4 a Parte Lógica Formal Aspectos Introdutórios Resumo Teórico

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1 Registro CMI Aula Proposição 4 a Parte Lógica Formal Aspectos Introdutórios Resumo Teórico Toda proposição é uma frase mas nem toda frase é uma proposição; uma frase é uma proposição apenas quando admite um dos dois valores lógicos: Falso (F)ou Verdadeiro (V). Exemplos: 1. Frases que não são proposições o Pare! o Quer uma xícara de café? o Eu não estou bem certo se esta cor me agrada 2. Frases que são proposições o A lua é o único satélite do planeta terra (V) o A cidade de Salvador é a capital do estado do Amazonas (F) o O numero 712 é ímpar (F) o Raiz quadrada de dois é um número irracional (V) Composição de Proposições É possível construir proposições a partir de proposições já existentes. Este processo é conhecido por Composição de Proposições. Suponha que tenhamos duas proposições, 1. A = "Maria tem 23 anos" 2. B = "Maria é menor" Pela legislação corrente de um país fictício, uma pessoa é considerada de menor idade caso tenha menos que 18 anos, o que faz com que a proposição B seja F, na interpretação da proposição A ser V. Vamos a alguns exemplos: 1. "Maria não tem 23 anos" (nãoa) Pág 1

2 2. "Maria não é menor"(não(b)) 3. "Maria tem 23 anos" e "Maria é menor" (A e B) 4. "Maria tem 23 anos" ou "Maria é menor" (A ou B) 5. "Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(a) e B) 6. "Maria não tem 23 anos" ou "Maria é menor" (não(a) ou B) 7. "Maria tem 23 anos" ou "Maria não é menor" (A ou não(b)) 8. "Maria tem 23 anos" e "Maria não é menor" (A e não(b)) 9. Se "Maria tem 23 anos" então "Maria é menor" (A => B) 10. Se "Maria não tem 23 anos" então "Maria é menor" (não(a) => B) 11. "Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(a) e B) 12. "Maria tem 18 anos" é equivalente a "Maria não é menor" (C <=> não(b)) Note que, para compor proposições usou-se os símbolos não (negação), e (conjunção), ou (disjunção), => (implicação) e, finalmente, <=> (equivalência). São os chamados conectivos lógicos. Note, também, que usou-se um símbolo para representar uma proposição: C representa a proposição Maria tem 18 anos. Assim, não(b) representa Maria não é menor, uma vez que B representa Maria é menor. Algumas Leis Fundamentais Lei do Meio Excluido Lei Contradição Lei Funcionalidade da da Tabela-Verdade Um proposição ou é falsa (F) ou verdadeira (V): não há meio termo. Uma proposição não pode ser, simultaneamente, V e F. O valor lógico (V ou F) de uma proposição composta é unicamente determinada pelos valores lógicos de suas proposições constituintes. A tabela-verdade, como se sabe, é um instrumento eficiente para a especificação de uma composição de proposições. Abaixo segue a tabela-verdade dos conectivos aqui tratados, Negação A ~(A), ou -A, ou /A, ou ainda, A' F V V F A B Conjunção A. B, ou AB Disjunção A + B Implicação A => B F F F F V V F V F V V F V F F V F F V V V V V V Equivalência A <=> B Pág 2

