PROPOSIÇÕES - VERDADEIRO

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3 PROPOSIÇÕES Definição: Chama-se de proposição todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo, declarativa (afirmativa) que admite um e somente um dos dois valores lógicos - VERDADEIRO ou FALSO..

4 PRINCÍPIOS ( AXIOMAS) DA LÓGICA MATEMÁTICA PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO Uma Proposição não pode ser VERDADEIRA e FALSA ao mesmo tempo. PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO Toda Proposição ou é VERDADEIRA ou FALSA, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. OBS: ANALISE A FRASE ABAIXO: A frase que está dentro destas aspas é uma mentira É PROPOSIÇÃO? NÃO É PROPOSIÇÃO. OK!!! PARADOXO

5 Não são Proposições 1) Frases Interrogativas Exemplos: O que é isto? / Vai ao cinema hoje? 2) Frases Exclamativas Exemplos: Que Lindo! / Goooll! 3) Frases Imperativas Exemplos: Faça seu trabalho corretamente. / Evite o fumo. 4) Sentenças Abertas Exemplos: X + Y é Positivo / Ela foi ao cinema / x é maior que 3

6 5) Frases Optativas Deus te acompanhe 6) Frases sem verbo Lápis azul / O caderno de João

7 1) BANCO DO BRASIL 2007 CESPE Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. A frase dentro destas aspas é uma mentira. A expressão X + Y é positiva. O valor de Proposição Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. O que é isto? Não é Proposição Não é Proposição Não é Proposição Proposição ERRADO

8 2) BANCO DO BRASIL 2007 CESPE Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: (I) O BB foi criado em Proposição (II) Faça seu trabalho corretamente. Não é Proposição (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade. Proposição CERTO

9 PROPOSIÇÃO SIMPLES Definição: Chama-se de Proposição Simples ou Atômica aquela que não contém outra proposição como parte de si mesma. OBSERVAÇÃO: Usamos letras latinas minúsculas para representar uma proposição simples (p, q, r,...). Exemplos: p: João Pedro é elegante. q: Renata Conceição foi ao cinema. r: O prédio do MCT fica na Esplanada. s: Ana Clara é médica.

10 PROPOSIÇÃO COMPOSTA Definição: Chama-se de Proposição Composta ou Molecular aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições simples. OBSERVAÇÃO: Usamos letras latinas maiúsculas para representar uma proposição composta (P, Q, R,...). EXEMPLOS: A P: João Pedro é brincalhão E Ana Clara é dengosa. A Q: Ernesto é português OU Vera torce pelo Fluminense. A B R: SE Renata estudar, ENTÃO será aprovada B B

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12 NEGAÇÃO ( ~, ) Uma Proposição pode ser classificada em apenas um dos valores lógicos V ou F. A negação de uma proposição é utilizada para alterar o seu valor lógico, dando ideia contrária. Assim, se p é uma proposição verdadeira, a negação de p, indicada por ~p, é uma proposição falsa e vice-versa.

13 EXEMPLOS: p: A Alemanha ganhou do Brasil de 7x 1 na copa de ~p: A Alemanha não ganhou do Brasil de 7x1 na copa de 2014 q: João Pedro é bonito ~q: João Pedro não é bonito r: Ana Clara não gosta de caramelo ~r: Ana Clara gosta de caramelo

14 OBSERVAÇÃO: Podem-se empregar, também, como equivalentes de não A", as seguintes expressões: Não é verdade que A. / É falso que A. Daí as seguintes frases são equivalentes: João NÃO foi ao cinema. Não é verdade que João foi ao cinema. É falso que João foi ao cinema.

15 4) CBMERJ FUNCEFET Considerando p e q proposições, analise as alternativas e marque a incorreta. A) A proposição ~p tem sempre o valor oposto de p, isto é, ~p é verdadeira quando p é falsa e ~p é falsa quando p é verdadeira; B) Uma proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo; C) Chama-se proposição ou sentença toda oração declarativa que pode ser classificada de verdadeira ou de falsa;

16 D) Chama-se proposição simples ou proposição atômica aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma; E) Chamam-se conectivos, palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras. LETRA B

