Rodada #01 Raciocínio Lógico

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1 Rodada #01 Raciocínio Lógico Professor Guilherme Neves Assuntos da Rodada MATEMÁTICA 1. Operações com números reais. 2. Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum. 3. Razão e proporção. 4. Porcentagem. 5. Regra de três simples e composta. 6. Média aritmética simples e ponderada. 7. Juros simples. 8. Equação do 1.o e 2.o graus. 9. Sistema de equações do 1.o grau. 10. Relação entre grandezas: tabelas e gráficos. 11. Sistemas de medidas usuais. 12. Noções de geometria: forma, perímetro, área, volume, ângulo, teorema de Pitágoras. 13. Resolução de situac o es-problema. RACIOCÍNIO LÓGICO Estruturas lógicas, lógicas de argumentação, diagramas lógicos, sequências.

2 a. Teoria em tópicos 1. Chama-se proposição toda oração declarativa que pode ser valorada em verdadeira ou falsa, mas não as duas. Exemplo: Paris está na Inglaterra (Falso). 2. Sendo oração, deve possuir sujeito e predicado. Portanto, expressões como Os alunos do Ponto dos Concursos não são proposições lógicas, pois não possuem predicado (verbo). 3. Sendo declarativa, não pode ser exclamativa, interrogativa, imperativa ou optativa. Desta forma, as expressões abaixo não são consideradas proposições. i) Que belo dia! (exclamativa) ii) Qual é o seu nome? (interrogativa) iii) Leia isto atenciosamente. (imperativa indica ordem) iv) Que Deus te abençoe. (optativa exprime desejo). 4. Um importante tipo de sentença que não é proposição é a chamada sentença aberta ou função proposicional. Sentença aberta é aquela em que o sujeito é um termo variável. Exemplo: Ele foi aprovado no concurso da Receita Federal em

3 A frase acima não é uma proposição lógica, pois não pode ser classificada em V ou F, já que não sabemos quem é ele. Exemplo: x + 2 = 8 A sentença acima não pode ser classificada em V ou F, pois não sabemos o valor de x. A sentença x + 2 = 8 é, portanto, uma sentença aberta (não é proposição lógica). 5. A partir de proposições dadas, podemos construir novas proposições com o auxílio de operadores lógicos. Os operadores lógicos são o modificador (advérbio não) e os conectivos. 6. O modificador é um operador lógico que troca o valor lógico das proposições. Se temos em mãos uma proposição verdadeira, então, ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição falsa. Da mesma forma, se temos em mãos uma proposição falsa, então, ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição verdadeira. 7. Os símbolos que indicam que uma proposição foi modificada são:. A proposição modificada é chamada de negação da proposição original. Exemplos: Está é uma proposição falsa. Ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição verdadeira. 3

4 Esta frase também pode ser lida das seguintes formas: 8. Quando temos uma proposição simples, devemos modificar o verbo principal para negar a frase. Vejamos outro exemplo: Esta é uma proposição verdadeira. Vamos modificar o verbo e torná-la uma proposição falsa. 9. Uma tabela-verdade dispõe as relações entre os valores lógicos das proposições. Tabelas-verdade são especialmente usadas para determinar os valores lógicos de proposições construídas a partir de proposições simples. Observe a tabela que dispõe as relações entre uma proposição p e a sua negação ~p. p ~ p V F F V 4

5 10. Além do modificador, podemos construir novas proposições utilizando conectivos lógicos. 11. Os conectivos cobrados em provas são Conjunção (e), Disjunção Inclusiva (ou), Disjunção Exclusiva (ou...ou), Condicional (se..., então) e o Bicondicional (...se e somente se...). 12. Caso o problema fale apenas disjunção, consideraremos que se trata da Disjunção Inclusiva. 13. Os conectivos podem estar disfarçados sob expressões equivalentes. Exemplo 1: Fui à praia, mas não estudei = Fui à praia e não estudei. Exemplo 2: Quando vou à praia, não durmo = Se vou à praia, então não durmo. Exemplo 3: Penso, logo existo = Se penso, então existo. 14. A proposição Guilherme e Moraes são professores é uma proposição simples. O sujeito dessa proposição, porém, é composto. A proposição Guilherme é professor e Moraes é professor é uma proposição composta. 15. Cada um dos conectivos é representado por um símbolo. Nome do Conectivo Forma mais comum Símbolo 5

6 Conjunção Disjunção (Inclusiva) Disjunção Exclusiva Condicional Bicondicional e ou Ou...ou Se..., então...se e somente se A VUNESP utilizou em algumas provas o símbolo &. Ou seja, a proposição pode ser escrita como p & q. A VUNESP utilizou em algumas provas o símbolo para o conectivo se..., então.... Assim, a proposição é a mesma coisa que. 16. Como distinguir os símbolos e? Basta colocar uma letra O ao lado dos símbolos. Observe: O / O Em qual das duas situações você consegue ler OU? Na palavra da esquerda! Portanto, aquele símbolo é o ou. Consequentemente o outro é o e. Outro processo mnemônico consiste em colocar um pontinho em cima do símbolo. Vejamos: Em qual das duas situações você consegue ver a letra cursiva i? No símbolo da direita! Portanto, aquele símbolo é o e (mesmo fonema do i ). 17. Para classificar uma proposição composta em V ou F, devemos saber a regra de cada um dos conectivos. 6

7 18. Uma proposição composta pelo conectivo e (conjunção) só é verdadeira quando as duas frases componentes são verdadeiras. Se pelo menos uma das frases componentes for falsa, a proposição composta será falsa. Exemplo: Se a proposição João é pobre for falsa e se a proposição João pratica atos violentos for verdadeira, então a proposição João não é pobre, mas pratica atos violentos será verdadeira. Exemplo: A proposição 2+3 = 5 e a Lua é quadrada é falsa, pois um de seus componentes é falso. 19. Uma proposição composta pelo conectivo ou (disjunção (inclusiva)) só é verdadeira se pelo menos um de seus componentes for verdadeiro. A disjunção só será falsa se os dois componentes forem falsos. Exemplo: A proposição 2+3 = 5 ou a Lua é quadrada é verdadeira, pois pelo menos um de seus componentes é verdadeiro. Exemplo: A proposição Paris está na Inglaterra ou 16=3 é falsa, pois seus dois componentes são falsos. 7

