Raciocínio Lógico. Matemático. Raciocínio Lógico

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1 Raciocínio Lógico Matemático Raciocínio Lógico

2 Teoria dos Conjuntos 1) (FEPESE, 2014) Considere como conjunto universo o conjunto dos números inteiros positivos menores ou iguais a vinte e quatro. Neste universo, assinale o conjunto verdade da sentença aberta: x 2 < 30 ou x - 1 é divisor de 30

3 Teoria dos Conjuntos (FEPESE, 2014) a) V = {1, 2, 4, 5, 6, 11, 16} b) V = {2, 3, 4, 6, 7, 11, 16} c) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 16} d) V = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 15, 30} e) V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 16}

4 Teoria dos Conjuntos 2) Considere os conjuntos A = { 1, 2, {2}, } e B = {1,2} complete as lacunas usando os símbolos adequados:

5 Teoria dos Conjuntos a) 3 A b) 1 B c) A d) 4 A e) B A f) {1,4} A g) B

6 Teoria dos Conjuntos 3) Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6}, determine o resultado de: a) L = A U B b) M = A B c) N = A B d) O = B A

7 Teoria dos Conjuntos 4) Dois conjuntos A e B têm exatamente a mesma quantidade de elementos. A união deles tem 2015 elementos e a interseção deles tem 1515 elementos. O número de elementos do conjunto A é: a) 250 b) 500 c) 1015 d) 1765 e) 1845

8 Teoria dos Conjuntos 5) Ano: 2019 Banca: IDECAN Órgão: AGU Luna é uma menina muito esperta e possui 27 colegas meninos e 34 colegas meninas. Todas essas crianças juntas formam uma turma de alunos muito diferente, pois cada aluno ou adora matemática ou adora português. Sabendo que, nessa turma, 21 meninas adoram matemática e um total de 38 alunos adoram português, o número de meninos que adoram matemática é A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) 5

9 Teoria dos Conjuntos 6) (CESPE,2016) Situação hipotética: A ANVISA realizará inspeções em estabelecimentos comerciais que são classificados como Bar ou Restaurante e naqueles que são considerados ao mesmo tempo Bar e Restaurante.

10 Teoria dos Conjuntos Sabe-se que, ao todo, são 96 estabelecimentos a serem visitados, dos quais 49 são classificados como Bar e 60 são classificados como Restaurante. Assertiva: Nessa situação, há mais de 15 estabelecimentos que são classificados como Bar e como Restaurante ao mesmo tempo. ( ) Certo ( ) Errado

11 Teoria dos Conjuntos 7) O administrador de uma sorveteria quis saber a preferência de seus clientes sobre três sabores: morango, chocolate e abacaxi. Para isso, elaborou uma ficha em que cada cliente marcaria com um X quais sabores eram de sua preferência, podendo marcar quantos sabores quisesse. O resultado foi o seguinte: 27 clientes marcaram os três sabores, 50 marcaram os sabores morango e chocolate, 48 marcaram chocolate e abacaxi, 52 marcaram morango e abacaxi, 80 marcaram abacaxi, 78 marcaram morango e 82 marcaram chocolate. Se todos os clientes marcaram pelo menos um sabor e preencheram somente uma ficha cada, então o total de clientes consultados foi: a) 417 b) 390 c) 117 d) 286 e) 142

12 Raciocínio Lógico Matemático Lógica Proposicional

13 Proposições Lógicas Denomina-se proposição a toda frase declarativa, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso.

14 Proposições Lógicas Não são proposições: 1) frases interrogativas: Qual é o seu nome? 2) frases exclamativas: Que prova complicada! 3) frases imperativas: Fique calado. 4) frases sem verbo: O livro de receita.

15 Proposições Lógicas 5) sentenças abertas (o valor lógico da sentença depende do valor (do nome) atribuído a variável) Exemplos x é maior que 2 ; x + y = 10 ; Z é a capital do Brasil.

16 Proposições Lógicas Exercício Assinale quais das sentenças abaixo são proposições lógicas: a) O TRT publicou o edital do concurso. b) A prova foi cancelada. c) Bom dia! d) Que horas são?

17 Proposições Lógicas e) Prova fácil. f) Não fume. g) 2+2 = 5 h) x + y = 5 i) x é um planeta. j) A Terra é um planeta

18 LÓGICA PROPOSICIONAL PROPOSIÇÃO SIMPLES COMPOSTA A Democracia é o poder do povo. A Democracia é o poder do povo e o voto é facultativo.

