Lógica Matemática e Computacional. 3.1 Relações lógicas de Euler

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1 Lógica Matemática e Computacional 3.1 Relações lógicas de Euler

2 Lógica Ciência dos argumentos; tem por objeto de estudo os argumentos, procurando elaborar procedimentos que permitam distinguir os argumentos válidos daqueles que não são.

3 Vantagens e utilidade da lógica Clarificar e analisar o pensamento e a linguagem; Assegurar a eficácia demonstrativa do pensamento; Garantir a correção formal do raciocínio e a coerência do discurso, Definir conceitos, ordenar as noções, obter conclusões formalmente rigorosas

4 Verdade/Validade Matéria de um raciocínio é o conteúdo das afirmações, aquilo que elas significam e é a seu respeito que falamos de verdade ou falsidade. Forma é o modo como as afirmações são encadeadas, independentemente da matéria que possamos exprimir, e é a este respeito que falamos de validade.

5 Raciocínio Três tipos: a) Dedutivo b) Indutivo c) Analógico

6 Tipos de raciocínio ou argumentação Dedutivo Toda mulher gosta de chocolate Regina é mulher Logo, Regina gosta de chocolate. Indutivo O cobre é condutor de calor O cobre é um metal Todo metal é condutor de calor Falacioso (falácia, sofisma, paralogismo) Sofisma- intenção de enganar o interlocutor, paralogismo-erro, equívoco.)

7 Premissas Conclusão Validade Verdadeiras Verdadeira Válido Verdadeiras Falsa Inválido Falsas Verdadeira Válido

8 Origem Aristóteles fez um estudo minucioso de certos tipos básicos de argumentos, estabelecendo regras para distinguir os que são válidos daqueles que não o são. Estes últimos são chamados de falácias ou sofismas. Exemplos: Parar de fumar é uma bobagem, meu avô fumou a vida inteira e morreu com 87 anos. Todas as pessoas que morreram de câncer nos últimos 50 anos bebiam água, logo Aristóteles procurou eliminar as frases ambíguas, trabalhando apenas com as que não deixassem dúvida quanto ao seu significado. Exemplos: Pássaros comem insetos, por Todos os pássaros comem insetos ou Alguns pássaros comem insetos. Índios não são carecas, por Nenhum índio é careca ou Alguns índios não são carecas

9 Origem Para julgar a validade ou não de um argumento, é necessário que a sentença que os constituem não tenham mais de um sentido. Segundo Aristóteles, isso é possível se enunciarmos as sentenças na forma categórica. Exemplos: Todos os brasileiros são técnicos de futebol. Nenhum gato sabe latir. Algumas pessoas gostam de comer fígado. Existem caubóis que não sabem andar a cavalo.

10 As sentenças assim formuladas foram chamadas de proposições categóricas e, segundo Aristóteles, podem ser de 4 tipos: Afirmação Universal Todos os atletas são saudáveis Afirmação Particular Alguns atletas são saudáveis ou Existem atletas saudáveis Negação Universal Nenhum atleta é saudável Negação Particular Alguns atletas não são saudáveis ou Existem atletas não-saudáveis

11 Tipos de Proposição Universal Afirmativa (A) Universal Negativa (E) Particular Afirmativa (I) Particular Negativa (O) Todos os homens são mortais Nenhum aluno é inteligente Algumas alunas são extravagantes Alguns alunos não gostam de estudar

12 Tipos de proposições e exemplos: A: afirmação universal (todo homem é mortal); E: negação universal (nenhum homem é mortal); I: afirmação particular (algum homem é mortal); O: negação particular (algum homem não é mortal). Relacionamento entre proposições: A e E são ditos contrários; se a proposição A é verdadeira então E é falsa; A e O e também E e I são contraditórios: não podem ser nem verdadeiros nem falsos conjuntamente; I e O são sub-contrários: não podem ser ambos falsos; I é subalterno de A, e O é subalterno de E; se A é verdadeira, I também o é, e se E é verdadeira então O também o é.

