Resolução do EXAME da ÉPOCA de RECURSO

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1 ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA DISCRETA Resolução do EXAME da ÉPOCA de RECURSO Curso: LEI o Semestre / Data: 8 de Julho de Duração: hm I Diga, justificando adequadamente, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas [,] Se a e b são dois números inteiros, tais que a e 8 b, entãomdc(a, b) = Resolução: Aafirmação é falsa pois, por exemplo, e 8 mas mdc(, ) = = [,] Sejam a Z e m N Semdc(a, m) =, existe x Z tal que ax (modm) Resolução: Aafirmação é verdadeira De facto, se mdc(a, m) =, existem inteiros s e t tais que as + mt =;logo, as =mt donde, considerando x = s, conclui-se que ax (modm) [,] Num baralho de cartas, o número de mãos de cartas com três ouros e pelo menos uma copa é 7 7 Resolução: Num baralho de cartas, o número de mãos de cartas com três ouros é 7 Subtraindo a este valor o número de mãos de cartas com três ouros e sem nenhuma copa, isto é, 7, obtém-se o número de mãos de cartas com três ouros e pelo menos uma copa A afirmação é pois verdadeira [,] O grafo bipartido completo K n,m tem n vértices e m arestas Resolução: O grafo bipartido completo K n,m tem m + n vértices e mn arestas pelo que a afirmação é falsa [,] Mostre por indução que n = n(n + )(n +), n N Resolução: A proposição é verdadeira para n =pois II = ( + ) ( + ) = =

2 Admita-se que a proposição é verdadeira para qualquer n (hipótese de indução) e provemos n +(n +) = (n +)(n +)(n +) (tese de indução) Ora, atendendo à hipótese de indução, n +(n +) = n (n +)(n +)+(n +) = = (n +)(n (n +)+(n +))= = (n +) n +7n + = = (n +)(n +)(n +), Provou-se assim pelo princípio de indução que a igualdade é valida para qualquer n N [,] Calcule (7) () 8 na base Resolução: Tem-se: Então, Como n = n (n +)(n +) () 8 = = (9) (7) () 8 = (7) (9) = (77) 77 r 8 r r r conclui-se que (7) () 8 = (77) = () [,] Calcule o resto da divisão de 8 por Resolução: Temos = +, logo: (mod) 8 8 (mod ) Como éprimoe - entãopeloteoremadefermat, Logo, 8 = 8+ = 8 8 = (mod) e, portanto, 8 (mod ) Assim, o resto da divisão de 8 por é,

3 [,] ½ x (mod ) Determine a maior solução inteira negativa do sistema x (mod 9) Resolução: Dado que e 9 são números primos entre si, o teorema chinês dos restos garante que o sistema tem solução Para a determinar procede-se como segue: Sejam M = 9=8e M = 8 =9 e M = 8 9 = Procuremos então as soluções particulares das congruências 9x (mod ) e x (mod 9) As soluções procuradas são respectivamente s =e s = e podem ser obtidas com facilidade utilizando o algoritmo de Euclides Então, uma solução particular do sistema é dada por x =9 + ( ) ( ) = 7 Como 7 = 8 +, oconjuntosoluçãoé{ + 8k, k Z} Portanto, a maior solução inteira negativa é Considere as sequências binárias (de zeros e uns) de comprimento III [,] (a) Quantas delas têm tantos zeros como uns? Resolução: Assequênciasquetêmtantoszeroscomounssãoaquelascom zeros e uns Então o número de sequências deste tipo iguala o número de permutações com repetição dos dígitos e, em que o zero se repete vezes e o um outras ; este número é dado por P (, ) =!!! De notar que este valor coincide com o número total de maneiras de escolher posições de entre de forma a colocar nelas os zeros e nas restantes os uns; este número é dado por = [,](b) Quantasdelastêmpelomenostrêszeros? Resolução: O número das sequências que têm pelo menos três zeros é igual ao número total de sequências (isto é, ) menos o número daquelas que não têm zeros ou que possuem somente ou zeros, isto é, µ µ µ