3 Alguns destaques das tabelas-verdade tratadas: A negação, como o próprio nome diz, nega a proposição que tem como argumento. Tem como símbolo o acento "~", ~A,ou, algumas vezes, uma barra sobre a variavel lógica, Ã, ou o sinal "-", -A, ou o símbolo "/", /A, ou ainda, o sinal "'", A'. Lembre-se que o símbolo nada mais é que uma simples representação da negação. O que é relevante é que o significado do símbolo seja explicitamente declarado. Aqui, os símbolos mais usados para a negação são o sinal "'", e barra por sobre a variável lógica,. O símbolo mais utilizado para a conjunção, em Eletrônica Digital, é o ponto ".". O símbolo mais utilizado para a disjunção, em Eletrônica Digital, é o sinal "+". A única função da implicação lógica (A => B, onde A é o antecedente e B é o conseqüente) é afirmar o conseqüente no caso do antecedente ser verdadeiro. Segundo Quine, a única maneira de se negar a implicação lógica como um todo é quando isto não ocorre, isto é, tem-se o antecedente (A) V e o consequente (B) é F. Apenas neste caso, a implicação (A => B) é F. Em todos os outros casos é V. A equivalência sempre é V quando os dois argumentos possuem o mesmo valor lógico (seja, este valor, V ou F). Propriedades Importantes 1. Leis Idempotentes a) p v p p b) p ^ p p 2. Leis Comutativas a) p v q q v p b) p ^ q q ^ p 3. Leis Associativas a) p v (q v r) (p v q) v r b) p ^ (q ^ r) (p ^ q) ^ r 4. Leis de De Morgan a) ~(p ^ q) ~p v ~q (Negação da conjunção) b) ~(p v q) ~p ^ ~q (Negação da disjunção) 5. Leis Distributivas c) p ^ (q v r) (p ^ q) v (p ^ r) d) p v (q ^ r) (p v q) ^ (p v r) 6. Bicondicional a) p q (p q) ^ (q p) b) p q q p (comutativa) c) (p q ) r p ( q r ) (associativa) 7. Condicionais a) p q b) ~q ~p (contrapositivo) c) q p (recíproca do condicional) d) ~p ~q (recíproca do contrapositivo) Pág 3

4 p q ~p ~q p q ~q ~p q p ~p ~q F F V V V V V V F V V F V V F F V F F V F F V V V V F F V V V V Destas tabelas verdade tiramos as seguintes equivalências lógicas: i) (p q) (~q ~p) ii) (q p) (~p ~q) 8. Negação do condicional ~(p q) (p ^ ~q) 9. Mais condicional p q ~p v q 10. Negação do bicondicional ~(p q) ~p q p ~q QUESTÕES DE CONCURSOS QUESTÃO 01 Considere como verdadeiras as sentenças a seguir. I. Alguns matemáticos são professores. II. Nenhum físico é matemático. Então, é necessariamente verdade que (A) algum professor é físico. (B) nenhum professor é físico. (C) algum físico é professor. (D) algum professor não é físico (E) nenhum físico é professor. QUESTÃO 02 Observe a linha de argumentação a seguir. Toda banana é vermelha. Toda banana tem casca azul. Logo, as frutas vermelhas têm casca azul. Pág 4

5 a) trata-se de um argumento válido b) trata-se de um sofisma c) não há bananas vermelhas d) nenhuma fruta tem casca azul QUESTÃO 03 Se, numa vila, todo torcedor do Arranca-toco é homem, mas nem todo homem é torcedor do Arranca-toco e todo torcedor do Tira-canela é mulher, mas nem toda mulher é torcedora do Tira-canela então, nessa vila: (a) existem homens que torcem pelo Tira-canela (b) há mais de um homem que torce pelo Arranca-toco (c) existe pelo menos uma mulher que torce pelo Arranca-toco (d) ninguém torce pelo outro time (e) há pelo menos duas pessoas que não torcem nem pelo Arranca-toco, nem pelo Tira-canela QUESTÃO 04 Pedro, candidato ao cargo de Escrivão de Polícia Federal, necessitando adquirir livros para se preparar para o concurso, utilizou um site de busca da Internet e pesquisou em uma livraria virtual, especializada nas áreas de direito, administração e economia, que vende livros nacionais e importados. Nessa livraria, alguns livros de direito e todos os de administração fazem parte dos produtos nacionais. Além disso, não há livro nacional disponível de capa dura. Com base nas informações acima, é possível que Pedro, em sua pesquisa, tenha a.encontrado um livro de administração de capa dura. b. adquirido dessa livraria um livro de economia de capa flexível. c. selecionado para compra um livro nacional de direito de capa dura. d. comprado um livro importado de direito de capa flexível. QUESTÃO 05 Se Francisco desviou dinheiro da campanha assistencial, então ele cometeu um grave delito. Mas Francisco ao desviou dinheiro da campanha assistencial. Logo, a) alguém não desviou dinheiro da campanha assistencial. b) Francisco não cometeu um grave delito. c) Francisco cometeu um grave delito. d) alguém desviou dinheiro da campanha assistencial. e) Francisco desviou dinheiro da campanha assistencial. QUESTÃO 06 Sejam as seguintes sentenças: I) o uniforme dos policiais rodoviários deve ser utilizado em todas as operações de estradas; II) qual a cor predominante do uniforme dos policiais rodoviários? Pág 5