8 20. Observe que o conectivo "ou" tem um sentido inclusivo, ou seja, classificamos como verdadeira a proposição composta pelo ou que possui os dois componentes verdadeiros. 21. Ao utilizar o conectivo Ou...ou... a proposição composta só será verdadeira quando APENAS um dos componentes for verdadeiro. Se as duas frases componentes forem verdadeiras, a composta será falsa. Se as duas frases forem falsas, a composta será falsa. Há exercícios em que a banca enfatiza o conectivo ou...ou... colocando a expressão mas não ambos ao final da frase. Assim, Ou p ou q = Ou p ou q, mas não ambos. 22. Na proposição condicional Se p, então q, a proposição p é o antecedente e a proposição q é o consequente. Exemplo: Se Guilherme é recifense, então é Igor é mineiro. 8

9 O antecedente é a proposição Guilherme é recifense e o consequente é a proposição Igor é mineiro. A proposição Se p, então q pode ser lida como p é condição suficiente para q ou como q é condição necessária para p. 23. Uma proposição composta pelo conectivo Se..., então... só é falsa quando ocorre VF, ou seja, quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. Em qualquer outra possibilidade (VV, FV, FF) a composta será verdadeira. Exemplos: 24. O que precisamos saber é apenas isso: se ocorrer VF, ou seja, se o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso, a proposição composta pelo se..., então é falsa. Em todos os outros casos a proposição composta será verdadeira. V V V 9

10 V F F F V V F F V 25. Uma proposição composta pelo conectivo...se e somente se... (bicondicional) é verdadeira quando os dois componentes têm valores iguais, ou seja, VV ou FF. Se os componentes têm valores opostos (VF ou FV), a composta será falsa. 26. O conectivo se e somente se corresponde à conjunção (e) de dois condicionais (se...,então...). Em outras palavras, as proposições P se e somente se Q e Se P, então Q e se Q, então Q querem dizer a mesma coisa (são equivalentes). Exemplo: São equivalentes as proposições Hoje é Natal se e somente se hoje é 25/12 e Se hoje é Natal, então hoje é 25/12 e se hoje é 25/12, então hoje é Natal. A proposição p se e somente se q pode ser lida como p é condição necessária e suficiente para q ou q é condição necessária e suficiente para p. 10

11 27. Podemos resumir tudo o que foi dito sobre conectivos com a seguinte tabelaverdade. V V V V F V V V F F V V F F F V F V V V F F F F F F V V 28. Para facilitar o processo mnemônico, podemos fixar as regras que tornam as compostas verdadeiras. Conjunção As duas proposições p, q devem ser verdadeiras Disjunção Inclusiva Ao menos uma das proposições p, q deve ser verdadeira. Não pode ocorrer o caso de as duas serem falsas. Disjunção Exclusiva Apenas uma das proposições pode ser verdadeira. A proposição composta será falsa se os dois componentes forem verdadeiros ou se os dois componentes forem falsos. Condicional Não pode acontecer o caso de o antecedente ser verdadeiro e o consequente ser falso. Ou seja, não pode acontecer V(p)=V e V(q)=F. Em uma linguagem informal, dizemos que não pode acontecer VF, nesta ordem. Bicondicional Os valores lógicos das duas proposições devem ser iguais. Ou as duas são verdadeiras, ou as duas são falsas. 11

12 29. O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta com n proposições simples é 2 n. Para uma proposição simples p, o número de linhas da tabela-verdade é 2, pois, pelas leis do pensamento a proposição p só pode assumir um dos dois valores lógicos: V ou F. p V F Para duas proposições p e q, o número de linhas da tabela-verdade é 2 2 = 4. SEMPRE que você for construir uma tabela-verdade envolvendo 2 proposições, começaremos com a seguinte disposição. p q V V V F F V F F Para 3 proposições p, q e r, o número de linhas da tabela-verdade é 2 3 = 8. SEMPRE que você for construir uma tabela-verdade envolvendo 3 proposições, começaremos com a seguinte disposição. 12

13 p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as proposições) representa uma valoração. 30. Tautologia é uma proposição composta que é verdadeira independentemente dos valores das proposições simples que a compõem. Vamos considerar três proposições quaisquer p, q e r. Assim, qualquer tabela-verdade envolvendo apenas estas três proposições terá linhas. Desta forma, vamos construir a tabela-verdade da proposição ( p r) (~ q r). E o que significa construir a tabela-verdade desta proposição? 13

14 Significa dispor em uma tabela todas as possibilidades de valoração para esta proposição. Ou seja, estamos preocupados em responder quando é que esta proposição é verdadeira e quando é que ela é falsa. Para tal tarefa, devemos começar com a seguinte disposição: p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Neste começo de tabela, estão dispostas todas as possibilidades de valorações destas 3 proposições. Observe que há um padrão na construção deste início. Na primeira coluna, temos 4 V seguidos de 4 F. Na segunda coluna temos 2 V seguidos de 2 F alternadamente. Por fim, na terceira coluna temos V e F que se alternam. Pois bem toda tabela-verdade envolvendo três proposições começa assim. Queremos construir a tabela-verdade da proposição ( p r) (~ q r). 14

15 Observe que não aparece a proposição propriamente dia e sim a sua negação. Portanto, o primeiro passo é construir a negação de. Lembre-se que se uma proposição é verdadeira, a sua negação é falsa e reciprocamente. p q r ~ q V V V F V V F F V F V V V F F V F V V F F V F F F F V V F F F V Valores opostos!! Vamos obedecer a ordem de preferência. Vamos construir as proposições compostas que estão dentro dos parênteses. Comecemos por. Devemos conectar a proposição com a proposição através do conectivo e. Lembre-se que uma proposição composta pelo e só é verdadeira quando os dois componentes são verdadeiros. Vamos selecionar as linhas em que ambas e são verdadeiras. Todas as outras possibilidades tornam a composta falsa. p q r ~ q p r 15

16 V V V F V V V F F F V F V V V V F F V F F V V F F F V F F F F F V V F F F F V F Vamos agora construir a segunda proposição composta que está dentro de parênteses:. Lembre-se que uma proposição composta pelo conectivo ou é verdadeira quando pelo menos um dos dois componentes for verdadeiro. Vamos nos focar apenas nas linhas em que pelo menos uma das duas ou for verdadeira. p q r ~ q p r ~ q r V V V F V V V V F F F F V F V V V V V F F V F V F V V F F V 16

17 F V F F F F F F V V F V F F F V F V Observe que tanto na linha 2 quanto na linha 6 as duas proposições são falsas, e portanto, a composta construída é falsa nestes casos. Podemos agora, finalmente construir a composta ( p r) (~ q r). Lembre-se que há apenas um caso em que a composta pelo se..., então é falsa: quando o primeiro componente for verdadeiro e o segundo componente falso. Vamos olhar apenas as duas últimas colunas. Vejamos cada linha de per si: 1ª linha: V V (o condicional é verdadeiro). 2ª linha: F F (o condicional é verdadeiro). 3ª linha: V V (o condicional é verdadeiro). 4ª linha: F V (o condicional é verdadeiro). 5ª linha: F V (o condicional é verdadeiro). 6ª linha: F F (o condicional é verdadeiro). 7ª linha: F V (o condicional é verdadeiro). 8ª linha: F V (o condicional é verdadeiro). Desta forma: p q r ~ q p r ~ q r ( p r) (~ q r) 17

