A negação de p ~q é (A) p q (B) ~p q (C) p v q (D) p ~q (E) p q Solução: Devemos saber que a negação de uma condicional A B é dada por: ~(A B) = A ~B Ou seja, mantemos o primeiro termo (A), substituímos a condicional ( ) por uma conjunção ( ), e negamos o segundo termo (B) Assim, a negação de p ~q é dada por: ~(p ~q) = p ~(~q) ~(p ~q) = p q Resposta letra E (CITEPE 2009 CESGRANRIO) A negação da proposição composta Janaína é irmã de Mariana e Mariana não é filha única é (A) se Janaína é irmã de Mariana, então Mariana é filha única. (B) se Janaína não é irmã de Mariana, então Mariana não é filha única. (C) se Janaína não é irmã de Mariana, então Mariana é filha única. (D) Janaína é irmã de Mariana e Mariana é filha única. (E) Janaína não é irmã de Mariana ou Mariana é filha única. Solução: Prof. Marcos Piñon 32 de 69

33 Passando a proposição Janaína é irmã de Mariana e Mariana não é filha única para a linguagem simbólica, temos: Janaína é irmã de Mariana e Mariana não é filha única Portanto, devemos negar uma proposição composta do tipo A B (uma conjunção). Sabemos que a negação dessa conjunção é dada por: ~(A B) = ~A v ~B Assim, a negação de p ~q é dada por: ~(p ~q) = ~p v ~(~q) que é o mesmo que ~(p ~q) = ~p v q Assim, temos: p: Janaína é irmã de Mariana. q: Mariana é filha única. e ~p: Janaína não é irmã de Mariana. ~q: Mariana não é filha única. Por fim, ~p v q = Janaína não é irmã de Mariana ou Mariana é filha única Resposta letra E. p ~q Voltando para a teroria... Mais Equivalências Lei Associativa (A B) C A (B C) (A v B) v C A v (B v C) Prof. Marcos Piñon 33 de 69

34 Essa propriedade, que vale apenas para a conjunção e para a disjunção, pode ser verificada por meio da tabela-verdade. Vamos demonstrar a propriedade para a conjunção: A B C A B (A B) C B C A (B C) V V V V V V V V V F V F F F V F V F F F F V F F F F F F F V V F F V F F V F F F F F F F V F F F F F F F F F F F O mesmo pode ser verificado para a disjunção (tente em casa!). Lei Distributiva A (B v C) (A B) v (A C) A v (B C) (A v B) (A v C) Mais uma vez, a propriedade só vale para a conjunção e para a disjunção. Vamos demonstrar, por meio da tabela-verdade: A B C B v C A (B v C) A B A C (A B) v (A C) V V V V V V V V V V F V V V F V V F V V V F V V V F F F F F F F F V V V F F F F F V F V F F F F F F V V F F F F F F F F F F F F Dupla Negação ~(~A) A Essa é bem intuitiva. Vamos direto para a tabela-verdade: A ~A ~(~A) V F V F V F Equivalências da Condicional Prof. Marcos Piñon 34 de 69

35 ~A A A Vamos direto para a tabela-verdade: A B ~A v B A B ~B ~A A ~A ~A A V F V F V F Essas são as equivalências mais importantes. Vamos demonstrar as duas com uma única tabela-verdade: A B ~A ~B A B ~A v B ~B ~A V V F F V V V V F F V F F F F V V F V V V F F V V V V V Equivalências da Bicondicional A B (A B) (B A) A B (A B) v (~A ~B) Para concluir, as duas últimas equivalências: A B A B B A A B (A B) (B A) V V V V V V V F F V F F F V V F F F F F V V V V A B ~A ~B A B ~A ~B A B (A B) v (~A ~B) V V F F V F V V V F F V F F F F F V V F F F F F F F V V F V V V Agora, para fixar, vamos listar todas as equivalências citadas acima: (A B) C A (B C) (A v B) v C A v (B v C) A (B v C) (A B) v (A C) A v (B C) (A v B) (A v C) Prof. Marcos Piñon 35 de 69

36 ~(~A) A ~A A A A B ~A v B A B ~B ~A A B (A B) (B A) A B (A B) v (~A ~B) Não é preciso decorar essas equivalências, pois todas elas podem ser demonstradas a qualquer momento. No entanto, na medida em que formos resolvendo as questões, iremos perceber que elas podem ser muito úteis. Com o tempo, algumas dessas equivalências serão decoradas por você naturalmente. Isso fará com que você ganhe tempo na hora da prova. Vamos às questões!!! (Agente Fiscal de Rendas/SP 2006 FCC) Se p e q são proposições, então a proposição p (~q) é equivalente a (A) ~(q ~p) (B) ~(p v q) (C) ~(p ~q) (D) ~(p q) (E) ~q ~p Solução: Nessa questão, podemos simplesmente construir a tabela-verdade de todas as alternativas e compará-las com a tabela verdade da proposição do enunciado. Outra forma de resolver é tentar simplificar as proposições das alternativas tentando encontrar a proposição do enunciado. Vejamos: (A) ~(q ~p) A negação dessa condicional é dada por: ~(q ~p) = q ~(~p) = q p = p q (que é diferente da proposição do enunciado). Item errado (B) ~(p v q) A negação dessa disjunção é dada por: ~(p v q) = ~p ~q (que é diferente da proposição do enunciado). Item errado. (C) ~(p ~q) Prof. Marcos Piñon 36 de 69