6 III) IV) o DPRF tem x postos de controle nas estradas capixabas; o posto do DPRF existente na rodovia Rio Teresópolis foi recentemente reformado. Com base na definição de Proposição Lógica, é correto afirmar que, dentre as sentenças apresentadas acima é uma proposição: a) todas b) uma c) duas d) três e) nenhuma QUESTÃO 07 A proposição composta A B A exato(s) : a) nenhum valor lógico F b) um valor lógico F c) dois valores lígicos F d) três valores lógicos F e) quatro valores lógicos F B, para quaisquer que sejam os valores lógicos de A e de B, tem QUESTÃO 08 Sejam as seguintes proposições : (P) não é verdade dizer que amo ou caso (Q) não amo ou caso Julgue o item a seguir. A proposição P Q é uma : a) contradição b) contingência c) tautologia d) equivalência 5 a Parte QUESTÕES DE CONCURSOS QUESTÃO 01 Se não é verdade que Todos assistentes judiciários de determinado fórum são formados em advocacia, então é necessariamente verdade que Pág 6

7 (A) nenhum assistente judiciário desse fórum é formado em advocacia. (B) todos assistentes judiciários desse fórum não são formados em advocacia. (C) ninguém formado em advocacia é assistente judiciário desse fórum. (D) alguém formado em advocacia é assistente judiciário desse fórum. (E) algum assistente judiciário desse fórum não é formado em advocacia QUESTÃO 02 A afirmação se a onça é pintada e o urso é pardo, então o macaco é preto é logicamente equivalente a: A) Se o macaco é preto, então a onça não é pintada e ou o urso não é pardo. B) Se o macaco não é preto, então a onça não é pintada e o urso não é pardo. C) Se o macaco não é preto, então a onça não é pintada ou o urso não é pardo. D) Se o macaco não é preto, então a onça é pintada ou o urso não é pardo. E) Se o macaco não é preto, então a onça não é pintada ou o urso é pardo. QUESTÃO 03 Se a proposição P(x) representa x é um pavão e a proposição M(x) representa x é misterioso, pode-se concluir x P( x) M( x). que a proposição nenhum pavão é misterioso é corretamente simbolizada por QUESTÃO 04 A negação da proposição Todo animal tem dentes é : a) nenhum animal tem dentes b) todo animal não tem dentes c) existem animais sem dentes d) existem animais com dentes e) se tem dentes, é animal QUESTÃO 05 Considere a seguinte afirmação: Se José estuda com persistência, então ele faz uma boa prova e fica satisfeito. Uma afirmação que é a negação da afirmação acima é (A) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova e ele não fica satisfeito. (B) José não estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou fica satisfeito. (C) José estuda com persistência ou ele faz uma boa prova ou ele não fica satisfeito. (D) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou ele não fica satisfeito. (E) Se José fica satisfeito então ele fez uma boa prova e estudou com persistência. QUESTÃO 06 Assinale a opção que apresenta uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição Todo ser humano é responsável pelo bem que não faz. A) Todo ser humano não é responsável pelo bem que não faz. B) Algum ser humano não é responsável pelo bem que não faz C) Todo ser humano é responsável pelo bem que faz. Pág 7

