2. Desenhe o grafo orientado G = (X, Γ) para: 3. Em cada alínea dois grafos são iguais. Identifique-os. (a) (b) (c)

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1 1. Desenhe o grafo não orientado G = (X, Γ) para: (a) X = {a, b, c, d} e Γ = {{a, b}, {b, c}, {c, d}}. (b) X = {a, b, c, d} e Γ = φ. (c) X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e Γ = {{1, 2}, {2, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {3, 4}, {3, 5}, {6, 7}, {6, 8}, {7, 8}}. 2. Desenhe o grafo orientado G = (X, Γ) para: (a) X = {a, b, c, d} e Γ = {(a, b), (b, c), (c, d)}. (b) X = {a, b, c, d} e Γ = φ. (c) X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e Γ = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 4), (3, 4), (3, 5), (6, 7), (6, 8), (7, 8)}. 3. Em cada alínea dois grafos são iguais. Identifique-os. (a) (b) (c) 1

2 4. Desenhe o grafo cuja matriz de adjacência é (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l)

3 5. Sejam A 1 = {1, 2, 3, 4, 5}, A 2 = {2, 4, 6, 8}, A 3 = {3, 5, 12} e A 4 = {5, 8, 10}. Desenhe o grafo de vértices A 1, A 2, A 3 e A 4, tal que exista uma aresta entre dois vértices se e só se a intersecção dos respectivos conjuntos é não vazia. Construa a matriz de adjacência do grafo. 6. Um grafo também pode ser descrito pela lista dos sucessores de cada vértice. Seja G o grafo descrito por: x Γ(x) 2, 3, 4 1, 3, 5 1, 2, 4 7 3, 6, 7 5, 6 9, 10 8, 10 8, 9 em que Γ(x) representa a lista dos sucessores do vértice x. (a) Represente matricialmente o grafo. (b) Represente graficamente o grafo. 7. Determine a matriz de adjacência de todos os grafos simples dos exercícios 1, 2 e Considere os grafos não orientados (i) (ii) (iii) (iv) (v) 3

4 Indique os grafos: (a) com arestas múltiplas. (b) com lacetes. (c) simples. (d) completos. 9. Considere os grafos orientados (i) (ii) (iii) (iv) (v) Indique os grafos: (a) com arcos múltiplos. (b) com lacetes. (c) simples. (d) completos. 10. Desenhe os grafos não orientados completos K 1, K 2, K 3, K 4, K 5 e K 6. Quantas arestas tem o grafo completo K n? 4

5 11. Seja G um grafo simples não orientado. Um grafo simples (não orientado) G com o mesmo conjunto de vértices de G diz-se o grafo complementar de G quando uma aresta existe em G se e só se não existe em G. Desenhe os grafos complementares de: (a) (b) (c) (d) (e) 12. Um grafo simples não orientado diz-se bipartido quando o seu conjunto de vértices X pode ser dividido em dois subconjuntos Y e Z, com X = Y Z e Y Z =, de modo que cada aresta do grafo liga um vértice de Y a um vértice de Z. Determine quais dos seguintes grafos são bipartidos: (a) (b) 5

6 (c) (d) 13. Um grafo bipartido G = (X, Γ) com X = Y Z, diz-se completo quando todos os vértices de Y são adjacentes a todos os vértices de Z; denota-se por K r,s, para r = #Y e s = #Z. (a) Represente os grafos bipartidos completos K 1,2, K 1,3, K 2,2, K 2,3 e K 3,3. (b) Quantos vértices e arestas tem K r,s? Justifique. (c) Represente os grafos bipartidos completos K 1,2, K 1,3, K 2,2, K 2,3 e K 3,3. (d) Quantos vértices e arestas tem K r,s? Justifique. 14. Determine, para os seguintes grafos, (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) 6

7 (a) Os graus dos vértices. (b) A soma dos graus dos vértices. (c) O número de arestas. (d) A relação entre os valores determinados em (b) e em (c). (e) Se o grafo é regular. 15. Repita o exercício anterior para os grafos do exercício Determine, para os seguintes grafos, (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (a) Os graus de entrada e de saída dos vértices. (b) A soma dos graus de entrada e de saída dos vértices. (c) O número de arcos. (d) A relação entre os valores determinados em (b) e em (c). (e) Se o grafo é pseudo-simétrico. 17. Repita o exercício anterior para os grafos do exercício 9. 7

