Algoritmo de Dijkstra

Transcrição

1 lgoritmo de Dijkstra

2 Caminhos mínimos em Grafos Considere um grafo orientado ponderado G = (V,E) em que cada aresta possui um rótulo não negativo associado que define o custo da aresta, e um dos vértices é especificado como origem. Nosso problema é determinar quais são os caminhos mais curtos do vértice origem para cada um dos demais vértices em V e os seus custos. O caminho mais curto ou mínimo é definido pelo o caminho cuja soma dos custos dos vértices encontrados no caminho é mínimo. Slide: Gustavo E..P.. Batista -

3 Grafo direcionado (arestas com setas ) (digrafo) Grafo ponderado grafos com pesos (arestas com números )

4 lgortimo de Dijkstra O algoritmo de Dijkstra permite encontrar o menor caminho entre um nó origem (ex. ) e todos os outros vértices do grafo

5 Dijkstra Inicia em, e verifica as saídas de De podemos ir para B D G Estabelecemos o custo olhando o peso das arestas

6 Dijkstra Custos De podemos ir para B = 20 D = 80 G = 90 Outros nós: Custo inito (não é possível acessar)

7 Dijkstra de B C D E F G H

8 Qual o menor custo? de B C D E F G H

9 Qual o menor custo? de B C D E F G H

10 Qual o menor custo? de B C D E F G H Já sabemos então que o menor caminho entre e B é de custo 20, e é formado pelo seguinte caminho:,b

11 Como já sabemos que o menor caminho saindo de é ir para B, vamos no próximo passo analisar o menor caminho entre B e os outros nós da rede.

12 Dijkstra Inicia em B, e verifica as saídas de B De B podemos ir para F Estabelecemos o custo olhando o peso das arestas

13 Dijkstra Custos De B podemos ir para F = 10 Outros nós: Custo inito (não é possível acessar)

14 Dijkstra Custos De B podemos ir para F = 10 O custo para chegar em F a partir de era inito. gora podemos chegar em F por meio de B O custo para chegar em F é então somado ao custo para chegar em B

15 Dijkstra de B C D E F G H de: B de: B

16 Dijkstra de B C D E F G H B 30 de: B

17 E o custo dos outros nós não acessíveis por B? Nada muda, copiamos então o custo anterior Exemplo: Custo para ir de até E: mantém inito Custo para ir de até G: 90 mantém 90

18 Qual o menor caminho? de B C D E F G H B de: B 90

19 Dijkstra de B C D E F G H B de: B 90 Já sabemos então que o menor caminho entre e F é de custo 30, e é formado pelo seguinte caminho:,b,f

20 Dijkstra Inicia em F, e verifica as saídas de F De F podemos ir para C D Estabelecemos o custo olhando o peso das arestas

21 Dijkstra Inicia em F, e verifica as saídas de F De F podemos ir para C = 10 D = 40 Outros nós: Custo inito (não é possível acessar)

22 Dijkstra Custos De F podemos ir para C = 10 O custo para chegar em C a partir de era inito. gora podemos chegar em C por meio de F O custo para chegar em C é então somado ao custo para chegar em F

23 Qual o menor caminho? de B C D E F G H B 80 F de: B 90

24 Qual o menor caminho? de B C D E F G H de: B 80 de: F de: B 90

25 Dijkstra Custos De F podemos ir para D = 40 O custo para chegar em D a partir de era 80. gora podemos chegar em D por meio de F O custo para chegar em D é então somado ao custo para chegar em F

26 Qual o menor caminho? de B C D E F G H de: B 80 de: F de: B 90

27 Qual o menor caminho? de B C D E F G H B 80 F de: B 90

28 ntes, para sair de e chegar em D o custo era 80 gora, para sair de e chegar em D, via F, o custo é 70. Então devemos manter este como sendo o menor caminho entre e D Não há mudanças nos outros caminhos de

29 Copiando os valores de B C D E F G H B 80 F de: B 90 90

30 Qual o menor caminho? de B C D E F G H B 80 F de: B 90 90

31 Qual o menor caminho? de B C D E F G H B 80 F de: B Já sabemos então que o menor caminho entre e C é de custo 40, e é formado pelo seguinte caminho:,b,f,c

32 Dijkstra Inicia em C, e verifica as saídas de C De C podemos ir para H D F Estabelecemos o custo olhando o peso das arestas

33 Dijkstra Custos De C podemos ir para H = 20 D = 10 F = 50

34 Dijkstra Custos De C podemos ir para H = 20 O custo para chegar em H a partir de era inito. gora podemos chegar em H por meio de C O custo para chegar em H é então somado ao custo para chegar em C

35 Qual o menor caminho? de B C D E F G H de: B 80 de: F de: F 90 de: 30 de: B 90 de: 90 de: C de:c

36 Qual o menor caminho? de B C D E F G H de: B 80 de: F de: F 90 de: 30 de: B 90 de: 90 de: C 60 de:c

37 Dijkstra Custos De C podemos ir para H = 20 D = 10 F = 50

38 Dijkstra Custos De C podemos ir para D = 10 O custo para chegar em D a partir de era 70. gora podemos chegar em D por meio de C O custo para chegar em D é então somado ao custo para chegar em C