19 NEGAÇÃO PROPOSIÇÃO SIMPLES LÓGICA PROPOSICIONAL p: O IESES será a banca examinadora do concurso. ~ p: O IESES não será a banca examinadora do concurso. ~ p: Não é verdade que o IESES será a banca examinadora do concurso. ~ p: É falso que o IESES será a banca examinadora do concurso.

20 Negação de Proposições Simples 1º CASO: proposição do tipo nenhum, nenhuma ou ninguém. NENHUM...ÁLGUM NENHUMA...ÁLGUMA NINGUÉM... ÁLGUEM

21 Negação de Proposições Simples Exemplos: 1)Nenhum candidato será impedido de realizar a prova. Algum candidato será impedido de realizar a prova.

22 Negação de Proposições Simples 2) Nenhuma questão será anulada. Alguma questão será anulada.

23 Negação de Proposições Simples 3) Ninguém gosta de quiabo. Alguém gosta de quiabo. Existe quem gosta de quiabo. Pelo menos uma pessoa gosta de quiabo.

24 Negação de Proposições Simples 2º CASO: proposição do tipo todo(a) ou todos(as). TODO(A)...ÁLGUM...NÃO TODOS(AS)... ÁLGUNS...NÃO

25 Negação de Proposições Simples Exemplos 1) Todos os processos da repartição serão finalizados pelos funcionários não efetivos. Alguns processos da repartição não serão finalizados pelos funcionários não efetivos. Algum processo da repartição não será finalizado pelos funcionários não efetivos.

26 Negação de Proposições Simples Algum processo da repartição não será finalizado pelos funcionários não efetivos. Existe processo da repartição que não será finalizado pelos funcionários não efetivos. Pelo menos um processo da repartição não será finalizado pelos funcionários não efetivos.

27 Negação de Proposições Simples (FGV) João e José conversam. João diz: - Todo país que realiza eleições é democrático. José diz: - Essa frase é falsa. O que José disse significa que:

28 Negação de Proposições Simples a) algum país não realiza eleições e é democrático; b) se um país não realiza eleições então não é democrático; c) algum país realiza eleições e não é democrático; d) se um país não é democrático então não realiza eleições; e) todo país que realiza eleições não é democrático.

29 Negação de Proposições Simples Exercício A negação da sentença: Ninguém conseguiu resolver a questão é:

30 Negação de Proposições Simples a) Todos conseguiram resolver a questão. b) Não é verdade que alguém conseguiu resolver a questão. c) Algumas pessoas não conseguiram resolver a questão. d) Pelo menos uma pessoa conseguiu resolver a questão. e) A questão poderia ter sido resolvida por alguém.

31 Negação de Proposições Simples Importante A negação de : a) = 8 é b) x > 3 é x 3 c) x < 3 é x 3 > d) 5 7 é 5 7

32 Negação de Proposições Simples Exemplo: Escreva a negação da frase: Todo número x tal que x + 1 > 2 Algum número x tal que x + 1 2

33 Proposição Composta Conectivo Notação Símbolo Disjunção não exclusiva ou V Disjunção exclusiva ou...ou V Conjunção e ^ Condicional se...então Bicondicional se e somente se

34 Proposição Composta Exercícios 1) (CESPE) Julgue o item seguinte: A proposição João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção.

35 Proposição Composta 2) (CESPE) Considere as proposições: A: a vítima estava ferida B: a arma foi encontrada C: o criminoso errou o alvo

36 Proposição Composta A proposição Se a vítima não estava ferida ou a arma foi encontrada, então o criminoso errou o alvo fica corretamente simbolizada na forma ( A) B C.

37 Tabela Verdade p q p V q p V q p ^ q p q p q V V V F V V V V F V V F F F F V V V F V F F F F F F V V ou... é verdadeira quando pelo menos uma das proposições for verdadeira. ou... ou é verdadeira quando apenas uma das proposições for verdadeira. e... é verdadeira quando as duas(todas) proposições for verdadeira. se...então é falsa quando a 1ª for V e a 2ª F, nos demais casos será verdadeira se e somente se.. verdadeira quando as proposições tem o mesmo valor lógico

38 Tabela Verdade Determine o valor lógico de cada sentença: I) 5 LÓGICA é um número PROPOSICIONAL primo ou o Brasil é um pais da América do Norte.( V ) II) Ou A capital de Santa Catarina é Florianópolis ou 2 é um número par ( F )

39 Tabela Verdade Determine o valor lógico de cada sentença: III) O LÓGICA Tribunal de PROPOSICIONAL Justiça é um órgão do poder judiciário e a água do mar é doce. ( V ) IV) Se 16 é divisível por 4 então 5 < 4. ( F ) V) = 7 se e somente se 40 é um número inteiro. ( V )

40 Implicação Lógica (ESAF) Ana é artista ou Carlos é carioca. Se Jorge é juiz, então Breno não é bonito. Se Carlos é carioca, então Breno é bonito. Ora, Jorge é juiz. Logo:

41 Implicação Lógica a) Jorge é juiz e Breno é bonito; b) Carlos é carioca ou Breno é bonito; c) Breno é bonito e Ana é artista; d) Ana não é artista e Carlos é carioca; e) Ana é artista e Carlos não é carioca.

