INF 1010 Estruturas de Dados Avançadas
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- Lara Brandt Caetano
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1 INF Estruturas de Dados Avançadas Grafos //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
2 Primeiro uso conhecido 7 Euler: pontes de Königsberg //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
3 Primeiro uso conhecido 7 Euler: pontes de Königsberg Saindo de uma margem, é possível atravessar todas as pontes exatamente uma vez e retornar à mesma margem? c C g A d e D a b B f //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
4 Definição G = (V,E) um conjunto V de n nós (vértices, vertices) e um conjunto E de m arcos (arestas, edges) exemplos vértices: V = {,,,} arestas: E = {(,),(,),(,),(,),(,),(,)} n = m = //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
5 Usos de grafo grafo vértices arestas transporte interseções de ruas ruas comunicação computadores cabos Web páginas Web links sociedade pessoas relacionamentos software funções chamadas de função cronograma tarefas restrições de preferência //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
6 Vértices adjacentes vértices conectados por arestas e e e e e e e 7 7 //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
7 Digrafo: grafo direcionado (orientado) vértices: V = {,,} arestas (pares ordenados): E = {<,>,<,>,<,>} Qual é o número máximo de arestas em um grafo direcionado de n vértices? n (n-) //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 7
8 Subgrafo G alguns subgrafos de G //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 8
9 Subgrafo G alguns subgrafos de G //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 9
10 Grafo completo grafo não direcionado, em que cada vértice está conectado com cada um dos outros vértices por apenas uma aresta Quantas arestas há em um grafo completo de n vértices? n (n-)/ //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
11 Grafo conectado existe um caminho entre quaisquer dois vértices exemplo grafo com componentes conectados G H H 7 //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
12 Grau número de arestas incidentes em um vértice exemplo: grau do vértice (): grau de entrada do vértice (): grau de saída do vértice (): G //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
13 Voltando ao problema das pontes de Königsberg grau c A d C e g D a b B f seria possível somente se o grau de todos os nós fosse par (entrada e saída). //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
14 Caminhos e ciclos caminhos de comprimento entre A e C de comprimento entre B e G, passando por H de comprimento entre B e G, passando por F de comprimento de A a F H B G C E F A D //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
15 Ciclos caminho de um nó para si mesmo exemplo: B-F-G-B H grafo cíclico B G C contém um ou mais ciclos E F A D grafo acíclico não contém ciclos //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
16 Árvores vértices : V = {,,,,,,} arestas: E = {(,),(,),(,),(,),(,),(,)} n = 7 m = São um caso particular de grafos acíclicos. Além de acíclicos cada nó tem um só pai, menos a raiz (que não tem pai). //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
17 Multigrafo dois nós podem estar conectados por mais de uma aresta //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 7
18 Digrafo com auto-aresta //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 8
19 Representações de grafo matriz de adjacências, W matriz de incidências, A listas de adjacências (incidências) //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 9
20 Matriz de adjacências, [W] W[i][j] =, se houver uma aresta do nó i para o nó j, caso contrário G //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
21 Matriz de Incidênca //8 G DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. [ ] ú ú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ê ë é = A
22 Matriz de adjacências G //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
23 Matriz de adjacências G //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
24 Matriz de adjacências G H H //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
25 Grafo ponderado cada aresta possui um peso (weight) ou custo (cost) //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
26 Percursos em grafos em profundidade (depth-first search) arestas que partem do vértice mais recente (visitado por último) em largura (breadth-first search) arestas que partem do vértice mais antigo (visitado primeiro) guloso (greedy) arestas de menor custo, menor caminho //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
27 Percursos em grafos Cada vértice examinado deve ser marcado como visitado. Por quê? //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 7
28 dfs (depth-first search) //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 8
29 dfs iniciando em dfs() dfs() dfs() dfs() dfs() dfs() dfs() 8 8 //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 9
30 Percurso em profundidade depth first search /* grafo como matriz de adjacências */ int graph[max_vertices][max_vertices]; int visited[max_vertices]; void dfs(int v) { int w; printf("%d", v); visited[v] = ; for (w = ; w < MAX_VERTICES; w++) if (graph[v][w] &&!visited[w]) dfs(w); } //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
31 Listas de adjacências G [] vertex link [] [] [] [] vertex link G [] [] //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
32 Percurso em profundidade depth first search /* grafo como listas de adjacências */ typedef struct _listnode ListNode; struct _listnode { int vertex; ListNode* link; }; ListNode* graph[max_vertices]; int visited[max_vertices]; void dfs(int v){ ListNode* w; visited[v] = ; printf("%d", v); for (w = graph[v]; w!= NULL; w = w->link) if (!visited[w->vertex]) dfs(w->vertex); } //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
33 bfs (breadth-first search) //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
34 Percurso em largura breadth first search semelhante ao percurso por nível em uma árvore (registrando os nós visitados) //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
35 bfs iniciando em bfs() -> enfileira, [,] bfs() -> enfileira, [,,] bfs() -> enfileira [,,] bfs() [,] bfs() -> enfileira [,] bfs() [] bfs() [] 8 8 //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