37 A negação dessa condicional é dada por: ~(p ~q) = p ~(~q) = p q (que é diferente da proposição do enunciado). Item errado. (D) ~(p q) A negação dessa condicional é dada por: ~(p q) = p ~q (que é igual à proposição do enunciado). Item correto. (E) ~q ~p Nessa última alternativa, já temos a condicional resultante. Sabemos que uma condicional qualquer só possui um possível valor lógico falso, enquanto que uma conjunção só possui um possível valor lógico verdadeiro. Logo, essas proposições não podem ser equivalentes. Item errado. Resposta letra D (PROMINP 2010 CESGRANRIO) Assinale a alternativa que apresenta uma proposição logicamente equivalente a ~p q. (A) p q (B) p ~q (C) q ~p (D) ~q p (E) ~q ~p Solução: Devemos lembrar que duas proposições são ditas equivalentes quando elas possuem a mesma tabela-verdade, ou seja, os mesmos valores lógicos. Assim, para resolver esta questão basta construir a tabela verdade de cada uma das alternativas e comparar com a tabela-verdade de ~p q: p q ~p ~p q V V F V V F F V F V V V F F V F Comparando com as alternativas, temos: (A) p q Prof. Marcos Piñon 37 de 69

38 p q ~p p q ~p q V V F V V V F F F V F V V V V F F V V F Item errado, pois as tabelas-verdade não são iguais. (B) p ~q p q ~p ~q p ~q ~p q V V F F F V V F F V V V F V V F V V F F V V V F Item errado, pois as tabelas-verdade não são iguais. (C) q ~p p q ~p q ~p ~p q V V F F V V F F V V F V V V V F F V V F Item errado, pois as tabelas-verdade não são iguais. (D) ~q p p q ~p ~q ~q p ~p q V V F F V V V F F V V V F V V F V V F F V V F F Item correto, pois suas tabelas-verdade são iguais. Essa é a resposta. (E) ~q ~p Prof. Marcos Piñon 38 de 69

39 p q ~p ~q ~q ~p ~p q V V F F V V V F F V F V F V V F V V F F V V V F Item errado, pois as tabelas-verdade não são iguais. Uma outra forma de resolver esta questão é você se lembrar desta equivalência: p q = ~q ~p (uma condicional é equivalente a sua contrapositiva) Assim, fazendo o mesmo para ~p q: ~p q = ~q ~(~p) que é o mesmo que: ~p q = ~q p Resposta letra D (Agente Fiscal de Rendas/SP 2006 FCC) Das proposições abaixo, a única que é logicamente e equivalente a p q é (A) q ~p (B) ~(q p) (C) ~q ~p (D) ~q p (E) ~p ~q Solução: Nessa questão, da mesma forma que fizemos na questão anterior, poderíamos simplesmente construir as tabelas-verdade das alternativas e compará-las com a tabela-verdade da proposição do enunciado. Outra forma de resolver é simplesmente lembrar da principal equivalência da condicional: p q ~q ~p Aconselho decorar essa equivalência, pois ela pode ser muito útil na prova. Nessa questão, por exemplo, você não perderia mais do que um minuto para resolvê-la se tivesse decorado essa equivalência. Resposta letra C. Prof. Marcos Piñon 39 de 69

40 20 - (TCE/MG 2007 FCC) São dadas as seguintes proposições: (1) Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente. (2) Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é eficiente. (3) Não é verdade que, Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é eficiente. (4) Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas. É correto afirmar que são logicamente equivalentes apenas as proposições de números (A) 2 e 4 (B) 2 e 3 (C) 2, 3 e 4 (D) 1, 2 e 3 (E) 1, 3 e 4 Solução: Nessa questão, vamos começar passando as quatro proposições para a linguagem simbólica: (1) Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente. p: Jaime trabalha no Tribunal de Contas q: Jaime é eficiente Assim, a proposição 1 fica: (1) p q (2) Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é eficiente. (2) ~p ~q (3) Não é verdade que, Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é eficiente. (3) ~(p ~q) (4) Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas. (2) q v ~p Bom, agora nos resta verificar quais são as proposições equivalentes. Para isso, vou construir um tabelão-verdade : Prof. Marcos Piñon 40 de 69

41 (1) (2) (3) (4) p q ~p ~q p ~q p q ~p ~q ~(p ~q) q v ~p V V F F F V V V V V F F V V F V F F F V V F F V F V V F F V V F V V V V Portanto, são equivalentes as proposições 1, 3 e 4. Resposta letra E (Agente Fiscal de Rendas/SP 2006 FCC) Dentre as alternativas abaixo, assinale a correta. (A) A proposição "Se está quente, ele usa camiseta", é logicamente equivalente à proposição "Não está quente e ele usa camiseta". (B) A proposição "Se a Terra é quadrada então a Lua é triangular"é falsa. (C) A proposição ~(p q) e (~p v ~q) não são logicamente equivalentes. (D) A negação da proposição "Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo está bom", é a proposição "Ele não faz caminhada se, e somente se, o tempo não está bom". (E) A proposição ~[p v ~(p q)] é logicamente falsa. Solução: Nessa questão, vamos analisar cada alternativa: (A) A proposição "Se está quente, ele usa camiseta", é logicamente equivalente à proposição "Não está quente e ele usa camiseta". Vamos começar passando as duas proposições para a linguagem simbólica: p: está quente q: ele usa camiseta p q: Se está quente, ele usa camiseta ~p q: Não está quente e ele usa camiseta Construindo a tabela-verdade dessas duas proposições, temos: p q ~p p q ~p q V V F V F V F F F F F V V V V F F V V F Prof. Marcos Piñon 41 de 69