18 V V V F V V V V V F F F F V V F V V V V V V F F V F V V F V V F F V V F V F F F F V F F V V F V V F F F V F V V Concluímos que a proposição composta ( p r) (~ q r) é sempre verdadeira, independentemente dos valores atribuídos às proposições. Dizemos então que a proposição ( p r) (~ q r) é uma tautologia (ou proposição logicamente verdadeira). 31. Contradição é uma proposição composta que é falsa independentemente dos valores das proposições simples que a compõem. Para verificar se uma proposição é uma contradição, devemos construir a sua tabelaverdade. 32. Contingência é uma proposição composta que assume valores V ou F a depender dos valores das proposições componentes. 18

19 Para verificar se uma proposição é uma contingência, devemos construir a sua tabelaverdade. 33. Grosso modo, duas proposições são logicamente equivalentes quando elas dizem a mesma coisa. Por exemplo: Eu joguei o lápis. O lápis foi jogado por mim. As duas proposições acima têm o mesmo significado. Elas querem dizer a mesma coisa!! Quando uma delas for verdadeira, a outra também será. Quando uma delas for falsa, a outra também será. Dizemos, portanto, que elas são logicamente equivalentes. Em símbolos, escrevemos. 34. Para mostrar que duas proposições são equivalentes, devemos construir as tabelas-verdade e verificar se elas possuem as mesmas valorações em todas as linhas. Exemplo: Mostre que são equivalentes as proposições, e. Precisamos apenas construir a tabela-verdade. p q ~ q ~ p p q ~ q ~ p ~ p q V V F F V V V V F V F F F F 19

20 F V F V V V V F F V V V V V Como os valores lógicos das três proposições são iguais, elas são ditas logicamente equivalentes. 35. As proposições equivalentes do tópico anterior são responsáveis por 99% das questões de concurso sobre este assunto. Portanto, não se preocupe. Você não precisará construir uma tabela para resolver a questão da sua prova (afirmo isso com 99% de probabilidade de acertar. Rs...). Portanto, memorize as seguintes equivalências: 36. A equivalência permite construir uma proposição composta pelo se...,então... a partir de outra proposição composta pelo se...,então. Para tanto, basta negar os dois componentes e trocar a ordem. Exemplo: São equivalentes as proposições Se bebo, então não dirijo e Se dirijo, então não bebo. 37. A equivalência permite construir uma proposição composta pelo ou a partir de uma composta pelo se...,então.... Para tanto, basta negar o primeiro componente. 20

21 Exemplo: São equivalentes as proposições Penso, logo existo e Não penso ou existo. 38. Para negar uma proposição composta pelo conectivo ou, deve-se negar os componentes e trocar o conectivo por e. Exemplo: A negação de Corro ou não durmo é Não corro e durmo. 39. Para negar uma proposição composta pelo conectivo e, deve-se negar os componentes e trocar o conectivo por ou. Exemplo: A negação de Corro e não durmo é Não corro ou durmo. 40. Para negar uma proposição composta pelo Se...,então... : copie o antecedente, negue o consequente e troque o conectivo por e. Em outras palavras, copie a primeira parte, negue a segunda e troque por e. Exemplo: A negação de Penso, logo existo é Penso e não existo. 41. Proposições quantificadas são aquelas utilizam expressões como Todo, Nenhum, Algum. Observação: Algum = Existe = Pelo menos um = Existe um = Existe pelo menos um = Existe algum 21

22 42. Uma proposição do tipo Todo...é... é chamada de Proposição Universal Afirmativa (U.A.) Exemplo de U.A.: Todo recifense é pernambucano. 43. Uma proposição do tipo Todo...não é... é chamada de Proposição Universal Negativa (U.N.). A Universal Negativa também pode ser representada por Nenhum...é.... Exemplo de U.N.: Todo brasileiro não é uruguaio = Nenhum brasileiro é uruguaio. 44. Uma proposição do tipo Algum...é... é chamada de Proposição Particular Afirmativa (P.A.) Exemplo de P.A.: Algum recifense é pernambucano. 45. Uma proposição do tipo Algum... não é... é chamada de Proposição Particular Negativa (P.N.) Exemplo de P.N.: Algum carioca não é pernambucano. 46. Resumo das proposições quantificadas. Proposição universal afirmativa Todo recifense é pernambucano. Proposição universal negativa Nenhum recifense é pernambucano. 22

23 Proposição particular afirmativa Algum recifense é pernambucano. Proposição particular negativa Algum recifense não é pernambucano. 47. Como negar proposições quantificadas? Se for Particular, troca por Universal (e vice-versa). Se Afirmativa, troca por Negativa. Afirmação Negação Particular afirmativa ( algum... ) Universal negativa ( nenhum... ou todo... não... ) Universal negativa ( nenhum... ou Particular afirmativa ( algum... ) todo... não... ) Universal afirmativa ( todo... ) Particular negativa ( algum... não ) Particular negativa ( algum... não ) Universal afirmativa ( todo... ) Observe que se a proposição original utiliza o quantificador UNIVERSAL, a sua negação terá um quantificador PARTICULAR. Se a proposição original tem um quantificador PARTICULAR, sua negação utilizará o quantificador UNIVERSAL. Verifique ainda que se a proposição original é AFIRMATIVA, sua negação será NEGATIVA. Se a proposição original é NEGATIVA, sua negação será AFIRMATIVA. Vejamos alguns exemplos: p : Algum político é honesto. p : Existe político honesto. A proposição dada é uma PARTICULAR AFIRMATIVA. Sua negação será uma 23

24 UNIVERSAL NEGATIVA. ~ p : Nenhum político é honesto. ~ p : Todo político não é honesto. q : Nenhum brasileiro é europeu. q : Todo brasileiro não é europeu. A proposição dada é uma UNIVERSAL NEGATIVA. Sua negação será uma PARTICULAR AFIRMATIVA. ~ q : Algum brasileiro é europeu. ~ q : Existe brasileiro que é europeu. r : Todo concurseiro é persistente. A proposição dada é uma UNIVERSAL AFIRMATIVA. Sua negação será uma PARTICULAR NEGATIVA. ~ r : Algum concurseiro não é persistente. ~ r : Existe concurseiro que não é persistente. t : Algum recifense não é pernambucano. t : Existe recifense que não é pernambucano. A proposição dada é uma PARTICULAR NEGATIVA. Sua negação será uma UNIVERSAL AFIRMARTIVA. ~ t : Todo recifense é pernambucano. 24