42 Implicação Lógica Ano: 2014 Banca: FEPESE Maria, João e Felipe trabalham juntos. Sabe-se que se Maria for despedida, então João e Felipe serão promovidos. Ainda, se João for promovido, então Felipe ganhará um bônus. Sabe-se que Felipe não ganhará um bônus. Logo, podemos afirmar corretamente que: a) Maria será despedida b) Maria não será despedida c) Maria será despedida e João não será promovido. d) Maria não será despedida e João será promovido e) Felipe será promovido.

43 Equivalência Lógica EQUIVALÊNCIA LÓGICA LÓGICA PROPOSICIONAL Diz-se que uma proposição P é logicamente equivalente ou apenas equivalente a uma proposição Q se as tabelas-verdade destas duas proposições são idênticas. Indica-se que a proposição P Q. Veja as equivalências mais importantes:

44 Implicação Lógica I) Condicional ( Se...então...) A) LÓGICA Contrapositiva PROPOSICIONAL A B = B A Se A, então B Se não B, então não A. B) Bastardinha A B = A v B Se A, então B Não A ou B

45 Equivalência Lógica LÓGICA PROPOSICIONAL Se a operação lava-jato for interrompida os corruptos não serão punidos. Se os corruptos forem punidos a operação lava-jato não será interrompida A operação lava-jato não será interrompida ou os corruptos não serão punidos.

46 Equivalência Lógica II) Disjunção não exclusiva (...ou...) A V LÓGICA B = A B PROPOSICIONAL A ou B se não A, então B um servidor é concursado ou não tem estabilidade. Se um servidor não é concursado então não tem estabilidade.

47 Equivalência Lógica Exercício (FGV) Considere a proposição: toda pessoa gorda come muito. É correto concluir que:

48 Equivalência Lógica a)se uma pessoa come muito então é gorda. b)se uma pessoa não é gorda então não come muito. c)se uma pessoa não come muito então não é gorda. d)existe uma pessoa gorda que não come muito. e)não existe pessoa que coma muito e não seja gorda.

49 Equivalência Lógica Exercício (CESPE) Considerando as regras da lógica sentencial, julgue os itens a seguir. A proposição um papel é rascunho ou não tem mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos é equivalente a se um papel tem serventia para o desenvolvimento dos trabalhos, então é um rascunho.

50 Equivalência Lógica Exercício (CESPE) Considerando as regras da lógica sentencial, julgue os itens a seguir. A proposição um papel é rascunho ou não tem mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos é equivalente a se um papel tem serventia para o desenvolvimento dos trabalhos, então é um rascunho.

51 Negação Proposições Compostas Proposição Negação (A V B ) A ^ B (A ^ B ) A V B (A B) A ^ B (A B) A V B (A V B) A B

52 Negação Proposições Compostas Exemplos : construa a negação das proposições. a) Gosto de frutas ou verdura. b) Pratico esportes e estudo.

53 Negação Proposições Compostas Exemplos : construa a negação das proposições. c) Se receber o salário então vou viajar. d) Ou presto atenção ou copio a matéria do quadro.

54 Negação Proposições Compostas (TRT 17ª Região/CESPE) Julgue os itens a seguir. 1. A proposição A Constituição brasileira é moderna ou precisa ser refeita será V quando a proposição A Constituição brasileira não é moderna nem precisa ser refeita for F, e vice-versa.

55 Negação Proposições Compostas (TRT 17ª Região/CESPE) Julgue os itens a seguir. 2. A proposição Carlos é juiz e é muito competente tem como negação a proposição Carlos não é juiz nem é muito competente.

56 Negação Proposições Compostas A negação da afirmação condicional: Se estiver chovendo, eu levo o guardachuva é:

57 Negação Proposições Compostas a) Se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva. b) Não esta chovendo e eu levo o guardachuva. c) Não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. d) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva. e) Está chovendo e eu não levo o guardachuva.

58 Negação Proposições Compostas (CESPE)A negativa da sentença se a inflação existe então os salários devem ser corrigidos é a inflação existe e os salários devem ser corrigidos.

