Lógica Matemática Para Concursos

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1 A matemática geralmente é vista como complicada para a maioria dos concursandos, mas isso já é passado, atualmente o que assusta os candidatos é a lógica matemática ou também conhecida como lógica proposicional que é a parte da matemática e tem como objeto de estudo as formas de argumentação e suas estruturas, sendo que na sua forma contemporânea, cada vez mais simbólica, deixa de ter preocupação com conteúdo material das proposições, pois este não importa. O elemento fundamental utilizado nesse contexto é o raciocínio lógico, assim os conceitos se complementam para possibilitar a aprendizagem. Professor Hênio Delfino

2 Lógica Matemática Para Concursos São Paulo 1ª Edição Copyright 2011 Todos os direitos reservados a: Hênio Delfino ISBN: ª Edição Janeiro 2012 Direitos exclusivos para Língua Portuguesa cedidos à Biblioteca24horas, Seven System International Ltda. Rua Luís Coelho 320/32 Consolação São Paulo SP Brasil CEP (11) leitor@biblioteca24horas.com Vendas: Todos os direitos reservados. Nenhuma parte do conteúdo deste livro poderá ser utilizada ou reproduzida em qualquer meio ou forma, seja ele impresso, digital, áudio ou visual sem a expressa autorização por escrito da Biblioteca24horas sob penas criminais e ações civis.

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4 Sumário CAPÍTULO 1 ESTRUTURAS LÓGICAS INTRODUÇÃO PROPOSIÇÕES LÓGICAS PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS Proposição Simples Proposição composta CONECTIVOS TRANSFORMANDO PROPOSIÇÕES EM SÍMBOLOS CAPÍTULO 2 TABELA VERDADE PRINCÍPIOS DO PENSAMENTO LÓGICO CONCEITUANDO TABELA-VERDADE CONSTRUINDO UMA TABELA VERDADE Tabela-verdade da conjunção ( ) Tabela-verdade da disjunção ( ) Tabela-verdade da disjunção exclusiva ( ) Tabela-verdade da Condicional ( ) Tabela-verdade da Bicondicional( ) A TABELA-VERDADE DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA Ordem de operação lógica na tabela-verdade CAPÍTULO 03 TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO, CONTIGÊNCIA TAUTOLOGIA

5 3.1.2 CONTRADIÇÃO OU CONTRAVÁLIDA CONTINGÊNCIA CAPÍTULO 04 ARGUMENTOS LÓGICOS ARGUMENTO DEDUTIVO E INDUTIVO Argumento dedutivo Argumento indutivo VALIDADE DE ARGUMENTOS E TABELA- VERDADE CAPÍTULO 05 EQUIVALÊNCIA LÓGICA CONCEITO IDENTIFICANDO UMA EQUIVALÊNCIA LÓGICA EQUIVALÊNCIA LÓGICA NOTÁVEL Dupla Negação Idempotência Comutação Associação CAPÍTULO 06 OPERAÇÕES COM PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS SENTEÇA ABERTA NEGAÇÃO DE UMA SENTENÇA ABERTA VALIDADE DE UM ARGUMENTO COM PROPOSIÇÕES ABERTAS CAPÍTULO 07 RACIOCINIO LÓGICO ESPACIAL GABARITO

6 CAPÍTULO 1 ESTRUTURAS LÓGICAS 1.1 INTRODUÇÃO Lógica proposicional é a parte da matemática que tem como objeto de estudo as formas de argumentação e suas estruturas, sendo que na sua forma contemporânea, cada vez mais simbólica, deixa de ter preocupação com conteúdo material das proposições, pois este não importa. Quando falamos em lógica pensamos em raciocínio, pois podemos dizer que o uso da lógica nos traz a possibilidade de garantir a veracidade ou falsidade de um encadeamento de fatos ou premissas. Primeiramente, caro leitor, tente julgar em válida ou não válida a seguinte conclusão desta afirmação: Percebo que um gato gosta de leite, outro gato gosta de leite, outro também gosta de leite, então todo gato gosta de leite. Essa conclusão é válida ou não válida? Para você que julgou ser não válida, certo. É não válida, pois ao ver um gato que gosta de leite não garante que todo e qualquer gato goste de leite, devemos ter o cuidado para não nos deixar levar pelo senso comum, pois cada situação é única e isso nós temos de lembrar sempre. 1.2 PROPOSIÇÕES LÓGICAS Quando nos comunicamos, usamos frases de diversas formas, exclamativas, negativas, interrogativas, afirmativas dentre outras, na lógica nem toda frase pode ser utilizada, vejamos as seguintes frases: - O gato é fofinho. - Vamos tomar um café? - Venha tomar banho menino! - O jogador Pelé é loiro. Para que a frase tenha utilidade na lógica, esta tem de ser afirmativa, portanto frases interrogativas e exclamativas não são usadas como é o caso dos exemplos, Vamos tomar um café?, Venha tomar banho menino! Já as frases: O gato é fofinho e O jogador Pelé é loiro, são chamadas de proposições, observe que elas não são obrigatoriamente verdadeiras, neste último caso temos uma proposição falsa. PROPOSIÇÃO é uma sentença declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou falsa, não havendo outra possibilidade. EXERCÍCIO 01 Classifique as seguintes frases em (P) proposições ou (N) não proposições. a. ( ) O jantar esta pronto. b. ( ) O jantar esta pronto? c. ( ) Gosto de vegetais e cereais. d. ( ) Coma logo isso menino! e. ( ) João correu e nadou. f. ( ) Se Marcos andar ele vai cair? g. ( ) Se Marcos andar então vai cair. h. ( ) Hoje é um dia da semana. i. ( ) Camila gosta de suco de tomate. j. ( ) Carlos não come carne crua.