42 Logo, as duas proposições não são logicamente equivalentes. Item errado. (B) A proposição "Se a Terra é quadrada então a Lua é triangular" é falsa. Podemos perceber que temos nesse item uma condicional. Passando para a linguagem simbólica, temos: p: a Terra é quadrada q: a Lua é triangular p q: Se a Terra é quadrada então a Lua é triangular Ora, sabemos que a Terra não é quadrada e sabemos que a Lua não é triangular, portanto, tanto o p quanto o q são falsos. Assim: p q F F = V Logo, o item está errado. (C) As proposições ~(p q) e (~p v ~q) não são logicamente equivalentes. Podemos perceber que a proposição ~(p q) é a negação de uma conjunção, que é dada por: ~(p q) = ~p v ~q Logo, ~(p q) é equivalente a (~p v ~q). Item errado. (D) A negação da proposição "Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo está bom", é a proposição "Ele não faz caminhada se, e somente se, o tempo não está bom". Passando a proposição "Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo está bom" para a linguagem simbólica, temos: p: Ele faz caminhada q: O tempo está bom p q: Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo está bom Vimos que a negação da bicondicional é dada por: ~(p q) (p ~q) v (q ~p) Prof. Marcos Piñon 42 de 69

43 Voltando, agora, para a linguagem corrente, temos: (p ~q): Ele faz caminhada e o tempo não está bom (q ~p): O tempo está bom e ele não faz caminhada (p ~q) v (q ~p): Ele faz caminhada e o tempo não está bom ou o tempo está bom e ele não faz caminhada Logo, o item está errado. (E) A proposição ~[p v ~(p q)] é logicamente falsa. Vamos construir a tabela-verdade dessa proposição e verificar se realmente ela é logicamente falsa: p q p q ~(p q) p v ~(p q) ~[p v ~(p q)] V V V F V F V F F V V F F V F V V F F F F V V F Podemos perceber que a proposição ~[p v ~(p q)] é logicamente falsa. Item correto. Resposta letra E (TRT 9ª Região 2004 FCC) Em uma declaração ao tribunal, o acusado de um crime diz: No dia do crime, não fui a lugar nenhum. Quando ouvi a campainha e percebi que era o vendedor, eu disse a ele: hoje não compro nada. Isso posto, não tenho nada a declarar sobre o crime. Embora a dupla negação seja utilizada com certa frequência na língua portuguesa como um reforço da negação, do ponto de vista puramente lógico, ela equivale a uma afirmação. Então, do ponto de vista lógico, o acusado afirmou, em relação ao dia do crime, que (A) não foi a lugar algum, não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. (B) não foi a lugar algum, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime. Prof. Marcos Piñon 43 de 69

44 (C) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime. (D) foi a algum lugar, não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. (E) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. Solução: Bom, temos três declarações do acusado: não fui a lugar nenhum não compro nada não tenho nada a declarar sobre o crime Perceba que as três declarações apresentam dupla negação. Na primeira afirmativa, o correto seria falar que não fui a lugar algum, mas quando se fala não fui a lugar nenhum há uma dupla negação, o não ir e o nenhum lugar. Na segunda afirmativa, o correto seria falar que não compro algo, mas quando se fala não compro nada há uma dupla negação, o não comprar e o nenhum objeto. Na terceira afirmativa, o correto seria falar que não tenho algo a declarar..., mas quando se fala não tenho nada a declarar... há uma dupla negação, o não ter e o nenhuma coisa a declarar. Resposta letra C (PROMINP 2010 CESGRANRIO) Qual, dentre as proposições abaixo, é uma proposição logicamente equivalente a ~p ~q? (A) p q (B) p ~q (C) q ~p (D) q p (E) ~q ~p Solução: Mais uma questão semelhante ao que já vimos anteriormente. Devemos saber qual das alternativas é logicamente equivalente ~p ~q. Para isso, como fizemos lá em cima, podemos construir as tabelas-verdade e compará-las, ou, simplesmente, lembrar que uma condicional A B é equivalente à sua contrapositiva ~B ~A. Assim, temos: Prof. Marcos Piñon 44 de 69

45 A B = ~B ~A Da mesma forma, ~p ~q = ~(~q) ~(~p) ou seja, ~p ~q = q p Resposta letra D (Assembléia Legislativa/SP 2010 FCC) Durante uma sessão no plenário da Assembléia Legislativa, o presidente da mesa fez a seguinte declaração, dirigindo-se às galerias da casa: Se as manifestações desrespeitosas não forem interrompidas, então eu não darei início à votação. Esta declaração é logicamente equivalente à afirmação (A) se o presidente da mesa deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas foram interrompidas. (B) se o presidente da mesa não deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas não foram interrompidas. (C) se as manifestações desrespeitosas forem interrompidas, então o presidente da mesa dará início à votação. (D) se as manifestações desrespeitosas continuarem, então o presidente da mesa começará a votação. (E) se as manifestações desrespeitosas não continuarem, então o presidente da mesa não começará a votação. Solução: Bom, devemos verificar qual das alternativas é equivalente à frase do presidente da mesa. Lembremos que duas proposições lógicas são ditas equivalentes se elas forem formadas pelas mesmas proposições simples e suas tabelas-verdade forem iguais. Nessa questão, vamos passar todas as proposições para a linguagem simbólica e construir suas tabelas-verdade para compará-las. Se as manifestações desrespeitosas não forem interrompidas, então eu não darei início à votação. p: as manifestações desrespeitosas não forem interrompidas q: eu não darei início à votação Prof. Marcos Piñon 45 de 69

46 p q: Se as manifestações desrespeitosas não forem interrompidas, então eu não darei início à votação Agora, vamos checar cada alternativa: p q p q V V V V F F F V V F F V (A) se o presidente da mesa deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas foram interrompidas. ~q ~p p q ~p ~q p q ~q ~p V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V Portanto, as tabelas-verdade de p q e de ~q ~p são iguais. Item correto. q p (B) se o presidente da mesa não deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas não foram interrompidas. q p ~q ~p p q p q q p V V V V V F F V F V V F F F V V Portanto, as tabelas-verdade de p q e de q p não são iguais. Item errado. ~p ~q (C) se as manifestações desrespeitosas forem interrompidas, então o presidente da mesa dará início à votação. Prof. Marcos Piñon 46 de 69

