Teoria e Algoritmos em Grafos
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- Adelino Carreiro Canto
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1 Teoria e Algoritmos em Grafos
2 Percursos Caminhos que percorrem todos os vértices ou todas as arestas de um grafo são chamados percursos.
3 Ciclo Hamiltoniano Ciclos Hamiltonianos são ciclos que percorrem todos os vértices de um grafo.
4 Ciclo Hamiltoniano Ciclos Hamiltonianos são ciclos que percorrem todos os vértices de um grafo. O Problema de definir se existe um Ciclo Hamiltoniano de custo mínimo em um grafo é NP-completo.
5 Problema do Caixeiro Viajante Travelling Salesman Problem (TSP) É possível visitar todas as cidades somente uma vez com o menor custo possível?
6 Problema do Caixeiro Viajante É possível visitar todas as cidades somente uma vez com o menor custo possível?
7 Problema do Caixeiro Viajante É possível visitar todas as cidades somente uma vez com o menor custo possível? Como é um problema NP-completo, as melhores soluções são heurísticas e aproximações.
8 Heurísticas Construtivas Uma heurística abdica da garantia de achar a melhor solução, para encontrar uma solução próxima de forma eficiente. Ele encontra uma solução aproximada sendo mais eficiente que um algoritmo exato. Heurísticas Construtivas são algoritmos gulosos que fazem decisões locais que levam a soluções próximas da ótima.
9 Ciclo Hamiltoniano: Propriedades Qualquer Ciclo Hamiltoniano pode ser convertido num Caminho Hamiltoniano, mas nem todo Caminho Hamiltoniano pode ser convertido num Ciclo Hamiltoniano.
10 Ciclo Hamiltoniano: Propriedades Qualquer Ciclo Hamiltoniano pode ser convertido num Caminho Hamiltoniano, mas nem todo Caminho Hamiltoniano pode ser convertido num Ciclo Hamiltoniano. Se um vértice tem grau 2, então suas duas aresta devem estar no ciclo hamiltoniano.
11 Ciclo Hamiltoniano: Propriedades Qualquer Ciclo Hamiltoniano pode ser convertido num Caminho Hamiltoniano, mas nem todo Caminho Hamiltoniano pode ser convertido num Ciclo Hamiltoniano. Se um vértice tem grau 2, então suas duas aresta devem estar no ciclo hamiltoniano. Se duas aresta de um vértice estão num ciclo hamiltoniano, então nenhuma outra aresta pode fazer parte.
12 Ciclo Hamiltoniano: Propriedades Qualquer Ciclo Hamiltoniano pode ser convertido num Caminho Hamiltoniano, mas nem todo Caminho Hamiltoniano pode ser convertido num Ciclo Hamiltoniano. Se um vértice tem grau 2, então suas duas aresta devem estar no ciclo hamiltoniano. Se duas aresta de um vértice estão num ciclo hamiltoniano, então nenhuma outra aresta pode fazer parte. Um grafo completo com n vértices possui (n 1)!/2 ciclos hamiltonianos.
13 Ciclo Hamiltoniano: Propriedades Qualquer Ciclo Hamiltoniano pode ser convertido num Caminho Hamiltoniano, mas nem todo Caminho Hamiltoniano pode ser convertido num Ciclo Hamiltoniano. Se um vértice tem grau 2, então suas duas aresta devem estar no ciclo hamiltoniano. Se duas aresta de um vértice estão num ciclo hamiltoniano, então nenhuma outra aresta pode fazer parte. Um grafo completo com n vértices possui (n 1)!/2 ciclos hamiltonianos. Se num grafo com n vértices todos os vértices tem grau pelo menos n/2, então existe um ciclo hamiltoniano
14 Ciclo Hamiltoniano Mínimo: Algoritmo Crie um rótulo para cada vértice inicialmente em 0 para todos. Escolha um vértice qualquer como inicial e dê a ele o rótulo 1. Ache o vizinho dele com menor custo ainda não rotulado. Dê um novo rótulo para esse vértice e repita até que todos os vértices estejam rotulados.
15 Ciclo Hamiltoniano Mínimo: Algoritmo
16 Ciclo Hamiltoniano Mínimo: Algoritmo
17 Ciclo Hamiltoniano Mínimo: Algoritmo
18 Ciclo Hamiltoniano Mínimo: Algoritmo
19 Ciclo Hamiltoniano Mínimo: Algoritmo
20 Ciclo Hamiltoniano Mínimo: Algoritmo
21 Ciclo Hamiltoniano Mínimo: Algoritmo
22 Ciclo Hamiltoniano Mínimo: Algoritmo CicloHamiltoniano(G) for all v in G(V) indice[v] = 0 v = randomvertex(g(v)) for i = 1 to n indice[v] = i u in Adj(v) with min_cost(v, u) and indice[u] = 0 v = u
23 Ciclo Euleriano Ciclo Euleriano são ciclos que percorrem todas as arestas de um grafo.
24 Ciclo Euleriano Ciclo Euleriano são ciclos que percorrem todas as arestas de um grafo. O Problema de encontrar o Ciclo Euleriano de custo mínimo em um grafo não é NP-completo.