13 Relacionamento entre proposições A existência de quatro tipos de proposições não é coincidência: representam as quatro relações possíveis entre as extensões dos termos gerais; O matemático Euler representou as quatro relações lógicas na forma de diagramas de conjuntos (diagramas de Venn-Euler). Se S é o termo sujeito e se P é um predicado então as proposições correspondem aos diagramas a seguir...

14 4 relações lógicas de Euler Proposição A: inclusão total (todo S é P) P S Proposição E: exclusão total (nenhum S é P) P S Proposição I: inclusão parcial de S em P (algum S é P) S P Proposição O: exclusão parcial de S em P (algum S não é P) S P

15 4 relações lógicas de Euler 1. Proposição A: inclusão total (todo S é P) Todos os atletas são saudáveis P S 2. Proposição E: exclusão total (nenhum S é P) Nenhum atleta é saudável P S

16 4 relações lógicas de Euler 3. Proposição I: inclusão parcial de S em P (algum S é P) Alguns atletas são saudáveis S P 4. Proposição O: exclusão parcial de S em P (algum S não é P) Alguns atletas não são saudáveis S P

17 Exercício 1 Chamando R o conjunto dos países ricos e de E o conjunto dos países exportadores de petróleo e admitindo válido o diagrama abaixo, procure identificar: R E a) o conjunto dos países que não são ricos; b) o conjunto dos países que não são exportadores de petróleo; c) o conjunto dos países ricos que são exportadores de petróleo; d) o conjunto dos países que são ricos e que não são exportadores de petróleo; e) o conjunto dos países que são exportadores de petróleo, mas não são ricos.

18 Respostas a) d) R E R E b) e) R E R E c) R E

19 Exercício 2 Construa diagramas de Euler que representam as seguintes proposições: a) Todos os poetas são pobres. b) Todos os franceses são europeus. c) Nenhum europeu é asiático. d) Existem árvores que são verdes. e) Há livros que não são caros.

20 Exercício 3 Sendo N o conjunto de todos os seres que nadam, Construa diagramas de Euler que representam as seguintes proposições: a) Todos os patos nadam. b) Alguns gorilas nadam. c) Nenhum gato nada. d) Alguns homens não nadam.

21 Exercício 4 Sendo A o conjunto das pessoas que moram no Brasil e B o conjunto dos brasileiros, temos a seguinte representação para a relação existente entre A e B: A B Descreva com suas palavras o que caracteriza cada um dos conjuntos assinalados a seguir: a) b) c) A B R E A B

22 Exercício 5 Sabe-se que nenhum amigo meu é amigo seu e que alguns amigos dele são seus amigos, assim, pode-se afirmar, corretamente: a) Alguns de meus amigos são amigos dele. b) Alguns amigos dele são meus amigos. c) Nenhum amigo meu é amigo dele. d) Alguns amigos dele não são meus amigos. e) Nenhum amigo dele é meu amigo.

23 Exercício 6 Considerando todo livro é instrutivo como uma proposição verdadeira, é correto inferir que: a) Nenhum livro é instrutivo é uma proposição necessariamente verdadeira. b) Algum livro é instrutivo é uma proposição necessariamente verdadeira. c) Algum livro é instrutivo é uma proposição verdadeira ou falsa. d) Algum livro não é instrutivo é uma proposição proposição necessariamente verdadeira.

24 Exercício 7 Considerando todo livro é instrutivo como uma proposição verdadeira, é correto inferir que: a) Nenhum livro é instrutivo é uma proposição necessariamente verdadeira. b) Algum livro é instrutivo é uma proposição necessariamente verdadeira. c) Algum livro é instrutivo é uma proposição verdadeira ou falsa. d) Algum livro não é instrutivo é uma proposição proposição necessariamente verdadeira.

25 Negação (~) Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada por não p cujo valor lógico é a verdade (v) se p é falsa e a falsidade (f) se p é verdadeira. Simbolicamente: ~p. Dada uma proposição p, sua negação será denotada por ~p (não p). Se p é verdadeira então ~ p será falsa e vice versa. Ex: p = Bia está usando tênis preto. ~p = Bia não está usando tênis preto. p = Esta frase possui cinco palavras. ~p = Esta frase não possui cinco palavras.