25 48. Como saberemos se uma questão qualquer se refere à negação? De três maneiras: i) A questão explicitamente pede a negação de uma proposição dada. ii) A questão fornece uma proposição verdadeira e pede uma falsa. iii) A questão fornece uma proposição falsa e pede uma verdadeira. 49. O estudo das proposições categóricas (que utilizam quantificadores) pode ser feito utilizando os diagramas de Euler-Venn. É habitual representar um conjunto por uma linha fechada e não entrelaçada. 50. Relembremos o significado, na linguagem de conjuntos, de cada uma das proposições categóricas. Todo A é B Todo elemento de A também é elemento de B. Nenhum A é B A e B são conjuntos disjuntos, ou seja, não possuem elementos comuns. Algum A é B Os conjuntos A e B possuem pelo menos 1 elemento em comum. Algum A não é B O conjunto A tem pelo menos 1 elemento que não é elemento de B. 51. Todo A é B 25

26 A proposição categórica Todo A é B é equivalente a: A é subconjunto de B. A é parte de B. A está contido em B. B contém A. B é universo de A. B é superconjunto de A. Se sabemos que a proposição Todo A é B é verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Algum A é B é necessariamente verdadeira. Nenhum A é B é necessariamente falsa. Algum A não é B é necessariamente falsa. 52. Algum A é B A proposição categórica Algum A é B equivale a Algum B é A. 26

27 Se algum A é B é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Nenhum A é B é necessariamente falsa. Todo A é B e Algum A não é B são indeterminadas. Observe que quando afirmamos que Algum A é B estamos dizendo que existe pelo menos um elemento de A que também é elemento de B. 53. Nenhum A é B A proposição categórica Nenhum A é B equivale a: Nenhum B é A. Todo A não é B. Todo B não é A. A e B são conjuntos disjuntos. Se nenhum A é B é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Todo A é B é necessariamente falsa. Algum A não é B é necessariamente verdadeira. Algum A é B é necessariamente falsa. 27

28 54. Algum A não é B Observe que Algum A não é B não equivale a Algum B não é A. Por exemplo, dizer que Algum brasileiro não é pernambucano não equivale a dizer que Algum pernambucano não é brasileiro. Se algum A não é B é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Nenhum A é B é indeterminada, pois poderia haver elementos na interseção dos conjuntos A e B. Algum A é B é indeterminada, pois pode haver ou não elementos na interseção dos conjuntos A e B. Todo A é B é necessariamente falsa. 28

29 b. Revisão 1 QUESTÃO 01 VUNESP PC/SP ESCRIVÃO Em uma implicação do tipo Se A, então B, dizemos que A e o antecedente e B e o consequente. Considere a seguinte implicação: Se Jose e promotor, então Jose e o acusador dos réus. Assim, pode-se afirmar corretamente que (A) o antecedente e Jose e o acusador dos réus. (B) o antecedente e o consequente são Jose e o acusador dos réus. (C) o antecedente e o consequente são Jose e promotor. (D) o antecedente e Jose e promotor. (E) o consequente e Jose e promotor. QUESTÃO 02 VUNESP PC/SP ESCRIVÃO Um enunciado e uma tautologia quando não puder ser falso. Assinale a alternativa que contém um enunciado que e uma tautologia. (A) Esta chovendo e não esta chovendo. (B) Esta chovendo. (C) Se esta chovendo, então não esta chovendo. (D) Esta chovendo ou não esta chovendo. (E) Não esta chovendo. 29

30 QUESTÃO 03 VUNESP PC/SP INVESTIGADOR Sobre as tabelas de verdade dos conectivos de disjunção (inclusiva), conjunção e implicação (material), assinale a alternativa correta. (A) As conjunções só são falsas quando ambos os conjuntos são falsos. (B) Não existe implicação falsa com antecedente verdadeiro. (C) As disjunções são falsas quando algum dos disjuntos e falso. (D) Só ha um caso em que as implicações são verdadeiras. (E) As implicações são verdadeiras quando o antecedente e falso. QUESTÃO 04 VUNESP DCTA 2013 Uma negação lógica para a proposição a Terra e redonda se e somente se o céu não e azul pode ser dada por (A) o céu e azul e a Terra e redonda, ou a Terra e redonda e o céu não e azul. (B) a Terra e redonda e o céu não e azul. (C) o céu não e azul e a Terra não e redonda, ou a Terra e redonda e o céu e azul. (D) a Terra não e redonda ou o céu não e azul. (E) O céu não e azul e a Terra não e redonda. QUESTÃO 05 VUNESP PC/SP - INVESTIGADOR

31 Assinale qual e a contraditória do enunciado: Todo homem e mortal. (A) Algum homem e mortal. (B) Algum homem não e mortal. (C) Algum mortal não e homem. (D) Nenhum homem e mortal. (E) Nenhum mortal e homem. QUESTÃO 06 VUNESP CTA Se sou responsável, então sou um bom profissional. Uma afirmação equivalente à afirmação acima está contida no item: a) Se sou um bom profissional, então sou responsável b) Sou um bom profissional se e somente se sou responsável. c) Se não sou responsável, então não sou um bom profissional. d) Não sou responsável se e somente se não sou um bom profissional. e) Se não sou um bom profissional, então não sou responsável. QUESTÃO 07 VUNESP PC/SP - INVESTIGADOR 2013 Assinale qual das formas sentenciais seguintes é equivalente à forma. a) b) 31

32 c) d) e) 32

33 c. Revisão 2 QUESTÃO 08 VUNESP UNIFESP 2014 Não e verdade que, se o pai e médico então o filho não e advogado, logo e possível afirmar como verdade que (A) o pai não e médico. (B) o filho e advogado. (C) se o filho e advogado então o pai não e médico. (D) se o filho e médico então o pai não e advogado. (E) o pai e o filho são médicos. QUESTÃO 09 VUNESP DESENVOLVE/SP 2014 Se o sino da igreja toca e minha avo o escuta, então minha avo vai para a igreja. Uma afirmação equivalente a essa, do ponto de vista lógico, e : (A) Se minha avo não vai para a igreja, então o sino da igreja não toca ou minha avo não o escuta. (B) Se minha avo não o escuta, então o sino da igreja não toca e minha avo não vai para a igreja. (C) Minha avo não o escuta ou o sino da igreja toca ou minha avo vai para a igreja. (D) Se o sino da igreja toca e minha avo vai para a igreja, então minha avo o escuta. 33