8 D) Todo ser humano é responsável pelo mal que não faz. E) Algum ser humano não é responsável pelo bem que faz. QUESTÃO 07 Ser síndico não é fácil. Além das cobranças de uns e da inadimplência de outros, ele está sujeito a passar por desonesto. A esse respeito, um ex-síndico formulou as seguintes proposições: Se o síndico troca de carro ou reforma seu apartamento, dizem que ele usou dinheiro do condomínio em benefício próprio. (P1) Se dizem que o síndico usou dinheiro do condomínio em benefício próprio, ele fica com fama de desonesto. (P2) Logo, se você quiser manter sua fama de honesto, não queira ser síndico. (P3) Com referência às proposições P1, P2 e P3 acima, assinale os itens verdadeiros. I- Considerando que P1 e P2 sejam as premissas de um argumento de que P3 seja a conclusão, é correto afirmar que, do ponto de vista lógico, o texto acima constitui um argumento válido.. II- III- IV- A negação da proposição O síndico troca de carro ou reforma seu apartamento pode ser corretamente expressa por O síndico não troca de carro nem reforma seu apartamento A partir das premissas P1 e P2, é correto concluir que a proposição Se o síndico ficou com fama de desonesto, então ele trocou de carro é verdadeira.. Se a proposição Dizem que o síndico usou dinheiro do condomínio em benefício próprio for falsa, então, independentemente do valor lógico da proposição O síndico fica com fama de desonesto, a premissa P2 será verdadeira V- A proposição P3 é equivalente a Se você quiser ser síndico, não queira manter sua fama de honesto VI- O síndico trocar de carro ou reformar o seu apartamento é condição necessária para que digam que ele usou dinheiro do condomínio em benefício próprio. 6 a Parte QUESTÕES DE CONCURSOS QUESTÃO 01 Considere como verdadeiras as sentenças a seguir. I. Se André não é americano, então Bruno é francês. II. Se André é americano então Carlos não é inglês. III. Se Bruno não é francês então Carlos é inglês. Logo, tem se obrigatoriamente que Pág 8

9 (A) Bruno é francês (B) André é americano. (C) Bruno não é francês. (D) Carlos é inglês. (E) André não é americano. QUESTÃO 02 Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo, a) seu esforço é condição suficiente para vencer. b) seu esforço é condição necessária para vencer. c) se você não se esforçar, então não irá vencer. d) você vencerá só se se esforçar. e) mesmo que se esforce, você não vencerá. QUESTÃO 03 Considere três homens (Alberto, Bruno e Carlos), cada um com sua profissão (comerciante, industrial e funcionário público) e com seu automóvel (um de cor preta, outro de cor prata e o terceiro de cor branca). Sobre essa situação, são dadas as seguintes informações: O proprietário do carro branco é funcionário público. Carlos é industrial. O proprietário do carro prata não é Carlos. O proprietário do carro branco não é Bruno. Com base nas informações, é correto concluir que (A) o comerciante é proprietário do carro branco. (B) Bruno é industrial. (C) Alberto é funcionário público. (D) o proprietário do carro preto é Bruno. (E) Alberto é proprietário do carro preto. QUESTÃO 04 Se Marta é estudante, então Pedro não é professor. Se Pedro não é professor, então Murilo trabalha. Se Murilo trabalha, então hoje não é domingo. Ora, hoje é domingo. Logo, a) Marta não é estudante e Murilo trabalha. b) Marta não é estudante e Murilo não trabalha c) Marta é estudante ou Murilo trabalha. d) Marta é estudante e Pedro é professor. e) Murilo trabalha e Pedro é professor. QUESTÃO 05 A fórmula que representa corretamente a notação formal da proposição Há pessoas que passam para o TRE ou para o TRT, mas nunca para ambos é : Pág 9

10 a) b) c) d) e) a b a a b a b a b a b a b a b a b a b QUESTÃO 06 A seguir, são apresentadas proposições relativas a um cliente de uma instituição financeira. Se Carlos fizer um empréstimo na instituição financeira, então ele não viajará. Se Carlos não viajar, então ele comprará um carro novo. Se Carlos comprar uma moto ou usar o cartão de crédito, então ele não comprará um carro novo. Se Carlos viajar, então ele usará o cartão de crédito. Considerando que essas proposições sejam verdadeiras, julgue os seguintes itens. I - A proposição se Carlos viajar, então ele não fará um empréstimo na instituição financeira é verdadeira. II - A proposição se Carlos comprar um carro novo, então ele não comprará uma moto nem usará o cartão de crédito é falsa.. III - A proposição se Carlos não usar o cartão de crédito, então ele comprará um carro novo é verdadeira. IV - A proposição se Carlos fizer um empréstimo no banco, então ele comprará uma moto é verdadeira.. Pág 10