RESUMO TEÓRICO PRIMEIRA AULA

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1 ESTRUTURAS, DIAGRAMAS E LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO TÓPICO 1 RESUMO TEÓRICO PRIMEIRA AULA Como qualquer linguagem, a Matemática utiliza os seus termos - palavras ou símbolos - e as suas proposições - combinações de termos, de acordo com determinadas regras que constituem o que chamamos de sintaxe matemática. A lógica matemática tem como base as seguintes regras fundamentais: Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, ou seja, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. As regras que determinam quais as proposições que devem ser consideradas verdadeiras constituem a lógica matemática. 1. Proposição 1.1. Definição É a expressão verbal de um juízo-sentença. Enunciado verbal suscetível de ser dito verdadeiro ou falso.uma proposição não pode ser exclamativa e nem interrogativa. Exemplos: E.1) São proposições: a) 2 = 3 b) 5 > 4 c) Tóquio é a capital da Holanda E.2) Não são proposições: a) Maria é bela!, por ser exclamativa. b) ocê é inteligente?, por ser interrogativa. c) x = 2, por não ser ou alor lógico de uma proposição Chamamos valor lógico de uma proposição a verdade se a proposição é verdadeira e a falsidade se a proposição for falsa. Notação: Os valores lógicos verdade e falsidade serão indicados respectivamente por e. Os possíveis valores lógicos para a negação são dados pela tabela abaixo, chamada tabela-verdade. 3. Conectivos lógicos 3.1. Definição p p Chamamos conectivos lógicos ou simplesmente conectivos as palavras ou símbolos que se usam para formar novas proposições a partir de outras proposições dadas. Os conectivos usuais da lógica matemática são as seguintes palavras: ou, e, não, Se... então... e... se e somente se..., que serão indicados geralmente pelos símbolos:,,, e, respectivamente. 4. Proposições simples ou compostas 4.1. Definição de proposição simples Diz-se que uma proposição é uma proposição simples (ou atômica) se esta não possui nenhuma proposição como parte integrante de si mesma Definição de proposição composta Diz-se que uma proposição é uma proposição composta (ou molecular) se esta é uma combinação de duas ou mais proposições simples. Observações: O.1) A combinação de duas ou mais proposições simples é feita por meio dos conectivos lógicos:,,, e, como nos mostra os exemplos a seguir. O.2) Uma proposição composta P que é obtida por meio da combinação das proposições simples p, q, r,... será denotada por: P( p, q, r,...). p q p q p q p q p q 2. Negação de uma proposição (modificador ) A negação de uma proposição p, indicada por p (lê-se: não p ) é, por definição, a proposição que é verdadeira ou falsa conforme p é falsa ou verdadeira. 1

2 EXERCÍCIOS PARA DISCUSSÃO E TREINAMENTO 1. (UNIERSA SAPeJUS/GO AGENTE DE SEGURANÇA PRISIONAL) Considerando que uma proposição corresponde a uma sentença bem definida, isto é, que pode ser classificada como verdadeira ou falsa, excluindo-se qualquer outro julgamento, assinale a alternativa em que a sentença apresentada corresponde a uma proposição. (A) Ele foi detido sem ter cometido crime algum? (B) Aquela penitenciária não oferece segurança para o trabalho dos agentes prisionais. (C) Os agentes prisionais da penitenciária de Goiânia foram muito bem treinados. (D) ique alerta a qualquer movimentação estranha no pátio do presídio. (E) Houve fuga de presidiários, que tragédia! 2. (CESPE/MRE) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras, ou falsas, mas não cabem a elas ambos os julgamentos. As proposições simples são freqüentemente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, e as proposições compostas são conexões de proposições simples. Considerando as informações acima, julgue o item seguinte. Considere a seguinte lista de sentenças: I) Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores? II) O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX. III) As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respectivamente, x e y. I) O barão do Rio Branco foi um diplomata notável. Nessa situação, é correto afirmar que entre as sentenças acima, apenas uma delas não é uma proposição. 3. Preencha a tabela-verdade. A B A B A B A B A B 4. Sabendo que as proposições A e B são verdadeiras e que as proposições C e D são falsas, determinar o valor lógico ( ou ) de casa uma das seguintes proposições: a) ( A B) C b) ( B C ) ( A D) c) A ( C D) d) (( B A) ( C D) ) 5. (CESPE/TRT) Considere que as letras P, Q, R e S representam proposições e que os símbolos,,, são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e ou respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade) que pode ser verdadeiro () ou falso (), mas nunca ambos. Considerando que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens seguintes. 1 P Q é verdadeira. 2 ( P Q) ( R S) é verdadeira ( ) 3 P ( Q S) ( R Q) ( P S) 4 ( P ( S) ) ( Q ( R )) é verdadeira é verdadeira 6. Sabendo que as proposições A e B são falsas e que as proposições C e D são verdadeiras, determinar o valor lógico ( ou ) de casa uma das seguintes proposições: a) ( B C ) A b) ( A B) C c) ( A B) ( B D) d) ( A B) ( B D) e) ( D A) ( B C) f) ( B ( C A) ) ( D B) A B C D A D C g) ( ) ( ) ( ) 7. (ESA/GESTOR AZENDÁRIO - MG) Considere a afirmação P: P: A ou B onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações: A: Carlos é dentista B: Se Enio é economista, então Juca é arquiteto Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo: a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é 2