7 k. ( ) O animais são felizes? l. ( ) O dia tem sol e a noite tem estrelas. m. ( ) O dia não tem sol e a noite não tem sol. n. ( ) A casa esta imunda! o. ( ) A casa esta imunda? p. ( ) A casa esta imunda. q. ( ) Camila arrumou a casa. 02 (PM/AC 2008) Considere as seguintes sentenças: I- O Acre é um estado da Região Nordeste. II- Você viu o Cometa Halley? III- Há vida no plante Marte. IV- Se x<2, então x+3>1 Neste caso, quais dessas sentenças são proposições? 03 (TRT/ES 2010) Julgue Certo ou Errado. Na sequência de frases abaixo, há três proposições. - Quantos tribunais regionais do trabalho há na região Sudeste do Brasil? - O TRT/ES lançou edital para preenchimento de 200 vagas. - Se o candidato estudar muito, então ele será aprovado no concurso do TRT/ES. - Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no concurso do TRT/ES. 04 Classifique as proposições em verdadeira (V) ou falsa (F): a) ( ) Brasília é capital do Brasil. b) ( ) Frutas e verduras são vegetais. c) ( ) O Sol é frio. d) ( ) A lua é de queijo. e) ( ) 13 de julho é dia Internacional do Rock. 05 Responda as seguintes perguntas: a. O que a lógica matemática estuda? b. O que é proposição? 1.3 PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS Proposição Simples Seja a proposição João estuda todos os dias, perceba que nesta proposição temos o sujeito João o verbo estudar e o complemento todos os dias, para que uma proposição seja simples não se pode ter outra proposição como parte dela como é o caso desta: João estuda todos os dias e depois vai se divertir, neste caso podemos reescrevê-la em duas proposições simples João estuda todos os dias e João depois vai se divertir, uma proposição deste tipo é chamada de proposição composta Proposição composta É uma proposição que tem mais de uma proposição simples fazendo parte dela, veja os exemplos: O menino canta e brinca.

8 Podemos escrever duas frases: p: O menino canta. q: O menino brinca. Se Maria acordar cedo então o café é fresco. Podemos escrever duas frases: p: Maria acorda cedo. q: O café é fresco. PROPOSIÇÃO SIMPLES: Sentença simples que não é formada por mais de um predicado. PROPOSIÇÃO COMPOSTA: Sentença formada por mais de uma simples, unidas pelos chamados conectivos. 1.4 CONECTIVOS Para construirmos uma proposição composta temos de usar os chamados conectivos lógicos são eles: { e, ou, ou...ou, se...então se, se somente se}. Temos também o chamado modificador ~(negação). Conjunção e () Maria é bonita e alta. Disjunção ou () Maria é bonita ou alta. Disjunção exclusiva ou... ou () Ou Maria é bonita ou alta. Condicional ou Implicação Se... então ( ) Se Maria é bonita então é alta. Bicondicional ou Bi-implicação Se e somente se ( ) Maria é bonita se e somente se for alta. Negação Não (~ ou ) Podemos exemplificar a aplicação da negação, vamos negar esta proposição: Vini é muito rápido. Negação: Não é verdade que Vini é muito rápido. Vini não é muito rápido. Quadro Resumo Conectivo Como se lê Símbolo Conjunção e Disjunção ou Disjunção exclusiva Ou... ou

9 Condicional Se... então se Bicondicional Se e somente se Negação não ~ ou 1.5 TRANSFORMANDO PROPOSIÇÕES EM SÍMBOLOS Já sabemos que uma proposição pode ser simples ou composta, vamos representar uma proposição simples por uma letra minúscula de nosso alfabeto e uma proposição composta por uma letra maiúscula, também de nosso alfabeto, assim temos o seguinte exemplo: O menino canta e brinca, proposição composta A: O menino canta e brinca, esta proposição é composta de duas simples: p: O menino canta. q: O menino brinca. Assim usando o símbolo da conjunção () e a proposição A: O menino canta e brinca, é o mesmo que pq. Transformando outras proposições: B: Se Maria acordar cedo então o café é fresco. p: Maria acorda cedo. q: O café é fresco. B: p q C: André joga futebol se e somente se estiver com sua chuteira. a: André joga futebol. b: André está com a chuteira. C: a b