34 (E) Se o sino da igreja não toca ou minha avo não o escuta, então minha avo não vai para a igreja. QUESTÃO 10 VUNESP DESENVOLVE/SP 2014 Alguns gatos não são pardos, e aqueles que não são pardos miam alto. Uma afirmação que corresponde a uma negação lógica da afirmação anterior e : (A) Os gatos pardos miam alto ou todos os gatos não são pardos. (B) Nenhum gato mia alto e todos os gatos são pardos. (C) Todos os gatos são pardos ou os gatos que não são pardos não miam alto. (D) Todos os gatos que miam alto são pardos. (E) Qualquer animal que mia alto e gato e quase sempre ele e pardo. QUESTÃO 11 VUNESP EMPLASA 2014 Seja a afirmação: Se o chão esta molhado e o céu esta limpo, então não choveu. A negação dessa afirmação e : (A) Se o chão esta molhado e o céu não esta limpo, então choveu. (B) O chão esta molhado e o céu esta limpo, e choveu. (C) Se chove o chão fica molhado e o céu não fica limpo. (D) Choveu, então o céu esta limpo e o chão não esta molhado. (E) Choveu, então o céu não esta limpo ou o chão não esta molhado. 34

35 QUESTÃO 12 VUNESP EMPLASA 2014 Uma frase logicamente equivalente a Se jogo xadrez, então sou bom em matemática e : (A) Se sou bom em matemática, então jogo xadrez. (B) Se não sou bom em matemática, então não jogo xadrez. (C) Se não jogo xadrez, então não sou bom em matemática. (D) Posso ser bom em matemática sem saber jogar xadrez. (E) Posso ser jogador de xadrez sem ser bom em matemática. QUESTÃO 13 VUNESP FUNDUNESP 2014 Considere a afirmação: Se Antônio e analista de redes, então Sônia não e. Uma afirmação equivalente a apresentada esta contida na alternativa: (A) Se Antônio não e analista de redes, então Sônia e. (B) Se Sônia e analista de redes, então Antônio não e. (C) Se Sônia não e analista de redes, então Antônio e. (D) Se Sônia e analista de redes, então Antônio também e. (E) Se Antônio e analista de redes, então Sônia também e. QUESTÃO 14 VUNESP FUNDUNESP 2014 Se Jorge e inteligente, então ele e analista de redes. Negar a afirmação proposta e afirmar que 35

36 (A) Jorge não e inteligente e e analista de redes. (B) se Jorge não e inteligente, então ele não e analista de redes. (C) Jorge e inteligente e não e analista de redes. (D) se Jorge não e analista de redes, então ele não e inteligente. (E) Jorge e analista de redes e e inteligente. 36

37 d. Revisão 3 QUESTÃO 15 VUNESP FUNDUNESP 2014 Considere falsa a afirmação Se Débora e feliz, então ela não e analista de redes. Dessa forma, pode-se concluir corretamente que (A) Débora não e feliz ou não e analista de redes. (B) Débora não e feliz e não e analista de redes. (C) Débora não e feliz e e analista de redes. (D) Débora e feliz e não e analista de redes. (E) Débora e feliz e e analista de redes. QUESTÃO 16 VUNESP PREF. DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS 2014 Se não chove, então passeamos ou jogamos bola. Uma afirmação logicamente equivalente e : (A) Se chove, então não passeamos e jogamos bola. (B) Se passeamos ou jogamos bola, então não chove. (C) Chove ou, passeamos ou jogamos bola. (D) Não chove e, passeamos ou jogamos bola. (E) Se jogamos bola e passeamos, então chove. 37

38 QUESTÃO 17 VUNESP PREF. DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS 2014 Todos os cachorros latem e nem todos os gatos miam. Uma frase que corresponde a negação lógica dessa afirmação e : (A) Nenhum cachorro late e todos os gatos miam. (B) Alguns cachorros latem ou alguns gatos miam. (C) Nem todos os cachorros latem ou todos os gatos miam. (D) Qualquer cachorro late ou qualquer gato mia. (E) Nenhum cachorro late e nenhum gato mia. QUESTÃO 18 VUNESP UNESP 2014 A negação da sentença Chove e as árvores florescem e (A) Não chove e as árvores florescem. (B) Não chove e as árvores não florescem. (C) Chove e as árvores não florescem. (D) Não chove ou as árvores não florescem. (E) Chove ou as árvores não florescem. QUESTÃO 19 VUNESP FUNDACENTRO 2014 Bruno tem dois irmãos e afirmou que: se seu irmão e presidente de uma empresa, então sua irmã não possui curso superior. Sua mãe, no entanto, confirmou que essa afirmação não e verdadeira, o que permite concluir que, em relação a Bruno, 38

39 (A) sua irmã e presidente de uma empresa. (B) seu irmão não e presidente de uma empresa. (C) sua irmã possui curso superior. (D) seu irmão possui curso superior. (E) seu irmão não possui curso superior. QUESTÃO 20 VUNESP TJ/SP 2015 Para que seja falsa a afirmação todo escrevente técnico judiciário e alto, e suficiente que (A) nenhum escrevente técnico judiciário seja alto. (B) alguma pessoa alta não seja escrevente técnico judiciário. (C) algum escrevente técnico judiciário não seja alto. (D) toda pessoa alta seja escrevente técnico judiciário. (E) alguma pessoa alta seja escrevente técnico judiciário. 39

40 e. Gabarito D D E C B E A B A C B B B C E C C D C C 40

41 f. Comentários às questões QUESTÃO 01 VUNESP PC/SP ESCRIVÃO Em uma implicação do tipo Se A, então B, dizemos que A e o antecedente e B e o consequente. Considere a seguinte implicação: Se Jose e promotor, então Jose e o acusador dos réus. Assim, pode-se afirmar corretamente que (A) o antecedente e Jose e o acusador dos réus. (B) o antecedente e o consequente são Jose e o acusador dos réus. (C) o antecedente e o consequente são Jose e promotor. (D) o antecedente e Jose e promotor. (E) o consequente e Jose e promotor. Resolução: Esta questão foi muito fácil. Em suma, quando temos uma proposição composta pelo conectivo se..., então..., o antecedente é a frase que fica entre o se e o então ; o consequente é a frase que fica depois do então. Consideremos a proposição Se Jose e promotor, então Jose e o acusador dos réus.. O antecedente é José é promotor e o consequente é José é o acusador dos réus. Letra D. QUESTÃO 02 VUNESP PC/SP ESCRIVÃO