8 18. Será possível encontrar um grafo simples não orientado com quatro vértices de graus 1,3,3,3. E se for não simples? 19. É possível haver um grafo não orientado com oito vértices de graus: 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, e 8? Justifique. 20. Desenhe um grafo orientado: (a) com vértices a, b e c tais que gr (a) = gr (c) = 1, gr + (a) = gr (b) = gr + (c) = 2 e gr + (b) = 0. (b) com 4 vértices tais que 2 vértices têm o grau de saída e de entrada iguais a Mostre que não existem grafos não orientados regulares com 7 vértices de grau Considere o seguinte grafo não orientado e complete as frases de modo a obter afirmações verdadeiras: (a) xyzvyxw é um (b) yzuzy é um (c) uvzyvw é um (d) yzuvwy é um de comprimento de comprimento de comprimento de comprimento 23. Considere o seguinte grafo orientado e complete as frases de modo a obter afirmações verdadeiras: 8

9 (a) vwxywx é um de comprimento (b) xywxywx é um de comprimento (c) vwxyw é um de comprimento (d) xyzvwx é um de comprimento 24. Indique quais dos grafos do exercício 8 são conexos. 25. Indique quais dos grafos do exercício 9 são fortemente conexos. 26. Verifique se os grafos do exercício 4 são conexos ou fortemente conexos. 27. Seja G o grafo cuja matriz de adjacência é: [ ] (a) Determine o grau de cada vértice. (b) Faça uma representação de G. (c) Verifique se há um caminho entre 1 e 9. (d) Escreva as componentes conexas de G. 28. Determine as componentes fortemente conexas do grafo do exercício 6. 9

10 29. Encontre as componentes fortemente conexas do grafo descrito na seguinte tabela: x Γ(x) 12 1, , 6 4, 6 3, 9 8, , Seja G o grafo complementar de um grafo G. Preencha a seguinte tabela: K 9 K 9,9 K 4,5 K 9,9 K 4,5 N o de vértices N o de arestas Soma dos graus dos vértices conexo 31. Numa pequena cidade há uma rede de autocarros, muito mal planeada, com carreiras ligando 10 zonas da cidade, que vamos designar por maiúsculas de A a J. Na tabela que se segue podem-se encontrar as ligações existentes (representadas por *) A B C D E F G H I J A B C D E F G H I J 10

11 (a) Para que zonas da cidade se pode deslocar um passageiro que esteja na zona F? (b) Para ir de C para H qual o número mínimo de autocarros que um passageiro deve usar? (c) O sistema garante o transporte de passageiros entre qualquer par de zonas? (d) Caso a sua resposta anterior tenha sido negativa, apresente uma solução, inserindo novos percursos, que permita o transporte de passageiros entre qualquer par de zonas da cidade. 32. Verifique se os seguintes grafos não orientados admitem circuitos ou caminhos de Euler e/ou de Hamilton: (a) (b) (c) (d) 33. Verifique se os seguintes grafos orientados admitem circuitos ou caminhos de Euler e/ou de Hamilton: 11

12 (a) (b) (c) (d) 34. Verifique se os seguintes grafos não orientados admitem circuitos ou caminhos de Euler e, no caso de existirem, determine-os utilizando o algoritmo de Fleury: (a) (b) (c) 12

13 (d) (e) (f) (g) 35. Verifique se os seguintes grafos orientados admitem circuitos ou caminhos de Euler e, no caso de existirem, determine-os utilizando o algoritmo de Fleury: (a) (b) 13

14 (c) (d) 36. Verifique se no grafo correspondente à matriz de adjacência A existe um circuito de Euler. Em caso afirmativo use o algoritmo de Fleury para o determinar A = A figura seguinte representa a planta de uma casa. Existe alguma forma de percorrer a casa (iniciando o trajecto dentro ou fora de casa) passando por cada porta uma e uma só vez? 14