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18 1) CONJUNÇÃO ( E, MAS ) Símbolo ( ) Uma conjunção só será verdadeira, se ambas as proposições componentes forem também verdadeiras. Exemplos: A B P: 2 é um número primo E O Papa é Argentino V V V

19 A B Q: Copacabana é um bairro do RJ E = 6 V F Tabela-Verdade F

20 2) DISJUNÇÃO ( OU ) Símbolo ( ) A disjunção p q é verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira; se p e q são ambas falsas, então p q é falsa. EXEMPLOS A B P: Uma semana é igual a 7 dias ou = 5 V F V

21 A B Q: O Papa Francisco é Italiano ou 16 é múltiplo de 4 F V V A B R: = 5 F ou 6 é um número primo F F Tabela - Verdade

22 5) ANEEL 2004 Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora não velejo. Assim: a) estudo e fumo b) não fumo e surfo c) não velejo e não fumo d) estudo e não fumo e) fumo e surfo

23 V 1) Surfo ou estudo. 2) Fumo ou não surfo. 3) Velejo ou não estudo. F V V V V V Ora, não velejo. F F V Concluindo: Surfo Fumo Não Estudo Letra E

24 6) TFC 2008 Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar. Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel. Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar. Ora, não sou amiga de Clara. Assim: a) não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel. b) não sou amiga de Clara e não sou amiga de Nara. c) sou amiga de Nara e amiga de Abel. d) sou amiga de Oscar e amiga de Nara e) sou amiga de Oscar e não sou amiga de Clara.

25 SOLUÇÃO V 1) Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar. V V F 2) Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel. V V F 3) Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar. F V V Ora, não sou amiga de Clara. Letra C

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27 P: A E B ~P: ~A OU ~B EXEMPLO: A B ~P: P: JOÃO GOSTA DE AVENTURA E ANA CLARA JOGA VÍDEO GAME ~A ~B JOÃO NÃO GOSTA DE AVENTURA OU ANA CLARA NÃO JOGA VÍDEO GAME

28 P: A OU B ~P: ~A E ~B EXEMPLO: A B P: MARIA NÃO FOI AO CINEMA OU FALA INGLÊS ~A ~B ~P: MARIA FOI AO CINEMA E NÃO FALA INGLÊS

29 7) Pref. B. ROXO 2011-CEPERJ A negação da sentença Ana não voltou e foi ao cinema é: A) Ana voltou ou não foi ao cinema B) Ana não voltou e não foi ao cinema C) Ana não voltou ou não foi ao cinema D) Ana não voltou ou foi ao cinema E) Ana não voltou e foi ao cinema

30 SOLUÇÃO A B P: Ana não voltou e foi ao cinema ~A ~B ~P: Ana voltou ou não foi ao cinema Letra A

31 8) DETRAN AC 2009 A negação da proposição Mário é brasileiro ou Maria não é boliviana é (A) Mário não é brasileiro ou Maria é boliviana. (B) Mário não é brasileiro e Maria é boliviana. (C) Mário não é brasileiro e Maria não é boliviana. (D) Mário é brasileiro e Maria não é boliviana. (E) Mário é brasileiro ou Maria é boliviana.

32 SOLUÇÃO A B P: Mário é brasileiro ou Maria não é boliviana ~A ~B ~P: Mário não é brasileiro E Maria é boliviana Letra B

33 9) CBMERJ COMBATENTE FUNCEFET Dizer que não é verdade que Marcela não é bonita ou Maria não é organizada é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: A) Se Marcela não é bonita, então Maria é organizada. B) Marcela é bonita e Maria é organizada. C) Marcela é bonita ou Maria não é organizada. D) Marcela é bonita ou Maria é organizada. E) Marcela não é bonita e Maria não é organizada.

34 SOLUÇÃO Negação não é verdade que Marcela não é bonita ou Maria não é organizada P: A OU B ~P: ~A E ~B ~P: Marcela é bonita E Maria é organizada Letra B

35 10) CBMERJ COMBATENTE 2014 FUNCEFET Dizer que não é verdade que Ricardo é rico e José é inteligente" é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: A) Ricardo não é rico ou José não é inteligente. B) Se Ricardo não é rico, então José é inteligente. C) Ricardo não é rico e José não é inteligente. D) Ricardo é rico ou José não é inteligente. E) Se Ricardo não é rico, então José não inteligente.