42 Um enunciado e uma tautologia quando não puder ser falso. Assinale a alternativa que contém um enunciado que e uma tautologia. (A) Esta chovendo e não esta chovendo. (B) Esta chovendo. (C) Se esta chovendo, então não esta chovendo. (D) Esta chovendo ou não esta chovendo. (E) Não esta chovendo. Resolução: Como diz L. Hegenberg em seu Dicionário de Lógica: Tautologia, no cálculo proposicional, é uma proposição invariavelmente verdadeira sejam quais forem os valores-verdade de suas proposições constituintes. Então é isso: se alguma questão perguntar se determinada proposição é uma tautologia, devemos construir a sua tabela-verdade e verificar se ela é sempre verdadeira. Da mesma maneira, podemos definir contradição (ou proposição logicamente falsa) como uma proposição composta que é sempre falsa. Contingência é uma proposição composta que pode verdadeira e pode ser falsa. Para ganhar tempo, algumas dicas. Proposições simples nunca serão tautologias. Também nunca serão contradições. Assim, já podemos descartar as alternativas B e E. Agora duas dicas muito importantes. Memorize que a proposição é uma contradição e que a proposição é uma tautologia. Essas duas proposições são bem fáceis e aparecem com bastante frequência nas questões de tautologia. Vamos verificar? 42

43 V F F V F V F V Vamos às alternativas. (A) Esta chovendo e não esta chovendo. (B) Esta chovendo. (C) Se esta chovendo, então não esta chovendo. (D) Esta chovendo ou não esta chovendo. (E) Não esta chovendo. Já podemos descartar as alternativas B e E. (A) Esta chovendo e não esta chovendo. (B) Esta chovendo. (C) Se esta chovendo, então não esta chovendo. (D) Esta chovendo ou não esta chovendo. (E) Não esta chovendo. Se considerarmos que a proposição Está chovendo é p, a proposição Não está chovendo será. Desta maneira, podemos reescrever em símbolos as frases das alternativas. (A) (B) 43

44 (C) (D) (E) Observe que a tautologia está na letra D (gabarito). A alternativa A é uma contradição. E a alternativa C? Vamos construir a tabela para verificar. V F F F V V Concluímos que a letra C é uma contingência. Letra D. QUESTÃO 03 VUNESP PC/SP INVESTIGADOR Sobre as tabelas de verdade dos conectivos de disjunção (inclusiva), conjunção e implicação (material), assinale a alternativa correta. (A) As conjunções só são falsas quando ambos os conjuntos são falsos. (B) Não existe implicação falsa com antecedente verdadeiro. (C) As disjunções são falsas quando algum dos disjuntos e falso. (D) Só ha um caso em que as implicações são verdadeiras. (E) As implicações são verdadeiras quando o antecedente e falso. 44

45 Resolução: Vamos relembrar: conjunções são proposições compostas pelo conectivo e, implicações são proposições compostas pelo se..., então... e disjunções são proposições compostas pelo conectivo ou. Uma conjunção é verdadeira se todos os seus componentes forem verdadeiros. Uma disjunção é verdadeira se pelo menos um de seus componentes for verdadeiro. Só é falsa se todos os seus componentes forem falsos. Uma implicação só é falsa se o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso. Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. (A) As conjunções só são falsas quando ambos os conjuntos são falsos. Errado. Uma conjunção é falsa se pelo menos um de seus componentes for falso. (B) Não existe implicação falsa com antecedente verdadeiro. Errado. A implicação é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente for falso. (C) As disjunções são falsas quando algum dos disjuntos e falso. Errado. As disjunções são falsas quando TODOS os componentes são falso. (D) Só ha um caso em que as implicações são verdadeiras. Errado. Só há um caso em que a implicação é falsa: quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. Em todos os outros casos a implicação é verdadeira. (E) As implicações são verdadeiras quando o antecedente e falso. Certo. Observe que o enunciado não disse que este é o único caso. As implicações são verdadeiras em três casos: quando ocorre VV, FV ou FF. Assim, quando o antecedente é falso, a implicação é verdadeira. 45

46 Letra E. QUESTÃO 04 VUNESP DCTA 2013 Uma negação lógica para a proposição a Terra e redonda se e somente se o céu não e azul pode ser dada por (A) o céu e azul e a Terra e redonda, ou a Terra e redonda e o céu não e azul. (B) a Terra e redonda e o céu não e azul. (C) o céu não e azul e a Terra não e redonda, ou a Terra e redonda e o céu e azul. (D) a Terra não e redonda ou o céu não e azul. (E) O céu não e azul e a Terra não e redonda. Resolução: A proposição dada é a Terra e redonda se e somente se o céu não e azul. Vimos que há quatro maneiras de construir uma proposição composta pelo conectivo se e somente se. Ei-las: Afirme a primeira e negue a segunda, coloque o conectivo ou e em seguida afirme a segunda e negue a primeira. A terra é redonda e o céu é azul, ou o céu não é azul e a Terra não é redonda. Esta frase está na alternativa C. Observe que a VUNESP trocou a ordem das frases. Já conseguimos marcar a resposta da questão, mas para treinar vamos construir as outras possíveis negações. Negue apenas o segundo componente e mantenha o conectivo. 46

47 A Terra é redonda se e somente se o céu é azul. Negue apenas o primeiro componente e mantenha o conectivo. A Terra não é redonda se e somente se o céu não é azul. Troque o conectivo se e somente se pelo conectivo ou exclusivo. Ou a Terra é redonda ou o céu não é azul. Letra C. QUESTÃO 05 VUNESP PC/SP - INVESTIGADOR 2013 Assinale qual e a contraditória do enunciado: Todo homem e mortal. (A) Algum homem e mortal. (B) Algum homem não e mortal. (C) Algum mortal não e homem. (D) Nenhum homem e mortal. (E) Nenhum mortal e homem. Resolução: Duas proposições são contraditórias quando elas não podem ser simultaneamente verdadeiras e nem simultaneamente falsas. Ou seja, devemos assinalar a negação da proposição dada. A proposição dada é uma Universal (todo) afirmativa. A sua negação será uma proposição Particular Negativa. Ou seja, devemos utilizar um quantificador particular (algum, existe) e negar o verbo. Letra B. 47