15 38. No grafo seguinte cada aresta representa uma avenida e cada vértice representa uma esquina entre avenidas. Pretende-se entregar o correio nesta área iniciando a entrega no ponto R e terminando no ponto K, passando em cada avenida exactamente uma vez. Determine um possível percurso a efectuar. 39. Considere o grafo não orientado (a) Determine o número de arestas. (b) Identifique os circuitos. (c) Qual é o menor número de arestas que é preciso apagar para retirar todos os circuitos? (d) Retire essas arestas de modo a obter uma árvore de suporte do grafo original. (e) Quantos caminhos simples existem entre cada par de vértices da árvore de suporte? (f) Identifique as pontes na árvore de suporte. 15

16 40. Um grafo tem dez vértices numerados de 1 a 10. Existe uma aresta entre i e j se i + j é ímpar e corresponde-lhe o custo i j. (a) Determine a matriz de custos correspondente. (b) Será o grafo conexo? Justifique 41. Uma empresa de telecomunicações está a instalar uma rede de fibra óptica que cubra várias localidades no Alentejo. As distâncias e as ligações possíveis entre as localidades estão esquematizadas na rede abaixo. Decida quais as ligações que devem ser executadas de modo a que todas as localidades fiquem ligadas com um mínimo de fibra óptica. 42. Os agentes A, B, C, D, E, F, G e H são conspiradores políticos. De forma a coordenar os seus esforços é vital que cada agente seja capaz de comunicar directa ou indirectamente com todos os outros conspiradores. Esta comunicação, contudo, envolve um certo risco para cada um deles. Os factores de risco associados a cada comunicação directa entre dois conspiradores estão apresentados na tabela seguinte: 16

17 A A A A A B B C C C C D D E B C E F G C F D F G H E H H Todas as comunicações entre pares de conspiradores que não estejam na tabela são impraticáveis pois os serviços secretos já os têm referenciados. Qual é o menor risco total envolvido para que uma mensagem seja passada a todos os conspiradores? 43. A câmara municipal de um pequeno município rural resolveu alcatroar alguns caminhos de terra batida entre aldeias. Os caminhos existentes e as distâncias entre as aldeias são as que se mostram na figura. Não havendo dinheiro para alcatroar todos os caminhos, é preciso escolher os caminhos a alcatroar com o custo mínimo de modo que haja um percurso entre cada par de aldeias por estradas alcatroadas. Determine um solução para este problema. 44. O senhor Francisco tem clientes em cinco cidades, às quais chamaremos, para simplificar, A, B, C, D e E. Ele planeia uma viagem para visitar cada uma delas. O senhor Francisco mora na cidade A e planeia começar e terminar a viagem em sua casa. A ordem pela qual ele tem que visitar as cidades não é importante para os seus negócios. Na figura, mostra-se as ligações aereas existentes entre as cidades bem 17

18 como o preço dos bilhetes de avião para cada ligação. Qual será a sequência que minimize os gastos com transportes? 45. Resolva o problema do caixeiro viajante onde as distâncias entre localidades são: A B C D E A B C D E A A (a) B C (b) B C D D E E

19 A B C D E F A B C D E F A A B B (c) C (d) C D D E E F F Utilizando o algoritmo de Dijkstra determine o caminho mais curto do nó A para o nó G na rede representada pela seguinte matriz de distâncias: [ ] A B C D E F G A B C D E F G

20 47. Considere o grafo não orientado valorado representado na matriz: [ A B C D E F ] A B C D E F (a) Quantos caminhos de comprimento ( n o de arestas ) 3 existem entre os vértices A e D? Quais são? Destes qual é o menos pesado e qual é o mais pesado? (b) Utilizando o algoritmo de Dijkstra determine o caminho mais barato entre os vértices A e D. (c) Determine a árvore geradora mínima do grafo. 48. Determine o caminho mais curto entre os vértices A e F: 20

21 49. Determine o caminho mais curto entre os vértices A e D: 50. Determine o caminho mais curto de A para G para os seguintes grafos com pesos definidos pelas matrizes de adjacência: (a) (b) Resolva o problema do carteiro chinês para o seguinte grafo: 21

22 52. Resolva o problema do carteiro chinês para os grafos: 53. Um funcionário de uma empresa de parques de estacionamento tem que percorrer todas as ruas onde funciona estacionamento pago, para recolher o dinheiro das máquinas, uma vez por dia. As máquinas encontram-se a intervalos regulares ao longo das ruas cujo mapa se desenha a seguir. Os números sobre as arestas correspondem aos comprimentos das ruas em centenas de metros. Determine o percurso a percorrer pelo funcionário de modo a minimizar o espaço percorrido 54. Os grafos que se seguem são todos planares. Redesenhe-os de modo a que não haja cruzamento de arestas. Para cada um dos grafos que desenhou verifique a validade da fórmula de Euler. 22