36 SOLUÇÃO Negação não é verdade que Ricardo é rico e José é inteligente P: A E B ~P: ~A OU ~B ~P: Ricardo não é rico ou José não é inteligente Letra A

37 11) PROMINP 2008 Qual é a negação de Márcio fala francês e não fala inglês? (A) Márcio não fala francês ou não fala inglês. (B) Márcio não fala francês ou fala inglês. (C) Márcio não fala francês e não fala inglês. (D) Márcio não fala francês e fala inglês. (E) Márcio fala francês ou não fala inglês.

38 A SOLUÇÃO P: Márcio fala francês e não fala inglês P: A E B ~P: ~A OU ~B ~A ~P: Márcio não fala francês ou ~B B fala inglês Letra B

39 3) DISJUNÇÃO EXCLUSIVA ( OU...OU) SÍMBOLO ( ) OU A ou B A ou B, mas não ambos Definição: Será Verdadeiro se e somente se exatamente uma das proposições possui valor verdadeiro. Tabela - Verdade

40 EXEMPLOS: A Ou 2+2 = 4 V ou 3 é um número primo V F B A B Ou Dezembro é o mês do Natal V ou = 7 F V

41 13) MPU 2004 Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é professor, o outro é músico. Sabe-se que: Ou Ricardo é médico, ou Renato é médico, Ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico, Ou Renato é músico, ou Rogério é músico, Ou Rogério é professor, ou Renato é professor. Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são, respectivamente,

42 A) professor, médico e músico B) médico, professor e músico C) professor, músico e médico D) músico, médico e professor E) médico, músico e professor

43 SOLUÇÃO OK OK OK 1) Ou Ricardo é médico, ou Renato é médico 3) Ou Renato é músico, ou Rogério é músico 4) Ou Rogério é professor, ou Renato é professor Letra D 2) Ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico F V

44 14) CBMERJ COMBATENTE 2014 FUNCEFET José, Antônio e Adílson são amigos. Um deles é militar, outro é empresário e o outro é jornalista. Sabe-se que: 1) Ou José é militar, ou Adílson é militar; 2) Ou José é empresário, ou Antônio é jornalista; 3) Ou Adílson é jornalista, ou Antônio é jornalista; 4) Ou Antônio é empresário, ou Adílson é empresário.

45 Portanto, as profissões de José, Antônio e Adílson são respectivamente: A) Empresário, Militar, Jornalista. B) Militar, Jornalista, Empresário. C) Jornalista, Empresário, Jornalista. D) Militar, Empresário, jornalista. E) Jornalista, Militar, Empresário.

46 SOLUÇÃO OK OK 1) Ou José é militar, ou Adílson é militar OK 3) Ou Adílson é jornalista, ou Antônio é jornalista 4) Ou Antônio é empresário, ou Adílson é empresário 2) Ou José é empresário, ou Antônio é jornalista F V Letra B

47 4) CONDICIONAL ( SE..., ENTÃO... ) 1) Se A, Então B 2) Se A, B 3) Quando A, B 4) B, Se A 5) Todo A é B 6) A implica B SIMBOLOGIA ( ) 7) A é condição suficiente para B 8) B é condição necessária para A 9) A somente se B 10) Sempre que A, B 11) Desde que A, B 12) B, Pois A

48 Exemplo: Se Não chove, então fico seco Se não chove, fico seco Fico seco, se não chove Quando não chove, fico seco Não chover implica ficar seco Toda vez que não chove, fico seco Não chover é condição suficiente para ficar seco Ficar seco é condição necessária para Não chover Não chove somente se fico seco

49 Tabela Verdade do Condicional EXEMPLOS: P q 1) SE 2+2 = 5, ENTÃO Pelé foi o pior jogador de todos os tempos F V F

50 A B 2) Se o Papa é Argentino, Então 4 é um número ímpar V F F A B 3) Se Lisboa é a capital da França, Então F = 4 V V

51 15) TCM RJ 2011 Se minha casa não é vermelha, então o meu cachorro late. Se minha casa é vermelha, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: (A) a minha casa é vermelha e o meu cachorro não late (B) a minha casa não é vermelha e o meu cachorro late (C) a minha casa é vermelha e o meu cachorro late (D) a minha casa não é vermelha e o meu cachorro não late (E) se o passarinho canta, então o meu cachorro não late