26 Algumas observações sobre a negação A negação de sempre é

27 Algumas observações sobre a negação A negação de sempre é existe uma vez que não

28 Algumas observações sobre a negação A negação de sempre é existe uma vez que não A negação de nunca é

29 Algumas observações sobre a negação A negação de sempre é existe uma vez que não A negação de nunca é existe uma vez que

30 Algumas observações sobre a negação A negação de sempre é existe uma vez que não A negação de nunca é existe uma vez que A negação de p e q é

31 Algumas observações sobre a negação A negação de sempre é existe uma vez que não A negação de nunca é existe uma vez que A negação de p e q é ~p ou ~q

32 Algumas observações sobre a negação A negação de sempre é existe uma vez que não A negação de nunca é existe uma vez que A negação de p e q é ~p ou ~q A negação de p ou q é

33 Algumas observações sobre a negação A negação de sempre é existe uma vez que não A negação de nunca é existe uma vez que A negação de p e q é ~p ou ~q A negação de p ou q é ~p e ~q

34 Quais negações das proposições estão corretas? 1. A resposta 2 é 2 ou 3. a) A resposta é nem 2 nem 3. b) A resposta não é 2 ou não é 3. c) A resposta não é 2 e não é Pepinos são verdes e têm sementes. a) Pepinos não são verdes e não têm sementes. b) Pepinos não são verdes ou não têm sementes. c) Pepinos são verdes e não têm sementes.

35 Quais negações das proposições estão corretas? 3. 2 < 7 e 3 é ímpar. a) 2 > 7 e 3 é par. b) 2 7 e 3 é par. c) 2 7 ou 3 é ímpar. d) 2 7 ou 3 é par.

36 Escreva a negação das afirmações a seguir: 4. Se a comida é boa, então o serviço é excelente. A comida é boa, mas o serviço é ruim. 5. Ou a comida é boa, ou o serviço é excelente. A comida é ruim e o serviço também.

37 6. Se correr o bicho pega. Assim sendo: a) Correr é condição necessária para o bicho pegar. b) O bicho pegar é condição suficiente para correr. c) Correr é condição necessária para o bicho pegar. d) Correr é condição suficiente para o bicho pegar. e) O bicho pegar é condição necessária e suficiente para correr.

38 7. André vai à missa se, e somente se, Ricardo vai ao cinema. Sabe-se qua André não vai à missa, logo: I Ricardo vai ao cinema. II Nada se pode afirmar sobre Ricardo. III Ricardo não vai ao cinema. a) Apenas I é verdadeira. b) Apenas II é verdadeira. c) Apenas III é verdadeira. d) I e II são verdadeiras. e) I e III são verdadeiras.

39 8. João é atleta ou Maria é estudande, então: a) Se Maria não é estudante, então João não é atleta. b) Se João não é atleta, então Maria não é estudante. c) João é atleta e Maria é estudante. d) Correr é condição suficiente para o bicho pegar. e) Se Maria não é estudante, então João é atleta.

40 9. Todos os aprovados foram alunos do PITÁGORAS, todos os alunos do PITÁGORAS são inteligentes, pessoas intelgentes não ficam desempregadas, logo: a) Pelo menos uma pessoa que fez o PITÁGORAS está desempregada. b) Alguns desempregados estudaram no PITÁGORAS. c) As pessoas empregadas foram aprovadas. d) Pessoas aprovadas não estão desempregadas. e) Nem todos inteligentes estão empregados.

41 10. Considerando que todos os Gringles são Jirnes e que nenhum Jirnes é Trumps, a afirmação de que nenhum Trumps pode ser Gringles é: a) Necessariamente verdadeira. b) Verdadeira, mas não necessariamente. c) Necessariamente falsa. d) Falsa, mas não necessariamente. e) Indeterminada.