25 Sete pontes de Königsberg É possível visitar a cidade passando por todas as pontes somente uma única vez?
26 Sete pontes de Königsberg É possível visitar a cidade passando por todas as pontes somente uma única vez?
27 Sete pontes de Königsberg É possível visitar a cidade passando por todas as pontes somente uma única vez? NÃO é possível!!! Só é possível se existirem exatamente 2 vértices de grau ímpar.
28 Sete pontes de Königsberg É possível visitar a cidade passando por todas as pontes somente uma única vez? Problema formulado por Euler em Königsberg era uma cidade da Alemanha, em 1945 virou Kaliningrad. Das sete pontes, duas foram destruídas durante a Segunda Guerra Mundial, duas outras demolidas e substituídas por uma rodovia moderna e uma reconstruída. Assim, atualmente, com duas pontes a menos, é possível resolver o problema. É considerado o primeiro teorema em teoria dos grafos.
29 Sete pontes de Königsberg É possível visitar a cidade passando por todas as pontes somente uma única vez?
30 Ciclo Euleriano: Propriedades Qualquer Ciclo Euleriano pode ser convertido num Caminho Euleriano, mas nem todo Caminho Euleriano pode ser convertido num Ciclo Euleriano.
31 Ciclo Euleriano: Propriedades Qualquer Ciclo Euleriano pode ser convertido num Caminho Euleriano, mas nem todo Caminho Euleriano pode ser convertido num Ciclo Euleriano. Um grafo não direcionado com todos os vértices de grau par sempre possui um ciclo euleriano.
32 Ciclo Euleriano: Propriedades Qualquer Ciclo Euleriano pode ser convertido num Caminho Euleriano, mas nem todo Caminho Euleriano pode ser convertido num Ciclo Euleriano. Um grafo não direcionado com todos os vértices de grau par sempre possui um ciclo euleriano. Ele também pode ter exatamente 2 vértices de grau ímpar.
33 Ciclo Euleriano: Propriedades Qualquer Ciclo Euleriano pode ser convertido num Caminho Euleriano, mas nem todo Caminho Euleriano pode ser convertido num Ciclo Euleriano. Um grafo não direcionado com todos os vértices de grau par sempre possui um ciclo euleriano. Ele também pode ter exatamente 2 vértices de grau ímpar. Um grafo direcionado precisa que seus vértices tenham mesmo grau de entrada e de saída para possuir um Caminho Euleriano.
34 Ciclo Euleriano: Algoritmo Escolha um vértice qualquer. Percorra os vértice aleatoriamente até voltar a ele. Como todos os vértices tem grau par isso sempre vai acontecer. Se todos as arestas foram percorridas, o ciclo foi encontrado, senão escolha um vértice já no ciclo que tenha alguma aresta não visitada e repita do algoritmo.
35 Ciclo Euleriano: Algoritmo
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60 Ciclo Euleriano: Algoritmo
61 Ciclo Euleriano: Algoritmo CicloEuleriano(G) C = E v = randomvertex(c) i = 0 while C!= vazio i = i+1 if (Adj(v) == vazio) u = randomvertex(c) else u = randomvertex(adj(v)) remove(c, u, v) indice[i] = (u, v) v = u
62 Exercício Problema do Carteiro Chinês: um carteiro possui uma rede de ruas e precisa passar por todas elas para entregar cartas. Ele sempre anda na mesma velocidade e possui o comprimento de cada rua. Ele pode passar quantas vezes quiser na mesma rua, mas ele quer economizar tempo e quer saber qual o caminho mais rápido no qual ele sai dos correios, passa por todas as ruas e volta para os correios. Como você modelaria esse problema em um problema de grafos? Você diria que é possível resolver esse problema em tempo polinomial?
63 Exercício: Solução É possível resolver em tempo polinomial utilizando um circuito euleriano! Se todos os vértices tiverem grau par, é só achar o circuito euleriano. Senão, para cada vértice de grau ímpar, precisamos de uma forma de duplicar arestas. As arestas que serão duplicadas podem representar o caminho mínimo entre todos os vértices de grau ímpar.
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