3 b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é 8. (JC) Sendo a proposição P : A B responda SIM ou NÃO às perguntas seguintes: 1 Considere a proposição P verdadeira. Se a proposição A for verdadeira, posso afirmar corretamente que a proposição B é também verdadeira? 2 Considere a proposição P falsa. Se a proposição B for falsa, posso afirmar corretamente que a proposição A é falsa também? 3 Considere a proposição P falsa. Se a proposição A for falsa, posso afirmar corretamente que a proposição B é verdadeira? 4 Considere a proposição P verdadeira. Se a proposição B for verdadeira, posso afirmar corretamente que a proposição A é falsa? a) sim, não, sim, não b) sim, sim, sim, não c) não, sim, não, sim d) sim, não, sim, sim e) sim, não, não, não 9. (ESA/ARE) O reino está sendo atormentado por um terrível dragão. O mago diz ao rei: O dragão desaparecerá amanhã se e somente se Aladim beijou a princesa ontem. O rei, tentando compreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógico da corte: 1 Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem? 2 Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem? 10. (JC) Sendo a proposição P : A B responda SIM ou NÃO às perguntas seguintes: 1 Considere a proposição P verdadeira. Posso afirmar corretamente que a proposição B é verdadeira? 2 Considere a proposição P falsa. Se a proposição B for falsa, posso afirmar corretamente que a proposição A é falsa também? 3 Considere a proposição P falsa. Se a proposição A for falsa, posso afirmar corretamente que a proposição B é verdadeira? 4 Considere a proposição P falsa. Se a proposição B for verdadeira, posso afirmar corretamente que a proposição A é falsa? a) sim, não, sim, não b) sim, sim, sim, não c) não, sim, não, sim d) sim, não, não, sim e) sim, não, não, não 11. (ESA/MPOG) As seguintes afirmações, todas elas verdadeiras, foram feitas sobre a ordem de chegada dos participantes de uma prova de ciclismo. 1 Guto chegou antes de Aires e depois de Dada. 2 Guto chegou antes de Juba e Juba chegou antes de Aires, se e somente se Aires chegou depois de Dada. 3 Cacau não chegou junto com Juba, se e somente se Aires chegou junto com Guto. Logo: A) Cacau chegou antes de Aires, depois de Dada e junto com Juba; B) Guto chegou antes de Cacau, depois de Dada e junto com Aires; C) Aires chegou antes de Dada, depois de Juba e antes de Guto; D) Aires chegou depois de Juba, depois de Cacau e junto com Dada; E) Juba chegou antes de Dada, depois de Guto e junto com Cacau. 3 Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ontem, posso concluir corretamente que o dragão desaparecerá amanhã? O lógico da corte, então, diz acertadamente que as respostas logicamente corretas para as três perguntas são, respectivamente: a) Não, sim, não b) Não, não, sim c) Sim, sim, sim d) Não, sim, sim e) Sim, não, sim 3