47 ~p ~q p q ~p ~q p q ~p ~q V V F F V V V F F V F V F V V F V F F F V V V V Portanto, as tabelas-verdade de p q e de ~p ~q não são iguais. Item errado. p ~q (D) se as manifestações desrespeitosas continuarem, então o presidente da mesa começará a votação. p ~q p q ~q p q p ~q V V F V F V F V F V F V F V V F F V V V Portanto, as tabelas-verdade de p q e de p ~q não são iguais. Item errado. ~p q (E) se as manifestações desrespeitosas não continuarem, então o presidente da mesa não começará a votação. p ~q p q ~p p q ~p q V V F V V V F F F V F V V V V F F V V F Portanto, as tabelas-verdade de p q e de ~p q não são iguais. Item errado. Resposta letra A (TRF 3ª Região 2007 FCC) Se Lucia é pintora, então ela é feliz. Portanto: (A) Se Lucia não é feliz, então ela não é pintora. (B) Se Lucia é feliz, então ela é pintora. (C) Se Lucia é feliz, então ela não é pintora. (D) Se Lucia não é pintora, então ela é feliz. Prof. Marcos Piñon 47 de 69

48 (E) Se Lucia é pintora, então ela não é feliz. Solução: Bom, o que essa questão está querendo é que encontremos uma proposição equivalente ao enunciado. Podemos fazer da mesma forma que a questão anterior, ou podemos lembrar da equivalência da condicional e ir direto para a resposta. Vou utilizar o segundo método na resolução dessa questão. Assim, vamos começar passando o enunciado para a linguagem simbólica: Se Lucia é pintora, então ela é feliz p: Lúcia é pintora q: Lúcia é feliz p q: Se Lucia é pintora, então ela é feliz Devemos lembrar que uma equivalência da condicional é dada por: p q ~q ~p Assim: ~p: Lúcia não é pintora ~q: Lúcia não é feliz ~q ~p: Se Lúcia não é feliz então ela não é pintora Resposta letra A (TRT 9ª Região 2004 FCC) Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista: Se os juros bancários são altos, então a inflação é baixa. Uma proposição logicamente equivalente à do economista é: (A) se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos. (B) se a inflação é alta, então os juros bancários são altos. (C) se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa. (D) os juros bancários são baixos e a inflação é baixa. (E) ou os juros bancários, ou a inflação é baixa. Solução: Mais uma questão bastante parecida. Vamos encontrar a equivalência: Se os juros bancários são altos, então a inflação é baixa p: os juros bancários são altos Prof. Marcos Piñon 48 de 69

49 q: a inflação é baixa p q: Se os juros bancários são altos, então a inflação é baixa Lembrando aquela equivalência da condicional: p q ~q ~p ~p: os juros bancários não são altos ~q: a inflação não é baixa ~q ~p: Se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos. Resposta letra A (ANA 2012 Cetro) Dizer que X é azul ou Y não é vermelho é logicamente equivalente a dizer que (A) Se X é azul, então Y não é vermelho (B) X é azul se e somente se Y não é vermelho (C) Se X não é azul, então Y é vermelho (D) Se Y é vermelho, então X é azul (E) X não é azul e Y é vermelho Solução: Bom, nessa questão, devemos verificar qual a alternativa que apresenta uma proposição equivalente ao enunciado. Vejamos: p: X é azul q: Y é vermelho p v ~q: X é azul ou Y não é vermelho p q ~q p v ~q V V F V V F V V F V F F F F V V Agora, vamos checar cada alternativa: (A) Se X é azul, então Y não é vermelho (p ~q) Prof. Marcos Piñon 49 de 69

50 p q ~q p ~q p ~q V V F F V V F V V V F V F V F F F V V V Não são equivalentes. (B) X é azul se e somente se Y não é vermelho (p ~q) p q ~q p ~q p ~q V V F F V V F V V V F V F V F F F V F V Não são equivalentes. (C) Se X não é azul, então Y é vermelho (~p q) p q ~p ~q ~p q p ~q V V F F V V V F F V V V F V V F V F F F V V F V Não são equivalentes. (D) Se Y é vermelho, então X é azul (q p) p q ~q q p p ~q V V F V V V F V V V F V F F F F F V V V Portanto, as duas proposições são equivalentes. Essa é a resposta. (E) X não é azul e Y é vermelho (~p q) p q ~p ~q ~p q p ~q V V F F F V V F F V F V F V V F V F F F V V F V Prof. Marcos Piñon 50 de 69

51 Não são equivalentes. Portanto, resposta letra D (ANA 2012 Cetro) Se Viviane não dança, Márcia não canta. Logo, (A) Viviane dançar é condição suficiente para Márcia cantar (B) Viviane não dançar é condição necessária para Márcia não cantar (C) Viviane dançar é condição necessária para Márcia cantar (D) Viviane não dançar é condição suficiente para Márcia cantar (E) Viviane dançar é condição necessária para Márcia não cantar Solução: Nessa questão, temos o seguinte: p: Viviane dança q: Márcia canta Assim, podemos representar a proposição da seguinte forma: ~p ~q: Se Viviane não dança, Márcia não canta Sabemos que numa condicional A B, o A é a condição suficiente para B e o B é a condição necessária para A. Não temos nenhuma alternativa que diga que Viviane não dançar é condição suficiente para Márcia não cantar ou que diga que Márcia não cantar é condição necessária para Viviane não dançar. Assim, substituindo a proposição da equação por uma proposição equivalente, temos: ~p ~q = q p q p: Se Márcia canta, Viviane dança Com isso, podemos concluir que Márcia cantar é condição suficiente para Viviane dançar ou que Viviane dançar é condição necessária para Márcia cantar. Portanto, resposta letra C Continuando com a teoria, vamos aprender mais algumas simbologias e sua aplicação na lógica. Lembram quando eu disse que era possível transformar sentenças abertas em proposições com a utilização de quantificadores? Pois é, isso nós veremos agora! Prof. Marcos Piñon 51 de 69