36 Menor caminho entre um nó de origem e um de destino algoritmo de Dijkstra. Defina o nó de origem. Atribua todos os nós um valor de distância ao nó de origem: valor zero ao nó de origem, e infinito para todos os outros nós.. Marque todos os demais nós como não visitados e o nó origem como corrente (A).. Considere a distância de todos os nós vizinhos não visitados ao nó corrente e calcule uma distância deles ao nó origem através do nó corrente. Por exemplo, se o nó atual A tiver distância, e houver uma aresta de peso conectando-o com um outro nó B, a distância de B através de A será 8. Se essa distância for menor do que a distância registrada anteriormente (infinito, na primeira rodada; zero para o nó de origem), sobrescreva a distância de B.. Ao terminar de considerar todos os vizinhos do nó atual A, marque-o como visitado. Um nó visitado não será mais verificado; sua distância registrada agora é final e mínima.. Se todos os nós tiverem sido visitados, termine. Caso contrário, marque o nó não visitado com a menor distância (do nó de origem) como o próximo "nó corrente", e repita a partir do passo. Ao final, tem-se a menor distância entre o nó de origem e cada um dos nós do grafo. //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
37 Dijkstra - exemplo considerando como vértice inicial 8 8 []-> []-> []-> []-> []-> []-> []-> dist arcs vertex weight link //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 7
38 Dijkstra - exemplo modifica distâncias dos vértices e 8 8 []-> []-> 8 []-> []-> []-> []-> []-> dist arcs vertex weight link //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 8
39 Dijkstra - exemplo marca o vértice como visitado seleciona o vértice (o de menor distância) ignora vértice (já visitado); modifica distância do vértice 8 8 []-> []-> 8 []-> []-> []-> []-> []-> dist arcs vertex weight link //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 9
40 Dijkstra - exemplo marca o vértice como visitado seleciona o vértice (o de menor distância) ignora vértice ; modifica distâncias dos vértices e 8 []-> []-> 8 dist arcs vertex weight link []-> []-> []-> []-> []-> 8 8 //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
41 Dijkstra - exemplo marca o vértice como visitado seleciona o vértice (o de menor distância) modifica distância do vértice ; ignora vértice ; mantém a distância do vértice 8 8 []-> []-> 8 []-> []-> 7 []-> []-> []-> dist arcs vertex weight link //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
42 Dijkstra - exemplo marca o vértice como visitado seleciona o vértice (o de menor distância) ignora vértice ; mantém distância do vértice ; ignora vértice 8 8 []-> []-> 8 []-> []-> 7 []-> []-> []-> dist arcs vertex weight link //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
43 Dijkstra - exemplo marca o vértice como visitado seleciona o vértice (o de menor distância) ignora vértice ; modifica distância do vértice 8 []-> []-> 8 dist arcs vertex weight link []-> []-> []-> []-> []-> 8 8 //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
44 Dijkstra - exemplo marca o vértice como visitado seleciona o vértice (o de menor distância) ignora vértices, e 8 []-> []-> 8 dist arcs vertex weight link []-> []-> []-> []-> []-> 8 8 //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
45 Dijkstra - exemplo marca o vértice como visitado não há mais vértices não visitados FIM! 8 []-> []-> 8 dist arcs vertex weight link []-> []-> []-> []-> []-> 8 8 //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
46 árvore geradora //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
47 Árvore geradora (spanning tree) de custo mínimo algoritmo de Kruskal. Considere cada nó uma árvore (formando uma floresta) 8 8 //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 7
48 Árvore geradora (spanning tree) de custo mínimo algoritmo de Kruskal. Examine a aresta de menor custo. Se ela unir duas florestas, inclua-a.. Repita até todos os nós estarem conectados. 8 8 //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 8
49 Árvore geradora (spanning tree) de custo mínimo algoritmo de Kruskal. Examine a aresta de menor custo. Se ela unir duas florestas, inclua-a.. Repita até todos os nós estarem conectados. 8 8 //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 9
50 Árvore geradora (spanning tree) de custo mínimo algoritmo de Kruskal. Examine a aresta de menor custo. Se ela unir duas florestas, inclua-a.. Repita até todos os nós estarem conectados. 8 8 //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
51 Árvore geradora (spanning tree) de custo mínimo algoritmo de Kruskal. Examine a aresta de menor custo. Se ela unir duas florestas, inclua-a.. Repita até todos os nós estarem conectados. 8 8 //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
52 Árvore geradora (spanning tree) de custo mínimo algoritmo de Kruskal. Examine a aresta de menor custo. Se ela unir duas florestas, inclua-a.. Repita até todos os nós estarem conectados //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
53 Árvore geradora (spanning tree) de custo mínimo algoritmo de Kruskal. Examine a aresta de menor custo. Se ela unir duas florestas, inclua-a.. Repita até todos os nós estarem conectados. 8 8 //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
54 Árvore geradora (spanning tree) de custo mínimo algoritmo de Kruskal. Examine a aresta de menor custo. Se ela unir duas florestas, inclua-a.. Repita até todos os nós estarem conectados. 8 8 //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
55 Árvore geradora (spanning tree) de custo mínimo algoritmo de Kruskal. Examine a aresta de menor custo. Se ela unir duas florestas, inclua-a.. Repita até todos os nós estarem conectados. 8 8 //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
56 Algoritmo. criar uma floresta F (um conjunto de árvores), onde cada vértice no grafo é uma árvore separada. criar um conjunto S contendo todas as arestas no gráfico. enquanto S é não vazio e F ainda não está cobrindo. remover uma aresta com peso mínimo de S. se essa aresta conecta duas árvores diferentes, combine as duas árvores em uma única árvore. caso contrário descarte essa aresta. //8 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.
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