4 12. (CC/TRT-PR) Seja A o conjunto de todas as pessoas com mais de 1,80 m de altura, B o conjunto de todas as pessoas com mais de 80 kg de massa, e C o conjunto de todas as pessoas com mais de 30 anos de idade. Tânia diz que Lucas tem menos de 1,80 m e mais de 80 kg. Irene diz que Lucas tem mais de 80 kg e mais de 30 anos de idade. Sabendo que a afirmação de Tânia é verdadeira e a de Irene falsa, um diagrama cuja parte sombreada indica corretamente o conjunto ao qual Lucas pertence é: a) Sabendo-se que todas as afirmações do professor são verdadeiras, conclui-se corretamente que a nota de: A) Alice é maior do que a de Elenise, menor do que a de Claúdia e igual à de Beatriz B) Elenise é maior do que a de Beatriz, menor do que a de Claúdia e igual à de Denise C) Beatriz é maior do que a de Claúdia, menor do que a de Denise e menor do que a de Alice D) Beatriz é menor do que a de Denise, menor do que a de Elenise e igual à de Claúdia E) Denise é maior do que a de Claúdia, maior do que a de Alice e igual à de Elenise. 14. (JC) Sendo a proposição P : A B responda SIM ou NÃO às perguntas seguintes: b) 1 Considere a proposição P verdadeira. Se a proposição A for verdadeira, posso afirmar corretamente que a proposição B é também verdadeira? 2 Considere a proposição P falsa. Posso afirmar corretamente que a proposição A é falsa? c) 3 Considere a proposição P verdadeira. Se a proposição B for verdadeira, posso afirmar corretamente que a proposição A é falsa? 4 Considere a proposição P verdadeira. Se a proposição B for falsa, posso afirmar corretamente que a proposição A é verdadeira? d) a) não, não, sim, não b) não, sim, sim, sim c) não, sim, não, sim d) sim, não, não, sim e) sim, não, não, não E) 15. (EC/MPA) Sabemos que "Rita vai à praia ou ao cinema". Ocorre que Rita não foi ao cinema, logo: 13. (ESA/AC) Perguntado sobre as notas de cinco alunas (Alice, Beatriz, Claúdia, Denise e Elenise), um professor de Matemática respondeu com as seguintes afirmações: 1 A nota de Alice é maior do que a de Beatriz e menor do que a de Claúdia 2 A nota de Alice é maior do que a de Denise e a nota de Denise é maior do que a de Beatriz, se e somente se a nota de Beatriz é menor do que a de Claúdia. a) Rita não foi à praia. b) Rita foi à praia. c) Rita foi à praia e ao cinema. d) Rita pode não ter ido à praia. e) Rita foi ao cinema. 16. (ESA/ANEEL) Surfo ou estudo. umo ou não surfo. elejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim, a) estudo e fumo. b) não fumo e surfo. c) não velejo e não fumo. d) estudo e não fumo. e) fumo e surfo. 3 Elenise e Denise não têm a mesma nota, se e somente se a nota de Beatriz é igual à de Alice. 4