52 SOLUÇÃO Se minha casa não é vermelha, então o meu cachorro late Se minha casa é vermelha, então o passarinho não canta Ora, o passarinho canta

53 16) Ass. Téc.-Adm.- Ministério da Fazenda - ESAF Em um argumento, as seguintes premissas são verdadeiras: - Se o Brasil vencer o jogo, então a França não se classifica. - Se a França não se classificar, então a Itália se classifica. - Se a Itália se classificar, então a Polônia não se classifica. - A Polônia se classificou. Logo, pode-se afirmar corretamente que:

54 a) A Itália e a França se classificaram. b) A Itália se classificou e o Brasil não venceu o jogo. c) A França se classificou ou o Brasil venceu o jogo. d) A França se classificou e o Brasil venceu o jogo. e) A França se classificou se, e somente se, o Brasil venceu o jogo.

55 SOLUÇÃO Se o Brasil vencer o jogo, então a França não se classifica. Se a França não se classificar, então a Itália se classifica. Se a Itália se classificar, então a Polônia não se classifica. A Polônia se classificou. Letra C

56 17) CGE - MA FGV Analise as premissas a seguir. Se o bolo é de laranja, então o refresco é de limão. Se o refresco não é de limão, então o sanduíche é de queijo. O sanduíche não é de queijo. Logo, é correto concluir que (A) o bolo é de laranja. (B) o refresco é de limão. (C) o bolo não é de laranja. (D) o refresco não é de limão. (E) o bolo é de laranja e o refresco é de limão.

57 SOLUÇÃO Se o bolo é de laranja, então o refresco é de limão. Se o refresco não é de limão, então o sanduíche é de queijo. O sanduíche não é de queijo. Letra B

58 18) TCE - MG FCC Considere como verdadeiras as seguintes premissas: Se Alfeu não arquivar os processos, então Benito fará a expedição de documentos. Se Alfeu arquivar os processos, então Carminha não atenderá o público. Carminha atenderá o público. Logo, é correto concluir que

59 (A) Alfeu arquivará os processos. (B) Alfeu arquivará os processos ou Carminha não atenderá o público. (C) Benito fará a expedição de documentos. (D) Alfeu arquivará os processos e Carminha atenderá o público. (E) Alfeu não arquivará os processos e Benito não fará a expedição de documentos.

60 SOLUÇÃO Se Alfeu não arquivar os..., então Benito fará a expedição... Se Alfeu arquivar os..., então Carminha não atenderá... Carminha atenderá o público. Letra C

61 Negação do Condicional P: Se A, então B ~P: A E ~B EXEMPLO: P: Se o aluno estudar, Então será aprovado ~P:

62 20) Ministério da Fazenda ESAF A negação da proposição se Paulo trabalha oito horas por dia, então ele é servidor público é logicamente equivalente à proposição: a) Paulo trabalha oito horas por dia ou é servidor público. b) Paulo trabalha oito horas por dia e não é servidor público. c) Paulo trabalha oito horas por dia e é servidor público. d) Se Paulo não trabalha oito horas por dia, então não é servidor público. e) Se Paulo é servidor público, então ele não trabalha oito horas por dia.

63 Negação do condicional : SOLUÇÃO P: Se A, então B ~P: A E ~B A B P: se Paulo trabalha oito horas por dia, então ele é servidor público A ~B ~P: Paulo trabalha oito horas por dia E ele não é servidor público Letra B

64 21) CODESP - SP FGV

65 SOLUÇÃO P: Se tenho dinheiro, então sou feliz Letra E

66 22) TCM RJ 2011 A negação da afirmação Se João ganha na Megasena,então João compra uma casa é: (A) se João compra uma casa, então João ganha na Mega-sena (B) João ganha na Mega-sena e compra uma casa (C) se João não compra uma casa, então João não ganha na Mega-sena (D) João não ganha na Mega-sena e não compra uma casa (E) João não ganha na Mega-sena ou não compra uma casa

67 SOLUÇÃO P: Se João ganha na Megasena,então João compra uma casa

68 23) AL-MT FGV Considere a sentença Se como doces, então engordo ou tenho azia. A negação lógica dessa sentença é (A) se não como doces, então não engordo nem tenho azia. (B) se como doces, então não engordo nem tenho azia. (C) como doces e não engordo nem tenho azia. (D) não como doces e engordo ou tenho azia. (E) se não como doces, então engordo ou tenho azia.