52 Já sabemos que a expressão x + 5 = 10 é uma sentença aberta (também chamada de função proposicional ), e, portanto, não é considerada uma proposição, já que ela possui um elemento (o x ) que não permite sabermos se é verdadeira ou falsa. Mas se eu disser que existe x tal que x + 5 = 10. Será que agora poderemos atribuir um valor lógico a essa sentença? Claro que sim! E esse valor lógico é V, já que realmente existe x (nesse caso x = 5) que torna a sentença verdadeira. Mas como representamos simbolicamente esses quantificadores? Os principais quantificadores são representados da seguinte forma: : (lê-se: existe; existe pelo menos um; existe um) : (lê-se: para todo; qualquer que seja; para cada) : (lê-se: existe só um; existe um e um só; existe só um) (este aparece muito pouco em concurso) Assim, para transformar a sentença aberta x + 5 = 10 em proposição, adicionamos um quantificador e representamos assim: ( x)(x + 5 = 10): (lê-se: existe x tal que x mais cinco é igual a dez) Nesse caso, o valor lógico dessa proposição é verdadeiro, pois para x = 5, x + 5 = 10. Ou então: ( x)(x + 5 = 10): (lê-se: para todo x, temos que x mais cinco é igual a dez) Nesse caso, o valor lógico é falso, pois para x = 4 (por exemplo), x É preciso saber também, a negação desses quantificadores. Vejamos: - A negação de existe... que é... ( ) é todo... não é... ( ) (ou, nenhum... é... ). - A negação de todo... é... ( ) é existe... que não é... ( ). Portanto, a negação de existe... que é... é dada por todo... não é... e a negação de todo... é... é dado por existe... que não é.... Vamos ver umas questões para tentar melhorar o entendimento (BANCO DO BRASIL 2010 CESGRANRIO) Qual a negação da proposição Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos? Prof. Marcos Piñon 52 de 69

53 (A) Todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. (B) Não existe funcionário da agência P do Banco do Brasil com 20 anos. (C) Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem mais de 20 anos. (D) Nenhum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. (E) Nem todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. Solução: Devemos saber que a negação de uma proposição do tipo algum... é... é dada por todo... não é... ou então por nenhum... é.... Assim, temos: A: Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos Então, ~A: Todo funcionário da agência P do Banco do Brasil não tem menos de 20 anos que é o mesmo que ~A: Nenhum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos Resposta letra D (TRT 9ª Região 2004 FCC) A correta negação da proposição todos os cargos deste concurso são de analista judiciário é: (A) alguns cargos deste concurso são de analista judiciário. (B) existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário. (C) existem cargos deste concurso que são de analista judiciário. (D) nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário. (E) os cargos deste concurso são ou de analista, ou no judiciário. Solução: Bom, temos uma proposição do tipo Todo A é B. Vimos que a negação de uma proposição deste tipo é Algum A não é B. Assim: A: Todos os cargos deste concurso são de analista judiciário ~A: Algum cargo deste concurso não é de analista judiciário. Resposta letra B. Prof. Marcos Piñon 53 de 69

54 31 - (CITEPE 2010 CESGRANRIO) A negação de Todas as portas estão trancadas é (A) Todas as portas estão destrancadas. (B) Todas as portas estão abertas. (C) Alguma porta está fechada. (D) Alguma porta está trancada. (E) Alguma porta está destrancada. Solução: Lembrando que a negação de Todo... é... é dada pro Algum... não é..., temos: A: Todas as portas estão trancadas ~A: Alguma porta não está trancada que é o mesmo que ~A: Alguma porta está destrancada Resposta letra E Vimos, até agora, as proposições do tipo se Marcos... então Pedro... ou então (A v B) C. Ocorre que as proposições também podem aparecer na forma de expressões matemáticas, por exemplo: Se X > 0 então X R. E então, se eu pedir para vocês me falarem a negação dessa proposição, como fica? Calma, que eu explico! É bem simples, da mesma forma que fizemos quando tínhamos as sentenças na linguagem corrente, faremos para as expressões matemáticas: passaremos tudo para a linguagem simbólica. Vamos ao nosso exemplo: Proposição: Se X > 0 então X R (lê-se se X é maior do que zero, então a raiz quadrada de X pertence ao conjunto dos números reais ) Batizando as proposições simples, temos: A: X > 0 B: X R Assim, estamos diante de uma proposição A B. Para encontrar o resultado da negação dessa proposição, fazemos: ~(A B) = A ~B Prof. Marcos Piñon 54 de 69

55 O A continua o mesmo, resta saber qual é a negação do B ( X R). Como você negaria essa proposição se ela lhe fosse apresentada na linguagem corrente? Isso mesmo: a raiz quadrada de X não pertence ao conjunto dos números reais. Agora é só escrever isso na forma de uma expressão matemática: ~B: X R Assim, a negação de Se X > 0 então X R é dado por: X > 0 e X R Não é simples? Pois é, o que pode dificultar é você não se lembrar desses símbolos utilizados na matemática. Vou apresentar uma tabela para ajudar vocês a se lembrarem. Símbolo Significado Símbolo da Negação Significado = Igual Diferente > Maior que Menor ou igual que < Menor que Maior ou igual que Pertence Não pertence Está contido Não está contido Vamos às questões! (Agente Fiscal de Rendas/SP 2006 FCC) Considere as afirmações abaixo. I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par. II. A proposição "(10 < 10 ) (8 3 = 6)" é falsa. III. Se p e q são proposições, então a proposição "(p q) v (~q)" é uma tautologia. É verdade o que se afirma APENAS em (A) I. (B) II. (C) III. (D) I e II. (E) I e III. Solução: Nessa questão, devemos analisar se as proposições são verdadeiras ou falsas. Vamos analisar cada uma: Prof. Marcos Piñon 55 de 69