39 Qual o menor caminho? de B C D E F G H de: B 80 de: F de: F 90 de: 30 de: B 90 de: 90 de: C 60 de:c

40 Qual o menor caminho? de B C D E F G H de: B 80 de: F de: F C de: C 90 de: 30 de: B 90 de: 90 de: 60 de:c

41 Qual o menor caminho? de B C D E F G H B 80 F C 50 de: C 90 de: 30 de: B 90 de: 90 de: 60 de:c

42 Dijkstra Custos De C podemos ir para H = 20 D = 10 F = 50

43 Dijkstra Custos De C podemos ir para F = 50 O custo para chegar em F a partir de era 30. gora podemos chegar em F por meio de C O custo para chegar em F é então somado ao custo para chegar em C

44 Qual o menor caminho? de B C D E F G H B 80 F C 50 de: C 90 de: 30 de: B de: C 90 de: 90 de: 90 de: 60 de:c

45 Qual o menor caminho? de B C D E F G H B 80 F C 50 de: C 90 de: 30 de: B 90 de: C 90 de: 90 de: 90 de: 60 de:c Com certeza o custo vindo de C será maior, pois já tínhamos determinado o menor caminho até F Na verdade, F nem seria verificado por já temos calculado o caminho mínimo

46 Qual o menor caminho? de B C D E F G H B 80 F C 50 de: C 90 de: 30 de: B 90 de: 90 de: 90 de: 60 de:c Já sabemos então que o menor caminho entre e D é de custo 50, e é formado pelo seguinte caminho:,b,f,c,d

47 Dijkstra Inicia em D, e verifica as saídas de D De D podemos ir para G C já foi determinado o menor caminho Estabelecemos o custo olhando o peso das arestas

48 Qual o menor caminho? de B C D E F G H B 80 F C 50 de: C 90 de: 30 de: B 90 de: 90 de: 90 de: D de: D 60 de:c

49 Qual o menor caminho? de B C D E F G H B 80 F C 50 de: C de: B D 70 de: D 60 de: C 60 de: C

50 Qual o menor caminho? de B C D E F G H B 80 F C 50 de: C de: B D 70 de: D 60 de: C 60 de: C Já sabemos então que o menor caminho entre e H é de custo 60, e é formado pelo seguinte caminho:,b,f,c,h

51 Dijkstra Inicia em H, e verifica as saídas de H De H não podemos ir para nenhum nó. Copia a tabela

52 Qual o menor caminho? de B C D E F G H B 80 F C 50 de: C de: B D 70 de: D H 70 de: D 60 de: C 60 de: C

53 Qual o menor caminho? de B C D E F G H B 80 F C 50 de: C de: B D 70 de: D H 70 de: D 60 de: C 60 de: C Já sabemos então que o menor caminho entre e G é de custo 70, e é formado pelo seguinte caminho:,b,f,c,d,g

54 Dijkstra Inicia em G, e verifica as saídas de G De G podemos ir para é a origem Basta copiar a tabela

55 Qual o menor caminho? de B C D E F G H B 80 F C 50 de: C de: B D 70 de: D H 70 de: D G 60 de: C 60 de: C Não há caminho para o vértice E a partir de

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57 Slide: Gustavo E..P.. Batista -

58 Slide: Gustavo E..P.. Batista -

59 B C D E F G H Matriz C Vetor D B C D E F G H B 10 C D 20 E F G 20 H B C D E F G H B C D E F G H B C D E F G H B C D E F G H B C D E F G H B C D E F G H

60 Slide: Gustavo E..P.. Batista -

61 = Slide: Gustavo E..P.. Batista -

62 Uma modificação no algoritmo de Djikstra para determinar o caminho mais curto entre dois vértices dados.

63 void Caminho_mais_Curto(TipoGrafo *grafo, int origem, int destino) { int i, vert,k, NovaDist, min; int *M, *L, *, *caminho; M = (int *)malloc(grafo->numvertices*sizeof(int)); L = (int *)malloc(grafo->numvertices*sizeof(int)); = (int *)malloc(grafo->numvertices*sizeof(int)); caminho = (int *)malloc(grafo->numvertices*3*sizeof(int)); vetor auxiliar // incializando vairiaveis for (i=0; i<grafo->numvertices; i++) { } M[i] = 0; // false -- determina se um vertice ja foi visitado [i] = -1; // determina o caminho mais curto entre origem e destino L[i] = ; //inito determina o comprimento do caminho mais curto

64 vert = origem; L[vert] = 0; while (vert!= destino && vert!= -1) // não terminou ou caminho inexistente { for(i=0;i<grafo->numvertices; i++) // percorre vertices adjacentes de vert if (grafo->mat[vert][i]!= 0 && M[i]==0) // se aresta existe e ela não foi visitada { NovaDist = L[vert] + grafo->mat[vert][i]; if (NovaDist < L[i]) { L[i] = NovaDist; // atualiza menor distancia [i] = vert; // atualiza caminho } } M[vert] = 1; // toda a lista de adjacentes de vert já foi analisada min = ; //inito vert = -1; // valor invalido for (i=0; i<grafo->numvertices; i++) // encontra proximo vertice do caminho if (M[i]==0 && L[i] < min) //escolhe o vertice cuja aresta possui o menor peso { min = L[i]; // atualiza min vert = i; //atualiza vert } } //fim while

65 // listar o caminho mais curto entre origem e destino } if (vert == destino) // encontrou um caminho { printf("caminho mais curto entre %4d e %4d tem comprimento %4d: ", origem, destino, L[destino] ); caminho[0] = destino; k = 1; while (vert!= origem) { caminho[k]= [vert]; vert = [vert]; k++; } for (i=k-1; i>=0; i--) printf("%4d", caminho[i]); } else printf("nao exite caminho entre %4 e %4", origem, destino);

66 Considere o grafo: Execute manualmente o algoritmo dado e determine o caminho mais curto entre os vértices 0 e 3.

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