48 QUESTÃO 06 VUNESP CTA Se sou responsável, então sou um bom profissional. Uma afirmação equivalente à afirmação acima está contida no item: a) Se sou um bom profissional, então sou responsável. b) Sou um bom profissional se e somente se sou responsável. c) Se não sou responsável, então não sou um bom profissional. d) Não sou responsável se e somente se não sou um bom profissional. e) Se não sou um bom profissional, então não sou responsável. Resolução: A questão claramente pede uma proposição equivalente à dada no enunciado. Observe que há 3 alternativas que utilizam o conectivo se, então e duas alternativas que tentam, erradamente, usar o conectivo se e somente se. Vimos que quando é dada uma proposição composta pelo conectivo se, então, devemos negar os antecedente, negar o consequente e trocar a ordem das frases (mantendo o conectivo). Assim, a equivalente da proposição Se sou responsável, então sou um bom profissional. é Se não sou um bom profissional, então não sou responsável.. Letra E. Cuidado com a alternativa C, que nega os componentes, mas não troca a ordem das frases. 48

49 QUESTÃO 07 VUNESP PC/SP - INVESTIGADOR 2013 Assinale qual das formas sentenciais seguintes é equivalente à forma. a) b) c) d) e) Resolução: A proposição dada no enunciado utiliza o conectivo ou. Vimos que para transformar uma proposição composta pelo conectivo ou em uma proposição composta pelo conectivo se, então devemos negar o primeiro componente e trocar o conectivo. Assim, a equivalente à proposição é. Na nossa teoria eu comentei que a VUNESP em algumas provas utiliza o símbolo para o conectivo se..., então... e o símbolo & para o conectivo e. Letra A. QUESTÃO 08 VUNESP UNIFESP 2014 Não e verdade que, se o pai e médico então o filho não e advogado, logo e possível afirmar como verdade que (A) o pai não e médico. (B) o filho e advogado. 49

50 (C) se o filho e advogado então o pai não e médico. (D) se o filho e médico então o pai não e advogado. (E) o pai e o filho são médicos. Resolução: O enunciado afirma que é falsa a seguinte proposição: Se o pai é médico, então o filho não é advogado. Vimos que só existe um caso em que uma proposição composta pelo se..., então... é falsa. Isto ocorre quando o antecedente é verdadeiro (o pai é médico) e o consequente é falso (o filho não é advogado). O pai é médico Verdadeiro O filho não é advogado Falso Concluímos que o filho é advogado é verdade. Letra B. QUESTÃO 09 VUNESP DESENVOLVE/SP 2014 Se o sino da igreja toca e minha avo o escuta, então minha avo vai para a igreja. Uma afirmação equivalente a essa, do ponto de vista lógico, e : (A) Se minha avo não vai para a igreja, então o sino da igreja não toca ou minha avo não o escuta. (B) Se minha avo não o escuta, então o sino da igreja não toca e minha avo não vai para a igreja. 50

51 (C) Minha avo não o escuta ou o sino da igreja toca ou minha avo vai para a igreja. (D) Se o sino da igreja toca e minha avo vai para a igreja, então minha avo o escuta. (E) Se o sino da igreja não toca ou minha avo não o escuta, então minha avo não vai para a igreja. Resolução: Vimos que para transformar uma proposição composta pelo se..., então... em outra proposição composta pelo se..., então... devemos negar de trás pra frente, ou seja, negar os dois componentes e trocar a ordem. Se o sino da igreja toca e minha avo o escuta, então minha avo vai para a igreja. Começamos a equivalência com: Se minha avó não vai para a igreja, então... Agora devemos negar o antecedente. Observe que o antecedente é uma proposição composta pelo conectivo e. Para negá-la, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo por ou. Ficamos com: Se minha avó não vai para a igreja, então o sino da igreja não toca ou minha avó não o escuta. Letra A. QUESTÃO 10 VUNESP DESENVOLVE/SP 2014 Alguns gatos não são pardos, e aqueles que não são pardos miam alto. Uma afirmação que corresponde a uma negação lógica da afirmação anterior e : 51

52 (A) Os gatos pardos miam alto ou todos os gatos não são pardos. (B) Nenhum gato mia alto e todos os gatos são pardos. (C) Todos os gatos são pardos ou os gatos que não são pardos não miam alto. (D) Todos os gatos que miam alto são pardos. (E) Qualquer animal que mia alto e gato e quase sempre ele e pardo. Resolução: A proposição é composta pelo conectivo e. Para negar esta proposição, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo por ou (esta é uma das Leis de DeMorgan). Podemos excluir as alternativas B, D e E. Para negar uma proposição que utiliza o quantificador Alguns, devemos trocar pelo quantificador universal Todos e modificar o verbo. Letra C. QUESTÃO 11 VUNESP EMPLASA 2014 Seja a afirmação: Se o chão esta molhado e o céu esta limpo, então não choveu. A negação dessa afirmação e : (A) Se o chão esta molhado e o céu não esta limpo, então choveu. (B) O chão esta molhado e o céu esta limpo, e choveu. (C) Se chove o chão fica molhado e o céu não fica limpo. (D) Choveu, então o céu esta limpo e o chão não esta molhado. (E) Choveu, então o céu não esta limpo ou o chão não esta molhado. 52

53 Resolução: A negação de uma proposição do tipo é. Ou seja, devemos afirmar o antecedente, colocar o conectivo e e negar o consequente. Afirmamos o antecedente: o chão esta molhado e o céu esta limpo Negamos o consequente: choveu Ligamos pelo conectivo e : O chão está molhado e o céu está limpo, e choveu. Letra B. QUESTÃO 12 VUNESP EMPLASA 2014 Uma frase logicamente equivalente a Se jogo xadrez, então sou bom em matemática e : (A) Se sou bom em matemática, então jogo xadrez. (B) Se não sou bom em matemática, então não jogo xadrez. (C) Se não jogo xadrez, então não sou bom em matemática. (D) Posso ser bom em matemática sem saber jogar xadrez. (E) Posso ser jogador de xadrez sem ser bom em matemática. Resolução: Vimos que para transformar uma proposição composta pelo se..., então... em outra proposição composta pelo se..., então... devemos negar de trás pra frente, ou seja, negar os dois componentes e trocar a ordem. 53

54 Assim, a equivalência pedida é: Se não sou bom em matemática, então não jogo xadrez. Letra B. QUESTÃO 13 VUNESP FUNDUNESP 2014 Considere a afirmação: Se Antônio e analista de redes, então Sônia não e. Uma afirmação equivalente a apresentada esta contida na alternativa: (A) Se Antônio não e analista de redes, então Sônia e. (B) Se Sônia e analista de redes, então Antônio não e. (C) Se Sônia não e analista de redes, então Antônio e. (D) Se Sônia e analista de redes, então Antônio também e. (E) Se Antônio e analista de redes, então Sônia também e. Resolução: Vimos que para transformar uma proposição composta pelo se..., então... em outra proposição composta pelo se..., então... devemos negar de trás pra frente, ou seja, negar os dois componentes e trocar a ordem. Assim, a equivalência pedida é: Se Sônia é analista de redes, então Antônio não é. Letra B. QUESTÃO 14 VUNESP FUNDUNESP

55 Se Jorge e inteligente, então ele e analista de redes. Negar a afirmação proposta e afirmar que (A) Jorge não e inteligente e e analista de redes. (B) se Jorge não e inteligente, então ele não e analista de redes. (C) Jorge e inteligente e não e analista de redes. (D) se Jorge não e analista de redes, então ele não e inteligente. (E) Jorge e analista de redes e e inteligente. Resolução: A negação de uma proposição do tipo é. Ou seja, devemos afirmar o antecedente, colocar o conectivo e e negar o consequente. Afirmamos o antecedente: Jorge é inteligente Negamos o consequente: ele não é analista de redes Ligamos pelo conectivo e : Jorge é inteligente e ele não é analista de redes. Letra C. QUESTÃO 15 VUNESP FUNDUNESP 2014 Considere falsa a afirmação Se Débora e feliz, então ela não e analista de redes. Dessa forma, pode-se concluir corretamente que (A) Débora não e feliz ou não e analista de redes. (B) Débora não e feliz e não e analista de redes. 55

56 (C) Débora não e feliz e e analista de redes. (D) Débora e feliz e não e analista de redes. (E) Débora e feliz e e analista de redes. Resolução: O enunciado afirma que é falsa a seguinte proposição: Se Débora e feliz, então ela não e analista de redes. Vimos que só existe um caso em que uma proposição composta pelo se..., então... é falsa. Isto ocorre quando o antecedente é verdadeiro (Débora é feliz) e o consequente é falso (ela não é analista de redes). Débora feliz Verdadeiro Ela não é analista de redes Falso Concluímos que Débora é feliz e ela é analista de redes é verdade. Letra E. QUESTÃO 16 VUNESP PREF. DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS 2014 Se não chove, então passeamos ou jogamos bola. Uma afirmação logicamente equivalente e : (A) Se chove, então não passeamos e jogamos bola. (B) Se passeamos ou jogamos bola, então não chove. (C) Chove ou, passeamos ou jogamos bola. (D) Não chove e, passeamos ou jogamos bola. 56

57 (E) Se jogamos bola e passeamos, então chove. Resolução: Há duas maneiras de construir uma proposição composta pelo conectivo se..., então.... Uma delas é quando usamos a seguinte equivalência: Neste caso, observe que o consequente é composto pelo conectivo ou. Quando vamos negar o consequente, devemos trocar o conectivo por e. Assim, obtemos a seguinte proposição equivalente: Se não jogamos bola e não passeamos, então chove. Esta proposição não se encontra entre as alternativas. Vamos, portanto, usar a outra equivalência que aprendemos. Esta equivalência manda negar o antecedente, colocar o conectivo ou e depois copiar o consequente. Negar o antecedente: chove Copiar o consequente: passeamos ou jogamos bola Agora conectamos tudo pelo conectivo ou. Chove ou passeamos ou jogamos bola. Letra C. 57

58 QUESTÃO 17 VUNESP PREF. DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS 2014 Todos os cachorros latem e nem todos os gatos miam. Uma frase que corresponde a negação lógica dessa afirmação e : (A) Nenhum cachorro late e todos os gatos miam. (B) Alguns cachorros latem ou alguns gatos miam. (C) Nem todos os cachorros latem ou todos os gatos miam. (D) Qualquer cachorro late ou qualquer gato mia. (E) Nenhum cachorro late e nenhum gato mia. Resolução: Dizer que Nem todo A é B é o mesmo que dizer que Algum A não é B. Assim, a proposição do enunciado pode ser reescrita assim: Todos os cachorros latem e algum gato não mia. Vamos negar esta proposição. Lembre-se de trocar o conectivo e pelo conectivo ou. Começamos com todos os cachorros latem. Esta é uma proposição universal afirmativa. Para negá-la, devemos utilizar a proposição particular negativa. Algum cachorro não late Agora vamos à proposição Algum gato não mia. Esta é uma proposição particular negativa. Sua negação é a proposição universal afirmativa correspondente. Todos os gatos miam. Agora ligamos as duas proposições pelo conectivo ou. Algum cachorro não late ou todos os gatos miam. 58

59 Esta proposição pode ser reescrita assim: Nem todos os cachorros latem ou todos os gatos miam. Letra C. QUESTÃO 18 VUNESP UNESP 2014 A negação da sentença Chove e as árvores florescem e (A) Não chove e as árvores florescem. (B) Não chove e as árvores não florescem. (C) Chove e as árvores não florescem. (D) Não chove ou as árvores não florescem. (E) Chove ou as árvores não florescem. Resolução: Muito fácil, não? Aplicação direta da lei de De Morgan. Negamos os dois componentes e trocamos o conectivo e por ou. Letra D. QUESTÃO 19 VUNESP FUNDACENTRO 2014 Bruno tem dois irmãos e afirmou que: se seu irmão e presidente de uma empresa, então sua irmã não possui curso superior. Sua mãe, no entanto, confirmou que essa afirmação não e verdadeira, o que permite concluir que, em relação a Bruno, (A) sua irmã e presidente de uma empresa. 59

60 (B) seu irmão não e presidente de uma empresa. (C) sua irmã possui curso superior. (D) seu irmão possui curso superior. (E) seu irmão não possui curso superior. Resolução: O enunciado afirma que é falsa a seguinte proposição: se seu irmão e presidente de uma empresa, então sua irmã não possui curso superior. Vimos que só existe um caso em que uma proposição composta pelo se..., então... é falsa. Isto ocorre quando o antecedente é verdadeiro (seu irmão e presidente de uma empresa) e o consequente é falso (sua irmã não possui curso superior). seu irmão e presidente de uma empresa Verdadeiro sua irmã não possui curso superior Falso Concluímos que sua irmã possui curso superior é verdade. Letra C. QUESTÃO 20 VUNESP TJ/SP 2015 Para que seja falsa a afirmação todo escrevente técnico judiciário e alto, e suficiente que (A) nenhum escrevente técnico judiciário seja alto. (B) alguma pessoa alta não seja escrevente técnico judiciário. (C) algum escrevente técnico judiciário não seja alto. 60

61 (D) toda pessoa alta seja escrevente técnico judiciário. (E) alguma pessoa alta seja escrevente técnico judiciário. Resolução: Devemos negar a proposição dada. Como a proposição dada é universal afirmativa, devemos utilizar o quantificador particular e modificar o verbo. Assim, a negação da frase dada é algum escrevente técnico judiciário não é alto. Letra C. 61