56 I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par. Vimos que o número de linhas de uma tabela-verdade é dado por 2 n, onde n é a quantidade de variáveis (proposições simples). Ora, 2 n sempre será um número par, pois como teremos pelo menos uma variável, n sempre será maior do que zero e, assim, 2 n sempre será um número par: Para n = 1, 2 1 = 2 Para n = 2, 2 2 = 4 Para n = 3, 2 3 = 8... Assim, essa proposição é verdadeira. II. A proposição "(10 < 10 ) (8 3 = 6)" é falsa. Sabemos que 10 é maior do que raiz de 10 e sabemos que 8 3 = 5. Logo: (10 < 10 ) é falso (8 3 = 6) é falso (10 < 10 ) (8 3 = 6) F F = V Assim, essa proposição é falsa. III. Se p e q são proposições, então a proposição "(p q) v (~q)" é uma tautologia. Vamos construir a tabela-verdade e verificar se "(p q) v (~q)" é uma tautologia: p q ~q p q (p q) v (~q) V V F V V V F V F V F V F V V F F V V V Portanto, a proposição "(p q) v (~q)" é uma tautologia, e essa proposição é verdadeira. Resposta letra E. Prof. Marcos Piñon 56 de 69

57 33 - (PROMINP 2010 CESGRANRIO) A negação da proposição x é positivo e y é ímpar é (A) x é negativo e y é par. (B) x é negativo ou y é par. (C) x é negativo ou y não é ímpar. (D) x não é positivo e y é par. (E) x não é positivo ou y é par. Solução: Bom, nessa questão devemos negar a proposição x é positivo e y é ímpar. Podemos perceber que estamos diante de uma conjunção. Vejamos: A B x é positivo e y é ímpar A: x é positivo B: y é impar Devemos lembrar que a negação de uma conjunção A B é dada por ~A v ~B. Assim, temos: ~A: x não é positivo ~B: y não é impar Portanto, ~A v ~B é dado por: ~A v ~B x não é positivo ou y não é ímpar Olhando rapidamente para as alternativas, podemos perceber que não há nenhuma literalmente igual a x não é positivo ou y não é ímpar. Vamos, então, analisar cada alternativa com mais calma: A) x é negativo e y é par. Essa alternativa está errada, pois o conectivo utilizado foi o e e não o ou. Item errado. B) x é negativo ou y é par. Podemos perceber que o conectivo está correto (ou). Agora, resta comparar se x não é positivo é o mesmo que x é negativo e se y não é ímpar é o mesmo que y é par. x não é positivo X x é negativo Prof. Marcos Piñon 57 de 69

58 Dizer que um número não é positivo não é o mesmo que dizer que um número é negativo, pois, a título de exemplo, o zero não é positivo e também não é negativo. Portanto, item errado. C) x é negativo ou y não é ímpar. Da mesma forma que o item B, podemos perceber que este item está errado, pois, dizer que um número não é positivo não é o mesmo que dizer que um número é negativo. Item errado. D) x não é positivo e y é par. Essa alternativa está errada, pois o conectivo utilizado foi o e e não o ou. Item errado. E) x não é positivo ou y é par. Só restou esse item. Comparando x não é positivo ou y é par com x não é positivo ou y não é ímpar, temos que a única diferença é saber se dizer que y é par é o mesmo que dizer que y não é ímpar. y é par X y não é ímpar Para números inteiros, dizer que um número é par é o mesmo que dizer que ele não é ímpar, pois o zero é considerado par. Portanto, este item está correto. Resposta letra E. Prof. Marcos Piñon 58 de 69

59 5 - Questões comentadas nesta aula 01 - (TCE/PB 2006 FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte há expressões e sentenças: 1. Três mais nove é igual a doze. 2. Pelé é brasileiro. 3. O jogador de futebol. 4. A idade de Maria. 5. A metade de um número. 6. O triplo de 15 é maior do que 10. É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças apenas os itens de números (A) 1, 2 e 6. (B) 2, 3 e 4. (C) 3, 4 e 5. (D) 1, 2, 5 e 6. (E) 2, 3, 4 e (Agente Fiscal de Rendas/SP 2006 FCC) Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em II. (x + y)/5 é um número inteiro. III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em É verdade que APENAS (A) I é uma sentença aberta. (B) II é uma sentença aberta. (C) I e II são sentenças abertas. (D) I e III são sentenças abertas. (E) II e III são sentenças abertas (Agente Fiscal de Rendas/SP 2006 FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. A frase que não possui essa característica comum é a Prof. Marcos Piñon 59 de 69

60 (A) I. (B) II. (C) III. (D) IV. (E) V (Agente Fiscal de Rendas/SP 2006 FCC) Considere a proposição Paula estuda, mas não passa no concurso. Nessa proposição, o conectivo lógico é: (A) condicional. (B) bicondicional. (C) disjunção inclusiva. (D) conjunção. (E) disjunção exclusiva (TJ/SE 2009 FCC) Considere as seguintes premissas: p : Trabalhar é saudável q : O cigarro mata. A afirmação Trabalhar não é saudável" ou "o cigarro mata é FALSA se (A) p é falsa e ~q é falsa. (B) p é falsa e q é falsa. (C) p e q são verdadeiras. (D) p é verdadeira e q é falsa. (E) ~p é verdadeira e q é falsa (PROMINP 2010 CESGRANRIO) Assinale a alternativa que apresenta uma proposição composta cujo valor lógico é verdadeiro. (A) 4 2 = 2 4 ( 3) 2 = 9 (B) = 6 v 21 é primo (C) < 2 (D) 3 2 = 8 1 < 2 (E) 3 2 = (CITEPE 2009 CESGRANRIO) Considere as proposições simples abaixo. p: Janaína é irmã de Mariana. q: Mariana é filha única. Simbolizam-se por ~p e ~q, respectivamente, as negações de p e de q. Prof. Marcos Piñon 60 de 69