59 Lógica de Argumentação ARGUMENTO É um conjunto de proposições formado por premissa(s) e uma conclusão. Notação: P1 P2 Pn C

60 Lógica de Argumentação Exemplo P1- Se estudo, obtenho boas notas. P2- Se me alimento bem, me sinto disposto. P3- Ontem estudei e não me senti disposto. C- Obterei boas notas mas não me alimentei bem.

61 Lógica de Argumentação Um argumento pode ser : válido (bem construido) ou inválido(mal construido). Para um argumento ser válido a conclusão deve estar de acordo com as premissas ou seja a conclusão deve ser consequência das premissas.

62 Lógica de Argumentação (CESPE ) Assinale a opção que apresenta um argumento válido. I) Se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem, me sinto disposto. Ontem estudei e não me senti disposto, logo obterei boas notas mas não me alimentei bem.

63 Lógica de Argumentação II) Se ontem choveu e estamos em Junho, então hoje fará frio. Ontem choveu e hoje faz frio. Logo, estamos em Junho.

64 Lógica de Argumentação III) Choveu ontem ou segunda-feira é feriado. Como não choveu ontem, logo segunda-feira não será feriado

65 Lógica de Argumentação IV) Quando chove, as árvores ficam verdinhas. As árvores estão verdinhas, logo choveu.

66 Tautologia Contradição Tautologia: é uma proposição cujo valor lógico é sempre LÓGICA verdadeiro. PROPOSICIONAL Exemplo Verifique se as proposições abaixo representam uma tautologia: a) p V ~p b) (p Λ q) (p q)

67 Tautologia Contradição Contradição: é uma proposição cujo valor lógico é sempre LÓGICA falso. PROPOSICIONAL Exemplo Verifique se as proposições abaixo representam uma contradição: a) p Λ ~p b) ~(p ~(p q))

68 Tautologia Contradição Contingência é uma proposição cujo valor lógico pode LÓGICA ser verdadeiro PROPOSICIONAL ou falso. Exemplo Verifique se a proposição (p Λ~q) ~p representam uma contingência: Importante: também chamada de proposição indeterminada.

69 Quantificadores São proposições (categóricas) do tipo: 1- Todo LÓGICA A é B. PROPOSICIONAL 2- Algum A é B. 3- Algum A não é B. 4- Nenhum A é B. As proposições categóricas podem ser representadas através de diagramas lógicos.

70 Tautologia Contradição LÓGICA PROPOSICIONAL 1- Todo A é B. Exemplo: todo mamífero é um animal. Mamífero Animal

71 Quantificadores 2- Algum A é B. LÓGICA PROPOSICIONAL Exemplo: algum número par é primo.

72 Quantificadores 3- LÓGICA Algum A PROPOSICIONAL não é B. Exemplo: algum pesquisador não é professor.

73 Quantificadores 4- Nenhum A é B. LÓGICA PROPOSICIONAL Exemplo: nenhum número par é impar.

74 Quantificadores Ano: 2018 Banca: VUNESP Órgão: PC-SP Considere LÓGICA falsa a PROPOSICIONAL afirmação (I) e verdadeira a afirmação (II). I. Todos os alunos estudam. II. Alguns professores estudam. Sendo assim, é correto concluir que A) os alunos que estudam são professores. B) qualquer professor que estuda é aluno. C) existe aluno que não estuda. D) todos os professores estudam. E) qualquer aluno estuda.

75 Quantificadores Ano: 2018 Banca: FUNDATEC Órgão: PC-RS Supondo LÓGICA a verdade da PROPOSICIONAL sentença aberta: Alguns investigados são advogados mas nem todos os investigados têm domicílio conhecido. Podemos deduzir a verdade da alternativa: A) Todos investigados são advogados e têm domicílio conhecido. B) Todos investigados são advogados e não têm domicílio conhecido. C) Alguns investigados são advogados e têm domicílio conhecido. D) Alguns investigados são advogados e alguns investigados têm domicílio conhecido. E) Alguns investigados são advogados e alguns investigados não têm domicílio conhecido.

76 Quantificadores Observe o argumento abaixo e julgue os itens Algumas cobras não são perigosas e ratos não são cobras. Assim, ao menos um rato não é perigoso. I - O argumento é válido, embora a veracidade das premissas e da conclusão seja questionável.

77 Quantificadores II- O argumento é inválido, e pelo menos uma das proposições citadas é verdadeira. III- Se a palavra cobras fosse substituída pela palavra pedras, no argumento acima, sua validade não seria alterada. IV - Em uma falácia, a conclusão é sempre falsa.

78 Quantificadores Considere como verdadeira a proposição: nenhum matemático é não dialético. Laura enuncia que tal proposição implica:

79 Raciocínio Lógico Matemático Raciocínio Lógico