23 (a) (b) (c) (d) 55. Determine os graus das faces das representações planares obtidas no exercício aterior. Qual é a relação entre a soma dos graus das faces e o número de arestas? 56. Desenhe um grafo simples e planar com: (a) quatro faces de grau 3. (b) seis faces de grau 4. (c) duas faces de grau 5. (d) seis vértices de grau 3. (e) oito vértices de grau 4. (f) doze vértices de grau Verifique que os seguintes grafos não são planares: 23

24 (a) (b) 58. Represente de forma planar o dual dos seguintes grafos planares: (a) (b) (c) 59. Determine o número cromático k dos seguintes grafos e dê um exemplo de uma k-coloração: (a) O grafo cíclico C 4 (generalize para C n, n par). (b) O grafo cíclico C 5 (generalize para C n, n ímpar). 1 (c) O grafo bipartido K 2,3 (generalize para K i,j, i, j N). (d) O grafo completo K 6 (generalize para K n, n N). 60. Determine directamente o polinómio cromático dos seguintes grafos: 24

25 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) 61. Determine directamente o polinómio cromático e o número cromático de: (a) K n, n N. (b) uma árvore. 62. Utilize a eliminação e contracção de arestas para determinar o número cromático k e uma k-coloração dos seguintes grafos: (a) (b) (c) (d) 25

26 63. Considere os seguintes mapas: (a) Represente os grafos duais. (b) Determine o polinómio cromático dos grafos duais obtidos na alínea anterior. (c) Determine o número cromático k e dê um exemplo de uma k-coloração dos grafos duais obtidos na alínea anterior. (d) Obtenha uma coloração dos mapas de modo que regiões fronteiras tenham cores distintas. 64. Sendo dado o seguinte mapa: (a) Desenhe o grafo dual que lhe corresponde. (b) Encontre uma coloração própria dos vértices do grafo dual. (c) Use o resultado da alínea anterior para colorir o mapa. 26

27 65. Sendo dado o seguinte mapa: (a) Desenhe o grafo dual que lhe corresponde (b) Encontre uma coloração própria dos vértices do grafo dual (c) Use o resultado da alínea anterior para pintar o mapa 66. Encontre uma coloração própria para o seguinte grafo: 67. Pretende-se marcar exames de 4 disciplinas das quais se sabe que: há alunos que vão fazer os exames das duas primeiras; há alunos que vão fazer exame da primeira e da quarta; há alunos que vão fazer exame da segunda e da terceira e há alunos a fazer exame da terceira e da quarta. Estabeleça um horário para estes 4 exames ocupando 27

28 o mínimo possível de tempos lectivos e de modo a que nenhum aluno tenha exames sobrepostos. 68. Na tabela seguinte: A B C D E F G A * * * * B * * * * * C * * * * * D * * * * * E * * * * F * * * * G * * * * * * indica disciplinas (A,, G) que têm alunos em comum. É necessário determinar o horário de funcionamento destas 7 disciplinas num determinado dia. Qual é o menor número de tempos necessários para leccionar todas as disciplinas? 69. Na preparação de uma expedição científica a Marte é necessário encontrar tripulações sem incompatibilidades, pois irão permanecer um longo período confinados à nave. Há 10 voluntários para a expedição e pretende-se organizar duas equipas. Analisados 28

29 os 10 indivíduos, foi construída a seguinte matriz de incompatibilidades: (nesta matriz 1 significa indivíduos incompatíveis e 0 indivíduos compatíveis). Organize as duas equipas de modo a que não haja incompatibilidades entre os membros de cada equipa. 70. Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as segintes afirmações: (a) Um grafo bipartido pode ter polinómio cromático igual a k(k 1) 2 (k 2). (b) Se um grafo G admite uma 3-coloração e contém K 3, então χ(g) = 3. (c) Se um grafo G tem um vértice com grau 4, então χ(g) 5. (d) Não existem grafos planares cujo dual tenha polinómio cromático igual a k(k 1)(k 2) 2 (k 3)(k 4) 2. 29