61 A proposição composta ~p q corresponde a: (A) Janaína é irmã de Mariana e Mariana é filha única. (B) Janaína não é irmã de Mariana e Mariana é filha única. (C) Janaína não é irmã de Mariana ou Mariana é filha única. (D) Janaína não é irmã de Mariana ou Mariana não é filha única. (E) Se Janaína não é irmã de Mariana, então Mariana é filha única (TRT 9ª Região 2004 FCC) Leia atentamente as proposições simples P e Q: P: João foi aprovado no concurso do Tribunal. Q: João foi aprovado em um concurso. Do ponto de vista lógico, uma proposição condicional correta em relação a P e Q é: (A) Se não Q, então P. (B) Se não P, então não Q. (C) Se P, então Q. (D) Se Q, então P. (E) Se P, então não Q (Agente Fiscal de Rendas/SP 2006 FCC)) Considere o argumento seguinte: Se o controle de tributos é eficiente e é exercida a repressão à sonegação fiscal, então a arrecadação aumenta. Ou as penalidades aos sonegadores não são aplicadas ou o controle de tributos é ineficiente. É exercida a repressão à sonegação fiscal. Logo, se as penalidades aos sonegadores são aplicadas, então a arrecadação aumenta. Se para verificar a validade desse argumento for usada uma tabela-verdade, qual deverá ser o seu número de linhas? (A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 32 (E) (Agente Fiscal de Rendas/SP 2006 FCC) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. Prof. Marcos Piñon 61 de 69

62 p q? V V F V F V F V F F F F A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é (A) p q (B) ~ (p v q) (C) p q (D) p q (E) ~(p q) 11 - (Agente Fiscal de Rendas/SP 2006 FCC) Seja a sentença aberta A: (~p v p) e a sentença B: Se o espaço for ocupado por uma (I), a sentença A será uma (II). A sentença B se tornará verdadeira se I e II forem substituídos, respectivamente, por (A) tautologia e contingência. (B) contingência e contingência. (C) contradição e tautologia. (D) contingência e contradição. (E) tautologia e contradição (Agente Fiscal de Rendas/SP 2006 FCC) Dada a sentença ~(~p q r), complete o espaço com uma e uma só das sentenças simples p, q, r ou a sua negação ~p, ~q ou ~r para que a sentença dada seja uma tautologia. Assinale a opção que responde a essa condição. (A) Somente q. (B) Somente p. (C) Somente uma das duas: q ou r. (D) Somente uma das três: ~p, q ou r. (E) Somente uma das três: p, ~q ou ~r (PROMINP 2010 CESGRANRIO) Abaixo são apresentadas 3 proposições compostas. I. p ~p II. p v ~p III. p p É(São) tautologia(s) APENAS Prof. Marcos Piñon 62 de 69

63 (A) I. (B) II. (C) I e II. (D) I e III. (E) II e III (CITEPE 2009 CESGRANRIO) Tautologias são proposições compostas cuja tabela-verdade dá sempre verdadeiro, não importando se as proposições simples p e q são verdadeiras ou falsas. Na proposição composta p (p q) os símbolos e representam conectivos. Assinale a alternativa que apresenta, na ordem, conectivos que, ao substituírem o quadrado e o triângulo, transformam a proposição composta em uma tautologia. (A) v (B) (C) (D) (E) v 15 - (PROMINP 2010 CESGRANRIO) A negação de p ~q é (A) p q (B) ~p q (C) p v q (D) p ~q (E) p q 16 - (CITEPE 2009 CESGRANRIO) A negação da proposição composta Janaína é irmã de Mariana e Mariana não é filha única é A) se Janaína é irmã de Mariana, então Mariana é filha única. B) se Janaína não é irmã de Mariana, então Mariana não é filha única. C) se Janaína não é irmã de Mariana, então Mariana é filha única. D) Janaína é irmã de Mariana e Mariana é filha única. E) Janaína não é irmã de Mariana ou Mariana é filha única (Agente Fiscal de Rendas/SP 2006 FCC) Se p e q são proposições, então a proposição p (~q) é equivalente a (A) ~(q ~p) (B) ~(p v q) (C) ~(p ~q) (D) ~(p q) Prof. Marcos Piñon 63 de 69

64 (E) ~q ~p 18 - (PROMINP 2010 CESGRANRIO) Assinale a alternativa que apresenta uma proposição logicamente equivalente a ~p q. (A) p q (B) p ~q (C) q ~p (D) ~q p (E) ~q ~p 19 - (Agente Fiscal de Rendas/SP 2006 FCC) Das proposições abaixo, a única que é logicamente e equivalente a p q é (A) q ~p (B) ~(q p) (C) ~q ~p (D) ~q p (E) ~p ~q 20 - (TCE/MG 2007 FCC) São dadas as seguintes proposições: (1) Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente. (2) Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é eficiente. (3) Não é verdade que, Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é eficiente. (4) Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas. É correto afirmar que são logicamente equivalentes apenas as proposições de números (A) 2 e 4 (B) 2 e 3 (C) 2, 3 e 4 (D) 1, 2 e 3 (E) 1, 3 e (Agente Fiscal de Rendas/SP 2006 FCC) Dentre as alternativas abaixo, assinale a correta. (A) A proposição "Se está quente, ele usa camiseta", é logicamente equivalente à proposição "Não está quente e ele usa camiseta". (B) A proposição "Se a Terra é quadrada então a Lua é triangular"é falsa. (C) A proposição ~(p q) e (~p v ~q) não são logicamente equivalentes. Prof. Marcos Piñon 64 de 69