4 [,] Quantos números naturais compreendidos entre e (inclusive) são múltiplos de, de ou de 7? Resolução: Seja X oconjuntodosinteirosdeaea,a e A 7 os conjuntos dos elementos de X que são múltiplos de, de ou de 7, respectivamente Então, o número pedido é A A A 7, ou seja, A A A 7 = A + A + A 7 A A A A 7 A A 7 + A A A 7, atendendo ao princípio da inclusão-exclusão Ora: ¹ º ¹ º ¹ º A = =; A = =; A 7 = =; 7 ¹ º A A = {x X : x émúltiplode mmc(, ) = } = =; ¹ º A A 7 = {x X : x émúltiplode mmc(, 7) = } = =7; ¹ º A A 7 = {x X : x émúltiplode mmc(, 7) = } = =7; ¹ º A A A 7 = {x X : x émúltiplode mmc(,, 7) = } = = Portanto, A A A 7 = = 7 [,] Numa caixa existem bolas brancas, bolas vermelhas e 7 pretas Qual o número mínimo de bolas que devem ser retiradas, para que possa garantir que, de entre as bolasretiradas,hajapelomenosdamesmacor Resolução: A forma forte do princípio da distribuição diz-nos que, sendo m, n e k números naturais, se m nk + objectos são distribuídos por n caixas, uma das caixas terá pelo menos k + objectos Ora, no caso presente, considerando n = caixas correspondentes respectivamente a cada uma das cores, se de entre as bolas brancas, bolas vermelhas e 7 bolas pretas, m nk += +=bolas forem distribuídas pelas n =caixas, pelo menos uma destas conterá k += bolas Logo, é o número mínimo de bolas que devem ser retiradas de forma a garantir que haja pelo menos da mesma cor IV Considere o grafo G representado na figura seguinte:

5 [,] (a) Determine a matriz de adjacência de G e utilize-a para determinar o número de passeios de comprimento do vértice paraovértice Resolução: A matriz de adjacência do grafo G é A =[a ij ]= Para determinar o número de passeios de comprimento do vértice para o vértice é necessário calcular o elemento da linha e coluna da matriz A =[a () ij ] Ora, a () = linhadea colunadea = linhadea matriz A coluna de A = {z } linha de A = = Assim, existem passeios de comprimento do vértice para o vértice [,] (b) Determine uma árvore de suporte para o grafo G Resolução: UmaárvoredesuporteparaografoG é, por exemplo, [,] (c) Aplique o algoritmo guloso para determinar uma aproximação do número cromático de G A aproximação obtida coincide com χ(g)? Justifique (NOTA: descreva cuidadosamente os passos realizados pelo algoritmo guloso)

6 Resolução: Os passos do algoritmo guloso estão resumidos no quadro seguinte: v i A v i K A v i ª cor K A v i c c c c c c,,,,,,,,,,,,,, Obtivemos assim uma coloração a cores logo χ (G) Como os vértices {,,,, } formam um subgrafo completo K, tem-se que χ (G) Assim, concluímos que χ (G) =eaaproximaçãoobtidacoincidecomχ (G) [,] (d) Defina índice cromático de um grafo e diga qual o índice cromático do grafo G (e) Resolução: O índice cromático de um grafo G representa-se por χ (G) edefine-se como sendo o menor inteiro k tal que existe uma coloração das arestas de G com k cores (quaisquer duas arestas que incidam na mesmo vértice têm de ter cores diferentes) Os vértices {,,,, } formam um grafo completo e sabe-se que χ (K )=, logo o índice cromático de G é (aresta pode ter a cor da aresta e a aresta a cor da aresta, ver figura abaixo) [,] Quantas arestas tem um grafo cuja sequência dos graus dos vértices é,,,,? Resolução: Pelo teorema do aperto de mãos sabemos que P v V d (v) = E Logo, no caso presente, E = ++++ = = O grafo tem pois arestas