69 SOLUÇÃO P: Se como doces, então engordo ou tenho azia. Letra C

70 24) Bombeiros 2014 RJ - FUNCEFET A negação da afirmação Se Roberta estiver estudando, então José levará um presente é: a) Roberta está estudando e José não levará um presente. b) Roberta não está estudando e José levará um presente. c) José leva um presente ou Roberta estuda. d) Se José não levar um presente, então Roberta não está estudando. e) Se Roberta não estiver estudando, então José não levará o pressente.

71 SOLUÇÃO Negação do condicional : P: Se A, então B ~P: A E ~B A B P: Se Roberta estiver estudando, então José levará um presente A ~P: Roberta está estudando E ~B José não levará um presente Letra A

72 EQUIVALÊNCIAS DO CONDICIONAL 1) P: A B ~B ~A 2) P: A B ~A v B / B v ~A 3) P: A ou B ~A B

73 EXEMPLO: A B P: Se Renata joga futebol, Então não fala Francês ~B ~A Se Renata fala Francês Então não joga futebol ~A B Renata não joga futebol ou não fala Francês

74 25) CBMERJ 2014 FUNCEFET Dizer que Se Aroldo é diretor, então Júlio não é chefe é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: A) Se Júlio não é chefe, então Aroldo é diretor. B) Se Aroldo é diretor, então Júlio é chefe. C) Aroldo não é diretor e Júlio é chefe. D) Se Júlio é chefe, então Aroldo não é diretor. E) Se Júlio não é chefe, então Aroldo é diretor.

75 SOLUÇÃO EQUIVALÊNCIAS DO CONDICIONAL: P: A B ~B ~A ~A v B / B v ~A A B Se Aroldo é diretor, então Júlio não é chefe Letra D

76 26) CGE - MA FGV Considere a sentença: Se Geraldo foi à academia então Jovelina foi ao cinema. É correto concluir que (A) se Geraldo não foi à academia então Jovelina não foi ao cinema. (B) se Jovelina foi ao cinema então Geraldo foi à academia. (C) Geraldo foi à academia ou Jovelina foi ao cinema. (D) Geraldo foi à academia e Jovelina foi ao cinema. (E) Geraldo não foi à academia ou Jovelina foi ao cinema.

77 SOLUÇÃO Se Geraldo foi à academia então Jovelina foi ao cinema. Letra E

78 27) ALBA FGV Afirma-se que: Toda pessoa gorda come muito. É correto concluir que (A) se uma pessoa come muito, então é gorda. (B) se uma pessoa não é gorda, então não come muito. (C) se uma pessoa não come muito, então não é gorda. (D) existe uma pessoa gorda que não come muito. (E) não existe pessoa que coma muito e não seja gorda.

79 SOLUÇÃO Toda pessoa gorda come muito Letra c

80 28) TJ RJ Técnico Judiciário - FGV Considere a seguinte sentença: Se há muitos processos, então os juízes trabalham muito. Uma sentença logicamente equivalente a essa é: (A) se não há muitos processos, então os juízes não trabalham muito; (B) se os juízes trabalham muito, então há muitos processos; (C) há muitos processos e os juízes não trabalham muito; (D) não há muitos processos ou os juízes trabalham muito; (E) há muitos processos e os juízes trabalham muito.

81 SOLUÇÃO Se há muitos processos, então os juízes trabalham muito. Letra D

82 29) Bombeiros/RJ Combatente FUNCEFET Dizer que: Roberto é medico ou Paulo não é professor" e logicamente equivalente a dizer que: A) Roberto não é medico e Paulo é professor. B) Se Paulo é professor, então Roberto não é medico. C) Roberto é medico e Paulo não é professor. D) Se Roberto é medico, então Paulo não é professor. E) Se Roberto não é medico, então Paulo não é professor.

83 SOLUÇÃO Roberto é medico ou Paulo não é professor Letra E

84 5) BICONDICIONAL SE E SOMENTE SE A se e somente se B (Se A, então B ) E ( Se B, então A ) A é condição necessária e suficiente para B