10 EXERCÍCIOS 06 Transforme as proposições escritas em proposições simbólicas: p: Eu economizo água. q: Eu preservo o planeta. a. Eu economizo água e preservo o planeta. b. Se eu economizo água então preservo o planeta. c. Se não economizo água então não preservo o planeta. d. Preservo o planeta se e somente se economizo água. e. Não preservo o planeta se e somente se não economizo água. 07 Transforme as proposições simbólicas em proposições escritas: p: Marcos recicla papel com seus amigos. q: As meninas acham Marcos muito interessante. a. pq b.p q c.p (pq) d.p(qp) e. (pq) q 08 (TRT 2010) Considere as proposições seguintes. Q: Se o Estrela Futebol Clube vencer ou perder, cairá para a segunda divisão ; A: O Estrela Futebol Clube vence ; B: O Estrela Futebol Clube perde ; C: O Estrela Futebol Clube cairá para a segunda divisão. Nesse caso, a proposição Q pode ser expressa, simbolicamente, por AB C? 09 (TRT 2010) Considere as proposições a seguir. R: Ou o Saturno Futebol Clube vence ou, se perder, cairá para a segunda divisão ; A: O Saturno Futebol Clube vence ; B: O Saturno Futebol Clube perde ; C: O Saturno Futebol Clube cairá para a segunda divisão. Nesse caso, a proposição R pode ser expressa, simbolicamente, por A (B C). 10 (TRT 2010) Considere as proposições abaixo. T: João será aprovado no concurso do TRT ou do TSE, mas não em ambos ; A: João será aprovado no concurso do TRT ; B: João será aprovado no concurso do TSE. Nesse caso, a proposição T estará corretamente simbolizada por (AB) (AB). 11 (TRT ES 2009) A sequência de frases a seguir contêm exatamente duas proposições. - A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica. - Por que existem juízes substitutos?

11 - Ele é um advogado talentoso. 12 Escreva quatro proposições simples com os verbos plantar ou viver, sendo duas proposições verdadeiras e duas falsas. 01. a) P b) N c) P d) N e) P f) N g) P h) P i) P j) P k) N l) P m) P n) N o) N p) P q) P GABARITO 02. I, III, IV 03. CORRETA, são elas: - O TRT/ES lançou edital para preenchimento de 200 vagas. - Se o candidato estudar muito, então ele será aprovado no concurso do TRT/ES. - Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no concurso do TRT/ES. 04 a) (V) Brasília é capital do Brasil. b) (V) Frutas e verduras são vegetais. c) (F) O Sol é frio. d) (F) A lua é de queijo. e) (V) 13 de julho é dia Internacional do Rock. 05 a. As formas de argumentação e suas estruturas.

12 b. É uma sentença declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou falsa, não havendo outra possibilidade. 06. a) pq b) p q c) ~p ~q d) q p e) ~q ~p 07. a) Marcos recicla papel com seus amigos e as meninas o acham muito interessante. b) Se Marcos recicla papel com seus amigos então as meninas o acham muito interessante. c) Marcos recicla papel com seus amigos se e somente se recicla papel com seus amigos e as meninas o acham muito interessante. d) Marcos recicla papel com seus amigos ou as meninas o acham muito interessante se e somente se marcos recicla papel com seus amigos. e) Se Marcos recicla papel com seus amigos ou as meninas o acham muito interessante então as meninas o acham muito interessante. 08. Q: Se o Estrela Futebol Clube vencer ou perder, cairá para a segunda divisão. Podemos escrever Q desta forma: Se (O Estrela Futebol Clube vence) ou (O Estrela Futebol Clube perde) então (O Estrela Futebol Clube cairá para a segunda divisão). Com referência às proposições simples apresentadas e suas respectivas letras temos: AB C, como a questão diz que é AB C então esta questão é julgada ERRADA. 09. R: Ou o Saturno Futebol Clube vence ou, se perder, cairá para a segunda divisão. Podemos escrever R desta forma: Ou (O Saturno Futebol Clube vence) ou se (O Saturno Futebol Clube perde) então (O Saturno Futebol Clube cairá para a segunda divisão). Com referência às proposições simples apresentadas e suas respectivas letras temos: A(B C), portanto esta questão esta CORRETA. 10. T: João será aprovado no concurso do TRT ou do TSE, mas não em ambos. Podemos escrever t desta forma: (João será aprovado no concurso do TRT) ou (João será aprovado no concurso do TSE) e não [(João será aprovado no concurso do TRT) e (João será aprovado no concurso do TSE)]. Com referência às proposições simples apresentadas e suas respectivas letras temos: (AB)~(AB), portanto esta questão esta CORRETA. 11. CORRETA, são elas: - A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica. - Ele é um advogado talentoso.

13 12. Use a sua criatividade. Para mais capítulos acesse: