(Lógica) Negação de Proposições, Tautologia, Contingência e Contradição.

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1 aula 07 (Lógica) Negação de Proposições, Tautologia, Contingência e Contradição. Professor: Renê Furtado Felix rffelix70@yahoo.com.br Site:

2 Negação de Proposições Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 2

3 Negação da Conjunção e Disjunção Cuidado, podemos negar uma proposição sem usar a palavra NÃO! Em lógica negamos a idéia, o que pode diferenciar da negação do nosso cotidiano em lingua portuguesa! Vamos deixar um pouco de lado as regras gramaticais da lingua portuguesa, e trabalhar as regras de negação da logica Argumentativa! Para seguirmos precisamos saber o que é proposições! Conforme suas estruturas e veracidades podemos classificalas...!!! Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 3

4 Negação da Conjunção Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 4

5 Negação da Conjunção ( p q ) Como negar esta conjunção? ~ ( p q ) ou com a cantoneira ( p q ) Para negar uma conjunção se aplica uma disjunção! ( p q ) => ~ ( p q ) => (~ p V ~ q ) => ~ ( p V q ) Para negar a conjunção qualquer negar a primeira preposição simples troco o conectivo de conjunção para disjunção e negar a segunda proposição simples! Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 5

6 Negação da Conjunção Mas se a primeira proposição simples já estiver com o sinal de negação? (~ p q)? R: negação de negação é uma afirmação! ~(~p V ~ q) => p V ~q Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 6

7 Negação da Conjunção Exemplo: P: Ana é bonita e Adilson estuda. p: Ana é bonita. q: Adilson estuda. ( p q ) Como negarmos esta conjunção? ~( p q ) => ~p V ~ q, ficando: Ana não é bonita ou Adilson não estuda! Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 7

8 Negação da Disjunção Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 8

9 Negação da Disjunção ( p V q ) Como negar esta disjunção? ~ ( p V q ) ou com a cantoneira ( p V q ) Para negar uma disjunção se aplica uma conjunção! ( p V q ) => ~ ( p V q ) => (~ p ~ q ) => ~ ( p q ) Para negar a disjunção qualquer negar a primeira preposição simples troco o conectivo de disjunção para conjunção e negar a segunda proposição simples! Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 9

10 Negação da Disjunção Mas se a primeira proposição simples já estiver com o sinal de negação? (~ p V q)? R: negação de negação é uma afirmação! ~(~p ~ q) => p ~q Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 10

11 Negação da Disjunção Exemplo: P: Manuela é rubro-negro ou 2+2=5. p: Manuela é rubro-negro. q: = 5. ( p V q ) Como negarmos esta disjunção? ~( p V q ) => ~p ~ q, ficando: Manuela não é rubro-negro e Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 11

12 Negação da Condicional Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 12

13 Negação da Condicional (p > q) Como negar uma Conjunção? ~ (p > q) ou com a cantoneira (p > q) A negação da condicional é obtida através da conjunção! ( p > q ) => ~ ( p > q ) => p ~ q Para negar a Condicional afirmar a primeira preposição simples troco o conectivo de condicional para conjunção e negar a segunda proposição simples! Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 13

14 Negação da Condicional Exemplo: P: Se faz sol, vou à praia. p: Faz sol. q: Vou a praia. ( p > q ) Como negar esta condicional? ~( p > q ) => p ~ q, ficando: Faz sol e não vou à praia. Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 14

15 Negação da Condicional Exemplo2: P: Se uma pessoa é mineira, então come queijo. p: Uma pessoa é mineira. q: Come queijo. ( p > q ) Como negar esta condicional? ~( p > q ) => p ~ q, ficando: Uma pessoa é mineira e não come queijo. Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 15

16 Negação da Disjunção Exclusiva Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 16

17 Negação da Disjunção Exclusiva (p v q) Como negar uma Disjunção Exclusiva? ~ (p v q) ou com a cantoneira (p v q) A negação da disjunção exclusiva tem duas formas: 1º ( p v q ) => ~ ( p v q ) => ~p ~ q 2º ( p v q ) => ~ ( p v q ) => p q Disjunção Exclusiva traz ideias excludentes Negar afirmando, sem o uso do não Geral = ( p v q ) => ~ ( p v q ) => ~p ~ q ou p q Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 17

18 Exemplo: Negação da Disjunção Exclusiva P: Ou Ana é médica ou advogada. p: Ana é médica. q: Ana é advogada. ( p v q ) Como negar esta disjunção exclusiva? ~( p v q ) => ~p ~ q ou p q, ficando: Ana não é médica e Ana não é advogada ou Ana é médica e Ana é advogada. Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 18

19 Negação da Bicondicional Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 19

20 Negação da Bicondicional (p q) Como negar uma Bicondicional? ~ (p q) ou com a cantoneira (p q) A negação da Bicondicional tem duas formas: 1º ( p q ) => ~ ( p q ) => p ~ q Igual a condicional 2º ( p q ) => ~ ( p q ) => ~p q Geral = ( p q ) => ~ ( p q ) => p ~ q ou ~p q Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 20

21 Exemplo: Negação da Bicondicional P: Jonas irá a Europa se, e somente se o dólar cair. p: Jonas irá a Europa. q: Dólar cair. ( p q ) Como negar esta Bicondicional? ~( p q ) => p ~ q ou ~p q, ficando: Jonas irá a Europa e o dólar não irá cair ou Jonas não irá a Europa e o dólar cairá. Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 21

22 Exercícios 1º P: Pimenta nos olhos dos outros é refresco ou colírio. Dica (Descubra o conectivo usado na sentença). p: Pimenta nos olhos dos outros. q: Colírio. ~( p V q ) => ~p ~ q, ficando: (p V q) Pimenta nos olhos dos outros não é refresco e não é colírio. Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 22

23 Exercícios Qual a negação da seguinte sentença? 2º P: Se vergonha matasse, Gabriella já teria morrido. Dica (Descubra o conectivo usado na sentença). p: Vergonha matasse. q: Gabriella já teria morrido. ~( p > q ) => p ~ q, ficando: Vergonha mata e Gabriella não morre. (p > q) Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 23

24 Exercícios Qual a negação da seguinte sentença? 3º P: Ou vai ou racha. Dica (Descubra o conectivo usado na sentença). p: Vai. q: Racha. (p v q) ~( p v q ) =>~ p ~ q ou p q, ficando: Não vai e não racha. Ou Vai e não racha. Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 24

25 Exercícios Qual a negação da seguinte sentença? 4º P: Se o cavalo é velho, o remédio é capim é novo. Dica (Descubra o conectivo usado na sentença). p: O cavalo é velho. q: O remédio é capim é novo. ~( p > q ) => p ~ q, ficando: (p > q) O cavalo é velho e o remédio não é capim novo. Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 25

26 Exercícios Qual a negação da seguinte sentença? 5º P: Se Maomé vai a montanha, a montanha vem até Maomé. Dica (Descubra o conectivo usado na sentença). p: Maomé vai a montanha. q: A montanha vem até Maomé. ~( p > q ) => p ~ q, ficando: (p > q) Maomé vai a montanha e a montanha não vem até Maomé. Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 26

27 Exercícios Qual a negação da seguinte sentença? 6º P: Falar é prata se, e somente se calar for ouro. Dica (Descubra o conectivo usado na sentença). p: Falar é prata. q: Calar for ouro. ( p q ) ~( p q ) => p ~ q ou ~p q, ficando: Falar é prata e calar não é ouro. Ou Falar não é prata e calar é ouro. Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 27

28 Exercícios Qual a negação da seguinte sentença? 7º P: 2 é par e 3 é impar. Dica (Descubra o conectivo usado na sentença). p: 2 é par. q: 3 é impar. ~( p q ) => ~p V ~ q, ficando: 2 é impar ou 3 é par. ( p q ) Dicotomia Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 28

29 Exercícios Qual a negação da seguinte sentença? 8º P: Se Ana viajar, Jurandir vai viajar. Dica (Descubra o conectivo usado na sentença). p: Ana viaja. q: Jurandir vai viajar. ~( p > q ) => p ~ q, ficando: ( p > q ) Ana esta viajando e Jurandir não vai viajar. Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 29

30 TAUTOLOGIA Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 30

31 Tautologia Reelembrando que: Vimos que o número de linhas de uma tabela-verdade é 2n (em que n é o número de proposições simples). Vamos considerar três proposições quaisquer p, q e r. Assim, qualquer tabela-verdade envolvendo apenas estas três proposições terá linhas. Desta forma, vamos construir a tabela-verdade da proposição (p r) > (~q V r). Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 31

32 Tautologia E o que significa construir a tabela-verdade desta proposição (p r) > (~q V r)? Significa dispor em uma tabela todas as possibilidades de valoração para esta proposição. Ou seja, estamos preocupados em responder quando é que esta proposição é verdadeira e quando é que ela é falsa. Para tal tarefa, devemos começar com a seguinte disposição: Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 32

33 Tautologia Observe que: Na primeira coluna, temos 4 V seguidos de 4 F. Na segunda coluna temos 2 V seguidos de 2 F alternadamente. Por fim, na terceira coluna temos V e F que se alternam. Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 33

34 Tautologia Queremos construir a tabela-verdade da proposição: (p r) > (~q V r). Observe que não aparece a proposição q propriamente dia e sim a sua negação. Portanto, o primeiro passo é construir a negação de q. Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 34

35 Tautologia Vamos construir as proposições compostas que estão dentro dos parênteses. Comecemos por (p r). Devemos conectar a proposição com a proposição através do conectivo e. Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 35

36 Tautologia Vamos agora construir a segunda proposição composta que está dentro de parênteses: (~q V r). Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 36

37 Tautologia Desta forma: Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 37

38 Tautologia Concluímos que a proposição composta por (p r) > (~q V r) é sempre verdadeira, independentemente dos valores atribuídos às proposições. Então é isso: se alguma questão perguntar se determinada proposição é uma tautologia, devemos construir a sua tabela-verdade e verificar se ela é sempre verdadeira. Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 38

39 Tautologia (p q) > (p q) p q p q p q (p q) > (p q) V V V V V V F F F V F V F F V F F F V V Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 39

40 Contradição Contradição é uma proposição cujo valor lógico é sempre falso. Exemplo: (p q) (p V q) p q p q p V q (p q) (p V q) V V V F F V F F V F F V F V F F F F F F Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 40

41 Contigência Quando uma proposição não é tautológica nem contraválida, a chamamos de contingência ou proposição contingente ou proposição indeterminada. Exemplo: (p > q) (p V q) p q p > q p V q (p > q) (p V q) V V V V V V F F V F F V V V V F F V F F Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 41

42 LÓGICA Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 42

43 Lógica As coisas podem chegar até aqueles que esperam, mas são somente sobras deixadas por aqueles que lutam. Abraham Lincoln Aula de lógica - Professor Renê F Felix 43