5 17. (CESPE/TRT-ES) Considere que cada uma das proposições seguintes tenha valor lógico. I Tânia estava no escritório ou Jorge foi ao centro da cidade. II Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Carla não pagou o condomínio. III Jorge não foi ao centro da cidade. A partir dessas proposições, é correto afirmar que a proposição: 1 Tânia não estava no escritório tem, obrigatoriamente, valor lógico. 2 Carla pagou o condomínio tem valor lógico. 18. (ESA/AT) De três irmãos José, Adriano e Caio, sabe-se que: 1) ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço; 2) ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente: a) Caio e José; b) Caio e Adriano; c) Adriano e Caio; d) Adriano e José; e) José e Adriano. 19. (ESA/MPOG) Ana possui tem três irmãs: uma gremista, uma corintiana e outra fluminense. Uma das irmãs é loira, a outra morena, e a outra ruiva. Sabe-se que: 1) ou a gremista é loira, ou a fluminense é loira; 2) ou a gremista é morena, ou a corintiana é ruiva; 3) ou a corintiana é morena, ou a fluminense é morena. Portanto, a gremista, a corintiana e a fluminense, são, respectivamente, a) loira, ruiva, morena. b) ruiva, morena, loira. c) ruiva, loira, morena. d) loira, morena, ruiva. e) morena, loira, ruiva. 20. (G/IOCRUZ) Três jovens, Mário, Nelson e Paulo têm idades diferentes. As duas afirmativa a seguir são verdadeiras: I. ou Mário é o mais velho ou Nelson é o mais novo. II. ou Nelson é o mais velho ou Paulo é o mais velho. (B) Nelson e Mário. (C) Paulo e Nelson. (D) Paulo e Mário. (E) Mário e Paulo. 21. (ESA/ ISCAL DO TRABALHO) Maria tem três carros: um gol, um corsa e um fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou gol é branco, ou o fiesta é branco. 2) ou o gol é preto, ou o corsa é azul. 3) ou o fiesta é azul, ou o corsa é azul. 4) ou o corsa é preto, ou o fiesta é preto. Portanto, as cores do gol, do corsa e do fiesta são, respectivamente: a) branco, preto, azul; b) preto, azul, branco; c) azul, branco, preto; d) preto, branco, azul; e) branco, azul, preto. 22. (G/IOCRUZ) Três amigos, ábio, Hugo e Mário torcem, cada um, por um time diferente. Um deles é flamenguista, outro é vascaíno, e outro é botafoguense. As afirmativas a seguir são todas verdadeiras: I. ou ábio é vascaíno ou Mário é vascaíno. II. ou ábio é botafoguense ou Hugo é flamenguista. III. ou Mário é flamenguista ou Hugo é flamenguista. I. ou Hugo é botafoguense ou Mário é botafoguense. Os times de ábio, Hugo e Mário são, respectivamente: (A) Botafogo, asco e lamengo. (B) asco, Botafogo e lamengo. (C) Botafogo, lamengo e asco. (D) lamengo, asco e Botafogo. (E) asco, lamengo e Botafogo. 23. (ESA/MPU) Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é professor, e o outro é músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico, 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico; 3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico, 4) ou Rogério é professor, ou Renato é professor. Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são, respectivamente, a) professor, médico, músico. b) médico, professor, músico. c) professor, músico, médico. d) músico, médico, professor. e) médico, músico, professor. O mais novo e o mais velho são, respectivamente: (A) Nelson e Paulo. 5

6 24. (CC - adaptado) Seja A o conjunto de todas as pessoas com mais de 1,80 m de altura, B o conjunto de todas as pessoas com mais de 80 kg de massa, e C o conjunto de todas as pessoas com mais de 30 anos de idade. Tânia diz que Lucas tem menos de 1,80 m ou mais de 80 kg. Irene diz que Lucas tem mais de 80 kg ou mais de 30 anos de idade. Sabendo que a afirmação de Tânia é verdadeira e a de Irene falsa, um diagrama cuja parte sombreada indica corretamente o conjunto ao qual Lucas pertence é: a) b) C) fada e bruxa D) princesa e fada E) fada e princesa 26. (ESA/AC-CGU) Amigas desde a infância, Beatriz, Dalva e alna seguiram diferentes profissões e hoje uma delas é arquiteta, outra é psicóloga, e outra é economista. Sabe-se que ou Beatriz é a arquiteta ou Dalva é a arquiteta. Sabe-se, ainda, que ou Dalva é a psicóloga ou alna é a economista. Sabe-se, também, que ou Beatriz é a economista ou alna é a economista. inalmente, sabe-se que ou Beatriz é a psicóloga ou alna é a psicóloga. As profissões de Beatriz, Dalva e alna são, pois, respectivamente, a) psicóloga, economista, arquiteta. b) arquiteta, economista, psicóloga. c) arquiteta, psicóloga, economista. d) psicóloga, arquiteta, economista. e) economista, arquiteta, psicóloga c) d) 27. (ESA/CGU) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ou Homero é honesto. Logo, a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo. e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. e) 25. (ENAP/ENGENHEIRO) Ana,Beatriz e Carla desempenham diferentes papéis em uma peça de teatro. Uma delas faz o papel de bruxa; a outra, o de fada. E a outra, o de princesa.sabe-se que : ou Ana é bruxa, ou Carla é bruxa; ou Ana é fada, ou Beatriz é princesa; ou Carla é princesa, ou Beatriz é princesa; ou Beatriz é fada, ou Carla é fada. Com essas informações, conclui-se que os papéis desempenhados por Ana e Carla são, respectivamente: A) bruxa e fada; B) bruxa e princesa 6

7 GABARITO 1. C 2. E 3. A B A B A B A B A B C E E C B 8. A 9. D 10. D 11. A 12. E 13. B 14. C 15. B 16. E 17. E C 18. B 19. A 20. A 21. E 22. E 23. E 24. D 25. A 26. D 27. C 7