65 (D) A negação da proposição "Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo está bom", é a proposição "Ele não faz caminhada se, e somente se, o tempo não está bom". (E) A proposição ~[p v ~(p q)] é logicamente falsa (TRT 9ª Região 2004 FCC) Em uma declaração ao tribunal, o acusado de um crime diz: No dia do crime, não fui a lugar nenhum. Quando ouvi a campainha e percebi que era o vendedor, eu disse a ele: hoje não compro nada. Isso posto, não tenho nada a declarar sobre o crime. Embora a dupla negação seja utilizada com certa frequência na língua portuguesa como um reforço da negação, do ponto de vista puramente lógico, ela equivale a uma afirmação. Então, do ponto de vista lógico, o acusado afirmou, em relação ao dia do crime, que (A) não foi a lugar algum, não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. (B) não foi a lugar algum, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime. (C) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime. (D) foi a algum lugar, não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. (E) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime (PROMINP 2010 CESGRANRIO) Qual, dentre as proposições abaixo, é uma proposição logicamente equivalente a ~p ~q? (A) p q (B) p ~q (C) q ~p (D) q p (E) ~q ~p 24 - (Assembléia Legislativa/SP 2010 FCC) Durante uma sessão no plenário da Assembléia Legislativa, o presidente da mesa fez a seguinte declaração, dirigindose às galerias da casa: Prof. Marcos Piñon 65 de 69

66 Se as manifestações desrespeitosas não forem interrompidas, então eu não darei início à votação. Esta declaração é logicamente equivalente à afirmação (A) se o presidente da mesa deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas foram interrompidas. (B) se o presidente da mesa não deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas não foram interrompidas. (C) se as manifestações desrespeitosas forem interrompidas, então o presidente da mesa dará início à votação. (D) se as manifestações desrespeitosas continuarem, então o presidente da mesa começará a votação. (E) se as manifestações desrespeitosas não continuarem, então o presidente da mesa não começará a votação (TRF 3ª Região 2007 FCC) Se Lucia é pintora, então ela é feliz. Portanto: (A) Se Lucia não é feliz, então ela não é pintora. (B) Se Lucia é feliz, então ela é pintora. (C) Se Lucia é feliz, então ela não é pintora. (D) Se Lucia não é pintora, então ela é feliz. (E) Se Lucia é pintora, então ela não é feliz (TRT 9ª Região 2004 FCC) Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista: Se os juros bancários são altos, então a inflação é baixa. Uma proposição logicamente equivalente à do economista é: (A) se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos. (B) se a inflação é alta, então os juros bancários são altos. (C) se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa. (D) os juros bancários são baixos e a inflação é baixa. (E) ou os juros bancários, ou a inflação é baixa (ANA 2012 Cetro) Dizer que X é azul ou Y não é vermelho é logicamente equivalente a dizer que (A) Se X é azul, então Y não é vermelho (B) X é azul se e somente se Y não é vermelho (C) Se X não é azul, então Y é vermelho (D) Se Y é vermelho, então X é azul (E) X não é azul e Y é vermelho 28 - (ANA 2012 Cetro) Se Viviane não dança, Márcia não canta. Logo, Prof. Marcos Piñon 66 de 69

67 (A) Viviane dançar é condição suficiente para Márcia cantar (B) Viviane não dançar é condição necessária para Márcia não cantar (C) Viviane dançar é condição necessária para Márcia cantar (D) Viviane não dançar é condição suficiente para Márcia cantar (E) Viviane dançar é condição necessária para Márcia não cantar 29 - (BANCO DO BRASIL 2010 CESGRANRIO) Qual a negação da proposição Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos? (A) Todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. (B) Não existe funcionário da agência P do Banco do Brasil com 20 anos. (C) Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem mais de 20 anos. (D) Nenhum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. (E) Nem todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos (TRT 9ª Região 2004 FCC) A correta negação da proposição todos os cargos deste concurso são de analista judiciário é: (A) alguns cargos deste concurso são de analista judiciário. (B) existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário. (C) existem cargos deste concurso que são de analista judiciário. (D) nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário. (E) os cargos deste concurso são ou de analista, ou no judiciário (CITEPE 2010 CESGRANRIO) A negação de Todas as portas estão trancadas é (A) Todas as portas estão destrancadas. (B) Todas as portas estão abertas. (C) Alguma porta está fechada. (D) Alguma porta está trancada. (E) Alguma porta está destrancada (Agente Fiscal de Rendas/SP 2006 FCC) Considere as afirmações abaixo. I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par. II. A proposição "(10 < 10 ) (8 3 = 6)" é falsa. III. Se p e q são proposições, então a proposição "(p q) v (~q)" é uma tautologia. É verdade o que se afirma APENAS em (A) I. Prof. Marcos Piñon 67 de 69

68 (B) II. (C) III. (D) I e II. (E) I e III (PROMINP 2010 CESGRANRIO) A negação da proposição x é positivo e y é ímpar é (A) x é negativo e y é par. (B) x é negativo ou y é par. (C) x é negativo ou y não é ímpar. (D) x não é positivo e y é par. (E) x não é positivo ou y é par. Prof. Marcos Piñon 68 de 69

69 6 - Gabaritos 01 - A 02 - C 03 - D 04 - D 05 - D 06 - D 07 - B 08 - C 09 - C 10 - E 11 - B 12 - E 13 - E 14 - A 15 - E 16 - E 17 - D 18 - D 19 - C 20 - E 21 - E 22 - C 23 - D 24 - A 25 - A 26 - A 27 - D 28 - C 29 - D 30 - B 31 - E 32 - E 33 - E Prof. Marcos Piñon 69 de 69